Approximation theory, the theorem of Carleman

Approximatietheorie

De Stelling van Carleman

Mies Versloot

14 juli 2017

Bachelorproject

Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck

Samenvatting

We bespreken eerst de constructie van de Algemene Stelling, die ons vertelt wanneer we op een gesloten verzameling in C met leeg inwendige continue functies tangentieel kunnen benaderen met holomorfe functies op C.

Hiervoor hebben we de Stelling van Arakelian nodig, die ons vertelt wanneer we op een gesloten verzameling in C een continue functie die holomorf is op het inwendige uniform kunnen benaderen met holomorfe functies op C.

Verder kijken we naar het verband tussen uniforme en tangenti¨ele approximatie. Een gesloten verzameling met leeg inwendige laat tangentieel approximatie toe als en alleen als deze verzameling uniforme approximatie toelaat.

Vervolgens kijken we naar de belangrijkste stelling van deze scriptie, de Stelling van Carleman, een speciaal geval van de Algemene Stelling. De Stelling van Carleman zegt dat continue functies op R tangentieel te benaderen zijn met holomorfe functies op C. Hiervan geven we een eigen bewijs, dat we zullen uitbreiden voor andere verzamelingen die ook aan de Algemene Stelling voldoen.

Titel: Approximatietheorie

De Stelling van Carleman

Auteur: Mies Versloot, 10771808 Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck Einddatum: 14 juli 2017

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math

Inhoudsopgave

2.1 Stelling van Arakelian . . . 9 2.2 Verband uniforme en tangenti¨ele benadering . . . 16

3 Speciale gevallen 20

3.1 Stappenplan . . . 20 3.2 Stelling van Carleman . . . 23 3.3 Andere gevallen . . . 27

4 Conclusie 31

5 Populaire samenvatting 32

Inleiding

Torsten Carleman Het onderwerp van deze scriptie, Approximatietheorie,

be-schrijft een groot vakgebied in de wiskunde. Approxima-tietheorie: het benaderen van functies met andere functies, kan op heel veel verschillende manieren, met verschillende soorten functies, op verschillende soorten verzamelingen. In deze scriptie zullen we ons vooral richten op de Stelling van Carleman. Dit is een stelling die in 1927 bewezen is door de Zweedse wiskundige Torsten Carleman (1892-1949). Carle-man hield zich bezig met klassieke analyse en de toepassin-gen daarvan. Zijn grootste interesses naast Approximatie-theorie waren IntegratieApproximatie-theorie en Quasi-analytische func-ties. [2]

In deze scriptie kijken we hoofdzakelijk naar de volgende stelling:

Stelling van Carleman. Zij f een continue functie op R en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor t ∈ R geldt |f (t) − h(t)| < ε(t).

In het eerste hoofdstuk bespreken we een aantal resultaten uit verschillende delen van de wiskunde die we later nodig gaan hebben voor het bewijzen van de stellingen in deze scriptie.

In het tweede hoofdstuk zullen we kijken naar de constructie van de Algemene Stelling: Algemene Stelling. Zij F ⊂ C, F gesloten in C, F◦ = ∅ met eigenschappen (K1) en

(K2). Zij verder f ∈ C(F ) en ε een positieve continue functie op F , dan bestaat er een

holomorfe functie h op C zodat voor alle t ∈ F geldt |f (t) − h(t)| < ε(t) We bespreken de eigenschappen (K1) en (K2) later in deze scriptie.

Norair Arakelian De Stelling van Carleman is een speciaal geval van

de Algemene Stelling: R is gesloten in C, het in-wendige van R is leeg en R voldoet aan de eigen-schappen (K1) en (K2), zoals we later zullen

bewij-zen. De Algemene Stelling is gebaseerd op de Stelling van Arakelian. Een stelling die in 1968 werd bewezen door de Armeense wiskundige Norair Arakelian (1936-heden).

Stelling van Arakelian. Zij F ⊂ G gesloten met G een gebied waarvoor geldt dat F eigenschappen (K1) en (K2) heeft. Zij verder f ∈ A(F ) en ε > 0, dan bestaat er een

holomorfe functie h op G zodat voor alle t ∈ F geldt |f (t) − h(t)| < ε

Om de Algemene Stelling compleet te maken, bekijken we het verband tussen uniforme approximatie, de meest bekende manier van benaderen, en tangenti¨ele approximatie, de manier van benaderen die ook in de stelling van Carleman gebruikt wordt. Bij tangenti¨ele approximatie willen we het verschil tussen twee functies kleiner krijgen dan een positieve continue functie ε(t), waar we bij uniforme approximatie het verschil kleiner willen krijgen dan een positieve constante ε. Het blijkt dat tangenti¨ele approximatie een sterkere manier van benaderen is dan uniforme approximatie. Verder bewijzen we dat deze manieren equivalent zijn als het inwendinge van het domein van onze functie leeg is.

Tenslotte gaan we in het derde hoofdstuk verder in op de Stelling van Carleman, we zullen hier een eigen bewijs met behulp van een opgave uit [12] geven. Dit bewijs zullen we uitbreiden naar andere verzamelingen die voldoen aan de Algemene Stelling. Dit is het hoofddoel van deze scriptie.

1 Voorkennis

Voordat we naar de Algemene Stelling en de Stelling van Carleman kunnen kijken hebben we eerst een paar resultaten nodig uit verschillende delen van de analyse. Deze resultaten zullen in latere hoofdstukken gebruikt worden om andere stellingen te bewijzen.

1.1 Topologie

De volgende definities komen uit de topologie en zijn te vinden in [1] en [4] deze definities zijn vooral van toepassing in Sectie 2.1.

Definitie 1.1 (Lokaal samenhangend). Een topologische ruimte S heet lokaal samen-hangend in a ∈ S, als voor iedere omgeving U van a een samensamen-hangende verzameling V ⊂ U bestaat, waar a in bevat zit. De ruimte S heet lokaal samenhangend als deze lokaal samenhangend is in elk punt.

Deze definitie zullen we illustreren aan de hand van een voorbeeld:

Voorbeeld 1.2. We bekijken de verzameling F = [−1, 0) ∪ (0, 1]. Deze verzameling is zeker niet samenhangend, maar wel lokaal samenhangend. Als we een punt a ∈ F , a 6= −1, 1, dan geldt voor elke open omgeving van dit punt a dat het interval (a−ε, a+ε) voor een ε > 0 bevat moet zitten in deze omgeving, dit interval is samenhangend. Voor −1 geldt dat voor elke open omgeving van dit punt het interval [−1, −1 + ε) voor een ε > 0 bevat moet zitten in deze omgeving, dit interval is ook samenhangend. Analoog voor het punt 1. Dus F is lokaal samenhangend in elk punt en dus lokaal samenhangend. Definitie 1.3 (Eenpunts-compactificatie). Voor een verzameling G ⊂ C defini¨eren we de eenpunts-compactificatie van G als G∗ = G ∪ {∞}, met ‘∞’ een ideaal punt. In G∗ geldt dat E ⊂ G∗ open is als E open is in G of als E = G∗\K voor een compacte deelverzameling K van G.

Opmerking 1.4. We zeggen dat een continue kromme γ een punt in G met het ideale punt ‘∞’ van G verbindt als voor elke compacte deelverzameling K ⊂ G geldt dat er een punt op γ is dat buiten K ligt. Dat wil zeggen γ : [0, 1) → G zodat

lim

t→1γ(t) = ∞

We zullen in deze scriptie vooral de definitie van lokaal samenhangend in het punt ∞ gebruiken, waarbij S = C∗, de eenpuntscompactificatie van C.

1.2 Maattheorie en Functionaalanalyse

De volgende stellingen komen uit de maattheorie ([11]) en functionaalanalyse ([10]) en zullen we gebruiken in Sectie 3.2.

Stelling 1.5 (Gedomineerde convergentiestelling van Lebesgue). Zij (X, A, µ) een maat-ruimte en (uj)j∈N ⊂ L1(µ) een rij van functies zodat |uj| ≤ w voor alle j ∈ N en een

w ∈ L1₊(µ). Als u(x) = limj→∞uj(x) bestaat voor bijna elke x ∈ X, dan u ∈ L1(µ) en

we hebben lim j→∞ Z ujdµ = Z lim j→∞ujdµ

Stelling 1.6 (Stelling van Hahn-Banach). Zij X een re¨ele of complexe genormeerde ruimte en W een lineaire deelruimte van X. Voor elke fW ∈ W0bestaat er een uitbreiding

fX ∈ X0 van fW zodat kfXk = kfWk. Waarbij W0 en X0 de duale van W respectievelijk

X aangeven.

De volgende stelling is een direct gevolg van de stelling van Hahn-Banach.

Stelling 1.7. Zij X een re¨ele of complexe genormeerde ruimte en W een lineaire deel-ruimte van X. Veronderstel nu dat x ∈ X voldoet aan

δ = inf

w∈Wkx − wk > 0

Dan bestaat er L ∈ X0 zodat kLk = 1, L(x) = δ, en L(w) = 0 voor alle w ∈ W .

Gevolg 1.8. Als voor alle lineaire functionalen L op X waarvoor geldt dat deze identiek 0 is op W impliceert dat deze identiek 0 is op heel X, dan geldt W = X, dat wil zeggen dat W dicht ligt in X.

Bewijs. Dit is precies de contrapositief van Stelling 1.7

Opmerking 1.9. Een deelverzameling van R2 kan canoniek ingebed worden in C, dus een deelverzameling van R2 kunnen we zien als een deelverzameling van C.

Stelling 1.10. Bekijk de grafiek G(f ) van een re¨ele continue functie f als een deelver-zameling van C, dan is deze verdeelver-zameling gesloten in C.

Bewijs. We nemen {zn} met zn = xn+ iyn een rijtje in G(f ) dat convergeert naar

z = x + iy in C. Dan convergeert {xn} naar x in R en {yn} naar y in R. Verder geldt

dat yn= f (xn) voor alle n ∈ N, want zn∈ G(f ) voor alle n ∈ N. Omdat f een continue

functie is, geldt

y = lim

n→∞yn= limn→∞f (xn) = f (x).

1.3 Approximatietheorie

Verder zijn er voor deze scriptie een aantal stellingen uit de approximatietheorie nodig, deze komen uit het eerste hoofdstuk van de syllabus Advanced Function Theory [12] en het boek Vorlesungen ¨uber Approximation im Komplexen [1].

Stelling 1.11 (Approximatiestelling van Stone-Weierstrass). Zij K compact in Rn. Dan geldt dat elke continue functie f op K uniform benaderd kan worden met polynomen. Stelling 1.12 (Stelling van Runge). Zij f holomorf op een omgeving van een compacte verzameling K ⊂ C. Dan is f op K de uniforme limiet van een rij van rationale functies met hoogstens polen in het complement van K.

Gevolg 1.13. Als C\K uit ´e´en component bestaat dan is f de uniforme limiet van holomorfe polynomen op K.

Stelling 1.14 (Stelling van Hartogs-Rosenthal). Veronderstel dat K een compacte ver-zameling in C is van 2-dimensionaal Lebesgue maat 0. Dat liggen de rationale functies met polen buiten K dicht in C(K).

Stelling 1.15 (Mergelyan). Zij K een compacte verzameling in C zodat C\K samen-hangend is. Zij f een continue functie op K die holomorf is op het inwendige van K. Dan is f de uniforme limiet van een rij van holomorfe polynomen op K.

Het bewijs van de stelling van Mergelyan zullen we in deze scriptie niet geven, dit is te vinden in [1, p. 92]

De voorgaande stellingen vertellen ons allemaal iets over approximatie op compacte verzamelingen. In deze scriptie zullen we kijken naar approximatie op gesloten ver-zamelingen en dan vooral deelverver-zamelingen van C. Deze verver-zamelingen zijn dus in tegenstelling tot de eerder genoemde compacte verzamelingen onbegrensd, maar door de compacte en dus begrensde verzamelingen uit te breiden kunnen we wat zeggen over de gesloten, onbegrensde verzamelingen.

2 De Algemene Stelling

In dit hoofdstuk gaan we in op de constructie van de Algemene Stelling van deze scrip-tie. Deze stelling vertelt ons wanneer we op een gesloten verzameling in C met leeg inwendige continue functies tangentieel kunnen benaderen met holomorfe functies op C. Voordat we deze stelling kunnen formuleren moeten we het eerst hebben over de Stel-ling van Arakelian en een stelStel-ling over een nieuwe manier van benaderen, tangenti¨ele approximatie. Beide stellingen komen uit het boek Vorlesungen ¨uber Approximation im Komplexen van Dieter Gaier [1].

In dit hoofdstuk zullen we ons vooral richten op de constructie van deze Algemene Stelling, het bewijs hiervan zullen we achterwege laten. Naast deze constructie zullen de stellingen ondersteund worden met voorbeelden die we wel bewijzen.

2.1 Stelling van Arakelian

De Stelling van Arakelian is in 1968 geformuleerd en bewezen door de Armeense wis-kundige Norair Arakelian. Deze stelling vertelt ons wanneer een continue functie op een gesloten verzameling uniform approximeerbaar is.

Voordat we de Stelling van Arakelian kunnen formuleren, moeten we eerst twee eigen-schappen defini¨eren.

Definitie 2.1. Een verzameling F ⊂ G, F gesloten in G, met G een willekeurig gebied voldoet aan eigenschap (K1) als G∗\F samenhangend is.

Voorbeeld 2.2. We nemen F = {z ∈ C : |z| ≤ 1} en G = C.

Eerst tonen we aan dat F gesloten is in C. Het complement van F in G is gelijk aan {z ∈ C : |z| > 1}. Om aan te tonen dat deze verzameling open is in C, nemen we een punt z0 ∈ {z ∈ C : |z| > 1} en ε = |z0− eArg(z0)i|. Dan geldt dat Bε(z0) = {z ∈ C :

|z − z0| < ε} bevat zit in {z ∈ C : |z| > 1}, waaruit we kunnen concluderen dat deze

G∗\F = {z ∈ C : |z| > 1} ∪ {∞} samenhangend is. Hiervoor gebruiken we het feit dat een padsamenhangende verzameling ook samenhangend is. Om aan te tonen dat de verzameling padsamenhangend is moeten we aantonen dat er een continue kromme tussen elke twee punten in G∗\F bestaat. Voor twee willekeurige punten v, w ∈ {z ∈ C : |z| > 1} nemen we de kromme γ : [0, 1] → {z ∈ C : |z| > 1} met γ(t) = (1 − t)v + tw. Voor de continue kromme tussen een willekeurig punt y ∈ {z ∈ C : |z| > 1} en ∞, defini¨eren we de kromme ρ : [0, 1) → {z ∈ C : |z| > 1} met ρ(t) = yt − _1−t1 , zodat limt→1ρ(t) = ∞. Dus tussen elke twee punten in G∗\F bestaat een pad, dit geeft ons

dat G∗\F padsamenhangend is, en dus samenhangend.

Hiermee geldt dat F = {z ∈ C : |z| ≤ 1} aan eigenschap (K1) voldoet.

Voorbeeld 2.3. We nemen F = {z ∈ C : 1₂ ≤ |z| ≤ 1} en G = C.

We tonen eerst aan dat F gesloten is in C. Het complement van F in G is gelijk aan {z ∈ C : |z| > 1} ∪ {z ∈ C : |z| < 1₂}. In het vorige voorbeeld hebben we al bewezen dat {z ∈ C : |z| > 1} een open verzameling is in C. Om aan te tonen dat ook {z ∈ C : |z| < 1₂} open is in C, nemen we een z0 ∈ {z ∈ C : |z| < 1₂} en

ε = |z0 − 1₂eArg(z0)i|. Dan geldt dat Bε(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < ε} bevat zit in

{z ∈ C : |z| < 12}, waardoor deze verzameling open is in C. Hierdoor geldt dat het

complement van F in G de vereniging is van twee open verzamelingen, wat opnieuw open is. Dus F is gesloten in C.

Hier geldt echter dat G∗\F niet samenhangend is. Zoals eerder gezegd is de verzame-ling {z ∈ C : |z| < 12} open in C, dus deze verzameling is wegens Definitie 1.3 ook open

in C∗. Ook geldt dat {z ∈ C : |z| > 1} open is in C en wegens opnieuw Definitie 1.3 geldt dat {z ∈ C : |z| > 1} ∪ {∞} open is in C∗. Dus we hebben twee open verzamelingen waarvoor geldt dat ze disjunct, niet-leeg en open zijn en er geldt dat de vereniging gelijk is aan G∗\F . Dus deze verzamelingen vormen een splitsing van G∗_{\F , dus G}∗_{\F is niet}

samenhangend.

Hieruit kunnen we concluderen dat F = {z ∈ C : 12 ≤ |z| ≤ 1} niet aan eigenschap

(K1) voldoet.

De tweede eigenschap gaat over lokaal samenhangendheid in ∞.

Definitie 2.4. Een verzameling F ⊂ G, F gesloten in G, met G een willekeurig gebied voldoet aan eigenschap (K2) als G∗\F lokaal samenhangend is in ∞.

De definitie van lokaal samenhangend is besproken in Hoofdstuk 1 (Definitie 1.1). Lokaal samenhangend in ∞ betekent dus dat voor elke omgeving U van ∞ er een sa-menhangende verzameling V ⊂ U bestaat zodat ∞ ∈ V . Deze definitie is voor het punt ∞ ook anders te formuleren.

Lemma 2.5 (Lokaal samenhangend). De ruimte G∗\F is lokaal samenhangend in ∞ als en alleen als geldt dat voor iedere omgeving U van ∞ er een omgeving V ⊂ U van ∞ bestaat zodat ieder punt z ∈ V \F , z 6= ∞ door een continue kromme γ ⊂ U \F in G met ∞ verbonden kan worden.

Dit lemma zegt eigenlijk dat een verzameling lokaal samenhangend is in ∞ als en alleen als deze lokaal wegsamenhangend is in ∞. Dat lokaal wegsamenhangendheid lokaal samenhangendheid impliceert is een bekend resultaat, de andere kant op is daarentegen niet triviaal, het bewijs hiervan wordt gegeven in [1, p. 126-127].

Er volgen nu twee voorbeelden waarbij de eerste verzameling G∗\F wel lokaal samen-hangend is in ∞ en de tweede juist niet.

Voorbeeld 2.6. We nemen G = C en F de vereniging van twee spiralen naar ∞, zoals afgebeeld in onderstaande afbeelding.

Het middelpunt van deze spiralen is het punt ∞en deze spiralen lopen vanaf 0. Om aan te tonen dat deze verzameling F gesloten is in C kijken we eerst naar ´e´en spiraal, de vereniging van gesloten verzamelingen is opnieuw gesloten. Deze spiraal is de grafiek G(f ) van een continue functie f : R → R2 voor een zekere b ∈ R als deelverzameling van C. Daarom kunnen we Stelling 1.10 gebruiken. Deze stelling geeft ons dat de spiraal gesloten is in C. Dit geldt voor beide spiralen, dus F is gesloten in C. De verzameling G∗\F is daarnaast ook lokaal samenhangend in ∞. Voor elke open omgeving U van ∞ is er een ε > 0 zodat Bε(∞)\F bevat zit in U . Dit bolletje is

samenhangend. Beide spiralen zijn een spiraal naar 0 getransformeerd met de functie 1_z. Deze spiralen naar 0 zijn van de vorm

(

x(t) = be−atcos(t) y(t) = be−atsin(t)

De spiralen uit F hebben dezelfde a ∈ R maar een andere bR. Voor een punt z0 ∈

is, dus een spiraal met dezelfde a als de spiralen uit F maar een andere b. Nu kunnen we als continue kromme γ : [0, 1) → Bε(∞)\F van z0 naar ∞ deze spiraal nemen met

lim

t→1γ(t) = ∞.

Dus Bε(∞)\F is padsamenhangend en daarmee samenhangend. Zodoende is G∗\F

lokaal samenhangend in ∞.

Hieruit volgt dat F aan eigenschap (K2) voldoet.

Voorbeeld 2.7. We nemen G = C en Fn= {z ∈ C : |z| = n}, voor alle n ∈ N. Definieer

F =S

n∈NFn⊂ C.

We tonen eerst aan dat deze verzameling gesloten is in C. We nemen een punt z0 ∈

G\F , dan geldt |z0| /∈ N en we kiezen ε = min{b|z|c − |z|, d|z|e − |z|}. Dan geldt dat

Bε(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < ε} bevat zit in G\F . Hiermee is G\F open in C en F

gesloten in C.

Hier geldt echter dat G∗\F niet lokaal samenhangend is in ∞. We nemen een omgeving U van ∞, dan geldt voor elke omgeving V ⊂ U van ∞ dat er een n ∈ N bestaat zodat Fn ⊂ V . Hierdoor is V niet samenhangend, V kan altijd gesplitst worden in het deel

onder de verzameling Fn en het deel boven deze verzameling. Zodoende geldt dat G∗\F

niet lokaal samenhangend is in ∞. De verzameling F = S

n∈NFn ⊂ C met Fn = {z ∈ C : |z| = n} voldoet dus niet aan

eigenschap (K2).

Met deze twee definities heeft Norair Arakelian de volgende stelling geformuleerd en bewezen.

Stelling 2.8 (Stelling van Arakelian). Zij F ⊂ G gesloten met G een gebied waarvoor geldt dat F eigenschappen (K1) en (K2) heeft. Zij verder f ∈ A(F ) en ε > 0, dan bestaat

er een holomorfe functie h op G zodat voor alle t ∈ F geldt |f (t) − h(t)| < ε

Voor deze scriptie zullen we alleen kijken naar G = C. We zullen het bewijs van deze stelling niet geven.

Voorbeeld 2.9. We nemen F = R ⊂ C.

Eerst laten we zien dat R gesloten is in C. Hiervoor kijken we naar het complement C\R. We nemen een z0 ∈ C\R met z0 = x0+ iy0 en ε = |y0|. Dan geldt dat Bε(z0) =

{z ∈ C : |z − z0| < ε} bevat zit in C\R, zodoende is C\R open in C en R gesloten in C.

We willen laten zien dat deze verzameling aan eigenschap (K1) en (K2) voldoet. Dus

C∗\R is samenhangend en lokaal samenhangend in ∞.

Om te laten zien dat C∗\R samenhangend is gebruiken we het feit dat padsamenhan-gendheid samenhanpadsamenhan-gendheid impliceert. Padsamenhangend zegt dat er tussen elke twee punten in een verzameling een continue kromme bestaat die deze punten verbindt. We defini¨eren de continue kromme ρz : [0, 1) → C\R tussen z ∈ C\R en ∞ zodat

ρz(t) = (1 − t)z + 1 1 − t, voor t ∈ [0, 1). Dan geldt lim t→1ρ1(t) = ∞,

en ρz ⊂ C\R. Dus we kunnen elk punt z ∈ C\R met een continue kromme ρz ⊂ C\R

met ∞ verbinden. Nu kunnen we twee willekeurige punten v, w ∈ C\R verbinden door als continue kromme de kromme γ := ρ−1_v ◦ ρ_w te nemen zodat

γ(t) = (

ρw(2t) als t ∈ [0,1₂]

ρ−1_v (2t − 1) als t ∈ [1₂, 1]. Dus C∗\R is padsamenhangend en daarmee samenhangend.

Om aan te tonen dat C∗\R ook lokaal samenhangend is in ∞ bekijken we een open omgeving U van ∞ in C∗\R. We zien dat er altijd een ε > 0 bestaat zodat Bε(∞)\R

bevat zit in U . Deze verzameling is samenhangend. Net als bij de gehele verzameling gebruiken we opnieuw dat deze verzameling padsamenhangend is. Met dezelfde continue krommes als voor de gehele verzameling zien we dat er een pad is tussen elk paar punten in Bε(∞)\R, dus Bε(∞)\R is padsamenhangend en samenhangend. Hiermee hebben we

bewezen dat C∗\R lokaal samenhangend is in ∞.

Hieruit volgt dat de verzameling F = R aan eigenschap (K1) en (K2) voldoet en elke

continue functie op R dus uniform benaderd kan worden met een holomorfe functie op C.

Voorbeeld 2.10. We nemen F = {z ∈ C : |z| = 1}.

We moeten eerst laten zien dat deze verzameling gesloten in C. Hiervoor kijken we naar het complement {z ∈ C : |z| 6= 1}. We nemen z0 ∈ {z ∈ C : |z| 6= 1} en ε = |z0−eiArg(z0)|.

Dan geldt dat Bε(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < ε} bevat zit in {z ∈ C : |z| 6= 1}. Dus is

{z ∈ C : |z| 6= 1} open in C en {z ∈ C : |z| = 1} gesloten in C.

Verder geldt dat deze verzameling wel aan eigenschap (K2) voldoet, maar niet aan

eigenschap (K1).

Om aan te tonen dat F aan eigenschap (K2) voldoet, laten we zien dat C\F lokaal

samenhangend is in ∞. We zien dat als we een open omgeving U van ∞ nemen in C\F , er altijd een ε > 0 bestaat zodat Bε(∞) bevat zit in U . Dit bolletje is samenhangend

voor elke ε > 0, dus C\F is lokaal samenhangend in ∞. Hieruit volgt dat F = {z ∈ C : |z| = 1} aan eigenschap (K₂) voldoet.

De verzameling C∗\F is echter niet samenhangend. Neem U = {z ∈ C : |z| < 1} en V = {z ∈ C : |z| > 1} ∪ {∞}, er geldt dat U en V open zijn in C∗. De verzameling U is open in C en met Definitie 1.3 ook open in C∗. Verder geldt dat V = C∗\K met K = {z ∈ C : |z| ≤ 1}, deze verzameling is gesloten en begrensd en daarom compact in C, dus met Definitie 1.3 is V open in C∗. Ook geldt dat C∗\F = U ∪ V , daarnaast zijn U en V niet-leeg en disjunct. Dit geeft ons dat er een splitsing bestaat van C∗\F , dus deze verzameling is niet samenhangend.

De verzameling F = {z ∈ C : |z| = 1} voldoet dus niet aan de voorwaarden van stelling van Arakelian. Dus er bestaat een continue functie f op F en een ε > 0 zodat voor alle holomorfe functies h op C geldt dat

|f (z) − h(z)| ≥ ε.

We bekijken de functie f (z) = 1_z op F , stel dat deze functie wel te benaderen is met een holomorfe functie h op C, dan geldt

|1

z − h(z)| < 1 2. Dan geldt ook

Z F |1 z − h(z)|dz < Z F 1 2dz.

We zien dat Z F     1 z − h(z)     dz ≥     Z F 1 z − h(z)dz     =     Z F 1 zdz − Z F h(z)dz     =     Z F 1 zdz     = |2πi| = 2π. Ook zien we dat

Z

F

1

2dz = π.

Dit geeft een tegenspraak, dus f (z) = 1_z is niet te benaderen op F .

In het volgende voorbeeld geven we een verzameling die wel aan eigenschap (K1)

voldoet maar niet aan eigenschap (K2).

Voorbeeld 2.11. We nemen eerst G = C∗\{0} en F = C∗_{(\{x+iy : x ∈ R\{0}, sin(1/x)−}

|x| < y < sin(1/x)+|x|}∪{0}). We zeggen f (x) = sin(1/x)+|x| en g(x) = sin(1/x)−|x|. We laten zien dat voor deze verzamelingen geldt dat F ⊂ G gesloten is, dat G∗\F sa-menhangend is en dat G∗\F niet lokaal samenhangend is in 0. Als we vervolgens op deze verzamelingen de transformatie 1_z toepassen, deze transformatie is continu op C∗\{0}, dan zien we dat voor de verzamelingen ˆG = C en ˆF gelijk aan F na de transformatie met 1_z geldt dat ˆG∗\ ˆF samenhangend is, maar niet lokaal samenhangend in ∞, dus deze verzamelingen voldoen wel aan eigenschap (K1) maar niet aan eigenschap (K2).

Er geldt dat F ⊂ G want 0 /∈ F . Ook geldt dat F gesloten is in G, hiervoor kijken we naar G\F . Deze verzameling is open, we nemen z0∈ {x+iy : x ∈ R\{0}, sin(1/x)−|x| <

y < sin(1/x)+|x|}, f (x) en g(x) kruisen niet en er zal altijd ruimte δ > 0 tussen de lijnen voor en na een top blijven. Wegens continu¨ıteit van de sinus geldt dat er ∀ε1 > 0 een

η1 > 0 bestaat zodat als |z0− z| < η1 impliceert dat |f (z0) − f (z)| < ε1. Hetzelfde geldt

voor g(x) met ε2en η2. Als we nu µ := min{δ, |f (z0) − ε1|, |g(z0) − ε2|, η1, η2} nemen, dan

geldt dat Bµ(z0) bevat zit in {x + iy : x ∈ R\{0}, sin(1/x) − |x| < y < sin(1/x) + |x|}.

Dus {x + iy : x ∈ R\{0}, sin(1/x) − |x| < y < sin(1/x) + |x|} is open in G en F is gesloten in G.

Om te laten zien dat F aan eigenschap (K1) voldoet moeten we laten zien dat G∗\F

samenhangend is. Er geldt G∗ = G ∪ {0} in dit geval, dus G∗ = C∗. Eerst merken we op dat de verzamelingen {x + iy : x ∈ R+\{0}, sin(1/x) − |x| < y < sin(1/x) + |x|}

en {x + iy : x ∈ R−\{0}, sin(1/x) − |x| < y < sin(1/x) + |x|} padsamenhangend zijn.

Om te bewijzen dat de gehele verzameling samenhangend is moeten we laten zien dat er geen splitsing bestaat, dit doen we met tegenspraak. Stel dus dat er wel een splitsing bestaat, er bestaan U en V niet-leeg, disjunct en open in C∗ zodat G∗\F = U ∪ V . Dan geldt dat 0 ∈ U of 0 ∈ V , zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat 0 ∈ U . De verzameling U moet open zijn, dus er bestaat een bolletje van straal ε om 0 dat bevat zit in U . Dit bolletje moet een deel van {x + iy : x ∈ R+\{0}, sin(1/x) − |x| < y <

sin(1/x) + |x|} en een deel van {x + iy : x ∈ R−\{0}, sin(1/x) − |x| < y < sin(1/x) + |x|}

bevatten. Deze verzamelingen zijn beide padsamenhangend, daardoor moeten {x + iy : x ∈ R+\{0}, sin(1/x)−|x| < y < sin(1/x)+|x|} en {x+iy : x ∈ R−\{0}, sin(1/x)−|x| <

y < sin(1/x) + |x|} in hun geheel bevat zitten in U . Dan geldt U = G∗\F , dus V is leeg. Tegenspraak, dus G∗\F is samenhangend. Hiermee hebben we laten zien dat F aan eigenschap (K1) voldoet.

Nu laten we zien dat G∗\F niet lokaal samenhangend is in 0. We zien dat voor elke omgeving van 0 waarvoor geldt dat de afstand tot 0 maximaal1₂ is geldt dat het niet meer mogelijk is om van elk punt met een continue kromme naar 0 te komen. De verzameling wordt afgebroken en daardoor zit er elke keer een stuk uit F tussen. Dus geldt met Lemma 2.5 er geldt dat G∗\F niet lokaal samenhangend is in 0.

Hiermee geldt wat we eerder gesteld hadden, dus ˆF met ˆG = C voldoet wel aan eigenschap (K1) maar niet aan eigenschap (K2).

2.2 Verband uniforme en tangenti¨

ele benadering

De meest bekende manier van benaderen die gebruikt wordt in de analyse is uniforme approximatie. Deze manier van benaderen kan met holomorfe functies en meromorfe functies.

Notatie 2.12. Zij F een gesloten verzameling dan noteren we de functies die continu zijn op F en holomorf op het inwendige van F met A(F ).

Opmerking 2.13. Als F een leeg inwendige heeft geldt A(F ) = C(F ).

Definitie 2.14 (Meromorfe functie). Een functie f heet meromorf op een gebied G als f holomorf is in alle punten van G met uitzondering van ge¨ısoleerde singuliere punten die allemaal polen van f zijn. [12]

Definitie 2.15 (Uniforme approximatie). Een functie f ∈ A(F ) heet uniform holomorf (meromorf ) approximeerbaar als voor alle ε > 0 er een holomorfe functie g (meromorfe functie m) op G bestaat zodat

|f (t) − g(t)| < ε, (|f (t) − m(t)| < ε, ) voor alle t ∈ F.

Een andere, sterkere, manier van benaderen is tangenti¨ele approximatie, hier willen we het verschil tussen de functie en zijn benadering niet kleiner praten dan een zeker positief getal, maar zelfs kleiner dan een willekeurige positieve functie.

Definitie 2.16 (Tangenti¨ele approximatie). Een functie f ∈ A(F ) heet tangentieel holo-morf (meroholo-morf ) approximeerbaar als voor elke positieve continue functie ε(t) er een holomorfe functie g (meromorfe functie m) op G bestaat zodat

|f (t) − g(t)| < ε(t), (|f (t) − m(t)| < ε(t), ) voor alle t ∈ F.

Het is gemakkelijk in te zien dat tangenti¨ele approximatie uniforme approximatie impliceert, neem voor ε(t) de constante functie zodat ε(t) = ε voor alle t ∈ F . De implicatie de andere kant op is niet zo triviaal en is ook niet noodzakelijk waar.

Stelling 2.17. Zij G een gebied en F ⊂ G gesloten in G met F◦ = ∅ dan geldt voor iedere continue functie f op F dat deze tangentieel approximeerbaar met een holomorfe functie of een meromorfe functie op G is alleen en alleen als deze uniform approximeer-baar is met een holomorfe functie respectievelijk meromorfe functie op G.

Bewijs. Zoals net al genoemd is de implicatie van links naar rechts triviaal door voor ε(t) een constante functie te nemen.

De implicatie van rechts naar links is minder triviaal. We zullen deze eerst voor holomorfe functies bewijzen en daarna voor meromorfe functies.

We willen bewijzen dat als een continue functie f op F uniform approximeerbaar is met holomorfe functies op G dat deze dan ook tangentieel approximeerbaar is met holomorfe functies op G. Dus als voor alle ε > 0 geldt dat er een holomorfe functie g op G bestaat zodat

|f (t) − g(t)| < ε voor alle t ∈ F,

dan geldt voor alle positieve continue functies ε(t) op F dat er een holomorfe functie h op G bestaat zodat

|f (t) − h(t)| < ε(t) voor alle t ∈ F.

De functie ε(t) is een positieve continue functie op F , hierdoor is log ε(t) een continue functie op F . We hebben aangenomen dat elke continue functie f op F uniform holomorf approximeerbaar is, dus ook log ε(t). Dit geeft ons dat er een een holomorfe functie g1

op G bestaat zodat

| log ε(t) − g₁(t)| < 1 voor alle t ∈ F.

Nu defini¨eren we de functie h = eg1−1_{, deze functie is opnieuw holomorf op G, vanwege}

het feit dat de e-macht een gehele functie is. Deze functie h heeft geen nulpunten op G, dus kunnen we kijken naar de continue functie f /h. Onze aanname geeft ons nu dat er een holomorfe functie g2 op G bestaat zodat

|(f /h)(t) − g2(t)| < 1, voor alle t ∈ F. Dus |f (t) − g₂(t)h(t)| < |h(t)| = |eg1−1_| = eReg1−1 < elog ε(t) = ε(t).

Aangezien het product van holomorfe functies opnieuw holomorf is, is g2·h een holomorfe

functie op G. Hiermee hebben we bewezen dat een continue functie f op F tangentieel approximeerbaar is met holomorfe functies op G als deze functie uniform approximeer-baar is met holomorfe functies op G [1].

Nu willen we bewijzen dat als een continue functie f op F uniform meromorf approxi-meerbaar op G dat deze dan ook tangentieel meromorf approxiapproxi-meerbaar is op G. Dus als er voor alle ε > 0 een meromorfe functie m op G bestaat zodat

|f (t) − m(t)| < ε, voor alle t ∈ F,

dan geldt voor alle positieve continue functies ε(t) op F dat er een meromorfe functie r op G bestaat zodat

|f (t) − r(t)| < ε(t), voor alle t ∈ F.

Met de aanname dat f uniform meromorf approximeerbaar is defini¨eren we een continue functie h(t) := min{1₂, ε(t)} op F . Deze functie is continu op F omdat de constante functie 1₂ continu is, en we ε(t) een positieve continue functie op F kiezen. Ook geldt dat 2_h continu is op F . Hierdoor geldt met onze aanname dat er een meromorfe functie m1 op G bestaat zodat

| 2

h(t)− m1(t)| < 1, voor alle t ∈ F.

We kiezen deze meromorfe functie m1 zo dat deze geen nulpunten heeft op F . Dat dit

kan wordt bewezen in [9, p. 236]. Daardoor geldt dat |m₁(t)| > 2

|h(t)|− 1 > 1 |h(t)|,

want h(t) = min{1₂, ε(t)} < 1 voor alle t ∈ F . Aangezien de functie m1f opnieuw een

continue functie op F is, geldt er dat er nog een meromorfe functie m2 op G bestaat

zodat |m1(t)f (t) − m2(t)| < 1, voor alle t ∈ F. Dus |f (t) − m2(t)/m1(t)| < 1/|m1(t)| < |h(t)| = min{ 1 2, ε(t)} ≤ ε(t).

We hebben m1 zo gekozen dat deze geen nulpunten op F bevat, dus r := m2/m1 is

opnieuw een meromorfe functie op F . Hiermee hebben we een meromorfe functie op F gevonden zodat

|f (t) − r(t)| < ε(t), voor alle t ∈ F.

De functies f en ε waren willekeurig, dus geldt voor iedere continue functie f dat deze tangentieel meromorf approximeerbaar is. [8].

Als we deze stelling nu combineren met de stelling van Arakelian krijgen we de stelling waar we in eerste instantie mee begonnen:

Stelling 2.18. Zij F ⊂ C, F gesloten in C, F◦ = ∅ met eigenschappen (K1) en

(K2). Zij verder f ∈ C(F ) en ε een positieve continue functie op F , dan bestaat er een

holomorfe functie h op C zodat voor alle t ∈ F geldt |f (t) − h(t)| < ε(t).

Nu we de stelling volledig geformuleerd hebben kunnen we terugkomen op een voor-beeld van eerder.

Voorbeeld 2.19. In voorbeeld 2.9 hebben we gezien dat F = R voldoet aan de ei-genschappen (K1) en (K2) en daardoor geldt met Stelling 2.1 (Stelling van Arakelian)

dat elke f ∈ A(R) uniform approximeerbaar is. Nu geldt met Stelling 2.17 dat elke f ∈ A(R) ook tangentieel approximeerbaar is, aangezien het inwendige van R leeg is in C. Dit voorbeeld is de Stelling van Carleman genoemd en zal een hoofdrol spelen in Sectie 3.2.

3 Speciale gevallen

In dit hoofdstuk zullen we een aantal speciale gevallen van de algemene stelling uit Hoofdstuk 2 bewijzen. Het eerste geval dat we bekijken is de stelling van Carleman, hierbij geldt dat F = R. Vervolgens kijken we naar meer exotische gevallen.

3.1 Stappenplan

De bewijzen in dit hoofdstuk zullen allemaal volgens eenzelfde structuur gaan. Daarom hebben we eerst een algemeen stappenplan opgesteld waar voor de specifieke gevallen de variabelen kunnen worden ingevuld. De variabele verzameling in het stappenplan is de verzameling X, deze moet voldoen aan de Algemene Stelling (Stelling 2.18).

Stap 1 (Definities). We defini¨eren eerst de compacte verzamelingen Kn := B(0, n) ∪

(B(0, n + 1) ∩ X) in C, de getallen ˜εn := inft∈[−n−1,n+1] 21nε(t) en de functies εn(t) :=

min{₂1n, ˜εn}1[−n−1,n+1](t).

Stap 2. Zij P0 een polynoom zodat

|P₀− f | < ε₀ op B(0, 1) ∩ X met P0(a(1)i ) = f (a (1)

i ). (3.1)

Waarbij a(1)_i ∈ X de punten zijn waarvoor geldt dat |a(1)_i | = 1. Hiermee hebben we f benaderd met een polynoom op B(0, 1) ∩ X, met gelijke waarden in de randpunten. Definieer

H0(z) :=

(

f (z) − P0(z) als z ∈ A(0, 1, ∞) ∩ X

0 als z ∈ B(0, 1).

Deze functie is holomorf op B(0, 1), hier is de functie namelijk identiek 0. De functie is ook continu op K1, dankzij (3.1) geven beide definities van H0 in de randpunten dezelfde

waarde.

Stap 3. Zij P1 een polynoom zodat

|P₁− H₀| < ε₁ op K1 met P1(a(2)i ) = H0(a(2)i ). (3.2)

Waarbij a(2)_i ∈ X de punten zijn waarvoor geldt dat |a(2)_i | = 2. Als z ∈ A(0, 1, 2) ∩ X geldt

|P₀(z) + P1(z) − f (z)| = |f (z) − H0(z) + P1(z) − f (z)|

En als z ∈ B(0, 1) ∩ X |P0(z) + P1(z) − f (z)| ≤ |P0(z) − f (z)| + |P1(z)| < ε0+ ε1. Dus |P0(z) + P1(z) − f (z)| < ε0+ ε1 op B(0, 2) ∩ X Definieer H1(z) := ( H0(z) − P1(z) als z ∈ A(0, 2, ∞) ∩ X 0 als z ∈ B(0, 2).

Deze functie is holomorf op B(0, 2), hier is de functie identiek 0. De functie H0 is ook

continu op K2, de twee definities geven wegens (3.2) in de randpunten allebei 0.

Stap 4. Zij P2 een polynoom zodat

|P₂− H₁| < ε₂ op K2 met P2(a (3)

i ) = H1(a (3)

i ). (3.3)

Waarbij a(3)_i ∈ X de punten zijn waarvoor geldt dat |a(3)_i | = 3. Als z ∈ A(0, 2, 3) ∩ X dan |P0(z) + P1(z) + P2(z) − f (z)| = |f (z) − H0(z) + P1(z) + P2(z) − f (z)| = |P1(z) + P2(z) − H0(z)| = |P2(z) − H1(z)| < ε2, en als z ∈ B(0, 2) ∩ X |P₀(z) + P1(z) + P2(z) − f (z)| ≤ |P0(z) + P1(z) − f (z)| + |P2(z)| < ε0+ ε1+ ε2.

Stap 5. Dit proces kunnen we voortzetten, we krijgen twee rijtjes {Pn} en {Hn}. Zij

Pk in het rijtje {Pn}, k ∈ {0, . . . , n} zodat

|P_k− H_k−1| < ε_k op Kk met Pk(a(k+1)i ) = Hk(a(k+1)i ). (3.4)

Waarbij a(k+1)_i ∈ X de punten zijn waarvoor geldt dat |a(k+1)_i | = k + 1. Als z ∈ A(0, n, n + 1) ∩ X dan      k X m=0 Pm(z) − f (z)      = |f (z) − H0(z) + H0(z) − H1(z) + . . . + Hk−2(z) − Hk−1(z) + Pk(z) − f (z)| = |Pk(z) − Hk−1(z)| < εk

en als z ∈ B(0, n) ∩ X, dan      n X k=0 Pk(x) − f (x)      ≤      n−1 X k=0 Pk(x) − f (x)      + |Pn(x)| < n−1 X k=0 εk+ εn= n X k=0 εk. Definieer Hn(z) := ( Hn−1(z) − Pn(z) als z ∈ A(0, n + 1, ∞) ∩ X 0 als z ∈ B(0, n + 1).

Dus voor het rijtje {Hn} geldt dat elke Hk, k ∈ {0, . . . , n} gelijk is aan Hk−1− Pk op

A(0, k + 1, ∞) ∩ X, en identiek 0 op B(0, k + 1)

Stap 6 (Convergentie). Voor deze rij polynomen geldt dat de reeks P∞

k=0Pk uniform

convergeert op iedere B(0, R). Dit tonen we aan met behulp van het Cauchy criterium. We willen laten zien dat er voor elke η > 0 een N ∈ N bestaat zodat voor m ≥ n > N geldt dat      m X k=n+1 Pk      .

We kiezen η > 0. We weten dat |Pk| < εk op B(0, R) voor alle k > R. Voor N =

max{log( 1 η) log(2) + 1, R} en m ≥ n > N ,      m X k=n+1 Pk      < m X k=n+1 εk = m X k=n+1 min{ 1 2k, ˜εk}1[−k−1,k+1] ≤ m X k=n+1 1 2k < 1 2N < η op B(0, R). Dus P∞

k=0Pk convergeert uniform op B(0, R). Dit geldt voor alle R ∈ N,

dus convergeert deze reeks uniform op C.

Stap 7. Met de stelling van Weierstrass geldt dat de limiet h :=P∞

k=0Pkeen holomorfe

functie is.

We kijken naar

We mogen zonder verlies van algemeenheid aannemen dat m ≤ t ≤ m + 1. Dan geldt |f (t) − h(t)| =      f (t) − ∞ X k=0 Pk(t)      =      f (t) − lim n→∞ n X k=0 Pk(t)      = lim n→∞      f (t) − n X k=0 Pk(t)      ≤ lim n→∞ n X k=m εk(t) = lim n→∞ n X k=m min{ 1 2k, ˜εk}1[−k−1,k+1](t) ≤ lim n→∞ n X k=m ˜ εk1[−k−1,k+1](t) = lim n→∞ n X k=m inf s∈[−k−1,k+1] 1 2kε(s)1[−k−1,k+1] < inf s∈[−m−1,m+1]ε(s) ≤ ε(t).

Hiermee hebben we onze holomorfe functie h gevonden.

Dit stappenplan laat ons zien dat als we op elke compacte verzameling Kn een

po-lynoom Pn kunnen vinden zodat we de waarde in de randpunten gelijk kunnen krijgen

aan de waarde in de randpunten van een functie in A(Kn).

3.2 Stelling van Carleman

Stelling 3.1 werd in 1927 bewezen door Torsten Carleman. Deze stelling wordt gegeven door:

Stelling 3.1 (Stelling van Carleman). Zij f een continue functie op R en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor t ∈ R geldt

|f (t) − h(t)| < ε(t).

In deze scriptie zullen we een eigen bewijs van deze stelling geven met behulp van het stappenplan uit de vorige sectie, dit bewijs is ontstaan uit een opgave uit [12]. Hiervoor hebben we eerst een paar andere resultaten nodig.

De eerste stelling is een speciaal geval van de Stelling van Mergelyan (Stelling 1.15). De Stelling van Mergelyan gaan we in deze scriptie niet bewijzen, het bewijs hiervan is te lang en te ingewikkeld. Het bewijs van dit speciale geval kunnen we daarentegen wel

geven, en dit is precies het geval dat we nodig hebben voor het bewijs van de Stelling van Carleman. Hiervoor herinneren we ons uit Hoofdstuk 2 dat A(K) de verzameling van continue functies op K die holomorf zijn op het inwendige van K is.

Stelling 3.2. Zij K = B(0, n) ∪ [−n − M, n + M ]. Dan geldt dat f ∈ A(K) een uniforme limiet is van holomorfe polynomen op K.

Bewijs. We laten zien dat voor elke maat µ op K die de rationale functies met polen buiten K annihileert, geldt dat deze maat geschreven kan worden als de som van twee maten µ1 en µ2 zodat µ1 support heeft op B(0, n) en µ2 op [−n − M, −n] ∪ [n, n + M ]

waarbij µ1 en µ2 de rationale functies ook annihileren. Voor deze twee maten kunnen

we bewijzen dat als deze de rationale functies annihileren dat deze dan ook de holomorfe functies annihileren. Hiermee kunnen we de stelling bewijzen.

Om een maat µ op K die de rationale functies annihileert te splitsen in µ1en µ2kijken

we naar de functies fm(z) := z

2m

(n+ε)2m_+z2m voor m ∈ N en z ∈ C. Deze functies fm zijn

rationaal en in het bijzonder hebben deze alleen polen buiten K.

We nemen aan dat µ op K de rationale functies met polen buiten K annihileert, dan geldt voor een rationale functie g op C dat

Z g(z)fm(z)dµ = Z g(z) z 2m (n + ε)2m_{+ z}2mdµ = 0. Definieer nu dµ2:= lim m→∞, ε→0fm(z)dµ = ( 0 als |z| ≤ n dµ als |z| > n. Anders geschreven, dµ2= 1[−n−M,−n]∪[n,n+M ]dµ

Deze maat heeft dus support op [−n − M, −n] ∪ [n, n + M ], verder geldt Z g(z)dµ2 = Z g(z) lim m→∞, ε→0fm(z)dµ ∗ = lim m→∞, ε→0 Z g(z)fm(z)dµ = 0

dus µ2 annihileert de rationale functies.

* Hier gebruiken we de gedomineerde convergentiestelling van Lebesgue (Stelling 1.5). Dit mag, omdat geldt (fm)m∈N ⊂ L1(µ), want deze functies zijn continu. Ook geldt dat

|f_{m| ≤ 2 voor alle m ∈ N en 2 ∈ L}1

+(µ). Als laatste geldt dat f (x) := limm→∞fm(x)

Definieer µ1:= µ − µ2. Deze maat heeft support op B(0, n). Verder annihileert µ1 de

rationale functies, µ en µ2 annihileren namelijk de rationale functies, dus µ1 = µ − µ2

ook.

Vervolgens tonen we aan dat µ1 en µ2 ook de holomorfe functies annihileren. De

ver-zameling B(0, n) is compact en het complement van B(0, n) bestaat uit ´e´en component, dus met Gevolg 1.13 weten we dat elke functie h holomorf op een omgeving van B(0, n) de uniforme limiet is van holomorfe polynomen op B(0, n). Een functie die holomorf is op een omgeving van B(0, n) is in het bijzonder continu op B(0, n) en holomorf op B(0, n). Dit geeft ons dat de holomorfe polynomen op B(0, n) dicht liggen in de conti-nue functies op B(0, n) die holomorf zijn op B(0, n). Aangezien holomorfe polynomen rationale functies zijn geldt dat µ1 de holomorfe polynomen op B(0, n) annihileert. Met

Stelling 1.7 weten we dat µ1 ook de continue functies op B(0, n) die holomorf zijn op

B(0, n) annihileert.

De Approximatiestelling van Stone-Weierstrass (Stelling 1.11) vertelt ons een continue functie op [−n − M, −n] ∪ [n, n + M ] uniform benaderd kan worden met holomorfe polynomen. We weten dat µ2 de rationale functies met polen buiten K annihileert, µ2

annihileert dus op K ook de holomorfe polynomen. Met bovengenoemde en Stelling 1.7 annihileert µ2 ook de continue functies op [−n − M, −n] ∪ [n, n + M ].

Dus voor µ = µ1+ µ2 geldt dat als f ∈ A(K)

Z f dµ = Z f dµ1+ Z f dµ2 = 0.

Dus µ annihileert de continue functies op K die holomorf zijn op B(0, n). Nu geldt met Stelling 1.8 dat de holomorfe polynomen op K dicht liggen in de continue functies op K die holomorf zijn op het inwendige van K, dus f ∈ A(K) is een uniforme limiet van holomorfe polynomen op K.

Lemma 3.3. Als voor een functie f op R geldt dat er een polynoom Q en ε > 0 bestaat zodat

|Q − f | < 1 3ε

op B(0, n) ∪ [−n − 1, n + 1], dan bestaat er ook een polynoom P zodat |P − f | < ε

op B(0, n) ∪ [−n − 1, n + 1] en P (−n − 1) = f (−n − 1) en P (n + 1) = f (n + 1). Bewijs. We schrijven voor dit bewijs a = n + 1 en V = Q − f .

Als geldt dat |V | < 1₄ε op B(0, a − 1) ∪ [−a, a], dan kunnen we de waarden in de randpunten a en −a gelijk maken door een lineaire functie L met L(a) = V (a) en L(−a) = V (−a) van Q af te trekken. Deze functie L ziet er als volgt uit:

L : y = V (a) − V (−a) 2a x +

V (a) + V (−a) 2 Nu willen we laten zien dat |L| < 2₃ε op B(0, a − 1) ∪ [−a, a].

Er geldt |L(z)| =     V (a) − V (−a) 2a z + V (a) + V (−a) 2     ≤     V (a) − V (−a) 2a     |z| +     V (a) + V (−a) 2     ≤     V (a) − V (−a) 2     +     V (a) + V (−a) 2     ≤     V (a) 2     +     V (−a) 2     +     V (a) 2     +     V (−a) 2     < 1 6ε + 1 6ε + 1 6ε + 1 6ε = 2 3ε.

Dit geldt voor alle z ∈ B(0, a − 1) ∪ [−a, a], dus |L| < 2₃ε. We defini¨eren P := Q − L, dan geldt |P − f | = |Q − L − f | ≤ |Q − f | + |L| < 1 3ε + 2 3ε = ε. en

P (a) = Q(a) − L(a)

= Q(a) − V (a) − V (−a) 2a a +

V (a) + V (−a) 2

 = Q(a) − V (a)

= Q(a) − Q(a) + f (a) = f (a) P (−a) = Q(−a) − L(−a)

= Q(−a) − V (a) − V (−a) 2a −a +

V (a) + V (−a) 2

 = Q(−a) − V (−a)

= Q(−a) − Q(−a) + f (−a) = f (−a).

Met deze twee resultaten kunnen we de stelling van Carleman bewijzen.

Stelling 3.4 (Stelling van Carleman). Zij f een continue functie op R en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor t ∈ R geldt

Bewijs. Voor het bewijs van de Stelling van Carleman gebruiken we het eerder genoemde stappenplan. We kiezen hier X = R, in Hoofdstuk 2 hebben we al bewezen dat R voldoet aan de Algemene Stelling (Stelling 2.18). We moeten dus alleen nog bewijzen dat we de benodigde polynomen kunnen vinden.

Voor Stap 2 hebben we een polynoom P0 nodig zodat

|P₀− f | < ε₀ op [−1, 1] met P0(−1) = f (−1) en P0(1) = f (1).

De approximatiestelling van Stone-Weierstrass geeft ons een polynoom Q0 zodat |Q0−

f | < 1₃. Met Lemma 3.3 geldt dat er dan een polynoom P0bestaat die aan de

voorwaar-den voldoet.

Voor Stap 3, 4 en 5 vinden we deze polynomen door Stelling 3.2 en Lemma 3.3 te gebruiken. Dit vanwege het feit dat de Kn voor n ≥ 1 precies de verzamelingen uit

Stelling 3.2 geven en Hn∈ A(Kn+1) voor n ≥ 1.

Nu zegt het Stappenplan dat er een holomorfe functie h op C bestaat zodat |h(t) − f (t)| < ε(t), voor alle t ∈ R.

Dit is het resultaat dat we wilden bewijzen.

3.3 Andere gevallen

In deze sectie kijken we naar meer exotische gevallen dan X = R. Om te zorgen dat we het stappenplan kunnen gebruiken moeten we een verzameling vinden die voldoet aan de Algemene Stelling (Stelling 2.18), en moeten we de benodigde polynomen kunnen vinden.

Voordat we naar deze nieuwe verzameling gaan kijken hebben we eerst wat notatie nodig:

Notatie 3.5. In de volgende stelling en het bewijs daarvan zullen we de volgende notatie gebruiken, voor een re¨ele continue functie f schrijven we GA(f ) := {x + if (x) : x ∈ A}

met A ⊂ R.

Als we nu kijken naar k < ∞ re¨ele continue functies gk, zodat limn→∞gk(x) = ∞ en

gk(0) = 0 voor alle k zodat eiφkGR(gk) in geen enkel ander punt dan 0 snijden. Dan

kijken we naar de verzameling X =Sk

n=0eiφnGR(gn). Deze verzameling voldoet aan de

Lemma 3.6. Als voor een functie f op Sk

n=0eiφnGR(gn) geldt dat er een polynoom Q

en ε > 0 bestaan zodat

|Q − f | < 1 cε op B(0, n) ∪ (B(0, n + 1) ∩Sk

n=0eiφnGR(gn)) met c een constante die van k, n en de

minimale afstand tussen twee punten van C(0, n + 1) ∩Sk

n=0eiφnGR(gn) afhangt, dan

bestaat er een polynoom P zodat

|P − f | < ε op B(0, n) ∪ (B(0, n + 1) ∩ Sk

n=0eiφnGR(gn)) met P (aj) = f (aj) voor alle j ∈

{0, . . . , 2k − 1} waar aj de 2k punten opSk_n=0eiφnGR(gn) zijn waarvoor geldt dat |aj| =

n + 1.

Bewijs. We schrijven c = n + 1, V := Q − f en m = min{|am− aj| : m 6= j}. Als geldt

dat |Q − f | < 1_cε op B(0, n) ∪Sk

n=0eiφnG[−n−1,n+1](gn), dan kunnen we de waarden

in de randpunten ai gelijk maken door een polynoom p van graad 2k − 1 met p(aj) =

f (aj)−Q(aj) van Q af te trekken. Deze functie construeren we met behulp van Lagrange

interpolatie, dit geeft de volgende functie: p(z) = 2k−1 X l=0 2k−1 Y i=0 i6=l z − ai al− ai V (al).

We laten zien dat |p| < 2k 2n+2_m
2k−1 1_cε op B(0, n)∪Sk

n=0eiφnG[−n−1,n+1](gn). Er geldt |p(z)| =        2k−1 X l=0 V (al) 2k−1 Y i=0 i6=l z − ai al− ai        ≤ 2k−1 X l=0 |V (al)| 2k−1 Y i=0 i6=l     z − ai al− ai     ≤ 2k−1 X l=0 |V (a_l)| 2k−1 Y i=0 i6=l 2n + 2 m = 2k−1 X l=0 |V (a_l)| 2n + 2 m 2k−1 < 2k 2n + 2 m 2k−1 1 cε Dit geldt voor alle z ∈ B(0, n) ∪Sk

n=0eiφnG[−n−1,n+1](gn). Nu defini¨eren we P := Q − p,

|P − f | = |Q − p − f | ≤ |Q − f | + |p| < 1 cε + 2k  2n + 2 m 2k−1 1 cε = ε. Waar we c de constante nemen waarvoor dit geldt.

En P (aj) = Q(aj) − p(aj) = Q(aj) − 2k+1 X l=0 V (al) 2k+1 Y i=0 i6=l aj− ai al− ai = Q(aj) − V (aj) 2k+1 Y i=0 i6=l aj− ai aj− ai = Q(aj) − V (aj) = Q(aj) − Q(aj) + f (aj) = f (aj)

Dit geldt voor alle aj, j ∈ {0, . . . , 2k − 1}.

Stelling 3.7. Zij f een continue functie op Sk

n=0eiφnGR(gn) en ε een positieve

con-tinue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor alle t ∈Sk

n=0eiφnGR(gn) geldt

|f (t) − h(t)| < ε(t).

Bewijs. Voor dit bewijs gebruiken we opnieuw het stappenplan uit Sectie 3.1. We kiezen X = Sk

n=0eiφnGR(gn), deze verzameling voldoet aan Stelling 2.18, dus we mogen het

stappenplan gebruiken.

Verder moeten we de benodigde polynomen nog vinden. Hiervoor gebruiken we voor elke stap (stap 2, 3, 4 en 5) eerst Stelling 1.15, de Stelling van Mergelyan. Er geldt dat C\Kn samenhangend is voor elke n. Dus er bestaat een polynoom Qn zodat

|Qn− f | <

1 cεn,

op Kn voor een zekere constante c die afhangt van k, n en de minimale afstand tussen

twee randpunten van B(0, n + 1) ∩Sk

n=0eiφnGR(gn). Hierdoor kunnen we Lemma 3.6

gebruiken. En vinden we een polynoom Pn zodat

|Pn− f | < εn

op Kn.

Nu vertelt het stappenplan ons dat er een holomorfe functie h op C bestaat zodat |f (t) − h(t)| < ε(t), voor alle t ∈ k [ n=0 eiφn_G R(gn).

Dit is het resultaat dat we wilden bewijzen.

We kunnen het stappenplan dus gebruiken voor verzamelingen van de vormSk

n=0eiφnGR(gn)

voor alle k < ∞. Hierdoor weten we dat we dit bewijs ook kunnen gebruiken voor een-voudigere gevallen als X = R ∪ iR of X = GR(g) voor een re¨ele continue functie g.

4 Conclusie

We hebben eerst gekeken naar de Algmene Stelling, deze stelling vertelt ons wanneer we op een gesloten verzameling met leeg inwendige continue functies met holomorfe functies tangentieel kunnen benaderen.

We hebben deze stelling geconstrueerd uit de Stelling van Arakelian en een stelling over het verband tussen uniforme en tangenti¨ele approximatie. De Stelling van Arakelian vertelt ons wanneer we op een gesloten verzameling continue functies die holomorf zijn op het inwendige van deze verzameling uniform kunnen benaderen met holomorfe functies. Verder hebben we bewezen dat tangenti¨ele approximatie mogelijk is op een gesloten verzameling met leeg inwendige als en alleen als er uniforme approximatie mogelijk is op deze verzameling. Met dit resultaat zien we dat als we een gesloten verzameling met leeg inwendige bekijken, de Stelling van Arakelian geldt met tangenti¨ele approximatie in plaats van uniforme approximatie.

Verder hebben we naar de Stelling van Carleman gekeken, de hoofdstelling van deze scriptie. Deze stelling zegt dat een continue functie op R tangentieel benaderd kan worden met een holomorfe functie op C. Hiervan hebben we een eigen bewijs gegeven.

De structuur van dit bewijs hebben we vervolgens gebruikt om meer gevallen van de Algemene Stelling te bewijzen. We hebben hier gekeken naar gesloten verzamelingen van de vormSk

n=0eiφnGR(gn) met k < ∞ en gn re¨ele continue functies. Een vervolg hiervan

zou kunnen zijn om te kijken naar verzamelingen van de vorm {f (x) + ig(x) : x ∈ R} met f en g re¨ele continue functies, waarbij limx→∞f (x) = ∞ en limx→∞g(x) = ∞.

Voor deze verzamelingen geldt voor een zekere N ∈ N dat als n ≥ N de verzameling zich voor x ∈ A(0, n, ∞) net zo gaat gedragen als de eerder besproken verzamelingen en de benadering dus mogelijk is. Ook hier kunnen we weer een eindige vereniging van maken met de eis dat de verzamelingen alleen snijden in het punt 0.

5 Populaire samenvatting

Approximatietheorie is het benaderen van functies met andere functies, dit kan op heel veel verschillende manieren, met verschillende soorten functies, op verschillende soorten verzamelingen. De eenvoudigste manier om dit te doen is met polynomen.

Definitie 5.1. Een polynoom is een functie van de volgende vorm: f (x) = a0+ a1x + a2x2+ . . . + anxn=

n

X

k=0

akxk.

Voorbeeld 5.2. Een voorbeeld van een polynoom is 3 + 2x + 5x3+ x4.

Als we nu de functie f (x) = |x| bekijken op het interval [−1, 1] dit is geen polynoom -dan ziet de benadering met een polynoom, waarbij f (x) = |x| blauw is en het polynoom groen, er als volgt uit:

De volgende stelling vertelt ons dat dit altijd kan op een compacte (gesloten en be-grensde) deelverzameling van Rn.

Stelling 5.3 (Approximatiestelling van Stone-Weierstrass). Zij K compact in Rn. Dan geldt dat elke continue functie f op K uniform benaderd kan worden met polynomen.

Voor deze scriptie kijken we niet naar begrensde verzamelingen maar naar onbegrensde verzamelingen; hier moeten we dus rekening houden met het punt ∞. We zien dat als we een niet-constant polynoom hebben, een polynoom altijd naar ∞ of −∞ gaat als x

naar ∞ gaat. Als we een continue functie hebben die niet naar ∞ of −∞ gaat als x naar ∞ gaat, kunnen we deze dus nooit benaderen met een polynoom.

Daarom introduceren we hier holomorfe functies.

Definitie 5.4 (Holomorfe functie). Een functie f heet holomorf op V als f complex-differentieerbaar is in elk punt van V . We kunnen een holomorfe functie altijd schrijven als

∞

X

k=0

akxk.

Voorbeeld 5.5. Een voorbeeld van een holomorfe functie is f (x) = sin(x).

De hoofdstelling van deze scriptie gaat over de benadering met deze holomorfe functies. Stelling 5.6 (Stelling van Carleman). Zij f een continue functie op R en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor t ∈ R geldt

|f (t) − h(t)| < ε(t).

Hier benaderen we continue functies die als domein de re¨ele getallen hebben met holomorfe functies met als domein de complexe getallen. Verder willen we zorgen dat het verschil tussen deze twee functies kleiner is dan een zekere kleine functie, in plaats van een zeker klein getal.

Bibliografie

[1] D. Gaier (1980). Vorlesungen ¨uber Approximation im Komplexen. Birkhæuser, Basel.

[2] L. Maligranda (2003). Torsten Carleman. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/ Carleman.html

[3] D. Mayers en E. S¨ulli (2006). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press, Cambridge.

[4] J. R. Munkres (2000). Topology. Pearson.

[5] J-P. Rosay en W. Rudin (1989). Arakelian’s Approximation Theorem. The American Mathematical Monthly, 96:432–434.

[6] A. Roth (1973). Meromorphe Approximationen. Commentarii Mathematici Helvetici, 48 : 151 – 176.

[7] A. Roth (1938). Approximationeigenschaften und Strahlengrenzwerte meromorpher und ganzer Funktionen. Commentarii Mathematici Helvetici, 11:77–125.

[8] A. Roth (1976). Uniform and tangential approximations by meromorphic functions on closed sets. Canadian Journal of Mathematics, 28:104–111.

[9] C. Runge (1885). Zur Theorie Der Eindeutigen Analytischen Functionen. Acta Mathematica, 6: 228–244.

[10] B. P. Rynne en M. A. Youngson (2008). Linear Functional Analysis. Springer-Verlag, Londen. [11] R. L. Schilling (2005). Measures, Integrals and Martingales. Cambridge University Press,

Cam-bridge.