Hoofdstuk 5: Verbanden en veranderingen

Hoofdstuk 5

Verbanden en veranderingen

V-1.

a. 495,60

590 0,84: dus bij de pijl komt 0,84 te staan en rechts in de tabel 84. b. De prijs is met 16% verlaagd.

c. € 290,- komt overeen met 100% d. met 319 290

290 100 10 % gestegen

V-2.

a. Het aantal is met 1451 1280

1280 100 13,4%

b. In 2010 waren er 1,08234 217 brugklasleerlingen.

c. 48% van 897 is ongeveer 431 en 58% van 554 is ongeveer 321. Van de 1451 leerlingen was 752 meisje. Dat is ongeveer 752

1451100 51,8% V-3. a. 1020 1200 0,85 1020870 0,85 740870 0,85 630740 0,85. Vermenigvuldigen met 0,85 b. in 2005: 630 0,85 536  en in 2006: 536 0,85 456  c. A200 Voer in: 1 1200 0,85 x y   en y2 200 intersect: x 11,02 Dus in 2012 waren er voor ’t eerst minder dan 200 konijnen.

V-4. a. 1332 1480 0,90 g   b. 125 105 1,19 g   c. 188 174 1,08 g   V-5. a. g 1,125 d. g 0,80 b. g 1,08 e. g 0,987 c. g 1,003 f. g 0,9984 V-6.

a. afname van 15% c. afname van 1% d. toename van 20,5% b. toename van 36% d. afname van 90% e. afname van 19,5%

V-7.

a. Dan moet er twee keer met 1,5 vermenigvuldigd worden: _1,52 _2,25

b. g_{vier weken} 1,54 5,0625 c. 1,517 1,06 dag g   V-8. a. g_maand 1,002 _1,00212 _1,024 jaar g   toename van 2,4% b. g15uur 2 1 15 2 1,047 uur g   toename van 4,7% c. g_maand 0,70 8 30 8dagen 0,70 0,909 g   afname van 9,1%

d. gdag 0,90 gweek 0,907 0,478 afname van 52,2%

p p% g 1 100 q q% g 1 100        

V-9. a. g28jaar 0,5 1 28 0,5 0,9755 jaar

g   afname van 2,45% per jaar.

b. 100 0,9755_ t _5

Voer in: 1 100 0,9755

x

y   en y2 5 intersect: x 121 jaar.

1. A: 5 2 3  8 5 3  12 8

2 2: geen lineair verband.

B: 11 9,5 1,5  12,5 11 1,5  14 12,5 1,5  18,5 14

3 1,5  _ Er is sprake van een lineair verband.

C: 12 36

2 12

 _{  9 12  3: geen lineair verband.}

2.

a. dan neemt q toe met 250 245 5  toe. b. q neemt met 0,1 toe als p met 1 toeneemt.

c. p163 :q 246,3 218 : 250 18 0,1 251,8 p q     d. q 0,1p b 245 0,1 150 230 0,1 230 b q p       3. a. 0,1q p 13 b. 1 2 1 16 p q c. 5q8p60 0,1 13 10 130 q p q p     1 2 2 2 3 3 1 16 10 q p q p     3 5 5 8 60 1 12 q p q p       d. 18 3 p24q0 3 1 8 4 24q 3p 18 q p     4.

a. Voor elke m3 _{gebruikt water betaal je een vast bedrag.} b. 342,5 150,5 200 80 1,6 a     1,6 150,5 1,6 80 22,5 1,6 22,5 B v b b B v          p 150 160 170 180 190 200 q 245 246 247 248 249 250

5.

a. Voor elke m3 _{gasverbruik betaal je een vast tarief. Dus lineair.}

b. Bij een constante snelheid is de afgelegde afstand per tijdseenheid even groot. c. niet lineair, de steen legt per tijdseenheid een steeds grotere afstand af tijdens de

val.

d. Bij een verhoging van 4,5% wordt de prijs ieder jaar vermenigvuldigd met 1,45. Hier ook geen lineair verband.

e. De omtrek is vier keer de zijde; dus lineair.

6.

a. Ieder jaar neemt het bedrag met een vaste waarde toe: de verbruikskosten.

b. K_Coldpack 595 64,4 t en K_Iceman 690 47,6 t 595 64,4 t 690 47,6 t c. 16,8t 95 t 5,65 7. a. 2q 8 3q4 b. 45 0,95 t 1,03t34 12 q  0,08 11 137,5 t t   c. 1005 12 a455 4(16 8 )  a d. 0,125 1,5(7 x4,5) 9,9 5  x 1005 12 455 64 32 20 486 24,3 a a a a         0,125 10,5 6,75 9,9 5 5,5 3,025 0,55 x x x x       e. 1,8p0,3(1 0,2 ) 2,6(0,8 p  p 1) 17,6 1,8 0,3 0,06 2,08 2,6 17,6 0,34 15,3 45 p p p p p        8.

a. ondernemer A: vermindering van 2,5 (4150 3500) 1625   , dus 1875 overdragen ondernemer B: vermindering van 2,5 (4150 3700) 1125   , dus 2575 overdragen B moet 700 gulden meer overdragen.

b./c. voor 0 x 2964: y 0

voor 2964 x 4150: y  x 2,5 (4150 x) 3,5 x10375

voor x4150: y x

9. A: 6

3 2 126 2 1224 2 4824 2: steeds keer 2, dus exponentieel.

B: 300 400 0,75 225300 0,75 168,75225 0,75 1 2 94,92 168,75 ( ) 0,75: exponentieel. C: 24 12 2 3624 1,5: niet exponentieel. 10. 96 64 1,5 64 2 1,5 3 17 : 42 p q  p20 :q96 1,5 144  p21:q144 1,5 216  4 25 : 216 1,5 1093,5 p q   

11.

a./b. Er is sprake van een procentuele stijging: dus een exponentieel verband. c. In 2007: 6,47 106 6 1,042 6,21 10  _{  en in 2009: 6,47 10 1,042 6,74 10} 6_{  } 6 d. _{A6,47 10 1,042} 6_ t 12. a. g3jaar 1500060000 4 1 3 4 1,587 g   _{N }15 000 1,587_ t b. g_maand 0,9987 _0,998712 _0,9845 jaar g   _{N 4,25 10 0,9845} 6_ t c. g8,5jaar 2 1 8,5 2 1,085 jaar g   _{N }3750 1,085_ t 13. a. 8 42jaar 7,2 1,11 g   b. 1,11421 1,0025 jaar g  

c. Het aantal huishoudens groeit met 0,25% per jaar. d. _{N 7,2 10 1,0025} 6_ t e. In 2040: _{N 7,2 10 1,0025} 6_ 32 _{7,8 10} 6 f. 1,0025t _2 Voer in: 1 1,0025 x y  en y2 2 intersect: x 277,6 jaar 14. a. 3030 101 1520 ( ) 1,071 1 10 5990 3030 ( ) 1,071 1 5 8400 5990 ( ) 1,070

De groeifactor per week is 1,07 b. 3990 523 40 20 173,35 a     173,35 523 173,35 20 2944 173,35 2944 F t b b F t            c. _{1450 2} 0,1 1,5t _{(165t2875) 4000} Voer in: 0,1 1,5 1 1450 2 x 165 2875 y _{ }  _ x_{ en} 2 4000 y  intersect: x38,74

Op dag 272 is dat het geval.

15. a. T 345 log(8 0 1)   T_o 345 log(1) T_o 345 0 T_o T_o b. 345 log(8 t 1) 500 c. 345 log(8 t 1) 800 1,45 log(8 1) 1,45 8 1 10 28,14 3,39 t t t       2,32 log(8 1) 2,32 8 1 10 208,37 25,92 t t t       16.

a. 3_log(10)3_log(7) 3_log(70)

b. 5_{log( ) 3a  }5_log(2) 5_{log( )a } 5_{log(2 )}3 _ 5_{log(8 )a}

c. 3 1 3 3 3 0,5 3

2

log(15)  log(25) log(15) log(25 ) log(3) 1

17.

a. De groeifactor is groter dan 1, dus de grafiek van N is stijgend.

b. 1. 26 1,69_ t _750 _{2. 26 1,69} t _0,075 1,69_1,69 28,85 log(28,85) 6,41 t t    1,69 1,69 0,0029 log(0,0029) 11,15 t t     18. a. _{A0,5 3} q1 _{b. N 0,2 4} t _{N  5 3}2t 1 3 3 3 2 1 log(2 ) 1 log(2 ) q _A q A q A  _      4 4 5 log(5 ) t _N t N   2 3 3 1 2 3 0,2 2 log(0,2 ) log(0,2 ) t _N t N t N     19. a. 100 0,75_ d _50 _{b. 100 0,75} d _25 0,75 0,75 0,5 log(0,5) 2,41 d d m    0,75 0,75 0,25 log(0,25) 4,82 d d m    c. 0,75d _0,01_P 0,75_{log(0,01 )} d  P

d. Voer in: y160 2 0,9log( )x zero: x 23,59 De formule heeft dus betekenis voor 0 d 23,59

e. _{A60 2 }0,9_{log( )d } 0,9_{log(0,9 )}60 _0,9_log(d2_) 0,9_{log(0,0018 )d}2 f. Het aantal algen neemt steeds minder af.

g. zie d.

20.

a. 28 log( ) 16 63 v   b. 28 log( ) 16 36 log( ) 4 v    v 

1,68 28 log( ) 47 log( ) 1,68 10 47,7 v v v      1,5 8 log( ) 12 log( ) 1,5 10 31,6 v v v      c. 36 log( ) 4 (28 log( ) 16) 3 v    v   7 8 7 8 1 8 log( ) 12 3 log( ) 1 10 75 v v v       d. D(80)D(40) 69,3 60,9 8,43   dB

e. D2v 36 log(2 ) 4 36 (log(2) log( )) 4 36 log(2) 36 log( ) 4 v     v      v  

36 log(2) D_v

  

Dus als de snelheid wordt verdubbeld, neemt het geluidsniveau met

36log(2) 10,8 toe. 21. a. 12,1_{    p} 1q _p 1 _{p b. 23,4 12,1 2 } q 2 2 1,93 log(1,93) 0,95 q q   

c. 53,3 12,1 5_{ } q 5 5 4,40 log(4,40) 0,92 q q    0,92 12,1 M  S

d. De tweede formule past beter: de meetpunten liggen het verst uit elkaar en dan zijn de benaderingen van de tussenliggende punten nauwkeuriger.

e. _12,1S0,92 _{35 f. 12,1 S} 0,92 _M 1 0,92 0,92 _2,89 2,89 3,17 S S    1 1 1 0,92 0,92 0,92 0,92 1 12,1 1,087 0,083 (0,083 ) (0,083) 0,0665 S M M S M M M        22. (1, 4) invullen: 4_{    c} 1n _c 1 _c 23. a. (1, 5) invullen: 5_{    c} 1n _c 1 _c b. (8, 140) invullen: 140 5 8_{ } n 8 ₈28 log(28) 1,60 n n    1,60 5 y  x 24. a. _{1 1,2}0 ₁ 10 p p k  k     b. _{1 1,2}2 _{1 1,44} 8 p p k  k     10(1 ) p k p8(1 1,44 ) k c. 10(1k) 8(1 1,44 )  k 10 10 8 11,52 1,52 2 1,32 10(1 1,32) 23,16 k k k k en p         d. ( ) 23,16 1 1,32 1,2t A t   

Voor toenemende waarden van t, neemt de noemer ook toe. De breuk daalt daardoor naar 0.

25.

a. Als de t toeneemt, wordt de noemer groter en de breuk dus kleiner. De T neemt af. b. Nu kan ze wel t 0 invullen.

c. De temperatuur van het pak frisdrank zal afnemen naar 6°C, de temperatuur waarop de koelkast is ingesteld.

Voor grote waarden van t wordt de breuk a

t c nagenoeg gelijk aan 0. T komt dan in de buurt van b, en dus b6.

d. 6 6 18 0 1 a a      12 6 1 T t  

 klopt niet met de tabel

12 a e. 1 5 6 6 18 0 5 a a      1 5 12 60 a a   60 6 5 T t  

26.

a. De grafiek is een rechte lijn en de verticale as is logaritmisch, dus de groei is exponentieel. b. (1977, 20) en (1994, 400) 1 17 400 17 20 1 20 20 1,19 ( ) 20 1,19t g g R t      

Het aantal ransuilen neemt met 19% per jaar toe.

c. R(14) 228 hadden we er mogen verwachten.

d. (0, 178): _{a b 0,6}0 _{  a b 178} e. (2, 205): _{a b 0,6}2 _{ a 0,36b205} f. uit de vergelijking van d. volgt: a178b

178 0,36 205 0,64 27 42,19 220,19 b b b b en a       27. a. b.

c. Tot 1,25 uur is de grafiek afnemend stijgend; tot 3,5 uur toenemend dalend en daarna een afnemende daling.

d. Het toename diagram heeft daar een minimum.

e. probeer zo goed mogelijk de raaklijn aan de grafiek te tekenen en bepaal daarvan de helling. 28. a. 2 300 1,5 (4 5) t t  Voer in: 1 2 300 (4 5) x y x   en y2 1,5 intersect: x 0,16  x9,84 De periode is ongeveer 9,68 uur, ofwel 9 uur en 41 minuten

b.



2 , 5



(5) (2) 0,38 5 2

C C C

t

 _  _{ }

  mg/liter per uur

c. 2 4 (4 5) 300 300 2(4 5) 4 '( ) (4 5) t t t C t t       

 en C'(0,5) 2,62 mg/liter per uur

d. Voer in: 2 2 4 (4 5) 300 300 2(4 5) 4 (4 5) x x x y x         minimum: x 2,5

e. C'(2,5) 0,44; dus een afname van 0,44 mg/liter per uur

29.

a. s(4,5)s(4) 0,71 km

b. het tweede uur loopt van t 1 tot t 2. De gemiddelde snelheid is dan

(2) (1) 4,15 s s  km/u c.



3 , 5



(5) (3) 1,53 5 3 s s s t  _  _   km/u t 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 C 0 3 3,7 3,75 3,55 3,45 3,15 2,9 2,75 2,6 2,4 C  3 0,7 0,05 -0,2 -0,1 -0,15 -0,25 -0,15 -0,15 -0,2

d.



5 , 5.001



(5,001) (5) 1,20 0,001 s s s t      km/u

e. Voer in: y1 6 13,8 log( ) x , 2 ( ) |1 X x

d y y dx   en y3 3 intersect: x2 uur 30. a. (20, 325) en (60, 1500) De gemiddelde snelheid is 1175

40 29,4 m/s. En dat is ongeveer 105,75 km/u

b. Teken zo nauwkeurig mogelijk de raaklijn aan de grafiek in (70, 1750) en bepaal de helling van die raaklijn: 1750 750

70 20 3,6 72 km/u

c. De maximale snelheid is ongeveer bij 55 s: ongeveer 62,5 m/s

31. a. 2 2 2 2 2 ( 1) 0 2 2 4 '( ) ( 1) ( 1) x x x f x x x          en f'(3) 0,12 2 2 '( ) 3(2 5) 2 6(2 5) j x  x   x en j'(3) 726 b. g



3 , 3.001



2,43 x    en



3 , 3.001



0,39 h x    32.

a. bij 5 miljoen vissen

b. de groei is positief, dus het aantal vissen neemt toe.

c. Bij 3 miljoen en 7 miljoen vissen is de groei ongeveer 1,8 miljoen. d. Bij 10 miljoen vissen is de groei 0.

e. dan zijn er 1,4 miljoen vissen bijgekomen. Op tijdstip t 1 zijn er 3,4 miljoen vissen. f.

33.

a. In 10 jaar afgenomen met 60030 soorten. Dat is een afname van 6003 per jaar.

( ) 60200 6003

A t   t

b. A(5) 30185

Dat wijkt 27085

3100 100 874% af van het werkelijke aantal.

c. 10p _60200

log(60200) 4,78

p 

d.

e. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn.

f. 10 170 60200 0,0028 g   1 10 0,0028 0,556 60200 0,556t g A     tijd 0 1 2 3 4 5 6 7 hoeveelhei d 2 3,4 5,3 7,3 8,9 9,9 10,0 10,0 toename 1,4 1,9 2,0 1,6 1,0 0,1 0 0

g. b3400 1,30 2012

( ) 2012 1,30t

A t  

h.

i. In 2004 zijn er van beide soorten evenveel dieren.

34. a. _1,632 20 g _ 2 1,63 25 g _ 53 g  g 66

het gewicht van Marian ligt tussen 53 en 66 kg.

b. _{g  l Q}2 _{waarin l constant is.}

c. _1,72 0,346 g Q  g 2 1,8 0,309 g Q  g _1,92 0,277 g Q  g d./e. 35. a. 1,67 1,17 1,67 1,67 1,17 1,67 1,67 1,17 2s 2,81 (2 ) 2,81 2 2 2,81 3,2 s v _{ } s _h _{  }s _h _{  }s _h _{ }v

De snelheid wordt dan ongeveer 3,2 keer zo groot.

b. v2h 2,81 s1,67 (2 )h 1,17 2,81 s1,67 2 1,17 h 1,17 2 1,17 2,81 s1,67 h 1,17 0,44 vh

    

            

De snelheid wordt dan ongeveer 2,25 keer zo klein.

c. _2,81s1,67_0,41,17 _{15 (mag ook met de GR opgelost worden)}

1 1,67 1,67 1,67 8,21 15 1,83 1,83 1,43 s s s m      d. h 4 0,91 3,64 _{v 2,81 3,5} 1,67_3,641,17 _{5,0 km/u} e. _{v 2,81s}1,67_{(4 )l} 1,17 _2,81s1,67_41,17_l1,17 _41,17_2,81s1,67_l1,17 1,17 4 2,81 0,555 c _  _{ }

f. _{2,81 4,5} 1,67_h1,17 _{16,5 (mag ook met de GR opgelost worden)}

1 1,17 1,17 1,17 34,6 16,5 0,476 0,476 1,88 h h h         4 1,88 0,47 l l m    g. _{v 2,81s}1,67_2,51,17 _0,962s1,67 h.



2 , 2.5



(2,5) (2) 2,76 0,5 v v v s  _  _  i. _{v' 0,962 1,67  s}0,67 _1,607s0,67 _{en v'(2,5) 2,97 0}  _{: snelheidsverandering neemt} dus toe.

T-1.

a. Bij elke 100 meter dalen stijgt de temperatuur met 3°.

b. Er is dan 6,8 keer 100 meter gedaald. T 17 3 6,8 37,4   o

c. T 17 3  d 30 3 13 4,33 d d  

Op ongeveer 433 meter diepte is de temperatuur 30°.

T-2. a. 903 4jaar 1260 0,72 g   b. g15jaar 0,5 c. gkwartaal 1,075 1 4 0,72 0,92 1260 0,92 jaar t g N     1 15 0,5 0,955 1240 0,955 jaar t g N     4 1,075 1,34 45 1,34 jaar t g N     T-3.

a. P 10 15 log(1) 10   % van de jongeren

b. 10 15 log(  x 1) 20 2 3 2 3 15 log( 1) 10 log( 1) 1 10 4,64 3,64 x x x x         

Het spotje moet dan minstens 4 keer worden uitgezonden: € 92

000,-c. P(5)P(4) 1,19%

d.

-e. De grafiek is afnemend stijgend, dus het rendement wordt steeds kleiner.

T-4. a. (0, 0.500): ₀2 ₀ 1 0,500 C m k  m k m m (2, 0.185): ₂2 ₄ 0,500 0,500 0,185 C k  k  1 4 4 _0,37 0,37 0,78 k k    b. (3 )2 9 2 9 2 3 0,500 0,78 0,500 0,78 0,500 0,78 0,78 r r r r C         _{0,78 0,500 0,78}9 r2 _0,1 r C     

De concentratie wordt dan ongeveer 10 keer zo klein.

T-5. a.



1, 4



(4) (1) 8,47 4 1 K K K t  _  _   d.





(4) (1) 1, 4 0,39 4 1 A A A t  _  _   b. _{K t( )t t(} 1_0,2t2,5_{) 1 0,2  t}3,5 _{e. Voer in:} 5 1 0,1 log(3 ) y  x x 2,5 '( ) 0,7 K t  t en _{K'(1) 0,7 1 } 2,5 _{0,7 2}nd _{trace dy dx/ (1) 0,72} c. _0,7t2,5 _7 1 2,5 2,5 ₁₀ 10 2,51 t t   

T-6. a. _{P 0,4 6 8} 3_ 0,75 _{411 watt} b. _0,4v3_100,75 _700 1 3 3 3 2,25 700 311 311 6,78 v v v      c. 3 0,75 3 0,75 0,75 0,75 2h 0,4 (2 ) 0,4 2 2 h 1,68 h P  v  h  v  h  P  P

Een toename van het vermogen met 68%.

T-7.

a. ₁₀1,5 _{32 g.}

b. Na 15 weken ongeveer ₁₀3,04 _{1096 g.} c. omdat de verticale schaal logaritmisch is. d.

d. Van week 5 tot week 10 neemt het gewicht ’t meest toe.

e. 0 1900 32 1 k 0,68  32(1 ) 1900 1 59 58 k k k     

f. Voor hele grote waarden van t wordt 0,68t _{nagenoeg gelijk aan 0.}

Het gewicht komt dan in de buurt van 1900 g.

tijd 0 5 10 15 20 25

gewicht 32 316 912 1096 1202 1259 toenam

Extra oefening

Basis

B-1.

a. x23 1,35 35 

de poliskosten zijn dan € 3,95

b. 3,95 0,85 d_A 25,20 3,95 1,25 d_C 25,20 0,85 21,25 25 A A d d    1,25 21,25 17 C C d d    Het scheelt 8 dagen.

B-2.

a. 1,0214 1,00496

kwartaal

g   een groei van 0,496% per kwartaal.

b. _{N }2,5 1,02_ t _{met N in miljoenen}

c. dat aantal is met N(6)N(5) 0,055 miljoen (55 000) toegenomen

B-3. a. _{N  }5 1,2p _{b. N   3 2 0,5}p _{c. N 0,2 3} 2p1 1,2 1,2 0,2 log(0,2 ) p _N p N   0,5 2 0,5 3 0,5 0,5 1,5 log(0,5 1,5) p p N N p N        2 1 3 3 1 1 2 2 3 5 2 1 log(5 ) log(5 ) p _N p N p N  _      B-4. a. (778, 4329): _c7781,5 _{4329 hieruit volgt: c} _0,20 b. _{T 1: 0,2A}1,5 _365 2 3 1,5 ₁₈₂₅ 1825 149 A A 

  de afstand is ongeveer 149 miljoen km. c. T2A 0,2 (2 ) A1,5 0,2 2 1,5A1,5 21,5TA 2,83TA B-5. a.



4 , 7



(7) (4) 0,64 7 4 df f f dx     en





(7) (4) 4 , 7 0,5 7 4 dg g g dx      b. 2 2 ( 1) 0 20 1 20 '( ) ( 1) ( 1) x g x x x          c. 5 9 '(5) g   en g



5 , 5.001



0,6 x  _ 

Extra oefening

Gemengd

G-1.

a. De toenames worden steeds groter. b.

c. 38760

38000 1,02 3953638760 1,02 4032739536 1,02 4113540327 1,02 4195741135 1,02 4279641957 1,02 De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus de groei is exponentieel.

d. _{N }38000 1,02_ t e. 43652 850  t 53000 850 9348 11 t t  

 In 2023 zal het aantal van 53 000 bereikt zijn.

G-2.

a. De stippen liggen op een rechte lijn door de oorsprong. b. E 0,46L

c. _{E 64 (1 0,6 } 0,02 100 _{) 64 0,64 41  } Het aantal wijkt 5 af; dat is 5

46100 10,9% d. Voer in: 0,02 1 64 (1 0,6 ) x y    , y₂ d ( ) |y_{1 X x} dx   en y3 0,46 intersect van deze laatste twee: x34,4

e. Als L heel erg groot wordt, wordt 0,02L ook heel erg groot. 0,02

0,6 L _{nadert dan naar 0, waardoor E in de buurt komt van 64.}

jaar 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 toenam

e 760 776 791 808 822 839 856