Over de berekening van het magnetische veld van een cirkelvormige stroomkring

Over de berekening van het magnetische veld van een

cirkelvormige stroomkring

Citation for published version (APA):

Bouwkamp, C. J. (1957). Over de berekening van het magnetische veld van een cirkelvormige stroomkring. (Rapporten afd. algemene wetenschappen : sectie wiskunde; Vol. 1957-1). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1957 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

R

19s7 -1 .

...

---

--

---~--·--·--·- -

---

--

-·---

----•

:;;

Q)

-AFD.

·

ALGEMENE WETENSCHAPPEN

SECTIE WISKUNDE

RAPPORT 1957-1

OVER DE BEREKENING VAN HET MAGNETISCHE VELD

VAN EEN CIRKELVORMIGE STROOMKRING

d o o r C. J. B 0 UW KAMP november

1957

•

~

•

11

•

..

TECffitiSCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN

AFDELING ALGEMENE WET~tSCHAPPEN

SECTIE WISKUNDE

Over de berekening van het magnetische veld van een cirkelvormige stroomkring

door C.J.BOUWKAMP

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdeling Algemene Wetenschappen

Sectie Wiskunde.

Enige verbeteringen bij rapport 1957-1 :

"Over de berekening van het magnetische veld van een cirkelvormige stroomkring"

door C.J.Bouwkamp.

blz.6 regel

3

van onder moet zijn

i

=2-it

1

lz

t.

+

(a + --;)'f"' blz. 11 regel 12 : moet zijn

f!Tc

[ K + :: :

~:

: ;;, E

1

Over de berekening· van het magnetische vei'd ·

1. Inleiding

van een cirkelvormige stroomkring door

C·.J. Bouw~amp

Op verzoek van de heren HÖlscher. en Van der Laan worden in dit re.p-port resultaten van numerieke berekening gegeven voor het magnetische veld van een cirkelvormige stroomkring in de vrije ruimte.

In rechthoekige coÖrdinaten (x, y, z) zij de cirkel'(straal a) ge-geven door de vergelijkingen

x2 ~ y2

=

a2, z

=

o.

In deze cirkel vloeit een constante gelijkstroom ter grootte i, in de positieve zin. Het veld van deze stroom is kennelijk

rotatie-symmetrisch om de z-as. In bijbehorende cylindercoÖrdinaten ( z, r, cp ) ,

met :x.

=

r cos cp, y

=

r sin cp, is het. veld gekarakteriseerd door de componenten Hz en Hr, die alleen van z en r afhangen, terwijl H 'f' = 0

is. Bekend is dat Hz en Hr elementaire functies zijn op

qe

z-as; ·

in de rest van de ruimte kan men Hz en Hr uitdrukken. in. element~ire

functies en complete elliptische integralen val!. de eer~te en Ureede •

soort. Hoe men tot de expliciete uitdrukkingen voor.Hz en Hr komt,

wordt later in detail behandeld. Voor numerieke resultaten raadp~ege

men tabellen I en II. Deze tabellen geven Hz e~ Hr als functies van

z/a en r/a in dimensieloze eenheden.

Als eenheid van veldsterkte is daarbij aangenomen

Ho'";,r2;

zijnde de veldsterkte Hz in het middelpunt van de cirkel. Is i

ge-meten· in ampères, a in meters, dan is H₀ uitgedrukt. in ampères per

.meter. In dit rapport worden uitsluitend gerationaliseerde Giorgi .. eenhe.den gebruikt.

• (\J z/a r/a 0 • 0 0. 2 0. 0 1.0000 0.91,29 0 • 2 1.0312 0 .9653 0." 1 . 1 ,. 1 2 1 • 0 3 86 0 • 6 1.4106 1.1761 0 • 8 2.2570 1.2991 1 0 + 00 0.4252

. !

-1.21-1.0648 -0 • 3 8 82 1.4.-0.1,021 -0.2822 1 • 6 -0.2119 -0.1764 1 • 8 -0.1294 -0.1155 2.0 -0.0862 -0.0796 3. 0 -0.0211 -o .o206 T A B E L I

Numerieke waarden van Hz/H₀ als functie van z/a en r/a.

Hierbij is H₀ het veld in het middelpunt van de cirkel:

0." 0 • 80 0" 0 . 80 6 5 0. 81 87 0 • 80 6 8 0.6731 0,3100 -o • o 1 9 3 -0.1118 -0.1051, -0.082ll -0.0631 _0.0191 H0

=

i ampère/meter

=

Hz(O,O)~ 2a

(Hz is een even functie van z).

o.6 0 • 8 1 • 0 1 • 2 _{1 • "} 0.6305 0.1,761 0.3536 0.2621, 0 • 1 9 6 lt 0.6255 0 ... 6 7 6 0 . 3 lt 5 5 0.2561 0.1918 0 • 6 0 "4 0 .lt3ll1 0.3207 0.2373 0.17 84 0.51,70 0 • 3 83 7 0 • 2 7 82 0.2070 0-15'12 0 • lt 2 "2 0.2972 0 • 2 1 9.8 0.1676 0.1301, 0.2'<06 0.1911 0.1536 0.12~3 0.1012 0.0742 0.0941 0.0921 0 . 0 83 3 0.0730 -0.0151 0 • 0 2 82 0 • 0 z, 5 2 0 • 0 "9 8 0. 0" 87 - o . o 4 4 s -o .oo63 0.0150 0.0255 0.0298 -0.0481 -0.0206 -0.0019 0.0096 0.0161 -0.01,29 -0 .021o5 -0.0100 0.0002 0.0069 -0.0168 -0.011,1 -0 • 011 2 -0.0083 -0.0057 1 • 6 0 • 1 lt 89 0.1456 o. n 6 2 0.1216 0.1031 0. 0 82 9 0.0631 0 . 0 "5 3 o.o3o6 0.0192 0.0110 -o. o o 3" 1 . 8 2 . 0 3. 0 0.111t5 0.089/t 0.0316 0.1123 0,0878 0,0313 0.1057 0. 0 83 2 0.0303 0.095/t 0.0760 0.0288 0.0826 0.0669 0.0268 0 • 0 6 83 0.0567 0. 0 2

I,"

0.051,1 0.0463 0,0218 0.0409 0 • 0 3 6 lt 0.0192 0.0295 0.0276 0.0165 0,0203 0,0202 0 • 0 1 4 0 0.0132 0 • 0 1 "2 0.0117 -0-0014 0.0001 0.0037

.

f'l'\, z/a 0 • 0 0 .2 r/a 0. 0 o.oooo o.oooo 0. 2 o.oooo 0. 0 5 81 0. lt o.oooo 0 • 1 lt :3 9 0. 6 0.0000 0.:3221 0. 8 0.0000 0.8106 1 • 0 00 1.5239 1 . 2 0-0000 0.6796 1 • ,. 0.0000 0-2376 1 . 6 0.0000 0.10:36 1 . 8 0.0000 0.053:3 2 • 0 o. 0000 0. 0>07 :3.0 o.oooo O.OOit6 T A B E L II

Numerieke waarden van Hr/H₀ als functie van z/a en r /a.

Hierbij is H₀ het veld in het midde.lpunt van de cirkel:

i H0

=

₂a ampère;meter ~ Hz (0,0) 0. lt 0.0000 0. 0 66 5 0.1971 o. H 19 0.5860 0 .• 6 9lt 5 0. 5 0 lt 9 0 • 2 80 6 0 • 1 5 2,. 0 . 0 87 5 0 • 0 5 3 lt 0 • 0 0 87

(H is een oneven functie van z)

r 0-6 o • a 1 • 0 1 • 2 1 • lt 0.0000 0.0000 o.oooo o.oooo 0.0000 0. 0 85 2 0.0699 0.0527 0. 0:3 8:3 0.0275 0 • 1 ao 0 0 .11t01t 0-102a 0.07:36 0.0526 0 • 2 86 5 0.2067 0. 1 lt 5 7 0.1027 0.07:31 0. :3 82 5 o. 2 51t a 0.171t2 0.1218 0. 0 86 8 O.lt096 0.2662 0 • 1 82 0 Q.12'81t 0.0927 0 :31t16 0.2:369 0.1688 0.12:30 0.0911 0.2381 0 • 1 86 0 0.11t25 0.1090 o. o 8:3 a 0 • 1 5 t, 2 0.1356 0.1126 o. o 9 n 0. 07H 0.0992 0.0960 0. 0 85 8 o .07H 0.0617 0.0652 o. 0677 0. 0 61t :3 0,0581 0.0508 0.0122 0.0148 0.0165 0.017:3 0.0175 1 • 6 0.0000 o.019a 0.0:379 o. 0527 0.06:30 0. 0 6 82 0. 0 6 85 0.061t9 0. 0 5 87 0.0512 0. 0 lt 3 7 0.0171 1 • a 2. 0 :3. 0 o. 0000 o.oooo o.oooo 0.011tlt 0.0106 0.0028 0.0276 0.0201t 0.0055 0 • 0 :3 85 0. 0 2 86 0.0079 0. 0 lt 6 5 0. 0' lt 8 0.0100 0.0510 0. 0:3 87 0-0116 0.0522 0 • 0,. 0:3 0.0128 0.0506 0.0398 0.01:35 0. 0 lt 7 1 0.0:379 0.0138 0. 0 lt 2 3 0.03t,t" 0.01:38 0.0371 0. 0:3 1,. 0.01:35 0.0163 0.015:3 0.0096

4.

2. Berekening van het veld uit een vector-potentiaal

De differentiaalvergelijkingen voor het magneetveld ]!, bij

gege-ven stroomdichtheid

!'

zijn

rot H = i di V ()i _!!) ::. 0,

waarin l.I. de magnetische permeabiliteit van de ruimte is.

Probeer een hulpvector A t~ vinden, zÓdanig dat l.I. H = rot A.

Als dat gelukt, dan is automatisch aan de tweede vergelijking

voldaan. Substitutie in de eerste vergelijking (l.I. is constant)

geeft dan

rot rot !_ = lL i

Nu geldt, in rechthoekige componenten,

rot rot !_ = grad div !_ - 6 !_,

waarin 6 de Laplace - operator is. We proberen nu

!

nog te laten

voldoen aan div A = 0. Als dat kan, vinden we voor A de

Peissen-vergelijking

Een particuliere oplossing hiervan, die in het oneindige naar nul

gaat, is gegeven door lL

J .

!

=

41t

~

dV,

waarbij R de afstand is van het bronpunt tot het veldpunt.

Deze vector !_ heet de vectorpotentiaal van de stroomdichtheid 1.

Inderdaad controleert men gemakkelijk dat voor deze vector

div !_

=

0 is, omdat div ,!.

=

0 is. Daarmee hebben we een formalisme

om H in zijn bronnen

!

uit te drukken, te weten,

1 lL

I

i

H =: - rot A, A = T."':: ..:;:;.... dV.

- lL - - 't1t .n (1)

Deze formules gaan we nu toepassen op het geval van de

cirkelvor-mige stroomkring. De functie ,!. is nu geconcentreerd in de cirkel.

Een punt van de cirkel heeft tot coordinaten

z

o,

r

=

a, <P =a. •

De afstand van dit punt tot het veldpunt (z, r,<P ) is

R =

V

z2 + a2 - 2 ar cos ( <P-a.) + r 2

Is ds = a d a. het boogelement van de cirkel, dan is i d V

=

i~ ds,

waarbij ä de raaklijneenheidsvector aan de cirkel is: De

componen-ten van s zijn

sx -sina., sy=cosa.,sz=O.

De vectorpotentiaal van de cirkelvormige. stroomkring is nu,

vol-gens vergelijking (1), .

J

1:!:2:.

.a .

A = ₄ - ds,

- 1t R

waarbij de integratie over .de hele cirkel moet worden genomen.

Het is duidelijk dat Az = 0 is. Uit symmetrie-overwegingen ziet

men gemakkelijk dat ook Ar

=

0 is, omdat de bijdragen van

spie-gelpunten ten opzichte van het vlak door veldpunt en z-as elkaar precies opheffen voor wat de component Ar aangaat. De

Bovendien is A• onafhankelijk van ~· We kunnen dus volstaan met het bereke-nen van Ay op de plaats y = o ( ~= o). Deze is precies gelijk aan Atpo Dus

A

~

_ )J.ia

r:rr

cos a d a

- 4 1t \j zi + a2: - 2a r cos C4 + r2 0

Dese en soortgelijke integralen kunnen we met de theorie van Besselfuncties berekenen.

Is z

>

o, dan geldt

(2) Verder gebruiken we het additie-theorema dezer functies:

J (t'ia2- 2 ar cos a + r2) =

f.

Jm (at) Jm (r t) cos (ma)

0 -oo (3) waaruit volgt / TtJ 0 ( t V,....a-2....--_.-2-a_r_c_o_s_ot __ +_r..,2"'"") cos 0

Zo vinden we, voor z

>

0,

J

2W oo

)J.ia

J

A~= 4 Tt · cos a d a e-zt J

0 (t

f

a2 - 2ar cos a + r2) dt

0 0

Jti:

s:

_-ztdt

J~o

_(tV

_{+ r2)}

= _{a2-2ar cos a cos a da}

0 0

=

~)J.ia

r

e-zt

J1 (at) J1 (rt) dt.

0

Kennelijk is A~ een even functie van z. Dus geldt algemeen:

A~=~)J.ia

! : - l z l t J 1 (at) J1 (rt) dt. (4) De overblijvende integraal kan worden uitgedrukt in complete ellip-tische integralen van de eerste en de tweede soort:

J

1t/2 d <I> . K ( k)

=

,r-r==;o:::=-::::;;::= o v 1 - k2 sini cp ' (5) respectievelijk 1t/2 E (k)

=Ji

1 - k2 sin2 cp d !p. (6) 0 Men vindt

J:-

I

z ltJ,(àr)J.(rt)dt = 1tV : r { ( ; - k) K(k) -

~

E(k)} (7) met k _ { 4 ar }

t

- z2 + (a+ r)2 (8)

Dan wordt de vectorpotentiaal Az = 0, Ar = 0, = )J.i {fa { 2 2 ( A. ( -k - k) K(k) - -k E k) } 1 2Tt r =

l l

V

z2 + (a + r) 2 { ( 1 -

t

k2) K - E } . ( 9) 21tr

6.

·Het bijbehorende magnetische.veld vindtmen uit

Men vindt, na enige ma~pulaties,

(10)

.. 0

Hr = -3: i a·

~gn·z

J:-lzlt J1 (at) J1 (rt) t dt. _{( 11 )} Ook dezé integralen kunnen in. de functies E en K worden uitge-drukt. Men heeft:

i k 1 { · tk2 E (,! )

Hz

=

_{. '+ ·} '~':""-:=- , , - . K - E + 1 - k2 . r - 1 ) 1t v ar .

i 1 · . . { K a2 r2 - z2

.::::11':?'1i

Vz2 +(a+ r)2 + z2 + (a..-r)2 E}, (12)

ikza 1 -

f

k2

Hr

=

4tt(ar)11i {-1--~ E - K}

i Z' { z2 + a2 + r2 · }

3·

Berekening van het veld uit een scalaire potentiaal

De methode van berekening met behulp van de vectorpotentiaal

n

( .

uit het voorafgaande is algemeen. Zijn de bronnen i echter

ge-concentreerd in een gesloten ruimte -kromme, dan bestaat er ook nog een andere methode, die samenhangt met de ruimtehoek waar-onder men de ruimte-kromme vanuit het veldpunt ziet. Deze samen-hang wordt nu beschouwd. Voor de transformatie hebben we een hulp-stelling nodig.

Hulpstelling

Zij q» een scalaire functie gedefinieerd in de omgeving van F

(tweezijdig oppervlak door de gesloten ruimte-kromme C) die daar tenminste eenmaal continu-differentieerbaar is. Dan geldt

Bewijs:

J

q» !! ds . =

J

!!

x grad <p df.

Zij a een constante vector. Dan is .!!•

I

<p ll_ ds =

J

<p .!!· !! ds

=

J

!!·

rot (<p !:) df'

· waarbij het laatste gelijkteken geldt op grond van de stelling van Stokes:

J

.!•.§. ds =

J!!

x rot y df Verder heeft men

(met v = <.p .!!).

rot ( <p !:) = <p rot !: + grad <p x a

= grad (!) x !:

(,!!is constant, dus rot a

=

Q).

Men vindt zo

a.

J

<p !! ds =

J

n:(grad q» x !:) df.

De rechter integrand is het bekende triple - of volume-product. Daarvoor kunnen we door cyclische verwisseling ook schrijven:

Derhalve geldt

!!· (grad <p x ,!!) = .ê.· (E; x grad <p).

a.

J

<p .§. ds

=

J

.ê.• (n x grad <p) df

=

.!!•

J!!

x grad <p df

(in de middelste integraal kunnen we de constante vector a voor het integraalteken brengen). Bovenstaande relatie geldt

voor elke .!!· Dan moet ook gelden

J

<p .§. ds =

J!!

x grad <.p df,

hetgeen te bewijzen wàs.

Uit het voorafgaande weten we dat het magneetveld van de stroom-kring C kan worden berekend met behulp van de fo:mule

8.

Pas nu de hi.üpstelling toe voor cp = 1/R. Dan vindt men

i H

=

41t rot

1

x grad '

R

df.

Hierbij is met een accent aangegeven dat de gradient-operator werkt

op de integratiecoordinaten; gradient zonder accent wil zeggen dat

we naar de veldpuntcoordinaten moeten differentieren. Bekend is dat geldt

1

grad • - =

-R

1

grad

'R·

Daarmee vindt men voor het magneetveld

H =

~

rot

J

(grad

~)

x .!!:. df •.

Verder gebruiken we weer

rot (cp_!!) = cp rot.!!:.+ (gradcp) x .!!:.•

Bedenken we dat rot n

=

0 is (n hangt uiet van de

veldpuntcoordina-ten af, en naar deze-coordinatën differentieren we), en nemen we cp

=

1jR, dan wordt i H =

lti

i

=Lti

rot rot

I

-i

{ grad div -df à}

J

!! !.t

Ligt het veldpunt niet op F, dan is

11

J

*

df =

J

.!!:.11

(~)

df = Q,

df 0

omdat 1/R aan de potentiaalvergelijking voldoet (RF 0) •.

Buiten F geldt dus de voorstelling

.

I

n

~

=

~ grad div

:R

df.

Daarmee is aangetoond dat het magnetisch veld van de gesloten stroomkring C kan worden berekend uit een scalaire potentiaal

~

=

-grad cjl , cjl = -

t

1t di v

J ;

df.

(14)

(15) Bij een bepaalde keuze van F is cjl eenduidig bepaald. De functie

cjlis, anders dan de vectorpotentiaal A, geen reguliere functie van de plaats. Alleen buiten F is het een-reguliere functie; F is een

oppervlak van discontinuiteit vancjl, een snede voor cj~. Daarentegen is

grad ~ wel weer regulier buiten C.

De potentiaal ~ is meerduidig, zolang we het oppervlak F niet

specificeren. Is de kromme C een vlakke kromme, dan ligt het voor de hand om voor F het inwendige ·van C te nemen. In het geval van

de cirkel vindt men aldus de eenvoudig~ uitdrukking

4> = -

h

öàz

I

~f'

waarbij de integras.l over de cirkelschijf wordt uitgestrekt. Deze it1tegraal kunnen we weer transformeren met behulp van

Besselfuncties. De afstand R van het veldpunt (z, r, cp) tot het

R / z2 + r2 - 2 r p cos (q>- o;) · + p 2,

zodat 1

R ₀

J~-lz

lt J0 (

t'J

rZ-2r p cos (c.p-

a)

+ p2) dt.

Integreren we dit over q> dan is het resultaat

J

21tdm fO

.::;;.,;:j;.. = 2 1t

J

e-

I

z lt Jo

o R o

als we formule (3) gebruiken.

J

d f a J2 ltdw

R=

]PdP .::;;.,;:j;.. o o R

=

2 1t

J:-

iz

it

oe (rt) J₀ (pt )dt, Vervolgens: a

J

pJ₀(p t) dp 0 21ta

j:-lz

lt J₀(r t) J1 ( at) t- 1dt, ::: 0

als men gebruik maakt van :x (x J1) =x J₀{x),

en dus j p J₀(pt) d p =a t-1 J1(at).

0

De scalaire potentiaal is dus tenslotte

_...

9.

(16) . à

I _

1z

lt dt <I>= -

t

1a

FZ

e 00 J0(rt) J1 (at)

t

= t

ia sgn ;

J

-lz

lt J₀ (rt) J1 (at) dt. (17) oe

ä

Earekent men

!

nu met Hz

= -

~en

Hr

= -

ar ,

dan vindt men inderdaad de formules (10) en (11) terug.

10.

4.

Samenhang met de ruimtehoek

De scalaire potentiaal ~uit formule (15) kunnen we èn physisch

èn meetkundig interpreteren.

Voor punten buiten F kunnen we de operator div onder het

integraal-teken brengen. Bedenkt a~en dat geldt

div (!! )

₌

_n. grad ( 1 ) ₊

R

1 d. _{~V n}

R R

grad 1 grad 1 1

= n.

_R

₌

-

n.

_R'

dan vindt men voor de scalaire potentiaal

i

I

I 1

~ =~ !!• grad R df.

Nu is de scalaire potentiaal van een magnetische dipool met

moment dm gegeven door

1 d' 1

d

x

= 1.j:"lt ~· gra

R"

Beleggen we het oppervlak F met een moment ter dichtheid

m

=

i.!!_,

dan is ~

=

i.!!. df,

en dan wordt de potentiaal van de homogene dipoollaag

X =

?=-

n. grad 1

- df =<I> •

. J

1

'+1t - R

Het magnetische veld van de stroomkring is dus identiek met dat

van een homogene dubbellaag over F met oppervlaktedichtheid ge~ijk

aan de stroomsterkte. Aangezien een magnetische dubbellaag physisch niet realiseerbaar is, en men wel een electrische dub-bellaag kan maken, kan men ook zeggen:

het magnetische veld van de stroom i in de kromme C is identiek

met het electrisch veld van een homogene dubbellaag, ter

dicht-heid i, die C tot rand heeft. ~ot zover de physische betekenis van

~·

Nu de geometrische betekenis van

4>.

Laat R zijn de vector van ds naar het veldpunt.

Dan is ₁

grad' R

=

R.2.

1 grad ' R

=

_{R3 •}

R

Men heeft dus

~

=

~J !l;~

df - 41t

_ 2.

I

cos (n, p2 R) df.

Als cos (.!!_, B) positief is, ziet men gemakkelijk in dat

I

cos(_!!, R)

R2 df gelijk is aan de ruimtehoek Q die door C wordt

opgespannen van

Immers dQ

=

cos

uit het veldpunt.

(n,R)

R2 df is juist de projectie van df op de

een-heidsbol rondom het veldpunt. De integraal kan wel negatief zijn. Laat men ook negatieve ruimtehoeken toe, dan geldt dus

i

~

=

~ Q (18)

De scalaire potentiaal is dus

i/4n

maal de ruimtèhoek of schijnbare

grootte van de stroomkring.

11.

Aan formule ( 18) is duidelijk te zien da.t <!> discontinu is aan het

opper-vlak F. Immers, aan de positieve zijde van F (de kant waar n heen wijst) is Q = Q+ = 2 1t , aan de andere kant is Q Q = - 2 1t • Dus

$ + =

t

i, ~-=-t i,

=

io

De sprong in·~ is precies gelijk aan de stroom in C.

5.

Slotopmerkingen en bibliographie

De scalaire potentiaal van een. homogeen-geladen. cirkelvormige· schijf,

met ladingsdichtheid

q,

.is volgens (16),

~

J~ -~z~t

J (rt) J ( t) dt

= ~ qa e . o 1 a .

t •

0

In tegenstelling tot de integralen. (7), (10) en (11), is deze integraal niet uitdrukbaar in de functies K en E. We hebben voor haar berekening ook nog nodig de complete elliptische integraal van de derde soort:

J

n/

₂

d <I!

~(7_{1----p--s~i~n~2~~~)JV=71~-k~2T. =s~i~n--2~<1> '} 0

die vab twee parametèrs, p en k, afhangt.

Ook voor de berekening van de ruimtehoek Q of.de daarmee evenredige

scalaire potentiaal·~ (formules.(17) en (18) moet men beschikken over

tabellen van deze elliptische integraal van de derde soort.

Zondèr in detaii.:;; te willen treden, merken we nog op dat de lijnen

rACf

=

constant

samenvallen met de krachtlijnen. Deze magnetische krachtlijnen zijn de orthogonale trajectoriën van dè oppervlakken

~

=

constant.

De inhoud van dit rapport is in wezen niet .nieuw. Een summier overzicht van de literatuur is misschien gewenst, in verband met verdere bereke-ningen als dezenodig zouden zijn.

LITERATUUR

G.N~ Watson. Theory of Bessel Functions.

Dit is het stunduardwerk van Bessel fu11cties, waarin men bijvoorbeeld

formules (2) en (3) vindt bewezen.

C. Heuman. Tables of complete elliptic integrals, J. Math. Phys. 20, 127-206, 1941.

Uitgebreide· tabellen van de functies K en E, alsmede van de complete

elliptische integr :~al van de derde soort.

C.J. Bouwkamp. On the mutual inductance of two parallel coaxial circles of circular cross-section, Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch.

Amsterdam 2j, 1280-1290, 1948; Ind. Math. 10, 424-434, 1948.

Hier kan men de berekening van de integralen (4), (10), (11) en vele andere, in termen van elliptische integralen vinden.

E. Weber. Electromagnetic fields. Theory and applications.

Vol I. Mapping of fields, John Wiley

&

Sons, Inc., New York, 1950.

Op pag. 140 ff. vindt men de formules (9), (12) en (13). ·

Verder een uitgebreide literatuuropgave.

J.P. Blewett. Magnetic field configurations due to air core coils. J. appl. Phys. 18, 968-976, 1947.

Tabellen voor Hz.

G. Eàson, B. Noble, I.N. Sneddon. On certain integrals of Lipschitz-Hankel type invalving products of Besselfunctions. Phil. Trans. Roy. Soc. London. Series A.

No. 935. Vol 247, pp. 529-551, 19 april 1955.

Talloze integralen van het type ('10), (11) numeriek getabelleerd. Ook de integralen (16) en (17). Tabellen I en II van dit rapport zijn

overgenomen uit dit artikel. Voor z

>

0 geldt:

2a _H

₌

_a2

J""

_{e -zt J} 0 (rt) J1 (at) t dt, i z 0 2a

Hr

a2

Joo

-zt i = e J1 (rt) J1 (at) t dt. 0