Extra opgave middelloodlijnen en bissectrice - vwo 6 wisB - analytische meetkunde

(1)

Extra opgave Middelloodlijnen en bissectrice vwo 6 wisB, mei 2016, rlg

Gegeven zijn de punten A(–24,18), B(24, 18) en C(20, 40).

1. Bereken een vergelijking van de cirkel door de punten A, B en C.

(2)

Uitwerking

1. Maak eerst een schets van de situatie!

Het middelpunt van de cirkel ligt op het snijpunt van de middelloodlijnen van de lijnstukken AB, BC en AC.

Je hebt er maar twee nodig, dus slim kiezen: De middelloodlijn van AB is de y-as: x = 0. Middelloodlijn van BC: MBC = (22, 29) 4 22 BC_{  }     dus 2 11   _   _{ is een normaalvector} van de middelloodlijn:

2x – 11y = 2·22 – 11·29 = –275, dus een vergelijking is 2x – 11y = –275.

(Een vergelijking van de middelloodlijn van AC is 2x + y = 25.)

Snijden met de andere middelloodlijn (x = 0) geeft y = 25, dus middelpunt M(0, 25). De straal = AM = BM = CM = 242(25 18) 2  625 25 .

De vergelijking van de cirkel is: x2_{+ (y – 25)}2_{= 625.}

Andere aanpak:

A en B liggen op dezelfde hoogte en op gelijke afstand aan weerszijden van de y-as, dus het middelpunt M van de cirkel ligt op de y-as. Zeg middelpunt M = (0, m).

MA = MC (of A en C invullen in de cirkelvergelijking x2_{+ (y – m)}2_{= r}2_{), geeft}

242_{+ (m – 18)}2_{= 20}2_{+ (40 – m)}2_{→ 576 + m}2_{– 36m + 324 = 400 + 1600 – 80m + m}2

→ 44m = 1100 → m = 25 → M(0, 25) en straal 242(25 18) 2  625 25 . De vergelijking van de cirkel is: x2_{+ (y – 25)}2_{= 625.}

2. 4 22 CB _{ }_ _    en CB = 500 10 5 ; 44 22 CA_{ }_ _    en CA = 2420 22 5

Voor de richtingsvector van de bissectrice moet je twee EVEN LANGE richtingsvectoren in de richting van CA en CB bij elkaar optellen (ruitconstructie), beide lengte 110 5 :

. 11 5 11 4 5 44 176 22 22 352 biss rv  CB CA __ _ __  _{ } _ _          → . 1 2 biss rv _{  }_     , dus rc = 2. y = 2x + b door C(20, 40) geeft b = 0, dus de bissectrice gaat door de oorsprong. Andere aanpak:

We nemen de lijn k door O en C, vergelijking y = 2x (met

1 2 rv_{  }_ 

  

) en laten zien dat deze gelijke hoeken maakt met vectoren CA en CB. Omdat er maar één zo’n lijn is met deze eigenschap, moet dit dan wel de bissectrice zijn.

44 1 22 2 ₈₈ ₄ 5 22 5 5 44 1 22 2 cos( (CA k, ))                                  _     _         en 4 1 22 2 ₄₀ ₄ 5 10 5 5 4 1 22 2 cos( (CB k, ))                                               . Omdat de cosinussen van de twee hoeken gelijk zijn en beide hoeken duidelijk kleiner dan

(3)

180º zijn, moet dus gelden (CA k, ) (CB k, )  

, dus k is bissectrice van ACB. En dus gaat de bissectrice door de oorsprong.