Kassimi, Ala-Eddine, Educatief Ontwerpen, Wiskunde

Titel Lineaire vergelijkingen opstellen bij contextrijke opgaven

Naam auteur Ala-Eddine Kassimi

Studentnummer 12286001

Vakgebied Wiskunde A

Doelgroep 4HAVO

Variant Effectonderzoek

Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam

Begeleider(s) Laura Kubbe, Derk Pik

Datum Juni 2019

Bibliografische referentie

Kassimi, A. (2019). Lineaire vergelijkingen opstellen bij contextrijke opgaven. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA.

1

Samenvatting

Dit onderzoek heeft betrekking op de moeite die wiskunde A-leerlingen in 4havo ondervinden bij het opstellen van lineaire vergelijkingen bij contextrijke opgaven. Volgens de eindtermen moeten havo wiskunde A-leerlingen in staat zijn om de wiskundige structuur in probleemsituaties te onderkennen en een model in wiskundige termen op te stellen. In de praktijk ondervinden leerlingen veel moeite met het algebraïseren: het vertalen van een kenmerk, vraag of eigenschap in termen van algebra.

De ontwerphypothese voor dit onderzoek luidt: ‘Als ik het feit dat de leerlingen van 4HA het lastig vinden

om een lineaire vergelijking op te stellen bij een tekst aanpak met een lessenserie met nuttige contexten gebaseerd op productief oefenen en samenwerkend leren, dan verwacht ik dat zij beter in staat zijn om vergelijkingen op te stellen bij een tekst en een beter begrip hebben van wat een variabele inhoudt.’

Op basis van een theoretische en empirische verkenning is een aantal ontwerpregels geformuleerd. De opgaven van de lessenserie moeten een productief karakter hebben, waarbij leerlingen worden uitgedaagd om na te denken en zelf algebraïsche procedures uit te vinden. De contexten van de opgaven moeten niet verwarrend zijn, wat betekent dat alleen contexten uit de rekenkunde, natuurkunde, meetkunde of economie gebruikt moeten worden. Bovendien moeten de leerlingen een duidelijke definitie voor het begrip ‘variabele’ opstellen en dit gebruiken als basis voor de rest van de lessenserie. Door samenwerkende onderwijsvormen toe te passen, worden leerlingen gestimuleerd om hun gedachten te verwoorden.

Een lessenserie bestaande uit vier lessen is ontworpen om dit probleem te verhelpen. De eerste les laat de leerlingen kennismaken met de vijf rollen van de variabele. In de tweede en derde les gaan de leerlingen aan de slag met het opstellen van formules en vergelijkingen in rekenkundige en meetkundige contexten. De vierde les is een afsluitende les waarin de leerlingen verschillende contextrijke vraagstukken moeten oplossen door een vergelijking op te stellen. In alle lessen wordt er gebruik gemaakt van samenwerkende onderwijsvormen: expertgroepjes, werken in twee- en drietallen en rolverdelingen. Het educatieve ontwerp wordt op twee manieren geëvalueerd. De eerste manier is een inhoudsanalyse van een toetsopgave die alle leerlingen in de klas na afloop van de lessenserie moeten maken. De resultaten van deze nameting worden vergeleken met die van een voormeting. De tweede manier is een hardop denken-opdracht die aan drie leerlingen wordt voorgelegd. Beide opgaven worden volgens een codeerschema geanalyseerd.

De inhoudsanalyse laat niet zien dat de lessenserie tot gevolg heeft gehad dat leerlingen beter zijn geworden in het opstellen van vergelijkingen. Er is geen verbetering waarneembaar tussen de voor- en nameting. Bij het hardop denken zijn de leerlingen wel in staat om vergelijkingen op te stellen, maar ondervinden ze grote moeite in het oplossen van deze vergelijkingen. De leerlingen zijn wel beter geworden in het interpreteren van een oplossing binnen de context van de vraag en in het geven van een geschikte definitie voor het begrip ‘variabele’. Hiermee kan geconcludeerd worden dat hun begrip van wat een variabele inhoudt wel enigszins is verbeterd.

3

Inhoudsopgave

2.1: Wat vinden leerlingen lastig? ... 7

2.1.1: Modelleren ... 7

2.1.2: Het variabelenbegrip ... 8

2.1.3: Taalvaardigheden ... 8

2.1.4: Verwarrende contexten ... 9

2.2: Hoe ziet een mogelijke oplossing eruit? ... 9

2.2.1: Productief oefenen ... 9 2.2.2: Variabelen ... 10 2.2.3: Nuttige contexten ... 10 2.2.4: Taalvaardigheden ... 11 2.2.5: Samenvatting ... 11 3. Empirische verkenning ... 12 3.1: Inhoudsanalyse toetsopgaven ... 12 3.2: Interviews ... 13 4. Ontwerphypothese en ontwerpregels ... 14 4.1: Ontwerphypothese ... 14 4.2: Ontwerpregels ... 14 5. Onderzoeksplan en effectmetingen ... 16 5.1: Onderzoeksopzet ... 16 5.2: Inhoudsanalyse toetsopgave ... 16 5.3: Hardop denken ... 16 5.4: Tijdsplanning ... 17 6. Het ontwerp ... 18

7. Beschrijving en analyse uitvoering ontwerplessen ... 19

7.1: Les 1 ... 19

4

7.3: Les 4 ... 19

8. Beschrijving en analyse uitvoering effectmetingen ... 21

8.1: Inhoudsanalyse ... 21 8.2: Hardop denken ... 21 9. Resultaten ... 22 9.1: Inhoudsanalyse ... 22 9.2: Hardop denken ... 23 9.3: Interpretatie resultaten ... 24 10. Conclusie en discussie ... 25 10.1: Conclusies ... 25 10.2: Discussie ... 25

10.2.1: Beperkingen en kwaliteiten evaluatie ... 25

10.2.2: Herontwerp en vervolgonderzoek ... 26

11. Analytische terugblik... 27

Bibliografie ... 28

Bijlage A – Inhoudsanalyse ... 29

A.1: Opgaven en correctiemodel ... 29

A.1.1: Voormeting – theoretische verkenning ... 29

A.1.2: Nameting ... 29 A.2: Codeerschema ... 30 A.3: Resultaten ... 32 A.3.1: Voormeting ... 32 A.3.2: Nameting ... 32 Bijlage B: Interview ... 33 B.1: Aanpak ... 33 B.1.1: Vragenlijst ... 33 B.1.2: Toelichting op vragenlijst ... 33 B.2: Interview leerling VN ... 33 B.3: Bevindingen interviews ... 39

Bijlage C – Hardop denken ... 41

C.1: Opgave en correctiemodel ... 41

5

C.3: Resultaten hardop denken ... 43

C.3.1: Hardop denken leerling 1 (zwak) ... 43

C.3.2: Hardop denken leerling 2 (middelmatig) ... 44

C.3.3: Hardop denken leerling 3 (sterk) ... 45

6

1. Probleemstelling

1.1: Probleem

Het probleem dat in dit educatieve ontwerp centraal staat is dat leerlingen uit 4havo die wiskunde A volgen het lastig vinden om lineaire vergelijkingen op te stellen bij contextrijke opgaven. Centrale begrippen in dit probleem zijn: lineaire vergelijking, algebraïseren, abstractie, variabele en modelvorming. In de syllabus voor het eindexamen staan de volgende eindtermen vermeld onder het subdomein A3: Wiskundige vaardigheden:

4. kan wiskundige informatie ordenen en in probleemsituaties de wiskundige structuur onderkennen; 5. kan bij een gegeven probleemsituatie een model opstellen in wiskundige termen;

Ook bij het centraal examen havo wiskunde A komen zogenaamde modelleeropgaven voor. Bij dergelijke opgaven moet een leerling zelf een oplossingsstrategie bedenken, wat vaak inhoudt dat er een vergelijking moet worden opgesteld.

In de praktijk manifesteert dit probleem zich op verschillende manieren. Leerlingen zijn niet in staat om de vertaalslag te maken van context naar algebra. Leerlingen weten niet dat de onbekende waar ze naar op zoek zijn bijvoorbeeld 𝑥 kan worden genoemd, dat uit de tekst verschillende uitdrukkingen met 𝑥 kunnen worden afgeleid, en zijn ook niet in staat om de gevonden uitdrukkingen aan elkaar te koppelen in de vorm van een vergelijking. Wanneer leerlingen wel in staat zijn om een onbekende te definiëren, leiden ze foutieve relaties af, bijvoorbeeld: ‘𝑥 met 5 vermeerderen’ noteren zij als 5x in plaats van 𝑥 + 5. Leerlingen die de eerste stap al niet kunnen maken, haken af, of proberen de oplossing te vinden door te gokken. Twee mogelijke oorzaken voor dit probleem zijn:

 Leerlingen zijn in staat om ‘droge’ vergelijkingen op te lossen, zijn ook in staat om in context (niet-algebraïsche) berekeningen uit te voeren, maar zien niet in dat technieken uit het eerste domein ook voor het tweede domein kunnen worden gebruikt.

 Voor het oplossen van vergelijkingen bestaan duidelijke stappenplannen (bijv. balansmethode), maar voor het opstellen van vergelijkingen is dit minder vanzelfsprekend.

1.2: Doel en relevantie

Het beoogde eindproduct van dit educatieve ontwerp is een lessenserie waarbij de leerlingen stap voor stap een strategie ontwikkelen die ze kunnen gebruiken voor het opstellen van lineaire vergelijkingen. Leerlingen leren hoe ze een onbekende kunnen definiëren, welke wiskundige bewerkingen bij welke typen informatie horen, en hoe de gevonden uitdrukkingen met elkaar in relatie kunnen worden gebracht. Wanneer dit probleem wordt opgelost, kan de wiskunde meer relevant worden gemaakt: leerlingen zien in dat de aangeleerde algebraïsche technieken ook voor alledaagse problemen kunnen worden gebruikt. Een ontwerp is nodig voor dit probleem, omdat leerlingen geen strategie hebben voor het oplossen van de besproken vraagstukken. De lesmethode presenteert alleen uitgewerkte voorbeelden, maar biedt voor de rest geen handvatten of methodiek voor het opstellen van lineaire vergelijkingen. De bevindingen van dit onderzoek zijn interessant voor docenten van alle vakken waarbij algebraïsche technieken in context moeten worden toegepast.

7

2. Theoretische verkenning

2.1: Wat vinden leerlingen lastig?

2.1.1: Modelleren

Het probleem waar deze ontwerpnotitie betrekking op heeft, heeft nauw te maken met het begrip ‘wiskundig modelleren’. Modelleren en algebraïseren worden door de vernieuwingscommissie cTWO benoemd als één van de zes denkactiviteiten die in het vak wiskunde centraal staan. Spandaw en Zwaneveld (2012) verdelen het wiskundig modelleren in vijf stappen:

1. Conceptualiseren: een mentaal beeld van de situatie vormen en deze beschrijven in termen van relevante concepten. De leerling gaat na welke elementen uit de tekst relevant zijn voor het oplossen van het vraagstuk en vormt een conceptueel model.

2. Mathematiseren: het maken van een vertaalslag naar de wiskunde en het vormen van een wiskundig model. Voor dit onderzoek zal mathematiseren vooral neerkomen op algebraïseren: het vertalen van een kenmerk, vraag of eigenschap in termen van algebra.

3. Het wiskundig analyseren van het model, wat leidt tot een wiskundige oplossing.

4. Het interpreteren van de oplossing en het terugvertalen van de wiskundige uitkomst naar de situatie. 5. Eventueel kan het model nog worden gevalideerd. De waarde van het model wordt kritisch onder de

loep genomen en de leerling gaat na of het oorspronkelijke probleem inderdaad is opgelost.

Wiskundig modelleren sluit goed aan op realistisch wiskundeonderwijs, waarbij contexten worden gebruikt om een opgave betekenis te geven. Een realistische rekenopgave kan worden verdeeld in twee onderdelen. Horizontaal mathematiseren is het vertalen van een realistisch probleem naar een wiskundig probleem met wiskundige termen. Verticaal mathematiseren is het werken naar de oplossing door de wiskundige bewerkingen te generaliseren. Abstraheren is hierin een zeer essentieel onderdeel. De combinatie van horizontaal en verticaal mathematiseren wordt progressief mathematiseren genoemd, en is een manier waarop leerlingen leren om hun eigen wiskundige kennis te ontwikkelen (Doorman en Gravemeijer, 1999).

In het modelleerproces kunnen leerlingen verschillende struikelblokken tegenkomen (Galbraith & Stillman, 2006):

 Leerlingen hebben moeite met het conceptualiseren: de context van het probleem is onduidelijk.

 Het algebraïseren wordt vaak als het lastigste ervaren. Wanneer niet expliciet in de vraag staat dat er een vergelijking moet worden opgesteld om een probleem op te lossen, kan het lang duren voordat leerlingen door hebben wat er eigenlijk wat ze gevraagd wordt qua wiskunde. Bovendien vergeten leerlingen soms dat een variabele een éénduidige betekenis heeft, en niet voor meerdere grootheden tegelijk kan staan.

 Afhankelijk van de vraagstelling vergeten leerlingen om hun wiskunde oplossing te interpreteren in de context van de vraag. In sommige gevallen is de numerieke waarde van 𝑥 meteen het antwoord, in andere gevallen is dit een tussenresultaat en zijn er nog vervolgstappen nodig.

8

Spandaw en Zwaneveld (2012) stellen dat leerlingen modelleren en algebraïseren lastig vinden omdat ze niet gewend zijn om zelf wiskundige beschrijvingen bij probleemsituaties te maken. Vaak worden deze beschrijvingen namelijk kant-en-klaar aan de leerling gepresenteerd, en is het alleen de bedoeling dat de leerling ermee leert werken. Voor de rest spelen niet-wiskundige aspecten een essentiële rol bij modelleren, wat het voor de leerlingen alleen maar moeilijker maakt. Ondanks deze grote moeite is het noodzakelijk is om in de wiskundelessen aandacht te besteden aan modelleren: de leerlingen zien het nut in van wiskunde en leren om het vak toe te passen, wat de transfer naar andere vakken kan vergemakkelijken.

Bij het opstellen van een vergelijking bij een tekst zijn twee soorten wiskundige kennis van belang. Conceptuele kennis gaat over de ideeën en generalisaties die aan de toe te passen wiskunde ten grondslag liggen. Procedurele kennis is nodig om wiskundige stappenplannen uit te voeren zonder na te denken over de onderliggende wiskundige ideeën. Leerlingen neigen over het algemeen sneller naar procedurele kennis ten koste van conceptuele kennis, terwijl juist een balans tussen deze twee typen kennis nodig is. Wanneer conceptuele kennis vergaard is, zijn leerlingen beter in staat om te algebraïseren. Leerlingen die vraagstukken oplossen puur door een vast, te memoriseren stappenplan aan te houden hebben vaak misconcepties over vergelijkingen, en zijn minder goed in staat om te algebraïseren (Carpraro & Joffrion, 2006).

2.1.2: Het variabelenbegrip

Fundamenteel voor het kunnen opstellen van vergelijkingen is een sterk begrip van wat een variabele inhoudt. Leerlingen moeten bij wiskunde met variabelen in verschillende ‘rollen’ kunnen werken. Drijvers en Kop (2012) geven vijf rollen die een variabele kan spelen bij de wiskunde:

 De rol van plaatshouder: een lege plaats in een som waar een getal kan worden ingevuld.

 De rol van veranderlijke. Een onafhankelijke variabele doorloopt een bepaald domein en neemt verschillende waarden aan, waardoor een andere afhankelijke variabele ook varieert. Dit is de rol die variabelen vaak bij formules en functies spelen.

 De rol van generalisator. De variabele staat symbool voor alle elementen uit een verzameling, en wordt gebruikt om eigenschappen te ontdekken die voor alle waarden uit deze verzameling gelden.

 De rol van onbekende. De variabele stelt één of meer getallen voor, die voldoet of voldoen aan een door de vergelijking gegeven criterium. De leerling moet dan met behulp van algebraïsche technieken zien te achterhalen wat de waarde van de variabele is.

 De rol van parameter. De variabele is dan een constante die bij elke verandering een nieuw algebraïsch object genereert.

Vaak interpreteren leerlingen een variabele als iets wat altijd veranderlijk is, terwijl een variabele in een vergelijking (als onbekende) wel degelijk een vaste waarde kan hebben (Carpraro & Joffrion, 2006).

2.1.3: Taalvaardigheden

Taal speelt ook een rol in het vermogen van leerlingen om een realistisch probleem te mathematiseren (Carpraro & Joffrion, 2006). Begrijpend lezen en redeneren zijn van belang voordat een algebraïsche uitdrukking kan worden afgeleid, onder andere omdat het geheugen bij wiskunde op een soortgelijke

9

manier werkt als tijdens het lezen, het herkennen en het begrijpen van woorden. Er is bewijs dat leerlingen die alleen moeite hebben met wiskunde (en niet met lezen) sneller vooruitgang boeken op het gebied van wiskunde dan leerlingen die zowel moeite hebben met wiskunde als met lezen. Ook is er bewijs dat het trainen van leerlingen op het gebied van lezen een positief effect kan hebben op hun prestaties bij wiskunde. Vaak zijn de woorden die essentieel zijn voor het oplossen van een wiskundig vraagstuk juist de woorden die leerlingen niet kennen (Carpraro, Carpraro, & Rupley, 2011). Woorden kunnen met verkeerde concepten gelinkt worden. Bijvoorbeeld: de term ‘meer dan’ doet veel leerlingen denken aan een optelling, terwijl er in sommige situaties moet worden afgetrokken. Leerlingen zijn vaak geneigd om een wiskundig vraagstuk van links naar rechts te ‘vertalen’. Bijvoorbeeld: ‘drie minder dan een getal’ interpreteren leerlingen als 3 − 𝑥, omdat ze ‘minder dan’ associëren met een aftrekking, en het getal in de tekst later dan de drie komt (Carpraro & Joffrion, 2006).

2.1.4: Verwarrende contexten

Een andere factor die het oplossen van vraagstukken waarbij een vergelijking moet worden opgesteld kan bemoeilijken, is de context van de vraag. Hoewel contexten bedoeld zijn om wiskunde meer te laten aansluiten bij de belevingswereld van de leerlingen, kunnen ze soms toch voor nieuwe moeilijkheden zorgen (Drijvers, 2006). De contexten kunnen geknutseld of irreëel zijn. Er is geen sprake van een herkenbaar probleem dat vanzelfsprekend tot wiskunde leidt, maar een verhaaltje is zodanig in elkaar gezet zodat de te behandelen wiskunde erin past. Bovendien wordt de stap tot abstractie soms vergeten.

2.2: Hoe ziet een mogelijke oplossing eruit?

2.2.1: Productief oefenen

Kindt (2003) stelt voor om in algebraonderwijs productieve oefeningen toe te passen. Bij dit soort oefeningen wordt de leerling uitgedaagd om na te denken, en gaat het niet om het aanleren van automatismen zoals bij reproductieve oefeningen, die pas na vele herhalingen effectief kunnen zijn. Kindt stelt dat het mogelijk is om kinderen zelf algebraïsche procedures te laten uitvinden en ze deze toe te laten passen in betekenisvolle situaties. In zijn boek Oefeningen in algebra presenteert Kindt een serie oefeningen waarbij leerlingen worden gestimuleerd om productief te oefenen. De oefeningen hebben voornamelijk betrekking op natuurlijke getallen, omdat deze voor leerlingen het meest concreet zijn. Een aantal voorbeelden van deze oefeningen zijn:

 Leerlingen moeten eigen producties geven. Bijvoorbeeld: ze moeten zelf een aantal herleidingen geven die uitkomen op 12𝑎𝑏.

 Leerlingen moeten formules uittesten door te letten op bijzondere gevallen en dimensies. Voor oppervlakte- en inhoudsformules of natuurkundige formules kunnen verschillende aspecten worden onderzocht, zoals: randgevallen, symmetrie, vergelijkingen met bekende formules, etc. Kindt (2003) geeft als voorbeeld de klassieke formule van Heron voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek: 𝑂 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) met 𝑎, 𝑏 en 𝑐 de zijden van de driehoek en 𝑠 de halve omtrek. Voorbeelden van het onderzoeken van bijzondere gevallen zijn: wat gebeurt er met de formule als 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 en klopt dit? Wat gebeurt er als 𝑠 − 𝑎 = 0? Kan de vorm onder het wortelteken negatief zijn?

10

 Leerlingen werken met rechthoekmodellen. Het gaat dan om figuren die bestaan uit rechthoeken waarvan de lengte van de zijdes gegeven zijn door algebraïsche uitdrukkingen. Het berekenen van de omtrek en oppervlakte van deze figuren kan worden gebruikt als algebraoefening. In de onderstaande afbeelding is een voorbeeld van een rechthoekmodel te zien dat gebruikt kan worden voor het oefenen met het uitwerken van haakjes.

Figuur 2.1: Rechthoekmodel. (Kindt, 2003)

2.2.2: Variabelen

Van Dormolen (1974) adviseert om voor het begrip variabele eerst te beginnen met de rol van variabele als plaatsvervanger. In de vergelijking 𝑥 + 4 = 6 is de 𝑥 dan een voorlopig symbool, waar later een 2 voor kan worden gesubstitueerd om een kloppende bewering te krijgen. Van Dormolen (1974) stelt dat het belangrijk is dat leerlingen een omschrijving voor het woord variabele opstellen, die in de klas gebruikt kan worden als basis voor het oplossen van wiskundevraagstukken. Verder geeft hij met betrekking tot het creëren van meer inzicht in het begrip variabele de volgende adviezen:

 Leerlingen moeten leren werken met ware en onware beweringen. Een voorbeeld van een opgave met een onware bewering is: ‘vul een getal in op de open plaats zodat er een onware uitspraak ontstaat: … × -4 = 24.’ Ook beweringen die niet onwaar kunnen worden gemaakt, zoals 𝑥 ∙ 0 = 0, zijn gepast voor de verwerkingsfase. Op deze manier worden de leerlingen bewust van het feit dat elk willekeurig getal op de open plaats ingevuld kan worden, en de variabele nu een generalisator is.

 Om leerlingen in te laten zien dat het werken met letters een stuk handiger is dan het werken met open plaatsen, kan de docent aan leerlingen beweringen met meerdere variabelen presenteren.

 Om leerlingen niet te laten vergeten dat een variabele een plaatsvervanger is, kan de docent leerlingen laten ‘terugsubstitueren’. Leerlingen moeten bijvoorbeeld zoeken uit welke vergelijking na substitutie een bepaalde som is ontstaan (bijv.: uit welke vergelijking is na substitutie 20 = 6 ∙ 3 + 2 ontstaan?).

2.2.3: Nuttige contexten

Contexten die betekenisvol wiskundig denken mogelijk maken en de wiskunde concreet maken, maken cognitieve groei mogelijk. Informele kennis van alledaagse zaken moet zo goed mogelijk worden gebruikt zodat leerlingen grip krijgen op formele representaties (Doorman en Gravemeijer, 1999). Drijvers (2006) stelt een aantal contexten voor die aanleiding kunnen vormen tot algebra, zoals natuurkundige en meetkundige contexten. Ook rekencontexten worden aangedragen als geschikte contexten voor algebra. Bijvoorbeeld: neem vier opeenvolgende getallen, vermenigvuldig de middelste twee getallen en de buitenste twee getallen met elkaar en bereken het verschil. Nadat de leerling dit een paar keer doet, zal

11

hij/zij erachter komen dat hier altijd het getal 2 uit komt. De uitdaging is dan dat de leerling dit middels algebra bewijst.

2.2.4: Taalvaardigheden

Er bestaan verschillende tactieken om de leesvaardigheid van leerlingen te vergroten (Carpraro, Carpraro, & Rupley, 2011). Aandacht kan worden geschonken aan synoniemen, tegenstellingen, voorvoegsels en het groeperen van wiskundige woorden in categorieën. Door leerlingen informatie uit een tekst te laten samenvatten, filteren leerlingen de belangrijke informatie en beschrijven ze het probleem in hun eigen woorden. Het in staat zijn om een probleem in eigen woorden te formuleren is vaak een indicator van een goede conceptuele kennis (Carpraro & Joffrion, 2006). Ook is het belangrijk om de leerlingen mee te geven dat een woord in de wiskunde meerdere bewerkingen kan inhouden. Bijvoorbeeld: het woord ‘elke’ kan een vermenigvuldiging of een deling tot gevolg hebben afhankelijk van de variabele (Carpraro & Joffrion, 2006).

Voor de rest benadrukken Van Eerde et al. (2002) het belang van groepsopdrachten in realistisch wiskundeonderwijs. Door middel van interactie leren de leerlingen om hun denkwijzen te verwoorden, naar oplossingen te zoeken en om deze oplossingen te verantwoorden. Voordat leerlingen leren om contextsituaties te vertalen naar algebra, moeten ze de kans hebben gehad om ze te bespreken in alledaagse taal, om zo hun conceptuele kennis te vergroten (Carpraro & Joffrion, 2006).

2.2.5: Samenvatting

Een mogelijke oplossing voor het probleem van dit onderzoek is een lessenserie over het opstellen van vergelijkingen bij een gegeven tekst. Deze lessenserie bevat (één of meerdere van) de volgende kenmerken:

 Stimuleert het nadenken van de leerling in plaats van het aanleren van automatismen (conceptuele kennis in plaats van procedurele kennis).

 Stimuleert leerlingen om een omschrijving voor het woord variabele op te stellen en gebruikt deze omschrijving als basis voor het uitwerken van vraagstukken.

 Bevat contexten die van nature een aanleiding vormen tot algebra.

12

3. Empirische verkenning

Voor de empirische verkenning wordt er in een 4havo wiskunde A-klas onderzocht hoe het gesteld is met het vermogen van leerlingen om bij een tekst een vergelijking op te stellen. Getracht wordt om inzicht te verkrijgen in wat de voornaamste struikelblokken zijn voor de leerlingen in deze klas (4HA). De empirische verkenning voor dit onderzoek wordt, in overeenstemming met het trianguliteitsprincipe, vanuit twee verschillende invalshoeken gedaan:

 Een inhoudsanalyse van gemaakte toetsopgaven. De toetsopgaven moeten inzicht bieden in of de leerlingen in staat zijn een lineaire vergelijking op te stellen bij een tekst, en om de oplossing van deze vergelijking terug te vertalen naar de context van de vraag.

 Interviews met enkele leerlingen. Hiermee wordt getracht om inzicht te verwerven in wat leerlingen precies verstaan onder een ‘variabele’. Eventuele misconcepties in het idee over dit begrip kunnen ook een rol spelen in moeilijkheden die leerlingen bij dit onderwerp ondervinden.

3.1: Inhoudsanalyse toetsopgaven

Op vrijdag 8 maart 2019 hebben de 21 leerlingen van 4HA een toets over het hoofdstuk ‘Lineaire formules’ gemaakt. Opgave 4 van deze toets (bijlage A.1.1) is gebruikt voor de inhoudsanalyse. Het gebruikte codeerschema inclusief toelichting is te vinden in bijlage A.2. De resultaten van de codering zijn in bijlage A.3.1 te vinden. De inhoudsanalyse leidde tot de volgende bevindingen:

 Slechts twee leerlingen hebben de moeite gedaan om in woorden hun berekening toe te lichten. Alle andere antwoorden bestonden enkel uit algebraïsche expressies waar bewerkingen op werden uitgevoerd. Dit laat zien dat de leerlingen te snel de stap naar het mathematiseren (stap 2 in het modelleren, zie §2.1.1) willen maken, en het conceptualiseren (stap 1 in het modelleren) min of meer overslaan. Veel van de gegeven antwoorden bestaan uit willekeurige getallen die met elkaar vermenigvuldigd worden, met de 𝑥 op willekeurige plaatsen in de vergelijking. Uit 15 van de 21 antwoorden was op te maken dat er een poging werd gedaan om een vergelijking voor de totale opbrengst op te stellen, bijvoorbeeld doordat er in het rechterlid van de vergelijking 7571,25 stond.

 Met betrekking tot het mathematiseren waren acht leerlingen waren in staat om in te zien dat het aantal kaartjes van €25,50 gelijk is aan 375– 𝑥. Vijf van hen lukte het uiteindelijk om de vergelijking correct op te stellen; de andere drie hebben vervolgens rekenfouten gemaakt. Daarnaast waren er vijf leerlingen die voor dit aantal kaartjes de variabele 𝑦 definieerde, en dus een (kloppende) lineaire vergelijking met twee variabelen opstelde. Over deze vijf leerlingen bestaat dus het vermoeden dat zij bekend zijn met het gebruik van variabelen als onbekenden. Slechts twee van deze leerlingen waren daarentegen in staat om in te zien dat 𝑦 = 375– 𝑥. De andere drie leerlingen liepen op dit punt vast, bijvoorbeeld doordat ze vervolgens 𝑦 gingen vrijmaken en niet wisten wat ze daarna moesten doen.

 Bij vraag b zagen dertien leerlingen in dat de vergelijking moest worden opgelost. Sommigen hebben hier rekenfouten in gemaakt, bijvoorbeeld doordat ze bij a een verkeerde vergelijking hadden opgesteld waar ze bij b mee verder rekenden. Van de dertien leerlingen hebben er acht ingezien dat de gevonden waarde voor 𝑥 nog niet het eindantwoord was: zij waren in staat de oplossing van de vergelijking te interpreteren binnen de context van de vraag (stap 4 in het modelleren), namelijk als

13

het aantal kaartjes van €18,75, en wisten dat het aantal kaartjes van €25,50 gevonden kon worden door de gevonden 𝑥 van 375 af te trekken.

Er kan dus worden geconcludeerd dat de leerlingen van 4HA te snel de stap naar het mathematiseren willen zetten en vergeten om eerst te conceptualiseren. Verder vinden ze het lastig om bij het mathematiseren onbekenden uit te drukken in een gegeven variabele, en vergeten ze na het oplossen om de oplossing te interpreteren in de context van de vraag.

3.2: Interviews

Het tweede deel van de empirische verkenning bestaat uit een korte reeks interviews waarbij drie verschillende leerlingen uit klas 4HA zijn ondervraagd over wat hun interpretatie is van het begrip variabele. Er is gekozen om drie leerlingen te interviewen: een zwakke leerling (YB), een middelmatige leerling (VN), en een sterke leerling (HB). Of een leerling zwak of sterk is, is bepaald afhankelijk van zijn/haar score op de toetsopgave van paragraaf 3.1. De vragen van het interview met de bijbehorende toelichting zijn te vinden in bijlage B.1. Voor één leerling is het interview volledig uitgetypt in bijlage B.2. De belangrijkste bevindingen van de drie interviews staan in bijlage B.3.

Uit de interviews kunnen de volgende conclusies worden getrokken:

 De leerlingen vinden het moeilijk om een geschikte definitie te geven van het woord ‘variabele’, waarschijnlijk omdat er nooit expliciet een definitie van aan de leerlingen is gegeven of omdat ze zich deze definitie niet kunnen herinneren. Ze herinneren zich vooral de eerste toepassingen en rekenregels met variabelen.

 Economie is voor de leerlingen een voor de hand liggende toepassing van wiskunde met formules, vergelijkingen en variabelen. Leerlingen zijn in staat in een economische context de wiskunde te herkennen.

 Het opstellen van een vergelijking met meerdere variabelen gaat de leerlingen goed af. Uit de inhoudsanalyse bleek echter dat een vergelijking met één variabele voor de meeste leerlingen te moeilijk was. Wat een mogelijk struikelblok is, is dat leerlingen de algebraïsche technieken voor het combineren van twee vergelijkingen niet beheersen.

 De leerlingen zijn vooral bekend met de rol van variabele als veranderlijke, en minder met de rol van variabele als onbekende. Verder zijn zij in staat een theoretisch onderscheid te maken tussen de rol van veranderlijke en parameter, maar hebben ze moeite met het (grafische) effect van dit onderscheid.

14

4. Ontwerphypothese en ontwerpregels

4.1: Ontwerphypothese

De ontwerphypothese voor dit onderzoek luidt:

‘Als ik het feit dat de leerlingen van 4HA het lastig vinden om een lineaire vergelijking op te stellen bij een tekst aanpak met een lessenserie met nuttige contexten gebaseerd op productief oefenen en samenwerkend leren, dan verwacht ik dat zij beter in staat zijn om vergelijkingen op te stellen bij een tekst en een beter begrip hebben van wat een variabele inhoudt.’

De onafhankelijke variabele in deze hypothese is de lessenserie die ik ga geven. In de ontwerphypothese staan twee afhankelijke variabelen. De eerste is het kunnen opstellen van vergelijkingen bij een tekst. Hieronder versta ik:

 Leerlingen zijn in staat op basis van gegeven relaties in een tekst een conceptueel model te vertalen in een lineaire algebraïsche vergelijking met één variabele. Dit valt onder algebraïseren of mathematiseren, de tweede stap in het modelleerproces.

 Leerlingen zijn in staat te beargumenteren waarbij zij bepaalde termen optellen of bepaalde factoren vermenigvuldigen en waarom zij bepaalde termen in een bepaald lid van de vergelijking plaatsen. De tweede variabele is het begrip van wat een variabele inhoudt. Onder begrip van een variabele versta ik:

 Leerlingen zijn in staat om een correctie definitie van het begrip ‘variabele’ te geven.

 Leerlingen zijn in staat bij een tekst een geschikte keuze voor een variabele te maken en zijn in staat deze keuze te beargumenteren. In het modelleerproces sluit dit aan op het conceptualiseren (herkennen van relevante elementen) en het mathematiseren (vertalen van grootheden naar algebra).

 Leerlingen zijn in staat de waarde van een variabele te interpreteren binnen de context van een vraagstuk. Dit is de vierde stap in het modelleerproces.

4.2: Ontwerpregels

De lessenserie heeft dus twee doelen voor ogen: leerlingen moeten beter in staat zijn om vergelijkingen op te stellen, en leerlingen moeten een beter begrip krijgen van wat een variabele inhoudt. Voor het eerste doel moeten de volgende ontwerpregels worden gehanteerd:

1. Als je een lessenserie wilt ontwerpen zodat leerlingen beter in staat worden om vergelijkingen op te stellen, dan wordt aanbevolen om de opgaven in deze lessenserie een productief karakter te geven, en dat te doen door opgaven in de lessenserie op te nemen:

- met rechthoekmodellen;

- waarbij leerlingen eigen producties moeten geven;

- waarbij leerlingen bijzondere gevallen van formules moeten onderzoeken.

Dit leidt ertoe dat de leerlingen uitgedaagd worden om na te denken en zelf algebraïsche procedures uitvinden, vanwege het argument dat ze zich bij productief oefenen geen automatismen hoeven aan te leren (Kindt, 2003).

15

2. Als je een lessenserie wilt ontwerpen zodat leerlingen beter in staat worden om vergelijkingen op te stellen, dan wordt aanbevolen om de opgaven in deze lessenserie geen verwarrende contexten (geknutseld, ireëel of met onvoldoende abstractie) te geven, en dat te doen door de opgaven enkel contexten uit de rekenkunde, meetkunde, natuurkunde (Drijvers, 2006) of economie te geven. Dit leidt ertoe dat de leerlingen een cognitieve groei in het wiskundig denken meemaken, vanwege het argument dat informele kennis van alledaagse zaken wordt ingezet om grip te krijgen op formele representaties (Doorman en Gravemeijer, 1999).

3. Als je een lessenserie wilt ontwerpen zodat leerlingen beter in staat worden om vergelijkingen op te stellen, dan wordt aanbevolen om de opgaven in de lessenserie op basis van samenwerkend leren te ontwerpen, en dat te doen door leerlingen in twee- of meertallen aan de opdrachten te laten werken. Dit leidt ertoe dat de leerlingen zich ontwikkelen op het gebied van realistische wiskunde, met als argument dat leerlingen leren hun denkwijzen te verwoorden en zo hun taalvaardigheden ontwikkelen (Van Eerde et al., 2002).

Voor het tweede doel geldt de volgende ontwerpregel:

4. Als je een lessenserie wilt ontwerpen om het begrip van wat een variabele inhoudt te vergroten, dan wordt aanbevolen om de leerlingen een duidelijke omschrijving voor het woord variabele te laten opstellen en dat als basis te laten gebruiken voor verdere vraagstukken. Dit moet gedaan worden door leerlingen te laten werken:

- met ware en onware beweringen;

- met vergelijkingen met meerdere variabelen; - met opgaven met ‘terugsubstituteren’.

Dit leidt ertoe dat leerlingen een beter inzicht verkrijgen in de betekenis van het begrip variabele, vanwege het argument dat leerlingen bewust worden dat elk getal op de plek van een variabele kan worden ingevuld en het nut van een variabele in vergelijking met ‘open plaatsen’ inzien (Van Dormolen, 1974).

16

5. Onderzoeksplan en effectmetingen

5.1: Onderzoeksopzet

Om te bepalen of de gestelde ontwerphypothese klopt, vindt er een voor- en een nameting plaats met één 4havo wiskunde A-klas (4HA). Voor de voormeting wordt de inhoudsanalyse van de empirische verkenning gekozen. Er is gekozen om niet na deze verkenning nog een aparte voormeting te houden, omdat leerlingen de vraagstelling zullen herkennen en in de tussentijd van hun fouten geleerd kunnen hebben. De nameting vindt plaats op twee manieren: een inhoudsanalyse van een nieuwe toetsopgave en een hardop denken-opdracht.

5.2: Inhoudsanalyse toetsopgave

De eerste les na de lessenserie (13 mei 2019) moeten alle leerlingen van klas 4HA opnieuw een toetsopgave maken. Deze toetsopgave is weergegeven in bijlage A.1.2. De leerlingen krijgen tien minuten om deze opgave te maken. Dit is vergelijkbaar met de tijd die ze voor één opgave kregen bij de toets van het hoofdstuk ‘Lineaire formules’1. Er is getracht deze opgave qua opbouw zoveel mogelijk te laten lijken op de opgave van de voormeting. De uitwerkingen van de leerlingen worden geanalyseerd door middel van dezelfde codering als van de voormeting, om zo precies mogelijk in kaart te brengen op welke onderdelen de leerlingen vooruit zijn gegaan.

De inhoudsanalyse is de belangrijkste nameting, omdat deze het directe leerresultaat van de lessenserie in kaart zal brengen. Deze evaluatiemethode heeft twee doelen:

- Nagaan of de leerlingen een vergelijking kunnen opstellen bij een tekst. Dit is onderdeel van het mathematiseren of algebraïseren (stap 2 in het modelleerproces).

- Nagaan of de leerlingen een gevonden uitkomst kunnen interpreteren in de context van de vraag (stap 4 in het modelleerproces).

5.3: Hardop denken

De hardop denken-methode wordt ook gebruikt voor de nameting, omdat de onderliggende denkactiviteiten of processen vrijwel direct af te leiden zijn uit de verbalisaties van de leerlingen (Schellings, 2012). Drie leerlingen worden uitgekozen om een hardop denken-opdracht uit te voeren: één zwakke, één middelmatige en één sterke leerling. Of een leerling zwak of sterk is, wordt bepaald op basis van de resultaten van de nameting. Aan het begin van de opdracht wordt aan de leerlingen gevraagd om een definitie van het begrip ‘variabele’ te geven. Daarna moeten de leerlingen hardop denkend de opgave uit bijlage C.1 maken. Het hardop denken wordt vastgelegd door middel van een voicerecorder. Na afloop worden de spraakopnames gecodeerd door middel van het coderingsinstrument in bijlage C.2. Dit instrument is gebaseerd op het instrument van Galbraith en Stilman (2006), die eerder onderzoek hebben gedaan bij struikelblokken die leerlingen tegenkomen bij het uitvoeren van een modelleeropdracht. Omdat uit een hardop denken-opdracht meer informatie kan worden gehaald dan uit de inhoudsanalyse van een toetsopgave, wordt hier een ander coderingsinstrument voor gebruikt.

1 _{Dit was een toets bestaande uit vijf opgaven waar de leerlingen 50 minuten voor kregen, dus gemiddeld 10}

17

Hardop denken wordt gebruikt om het effect op het leergedrag in kaart te brengen. De doelen van deze evaluatiemethode zijn:

- Nagaan of de leerlingen een kloppende definitie voor het begrip variabele kunnen geven.

- Nagaan of de leerlingen een geschikte keuze voor een variabele kunnen maken. Dit is onderdeel van het conceptualiseren en mathematiseren (stap 1 en 2 in het modelleerproces). Ook wordt er gekeken of leerlingen deze keuze kunnen beargumenteren.

- Nagaan of de leerlingen een vergelijking kunnen opstellen bij een tekst (mathematiseren, stap 2 modelleerproces) en of ze de opbouw van deze vergelijking (welke algebraïsche expressies in welk lid) kunnen beargumenteren.

5.4: Tijdsplanning

In het onderstaande tijdsschema is de planning voor dit onderzoek weergegeven. Datum Onderdeel

6 – 10 mei 2019 Uitvoeren lessenserie

13 mei 2019 Effectmeting 1: afgeven toetsopgave

13 – 17 mei 2019 Effectmeting 2: hardop denken met drie leerlingen 20 – 24 mei 2019  Inhoudsanalyse toetsopgaven

 Codering en analyse opnames hardop denken

18

6. Het ontwerp

Op basis van de vier ontwerpregels (hoofdstuk 4) is een lessenserie ontworpen van vier lessen. Voor de lesplannen en bijbehorende werkbladen wordt verwezen naar bijlage D. De lessenserie heeft de onderstaande opbouw:

 Les 1 gaat over de vijf rollen van de variabele. In deze les wordt samenwerkend leren in de werkvorm ‘expertgroepjes’ toegepast (ontwerpregel 3). De klas wordt opgedeeld in vijf groepjes van elk vier à vijf leerlingen. Elke groep krijgt een werkblad dat één rol van de variabele behandelt. In de werkbladen zijn opdrachten verwerkt met ware en onware beweringen, terugsubstitueren en vergelijkingen met meerdere variabelen (ontwerpregel 4). Vervolgens worden er nieuwe groepjes gevormd, met van elk expertgroepje één leerling. De leerlingen leggen dan aan elkaar in eigen woorden uit wat de rol van de variabele die zij hebben bestudeerd inhoudt. Zo wordt er een definitie van het begrip ‘variabele’ gevormd die als basis dient voor de rest van de lessenserie (ontwerpregel 4).

 Les 2 gaat over het opstellen van vergelijkingen in rekenkundige contexten. In de theoretische verkenning is al aan bod gekomen dat rekenkunde een nuttige context is (ontwerpregel 2). De leerlingen krijgen een werkblad met opgaven met getallenlijnen, ‘bijzondere’ berekeningen en patronen. De bedoeling is dat de leerlingen in tweetallen deze opgaven maken (ontwerpregel 3). Elke leerling in het tweetal houdt zich bezig met één opgave en probeert uiteindelijk een soortgelijke opgave te verzinnen voor zijn of haar partner. Vervolgens bespreken de leerlingen elkaars gemaakte opgaven. Op deze manier worden leerlingen gestimuleerd om eigen producties te geven (ontwerpregel 1), en hun gedachten te verwoorden.

 Les 3 gaat over het opstellen van vergelijkingen in meetkundige contexten. Ook meetkunde was naar voren gekomen als een nuttige context (ontwerpregel 2). In deze les werken de leerlingen in drietallen (ontwerpregel 3). Deze les heeft een soortgelijke opbouw als les 2, maar nu gaan de opgaven over omtrekken, hoeken en ruimtefiguren. De leerlingen moeten onder andere de omtrek berekenen van rechthoekmodellen, en speciale gevallen van omtrekformules onderzoeken (ontwerpregel 1). Opnieuw moeten de leerlingen een soortgelijke opgave voor elkaar bedenken. Zo zijn ze dus weer bezig met het geven van eigen producties (ontwerpregel 1).

 Les 4 is een afsluitende les, waarin leerlingen de opgedane vaardigheden uit les 1 tot en met 3 gebruiken om in nieuwe contextsituaties (o.a. economische contexten, ontwerpregel 2) vergelijkingen op te stellen. In deze les werken de leerlingen in drie rondes in groepjes met een rolverdeling (ontwerpregel 3). De rolverdeling wisselt na elke ronde. Aan het einde van deze les wordt gevraagd van de leerlingen om een stappenplan op te stellen voor het opstellen van vergelijkingen.

Voor les 1 is onder andere de aanpak van Van Dormolen (1974) toegepast. Voor les 2 en les 3 zijn (aangepaste) opgaven uit de bundel Oefeningen in algebra van Martin Kindt (2003) gebruikt.

19

7. Beschrijving en analyse uitvoering ontwerplessen

De ontwerplessen vonden volgens planning plaats in de eerste week na de meivakantie. In dit hoofdstuk wordt de uitvoering van de lessenserie besproken en wordt er geanalyseerd in hoeverre deze in overeenstemming was met de ontwerpregels.

7.1: Les 1

De eerste les vond plaats op maandag 6 mei, het 8e lesuur. De voorbereiding voor deze les was goed: het klaslokaal stond van tevoren al in groepjes, en ik had voor de les al een groepsindeling gemaakt. Hierdoor kon de les op een ordelijke manier van start gaan. Tijdens de les merkte ik dat sommige werkbladen te ingewikkeld en te abstract waren voor de leerlingen. Dit was vooral het geval voor het werkblad van de rol ‘plaatsvervanger’. De leerlingen begrepen niet goed wat precies de opdracht was en moesten daarom in elke stap door mij worden bijgestaan. Toen ze eenmaal doorhadden wat de opdracht inhield, vroegen ze zich af wat nou het nut van de opdracht was. Het werkblad ‘generalisator’ was inhoudelijk te hoog gegrepen, omdat ook hier de leerlingen niet goed begrepen wat de bedoeling was. Bovendien merkte ik dat de leerlingen niet in staat waren om op basis van de vragen van de werkbladen af te leiden wat een bepaalde rol inhield. De leerlingen zagen het verband tussen de vragen en het doel van het werkblad – het opstellen van een definitie voor het begrip variabele – niet.

De werkbladen waren zo ingericht, dat de leerlingen aan het einde van het werkblad moesten bespreken wat de door hen te bestuderen rol van een variabele inhield. Ik merkte tijdens de les dat de leerlingen hier weinig zin in hadden, en dat ze zich beperkten tot het maken van de sommen. Ook tijdens de tweede ronde kwam er geen inhoudelijke discussie op gang. De leerlingen voelden er dus weinig voor om hun denkwijzen te verwoorden (ontwerpregel 4). De combinatie van een te ingewikkelde inhoud enerzijds en de onbereidheid van de leerlingen om serieus te discussiëren anderzijds heeft ertoe geleid dat de leerlingen maar in beperkte mate in staat waren om zelf een definitie voor het begrip variabele af te leiden (ontwerpregel 3). Tijdens de klassikale bespreking aan het einde van de les was ik hierdoor gedwongen om zelf een definitie te presenteren.

7.2: Les 2 en 3

De tweede en derde les vonden plaats op dinsdag 7 en woensdag 8 mei, allebei het 2e lesuur. Bij beide lessen heb ik mij vrijwel volledig aan de door mij opgestelde lesplannen gehouden. Bij beide lessen vielen mij twee zaken op. Allereerst beperkten de leerlingen zich opnieuw tot de te maken sommen, en hadden ze geen zin om zelf opgaven te bedenken voor hun partner en deze te bespreken. Hierdoor is het productieve karakter van de lessen (ontwerpregel 1) niet veel tot uiting gekomen. Verder merkte ik in beide lessen dat de leerlingen het zeer lastig vonden om bij een bepaald patroon een formule op te stellen. Ik had verwacht dat vanwege de ‘simpele’ context (ontwerpregel 2) leerlingen van 4havo met gemak bij bijvoorbeeld een stippenpatroon een formule voor het aantal stippen konden opstellen. Blijkbaar heb ik dit vermogen overschat.

7.3: Les 4

De vierde les vond plaats op vrijdag 10 mei, het 4e lesuur. Een sterk punt van deze les was de gekozen werkvorm: samenwerkend leren met een rollenverdeling. De leerlingen werkten hierdoor beter samen (ontwerpregel 4) en de individuele aanspraakbaarheid van leerlingen werd vergroot. Ik kon direct zien

20

welke leerlingen hun rol verwaarloosden en deze hierop aanspreken. De heldere, concrete context van de vragen (ontwerpregel 2) zorgde ervoor dat de leerlingen goed wisten wat er van ze gevraagd werd (beter in vergelijking met lessen 2 en 3). Verder stimuleerde de timer op het bord de leerlingen om door te werken.

De vierde les heeft mij een groot inzicht geboden in waar het probleem bij de leerlingen nou werkelijk ligt: vrijwel alle leerlingen waren in staat om bij een gegeven situatie twee kloppende vergelijkingen met twee onbekenden op te stellen, maar wisten vervolgens niet hoe ze deze vergelijkingen moesten combineren. De algebraïsche vaardigheden van de leerlingen waren ontoereikend. Door het onvermogen om de twee vergelijkingen te combineren waren de leerlingen niet in staat om de tweede en de derde opdracht op te lossen. Doordat de leerlingen met groot gemak de twee vergelijkingen konden opstellen, denk ik dat het onvermogen van de leerlingen om een definitie voor het begrip variabele te geven (les 1) geen groot effect heeft gehad op hun vermogen om te algebraïseren.

Aan het einde van de les ben ik in verband met de tijd en de problemen die de leerlingen ondervonden afgeweken van het lesplan. In plaats van de leerlingen zelf een strategie te laten opstellen, heb ik in een onderwijsleergesprek samen met de leerlingen een stappenplan opgesteld op basis van de besproken opgaven. Dit stappenplan moesten de leerlingen vervolgens overnemen in hun schrift. Ik heb ook voor deze frontale manier gekozen omdat ik in de voorgaande drie lessen heb gemerkt dat wanneer ik de leerlingen zelf de ruimte bied om inhoudelijk over wiskunde te discussiëren, er helaas weinig gebeurt. Vandaar dat ik denk dat de gekozen afwijking het beoogde lesdoel ten goede is gekomen.

21

8. Beschrijving en analyse uitvoering effectmetingen

8.1: Inhoudsanalyse

De afname van de nameting is volgens plan uitgevoerd op maandag 13 mei. De nameting is uitgevoerd volgens de ontwerpnotitie. De leerlingen moesten hun tafels in toetsopstelling zetten en kregen tien minuten de tijd om individueel en in stilte de toetsopgave te maken. Tijdens de afname hebben zich geen bijzondere zaken voorgedaan.

Voor de inhoudsanalyse heb ik een code v4 ‘Aantal gemiste lessen’ toegevoegd. Het was mij tijdens de afname van de toetsopgave namelijk opgevallen dat enkele leerlingen één of meerdere lessen van de lessenserie gemist hebben. Deze leerlingen lopen het risico dat ze wegens hun afwezigheid lager scoren op de toetsopgave. Om de validiteit van de resultaten te waarborgen is het dus noodzakelijk om rekening te houden met de afwezigheid van de leerlingen.

8.2: Hardop denken

Het afnemen van de hardop denken-opdracht is later gebeurd dan oorspronkelijk gepland in de ontwerpnotitie. Dit had te maken met het feit dat de week waarin ik de opdracht wilde uitvoeren samenviel met het centraal examen en gemaakte afspraken wegens roosterwijzigingen niet door konden gaan. Uiteindelijk heb ik pas op woensdag 22 mei bij drie leerlingen de opdracht kunnen afnemen. Het later afnemen van de hardop denken-opdracht kan een negatief effect hebben gehad op de betrouwbaarheid van de resultaten. De stof van de lessenserie kan in de tussentijd zijn weggezakt bij de leerlingen, waardoor ze meer denktijd nodig hebben of misschien zelfs vergeten wat de bedoeling is. Een hardop denken-opdracht direct na afloop van de lessenserie zou misschien een ander resultaat opleveren. Om de validiteit van de opdracht te vergroten, heb ik ervoor gekozen om aan de opdracht een beginvraag toe te voegen: ‘Omschrijf in eigen woorden wat een variabele inhoudt.’ Op deze manier kan directer worden geverifieerd of de leerlingen nu een beter begrip hebben van wat een variabele inhoudt. De rest van de opdracht is ongewijzigd gebleven. Bovendien is de codering van het hardop denken enigszins aangepast, om beter aan te sluiten op de uitwerking van de vraag. Op deze manier kan preciezer worden nagegaan uit welke elementen het antwoord van de leerlingen bestaat en in hoeverre de beoogde leerdoelen behaald zijn.

22

9. Resultaten

In dit hoofdstuk worden de resultaten van de twee effectmetingen besproken. In de eerste twee paragrafen worden de resultaten beschreven. In de derde paragraaf volgt de interpretatie van de resultaten.

9.1: Inhoudsanalyse

De resultaten van de inhoudsanalyse zijn te vinden in bijlage A.3.2. Bij het vergelijken van deze resultaten met die van de voormeting valt een aantal zaken op. Opnieuw waren slechts drie van de 21 leerlingen in staat om alle punten te behalen. Bij vraag a, waar er van de leerlingen wordt gevraagd om een vergelijking op te stellen, scoren de leerlingen op de nameting lager dan op de voormeting. Bij de nameting zijn 23,8% van de totaal te behalen punten behaald in vergelijking met 28,6% bij de voormeting. Bij het analyseren van de codes behorende bij vraag a valt geen grote vooruitgang op. Het aantal leerlingen dat inzag dat een vergelijking voor de kosten moest worden opgesteld is gedaald (van 15 naar 11). Bovendien schrijven de leerlingen vooralsnog geen tekstuele toelichting op (opnieuw slechts twee van de 21). Een lichte vooruitgang is te zien bij variabele v1f: negen leerlingen zagen in dat we te maken hebben met twee onbekenden (aantal kinderen en aantal volwassenen) en dat we aan beide onbekenden een symbool (𝑥 en 𝑦) kunnen toekennen. Bij de voormeting waren dit slechts vijf leerlingen. Echter zijn deze negen leerlingen nog lang geen absolute meerderheid in de klas. Bovendien waren slechts vijf van deze negen in staat om met deze twee variabelen twee vergelijkingen op te stellen en om deze vergelijkingen te combineren tot één vergelijking met één onbekende (variabele v1e).

Bij vraag b is er relatief beter gescoord. Bij de nameting zijn 61,9% van de te behalen punten behaald, in vergelijking met 40,5% op de voormeting. Om na te gaan of dit verschil significant is, wordt er een t-toets uitgevoerd met de behaalde scores voor vraag b (variabele v2a). Hierbij worden de volgende hypotheses gehanteerd:

 Nul-hypothese 𝐻0: Er is geen verschil tussen het gemiddelde aantal behaalde punten bij vraag b bij de

voor- en nameting.

 Alternatieve hypothese 𝐻1: Het gemiddelde aantal behaalde punten bij vraag b is bij de nameting

hoger dan bij de voormeting.

Voor het uitvoeren van deze éénzijdige, gekoppelde t-toets wordt een significantie van 5% (𝛼 = 0,05) genomen. De resultaten van de t-toets zijn weergegeven in tabel 9.1. Uit de t-toets volgt een 𝑝-waarde van ongeveer 0,098. Omdat dit groter is dan 0,05, kan 𝐻0 niet worden verworpen.

Evenveel leerlingen (13) zagen in dat de vergelijking moest worden opgelost. Het voornaamste verschil tussen de voor- en de nameting is dat nu meer leerlingen (14 ten opzichte van acht in de voormeting) in staat waren om de oplossing van de vergelijking te interpreteren binnen de context van de vraag, en de gevonden waarde voor 𝑥 gebruikten om het aantal kinderen te berekenen. Bovendien is het aantal leerlingen dat inzag dat vraag b kon worden beantwoord zonder vraag a te maken, en dat men daar alleen de vergelijking van de vraag voor nodig heeft, toegenomen van drie naar acht.

23

Tabel 9.1: Resultaten gekoppelde eenzijdige t-toets variabele v2a.

In totaal hebben zes leerlingen één of meerdere lessen gemist (v4). Van deze zes waren er drie in staat om punten te behalen voor de toetsopgave.

9.2: Hardop denken

In bijlage C.3 zijn de opnames van de drie hardop denken-opdrachten uitgetypt en gecodeerd. Op de vraag wat een variabele inhoudt, gaven alle drie de leerlingen hetzelfde antwoord: een letter in een som of formule. De mate waarin de leerlingen moeite met de opdracht hadden, verschilt. De sterke leerling was binnen twee minuten klaar met het maken van de opdracht, en wist precies wat hij moest doen. Hij had een duidelijke strategie voor ogen, die bestond uit het opstellen van twee vergelijkingen, het combineren van beide vergelijkingen tot één vergelijking, het oplossen van deze vergelijking en het terugkoppelen van de oplossing naar de vraag.

De middelmatige leerling begon met het opstellen van één vergelijking met twee variabelen: 10𝑥 + 5𝑦 = 135. Hij liep enige tijd vast op dit punt, omdat hij niet wist wat hij met een vergelijking met twee variabelen aan moest. Na het herhaaldelijk lezen van de vraag, kwam hij op het idee om 𝑦 te vervangen door 20 − 𝑥. Dit leidde uiteindelijk tot een kloppende vergelijking met één variabele, die hij vervolgens door een tekenfout verkeerd oploste. Hij kreeg als antwoord 21

3, en dacht dat het geen probleem was om

dit getal af te ronden naar 2. Hij zag dus wel in dat het aantal briefjes een geheel getal moest zijn.

De zwakke leerling zag meteen dat twee vergelijkingen met twee onbekenden konden worden opgesteld, maar wist niet hoe de twee vergelijkingen moesten worden gecombineerd. De fout die hij herhaaldelijk maakte was dat hij één variabele uitdrukte in de ander (5𝑥 + 10𝑦 = 135 wordt 𝑦 = 13,5 − 0,5𝑥), maar vervolgens deze uitdrukking in de oorspronkelijke vergelijking (5𝑥 + 10𝑦 = 135) substitueerde. Dit leidde telkens tot antwoorden in de vorm van negatieve of gebroken getallen. Hij vergat de context van de vragen niet omdat hij bij elk gevonden antwoord aangaf dat het gevonden getal niet kan staan voor een aantal geldbriefjes. Uiteindelijk was hij na meer dan tien minuten niet in staat om het vraagstuk op te lossen.

24

9.3: Interpretatie resultaten

De inhoudsanalyse laat zien dat de leerlingen op het gebied van algebraïseren niet zijn vooruitgegaan. De overgrote meerderheid weet nog steeds geen punten te behalen op vraag a, waarbij de juistheid van een vergelijking moet worden aangetoond. Het aantal leerlingen dat door heeft dat aan een onbekende een variabele kan worden toegekend is gestegen (variabele v1f), maar het aantal dat daad werkelijk in staat is om kloppende vergelijkingen af te leiden uit een tekst is niet gestegen. De resultaten van vraag b laten zien dat er sprake is van een toename in het aantal leerlingen dat in staat is een oplossing te interpreteren binnen de context van een vraagstuk. In de nameting waren er meer leerlingen die wisten waar de gevonden 𝑥 voor stond, en dat met het vinden van de 𝑥 de vraag nog niet was beantwoord.

Het hardop denken biedt een iets andere inkijk. Alle drie de leerlingen waren in staat om uit een tekst kloppende wiskundige relaties af te leiden in de vorm van één of twee vergelijkingen, en om de keuze voor variabelen en bepaalde termen in de vergelijkingen te beargumenteren. Het onderdeel algebraïseren (vertaalslag maken van realistisch naar mathematisch model) beheersen de drie leerlingen dus wel. Ook waren de leerlingen in staat om een gevonden oplossing te interpreteren in de context van de vraag. Zo zagen ze bijvoorbeeld dat het aantal briefjes geen negatief of gebroken getal kon zijn.

Het verschil tussen de leerlingen zat in het vermogen om deze relaties te gebruiken om de wiskundige oplossing voor het vraagstuk te vinden. De sterke leerling had zichzelf op basis van de laatste les van de lessenserie een algoritme aangeleerd en kon zo met gemak de oplossing vinden. De middelmatige leerling had hier nog wat moeite mee, terwijl de zwakke leerling niet in staat was om de twee (kloppende) vergelijkingen te combineren tot een eindoplossing. Het probleem bij de zwakke leerling zat dus niet zozeer in het algebraïseren (stap 2 van het modelleren), maar in het oplossen van het wiskundige probleem (stap 3), wat in feite neerkomt op het oplossen van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Aan het oplossen is in de lessenserie – met uitzondering van les 4 – weinig aandacht besteed, aangezien de nadruk vooral op het algebraïseren lag.

25

10. Conclusie en discussie

10.1: Conclusies

De ontwerphypothese voor dit onderzoek luidt:

‘Als ik het feit dat de leerlingen van 4HA het lastig vinden om een lineaire vergelijking op te stellen bij een tekst aanpak met een lessenserie met nuttige contexten gebaseerd op productief oefenen en samenwerkend leren, dan verwacht ik dat zij beter in staat zijn om vergelijkingen op te stellen bij een tekst en een beter begrip hebben van wat een variabele inhoudt.’

Er kan niet worden geconcludeerd dat de lessenserie ervoor heeft gezorgd dat de leerlingen beter in staat zijn om vergelijkingen op te stellen bij een tekst. De inhoudsanalyse laat geen verbetering zien tussen de voor- en de nameting. Bij het hardop denken waren de leerlingen wel in staat om vergelijkingen op te stellen; echter bleek tijdens de interviews van de empirische verkenning al dat de leerlingen hier niet veel moeite mee hadden. Ook hadden de leerlingen bij de interviews al geen moeite met het maken van een keuze voor 𝑥 en 𝑦, waardoor er niet kan worden gezegd dat de leerlingen door de lessenserie beter in staat zijn om een geschikte keuze voor een variabele te maken.

Dat de hypothese geen stand houdt, kan verschillende oorzaken hebben. Een mogelijke oorzaak is dat de leerlingen de opgaven waarbij ze zelf vragen moesten bedenken oversloegen. Doordat ze minder eigen producties gaven, waren ze minder bezig waren met het zelf uitvinden van algebraïsche procedures (Kindt, 2003). De tweede oorzaak is dat de lessenserie ervan uit ging dat de algebraïsche vaardigheden met betrekking tot het herleiden en oplossen van vergelijkingen toereikend waren. Tijdens de ontwerplessen bleek dat de leerlingen hier nog veel moeite mee hadden, en dat dit het oplossen van de vraagstukken bemoeilijkte.

Er kan worden geconcludeerd dat door de lessenserie het begrip van wat een variabele inhoudt enigszins is vergroot. Deze conclusie is gebaseerd op twee observaties. De eerste observatie is dat tijdens het hardop denken de drie leerlingen met weinig moeite een kloppende definitie voor het woord ‘variabele’ konden geven, terwijl dat bij de interviews van de empirische verkenning nog niet zo soepel ging. De tweede observatie is dat het aantal leerlingen dat bij de toetsopgave de oplossing kon interpreteren binnen de context van de vraag is toegenomen tot twee derde van de klas.

10.2: Discussie

10.2.1: Beperkingen en kwaliteiten evaluatie

Voor de voor- en nameting zijn twee toetsopgaven gebruikt. Er is bewust gekozen om deze twee opgaven qua opbouw zoveel mogelijk op elkaar te laten lijken, zodat een eventuele verbetering niet kan worden geweten aan een makkelijkere vraagstelling. De vraag is in hoeverre deze opgaven geschikt waren om te meten of de leerlingen in staat zijn om te algebraïseren. Immers, algebraïseren komt neer op het vertalen van een realistisch model in een mathematisch model, vaak in de vorm van een vergelijking. Over de validiteit van de twee toetsopgaven voor dit onderzoek kunnen de volgende twee kanttekeningen worden gemaakt:

26

 De keuze voor de variabele staat al in de vraag, namelijk: het aantal verkochte kaartjes van €18,75 en het aantal volwassenen. Hiermee wordt dus niet getoetst of de leerlingen in staat zijn om zelf een geschikte keuze voor een variabele te maken.

 De vraag geeft al het eindresultaat waar de leerling op moet uitkomen. Dit geeft de leerling niet de kans om zelf een andere, kloppende vergelijking voor het vraagstuk op te stellen. Het wordt dan niet duidelijk of de leerling de vraag fout heeft omdat hij / zij niet kan algebraïseren (dus niet weet hoe hij / zij überhaupt een vergelijking moet opstellen), of omdat hij / zij niet wist hoe de specifieke vergelijking die in de vraag gegeven was gevonden moest worden. Bovendien kan de vraagstelling voor verwarring zorgen bij de leerlingen: ‘laat zien dat de vergelijking juist is’, kan voor de leerlingen een andere betekenis hebben dan ‘stel een vergelijking op’. Het kan zijn dat de leerling in het tweede geval wel weet wat hij / zij moet doen, maar in het eerste geval niet. Deze twijfels worden versterkt wanneer we de resultaten van het hardop denken bekijken, omdat daar alle drie de leerlingen in staat waren om kloppende vergelijkingen op te stellen, en daar bleek dat het probleem juist lag bij de algebraïsche technieken die van belang zijn bij het oplossen van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

10.2.2: Herontwerp en vervolgonderzoek

In een herontwerp zou ik de eerste les van de lessenserie over de vijf rollen van de variabele vervangen door een les over het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. Hier heb ik twee redenen voor. De eerste reden is dat de les over de vijf rollen van de variabele te ingewikkeld bleek te zijn en ik niet de indruk heb gekregen dat deze een significante bijdrage had aan het doel van de lessenserie. De tweede reden is dat vooral tijdens het hardop denken bleek dat het grootste struikelblok was dat leerlingen niet wisten hoe ze een stelsel van twee vergelijkingen moesten oplossen. Dit was te verwachten, omdat Getal

en Ruimte hier bij havo wiskunde A niet expliciet aandacht aan schenkt. Hoewel het kunnen oplossen van

stelsels vergelijkingen niet tot de eindtermen van havo wiskunde A behoort, denk ik dat het voor dit specifieke onderwerp wel een meerwaarde heeft als de leerlingen dit onderwerp beheersen.

In een vervolgonderzoek zou er een soortgelijke lessenserie kunnen worden ontworpen voor havo wiskunde B-leerlingen. Hier komt het onderwerp algebraïseren veel uitvoeriger aan bod, onder andere omdat leerlingen oppervlakte- en inhoudformules moeten opstellen en met behulp van de afgeleide moeten optimaliseren. Bij wiskunde B zijn er bovendien veel meer mogelijkheden voor het ontwerpen van een dergelijke lessenserie, omdat de lessenserie meer aandacht kan besteden aan meetkundige contexten (bijv. het optimaliseren van de oppervlakte van een rechthoek onder een parabool) en naast lineaire ook kwadratische en hogeregraadsformules kan behandelen.

27

11. Analytische terugblik

Gedurende het opstellen en het uitvoeren van dit onderzoek heb ik mij als docent op verschillende vlakken ontwikkeld. Allereerst heb ik middels de theoretische verkenning mijn kennis op het gebied van modelleeronderwijs uitgebreid. Ik heb kennis genomen van verschillende inzichten die bestaan over algebraonderwijs en geleerd hoe ik deze inzichten kan meenemen in het ontwerpen van een lessenserie. Op het gebied van vakdidactiek waren de ontwerplessen een goede oefening in de onderwijsvorm ‘samenwerkend leren’. Ik weet nu beter hoe ik bij samenwerken de individuele aanspreekbaarheid van leerlingen kan vergroten.

Met betrekking tot het systematisch ontwerpen van lesmateriaal was het opstellen van een goede hypothese en de daarbij behorende ontwerpregels een grote uitdaging. Hier moest namelijk de vertaalslag worden gemaakt van de theorie naar de praktijk. Het is vooral lastig om hierbij rekening te houden tussen de manier waarop vakdocenten en leerlingen een opgave waarnemen. Een voorbeeld hiervan gebeurde bij de eerste les. Bij het ontwerpen van de les dacht ik dat ik de werkbladen zo had ingericht dat de opgaven de leerlingen helpen om de rol van een variabele te begrijpen. In de les bleek echter dat de leerlingen niet in staat waren het verband tussen de gemaakte opdrachten en de behandelde rol van de variabele in te zien. Tenslotte heb ik door het coderen van de gemaakte toetsopgaven en de opnames van het hardop denken geleerd hoe ik mijn onderwijs systematisch en objectief kan evalueren.

Er zijn twee dingen die ik, wanneer ik terugkijk op het onderzoek, anders zou hebben gedaan. Bij de empirische verkenning was niet naar voren gekomen dat leerlingen problemen ondervonden met het algebraïsch oplossen van vergelijkingen. De reden hiervoor is dat tijdens de empirische verkenning de nadruk lag op het theoretische begrip van de leerlingen over variabelen, en de oorzaak van de problemen vooral hierin werd gezocht. De algebraïsche vaardigheden zijn hierbij onderbelicht gebleven. Bij de empirische verkenning had daarom beter gebruik kunnen worden gemaakt van hardop denken in plaats van interviews, om zo voor het ontwerp meer inzicht te krijgen in de struikelblokken die leerlingen tegenkomen bij het oplossen van modelleervraagstukken. Op basis van deze informatie zou ik de lessenserie dan kunnen aanpassen zodat deze zich meer richt op de gevonden struikelblokken.

Het tweede punt heeft te maken met de uitvoering van de lessenserie. Zoals in hoofdstuk 7 vermeld bleek dat leerlingen vaak geen zin hadden om zelf opgaven te ontwerpen of te discussiëren over de gemaakte opgaven. Om de leerlingen hier meer voor te motiveren, zou ik bijvoorbeeld met ze kunnen afspreken dat ze aan het einde van de les hun ontworpen opgaven of geschreven bevindingen moeten inleveren. Op deze manier krijgen de leerlingen het gevoel dat ze ook daad werkelijk iets moeten produceren en dat ze worden gecontroleerd. Wellicht dat dit ervoor zou zorgen dat ze serieuzer met deze opgaven aan de slag zouden gaan.

28

Bibliografie

Carpraro, M. M., & Joffrion, H. (2006). Algebraic Equations: Can Middle-School Students Meaningfully Translate from Words to Mathematical Symbols? Reading Psychology, 147-164.

Carpraro, R. M., Carpraro, M. M., & Rupley, W. H. (2011). Reading-enhanced word problem solving: a theoretical model. European Journal of Psychology of Education, 91-114.

Doorman, M., & Gravemeijer, K. (1999). Modelleren als organiserende activiteit in het wiskundeonderwijs.

Tijdschrift voor didactiek der bètawetenschappen, 38-55.

Drijvers, P. (2006). Context, abstractie en vaardigheid in schoolalgebra. Nieuw archief voor wiskunde, 198-203.

Drijvers, P., & Kop, P. (2012). Variabelen en vergelijkingen. In P. Drijvers, A. Van Streun, & B. Zwaneveld,

Handboek wiskundedidactiek (pp. 53 - 82). Amsterdam: Epsilon Uitgaven.

Galbraith, P., & Stillman, G. (2006). A Framework for Identifying Student Blockages during Transitions in the Modelling Process. ZDM - Mathematics Education, 143 - 162.

Kindt, M. (2003). Oefeningen in algebra. Utrecht: Freudenthal Instituut.

Schellings, G. (2012). Zicht op leren door hardopdenken. Eindhoven: Kluwer Navigator Onderwijs.

Spandaw, J., & Zwaneveld, B. (2012). Modelleren. In P. Drijvers, A. Van Streun, & B. Zwaneveld, Handboek

wiskundedidactiek (pp. 235 - 264). Amsterdam: Epsilon Uitgaven.

Van Dormolen, J. (1974). Didactiek van de wiskunde. Utrecht: Oosthoek's Uitgeversmaatschappij B.V. Van Eerde, D., Hajer, M., Koole, T., & Prenger, J. (2002). Betekenisconstructie in de wiskundeles. De

29

Bijlage A – Inhoudsanalyse

A.1: Opgaven en correctiemodel

A.1.1: Voormeting – theoretische verkenning

A.1.2: Nameting 1p 1p 1p 1p 1p