De effectieve elastische materiaalparameters van composieten: een literatuurstudie

De effectieve elastische materiaalparameters van

composieten

Citation for published version (APA):

Courage, W. M. G. (1987). De effectieve elastische materiaalparameters van composieten: een literatuurstudie. (DCT rapporten; Vol. 1987.032). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

composieten;

een literatuurstudie.

Win Courage

Verslag van de verrichte literatuurstudie in het kader van het onderzoekproject:

'Ontwikkeling van numeriek analysegereedschap voor composieten'.

rapport no.: WFW-87.032

T. U. Eindhoven, juni, 1987.

CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, D E N H A A G

Courage, W i m 3

De effectieve elastische materiaalparameters v a n

composieten; een literatuurstudie / W i m Courage.

-

Eindhoven : Faculteit der Werktuigbouwkunde, Technische Universiteit Eindhoven.

-

111.

-

(Eindhoven University o f Technology research reports / Department o f Mechanical Engineering, I S S N 0167-9708 ; WFW-87.032)

Verslag van de verrichte literatuurstudie i n het kader van het onderzoekproject: 'Ontwikkeling van numeriek

analysegereedschap voor composieten'.

ISBN 90-6808-014-8

Trefw.:# materiaalonderzoek ; composieten.

pag. :

Hoofdstuk O

Summary

Inleiding en samenvatting

Hoofdstuk 1

De beschrijving van een composiet

1.1 Inleiding

1.2 Statistische beschrijving van de

1 . 3 Het materiaalgedrag van een composiet microstructuur

Hoofdstuk 2

Statistisch isotrope composieten

2. i Inleiding

2.2 De directe methode

2 . 3 Begrenzingen

2.4 Benader ingen

Hoodstuk 3

Stat. transversaal isotrope composieten

3 .

i

Inleiding 3 . 2 De directe methode 3 . 3 Begrenzingen

3.4

Benader ingen Hoofdstuk

4

Konklus ie s

Lit

eratuurli

j

st 0.0 0 . 1

1.1

1.1

1.2 1 . 5 2 . 1 2 . 1 2.2 2 . 7 2 . 8 3 . 1 3.1 3.4 3.5 3 . 7 4.1

L.l

- 0.0 -

Summary

E f f e c t i v e E l a s t i c Materialparameters of Composites;

a Survey.

This r e p o r t g i v e s a l i t e r a t u r e survey d e s c r i b i n g e l a s t i c composite materials with e f f e c t i v e parameters. Special a t t e n t i o n i s p a i d t o micromechanical a n a l y s i s . This r e s u l t s i n e x p r e s s i o n s f o r t h e materialparameters i n which t h e i n f l u e n c e s of micro- s t r u c t u r a l parameters, such as volumefract i o n s and component moduli, are found back.

Chapter 1 devides t h e composites i n two major c l a s s e s , b e i n g s t a t i s t i c a l i s o t r o p i c and s t a t i s t i c a l t r a n s v e r s a l y i s o t r o p i c composites. Some a t t e n t i o n i s paid t o t h e s t a t i s t i c a l d e s c r i p t i o n of t h e geometry of composites and f i n a l l y c h a p t e r 1 g i v e s some background on t h e use of e f f e c t i v e materialparameters.

I n c h a p t e r 2 and 3 t h e expressions f o r t h e s e materialpara- meters, as found i n l i t e r a t u r e , are p r e s e n t e d . The methods used t o d e r i v e t h e s e expressions can be devided i n t o :

1 d i r e c t o r a n a l y t i c a l methods,

2 methods based on t h e extremum p r i n c i p l e s of p o t e n t i a l and complementary energy and

3 g e n e r a l approximating methods.

i

I n c

h

a p t e r 2 t h e s e methods w i l l be d e s c r i b e d f o r s t a t i s t i c a l i s o t r o p i c composites. I n c h a p t e r 3 t h i s i s done f o r t r a n s v e r s a l y i s o t r o p i c composites.

F i n a l l y i n c h a p t e r 4 some conclusions are drawn on t h e u s e of t h e s e t h r e e methods. The d i r e c t method i s found t o be u s e f u l 1 only f o r a small c l a s s of composites f o r which a n a l y t i c a l analy- sis i s s t i l l p o s s i b l e . The v a r i a t i o n a l bounding methods g i v e good r e s u l t s f o r small component s t i f f n e s r a t i o s . As i s t h e c a s e f o r t h e d i r e c t method, t h e v a r i a t i o n a l methods only a r e a v a i l a b l e f o r l i n e a r e l a s t i c a n a l y s i s . S p e c i a l c a r e has t o be taken i n c a s e of t h e approximating methods where sometimes r e s u l t s a r e obtained on

HOOFDSTUK O

Inleiding en Samenvatting

Tegenwoordig worden in de techniek steeds meer composieten, b.v.

vezelversterkte kunststoffen, toegepast voor constructies of machine-onder- delen. Het toegenomen gebruik van composieten vindt o.a. zijn oorzaak in de mogelijkheid om door combinatie van verschillende materialen een 'nieuw materiaal' te creëren met eigenschappen die zijn toegespitst op zijn toepas- singsgebied.

onderdelen wil men gebruik maken van numeriek gereedschap. Omdat echter voor composieten de beschikbare software niet of slechts gedeeltelijk voldoet aan

eisen zoals efficiëntie

,

betrouwbaarheid en gebruikersvriendelijkheid'

wordt op dit gebied momenteel veel onderzoek verricht. Een belangrijk aspect is hierbij het materiaalmodel. Dit vormt een essentieel onderdeel van de software en moet de karakteristieke fenomenen zoals tijdsafhankelijkheid

(b.v. bij kunststoffen) en anisotropie goed beschrijven, zonder dat dit ten koste gaat van de efficiëntie en gebruikersvriendelijkheid van de genoemde software (b.v. hoge rekentijden),

Voor het

-

vaak iteratief

-

ontwerpen van de constructies of machine-

Dit heeft ertoe geleid dat er een onderzoekproject is opgestart voor het ontwikkelen van numeriek analysegereedschap voor composieten met de nadruk op de ontwikkeling van materiaalmodellen. Dit onderzoek gebeurt in samenwerking met TNOIïBBC en de resultaten zullen worden geïmplementeerd in het door IBBC ontwikkelde commerciële programmapakket DIANA.

. .

B1; materiaalmodellen kan onderscheid gemaakt worden tussen ctrilctu-

rele en fenomenologische materiaalmodellen.

Bij fenomenologische modellen wordt het materiaal als een black-box

beschouwd. Op grond van het experimenteel waargenomen gedrag van het materi-

aal wordt een beschrijvingswijze gezocht. Vaak kan hiervoor een theoretische onderbouwing worden gevonden in de themodynamica en/of de functionaal-

analyse. Zo'n model heeft echter een aantal nadelen. De verwerking wan za'n

model in het numerieke analysegereedschap vergt vaak veel rekentijd en

geheugenruimte. Bovendien zijn de materiaalparameters van zo'n model

-

vaak

-

0.2

-

moeilijk experimenteel te bepalen, vanwege de inhomogeniteit en de mogelijke anisotropie van het materiaal. Als laatste nadeel kan het ontbreken van informatie over de microscopische structuur van de composiet genoemd worden. Deze informatie is vooral van belang wanneer men het bezwijkgedrag van

composieten wil beschrijven.

De tweede groep materiaalmodellen, de structurele modellen, bevatten

wel informatie over de opbouwlmicrostructuur van de composiet. Op grond van

de materiaaleigenschappen van de samenstellende delen en de microscopische structuur wil men hierbij via een statistische vertaalslag het macroscopi- sche materiaalgedrag van de composiet voorspellen. Als voordeel van deze modellen geldt dat de materiaalparameters eenvoudiger zijn te bepalen, nl. door de experimentele bepaling van de eigenschappen van de afzonderlijke componenten van de composiet. Daarnaast geeft het meenemen van de micro- structuur de mogelijkheid het bezwijkgedrag te beschrijven.

Het onderhavige onderzoek richt zich uitsluitend op de formulering van structurele modellen. Hoewel het materiaalmodel uiteindelijk complex materi- aalgedrag moet kunnen beschrijven, wordt in eerste instantie gekeken naar het lineair elastische materiaalgedrag van de composiet en zijn samenstel- lende componenten.

Zo is ook dit rapport geschreven met de beperking tot lineair elas-

tisch materiaalgedrag. Het is de weerslag van een oriënterende literatuur- studie naar structurele materiaalmodellen voor composieten.

doelen met een composiet en hoe deze kan worden beschreven. In dit hoofdstuk wordt bovendien een indeling gemaakt in drie methoden waarmee structurele informatie in een materiaalmodel kan worden verwerkt. Dit zijn de directe

(analytische) methode, de begrenzingen op grond van energieprincipes en als

laatste de benaderingen.

In hoofdstuk 1 wordt een algemene inleiding gegeven over wat we be-

N.b.t. deze drie methoden wordt in hoofdstuk 2 en 3 de gevonden lite-

ratuur behandeld. In hoofdstuk 2 gebeurt dit voor statistisch isotrope

composieten en in hoofdstuk 3 voor transversaal isotrope composieten.

In hoofdstuk 4 worden tenslotte konklusies met betrekking tot deze

HOOFDSTUK 1

De beschrijving van een composiet

1 . 1 Inleidiny

Composietmaterialen bestaan uit 2 of meer verschillende homogene

materialen (componenten), die zodanig grote volumina in de composiet innemen

ctat zij elk als continuüm beschouwd kunnen worden. in het algemeen wordt

aangenomen dat de componenten via een hechte binding op de interfaces inet

elkaar zijn verbonden. Enkele voorbeelden zijn: beton, vezelversterkte

kunststof, poreuze materialen en polycrystallijne materialen.

In veel gevallen geeft de toepassing van een composiet de mogelijkheid

om een optimum te bereiken tussen 2 o f meer, soms strijdige, eigenschappen,

zoals b . v. hoge elasticiteitsmodulus en hoog elektrisch geleidingsvermogen,

hoge elasticiteitsmodulus en lage soortelijke inacsa of hoge magnetische

permeabiliteit en lage kostprijs per volume eenheid.

9

d

-

1 . 2

-

Een globale indeling van de composieten naar hun opbouw is geschetst

in fig. 1 . 1 . Wanneer een of meerdere componenten in de vorm van deeltjes

ingebed liggen in een matrix spreekt men van een "particulate-composite", b.v. beton. Bet 2-dimensionale analogon van een particulate-composite is een

unidirectionele "fiber-composite" : de deeltjes zijn cylindrisch van vorm en

liggen evenwijdig aan elkaar ingebed in het matrix materiaal. Wanneer er geen onderscheid te maken is tusen de vezel- en matrixcomponenten dan

spreekt men van een "fibrous-composite", b.v. hout, welke een 2-dimensionaal

analogon is van een algemeen meerfasig materiaal, b.v. een polykrystallijn materiaal.

Hoewel men, afhankelijk van de schaal waarop men kijkt, bij elk mate- riaal een microstructuur kan onderkennen, beperken we ons bij composieten tot die materialen waarbij de heterogeniteit een duidelijk macroscopische eigenschap is, b.v. deeltjes ingebed in een matrix.

geometrie van de interfaces tussen de componenten, ofwel de opbouw/struc- tuur/microstructuur van de composiet, alsook door de eigenschappen van de componenten. Aangenomen wordt dat de fysische eigenschappen van de verschil- lende componenten afzonderlijk bekend zijn. Dit betekent dat nog de micro- structuur, de geometrische informatie, van de composiet bepaald moet worden alsmede de invloed van deze microstructuur en die van de componenteigen- schappen op het gedrag van de composiet. Om de invloed van deze component- eigenschappen en de microstructuur op het gedrag van de composiet te kunnen

beschrijven, is een statistische beschouwing veelal onontbeerlijk. In de

volgende paragrafen wordt ingegaan op de statistische beschrijving van de

microstructuur (par. 1 . 2 ) en het mechanische gedrag van composieten (par.

1 . 3 ) .

De eigenschappen van zo'n composiet worden zowel bepaald door de

1 . 2 Statistische beschriivinq van de microstructuur

Tenzij er sprake is van ordening, b.v. periodiek gestapelde vezels in een matrix, is de precieze micro-geometrie van een composiet onbekend. Vaak is slechts globale informatie zoals bijvoorbeeld volumefracties van de

componenten, vezellengtes o f -oriëntaties gegeven. Van één enkel proefstuk

van een composietmateriaal kan deze microstructuur met enige moeite precies bepaald worden. In werkelijkheid echter zijn we niet geinteresseerd in de

gedetailleerde beschrijving van de microstructuur van 6th enkel proefstuk,

maar in de "gemiddelde" microstructuur van een groot aantal proefstukjes

welke globaal op dezelfde manier bereid zijn. Om hierover uitspraken te

kunnen doen wordt veelal gebruik gemaakt van een statistische beschrijvings- wijze (Walpole en Myers, 1978, en Berant 1968).

Stel we nemen een groot aantal proefstukjes van een composiet bestaan- de uit n componenten. Elk proefstukje is van gelijke vorm en grootte en groot genoeg om de karakteristieke eigenschappen van de composiet in zich te

bergen. Het aantal proefstukjes noemen we N. Elk proefstukje kunnen we nu

aan een experiment onderwerpen: we plaatsen het in een vast referentie

assenkruis en bepalen welk materiaal zich op een punt

2

bevindt. De mogelij-

ke uitkomstenruimte van dit experiment bestaat uit de volgende verzameling S

van zogenaamde elementaire gebeurtenissen s *

i' s = i SI' S2' S3' . . . i

'

n

1

met

si = It$ bevindt zich in component i"

,

i= l,n

Over deze uitkomstenruimte S kunnen we een random variabele Y(si)

definiëren: een functie die een reëel getal Y(si) toekent aan elke mogelijke

uitkomst si uit S, b.v.:

Y(si) = i

of

Y(si) = Ei

(1.2)

Ei = de elasticiteitsmodulus van component i (1.3)

vmr een CimpGriet hestaUnde uit !? discrete CGEpGnenten h e e f t de

random variabele Y een discrete verdeling: Y kan slechts een eindig aantal (=<n) verschillende waarden aannemen. Bij deze discrete verdeling van Y kan nu weer een kansverdelingsfunctie f gedefinieerd worden zodanig dat voor elk

reëel getal z geldt:

f(z) = Pr(Y=z) = Pr( si : Y(si)=z ) (1.4)

met Pr(Y=z) = Pr( si : Y(si)=z ) gelijk aan de waarschijnlijkheid dat de

- 1 . 4 -

gelijk is aan een van de

f(z)=O. VFrder geldt dat

waarden voor Y bevat dat

mogelijke waarden voor Y dan geldt natuurlijk dat

alle mogelijke ‘k wanneer de rij zi I . . . dan I: f(zi) =

1 .

k i=l

Een voorbeeld van een mogelijke kansverdelingsfunctie f(z) voor een

tweefasige composiet met a l s random variabele de elasticiteitsmodulus in het

punt

2

wordt gegeven in figuur I . 2

f i g . 1 . 2

Hoe komen we nu aan waarden voor de functie f(z)? Hiervoor moeten we

opnieuw de verzameling elementaire gebeurtenissen S beschouwen. Wanneer we

weten wat CIF, waarschijnlijkheden zijn van de elementaire gebeurtenissen si,

dan kan met behulp van de definitie van de random variabele een u i i s p r a a k

gedaan worden over de waarden van f ( z ) , immers:

( 1 . 5 )

De waarden voor Fï(s.1 moeten dus bepaald worden. Dit kan door deze waar-

schijnlijkheid voor het optreden van gebeurtenis si te relateren aan de relatieve frequentie waarmee deze gebeurtenis plaatsvindt bij een voldoende

groot aantal experimenten N :

aantal maal dat si plaatsvindt

N

Pr(si) = ( 1 . 6 )

Met deze benadering voor Pr(si) kunnen we zoals gezegd een benadering

Uiteraard kunnen we bij een verzameling elementaire gebeurtenissen creëren voor de kansverdeling f(z).

meer dan &én random variabele definiëren. Bijvoorbeeld een kolom met random variabelen Y(si) waarvan de componenten b.v. de waarden van de bij gebeurte-

.u

nis si behorende elasticiteitsmodulus en dwarscontractiecoëfficient bevat- ten. De kansverdelingsfunctie is dan gedefinieerd als:

Verder is bovenstaand experiment gedefinieerd als een meting op een

vast punt

2

.

Dit kan natuurlijk uitgebreid worden doos voor elk punt

2

in

de proefstukjes het experiment uit te voeren. We krijgen dan een veld van

kansverdelingsfuncties f

(~(2))

als functie van

2

:

.u

( 1 . 8 )

Volledige kennis van deze functie f(z(XI1 geeft ons de informatie over

de waarschijnlijkheid van het vinden van materiaal i (i=l,..in) in een punt

x van een composiet. De functie f(z(2)) vertelt echter nog niets over de

variantie van z ( g ) van punt tot punt. Hiervoor is nog meer statistische

informatie nodig.

meerdere punten

xi

(i=l f . . ik) te bepalen in welk materiaal deze zich bevin-

den. Op deze manier verkrijgen we de zgn. gekoppelde of k-punts kansverde- lingen. Voor k=2 bijvoorbeeld bepaalt men dan kansverdelingen behorend bij

het vinden van materiaal i in punt

2,

terwijl materiaal j in punt

2,

gevon-

den wordt:

.u

-P

.u

."

-

1.6

-

.., 5

(1.10)

Voor ka- vinden we dan een volledige statistische beschrijving van de compo-

siet. M.a.w. wanneer fk voor k+= bekend zou zijn dan is alle geometrische

informatie van de composiet bekend.

Praktisch gezien is het echter onmogelijk om deze kansverdelingen voor k.*= te bepalen. Dit vanwege de enorme hoeveelheid experimentele informatie

die hierin verwerkt zit. Men neemt daarom vaak noodgedwongen genoegen met 1-

tot 3-punts kansverdelingen, hoewel zelfs het bepalen van de 2- of 3-punts

verdelingen al nauwelijks realiseerbaar wordt.

1.3 Het materiaalqedras van een composiet

In de literatuur is veel aandacht besteed aan het beschrijven van een composiet alsof het een homogeen continuüm betreft. Dit gebeurt door invoe- ring van zogenaamde effectieve materiaalconstanten, b.v. een effectieve

elasticiteitsmodulus E

.

De composiet wordt opgevat als een homogeen materi-

aal waarvan de materiaalparameters zodanig worden bepaald dat deze het

gemiddelde gedrag van de composiet beschrijven. De effectieve elasticiteits-

modulus wordt dan bijvoorbeeld bepaald door de verlenging Al van een blokje

composiet van lengte 1 en doorsnede A, te meten wanneer dit onderworpen

wordt aan een kracht F :

*

Hierbij wordt verondersteld dat het proefstukje "in zekere zin" homogeen

is. Een twee keer zo klein of twee keer zo groot proefstuk moet dezelfde

waarde opleveren voor deze effectieve grootheid. Wet bovengenoemde "homoge- niteit in zekere zin" wordt statistische homogeniteit bedoeld. Wat statisti-

sche homogeniteit precies inhoudt kan als volgt beschreven worden :

Aan een composiet is in het algemeen een karakteristieke lengte d, toe te kennen, waarover de materiaalparameters noemenswaard afwijken van hun gemid- delde waarde

E

em em

fig. 1 . 3

In het voorbeeld van fig. 1 . 3 ligt deze afstand dm in de orde grootte van

enkele malen de vezeldiameter dv. Een composiet is statistisch homogeen

wanneer voldaan is aan de volgende twee voorwaarden :

i) alle karakteristieke (macroscopische) afmetingen van het proefstuk

zijn veel groter dan dm. Voor de lengte van een proefstukje 1 moet

bijvoorbeeld gelden : 1

> >

dm

,

onafhankelijk van de plaats (inaar niet van de onderlinge configu-

ratie) van deze k punten in de composiet. Dit betekent dat de aard

van de variaties van de fysische grootheden in een volume element ii) alle k-punts kansverdelingen voor de fysische grootheden zijn

d: gelijk moeten zijn aan de aard van de variaties in een willekeu-

rig ander volume element van de composiet.

Niet alleen om effectieve parameters te kunnen gebruiken maar ook uit prak-

tisch oogpunt biedt het voordelen als een composiet statistisch homogeen is.

.

In het algemeen wordt gepostuleerd dat voor een statistisch homogene

composiet het ensemble gemiddelde - het gemiddelde over een verzameling van

proefstukjes - gelijk is aan het volume gemiddelde (Beran en McCoy, 1 9 7 0 ) .

Bij dit volume gemiddelde wordt gemiddeld over een voldoend groot volume

zodanig dat dit representatief is voor de composiet: een zgn. representatief

-

? . e

-

1 9 6 2 , en Hashin, 1 3 6 4 ) . Een voorbeeld voor zo'n RVE, ingeval van een parti-

c u l ü t e - - c o m p o s i t e , is geschetst in figuur I . 4.

fig. 1.4

Ctat.ictische homogeniteit alleen j.5 niet voldoende orn de composiet met.

b e h l p van ef feci-ieve parameters te beschrijven. Naast de statistische

!-iOiïiOGeEik?j.t VC:; d.e composiet ~ ~ 1 e t . e . 2 w>k eisen g e s t e l d worden aan de re%-- en

spanningsvelden waaïbij het, gebruik van de effectieve parameters zijn yel-

digheid h e e f t . Zoals bij het voorbeeld van de effectieve eiasticiteitsmo-

duliis f v g l I f . I i ) hli jkt, wordt deze bepaald bij een gemiddeld constant rek-

en spanningsveld. Wil de effectieve constante EX geldigheid hebben in een

bepaald i s . Dit bet.r?kent dat de gemiddelde spanning nagenoeg constant moet

zijn over afst.mden die groot zijn vergeleken met, d

wezen constant, is m e r eeti RYE (Beran, 1 7 6 8 ) . Hashin, 198.3, gaat bij het

gebrriik vim Zffectieve paraineters uit van statistisch homgene rek- en

spanningsvelden. dit, zijn rek- en spanningsvelden die voor verschillende

ofwel dat deze in m'

RVE's, statistisch gezien, niet te onderscheiden zijn. Ofwel die waarvoor alle statistische grootheden, zoals gemiddelden, varianties e.d., aan elkaar gelijk zijn voor willekeurige RVE's. Dit houdt tevens in dat het gemiddelde over het totale volume gelijk is aan dat over een RWE. In navolging van Hashin kunnen we de effectieve grootheden definiëren als die welke de rela- tie vastleggen tussen de gemiddelde rek- en spanningsvelden in een compo- siet, wanneer deze velden statistisch homogeen zijn, en wel volgens:

of

( 1 . 1 2 )

( 1 . 1 3 )

*

*

zijn hierin de effectieve elasticiteitsmoduli en Sijkl de effectieve zijn de gemiddelde spanning respectie- '

i jkl

-

-

elastische complianties; uij en E

velijk rek.

ij

Wanneer de spannings- en rekvelden niet statistisch homogeen zijn kan de composiet niet beschreven worden met behulp van de effectieve parameters en moet een ietwat andere weg gevolgd worden. Om de gedachtengang te bepalen wordt eerst gekeken naar een homogeen materiaal. Essentieel bij een homogeen materiaal is de veronderstelling dat het materiaal zijn eigenschappen be- houdt ongeacht de grootte van een materieel blokje. Dit mag ook infinitesi- maal klein gekozen worden. Deze veronderstelling is bij een composiet niet mogelijk. Zodra een blokje composietmateriaal kleinere afmetingen krijgt dan die van een RVE, kan het gedrag van zo'n blokje geheel anders zijn dan dat van de composiet zelf. Dit betekent dat een representatief blokje van een composiet eindig van afmeting is en niet kleiner dan een RVE. Toch wil men voor het beschrijven van een composiet graag een infinitesimaal klein ele- ment toelaten, omdat de composiet dan te beschrijven is als zijnde een continuüm. Een mogelijkheid hiertoe wordt geschapen door in elk punt van de composiet een materiaalgedrag te definiëren dat representatief is voor zijn nabije omgeving, die bestaat uit een RVE. Dit kan door geschikte veldgroot- heden te introduceren, gedefinieerd m.b.v. het zogenaamde moving-gemiddelde. Een moving-gemiddelde van b.v. een verplaatsingscomponent ui is gedefinieerd als:

1

-

1 . 1 0

-

(1.14)

x is de kolom met plaatscoördinaten van een referentiepunt in een KVE,

x'

zijn de lokale coördinaten t.o.v. een lokaal assenstelsel met oorsprong in

x.

Integratie vindt plaats over een RVE met volume AV, zie figuur 1.4.

." -3

*

Voor de duidelijkheid wordt op deze plaats nogmaals gewezen op de verschillende niveau's waarop een composiet bekeken kan worden. Allereerst

is er het "microniveau". De afmetingen liggen hier in de orde van de karak-

teristieke afmeting dm. Een niveau hoger spreken we van het "mininiveau", met afmetingen die karakteristiek zijn voor een RVE. Het "macroniveau"

tenslotte wordt gekenmerkt door de afmetingen van de composiet (het proef-

stuk). Het beschrijven van de composiet als ware het een continuüm heeft

alleen zin als voldaan wordt aan het zgn. PINM-principe:

MICRO

< <

NINI

< <

MACRO ( 1 . 1 5 )

Een alternatieve, maar, op grond van de op pag. 1 . 7 genoemde hypothe-

se, equivalente manier om nieuwe veldgrootheden te introduceren is door

gebruik te maken van ensemble-gemiddelden i.p.v. moving-gemiddelden. Voor

een verplaatsingscomponent geldt dan:

I N

<Ui(X)> = E Uim(X)

-

m= 1

.,

( I . 16)

Ofwel: de waarde van een verplaatsingscomponent in een punt x wordt gevonden

door middeling van deze waarde zoals die bij N proefstukjes bepaald is.

-

Met bovengenoemde nieuwe veldgrootheden kan de composiet als continuüm

beschreven worden. De relatie die i.g.v. moving-gemiddelden het gemiddelde inhomogene spanningsveld koppelt met het gemiddelde inhomogene rekveld luidt dan (Levin, 1 9 7 1 ) :

-

U ij,j

+

fi =

o

( 1 . 1 8 )

( 1 . 1 9 )

Soortgelijke relaties zijn door Beran en HcCoy, 1970, afgeleid met

gebruikmaking van van ensemble-averages.

Levin, 1971, gebruikt een methode welke door Novozhilov, 1970, is

voorgesteld. De elasticiteitsmoduli worden als random functies van de plaats bekend verondersteld. Voor het stelsel vergelijkingen uit de elasticiteits- theorie wordt dan een oplossing gezocht door een reeks te introduceren voor het rekveld. De coëfficiënten uit deze reeks worden dan bepaald uit het continu zijn van de rekken en het evenwicht van een volume element. Deze coëfficiënten zijn onafhankelijk van de vorm van het lichaam en de belasting

die erop werkt. Ze worden volledig bepaald door de vorm van de elastici-

teitstensor. Uit de gevonden oplossing kan dan tevens relatie ( 1 . 1 7 ) worden

afgeleid. In deze relatie worden niet-lokale effecten toegelaten: de gemid- delde spanning in een punt wordt m.b.v. correlatiefuncties gekoppeld aan de gemiddelde rekken in alle punten van het lichaam (non-local theorie).

en HcCoy, 1970, laten tevens zien dat de multi-polar of de strain-gradient

theorie een speciaal geval is van deze non-local theorie. In de stain-gra-

dient theorie (Mindlin en Eshel, 1968) wordt de spanning niet alleen als

functie van de rek maar tevens als functie van de rekgradiënten opgevat. Het

verband tussen de non-local en de stain-gradient theorie kan als volgt

Beran

worden ingezien:

Aangezien de materiaalgrootheden Cijki over een karakteristieke lengte dm

Variëren, kan aangenomen worden dat de correlatiefuncties Lijkl(x,x') ver-

waarloosbaar zijn voor I

x-x'

I

>

dm. Dit betekent dat de belangrijkste

bijdrage aan de volumeintegraal ( 1 . 1 7 ) afkomstig is van een gebied in de

nabijheid van het punt x . Als we de rek Ek1(x') nu in een reeks ontwikkelen

rond het punt x

*

^ . * .

4

-" *.

-

1 . 1 2

-

1 3

a

-

2 axm K ( & k l m m n n

t

- -

(x))

(XI-x ) (XI-x ) -I-

...

( 1 . 2 0 )

en deze uitdrukking substitueren in vergelijking ( 1 . 1 7 1 , levert dit

Ofwel :

-

x -

*

-

*

-

'ij(x) = 'ijkl"k1

'

DijklmEkl,m

'

EijklmnEkl,mn

'

...

( 1 . 2 2 ) Dit is de vergelijking zoals deze in de strain-gradient theorie gebruikt wordt. Wanneer we van deze strain-gradient theorie alleen de eerste term uit het rechterlid meenemen krijgen we weer:

*

een soortgelijke vergelijking als in ( 1 . 1 2 ) . De materiaalparameters Cijki

zijn ook hier constant, omdat we statistisch homogeen materiaal aangenomen hebben en dus:

( 1 . 2 4 )

onafhankelijk zal zijn van x.

...

Vergelijking ( 1 . 1 2 ) voor homogene velden en vergelijking ( 1 . 2 3 ) voor

inhomogene velden blijken voor de meeste praktische toepassingen een compo- siet voldoende nauwkeurig te beschrijven. Evt. moet een hogere orde benade-

ring gezocht worden met behulp van de vgln. ( I . 17) en ( 1 . 2 2 ) . Dit is b.v.

het geval bij dynamische problemen met kleine golflengten of bij problemen met hoge spannings- en rekgradienten.

i)

ii )

uitspraken te doen over de effectieve parameters m.b.v de fysische eigen- schappen van de componenten en de geometrie van de composiet. M.a.w. met behulp van de kennis van Cijkl als functie van de plaats. Dit kan zijn:

deterministisch, b.v. Cijkilx) is bekend als periodieke functie in geval van een periodieke stapeling van vezels in een matrix,

*

statistisch, b.v. Cijki(x) wordt bekend verondersteld als random functie van de plaats, beschreven door de kansverdelingsfuncties uit paragraaf 1 . 2 .

*

Een globale indeling van de methoden om deze informatie i) danwel ii) in de

uitdrukkingen voor de beschrijving van het materiaalgedrag (vgln. ( 1 . 1 2 ) '

( 1 . l 7 l t ( 1 . 2 2 ) en ( 1 . 2 3 ) ) te verwerken ziet er als volgt uit (Hashin, 1 9 8 3 ) : 1 ) directe methode,

2 ) methoden gebaseerd op energieprincipes,

3 ) benaderingen.

Bij de directe methode worden de effectieve parameters exact bepaald bij een gegeven geometrisch model. Dit gebeurt door de spannings- en rek- velden in zo'n model exact te berekenen, deze vervolgens te middelen en dan

de effectieve parameters te bepalen volgens de definitie van vgl. ( 1 . 1 2 ) . De

te middelen rek- en spanningsvelden moeten voldoen aan de evenwichts- vergelijkingen in de componenten, de continuiteitsvoorwaarden op de compo- nentovergangen en de externe randvoorwaarden. Slechts een beperkt aantal modellen laat deze analytische aanpak toe. Bovendien zijn deze modellen in het algemeen eenvoudig van opzet en laat de realiteitswaarde vaak te wensen over.

De werkwijze gebaseerd op de energieprincipes maakt gebruik van een

alternatieve definitie van de effectieve materiaalgrootheden, nl. een defi-

nitie m.b.v. de elastische deformatie energie U. Deze is gelijk aan:

1 1

1

( 1 . 2 5 )

- -

-

2

i

sijkl'ijukl dV

-

1.14

-

1 ,

- - UE = Cijkl"kl"ijV ( 1.26) respectievelijk:

' *

- -

u'

=

2

SijklUij u v kl (1.27)

U" is de deformatie energie uitgedruk, in de rekgrootheden, U' de deforma-ie

energie uitgedrukt in de spanningstermen.

Met behulp van de klassieke variatie principes kunnen onder- en boven- grenzen gevonden worden voor de effectieve grootheden. Deze aanpak maakt de constructie van toelaatbare spannings- en rekvelden noodzakelijk. Deze zijn eenvoudiger te bepalen dan bij de directe (analytische) methode. Bovendien kunnen ook al begrenzingen gevonden worden bij slechts gebrekkige informatie over de microstructuur. De bruikbaarheid van de resultaten hangt natuurlijk af van de grootte van de discrepantie tussen de gevonden onder- en boven- grenzen.

De derde methode, die van de benaderingen, beslaat een enorm scala aan mogelijkheden. Vaak wordt simpelweg een uitdrukking voor de effectieve

moduli gepostuleerd, zonder onderbouwing. Zo'n uitdrukking bevat dan een of meerdere parameters die op de experimentele data gefit kunnen worden. Soms wordt een benadering geformuleerd door uit te gaan van beginveronderstel- lingen die welliswaar onjuist zijn, maar waarvan aangenomen wordt dat de uiteindelijke fout klein is

Naast enkele methoden die niet in deze indeling passen zullen de

genoemde 3 methoden in de hoofdstukken 2 en 3 verder besproken worden.

Hoofdstuk 2 behandelt statistisch isotrope composieten. Hoofdstuk 3 be-

schouwt statistisch transversaal isotrope composieten. Beide hoofdstukken beperken zich tot lineair elastisch materiaalgedrag.

HOOFDSTUK 2

Statistisch Isotrope Composieten

2 . 1 Inleidinq

Een isotroop materiaal is een materiaal waarbij de eigenschappen onafhanke- lijk zijn van de richting waarin men deze bepaalt of waarneemt. In overeen- stemming hiermee is een statistisch isotrope composiet, een composiet waar- van de effectieve materiaalparameters onafhankelijk zijn van de keuze van het referentiestelsel. W.a.w. de composiet heeft statistisch gezien in alle richtingen dezelfde eigenschappen. Voorbeelden van statistisch isotrope composieten zijn: een matrix met bolvormige deeltjes of willekeurig georiën- teerde korte vezels, poreuze media of willekeurige georiënteerde kristallen in polykristallijne media.

Voor statistisch isotroop materiaal kan de effectieve spannings-rek

relatie ( 1 . 1 2 ) als volgt geschreven worden:

-

*-

oij= A E kk ti ij t 2G*Ei ( 2 . 1 )

*

*

Hierin zijn A en G de effectieve Lame coëfficiënten. uitgedrukt in de

effectieve elasticiteitsmodulus en dwarscontractiecoëfficiënt, E resp. v

,

geldt hiervoor:

*

*

* *

*

E v A = ( 1-2v*) ( l i V * ) I

*

E* G = 2 ( l i V *

1

( 2 . 2 )

De spannings- en rektermen kunnen ook opgesplitst worden in een deviatorisch

en hydrostatisch deel:

-

-

oij= u i5 t

zij

ij ( 2 . 3 1

-

-

-

2.2

-

met Ü en

E

als het hydrostatische deel van de gemiddelde spanning en rek

( 5(rkk resp.

pkk

en met sij en eij als het deviatorische deel van de

gemiddelde spanning en rek. Relatie (2.1) kan hiermee als volgt worden genoteerd:

1- 1-

-

-

-

*-

sij = 2G eij

*

*

2 *

Waarbij K = A

+

36 de effectieve bulkmodulus i s .

Voor statistisch isotrope composieten wordt in de komende paragrafen de gevonden literatuur besproken m.b.t. de in hoofdstuk 1 genoemde methoden voor het bepalen van effectieve moduli. Achtereenvolgens komen aan bod: de directe methode (par. 2.2)' de begrenzingen (par. 2.3) en de benaderingen

(par. 2.4).

2.2 De Directe Methode

Wanneer we een tweefasige statistisch isotrope composiet beschouwen, zijn de volgende relaties algemeen geldig:

Hierin duiden de indices 1,2 op de componenten,

vi

is de volumefractie van

component i, Ë(i)en .(i) zijn de gemiddelden van E en o in component i,

( 2 . 6 )

Substitutie van (2.5.c,d,e) in (2.5.a) geeft:

Gebruik van vgl. (2.5.b) levert uiteindelijk de elementaire relatie:

.b - ( 2 ) E

Een soortgelijke relatie is af te leiden voor de effectieve glijdings-

modulus, nl. met behulp van het deviatorische deel van de rek- en spannings- velden :

*

G = G I i- (G2-G1) -f21 ei j

-

ij e 2 V (2.9)

(geen sommatie over ij)

Uit deze relaties blijkt dat het voldoende is om het gemiddelde rekveld in een component t.o.v. het totale rekveld te kennen om de effectieve parame- ters te kunnen bepalen. Beide reìaties kunnen ook geschreven worden in termen van de gemiddelde spanningsvelden:

1 -(2) 0

1

I

1

5)

-

v2 4 = - + ( - - K2 (9 -(2) ij S 1 1 1 1 2 A = - t (-

-

-) V G2

_sij

( 2 . I O )

Het meest eenvoudige voorbeeld van de direkte methode is de analyse van een composiet net bol- of ellipsvormige deeltjes van materiaal 2 ingebed

-

2.4

-

in matrixmateriaal 1 , waarbij de volumefractie v2 van de

kleiner is dan 1 . In dat geval kan aangenomen worden dat

ningsveld in en rond zo'n deeltje overeenkomt met dat in deeltje, ingebed in een matrix van oneindige afmetingen.

deeltjes veel het rek- en span- en rond &Cn enkel

Voor dat laatste

geval heeft Eshelby, 1957, het. rekveld bepaald. Gebruikmakend van deze oplossing wordt m.b.v. vergelijking (2.8) en (2.9) de uitdrukking voor de effectieve moduli: 5(3K1+ 4G1)

*

= (G2-G1) 9K1t 8G1t 6(K1t 2Gl)G2/G1 '2 (2.12) (2.12)

Deze relaties gelden voor bolvormige deeltjes. Eshelby geeft tevens resulta- ten voor ellipsvormige deeltjes, terwijl in Hashin, 1959, en Dewey, 1947, soortgelijke beschouwingen gevonden kunnen worden.

Weng, 1984, breidt Eshelby's methode uit m.b.v. Mori en Tanaka's

concept van "average stress" of "back stress" (Mori en Tanaka, 1973). #et behulp van het concept van back-stress is het mogelijk om de invloed van de deeltjes onderling en die van het vrije oppervlak van de composiet op een deeltje in rekening te brengen. Hierdoor krijgen de resultaten ook geldig- heid voor hogere volumefracties van de insluitingen. Weng doet dit in navol-

ging van Taya en Chou, 1981, en Taya en Wura, 1981.

worden SIC: de eerske kwee termen u i t een reeksontwikkeling in de vofumefrac-

tie

v2.

Ook bij uitbreiding van deze reeksontwikkeling met hogere orde

termen in v2, en dus hogere toelaatbare waarden voor

v2'

blijkt dat de

onderlinge beinvloeding van de deeltjes een rol gaat spelen. Batchelor en Green, 1972, leiden een relatie af van de vorm:

De twee termen uit het rechterlid van vgl. (2.11-12) kunnen opgevat

*

K = K l t a v

+

1 2

2

a2V2 (2.13)

Chen en Acrivos, 1978a, hebben deze methode uitgebreid voor het alge- menere probleem met lineair elastische, isotrope matrix en deeltjes (bolvor- mig). Zij maken hierbij gebruik van de oplossingen voor twee bolvormige

deeltjes ingebed in een oneindig lichaam (Chen en Acrivos, 1978b). Bepaling van de Coëfficiënten in (2.13) gebeurt door geschikt sommeren van de invloed van de verschillende aanwezige bolparen. Voor de verdeling van de deeltjes

in het lichaam, de kansdichtheidsfunctie voor een bepaalde configuratie, wordt een eenvoudige veronderstelling gedaan.

Christov en Narkov, 1985, doen voor de kansdichtheidsfuncties eveneens een verondersteling. Met de gekozen verdeling als basis maken ze voor het

verplaatsingsveld gebruik van de Volterra-Wiener ontwikkeling in meervoudige

integralen. Hiermee bepalen ze een vergelijking voor de effectieve moduli in

de volumefractie tot orde vn. Voor n=l resp. n=2 komen de resultaten overeen

met die van Eshelby en Chen en Acrivos.

voor het berekenen van O(v 1 en hogere orde termen, wordt bij Christov en

Markov de berekening voor hogere n moeilijk. Dit houdt immers de berekening in van de paarsgewijze interacties van 3 en meer deeltjes, bij een gegeven configuratie. Uit praktisch oogpunt, b.v. rekentijd, wordt dit al gauw ondoenlijk.

een geordend rooster in de matrix zijn verdeeld. Bijvoorbeeld een rechthoe-

kig rooster, of een fcc of bcc rooster. Voorbeelden hiervan kunnen gevonden

worden in Nunan en Keller, 1984, in geval van starre bolvormige deeltjes en

in Sangani en Lu, 1987, voor elastische deeltjes. Zij maken gebruik van een numerieke methode en weten de effectieve parameters te bepalen voor de

t v t u l e runge vun tnelzztbaie vnlumefracties, d.w.z. t o t aan de volumefractie waarbij de deeltjes met elkaar in contact komen. Hun resultaten zijn echter in de vorm van numerieke waarden, grafisch weergegeven, als functie van de volumefracties en niet in de vorm van een expliciete uitdrukking zoals b.v. vergelijking (2.11-12).

Evenals bij het verder doorvoeren van de methode van Chen en Acrivos 3

Wel is aandacht besteed aan composieten waarbij de deeltjes volgens

Een andere aanpak waarbij men uitgaat van een speciale verdeling van de deeltjes, is het 'composite spheres assemblage' model (Hashin, 1962). Hierbij wordt uitgegaan van een bolvormige eenheidscomposiet, die als bouw- steen van de te modelleren composiet gebruikt wordt. Deze bouwsteen wordt gedefinieerd als een bolvormig deeltje van materiaal 2 en met straal a,

- 2 . 6 -

omgeven door een concentrische b o l van matrixmateriaal 1 met buitenstraal b

(fig. 2.1).

fig. 2.1

Wanneer we deze eenlieidscomposiet o p de rand r=b belasten met een radiale

verplaatsing ur(r=b) = cob dan kan de radiale spanning op de rand gedefi-

nieerd worden als o ('u) = sk 6 . De modulus K volgt uit de analyse van dit

*

.-,

.*

o

r r s S

bolsymmetrische probleem en i s een functie van de moduli van de twee compo-

nenten en de verhouding a / b .

Stel nu dat we een homogeen rriateriaal met modulus K

statische rek E. b opleggen. De spanningen en verplaatsingen op een inwen-

dig boloppervlak met straal b komen dan overeen met die van de bolvormige

composiet uit figuur 2.1. We kunnen dus deze inwendige bol vervangen door de

bolvormige composiet zonder dat de spannings- en rektoestand in de r e s t van

het 1icham Ver:jtciord wordt I Wanneer we deze Vervangingen successievelijk

doorvoeren met bolvormige composieten van verschillende grootte maar inet

constante a/b verhouding dus constante K zodanig dat het restvolume in de

limiet naar nul toegaat (fig.2.2), zal de effectieve modulus van de zo

verkregen composiet convergeren naar de modulus K . Voor deze bulkmodulus

geldt (Hashin, 1962):

*

S een homogene hydro-

o

ij z s t

*

S (2.14)

Voor v ( ( 1 kosrt deze relatie crvereen met ( 2 . 1 2 . a )

fig. 2.2

Tot dusver zijn in deze paragraaf beschouwingen gepresenteerd die

gebaseerd zijn op een speciale inwendige geometrie. Een andere werkwijze bij

de afleiding van exacte uitdrukkingen is gebaseerd op veronderstellingen

m. b. t. de materiaalgrootheden van de verschillende componenten. Een voor-

beeld hiervan is een tweefasige composiet waarbij de glijdingsmoduli van de

componenten duit elkaar gelijk zijn. Hill, 1963, laat zien dat dan relatie

(2.14) geldig is voor de bulkmodulus. Een tweede voorbeeld is een materiaal dat slechts zwak inhomogeen is. Hiermee wordt, bedoeld dat het verschil

tussen de lokale waarde van de modulus en de gemiddelde waarde slechts klein is. Dan geldt fMiolyneux en Beran, 1 9 6 5 ) :

(2.15)

Hierin is

KÏ2

de variantie van de modulus K . Voor een composiet met twee

componenten geldt hiervoor K ' --2 - - (K -K ) 2 v1v2.

Tenslotte wordt kort aandacht besteed aan relatie ( 1 . 1 7 ) resp. ( 1 . 2 2 ) .

Zelfs voor statistisch isotroop materiaal blijkt de matrix L i jkl uit relatie

i1.17) uit en zestal functies te bestaan, afhankelijk van r=lx-x'I - . - . , de

inwendige geometrie en de component eigenschappen. Dit is niet in overeen-

stemming net relatie ( 2 . : ) resp. (2.4) waarin slechts twee materiaalcon-

2 1

-

2.8

-

stanten een rol spelen. Beran en McCoy, 1970, laten zien dat voor het iso-

*

trope geval van relatie (1.22) de term Dijklm verdwijnt en nog vier mate-

*

*

riaalparameters te bepalen zijn: de moduli K en G en twee karakteristieke

lengte parameters l1 en 12. Voor zwakke inhomogene materialen kunnen deze laatste twee bepaald worden m.b.v. tweepunts correlatiefuncties van de plaatsafhankelijke moduli.

2.3 Beurenzinuen

Zoals gesteld in hoofdstuk 1 kunnen de energieprincipes uit de elasti- citeitstheorie gebruikt worden om begrenzingen af te leiden voor de effec- tieve moduli van een composiet. De eerste begrenzingen zijn waarschijnlijk gegeven door Paul, 1960. Voor de afleiding van een bovengrens voor de effec- tieve elasticiteitsmodulus maakt hij gebruik van het principe van minimale potentiële energie met een toelaatbaar lineair verplaatsingsveld. Een onder- grens wordt gevonden met het principe van minimale complementaire energie m.b.v. een konstant

deze manier de voor

spanningsveld. Voor de elasticiteitsmodulus vindt hij op

willekeurige inwendige geometrie geldende relaties:

' n

'(-) = [ E - n En I-' íb)

*

Subscript ( - ) , ( i ) duidt op de onder- resp. bovengrens. Index n geeft de

component aan. Hoewel Paul bij de afleiding van de bovengrens (2.16.a) gebruik maakt van de veronderstelling dat de dwarscontractiecoëfficiënten van de verschillende componenten aan elkaar gelijk zijn, geldt deze boven- grens ook voor componenten met verschillende dwarscontracties. Voor de bulk- en glijdingsmodulus kunnen soortgelijke relaties gevonden worden. Hill, 1952, laat zien dat (2.16.a) en (2.16.b) overeenkomen met de resultaten van Volgt, 1910, en Reuss, 1929, voor polykristallijne materialen. Hoewel de begrenzingen geldig zijn voor willekeurige geometrie, zijn ze zo ruim dat de bruikbaarheid voor technische toepassingen gering is.

Hashin en Shtrikman, 1963, hebben de klassieke energieprincipes gemo- dificeerd tot een nieuw variatieprincipe. Hiermee is het mogelijk, ook voor het algemene geval van composieten met willekeurige inwendige geometrie, verbeterde begrenzingen voor de moduli af te leiden. Zij kijken naar de verandering van de elastische energie van een homogeen lichaam wanneer dit vervangen wordt door een heterogeen lichaam van dezelfde afmetingen en onder

dezelfde randvoorwaarden. Voor een tweefasige composiet vinden zij als

resultaten:

*

v2 K(-)= KI i- 1/(K2-K1) i- 3v1/(3K1+4G1)

*

v2 G(-)= l/(G2-GI) t 6 v l ~ K l + 2 C l ~ / 5 G , ~ ~ ~ l ~ ~ ~ l ~

*

(2.17) (a) (2.18) voor K I < K2 en G I < G2.

Hoewel de begrenzingen (2.17)-(2.18) een duidelijke verbetering zijn van de Voigt en Reuss begrenzingen (2.161, zie fig. 2.3, laten ze nag te wensen

over wanneer de moduli van de componenten ver uit elkaar liggen. Voor b.v.

ratios van K2/KI groter dan 10 levert (2.17) al geen betrouwbare schatting

seer.

Verbetering van de grenzen is slechts mogelijk indien meer informatie

over de inwendige geometrie van de composiet in de afleiding wordt meege- nomen. Novikov, 1986, gebruikt de klassieke variatieprincipes. Met de veron-

derstelling dat de composiet beschouwd kan worden als een stapeling van

eenheidskubussen uit matrixmateriaal met daarin kubusjes o f bolletjes van

een ander materiaal, kan hij specifieke keuzes uitwerken voor de toelaatbare verplaatsings- en spanningsvelden. Ten koste van de algemene toepasbaarheid vindt hij hiermee nauwere begrenzingen.

- 2 . 1 0 -

leger;

fig. 2.3

Beran, 1370, behandelt het materiaalgedrag van composieten met behulp

vati een statistische be:jí:tiri jvingswijze, Door alle grootheden, d .w. z . de

materiaalgrootheden, spanningen, rekken en verplaatsingen, te schrijven als

fluctuaties ten opzichte van hun gemiddelden en deze uitdrukkingen te sub-

stitueren in de elasticiteitsvergelijkingen, vindt hij na enige manipulaties

vergeli jkingen voor de gemiddelde grootheden. Het verkregen stelsel blijkt

echter onbepaald te zijn, daar er meer onbekenden, nl. momenten van de

mengtermen in de fluctuaties vim de grootheden, in voorkomen dan vergeli j -

kinyen. Wellicwaar weet hij extra vergelijkingen te creëren, maar deze

vergen de introductie van momenten in hogere orde mengtermen en dus de

noodzaak van weer extra vergelijkingen. Uiteindelijk leidt dit tot een

oneindig groot stelsel vergelijkingen. Om het stelsel eindig en bruikbaar te

maken moet in een eerder stadium, inet behulp van een veronderstelling aan-

gaande de hogere orde mengtermen, het stelsel oplosbaar gemaakt worden

zonder introductie van nieuwe grootheden. Wanneer de fluctuaties van de

grootheden t . o . v. hun gemiddelden klein zijn, kan dit bijvoorbeeld met een

perturbatie methode. Hierbij worden dan hogere orde momenten verwaarloosd.

Beran, 1965. Vervolgens beschrijven Beran en Molyneux, 1966, hoe deze per- turbatie analyse gebruikt kan worden met de klassieke variatieprincipes om begrenzingen af te leiden. De door hun gevonden begrenzingen zijn nauwer dan

die van Hashin en Shtrikman (2.17-181, ze vergen echter informatie in de

vorm van hogere orde kansverdelingsfuncties die experimenteel moeilijk te bepalen zijn. Beran en Nolyneux hebben zich beperkt tot het bepalen van

begrenzingen voor de bulkmodulus. Voor de glijdingsmodulus wordt een soort-

gelijke beschouwing gegeven door McCoy, 1970.

Torquata, Stell en Beasly, 1985, geven een evaluatie van de resultaten

van Beran en Molyneux en van McCoy. Zij doen dit door voor de inwendige geometrie een model aan te nemen, het zgn. 'full penetrable sphere model', waardoor ze analytische uitspraken kunnen doen over de hogere orde kansver- delingsfuncties. Bij het 'full penetrable sphere model' wordt de positie van een deeltje volledig ongecorreleerd geacht van de positie van de andere deeltjes. Dit houdt onder andere in dat deeltjes geheel of gedeeltelijk met elkaar kunnen samenvallen.

Nomura en Chou, 1984, passen eveneens de perturbatie methode toe en

maken daarbij gebruik van de Green functie om de fluctuaties van de rekken t.o.v. hun gemiddelden te relateren aan die gemiddelden. Gebruik van de variatieprincipes levert tenslotte begrenzingen voor de effectieve para-

meters waarvoor statistische informatie benodigd wordt in de vorm van 3-

punts kansverdelingsfuncties. Evenals bij Torquato, Stel1 en Beasly, 1985,

komen hun ondergrenzen voor volumefracties van de deeltjes tot ongeveer 0.4

goed overeen met expertimentele data.

Het werk van Nomura en Chou kan gezien worden als een voortbouwen op

de formele theorie die is opgezet door Zeller en Dederichs, 1973, en die ook

ann-&- vv2?%e%.. s t A w s s G L f ?9??, reeds is gebruikt 9% begrenzingen voox de effectieve

moduli af te leiden. De resultaten van KrÖner bestaan uit formele relaties

waarin n-punts (met n even) kansverdelingsfuncties meegenomen worden. ïnvul-

ling van deze kansverdelingsfuncties vergt weer een geometrisch model of een

experimentele bepaling. Dit i s een uitbreiding van de resultaten van Zeller

en Dederichs, die n-punts kansverdelingsfuncties meenemen met n oneven.

glijdingsmodulus af te leiden voor het geval dat de inwendige geometrie overeenkomt met die van het 'composite spheres assemblage' model. Aangezien een bolvormige eenheidscomposiet zich onder afschuiving niet gedraagt als

- 2.12 -

een equivalente homogene b o l , kan het in paragraaf 2.2 genoemde vervangings-

schema hier niet doorgevoerd worden. Wel kan de oplossig voor de composiete bol gebruikt worden in de variatie principes. Hiermee worden dan begren-

zingen gevonden die nauwer zijn dan (2.18), maar die dan ook alleen geldig

zijn voor het genoemde geometrische model. Voor de resultaten wordt verwezen

naar Hashin, 1 9 6 2 .

2.4 Benaderinsen

Een van de meest gebruikte benaderingen i s het zgn. 'self consistent

scheme' ( S C S ) , waarvan twee versies bestaan; een eerste versie en een gege-

neraliseerde versie.

9

G

b. fig. 2.4

In de eerste versie wordt aangenomen dat een enkel deeltje (fig.

2.4.a) ingebed is in een oneindig groot homogeen lichaam. Dit lichaam be-

staat uit een materiaal met de onbekende materiaalparameters K en G

.

Met

behulp van de methode van Eshelby, 1957, kan een oplossing voor het rekveld

bepaald worden, resulterend in een uniform rekveld in het deeltje als func-

tie van de nog onbekende X en G * . Substitutie van deze oplossing ,(2) in

relatie (2.8) resp. (2.3) geeft twee simultane relaties in K en G

.

Deze

*

*

*

eerste versie is voor bolvormige deeltjes toegepast door Sudiansky, 1965, en Hill, 1965a. Hill geeft als resultaten:

v2 3

-

-

+ * 3K*t4G*

*

K -K2 K -KI v2 6K*t2GX

-

-

5G* (3K*t4G*

1

*

+ * G -G2 G -GI (2.19) íb)

Bovenstaande relaties liggen altijd tussen de grenzen (2.17) en (2.18) en

raken de ondergrenzen voor v2=0 en de bovengrenzen voor v2=1. Voor deeltjes

die veel stijver zijn dan de matrix, worden de effectieve moduli overschat, terwijl voor een matrix die veel stijver is dan de deeltjes een te lage schatting verkregen wordt. Bovendien blijven de resultaten uit de relaties gelijk wanneer de eigenschappen van de twee componenten met elkaar verwis- seld worden. Dit is uiteraard niet realistisch. Het probleem bij deze bena-

dering is dat voorbij wordt gegaan aan het NMM-principe. Bij het oplossen

van de elasticiteitsvergefijkingen worden de verplaatsing en spanning op de

rand van het deeltje gelijk gesteld aan die van het effectieve materiaal. Dit betekent dat microvariabelen (die van het deeltje) gelijkgesteld worden aan minivariabelen (van het effectieve materiaal). Dit is zinloos omdat de laatste door middeling uit de eerste verkregen worden. Deze versie van het

SCS moet daarom met de nodige voorzichtigheid benaderd worden.

In de gegeneraliseerde versie van het SCS (fig. 2.4.b) wordt een

composiete bol, bestaande uit een kern met straal a en omgeven door een concentrische schil uit matrixmateriaal met buitenstraal b, ingebed gedacht

in het effectieve materiaal, zie Christensen en Lo, 1979. Dit heeft als

consequentie dat een extra onbekende parameter q=a/b ingevoerd wordt. Bij de

eerste versie van het SCS werd deze gelijk aan

1

gesteld, terwijl in de

meeste literatuur m. b. t. het gegeneraliseerde SCS aangenomen wordt dat q3=

v2. In het laatste geval wordt dus aangenomen dat de volumefracties in de composiete bol gelijk zijn aan die van de composiet zelf. De keuze voor de waarde van deze parameter is echter niet eenduidig. Hashin, 1968, laat in

-

2.14 -

3

zien dat de variatie van q over het interval v2 <= 0

meling van oplossingen bestrijkt, die liggen tussen de best mogelijke onder-

grens

-

de oplossing van het composite spheres assemblage model

-

en de

eerste SCS versie. Het gegeneraliseerde SCS geeft een meer realistische

benadering dan de eerste versie. Daar nu een typische bouwsteen van de composiet wordt ingebed in het effectieve materiaal, wordt het MMM-principe minder geweld aangedaan. Bovendien zijn de resultaten niet meer onafhanke- lijk van de verwisseling van component eigenschappen.

<= 1 de hele verza-

Cermdk en Million, 1984, bepalen een effectieve parameter met behulp

van de eindige elementen methode. Ze beperken zich hierbij tot het 2-dim. warmtegeleidingsprobleem en bepalen de effectieve geleidingscoëfficiënt. Voor de structuur van de composiet wordt een geidealiseerd periodiek model aangenomen. De informatie over de opbouw van de composiet kan daarmee terug- gebracht worden tot een aantal geometrische parameters. Afhankelijk van deze parameters wordt een waarde voor de effectieve coefficient gevonden. Dit gebeurt door de knooppuntswaarden van de temperatuur te toetsen aan de analytische oplossing voor het equivalente probleem. Vergelijking van de

resultaten met de bekende grenzen (2.16) en (2.17-18) levert een bevredigend

resultaat. Helaas wordt geen vergelijking gegeven met experimentele waarden.

McLaughlin, 1977, gebruikt een zogenaamd differentieschema om effec-

tieve parameters te bepalen. De essentie van deze aanpak is de veronderstel- ling dat bij een successievelijke toevoeging van een kleine hoeveelheid deeltjes aan de composiet de effectieve moduli telkens zullen veranderen

volgens een relatie van het type (2.11-12). De modulus van het matrixmate-

riaal wordt dan stapsgewijs vervangen door de momentane effectieve modulus. De resultaten van deze aanpak liggen steeds tussen de Hashin en Shtrikman

kanrnnn;nrsan

J d G y & G s s o & u y & * * f S . ? ? - ? U ) . Ook hier wmdt echter geweld aangedam ;ran h e t MMM-

principe, aangezien de deeltjes telkens worden ingebed in het effectieve materiaal.

HOOFDSTUK 3

Transversaal Isotrope Composieten

3 . 1 Inleidinq

Bij transversaal isotrope materialen is het materiaalgedrag in C&n

richting afwijkend van het materiaalgedrag in een vlak loodrecht op deze richting. In dit vlak zelf is het materiaalgedrag in alle richtingen gelijk. Be spanning-rek relaties voor zulke materialen zijn bekend van vorm en

bevatten 5 onafhankelijke materiaalgrootheden (Kupradze, 1979).

In dit hoofdstuk worden statistisch transversaal isotrope coniposieten

beschouwd. Hiermee zijn composieten bedoeld die zich op macroschaal, effec-

tief gezien, als een transversaal isotroop materiaal gedragen. I.h.a. be- staan deze composieten uit lange vezels die evenwijdig aan elkaar ingebed

liggen in een matrixmateriaal, fig. 3 . 1 . Ze kunnen echter ook zijn opgebouwd

uit korte vezels in een matrixmateriaal, met alle vezels gelijk georien-

teerd. Met de vezels in xl-richting, zoals in fig. 3 . 1 , kan voor een statis-

tisch transversaal isotrope composiet gesteld worden dat de spanning-rek

relaties invariant zijn voor rotaties om de xl-as.

i

-

3.2

-

De bovengenoemde spanning-rek relaties kunnen met invoering van effec- tieve grootheden als volgt genoteerd worden:

-

*-

*-

*-

uI1 = n

+

1

t 1

*-

-

*-

-

*-

-

crI2 = 2 G L ~ 1 2 ; uI3 = 2 G L ~ 1 3 i c~~~ = 2GT~23 met:

*

*

*2

*

*

* *

n = E + 4 v L k en 1 = 2k vL L

Geïnverteerd kan stelsel (3.1) geschreven worden als:

"22 = - - E22

*

O 1 1 + EL

*

VT

-

*

"33

-

-

l? &T (3.2)

-

E; "22 +

-

= - -

-

E; &33

*

"11 EL

Voor de geïntroduceerde moduli geldt:

k* : transversale bulkmodulus,

*

*

ET

,

EL : transversale resp. longitudinale elasticiteitsmodulus,

*

*

v : trans. resp long. dwarscontractie coefficiënt.

T ' L

V

Omdat een transversaal isotroop materiaal met 5 materiaalparameters

beschreven kan worden, zijn de hierboven geïntroduceerde 7 moduli niet

onderling onafhankelijk. Zo geldt bijvoorbeeld:

(3.4)

Hill, 1944, laat zien dat voor een willekeurige tweefasige transver- saal isotrope composiet, twee van de effectieve materiaalkonstanten altijd

zijn uit te drukken in de overige drie en in de volumefracties en materiaal-

konstanten van matrix- en vezelmateriaal. Zo leidt hij bijvoorbeeld af:

1 v2

-

v1 v2

*

- v + v2v2 L

+ - -

*

1

= vlvl 1/k2 - l/kl kl k2 k ( - * (a) (3.5)

*

Met behulp van vergelijking (3.2) zijn soortgelijke relaties voor n of

1 op te stellen. Dit betekent dat voor statistisch transversaal isotrope

composieten slechts 3 effectieve materiaalparameters bepaald hoeven te

worden om het materiaal te kunnen beschrijven.

*

In de volgende paragrafen worden enkele in de literatuur beschreven methoden besproken die gebruikt worden om deze effectieve materiaalparame- ters te bepalen. Hierbij wordt dezelfde indeling aangehouden als in hoofd-

stuk 2 : direkte methoden (par. 3.2), de begrenzingen (par. 3.3) en tenslot-

- 3.4 -

In de praktijk worden vezelversterkte composieten vaak toegepast in de vorm van laminaten. Zo'n laminaat is opgebouwd uit lamina: unidirectionele vezelversterkte dunne platen, die in vezelrichting andere eigenschappen hebben dan in de richting loodrecht daarop. Om in meerdere richtingen sterk- te en stijfheid te verkrijgen worden de lamina met de vezels in verschil- lende richtingen samengevoegd tot een laminaat. De spanning-rek relaties van zo'n laminaat kunnen bepaald worden aan de hand van die van de lamina en de opbouw van het laminaat. Hiervoor wordt verwezen naar Halpin, 1984.

3.2 De Directe Nethode

Er is slechts èên toepassing van de directe methode in de literatuur gevonden in geval van transversaal isotrope composieten. Dit is het analogon van het 'composite spheres assemblage' model: het zogenaamde 'composite cylinder assemblage' model. De elementaire bouwsteen is nu een lange, cylin- drische composiet bestaande uit een vezel die is omgeven door een concentri- sche schil van matrixmateriaal. Voor bepaalde randvoorwaarden is het gedrag

-

d.i. vervorming en spanningen op de cylindermantel - van zo'n cylindrische

composiet gelijk aan dat van een equivalente, transversaal isotrope, homoge- ne cylinder. Net als bij het 'composite spheres assemblage' model kan dan een vervangingsschema doorgevoerd worden. Een transversaal isotroop lichaam wordt hierbij successievelijk opgevuld met composietcylinders van verschil- lende diameter maar met gelijkblijvende volumefracties en componenteigen- schappen. De randvoorwaarden waarbij dit mogelijk is, d.w.z. waarbij de composietcylinder zich gedraagt als een equivalente homogene cylinder, zijn: uniforme rek in axiale richting, radiale spanning en verplaatsing in het

transversale vlak er, unifvme ufschuiving in Iongitgilinale richtina. Wordt bij deze randvoorwaarden het vervangingsschema uitgevoerd zodanig dat het restvolume tot nul nadert, dan kunnen van de zo verkregen composiet de

grootheden k

,

EL

,

vL

,

nL

elementaire composietcylinder. Voor deze composietcylinder zijn deze groot- heden onder de gegeven randvoorwaarden analytisch te bepalen, Hashin en Rosen, 1954. Enkele resultaten zijn:

*

*

*

*

*

*

lL en GL gelijkgesteld worden aan die van de

*

v2

l/tk2-k11 +- Vl/(kl+G1)

4(v -v

)‘v2v1

2 1 EL = E1vl

+

E v

+

2 2 vl/k2 f v2/kl f l/G1 v1/k2 f v2/kl + l/G1 = v1v1

+

v2v2 4- vL (3.7) ( 3 . 8 1 (3.9)

*

*

*

De effectieve grootheden GT ET en vT kunnen niet op soortgelijke

manier bepaald worden, omdat een composietcylinder onderworpen aan transver- sale afschuiving of transversale rek zich niet gedraagt als een equivalente

homogene cylinder. Wel kunnen met behulp van de spannings- en verplaatsings-

velden voor de composietcylinder onder deze randvoorwaarden goede begrenzin- gen geconstrueerd worden met energieprincipes. Resultaten hiervan zullen in

paragraaf 3 . 3 worden vermeld.

3 . 3 Besrenzinsen

Ook m.b.t. het gebruik van de energieprincipes voor het afleiden van begrenzingen voor de effectieve moduli, kunnen bij de transversaal isotrope composieten analogien getrokken worden met de gang van zaken bij isotrope composieten (par. 2.3).

Allereerst is er het gebruik van de klassieke energieprincipes. Toe-

passing van deze principes levert begrenzingen op van het type (2.16) voor

alle moduli, de zogenaamde Volgt en Reuss grenzen (Hill, 1964).

Shtrikman, 1962) toe voor transversaal isotrope composieten. Hij vindt

hiermee verbeterde grenzen voor k

grenzen voor de moduli k

resp. (3.9). De bovengrenzen worden gevonden door de indices 1,2 in deze

relaties te verwisselen. Voor de ondergrens van GT geldt:

Hashin, 1965, past de gemodificeerde variatieprincipes (Hashin en

*

*

*

,

GL en GTs De door hem gevonden onder-

*

*

en GL komen overeen met de vergelijkingen (3.6)

*

-

3.6 -

Ook hier wordt weer de bijbehorende bovengrens gevonden door de indices te verwisselen.

Hill, 1964, leidt eveneens verbeterde grenzen af. Zijn resultaten voor

*

*

*

k * I GL en GT komen overeen met die van Hashin. A l s ondergrens voor EL vindt

hij relatie (3.7). Deze relatie levert na verwisseling van indices de boven-

grens voor EL. Afhankelijk van een aantal criteria is relatie (3.8) een

onder- danwel een bovengrens voor vL

resp. ondergrens na verwisseling van indices.

Alle hierboven genoemde begrenzingen, m.u.v. die voor GT

*

*

met ook hier de bijbehorende boven-

*

komen overeen met de 'composite cylinder assemblage' resultaten. Hieruit kan weer geconcludeerd worden dat deze begrenzingen de best mogelijke zijn in termen van alleen componenteigenschappen en volumefracties.

Hashin en Rosen, 1964, gebruiken de oplossingen voor de spannings- en verplaatsingsvelden van een eenheids composietcylinder, onder geschikte randvoorwaarden, voor de afleiding van begrenzingen van o.a. de transversale

glijdingsmodulus. Als resultaat geldt:

v2

=

'

1/(G2-GI)

+

v2(kl+2Gl)/2Gl(kl+Gl)

(3.11)

Deze begrenzingen zijn welliswaar nauwer dan f3.10), ze zijn echter geba- seerd op veronderstellingen aangaande de opbouw van de composiet.

*

Voor ET tenslotte kunnen nu begrenzingen afgeleid worden met behulp van relatie (3.4.a)