H2: Kegelsneden

(1)

Hoofdstuk 2:

Lijnen en cirkels.

1.

a. Op hoogte z beschrijft P een cirkel met straal z (lijn l maakt een hoek van 45o_{met de z-as) en} middelpunt (0, 0, z). Voor punt P geldt dus: _x2__y2 __z2

. b. O(0, 0, 0)

c. zy en z y.

d. Alleen het punt O(0, 0, 0)

e. De cirkel met middelpunt (0, 0, 5) en straal 5. Een vergelijking daarvan: _x2_ _y2 _₂₅ .

2.

a. Een vergelijking van lijn m is: 1 2 z y

Voor een punt P op de lijn m geldt dan: 1 0 2 0

z  y ofwel y0 2z0. b. Draai de tekening een kwart slag zodat je in de kegel kijkt.

Met de stelling van Pythagoras kun je uitrekenen dat de afstand van

P tot de y-as gelijk is aan: 2 2 0 0 x z . c. De afstand tot de y-as is ook gelijk aan 1

0 2 y . 2 2 1 0 0 2 0 2 2 1 2 1 2 0 0 (2 0) 4 0 x z y x z y y      d. 2 2 1 2 4 6 9 x z    en y6 e. 2 2 1 2 4 3 x   y en z3. Of ook wel: 2 2 4x 36y en z3.

f. Een hyperbool: zie de gekantelde versie op bladzijde 33 van je boek.

3.

a. Die hoek is gelijk aan de halve tophoek: 45o_. b. Die is dan groter dan 45o

4.

a. 6

12

tan 

26,6

   _{De doorsnede is een ellips.} b. 6 12 12 5r 2 2 2 12 42 3,5 (3,5) 12, 25 5 r r x y en z       5.

a. Twee snijdende lijnen door de top. b. Eén lijn door de top.

(2)

6. a. _{d A F}_{( , )}_ _{(4 0)}_ 2_{ }_{(5 2)}2 _ _{16 9 5}_{ } _en_{d A x as}_{( ,}  _{) 5} _. b. _{( , )} _{( 10 0)}2 _{(26 2)}2 _{100 576 26} _{( ,} ₎ B d B F          y d B x as . c. 2 1 2 2 2 1 4 1 2 1 4 1 2 4 16 2 16 2 ( , ) ( 0) ( 1 2) 1 1 d P F  p  p    p  p  p   p  p   1 4 2 1 2 2 1 2 1 2 16(p 8p 16)  16 (p 4)  4(p 4)4 p  1 yP 7.

a. Stelling van Pythagoras: _{( , )} ₍ ₀₎2 ₍ ₂₎2 2 ₍ ₂₎2

o o o o d P F  x   y   x  y  b. d P r( , ) y_o2 c. _x2_₍_y_₂₎2 _{ }_y ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 ( 2) ( 2) 4 4 4 4 8 x y y x y y y y x y y x             8. a. 2 2 ( , ) ( ) ( , ) d R F  x  y c   y c d R p b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 4 x y c y c x y cy c y cy c x cy            9. a. d P F( , )d P l( , ) c. d P F( , )d P l( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) 4 4 4 4 8 x y y x y y x y y y y x y                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 5) 2 ( 5) ( 2) 10 25 4 4 6 21 x y y x y y x y y y y x y                 b. 1 4

c (zie opgave 8) Brandpunt: 1 4

(0, ) 1 2 1

6 32 y x 

d. met de x-as: y0 met de y-as: x0

2 1 2 1 2 ( 3) 6( 1) 6 3 ( , 0) x x x      2 ( 3) 6 1 6 3 6 3 6 3 6 3 6 (0, 3 6) (0, 3 6) y y y y y en                  e. top: (-1, 3) en brandpunt: 1 1 2 2 ( 1 1 , 3) ( , 3)   x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 6 8 10 -2 -4

(3)

10. a. F(1, 0) en de richtlijn: x 1. b. _y2 _₄_x 4 2 4 2 y  x   x en y x x c. '( ) 2 1 1 2 f x x x    d. '( ) 2 1 1 2 g x x x      '(1) 1 2 1 1 1 f y x b b b y x         1 2 1 2 1 2 1 2 '(4) 4 4 2 2 2 g y x b b b b y x                   11. a. _y2 _₁₂_x__{36 12(}_ _x_{  }_{3) 4 3(}_x_₃₎ richtlijn: x  3 3 0 en brandpunt: (6, 0) b. ' 12 2 12 36 y x   c. 1 2 '(15) y  '(6) 1 y  1 1 1 2( 15) 12 2 42 y x   x d. 1 1 1 2 2 2 0 : 0 4 4 x y    S(0, 1 2 4 ) e. 1 2 4

y ax  en y  12x36 hebben één punt gemeen en in het raakpunt zijn de hellingen gelijk: 12 2 12 36 a x    . 1 2 2 2 3 4 12 12 36 4 2 12 36 2(12 36) 12 9 12 36 12 72 9 12 36 144 1728 5184 81(12 36) 144 2700 8100 0 3 15 ABC formule x x x x x x x x x x x x x x x                           

(kan dit ook eenvoudiger?)

Het raakpunt is 3 4 (3 , 3) en de raaklijn: 1 2 2 4 y  x .

Het product van de richtingscoëfficiënten is -1, dus die staan loodrecht op elkaar.

12.

a. P en Q liggen op de cirkel met middelpunt F(4, 3) en straal r. P en Q liggen ook op de lijn 1

x  r. De afstand van P(Q) tot F is r en ook de afstand van P(Q) tot de lijn x 1 is r.

Het spoor van P (en Q) is dus een parabool. b. Top: 1

2

(1 , 3) brandpunt (4, 3) en richtlijn: x 1.

c. de richtlijn van de parabool is y3. Cirkel: ₍_x_₂₎2_₍_y_₅₎2 __r2_en_y ₃ _r

(4)

13. a. M(-4, 0) en straal 10. b. d P c( , ) r d M P( , ) c. ₁₀_ ₍_x_₄₎2__y2 _ ₍_x_₄₎2_ _y2 d. 2 2 2 2 2 2 100 20 ( x4) y  (x 4) y (x4) y 2 2 2 2 2 2 2 2 100 20 ( 4) 8 16 8 16 20 ( 4) 100 16 x y x x y x x y x y x                e. ₄₀₀₍₍_x_₄₎2__y2_{) (100 16 )}_ _ _x 2 __{10000 3200}_ _x_₂₅₆_x2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 25 9 400( 8 16 ) 10000 3200 256 144 400 3600 1 x x y x x x y x y           14.

a. met de x-as: y0 met de y-as: x0

2 12 2 3 2 3 ( 2 3, 0) (2 3, 0) x x x en       2 9 3 3 (0, 3) (0, 3) y y y en       b. x1 en x 1: x2 en x 2 : 2 1 1 12 9 2 1 11 9 12 2 1 4 1 8 2,87 y y y y       2 4 1 12 9 2 8 1 9 12 2 1 6 2, 45 y y y y      

c. De lengte van de lange as is 4 3 en die van de korte as is 6.

De helft van de lange en korte as is 2 3 12 en 3 9 . En die zie je terug in de vergelijking. 15. a. 9 2 25 2 225x 225y 1 2 2 1 1 25x 9 y 1

b. De lengte van de lange as is 2 25 10 en van de korte as is 2 9 6 . 2 _{25 9 16} 4 4 c c en c       De brandpunten zijn F1(-4, 0) en F2(4, 0). c. 2 2 1 ( , ) ( 4) d P F  x y en 2 2 2 ( , ) ( 4) d P F  x y d. … dit durf ik een leerling niet te vragen

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

(5)

16.

a. De lengte van de lange as is 6 (a3) en die van de korte as is 4 (b2). Het snijpunt van de assen is (3, 4): 1 2 1 2

9(x3) 4(y4) 1 b. Het snijpunt van de assen is (0, 0)

Lengte van de korte as is 4: b2

2 2 2 4 16 20 a b c    1 2 1 2 20x 4 y 1 c. _b2 _₅2_₃2 _₃₄ 1 2 1 2 9x 34 y 1 d. Het snijpunt van de assen is (2, 3).

De lengte van de lange as is 10: a5

2 ₅2 ₃2 ₁₆ b    1 2 1 2 25(x2) 16(y3) 1 17. a. 2 2 2 3 1 8 c    8 2 2

c  Hij moet de paaltjes 4 2 5,66 m uit elkaar zetten.

b. De som van de aftanden van de rand van de ellips tot aan de brandpunten is constant en gelijk aan de lengte van de lange as. Hij heeft dan 6 m touw nodig.

c. 1 2 2 9x y 1 18. a. ₃₅_x2_₂₀_y2 _₅₆₀ 2 2 2 2 35 20 1 1 560x 560y 16x 28 y 1

De lengte van de korte as is 2 16 8 en die van de lange as is 2 28 4 7 .

28 16 12 2 3

c    De brandpunten zijn:

(0, 2 3) en (0, 2 3)

b.

c. Uit de vergelijking van de cirkel volgt: 2 2

25 y  x 2 2 2 2 2 2 35 20 (25 ) 35 500 20 560 15 60 4 2 2 x x x x x x x x              2 2 : 25 4 21 21 21 x y y y          2 2 : 25 4 21 21 21 x y y y         De snijpunten zijn: ( 2, 21), ( 2,   21), (2, 21) en (2, 21) 19. a. _x2_₄₍_{x q}_ ₎2 __x2_₄₍_x2_₂_{qx q}_ 2_{) 20}_ 2 2 2 2 2 2 5 8 4 20 0 8 64 4 5 (4 20) 8 16 400 8 16( 25) 10 10 10 A ABC formule x qx q q q q q q q q x                        x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

(6)

0,8

C

x   q

b. Dan moeten de x-coördinaten van A en B samenvallen. 2 2 25 0 25 5 5 q q q q       

c. De coördinaten van C zijn: ( 0,8 ; 0, 2 ) q q

1 1

4 4

0, 2 0,8

C C

y  q   q  x

De punten van C liggen dus op de lijn: 1 4 y  x 20. a. d P c( , ) PM r b. ₍_x_₅₎2__y2 _ ₍_x_₅₎2__y2 _₆ c. ₍_x_₅₎2__y2 __{( (}_x_₅₎2__y2 _₆₎2 _₍_x_₅₎2__y2__{12 (}_x_₅₎2__y2 _₃₆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 9 16 10 25 10 25 12 ( 5) 36 12 ( 5) 20 36 144(( 5) ) (20 36) 144( 10 25 ) 400 1440 1296 256 144 2304 1 x x y x x y x y x y x x y x x x y x x x y x y                              21.

a. Het snijpunt van de asymptoten is (0, 0). De toppen van de hyperbool ligt dus op één van de assen. 2 0 9 x y     2 0 4 2 2 y x x x       De toppen zijn dus: (-2, 0) en (2, 0)

b. ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ 2 ₂ ₁ 2 ₂ _{9 4} 2 ₂ 4x 9(mx)  4x m9 x  (4 m9 )x  36m x 1 2 2 2 2 36 9 4 36 36 9 4 9 4 m m m x x x         c. Als 2

9 4 m 0 heeft de hyperbool geen snijpunten met de lijn y mx . De lijn y mx is dan de asymptoot van de hyperbool.

2 2 9 4 1 1 2 2 4 9 1 1 m m m m       d. Voor 1 1 2 2 1 m 1

   zijn er twee snijpunten.

e. _c2 __a2__b2 _{  }_{4 9 13}

(7)

22.

a. Toppen: ( 2, 0) en ( 2, 0)

Brandpunten: ( 10, 0) en ( 10, 0).

b. Eén asymptoot gaat door (0, 0) en ( 2, 2 2) ; die ligt op de lijn: y2x De andere gaat door (0, 0) en ( 2, 2 2): die ligt op de lijn: y 2x

23. a. PF1  PF2  (x3)2y2  (x3)2y2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 (x3) y  (x3) y 4  (x3) y  (x3) y  4 b. ₍_x_₃₎2__y2 _{ }₄ ₍_x_₃₎2__y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 5 ( 3) (4 ( 3) ) 16 8 ( 3) ( 3) 6 9 16 8 ( 3) 6 9 12 16 8 ( 3) (12 16) 64(( 3) ) 144 384 256 64( 6 9 ) 64 384 576 64 80 64 320 1 x y x y x y x y x x y x y x x y x x y x x y x x x x y x x y x y x y                                               c. De toppen zijn: (-2, 0) en (2, 0) d. PF1  PF2  (x3)2y2  (x3)2y2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 35 ( 3) 1 ( 3) ( 3) (1 ( 3) ) 1 2 ( 3) ( 3) 6 9 1 2 ( 3) 6 9 12 1 2 ( 3) (12 1) 4(( 3) ) 144 24 1 4( 6 9 ) 4 24 36 4 140 4 35 4 x y x y x y x y x y x y x x y x y x x y x x y x x y x x x x y x x y x y x y                                                    1 24. a. asymptoot: y x dus b 1 a  Door (3, 0) dus 2 2 2 9 1 ₉ 1 ₀ ₁ a    b a 

Uit de tweede vergelijking volgt: _a2 _₉

a  3 a3. En dan is ook b  3 b3

2 2

1 1

(8)

b. De toppen van de hyperbool liggen nu op de y-as. Door (0, 4) dus 2 2 2 16 1 ₀ 1 ₁₆ ₁ a   b    b 2 ₁₆ 4 4 b b b 

    en ook nu weer geldt a b

2 2

1 1

16 x 16 y  1

25.

a. De asymptoten zijn y x en y x . Dat wil zeggen: a b

Door (26, 10): 2 2 2 676 100 576 ₁ a  a  a  2 576 24 24 a a a      2 2 1 1 576x 576y 1 b. _c2 _₂₄2_₂₄2 _₁₁₅₂ 24 2 24 2 c   c De brandpunten zijn: F1( 24 2, 0) en F2(24 2, 0) 26. a. _y2_₁₂_y_₄_x 2 2 12 36 4 36 ( 6) 4( 9) y y x y x       

b. De verschuiving is 9 naar links en 6 omlaag.

27.

a. Het snijpunt van de symmetrie-assen is (4, -5)

De toppen liggen op de lijn y 5: _c2 __{16 9 25}_{ } 2 1 2 ( 4) 16 4 4 4 4 0 8 (0, 5) (8, 5) x x x x x T en T              1 2 5 5 4 : ( 1, 5) (9, 5) c c en naar rechts B en B       

De helling van de asymptoten is: 9 3 3 16 4 en 4    en ze gaan door (4, -5): 3 4 3 4 3 4 5 4 3 2 2 y x b b b b y x                 3 4 3 4 3 4 5 4 3 8 8 y x b b b b y x             b. De toppen: (-5, 0) en (-5, 8) De brandpunten: (-5, -1) en (-5, 9) De asymptoten: 3 4 2 x  y en 3 4 8 x y 3 4 1 2 3 3 2 1 2 y x y x       3 4 1 2 3 3 8 1 10 y x y x    

(9)

28. a. 1 2 1 2 25x 9 y 1 b. _c2 _₅2_₃2 _₁₆ 1 2 4 4 ( 4, 0) (4, 0) c c B en B     

c. De brandpunten worden dan (-1, -2) en (7, -2)

De vergelijking van de nieuwe ellips: 1 2 1 2 25(x3) 9(y2) 1 29. d P y( , 10)d P F( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 2 2 10 ( 2) ( 6) ( 10) 20 100 4 4 12 36 8 4 60 7 y x y y y y x x y y y x x y x x                        30. a. 2 2 4 10 16 5 0 x  y  x y  2 2 2 2 2 2 1 1 36 9 10 25 4( 4 4) 25 16 5 36 ( 5) 4( 2) 36 ( 5) ( 2) 1 x x y y x y x y                 

b. Het snijpunt van de symmetrie-assen is (-5, -2)

De lengte van de lange as is 12 en die van de korte as is 6. De toppen zijn: (-11, -2), (-5, 1), (1, -2) en (-5, -5) 2 2 6 3 3 3 c   : de brandpunten: ( 5 3 3, 2)   en ( 5 3 3, 2)   c. 1 2 1 2 36(x5) 9(y2) 1 31. a. _y2__x2_₆_y_₄_x_₀ 2 2 2 2 2 2 1 1 5 5 ( 4 4) 6 9 4 9 ( 2) ( 3) 5 ( 2) ( 3) 1 x x y y x y x y                   

b. Het snijpunt van de symmetrie-assen is (-2, 3)

5 5 10

c   De brandpunten: ( 2, 3  10) en ( 2, 3  10). Toppen: ( 2, 3  5) en ( 2, 3  5)

c. De helling van de asymptoten is 5 5 1

   en 1 en ze gaan door (-2, 3)

1

(10)

32.

a. Het snijpunt van de assen is (3, -2)

De lengte van de lange as is 14 en die van de korte as is 10.

2 2

1 1

49(x3) 25(y2) 1

b. 2 2

7 5 2 6

c   dus de brandpunten zijn: B1(3 2 6, 2)  en B2(3 2 6, 2)  .

c. x en y worden dan omgewisseld: 1 2 1 2

49(y3) 25(x2) 1 d. Ook dan worden de x- en y-coördinaat omgewisseld.

33.

a. Het snijpunt van de symmetrie-assen is (0, 0) De toppen zijn: (-2, 0) en (2, 0)

4 5 3

c   de brandpunten zijn: (-3, 0) en (3, 0)

b. Het snijpunt van de symmetrie-assen van k is (10, 3). De hyperbool is 10 naar rechts en 3 omhoog verschoven.

c. Spiegelen in de lijn x5 en dan 3 omhoog verschuiven.

d. k: 1 2 1 2

4(x10) 5(y3) 1