Hoofdstuk 8:
Exponentiële en logaritmische functies
V-1.
a. Er is sprake van een procentuele afname per jaar, dus exponentieel.
b. 12 100 1 0,88 jaar g en 2 2jaar 0,88 0,7744 g c. N t( ) 75000 0,88 t d. N(6) 75000 0,88 6 34830 vlinders. e. 75000 0,88 t 10000 Voer in: 1 75000 0,88 x y en y2 10000 Intersect: x 15,76 In het jaar 2018 zullen er nog 10000 vlinders over zijn.
V-2. a. 2,312 1,517 half jaar g en 2,314 1,231 kwartier g b. 2,3601 1,01398 minuut g V-3.
a. gjaar 1 1003,5 1,035 g10jaar 1,03510 1,411. Een toename van 41,1% per 10 jaar.
b. 80
17uur 1 100 1,80
g 171 6
6uur (1,80 ) 1,231
g Een toename van 23,1% per 6 uur. c. g5jaar 2 1 5 3 3jaar (2 ) 1,516 g V-4.
a. 3log(8)3log(5) 3log(8 5) 3log(40)
b. 2 2 2 18 2
3
log(18) log(3) log( ) log(6)
c. 3log(6) 2 3log(5) 3log(6)3log(5 )2 3log(6 25) 3log(150)
d. 3 3 3 3 3 2 3 64 3
4
3 log(4) 2 log(2) log(4 ) log(2 ) log( ) log(16)
V-5.
a. 2
2 1 2 1 2 2
4 2
log( ) log( ) log(2 ) 2
b. 0,5log(4) 0,5log(2 )2 0,5log((0,5 ) )1 2 0,5log(0,5 )2 2 c. 0,25log(0,5) 0,25log(0,25 ) 0,50,5
d. 2 2 2 12 2 212 1
2 log(4 2) log(2 2 ) log(2 ) 2 e. 0,5log(0,25) 0,5log(0,5 ) 22
f. 8 8 2 8 3 23 8 23 2
3 log(4) log(2 ) log((2 ) ) log(8 )
V-6. a. t 2log(3) b. 2t 1 3log(7) c. 1 2 3 ( ) t 9 3 3 1 1 2 2 2 1 log(7) log(7) t t 1 2 1 2 ( ) 3 log(3) t t d. 3x 2 24 e. 2 1 log( x) log(3) x f. 3log(4 )x2 3log(3x) 3 18 6 x x 2 3 3 3 x x x 2 3 4 4 3 (4 3)( 1) 0 1 x x x x x x
V-7. a. b. f(8) 3 , f(4) 2 , f(2) 1 , f(1) 0 en 1 2 ( ) 1 f c. De grafiek gaat dan door de punten: (3, 8), (2, 4),
(1, 2), (0, 1) en 1 2 ( 1, ) d. y 2x V-8. a. 2 1,5 log( ) log(1,80) H 1,50 1,5 log( ) 2,26 log( ) 1,50 10 31,9 H H H m
b. Neem een diameter van 360 cm. De hoogte wordt dan ongeveer 50,6 m, en dat is niet twee maal zo hoog.
c. log( )D 2 1,5 log( ) H
2 1,5 log( ) 2 1,5 log( ) log( ) 1,5 1,5 10 H 10 10 H 0,01 (10 H ) 0,01 D H 1. a. 4( ) 24 (2 )4 16 t t t f t b. 8t (2 )3 t 23t a3 c. 1 1 2 ( )t (2 )t 2 t y a 1 1 1 2 2 ( 2)t (2 )t 2 t y 1 2 a d. g t( ) 7 t (2 )a t 2a 7
Voer in: y12x en y2 7 Intersect: a2,8
x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 f
2. a. 0,5log(5) 2,32 ( ) 2 5t 2 ((0,5) )t 2 (0,5) t f t b. h t( ) 4 (10 ) a t 4 2,8t 10 2,8 log(2,8) 0,45 a a c. k t( ) 3 0,75 t 3 (10log(0,75))t 3 100,12t en 2 3 log( ) 0,18 2 3 ( ) 5 ( )t 5 (10 )t 5 10 t m t
d. Je moet oplossen 10a g. De oplossing daarvan is alog( )g . En deze is negatief
als 0 g 1. 3. a. f t( ) 100 2t (10 )2 2t 104t b. g(x) 3 2 3x 3 (10log(2) 3) x 3 100,90x c. h s( ) 0,7 3s (10log(0,7) 3) s 100,46s d. k t( ) 500 1,95 4 1t 500 1,95 1(10log(1,95) 4) t 256,41 10 1,16t 4. f t( ) 2 at b 2at2b 2 (2 )b a t a. b0 en a 1 b. 2b 32 2 5 en 2a 5 b5 en a 2log(5) c. 2b 4,5 en 2a 0,6 b 2log(4,5) en a 2log(0,6) d. 1 2 1 2 2 1 9 3 t 3 3 t 3 (3 )t 3 ( )t y 2b 3 en 1 9 2a b 2log(3) en 2 1 9 a log( ) 5. a. 1,5 101 1,0 ( ) 1,04 1 5 1,8 1,5 ( ) 1,04 1 5 2,2 1,8 ( ) 1,04 1 5 2,7 2,2
( ) 1,04: De groeifactor per jaar is 1,04. b. P t( ) 1,0 1,04 t c. 1,0 1,04 t 2,0 1,04 1,04 2 log(2) 17,7 jaar t t d. 2log(1,04) 2log(1,04) 0,0566 ( ) 1,0 1,04t 1,0 (2 )t 1,0 2 t 1,0 2 t P t e. b2aT 2b 1 2 2 2 1 aT aT 6. a. G(20) 1450 2 0,5 2051 gram b. 1 7 0,1 1,5 0,014 1,5 1450 2 t 1450 2 t G c. 1450 2 0,1 1,5t 5000 0,1 1,5 2 2 3,448 0,1 1,5 log(3,448) 1,786 0,1 3,286 32,86 t t t t Na bijna 33 weken. d. G1450 2 0,1 1,5t 1450 2 0,1t21,5 1450 2 1,5(2 )0,1 t 512,65 1,07 t
7. a. 2 2 2 1 1 3 ( ) 3 t 3 t 3 3 (3 )t 9 ( )t f t b. 3 1 3 1 1 3 1 6 ( ) 6 t 6 t 6 6 (6 )t 216t f t c. 1 1 4 1 1 1 4 1 1 4 2 2 2 2 2 ( ) 124 ( ) t 124 ( ) ( ) t 124 (( ) )t 62 16t f t d. 0,5 0,5 3 2 0,5 3 3 3 0 3 4 ( ) 4 2 (2 ) 2 2 2 2 2 2 2 8 2 t t t t t t t t f t 8. a. Voer in: 1 2 x y en y0 dxd ( ) |y1 X x
b. 0,691,39 2,771,39 5,552,77 11,095,55 11,0922,18 2. De groeifactor is constant, dus de groei is exponentieel met groeifactor 2.
c. De beginwaarde van de hellingfunctie is 0,69: f x'( ) 0,69 2 x
d. g x'( ) 1,10 3 x en h x'( ) 0,36 0,7 x
e. Als g 1 dan zijn de constanten groter dan 0 en als 0 g 1 dan zijn de constanten negatief. 9. a. 0,001 0,001 0,001 0,001 ( 0,001) ( ) ( 1) 1 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 x x x x x x f x f x g g g g g g g g g b. Voer in: 0,001 1 1 0,001 x y : c. c2,72 1 d. '( ) 2,72 2,72 1 2,72 2,72 ( ) x x x f x c f x 10. f x'( ) 3 0,92 0,4 x 2,75 0,4 x en f'(2) 0,44 11. a. kettingregel: u x( ) 3 x en y u( )eu u x'( ) 3 en y u'( )eu f x'( ) 3 eu 3e3x b. kettingregel: f x'( ) 2e2x c. kettingregel: f x'( ) 3e5 3 x d. productregel: f x'( ) 3 x e2 x2 x32xex2 (3x2x e3) x2
e. 2 keer de kettingregel: f x'( ) 2cos(2 ) x e sin(2 )x
f. quotiëntregel: 2 2 2 2 ( 1) 2 (2 3) (2 2 ) (2 3 ) '( ) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x e e e e e e e e f x e e 2 2 2 2 2 2 2 3 5 ( 1) ( 1) x x x x x x x e e e e e e e x 0 1 2 3 4 5 y1 1 2 4 8 16 32 y0 0,69 1,39 2,77 5,55 11,09 22,18 g 2 3 4 5 6 7 cg 0,69 1,10 1,39 1,61 1,79 1,95 g 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 cg 0,79 0,88 0,96 1,03 1,10 1,16
12. a. f x'( ) (2 x4) ex 2ex ( 2x2)ex De helling in (0, 4) is f'(0) 2 b. f x'( ) 0 2 2 0 0 1 x x e x De uiterste waarde is f( 1) 2 e c. d. f x"( ) ( 2 x 2) ex 2xex (2x 2 2)ex 2xex "( ) 0 0 (0, 4) f x x e. y 2x4 13. a. h1,2 0,001 t b. p1000e0,14 (1,2 0,001 ) t 1000e0,168 0,00014 t c. u 0,168 0,00014 t en p u( ) 1000 eu ' 0,00014 u en p u'( ) 1000 eu 0,168 0,00014 '( ) 0,00014 1000 u 0,14 t p t e e 0,168 '(0) 0,14 0,12
p e mb/s. De druk neemt af met 0,12 mb/s.
14. a. e3x5 e2 b. 2 2 e2x 0 c. (3x1)ex10 1 3 3 5 2 3 7 2 x x x 2 2 2 2 1 0 x x e e x 1 3 3 1 0 3 1 x x x d. e2x ex2 0 e. 2 1 1 x x e e f. e2x e 2 2 2 2 2 x x e e x x x 2 1 2 1 3 1 x x e e x x x 1 2 2 1 ( ) 1 x x e e e e e x 1 3 x 15. a. 0 75 1 2 (0) e 25 n b. c. 0,2 0,2 0,2 2 0,2 2 75 ( 0,2 ) 30 (1 2 ) (1 2 ) t t t t dN e e dt e e d. n'(5) 3,66 vliegjes/dag. e. Voer in: 0,2 1 0,2 2 30 (1 2 ) x x e y e
maximum: 3,75 vliegjes per dag na ongeveer 3,5 dag.
tijd (in dagen) vliegjes 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -10 x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 -1 buigpunt
16.
a./b.
c. Als je punt (a, b) spiegelt in de lijn y x krijg je het punt (b, a). Punten op g: (1, 0), (e, 1) en (e2, 2).
d. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot: y 0, en die van g heeft een verticale asymptoot: x 0. e. Dg :x0 17. a. b. f x'( ) 1 x 18.
a. y ln( )x elog( )x , dus x e y (rekenregel)
b./c. x e y eln( )x
Aan beide kanten differentiëren: 1 (ln( ))' x eln( )x (ln( ))'x x
Dus (ln( ))'x 1 x 19. a. g x'( ) 4 x g'(2) 2 b. 1 2 4 x 8 (8, 4ln(8) 3) x 20. a. f x'( ) 5 x b. kettingregel: u x( ) 7 x en y u( ) ln( ) u '( ) 7 1 7 1 7 g x u x x c. quotiëntregel: h x'( ) x 1x ln( ) 1 1 ln( )2 x 2 x x x d. productregel: k x'( ) 1 ln( )x x 1 ln( ) 1x x e. productregel of kettingregel: l'(x) 1 ln( ) ln( )x x 1 2ln( )x x x x f. kettingregel: m x'( ) 12 2x 2 x x g. quotiëntregel: 2 1 2 2 ln( ) 2 2 xln( ) '( ) ln ( ) ln ( ) x x x x x x n x x x x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 f(x) 1 2 3 4 5 f'(x) 1 1 2 31 14 51
h. kettingregel: u x( ) ln( ) x en p u( ) ln( ) u '( ) 1 1 1 ln( ) p x x u x x 21. u x( )kx en f u( ) ln( ) u f x'( ) k 1 k 1 u kx x 1 '( ) g x x 22. a. 7 2ln( x4) 1 b. ln (52 x2) 9 3 3 2ln( 4) 6 ln( 4) 3 4 4 x x x e x e 3 3 3 3 3 1 3 2 1 2 1 5 5 5 5 ln(5 2) 3 ln(5 2) 3 5 2 5 2 5 2 e 5 2 e x x x e x e x x e x x e c. ln ( ) 4ln( ) 02 x x d. ln(ln(x)) 2 4 ln( )(ln( ) 4) 0 ln( ) 0 ln( ) 4 1 x x x x x x e 2 2 ln( ) e x e x e 23. a. 2 ln( ) 0 x b. f x( ) 0 2 2 ln( ) 2 : 0 en f x x e D x x e 0 2 ln( ) 0 1 ( ) 0 voor 1, x x e f x x e c. 5 5 5 2 5 7 ( ) f e , 20 20 10 2 20 11 ( ) f e en 1000 1000 500 2 1000 501 ( ) f e
Als x in de buurt van 0 komt, nadert de y-waarde naar –1: (0, -1) is een asymptotisch punt.
d. x e 2 is de verticale asymptoot en y 1 is de horizontale asymptoot. e. ln( ) ln( ) 1 1 2 2 2 2 (2 ln( )) ln( ) ( ) 2 '( ) (2 ln( )) (2 ln( )) (2 ln( )) x x x x x x x x x f x x x x x f’(x) wordt nooit 0. 24.
a. x2 1 0 dit geldt voor alle waarden van x, dus :
f D ¡ . b. '( ) 21 2 22 1 1 x f x x x x 1 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 0 2 3 2 3 x x x x x x x x d. Voer in: 1 2 2 1 x y x
25. a. 2 2 ln( 1) ( ) log( 1) ln(10) x g x x b. 4 4 4 1 2 2 ln( )
( ) log( ) log(2) log( )
ln(4) x h x x x 26. 1 ln(2) 1 '( ) f x x 27. a. 1 ln(6) ( ) ln( ) f x x 1 ln(6) 1 '( ) f x x b. 2 2 1 2 ln(2) ( ) log( 1) ln( 1) f x x x 1 ln(2) 2 2 '( ) 1 x f x x c. 5 1 ln(5) ( ) log(2 4) ln(2 4) f x x x 1 ln(5) 2 '( ) 2 4 f x x d. 3 3 3 3 1 ln(3) 2
( ) log( ) log(2) log( ) log(2) ln( )
f x x x x 1 ln(3) 1 '( ) f x x 28. a. f x( )g x( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
log(5 ) 2 log( ) log(4) log( ) log(5 ) log( ) log(5 ) log(4)
5 x 4 5 4 ( 1)( 4) 0 1 4 (1, 2) (4, 0) x x x x x x x x x x x x x x A B
b. CD l p ( ) 2log(5p) (2 2log( ))p 2log(5p) 2 2log( )p 2log(5p p 2) 2
c. 1 ln(2) 2 5 2 '( ) 0 5 p l p p p 1 2 5 2 0 2 5 2 p p p 29. a. aln(3) b. kettingregel: u x( ) ln(3) x en f u( )eu '( ) ln(3) u x en f u'( )eu f x'( ) ln(3) eu ln(3)eln(3)x ln(3) 3 x c. f x( ) 2 x1(eln(2))x1eln(2) x ln(2) f x'( ) ln(2) 2 x1 d. 1 ln( )12 2 ( ) 3 ( )x 3 x g x e 1 2 ln( ) 1 1 1 2 2 2 '( ) 3 ln( ) x 3ln( ) ( )x g x e
30. a. f x'( ) ln(4) 4 x d. j x'( ) 3ln(2) 2 3x b. 1 1 1 3 3 3 '( ) ln( ) ( )x ln(3) ( )x g x e. k x'( ) 3 2ln(4) 4 2x16ln(4) 4 2x1 c. h x'( ) 7ln(0,45) 0,45 x f. m x'( ) 1 5 x x ln(5) 5 x 5 (1x xln(5)) 31. a. f x'( ) 2 x4x x2ln(4) 4 x x 4 (2x xln(4)) b. x4 (2x xln(4)) 0 2 ln(4) 0 ln(4) 2 x x x 32. a. 0,012 100 1 0,99988 g b. C t14( ) 0,14 0,99988 t c. 14'( ) 0,14 ln(0,99988) 0,99988 1,68 10 5 0,99988 t t C t 5 14'(50) 1,67 10 C mg/jaar. d. 0,99988t 0,02 0,99988log(0,02) 32598 t jaar. 33.
a. Q(0)1 10 330e0 33011 30 en als t heel groot
wordt, wordt e0,3818t vrijwel gelijk aan 0. Q wordt dan ongeveer 330.
b. 3300,3818 110 1 10 e t 0,3818 0,3818 0,3818 ln(0,2) 0,3818 1 10 3 10 2 0,2 4,22 jaar t t t e e e t c. Met de quotiëntregel: 0,3818 0,3818 0,3818 0,3818 2 0,3818 2 (1 10 ) 0 330 0,3818 10 1259,94 (1 10 ) (1 10 ) t t t t t dQ e e e dt e e
d. Zowel de teller als de noemer is voor alle waarden van t positief; dus dQ
dt is altijd
positief en dus is Q stijgend.
34. a. 1 ln( ) '( ) ln( ) x x ( ) a a a F x a a a f x b. ( ) 2x ( ln(2))x xln(2) a f x e e , dus aln(2) c. 1 2( ) ln(2) 2 x F x
tijd (in jaren) Q 5 10 15 20 50 100 150 200 250 300 350 -50
35. a. ( ) ln( ) voor 0 ln( ) voor 0 x x h x x x b. h x'( ) 1 x c. h x'( ) 1 1 1 x x 36. a. '( ) 3 1 1 3 f x x x (voor x 0) '( ) 5 1 1 5 g x x x (voor x0) b. F'(x) a 1 1 ax x (als ax 0) en F'(x) a 1 1 ax x (als ax0)
c. F x( ) ln | ax| C ln | | ln | | Ca x . Hierin is ln | |a C een constante die in de afgeleide wegvalt. 37. a. 1 ln(10) ( ) 10x F x d. 1 7 7ln(5) ( ) 12 5 x K x x b. G x( ) 4ln | |x e. 1 2 3 2 1 ( ) 3 l x x x 1 1 3 1 ( ) 3 L x x x c. 3 5 ( ) ln | | H x x f. 1 2 ( ) 2 ln | 2 3 | M x x 38. a. 1 3 5 3 ( ) x F x e d. 1 2 1 2 3 3 ( ) x x f x e e 1 2 1 2 6 6 ( ) x x F x e e b. f x( )eln( )x x 1 2 2 ( ) F x x e. 1 2 1 1 4 2ln(3) 4 ( ) 3 x F x x c. f x( )e2x 1 1 2 2 ( ) x F x e x 39.
3 3 3 4 0 0 8 8ln | 4 | 8ln(7) 8ln(4) 8ln(1 ) 4 Opp dx x x
40. a./b. c. 1 1 0,5 0,5 0,5 0 0 (1) 2 x 4 x 4 4 A
e dx e e d. 0,5 0,5 0,5 0 0 ( ) 2 4 4 4 p p x x p A p
e dx e e e. A p( ) 16 0,5 0,5 4 4 16 5 2ln(5) p p e e p f. 2e0,5x 8 2ln(4) 2ln(4) 0,5 0,5 0 0 (8 2e x) 8 4 x Opp
dx x e 0,5 ln(4) 2ln(4) x x 16ln(4) 16 4 16ln(4) 12 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 -241. a. ( ) 6 13 3(2 5) 2 3 2 2 5 2 5 2 5 x x f x x x x b. f x( ) 0 1 6 6 13 0 6 13 2 x x x
1 6 1 6 0 0 1 2 2 3 2 2 6 13 3 ln | 2 5 | ln(5) ( 6 ln( )) 2 5 x Opp dx x x x
1 2 2 15 6 ln( ) 42. a. b. F x'( ) 2ln( )x 1 2ln( )x f x( ) x x c. 2 1 1 2ln( ) ln ( ) 1 e e x dx x x
43. a. 1 2 1 ln( ) '( ) 2 ln( ) x h x x x x b. F x'( ) 1 ln( )x x 1 1 ln( ) 1 1 ln( )x x x c. ln( ) 2 ln( )x x g x( ) 0 2ln( ) 2 ln( ) 1 x x x e 2 ln( ) 2x x e
2 2 2 1 1 ln( ) (2 ln( )) ln( ) 2 ( ln( ) ) 1 2 e e e e e e Opp
x dx
x dx x x x x x x x e e 44. a. f x( )g x( ) c. fp'( )x 2p 6x x 2 2 2 ln( ) 3 3 2 ln( ) 0 ln( ) 0 1 en 3 p x x x p x x x y 1 6 1 12 '(1) '(1) (2 6) 6 1 2 6 3 p f g p p p b. g x'( ) 6x en g'(1) 6 d. fp'( ) 0x fp( 13p) 0 2 2 1 3 1 1 3 3 2 6 6 2 p x x x p x p x p x p 1 1 3 3 1 3 1 1 3 2 1 3 2 ln( ) 3 0 (2ln( ) 1) 0 0 ln( ) p p p p p p p p e p3e x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 -1 -2 -345. a. 1 1 3 1 1 2 ln(3) 0 ln(3) ln(3) ln(3) 0 3x 3x Opp
dx b. 2 2 ln(3) ln(3) 1 3 3 blauw Opp c. De functies f en g zijn elkaars inverse functie en de gebieden zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y x. d. 3 3 1 7 ln(2) 0 ln(2) 0 (8 2 )x 8 2x 24 Opp
dx x 46. a./b. I t'( ) (4 6 ) t e 2t (4t 3 ) 2t2 e2t (4 6 ) t e 2t ( 8t 6 )t2 e2t 2 2 2 2 1 3 (6 14 4) 0 6 14 4 0 0 2 t t ABC formule t t e t t e t t De stroomsterkte is maximaal 2 3 0,51 e mA op 1 3 t ms. c. 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 4 2 2 '( ) t(6 2 1) t(12 2) t( 3 3 ) t( 3 4 ) J t e t t e t e t t t e t t d.
0,8 0,8 0 0 ( ) ( ) 0,31 I t dt J t
Coulomb. 47. a. (0) 1 ( 1) 0 1 1 1 L L L W L g L L b. 123 10 (123) 2 1 9 W g 1 123 123 123 123 4 9 4 9 1 9 5 9 4 ( ) 0,9934 g g g g c. ln( ) ( 1)2 (1 ( 1) ) t t dW L g L g dt L g Als 1 1 log( ) g L t , dan is 1 1 tL g . Invullen in de afgeleide levert: 1 1 1 4 2 2 1 1 ln( ) ( 1) ln( ) ln( ) (1 ( 1) ) (1 1) L L L g L dW L g L g dt L
T-1. a. 2log(60) 2log(1,169) 5,91 0,23 60 1,169t 2 (2 )t 2 t B b. 1,169t 2 1,169log(2) 4,44 t
De verdubbelingstijd is ongeveer 44,4 jaar.
T-2. a. f x'( ) 0,5 e0,5x3 b. g x'( ) 3 x e2 x 3x3 e x 3 (3x2 x3)e x 3 c. '( ) 6 2 2 3 2 (6 23) 2 x x x x e e x e h x x x d. k x'( )ex 2e2x1e ex 2x13e ex 2x1 T-3. a. '( ) 2 1 1 2 f x x x (x0) b. '( ) 2 6 2 g x x (x3) c. h x'( ) 1 (ln( ) 2) (ln( ) 1)x x 1 2ln( ) 3x x x x (x 0) d. 1 2 3 3 '( ) 2 3 4 6 k x x x (x 23) e. l x'( ) 2e 2x (ln( ))x 2 e 2x 2ln( )x 1 2ln( )x e 2x (ln( )x 1) x x (x 0) f. '( ) x x x x e e m x e e T-4. a. h x'( ) 3ln(2) 2 x d. 1 2 '( ) ln( 5) ( 5)x ln(5) ( 5)x k x b. g x'( ) 3 ln(2) 2 x e. 1 ln(3) 2 6 2 '( ) 3 ln(3) x l x x x c. f x'( ) 2ln(3) 3 1 2 x f. 5 2 1 5 1 ln(5) ln(5) 2 '( ) 2 log(2 ) 2 log(2 ) 2 m x x x x x x x x T-5. a. 1 2 1 2 ( ) x F x e d. 2 1 ( ) ln | 1| ( 1) K x x x b. 1 1 ln(3) ( ) 3 x G x e. 3 4 ( ) ln | 4 9 | L x x c. 1 2 ln(3) ( ) 3 x H x x
T-6. a. 2 2 0 x x e e b. 2 0,5 1 x e e c. 2ln(2 4 ) 5 1 x 2 2 2 2 2 2 ( 2) 0 0 2 x x e e x x x x x x x x 0,5 0,5 2 2 x x e e e e 3 3 3 1 1 2 4 ln(2 4 ) 3 2 4 4 2 x x e x e x e d. 2 ln ( ) 1 2 ln( ) x x 2 2 2 1 ln ( ) 2 ln( ) ln ( ) ln( ) 2 (ln( ) 2)(ln( ) 1) 0 ln(x) 2 ln( ) 1 e x x x x x x x x x e T-7. a. P 40e0,006t 40 ( e0,006)t 40 0,994 t b. 0,994t 0,5 0,994log(0,5) 115,5 t dagen. c. P t'( ) 0,006 40 e0,006t 0,24e0,006t 0,6 '(100) 0,24 0,13 P e
Het vermogen neemt na 100 dagen af met een snelheid van 0,13 watt per dag.
T-8. a. (2x23 )x ex 0 2 1 2 2 3 0 0 (2 3) 0 0 1 x x x e x x x x b. f x'( ) (4 x3)ex (2x23 )x ex ( 2x2 x 3) ex c. f'(0) 3 y 3x d. f x'( ) 0 2 1 2 2 3 0 0 1 1 x ABC formule x x e x x
minimum van –e en een maximum van 9e1,5. e. (2x23 )x ex ex 2 2 1 2 (2 3 1) 0 2 3 1 0 0 (2 1)( 1) 0 1 x x x x e x x e x x x x 1 2 1 ( ( )g x f x dx( )) 0,09
T-9. a. f x'( ) 2 6 x b. f x'( ) 2 6 18 x '( ) 0 6 2 3 (3, 6 6ln(3)) f x x x T 6 3 20 10 3 6 3 10 10 10 6 20 ( , 6ln( )) x x
c. De helling van de raaklijn is f'(1) 4 en de lijn gaat door (1, -2): 4 2 4 1 y x b b 1 2 1 1 1 2 2 2 (1 , 0) en (0, 6) 1 6 4 ABC A B Opp V 6 4 6 b y x T-10. a. f x( ) 0 1 1 2 2ln( ) 0 ln( ) 1 e x x x e
b. Verticale asymptoot: x0 en een horizontale asymptoot: y 0. c. f x'( ) x 2x (2 2ln( )) 1 2 2 2ln( )2 x 2 x 2ln( )2 x x x x '( ) 0 2ln( ) 0 ln( ) 0 1 f x x x x
De uiterste waarde is 2; het gaat hier om een maximum. d. F x'( ) 2ln( ) 2x 2ln( ) 2x f x( ) x x x e. 1 1 2 2 2 2ln( ) ( ) ln ( ) 2ln( ) ln ( ) 2ln( ) 1 e e p p x A p dx x x p p x
