Blok 3:
Vaardigheden.
1.a. grafiek 1: h(x) x 3 grafiek 2: g(x) x 2 grafiek 3: j(x) 2 x grafiek 4: f(x) x grafiek 5: i(x) 2logx
b. Het domein van h(x), g(x) en j(x) is ¡ . Het domein van f(x) is 0, en dat van i(x) is 0,
Het bereik van h(x) en i(x) is ¡ . Het bereik van g(x) en f(x) is 0, en het bereik van j(x) is
0, .
c. Zowel het domein als het bereik van k(x) is ¡ \ {0}.
d. De grafiek van p(x) is het spiegelbeeld van de grafiek van g(x) in de x-as. Het bereik van p(x) is dus ,0.
e. u(x) x en q(u)2 1 u
f. Het domein is ¡ \ {0} en het bereik 0, .
2.
a. Het bereik van f is 1, .
b. x2 0 voor alle waarden van x, dus de vergelijking kan geen oplossingen hebben.
3.
a. Voer in: y12 en yx 2 5x intersect: (0.24, 1.18)
b. De grafiek van g(x) stijgt constant, terwijl de grafiek van f toenemend stijgend is. Bij bijvoorbeeld x 1 is f(x) g(x) , dus er is nog een snijpunt.
4.
a. x4 1 1 voor alle waarden van x en x20 voor alle waarden van x. b. Voor 0 x 1 is logx 0 en x3 0 en hebben ze dus geen snijpunt.
3
1 1 en log1 0 . De machtsfunctie stijgt veel sneller dan de logaritmische functie, dus ook
voor x 1 hebben ze geen snijpunt. c. x2 x voor x 0
x voor x 0
De kwadratische vergelijking stijgt sneller dan x. d. 12 0
x voor alle waarden van x.
5. als we toch gaan plotten (antwoordenboek) kunnen dit ook deels algebraïsch doen.
a. 2 2x 1 3x b. x 1 2 x c. x1 1 2 4(2x 1) 9x x 1 (2 x) 2 4 4x x 2 x 1 2 ABC formule 9x 8x 4 0 D 0 2 ABC formule x 5x 3 0 x 0,70 x 4,30
d. De functies y 2logx en y 2 x zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y x (elkaars inverse functie). Er zijn geen snijpunten.
e. In een plot kun je zien dat er een snijpunt is. Verder is y 0,5 x een dalende functie en y x een stijgende functie. Er is dus geen tweede snijpunt.
f. 21 2
x 1
2 1
2
x 1 en deze heeft geen oplossing want x2 1 1 voor alle waarden van x.
6. a. u(x) 2x 4 en f(u) u 5 f'(x) 2 5u 4 10(2x 4) 4 b. u(x) 3x 2 en f(u) 22 2u 2 u f'(x) 3 4u 3 12 3 (3x 2) c. y'(x) 2 4u36x 8(5 2x) 36x d. 2 2 2 2 2 2x 4x x y' 4x 1u (2x 1) 2 x 1 x 1 7. a. f(x) x x x x 23 2 31 x231 1 131 1 3 3 3 f'(x) 2 x 2 x x b. f(x)3 2x (x )2 13 x23 1 3 1 3 2 2 3 3 3 1 2 f'(x) x 3 x x c. f(x) 1 x 21 x 21 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 f'(x) x 2x x x d. f(x) (2x x)2 (2x x)(2x x) 4x 24x x x f'(x) 8x 6 x 1 e. f(x) x4 3x x x 34 1 4 1 4 3 3 4 4 4 1 1 1 1 3 f'(x) x 2 x 2 x x 2 x 4 x f. f(x) 1 (x 2) 21 x 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 f'(x) (x 2) 2(x 2) x 2 (x 2) 8. a. 1 2x 0 1 2 2x 1 x
Het domein is ¡ \ { }12 en het bereik: ¡ \ {0} b./c. g(x) 3 3(1 2x) 1 1 2x 2 2 6 g'(x) 3 1(1 2x) 2 (1 2x)
De noemer is altijd groter dan 0 (kwadraat) en dus g'(x) 0 voor alle waarden van x.
De grafiek van g is stijgend.
d.
-9.
a. y 1 x is dalend; 1 x is dan ook dalend. De grafiek van f is dalend.
c. u(x) 1 x en f(u) 3 u f'(x) 1 1 1 2 u 2 1 x
d. De grafiek van f’(x) ligt in z’n geheel onder de x-as (f'(x) 0
), dus de grafiek van f is dalend.
De grafiek van f’(x) wordt steeds groter negatief, dus de helling wordt steeds groter negatief: toenemend dalend. 10. a. q(t) 5 5(t 3) 1 t 3 2 2 5 q'(t) 5 1(t 3) (t 3)
Het domein van q is: t 3 q'(t) 0 voor alle waarden van t dus q is dalend op zijn domein. b. p'(t) 2t2
2 t 4
Voor t 0 is de afgeleide van p negatief en voor positieve waarden van t
is p'(t) 0 . De grafiek van p is dalend tot t 0 en vervolgens stijgend. Voor t 0 is er een
minimum. c. A(t) 25 5(t2 5) 1 t 5 2 2 2 2 10t A'(t) 5 1(t 5) 2t (t 5) De grafiek is dalend op het interval 0, en stijgend op ,0 .
11.
a. punten van symmetrie: (0, 0), ( , 0) , (2 , 0) , …
symmetrieassen van g: x 0, x , x 2 , ...
b. sin( a) sin a c. cos( a) cos a
d. sin(2 t) sin( t) sin t cos(2 t) cos( t) cost
1 2 sin( t) sin t cos( t) cost
sin( t) sin t sin( t)
12.
a. sin 61 21, klopt.
b. x 61 65 , x 61 2 2 , x16 65 2 265 .
c. cost 0 d./e. cos(t 31 ) 0
1 1 2 2 t t 1 13 12 31 21 1 1 6 6 t t 1 t t 1 13. a. sin x 21 b. 2sin2x 1 5 5 1 1 6 6 6 6 x , x , x 1 , x 1 1 2 sin2x 5 1 6 6 5 1 12 12 7 7 11 11 1 12 12 12 12 12 5 1 5 2x 2x x (periode : ) x 1 , x 1 , x , x , x , x , x 1 , x 1 x y 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6
c. cosx 1 d. cos3x 1 x x 3x 0 2 3 1 2 2 3 3 3 1 3 x 0 (periode : ) x 2 , x 1 , x , x 0, x x 1 , x 2 14.
a. f(t) sin(7 t) sin( t) sint c. h(t) sin( 3 t) sin( t) sin t
b. g(t) cos( 2 t) cos( t) cost d. k(t) sin( t 23 ) sin( t ) sin t
15.
a. amplitude: 1 evenwichtsstand: y 0 periode: 2 2 b. amplitude: 0,3 evenwichtsstand: y 0 periode: 2
1 2 c. amplitude: 3 evenwichtsstand: y 2 periode: 2
1 2 d. amplitude: 1 evenwichtsstand: y 2 periode: 1
2
2 4
16.
a. Er geldt: 0,3 0,3cos( x) 0,3 .
b. 1. Twee oplossingen op één periode. Op 0, 4 zijn er dan 4 2 8 oplossingen. 2. Geen oplossingen. Er geldt: 1 3cosx 2 5 .
3. Twee oplossingen op één periode. Op 0, 4 zijn er dan 2 2 4 oplossingen. 4. Geen oplossingen. Er geldt: 1 sin2(x 21 ) 1.
5. Twee oplossingen op één periode. Op 0, 4 zijn er dan 2 2 4 oplossingen. 6. Eén oplossing op één periode. Op 0, 4 zijn er dan 2 oplossingen.
17. a.
b. Voor beide grafieken geldt dat het maximum 1 is en het minimum 0: D1 02 21 en A1 02 12. Ook de periode van beide is gelijk, : B 2 2
.
Het ‘startpunt’ van g(x) sin x 2 is 1 4, dus
1 1 1
2 4 2
g(x) sin2(x en het ‘startpunt’ van) 2
h(x) cos x is 34, dus 1 3 1
2 4 2
h(x) sin2(x .)
c. s(x) sin x cos x 1 2 2
18. De loodrechte projectie van P op de x-as noemen we Q.
In driehoek OPQ geldt de stelling van Pythagoras: sin x cos x 12 2
x y 0,5 1,5 0,5 1 1,5 -0,5 sin2x cos2x
19. f(x) (sinx cos) 2(sinx cos) 2sin x 2sinxcos2 cos x sin x 2sinxcosx cos x2 2 2 2 2sin x 2cos x 2(sin x cos x) 22 2 2 2
20.
a./c. v(x) (1 sin x) (1 sinx) 1 sin x 1 sin x 2sinx en deze is periodiek.
b. De periode van v(x) is 21 2 .
d. p(x) (1 sin x) (1 sinx) 1 sin x sinx sin x 1 sin x 2 2
De periode f is 2 en de periode van g is ook 2. Het product van f en g is dan ook een sinusoïde met periode 2.
