H5: Goniometrische functies

Hoofdstuk 5:

Goniometrische formules

a. De grafiek van f heeft symmetrieassen: 1 2

x   k . b. En bij g zijn dat x k  .

c. sin(  a) sin( )a d. cos( a) cos( )a e. sin( a) sin( )a

f. Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de x-as: cos(   t) cos( )t V-2.

a. f t( ) sin(7   t) sin(   t) sin( )t b. g t( ) cos( 2    t) cos( ) cos( ) t t c. h t( ) sin( 3    t) sin(  t) sin( )t d. k t( ) sin(  t 23 ) sin(   t ) sin( ) t V-3.

a.

b. Bij spiegeling in de lijn y x worden de x- en de y-coördinaat omgedraaid.

(cos( ), sin( )) (sin( ), cos( ))

P t t Q t t d. c. xP yQ 1 2 cos( ) sin(t   t)

V-4. Nee, bijvoorbeeld _{f( ) sin ( ) 0 } 2 _{  en} 2

( ) sin( ) 0,43

g     

V-5.

a./b. _{f x( ) (sin( ) cos( )) x  x} 2_{(sin( ) cos( ))x  x} 2_{(sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( ))}2 _{x  x x } 2 _{x }

2 2 2 2

2 2

(sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( )) 2sin ( ) 2cos ( ) 2(sin ( ) cos ( )) 2 x x x x x x x x          x y 1 -1 1 -1 t -t

t

 

t

 

 

t

t

 

1

 

t

1.

a. BQA90o _{(hoekensom van een driehoek)}

180 (90 ) 90

PQC  

  o o  o  _{(gestrekte hoek)}

b. CPQ180o90o  90o _{(hoekensom van een driehoek)}

180 90 90

APQ  

  o  o  o _{(hoekensom van een driehoek)}

180 (90 ) (90 )

APD    

  o o  o   _{(gestrekte hoek)}

c.

d. sin(  )AQsin( ) PQcos( ) e. sin(  ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( )       

f. cos(  )AQcos( ) PQsin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( )         2.

a. 1 1 1 1

4 4 4 2

( ) cos( ) cos(x) cos( ) sin( ) sin( ) 2 (sin( ) cos( ))

g x  x      x     x  x

b. f x( ) cos( x) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) x    x    cos( )x

c. 1 1 1

2 2 2

sin(   t) sin( ) cos( ) cos( t  ) sin( ) cos( ) t  t

en 1 1 1

2 2 2

cos(   t) cos( ) cos( ) sin( t  ) sin( ) sin( ) t  t 3.

a. sin(2 ) sin(t  t t ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2sin( ) cos( )t  t  t  t  t  t b. _{cos(2 ) cos(t  t t ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos ( ) sin ( )t  t  t  t } 2 _{t } 2 _t

4. _{cos(2 ) cos ( ) sin ( ) (1 sin ( )) sin ( ) 1 2sin ( )t } 2 _{t } 2 _{t  } 2 _{t } 2 _{t  } 2 _t

2 2 2 2 2

cos(2 ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (1 cos ( )) 2cos ( ) 1t  t  t  t   t  t 

5.

a. sin(2 ) 2cos( )t  t b. sin(2 ) 2sin( )t  t

1 1

2 2

2sin( ) cos( ) 2cos( ) 0 2cos( ) (sin( ) 1) 0 cos( ) 0 sin( ) 1 1 t t t t t t t t  t             

2sin( ) cos( ) 2sin( ) 0 2sin( ) (cos( ) 1) 0 sin( ) 0 cos( ) 1 0, , 2 t t t t t t t t t  t              6. a. 1 2

2sin( ) cos( )t  t   b. _{sin ( ) cos ( ) 1}2 _{t } 2 _{t }

1 2 5 1 6 6 7 11 12 12 7 11 7 11 12 12 12 12 sin(2 ) 2 1 2 2 1 2 , , 1 , 1 t t k t k t k x k t x t x                                 1 2 1 1 2 2 cos(2 ) 1 2 2 1 t t k t k t t                  APQ V VABQ VPCQ VAPD cos( ) AQ  cos( ) AB AQ   cos( ) CQ PQ   cos(  ) DP sin( ) PQ  sin( ) BQ AQ   sin( ) CP PQ   sin(  ) AD

7. a. _{cos(2 ) 1 2sin ( )x  } 2 _x 2 2 1 1 2 2 2sin ( ) 1 cos(2 ) sin ( ) cos(2 ) x x x x     b. 2 1 1 1 1 1 2 2 2 4 0 2 0 0

sin ( )x dx ( cos(2 ))x dx x sin(2 )x

      _  _ 





cos ( )x dx ( cos(2 ))x dx x sin(2 )x

      _  _ 





b. _{f x( ) (1 sin( ))(1 sin( )) 1 sin ( )  x  x  } 2 _x

c. _{sin ( ) cos ( ) 1}2 _{x } 2 _{x  voor alle waarden van x.}

10. deze zijn niet leuk!

a. Ja!

b. sin(3 ) sin(2x  x x ) sin(2 )cos( ) cos(2 )sin( ) x x  x x c. _{2sin( )cos( ) cos( ) (1 2sin ( ))sin( )x x  x  } 2 _{x x }

2 3

2 3

3 3 3

2sin( )cos ( ) sin( ) 2sin ( ) 2sin( )(1 sin ( )) sin( ) 2sin ( )

2sin( ) 2sin ( ) sin( ) 2sin ( ) 3sin( ) 4sin ( )

x x x x x x x x x x x x x x               

d. cos(3 ) cos(2x  x x ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( ) x x  x x 

2

3 2

3 3 3

(2cos ( ) 1)cos( ) 2sin(x)cos(x)sin(x) 2cos ( ) cos(x) 2(1 cos ( ))cos( )

2cos ( ) cos(x) 2cos( ) 2cos ( ) 4cos ( ) 3cos(x)

x x x x x x x x x               

11. maar het kan nog erger!!

a. Nee, dat is niet zo.

b. sin(4 ) sin(2t  t2 ) sin(2 )cos(2 ) cos(2 )sin(2 ) 2sin(2 )cos(2 )t  t t  t t  t t  2 2sin( )cos( )cos(2 ) 4sin( )cos( )cos(2 )t t t t t t

  

c. sin(8 ) sin(4t  t4 ) sin(4 )cos(4 ) cos(4 )sin(4 ) 2sin(4 )cos(4 )t  t t  t t  t t  2 2sin(2 )cos(2 )cos(4 ) 8sin( )cos( )cos(2 )cos(4 t)t t t t t t

  

d. sin(16 ) 16 sin( )cos( )cos(2 )cos(4 )cos(8 )t  t t t t t

sin(32 ) 32sin( )cos( )cos(2 )cos(4 )cos(8 )cos(16 )t  t t t t t t (denk ik)

12.

a. Ze lijken samen te vallen.

13.

a. _{(cos( ) sin( ))t  t} 2 _{cos ( ) 2sin( )cos( ) sin ( ) 1 2sin( )cos( ) 1 sin(2 )}2 _{t  t t } 2 _{t   t t   t}

b. _{cos(4 ) cos(2 2 ) 2cos (2 ) 1 2(2cos ( ) 1)x   x } 2 _{x  } 2 _{x } 2_{ 1}

_{2(4cos ( ) 4cos ( ) 1) 1 8cos ( ) 8cos ( ) 1}4 _{x } 2 _{x   } 4 _{x } 2 _{x }

14. a. _{1 cos( ) cos ( ) 0 x } 2 _{x } 2 _{1 0} 1 4 1 1 0 p p D   

     dus de vergelijking heeft geen oplossing. b. _{p x( ) (1 cos( ) cos ( ))(1 cos( ))  x } 2 _{x  x }

_{ 1 cos( ) cos ( ) cos( ) cos ( ) cos ( ) 1 cos ( )x } 2 _{x  x } 2 _{x } 3 _{x  } 3 _x

c.  1 cos( ) 1x  , dus _{ 1 cos ( ) 1}3 _{x  en 0 1 cos ( ) 2 } 3 _{x }

15.

a. 1 1 1

2 2 2

y sin(   t) sin( )cos( ) cos(t  )sin( ) cos( )t  t  cos(   t) x

b. 1

2

sin(  t) sin( )cos( ) cos( )sin( ) sin( ) cos( t   t  t   t)

2 2 1 2 2 sin ( ) cos ( ) y    t   t x 16. a. cos(3 ) 0t  1 1 2 2 1 2 1 2 6 3 2 3 5 5 1 1 1 1 6 2 6 6 2 6 3 2 3 1 2 , , , 1 , 1 , 1 t k t k t k t k t t t t t t                                   b. 1 3

cos(3t a ) cos(3( t a)). Dan kan 1

3a een willekeurig aantal (k) keer de periode

zijn ( 2 3

k ).

a en b kunnen veelvouden van 2 zijn. 17.

a. sin(t u ) sin( t u ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) t u  t u  t u  t u  2sin( )cos( )t u  b. p t u  2 2 p q t p u q p u u p u u          en t is dan: t    p u p p q₂  2p p q (₂ )  p q₂

c. invullen in a: sin( ) sin( ) 2sin(_{p  q } p q₂ )cos(p q₂ )

d. sin(t u ) sin( t u ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) (sin( )cos( ) cos( )sin( )) t u  t u  t u  t u  2sin( )cos( )u t



Dus sin( ) sin( ) 2sin(_{p  q } p q₂ )cos(p q₂ )

18. cos(t u ) cos( t u ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) t u  t u  t u  t u 

cos(t u ) cos( t u ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) (cos( )cos( ) sin( )sin( )) t u  t u  t u  t u 

 2sin( )sin( )t u 19.

a. De functie f is periodiek met periode  .

b. 1 1 2 61 (2 61 ) 2 16 (2 61 )

6 6 2 2

( ) sin(2 ) sin(2 ) 2sin( x x )cos( x x )

f x  x   x           

1 6

2sin( )cos(2 ) cos(2 )x x

 

20.

a. 1 13 ( 31 ) 1 1

3 2 2 6 6

( ) sin( ) sin( ) 2sin(t t )cos(t t ) 2sin( )cos( )

f t _ t _ t_  _       _ t_   _ 1 6 3 sin(t )   1 1 6 6 3 1 1 1 1 1 6 2 2 2 12 2 12

( ) cos(2 ) cos( ) 2cos( t )cos(t ) 2cos(1 )cos( )

g t t t      t  t 

      

b. De grafiek van f is een sinusoïde met amplitude 3 en periode 2 .

21.

a. De grafiek is geen sinusoïde: verschillende amplitudes.

b. 1 1

2 2

( ) sin(2 ) sin(3 ) 2sin(2 )cos( )

f x  x  x  x x 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 5 ( ) 0 sin(2 ) 0 cos( ) 0 2 2 f x x x x k x k x k x k                       c. 2 4 1 3 5 5 5 5 0, , , , 1 , 1 x x   x  x x   x  22. sin( ) sin( ) 2sin( )cos(0) 2sin( )x  x  x  x

sin( ) sin( ) 2sin(0)cos( ) 0

cos( ) cos( ) 2cos( )cos(0) 2cos( ) cos( ) cos( ) 2sin( )sin(0) 0

x x x x x x x x x x           23.

a. Po(1, 0) ligt het dichts bij de oorsprong en P( 3, 0) het verst van de oorsprong.

Alle punten op de rand van de eerste euro liggen even ver van de oorsprong (r 1). Po ligt op deze rand, dus het dichtste bij. De maximale afstand tot de oorsprong is

2r 2 en dat is halverwege op tijdstip  .

b. 1 1 1 1

2 2 2 2

2(cos( ) cos(2 )) 2 2sin(1 )sin( ) 4sin(1 ) sin( ) dy t t t t t t dt            1 1 2 2 4 sin(1 )sin( )t t  c. dy 0 dt  1 1 2 2 1 1 2 2 2 3 2 1 sin(1 ) 0 sin( ) 0 1 2 0, , 1 , 2 t t t k t k t k t k t t t t                         x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 1 2 -1 -2

d. P_o(1, 0) 2 3 1 1 2 2 ( , 1 3) P_  1 3 1 1 2 2 1 ( , 1 3) P _   e. 1 1 1 1 2 2 2 2

2sin( ) 2sin(2 ) 2(sin(2 ) sin( )) 2(2sin( )cos(1 )) 4sin( )cos(1 ) dx t t t t t t t t dt        1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 3 0 sin( ) 0 cos(1 ) 0 1 2 0, , , 1 dx dt t t t k t k t k t k t t t t                              Int 0 is dy dx 0

dt  dt  ; er is dan sprake van een snavelpunt (met horizontale raaklijn). 1 3 1 1 2 2 (1 , 3) P_ P_( 3, 0) 2 3 1 1 2 2 1 (1 , 3) P _  24. a. 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 sin ( ) ( 2sin( )) ( ) y  t   t  x  x

b.  2 2sin( ) 2x  dus domein:





25. De kromme heeft de vorm van een parabool:

2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

cos(2 ) 1 2sin ( ) 1 2( 2sin( )) 1 2( ) 1

y  t   t    t   x   x

26. _y2 _{sin (2 ) (2sin( )cos( ))}2 _{t  t t} 2 _{4 sin ( )cos ( )}2 _t 2 _t

2 4 2 4 2 2 2 2

4x 4x 4cos ( ) 4cos ( ) 4cos ( ) (1 cos ( )) 4cos ( )sin ( )t  t  t   t  t t En deze zijn gelijk, dus _y2 _4x2_4x4

27.

a. 1 1 1 1 1

4 4 4 2 2

2sin( ) 2(sin( )cos( ) cos( )sin( )) 2( 2 sin( ) 2 cos( ))

x t    t   t   t  t 

 2(sin( ) cos( ))t  t

b. _y2 _{(sin( ) cos( ))t  t} 2 _{sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( ) 1 2sin( )cos( ) 1 sin(2 )}2 _{t  t t } 2 _{t   t t   t}

c. _x2_2y2 _{2(sin( ) cos( ))t  t} 2_{2(1 sin(2 )) t }

2 2

2(sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( )) 2 2sin(2 ) 2(1 sin(2 )) 2 2sin(2 ) 4 t t t t t t t            28. a. 1 1 2 2

( ) sin(3 ) sin(4 ) 2sin(3 )cos( )

f x  x  x  x x b. 1 1 2 2 2sin(3 x)cos( x) 0 1 1 1 2 2 2 2 7 6 3 5 2 4 1 7 7 7 7 7 7 3 2 , , , , 1 , 1 , 1 2 x k x k x k x k x x x x x x x x                                  

29. a. 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1

(cos ( ) sin ( ))x x dx cos(2 )x dx sin(2 )x 0

        _ _ 









(4sin(x)cos( ))x dx 2sin(2 x)dx cos(2 )x 1

         





a. Voer in: y1 1 sin ( ) cos(2 )2 x  x

maximum: ( , 2) en minimum: 1 2 ( , 1) 2 1 1 2 12 d _  _{ ,} 2 1 1 2 2 a_  _{ en b} 2 ₂   

het startpunt ligt een kwart periode links van x0 : 1 4 c    1 1 1 2( ) 12 2sin(2( 4 )) f x   x  b. 2 2 2

4( ) 1 sin ( ) cos(4 ) 1 (1 cos ( )) cos(4 ) 2 cos ( ) cos(4 )

f x   x  x    x  x   x  x 

1 1 1 1

2 2 2 2

2 ( cos(2 )x ) cos(4 ) 1x cos(2 ) cos(4 )x x

       31. a. 1 2 3 0 (cos( ) cos ( )) Opp x x dx  

_

'( ) 3 sin ( ) cos( ) (1 cos ( )) cos( ) cos( ) cos ( )

V x   x  x   x  x  x  x

c. _{1 3} 12 ₁

3sin ( ) ₀ 3

Opp_ x _   32.

a. grote wijzer: (2.85, -0.93) en kleine wijzer: (1.26, 1.55)

De periode van de grote wijzer is 1 uur. Op tijdstip t 1,3 is de wijzer helemaal rond gegaan en nog 18 minuten.

De periode van de kleine wijzer is 12 uur. Op tijdstip t 1,3. De kleine wijzer is gedraaid over een hoek van 360

12 1,3 39 o . b. 1 6 sin(2 ) sin(t  t) 1 1 6 6 5 1 6 6 6 1 12 11 13 13 2 2 2 2 1 2 2 2 1 t t k t t k t k t k t k t k                                 1 6 1 1 6 6 5 1 6 6 1 12 11 13 cos(2 ) cos( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 t t t t k t t k t k t k t k t k                                   Dus voor 1 11 1

t  k vallen de wijzers samen: 1 11

1

t 

c. Deze afstand bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras:

2 2

1 1

6 6

(3 sin(2 ) 2sin( )) (3cos(2 ) 2cos( ))

GK  t  t  t  t 2 2 2 1 1 1 6 6 6 2 2 2 1 1 1

(3sin(2 ) 2sin( )) 9 sin (2 ) 12sin(2 )sin( ) 4sin ( ) (3cos(2 ) 2cos( )) 9cos (2 ) 12cos(2 )cos( ) 4cos ( )

t t t t t t t t t t t t                    

Geloof je nog dat dit naar het goede antwoord leidt?

5

1 1

6 6 6

9 12(sin(2 )sin( t t) cos(2 )cos( t t)) 4 13 12cos(1   t) (verschilformule) En daar trek je nog de wortel uit!

d. 5 6 13 12cos(1 t) 2 Voer in: 5 1 13 12cos(16 ) y   x en y2 2 intersect: x 0,125 33. a. y  x 3 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 4 sin ( ) cos ( ) sin(x) cos(x) sin( x) sin( ) 2 ( ) 2 2 2 x x x x x k x x k x k x k                                         2 3 3 1 1 4 4 2 2 3 4 2 3 3 1 1 4 4 2 2 3sin ( ) cos( ) 3 2 ( ) 1 3cos ( ) sin( ) 3 2 dy dx                  en 1 1 2 2 3 4 _{1 1} 2 2 3 2 (1 ) 1 3 2 dy dx          b. 1 4 1 1 2 2 ( 2, 2) P_ en 1 4 1 1 4 4 ( 2, 2) Q _

Het snijpunt van PQ met de lijn door de punten (0, 1) en (1, 0) is M 1 1

2 2 ( , ). 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 1 2 ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 PM QM PM                  c. Lijn PQ: 3 3 sin( ) sin ( ) cos( ) cos ( ) y t t x t t      en de raaklijn in Q aan A: 2 2 3 sin ( ) cos( ) 3cos ( ) sin( ) dy t t dx t t    

De lijnen staan loodrecht op elkaar als het product van de hellingen –1 is:

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2

sin( ) sin ( ) 3 sin ( )cos( ) sin( ) (1 sin ( )) 3 sin ( )cos( ) cos( ) cos ( ) 3cos ( )sin( ) cos( ) (1 cos ( )) 3cos ( )sin( )

cos ( ) 3sin ( ) 1 sin ( ) 3cos ( ) t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t  _{ }    _            

d. _{( 3cos ( )sin( ))} 2 _{t t} 2_{(3sin ( )cos( ))}2 _{t t} 2 _{ 9cos ( )sin ( ) 9sin ( )cos ( )}4 _t 2 _{t } 4 _t 2 _{t }

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

9cos ( )sin ( ) cos ( ) 9 sin ( )cos ( ) sin ( )

9sin ( )cos ( ) (cos ( ) sin ( )) 9 sin ( )cos ( ) 3 | sin( )cos( ) |

t t t t t t t t t t t t t t           e. Een primitieve is 1 2 2

T-1.

a. 1 3 1 1

4 4 4 4

( ) cos( ) sin( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )

f x  x   x   x   x  

3 3 1 1 1

4 4 2 2 2

1 2

sin( )cos( ) cos( )sin( ) 2 cos( ) 2 sin( ) 2 sin( ) 2 cos( ) 2 sin( ) x x x x x x x           b. f x( ) sin(2 ) x 1 2 3 1 4 4

2 sin( ) 2sin( )cos( ) sin( ) (2cos( ) 2) 0 sin( ) 0 cos( ) 2 0, , 2 , 1 x x x x x x x x x  x  x  x                 T-2.

a. _{cos(4 ) cos(2 2 ) 1 2sin (2 )x   x  } 2 _x 2 2 1 1 2 2 2sin (2 ) 1 cos(4 ) sin (2 ) cos(4 ) x x x x     b. 1 1 2 8 ( ) sin(4 ) F x  x x c c. 2 1 1 1 1 1 2 2 2 8 0 2 0 0

sin (2 )x dx ( cos(4 ))x dx x sin(4 )x

      _  _ 





sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) cos( )

x   t  t   t  t

2sin( ) 2(sin( )cos( ) cos( )sin( )) 2sin( )

y  t  t   t    t

Uit de tweede vergelijking volgt: 1 2 sin( )t   y 2 2 2 2 1 2 2 2 1 4 sin ( ) cos ( ) 1 ( ) 1 1 t t y x y x        2 2 2 2 1 2 2 2 1 4 sin ( ) cos ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 t t y x y x        c. 1 1 2 : (0, 2) t   P  en P2(0, 2) d. zie b. T-4. a. De periode van f is 2 3 .

b. Het maximum is 4 en het minimum 0: 4 0

2 2 d _  _{ en} 4 0 2 2 a_  _{ en} 2 3 2 ₃ b     ( ) 2 2cos(3 ) f x   x

c. _{f x( ) (sin( ) sin(4 )) x  x} 2_{(cos( ) cos(4 ))x  x} 2 _{sin ( ) 2sin( )sin(4 ) sin (4 )}2 _{x  x x } 2 _{x }

2 2

cos ( ) 2cos( )cos(4 ) cos (4 ) 1 2(sin( )sin(4 ) cos( )cos(4 )) 1 2 2cos(4 ) 2 2cos(3 )

x x x x x x x x

x x x

       

    

Hierbij is gebruik gemaakt van de verschilformule voor de cosinus.

x y 1 2 -1 -2 1 2 -1 -2

T-5.

a. h heeft 10 snijpunten met de x-as.

b. 1 1

2 2

( ) cos(3 ) cos(5 ) 2cos( 8 )cos( 2 )

h x  x  x   x  x  2cos(4 )cos( )x x c. h x( ) 0 1 1 2 2 1 1 1 8 4 2 3 5 1 1 7 8 8 2 8 8 3 5 1 1 7 8 8 2 8 8 cos(4 ) 0 cos( ) 0 4 , , , , , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 x x x k x k x k x k x x x x x x x x x x                                              T-6.

a. periode van x is 2 en de periode van y is  ; de periode van K is 2 .

b. 2 1 2

2

2cos(2 ) 2(1 2sin ( )) 2(1 (2sin( ) )

y  t   t   t  1 2 2 2 2(1 x ) 2 x     d. D_f : 2 , 2





dt  : een beweging in verticale richting, omhoog.

b. 1 1 1 1

2 2 2 2

cos(15 ) cos(2 ) 2cos( 17 )cos( 13 ) 2cos(8 )cos(6 )

x t  t   t  t  t t

1 1 1 1

2 2 2 2

sin(15 ) sin(2 ) 2sin( 17 )cos( 13 ) 2sin(8 )cos(6 )

y  t  t   t  t  t t c. x0 en y 0 1 2 1 1 2 2 1 2 13 13 3 5 9 1 7 11 13 13 13 13 13 13 6 8 10 2 4 12 13 13 13 13 13 13 cos(6 ) 0 6 , , , , , , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , t t k t k t t t t t t t t t t t t t t                                       

Hij gaat 13 keer door de oorsprong.

x y 0,5  1,5 2 1 2 -1 -2 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2