De rekenwijze bij dimensieanalyse

(1)

De rekenwijze bij dimensieanalyse

Citation for published version (APA):

Claessens, C. J. L. (1964). De rekenwijze bij dimensieanalyse. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Laboratorium voor mechanische technologie en werkplaatstechniek : WT rapporten; Vol. WT0097). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1964

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

~echnische

hogeschool

eindho~en

L~aboratorium

voor mechanische technologie en

werk~laatstechniek

rapport van de sectie: Vonkero5ie

titel:

De

rekenwhlze blj Dimensieanalyse.

auteur(s}:

iipl.ing. C.J.L. ClaesAens

---~---~

I

sectieleider: dipl.ing. C.J.L. Claessens

hoogleraar: _{prof. dr. P.C. Veenstra}

Ir---···---···---:---·~··---···--~---_i

samenvatting I

Een resumee van: II Een toepasing van

dimensie-analyse ", een colloquium gellouden op

30 januari voor de groep werkplaatstechniek.

.~---~---~ . prognose

1

blz.O van; biz. rapport nr.OQ97 codering: M 1 trefwoord: Dim.uie-analy •• datum: 27 febr.1964. I oontol biz.

;

I

geschikt voor publicatie in:

(3)

015 10 25 -30 i - 3H45

-rapport nr. 0097 biz. 1 vln

5

biz.

De"rekenwtze bU Dimensieanalyse.

Na afloop van het colloquium II Een toepassing van dimensieanalyse II gehouden op

3C

januari 1964 voor de groep werkplaatstechniek

bleek dat er belangstelling be3tond voor een resumee van het

besprokene in rapport-vormo Cnderstaande tekst geetf't de behandelde raken-regele summier aan, zonder dat echter van het voorbeeld uit het vonkerosieonderzoek gebruik wordt gemaakt.

Allereerst een paar begrippen:

Van een vergel~King wordt gezegd dat h~ homogeen van dimensie ie als de vorm van de vergeltKing onafhankelDK is van de gekozen eenheid der grootheden. Voor de slingerti:d van een uurwerksli.nger kan men b.v.

schr~iven

T :;. 2""

r ..

L. ' onafhankelijk van de gekozen •• nheid van lengte ( b.v. mm, m~~ of lichtjaar ) en van tijd ( sek.uur, dag ).

2

Als men echter voor g

=

32,2 rt/sec. zet dan wordt bovenstaande formule T :: 1,11

VL.

Deze vergel:ijking is echter niet meer homoreen aangezien men veer L aIleen nog de foot als lengte eenheid mag invullen en als tijdseenheid de sekonde moet aanhouden.

Het begrip dimensieloesprodukt behoeft m.i. geen uitleg, dit spreekt voor zichzelf. een nadere verklaring van het begrip " een kompleet stel dimensieloze produkten II is echter wel noodzakeljjk.

Als men een aantal variabelen neemt b.v.

de kracht F de soortgel:iJ"ke massa _~ de lengte L de dynamische viscesi tei t

/'C

de snelheid V de warmtekrachtsversn. g

de geluidssnelheid C

de oppervlaktespanning G" ' ....

dan kan men hiermee een oneindig aantal dimensieloze produkten vormen. Deze zullen in de meeate gevallen _ echter niet onafhanlceli;ik van elkaar z~n aangezien er binnen iedere groep van variabelen slechta een heel beperkt aantal van elkaar on~fhankeltke dimensieloze produktenie SOr- te vormen.

werkp laat.techn 1.1e technische hogeschool eindhoven

(4)

'---,---rapport nr. 0097 blz.2 van

5

btL

I

o - r-:en noemt nu een ste! dimensieloze produkten van gegeven variabelen kompleet indien ieder produkt van het ate! .nafhankel~K van de

anderen is en ieder ander dimensielQos produkt van de variabelen 5 10 15 - 2530 -

15-gel~k is aan een produkt of een macht van de dimensieloze produkten uit het stele

Uit bevengenoemde variabelen z~n ~ls kompleet stel te vormen:

V L I(

R ::

f

( getal van Reynolds'

F P =

l!

yi L2

( drukkoeffieient ) ...

F

=

vc..

( getal van Froude )

Lg

V

M :: ( s-etal van Mach )

c

'Ii ::

? ~ V"- L

( getal van Weber )

De tGepassing van de dimensieanalyse op 8en praktisch probleell is

•

gebaseerd op de hypothese dat de oplossing van het probleem uit-gedrukt· kan worden door mid del van een homogene ( van dimensie )

vertel~~ing in t~rmen van bepaalde variabelen. Deze hypethese

i8 gebaseer. op het feit dat de fundamentele fysische vergelijkingen~

homogeen van di.ensie z~n en dat relaties van deze vergel~kingen

afleidbaar, dUB ook homogeen van dirnensie moe ten zijn.

Ala een vergeljjking echter homogeen van dimensie is dan kan hij

~~ worden gereduceerd tot een relatie tussen een komrleet atel

dimen~ieloze produkten. ( Theorema van Buckingham ).

Om nu deze dimensieloze produkten in aantal en vorm te kunnen bepalen

_,

moeten we onZe toevlucht nemen tot de leer der determinanten.

We doen dit weer aan de hand van bovengenoemde acht variabelen.

werkploat.technlek

_{technlsch. hog.school eindhoven}

/

(5)

~

rapport nr. 0097 btz. 3 Vllft 5 btL

I

0 - We tabelleren daze op de volgend~ wljze:

5 -1Q r - 1520 -F L V

e

_)l g

c

er

lMassa M ₁ ₀ _C ₁ ~ 0 0 1 , lLengte L 1 1 1 _ -z, ~ -1 1 1 0 Tijd T -.:::. 0 _1 0 -2 -1 -2

ladere kolom bestaat dus uit de exponenten in de dimeBsieuitdrukking van de korrespenderende varinbale. Daze tabel noemen we de dimeneie-l~atrix van de variabelen.

Nu galdt de volgende stallin~:

Het aantal dimensieloze produkten in een kompleet stel is ~elijk aan het aantal variabelen vermindert met de rang van hun dimensiematrix. De rang van bovenstaande matrix is drie, het aantal dimensieloze produkten is 8 - 3

=

5, hetgeen dUB klopt. De algemene vorm van een

25 r- produkt van genoemde variabelen kan men schrjjven als

k1 F k2 k3' k4 k5 L

v·

t!?

u

k6

k7

k8

g C G"

30~ ~elke waarden k1 tim

k8

ook habben, de dimensie van hovengenoemd produkt is:

...,

r-50

-( LT-1 )k7 ( MT-2 )k8::; Jv;( k1 + k4 + k5 + k8) L( k1 + k2 + k3 - 3k4

- k5 + k6 + k7 ) T( -2k1 - k3 - k5 - 2k6 - k7 - 2k8 ).

Indien dit produkt dimensieloos moet worden moe ten de exponenten van H, L en T gel\ik aan nul worden d.w.z.:

k1 + k4 + k5 + k8

₌

0

k1 + k2 + k3 - 3k4- k5 + k6 + k7

₌

0

-2k1

_{- k3}

_{- k5 - 2k6- k7 - 2k8}=: 0

(6)

015 10 15 -25 e-30 I--3! I--40 _-: 45-

50-rapport nr. 0097' biz. 4 van 5 biz.

!

We merken op dat de koefficienten in iedere verge15,jking gel:i;jk ztn aan een r~ in de dimensiematrix. ledere oplossine van deze vergel~Kingen vormt een set exponenten in een dimensieloos produkt. Aangezienhet systeem van vergel~kingen echter onbepaald is

( drie verge1j;;kingen met acht onbekenden ) hebben we een oneindig aantal oplossingen, die echter ook weer niet allemaa1 onafhankelijk van elkaar zt;n.

Er geldt n.1. in het algemeen dat indien rllen een steleel verge11.::1dngen

a

_1X,

+ a

2X2 +

...

a n X n :: 0

b

1X1 + b2X2 +

...

b n X l"

=

0

enz. heert ,

deze precies ( n - r ) lineair onafhanke1ijke oplossingen hebben waarin r geli.jk is aan de rang van de koefficientemnatrix van bovenetaand stelael. ( de trivia1e op1essing X. :: 0 niet in aanmerking:1genOllen ).

J.

Keren we terug tot de drie vergeli,";kingen in k

1 ••••• k8 en 10sISen

die op _{veer k2' k3 en k4 dan kr1jgen we}

k2 ::

-

2k1 .. kS + _k6

_kS

k3

=

-

2k1 - k5 - 2k( -~ - 2k8 kl.;. :: k1 - k 5 k8 Stel nu _k1 :: 1 _kS :: _k6 ₌ k7 :: _k8 ₌ ₀ dan wordt k2 ::

-

₂

k3 :: _-2 en _k4 :: _-1 en deen we het ze1fde voor

achter .. een- _k5 :: ₁ k1 = k ::

~

:: k8 = 0 volgens 6

k6

= 1 _k, = k ::: _Ie.., ::: _kg ₌₀ 5

~

:: ₁ k :::

k5

1 ::: k6 = kg :: 0

kS

:: ₁ _k1 :: _kt: ₌ _kr₌

~

::: ₀ dan

.

',) krijgen we respectievel~Jk k2 ::: _-1 k3 = -1 k4

=

-1 +1 :: ..,

=

₀ ::: -c: = 0 :: _-1 ₌ ₀ ::: _-1

=

_-2 ₌_-1

(7)

o~ 5 1Q - 1520 ' -rapport nr. 0097

De orlossingen netter Eetabel1eerd geeft:

k1 k2 F L 1 -2 0 -1 0 +1 0 0 0 -1

k3

V -2 -1 -2 -1 -2 A _ I -1

o

-1 k"

-u 0 1 0 0 0

Dit neeat men de oplossingsmatrix. k6 g 0 0 1 0 0

~

C 0 0 0 1

o •

o

1

biz. 5 van 5 biz.

N~rk op dat de tweede, derde en vierde kolom geljjk zijn aan de koefficienten in

ae

oplossingen voor k

2,

k3

en k4'1 ledere rj,j van

bovenstaande matrix stelt dUB een oplossing voor. Dat deze vijf oplossingen onafhankelijk van elkaar zijn voIgt uit aen stelling uit

25 ~ de leer der rleterrninanten die zegt dat de r\}en van een matrix lineair afhankel\~ zijn indien, en slechts indien, de rans van de matrix

kleiner is dan het aantal r1Jen. We hebben te onafhankeltk van elkaar gemaakt door in iedere orloBsing steeds een variabele op te nemen ~~ riie in de andere oplossingen niet voorkomt.

Onze oplossingen z~n dus: F'

; ~ ; L

_~

; C ;

<::r

T2 '" 2

.I., Ve:.

42

L V6;J V V _L.V.t:(

35

r-,','elke deziI!lfde of het omgekeerde z\jn van de reeds eerclE'!r get;even 01)lossingen hetgeen echter niet van wezenl:i;;k be lang is.

~- 0pEemerkt z~ tenslotte nog dat de kennis van het juiste aantal op-tredende variabelen een eerste vereiste is. :lorden variabelen in het probleem geintroduceerd die geen rol spelen dan zullen er teveel

~_ produkten op gaan treden. ~orden daarentegen variabelen weggelaten dan zal men zich of vastrekenen of men komt tot onjuiste oplossingen. Voor o.a. handige tries die het rekenwerk. kunnen vereenvoudigen zjj verwezen naar 1. Dimensional"Analysis

50-H.E. Huntley bsn. D.A. 5205

2. Dimensional rtnalysis and theory of Models B.L. Langhaar baa. EZ

De rekenwijze bij dimensieanalyse