Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden – KLIMAPEDIA

Hele tekst

(1)Kennisbank Bouwfysica W-42; Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden Kennisbank Bouwfysica Auteur: ir. A.C. van der Linden. 1. Inleiding In het collegedictaat Bouwfysica I van de TU Delft is de warmte-indringing in een half-oneindig homogeen medium beschouwd. Behalve bij de beschouwing van warmte-indringing in de bodem komen oneindig dikke, uit één materiaal bestaande constructies in de bouwpraktijk echter niet voor. Daken en wanden hebben immers een eindige dikte en zijn veelal opgebouwd uit meer dan één materiaal. Hieronder zal daarom worden ingegaan op een oplossingsmethode, die gebruikt kan worden om temperaturen en warmtestromen in willekeurig opgebouwde vlakke constructies te berekenen. Omdat oplossing van de warmtetransportvergelijking voor samengestelde, eindige constructies met willekeurige randvoorwaarden doorgaans tot gecompliceerde uitdrukkingen leidt, beperken we ons tot de warmte-indringing met periodieke randvoorwaarden. Deze periodieke oplossing is uitermate geschikt om het gedrag van constructies te beoordelen bij zonbestraling.. qzon. Te. Ti. x figuur 1.. samengestelde constructie met periodieke randvoorwaarden. Alvorens de oplossingsmethode te behandelen, is het goed eerst afspraken te maken over de notatie. De totale temperatuur Ttot ( x, t ) kan gescheiden worden in een gemiddelde en fluctuerende toestand:. ~ iφ Ttot ( x, t ) = T + T = T + T eiωt = T + Tˆ e eiωt Waarin:. Ttot ( x, t ) ~ T T. totale temperatuur fluctuerende temperatuur gemiddelde temperatuur 1 van 7 augustus 2005.

(2) Kennisbank Bouwfysica W-42; Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. T Tˆ. modulus van het niet-tijdafhankelijke deel. t ω. tijd [s] hoekfrequentie [rad/s]. φ. faseverschuiving [rad]. niet-tijdafhankelijke deel. Voor het variërende deel is gebruik gemaakt van de wetenschap dat een met de tijd. ~. iωt. sinusvormig verlopende temperatuur geschreven kan worden als T = Te , waarbij T nog een complexe functie van elke willekeurige variabele, maar niet van t, kan zijn. Stel T is een complexe functie van x, voorgesteld door:. iφ( x ) T = p( x ) + iq( x ) = Tˆ ( x )e = Tˆ (cos φ + i sin φ) , Waarin:. Tˆ ( x ) =. p 2 ( x) + q2 ( x) q( x ) φ( x ) = arctan p( x ). ~. Substitutie in T = Te. iωt leidt tot:. ~ T = Tˆ (cos φ + i sin φ) (cos ωt + i sin ωt ) = Tˆ (cos φ cos ωt − sin φ sin ωt ) + iTˆ (sin φ cos ωt + cos φ sin ωt ) = Tˆ (cos( ωt + φ) + iTˆ (sin ωt + φ). ~. De fysische betekenis van T = Te. iωt is dus Tˆ cos(ωt + φ). Beschouw nu weer de eendimensionale warmtetransportvergelijking (differentiaalvergelijking van Fourier):. ∂T ∂ 2T =a 2 ∂t ∂x. (1). ~. De fluctuerende temperatuur T kan geschreven worden als:. ~ T = Teiωt. (2). Hiermee is het plaatsafhankelijke complexe deel gescheiden van het tijdafhankelijke deel. Substitutie van (2) in (1) levert (3):. d 2T( x) iω d 2T ( x ) i ω t i ω t iω T ( x )e = ae ⇒ dx2 − a T( x) = 0 2 dx. (3). 2 van 7 augustus 2005.

(3) Kennisbank Bouwfysica W-42; Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. De algemene oplossing van (3) is:. T ( x ) = Ae. x. iω iω −x a + Be a. Beschouw nu een enkelvoudige wand als in figuur 2 gegeven is. d T1. T0 q0. x=0 figuur 2.. q1. x=d. enkelvoudige wand. Hierbij is: T0 T1. niet-tijdafhankelijke deel van de temperatuurfluctuatie op x = 0 niet-tijdafhankelijke deel van de temperatuurfluctuatie op x = d. q0 q1. niet-tijdafhankelijke deel van de warmtestroomdichtheidfluctuatie op x = 0 niet-tijdafhankelijke deel van de warmtestroomdichtheidfluctuatie op x = d. In appendix B (module “Bijlagen niet-stationair warmtetransport”) is - in matrixvorm genoteerd - de volgende relatie tussen T0,T1,q0 en q1 afgeleid..  T1   a11 a12  T0      =   q1   a21 a22  q0  Met:. a11 = a 22 = cosh(1 + i )kd sinh(1 + i )kd a12 = − λ(1 + i )k a 21 = −λ(1 + i )k sinh(1 + i )kd. (4). Waarbij:. k=. ω 2a. Dat a11= a22 kan men begrijpen als men bedenkt dat verwisseling van de linker- en rechtervector uit bovenstaande matrixvergelijking bij een enkelvoudige, homogene constructie. 3 van 7 augustus 2005.

(4) Kennisbank Bouwfysica W-42; Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. hetzelfde resultaat moet geven met inachtneming van het teken voor de warmtestroomdichtheid. Het voordeel van deze matrixnotatie wordt duidelijk wanneer de wand uit verscheidene lagen bestaat. d1 T0. d2 T1. q0. figuur 3.. T2 q1. q2. wand bestaande uit diverse lagen. Zo kan voor een wand uit twee lagen (zie figuur 3) het volgende opgeschreven worden:.  T1   a11 a12  T0      =   q1   a21 a22  q0 . en.  T2   b11 b12  T1    =     q2   b21 b22  q1 . (5). Uit substitutie volgt:.  T2   b11 b12  a11 a12  T0   m11 m12  T0    =      =    q2   b21 b22  a21 a22  q0   m21 m22  q0  Zodat: T2 = q2 =. m11T0 + m12 q0 m21T0 + m22 q0. Met: m11 = m12 = m21 = m22 =. b11a11 +b12 a21 b11a12 +b12 a22 b21a11 +b22 a21 b21a12 +b22 a22. (6). Voor de coëfficiënten a11 t/m a22 worden voor de dikte en de factor k respectievelijk d1 en k1 in de uitdrukkingen (4) ingevuld en voor de coëfficiënten b11 t/m b22 respectievelijk d2 en k2. Per laag worden de matrixcoëfficiënten berekend, waarna de matrixvermenigvuldiging uitgevoerd kan worden. Let wel: a11 = a22 en b11= b22, maar m11 ≠ m22 .. 4 van 7 augustus 2005.

(5) Kennisbank Bouwfysica W-42; Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. 2. Overgangsweerstanden en spouwweerstand Meestal zijn niet de oppervlaktetemperaturen bekend, maar de luchttemperatuur aan beide zijden van de constructie. De warmteoverdracht van de wand via de grenslaag aan de wand naar de lucht wordt beschreven door een warmteoverdrachtscoëfficiënt α, in te voeren. Wanneer we de grenslaag als een fictieve laag voorstellen met een warmtegeleidingscoëfficiënt λ, een dikte d en een soortelijke warmte c = 0, volgen de matrixcoëfficiënten voor deze laag door in formules (4) de temperatuurvereffeningscoefficient a = λ/ρc naar oneindig, dat wil zeggen k naar nul, te laten naderen. d1. d2. T0. T1. Ti qi. q0. q1 fictieve luchtlaag. figuur 3.. toevoeging van overgangsweerstand als fictieve luchtlaag. Zo worden a11 = a22 = 1, a12 = -d/λ = -1/α en a21 = 0. Voor de binnenzijde geldt (zie figuur 3):. 1    Ti   1 −  T1    =  α i   q  qi   0 1  1  . (7). Uit (7) volgt dat qi = q1 wat te verwachten was, omdat de fictieve laag geen warmtecapaciteit heeft. Verder volgt ook qi = αi(T1-Ti). Op dezelfde wijze kan afgeleid worden dat voor een ongeventileerde spouw geldt: a11 = a22= 1, a12 = - rsp en a21 = 0.. Ti. Tea. qi. qe. A rsp figuur 4.. B. C. samengestelde wand met overgangsweerstanden. De totale uitdrukking voor een spouwconstructie (zie figuur 4) wordt dus:. 5 van 7 augustus 2005.

(6) Kennisbank Bouwfysica W-42; Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden.  Ti   1 − 1  c11   = α i    qi   0 1  c21. 3. c12  b11  c 22  b21. b12  1 − rsp  a11   b22  0 1  a 21. a12  1 − 1  Te   α e    q e  a 22  0 1  . (8). Stationaire berekening Over het algemeen kunnen de randvoorwaarden voor de differentiaalvergelijking van Fourier gesplitst worden in een stationaire, gemiddelde toestand en een periodiek variërend deel. Een stationaire toestand kan opgevat worden als een periodiek fluctuerende, waarbij ω naar nul nadert. Voor ω→0, dat wil zeggen: k → 0, gaan de formules (4) over in a11 = a22 = 1, a12 = -d/λ en a21 = 0, zodat volgens (6) nu geschreven kan worden (zie ook figuur 3):.  T2   1 − d 2  1 − d1  T0  λ2 λ1     =    q  2  0 1  0 1  q0  Wanneer we de matrixvermenigvuldiging uitvoeren, volgt hieruit:.  T2   1 − d1 λ1 − d 2 λ2  T0    =    q 0 1  q 0   2  Dus ook:. d d  T2 = T0 − q0  1 + 2  = T0 − q0 R  λ1 λ 2  q2 = q0 In vergelijking (9) staat niets anders dan dat q =. (9) (10). ∆T terwijl (10) de triviale uitkomst geeft dat R. bij een stationaire toestand de warmtestroomdichtheid constant is. 4. Alternatieve formulering De matrixvergelijking voor een meerlaagse wand (6).  T1   m11   =   q1   m21. m12  T0    m22  q0 . kan worden herschreven tot.  q0   s11   =   q1   s 21. s12  T0    s 22  T1 . (11). 6 van 7 augustus 2005.

(7) Kennisbank Bouwfysica W-42; Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. Waarbij:. s11 = s12 =. 1 m12. s21 = m21 s22 =. (12). m11 m12. m22 m12. (13). m22 ⋅ m11 m12. (14). (15). Deze alternatieve schrijfwijze kan worden gebruikt indien de temperaturen aan beide zijden als randvoorwaarde gegeven zijn. In module W-43; “Voorbeelden warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden” is hiervan een voorbeeld uitgewerkt.. 7 van 7 augustus 2005.

(8)

No results found