Hoofdstuk 4
Rekenen met kansen
V-1.
a. De kans dat de wijzer 5 aanwijst is 1
8 .
b. De kans dat de wijzer een even getal aanwijst is 5
8 0,625
c. De kans op een rood vlak is 50%.
d. De kans dat de wijzer een rood vlak met een oneven getal aanwijst is 3
8 0,375. In
procenten is dat 37,5%.
e. Je mag verwachten dat de wijzer 125 keer de 14 aanwijst. Wellicht komt het aantal
ook wel in de buurt van de 125. Het is niet gezegd dat dat ook werkelijk gebeurt. V-2.
a. De kans op een schoppen is 1
4.
b. De kans op een zwarte aas is 2 1
52 26.
c. De kans op een rode kaart boven de acht is 4 1
36 9.
d. De kans op een tweede schoppen is 12
51. V-3. a. b. 1 16 ( ) P HH . c. 7 16 (min 1 ) P stens R .
d. P twee van dezelfde soort( )
4 1 16 4 ( , ) P HH RR KK of SS V-4.
a. Er zijn twee mogelijke uitkomsten en de kans op kop (jongen) is even groot als de
kans op munt (meisje).
b. De kolom met 100 keer werpen.
c. Die kans is ongeveer 24
100.
V-5.
a. Nee, drie meisjes komen vaker voor.
b. 99546 63411 79807 84733: 4 gezinnen met drie meisjes.
c. Om de 3e "bladzijde" toevalsgetallen op je GRM te krijgen doe je het volgende:
3 STO MATH PRB optie 1 (rand) ENTER ENTER
En vervolgens MATH PRB optie 1 (rand) ENTER ENTER ENTER …
De eerste 5 cijfers van elk getal stelt een gezin voor met 5 kinderen, waarbij een even cijfer een jongen voorstelt en een oneven cijfer een meisje.
MATH PRB optie 5 (randInt) 0 , 100000 , 50 genereert 50 toevalsgetallen
tussen 0 en 100000 (3 ) 0,31 P meisjes en P(4meisjes) 0,16 eerste spel H R K S tw e e de s p e l H HH RH KH SH R HR RR KR SR K HK RK KK SK S HS RS KS SS
1.
a. Eén van de 6 mogelijke uitkomsten is vier ogen.
b. Van de 36 mogelijke uitkomsten hebben er 5 een som van 8 ((2,6), (3,5), (4,4), (5,3)
en (6,2)). 2. 361 1000 ( ) 36% P rugligging en 279 1000 ( ) 28% P rugligging
De kans op een rugligging zal daar ergens tussen liggen: 32% (?)
3. Na 5 rode M&M’s zitten er nog maar 75 M&M’s in het zakje waarvan 19 rode.
19 75
( )
P zesde is rood
4.
a. Het aantal keer kop kan 0, 1, 2, 3 of 4 zijn.
b. Op grond van dat experiment kan Max gelijk hebben.
c. 397
1000
( )
P A
d. Er is bijvoorbeeld maar één mogelijkheid om 4 keer kop te gooien (kkkk), maar 6
mogelijkheden om 2 keer kop te gooien (kkmm, kmkm, kmmk, mkkm, kmmk, mmkk). Dus de kans op A is groter.
5.
a. Het aantal keer munt kan variëren van 0 t/m 3.
b. randInt(0, 999, 50) noemt 50 willekeurige getallen tussen 0 en 999. Math PRB 5
Een even cijfer stelt bijvoorbeeld munt voor en een oneven cijfer kop.
c. 17
50
( )
P B , op basis van dit experiment.
6.
a. 5
60
(5) 100 8,3%
P
b. Je verwacht voor ieder aantal ogen een frequentie van 10. De dobbelsteen kan best
eerlijk zijn. Ze kan meer zekerheid krijgen door veel vaker te gooien.
c. De experimentele kansen zullen steeds dichter bij de theoretische kansen 1
6
( )
uitkomen. 7.
a. 6 rode, elk gecombineerd met 6 gele uitkomsten.
b. (1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6); (6, 5); (5, 4); (4, 3); (3, 2); (2, 1) c. 10 36 ( ) P V d. 29 100 ( ) 0,29 P V 2784 10000 ( ) 0,2784 P V
e. Bij het grote aantal is de invloed van het toeval kleiner, dus dat is betrouwbaarder.
8.
a. ja, want het lijkt of Peter beter af is met 2, 3, 4
en 5.
b.
-c. de hele 'rand' van de tabel is voor L; dus 20 van
de 36 uitkomsten; 20 5
36 9
( )
P A .
d. ja; van de vele combinaties met een 2, 3, 4 of 5
moet Peter alles met een 1 of een 6 afstaan.
1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6
9.
a. wat je ook gooit, het aantal is altijd positief.
b. 3 1 6 2 ( ) P A en 1 2 ( )
P B ; er zijn geen andere mogelijkheden dan even of oneven
gooien; de kans op de gebeurtenis "even of oneven" is dus 1.
c. Als je gooit treedt of gebeurtenis D {6} op of E {1, 2, 3, 4, 5} en niet anders.
10. a. 5 12 ( ) P A . b. 3 1 12 4 ( ) P B . c. 5 12 ( ) P A wel en B niet . d. 8 2 12 3 ( ) ( 1 0) P niet C P verschil is of e. 1 11 12 12 ( 6) 1 ( 6) 1
P som is hoogstens P som is groter dan
11.
a. Een 7 zal eerder getrokken worden, want er zijn vier zevens en slechts twee vijven
en één zes.
b. Er zijn nu 10 verschillende kaarten. Je hebt keuze uit 10 kaarten voor het eerste
cijfer en keuze uit 9 kaarten voor het tweede cijfer. Dus 90 verschillende mogelijkheden.
c. 4 3 12 2
90 90 15
(77)
P .
d. geen van de kaarten bevat een 7.
e. 6 5 2
90 3
( min 1 ) 1 ( 7) 1
P ten ste zeven P geen .
12.
a. Zie de tabel hiernaast
b. De kans op “de som is 7” is 6
36. De kans op “de som
is 6” is 5 36.
c. De kans op “de som is 2” is 1
36 en ook de kans op
“de som is 12” is 1
36.
d. De kans “de som is kleiner dan 3”
e. P(G) is de kans op “de som is minstens 3” is 35 36 .
Je kan P(G) ook uit rekenen door 1 – P(“de som is
kleiner dan 3”) 1 35
36 36
1
.
f. Ze zijn niet complementair omdat bij bijvoorbeeld
“dubbel twee” zowel in H als K voorkomt. 13.
a. Bij het gooien met drie dobbelstenen komt de combinatie 1, 2, 6 zes keer voor:
((1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2) en (6,2,1)) en de combinatie 1, 4, 4 drie keer: ((1,4,4), (4,1,4) en (4,4,1)) en de combinatie 3, 3, 3 slechts één keer.
6 6 3 3 6 1 25 6 6 6 216 ( 9) P som en 6 6 3 6 3 3 27 6 6 6 216 ( 10) P som 1 2 3 4 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
14.
a. Vanuit A gaan 350 auto’s naar B en 650 auto’s naar C.
Vanuit B gaan 0,44 350 154 auto’s naar D en 0,56 350 196 auto’s naar E.
Vanuit C gaan 0,20 650 130 auto’s naar E en 0,80 650 520 auto’s naar F.
Dus er gaan 154 auto’s naar D, 196 130 326 auto’s naar E en 520 auto’s naar
F. b. c. P E( ) 0,326 d. P ACE( ) 0,65 0,20 0,13 15. a. 10 10 100 takken. b.
c. RR komt 6 3 18 keer voor; RW komt
6 7 42 keer voor; WR komt 4 3 12
keer voor en WW komt 4 7 28 keer voor.
d. 42 100 ( ) P RW e. 12 100 ( ) P WR , nee dus. f. 18 100 ( ) P RR en 28 100 ( ) P WW g. 18 42 12 28 100 100 100 100 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P RR P RW P WR P WW . 16.
a. In vaas A zijn 6 van de 10 knikkers rood, dus 6 600
10 1000 ( ) P R . En 4 400 10 1000 ( ) P W . b. 180 rood want 3 180 10 600 c. RW: 420 WR: 120 WW: 280 d. 180 18 1000 100 ( ) P RR 420 42 1000 100 ( ) P RW 120 12 1000 100 ( ) P WR en 280 28 1000 100 ( ) P WW 17. a. zie 16a. b.
c. Dan zou P RW( ) 1,3 en dat kan natuurlijk niet.
Kansen zijn kleiner dan 1. d. P RW( ) 0,6 0,7 0,42 .
e. P WR( ) 0,4 0,3 0,12 en P WW( ) 0,4 0,7 0,28
18.
a. P(Sven wint een set) 1 0,8 0,2
b. c. P GG( ) 0,8 0,8 0,64 P GSG( ) 0,8 0,2 0,8 0,128 ( ) 0,8 0,2 0,2 0,032 P GSS d. P SGG( ) 0,2 0,8 0,8 0,128 ( ) 0,2 0,8 0,2 0,032 P SGS P SS( ) 0,2 0,2 0,04 D E F aantal 154 326 520 1000 % 15,4 32,6 52,0 100%
19.
a. P LL( ) 0,28 0,28 0,0784
b. P LR( ) 0,28 (1 0,28) 0,28 0,72 0,2016
c. P RL( ) 0,72 0,28 0,2016
d. P RR( ) 0,72 0,72 0,5184
e. Omdat er geen andere mogelijkheden zijn voor de twee klanten.
20. a. b. 1 5 4 (5 ) ( ) 0,00098 P keer A c. 1 20 2 (20 ) ( ) 0,00000095 P keer B d. 1 16 4 (16 ) (1 ) 0,01 P keer geen A 21. a. b./c. P dezelfde letter( )P AA BB CC of DD( , , ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,25 0,5 0,125 0,125 0,34375 P AA P BB P CC P DD 22. a. -b. P(2keer roos)P RRM( )P RMR( )P MRR( ) 3 3 3 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0,441 c. 7 3 7 10 10 10 ( ) 0,147 P RMR
d. P hoogstens keer roos( 2 )P(0,1of 2keer roos)
3 7 10 1 P(3keer roos) 1 ( ) 0,657 23. a. 2 27 64 (2 ) ( ) ( ) ( ) 3 0,25 0,75 P F P GFF P FGF P FFG
b. P meer dan fout( 1 ) 1 P(0of fout1 )
3 2 54
64
1 (0,25 3 0,25 0,75)
c. P hoogstens fout( 2 ) 1 P(0, 1of 2fout) 1 P(3fout)
3 37 64
1 0,75
d. Van 8 vragen zijn er 2 vragen fout. Dat is een combinatie van 2 uit 8: 8 28
2 routes. e. P FFGGGGGG( ) 0,75 0,25 2 6 1,37 10 4
f. P minstens fout( 2 )P(2, 3of 4fout) 1 P(0of fout1 )
4 3
1 (0,25 4 0,25 0,75) 0,9492
24. a. 15 15 85 85 100 100 100 100 ( ) 0,0163 P DDGG en 15 85 15 85 100 100 100 100 ( ) 0,0163 P DGDG b. GGDD, GDGD, GDDG, DGGD, DGDG, DDGG: 6 volgorden. c. 15 15 85 85 100 100 100 100 (2 2 ) 6 0,0975 P goede en defecte d. 85 4 100 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 0,4780
P tenminste defect P geen defecte
25.
a. P minstens( 4) 1 P(3) 1 (0,20) 3 0,992
b. P hoogstens( 7) 1 P meer dan( 7) 1 ( (8) P P(9))
2 3 1 (3 0,30 0,50 0,30 ) 0,838 26. a. 20 8 10 28 28 49 ( ) 0,2041 Willem P RW en 20 8 40 28 27 189 ( ) 0,2116 Sieb P RW 8 20 10 28 28 49 ( ) 0,2041 Willem P WR en 8 20 40 28 27 189 ( ) 0,2116 Sieb P WR b. 8 8 4 28 28 49 ( ) 0,0816 Willem P WW en 8 7 2 28 27 27 ( ) 0,0741 Sieb P WW
c. Omdat je niet kunt zien welke knikker je eerst pakt en welke daarna.
d. Het tegelijk trekken van 2 knikkers komt op hetzelfde neer als een trekking zonder
teruglegging. 27. a. 5 4 4 5 40 9 9 9 9 81 ( ) ( ) ( ) 0,4938 P witte en rode P WR P RW b. 4 4 16 9 9 81 ( ) 0,1975 P RR 28. a. 8 7 6 6 5 4 19 14 13 12 14 13 12 91 ( ) 0,2088 P BBB of GGG b. 6 5 8 6 8 5 8 6 5 14 13 12 14 13 12 14 13 12 (2 1 ) ( ) ( ) ( ) 0,3297 P G en B P GGB P GBG P BGG 29.
a. Een vaas met drie groene knikkers (schot treft de roos) en twee rode knikkers. Trek
drie keer een knikker uit deze vaas met terugleggen.
b. 2 2 3 12 5 5 5 125 ( ) 0,096 P MRR c. Op drie manieren: MRR, RMR en RRM. d. 18 125 ( ) ( ) ( ) P MRR P RMR P RRM e. 18 54 125 125 (1 ) 3 0,432 P misser 30.
a. Een vaas met 4 rode knikkers (leeg) en 8 witte knikkers (vol). Trekking zonder
terugleggen.
b. De laatste batterij die Karin trekt moet de vierde volle zijn. Er zijn 10 verschillende
volgorden: VVVLLV, VVLVLV, VLVVLV, LVVVLV, VVLLVV, VLVLVV, LVVLVV, VLLVVV, LVLVVV en LLVVVV. Dus 4 3 8 7 6 5 10 12 11 10 9 8 7 33 (6 ) 10 0,3030 P testen
31. a. PPG, PGP en GPP. b. 3 2 3 3 6 5 4 20 ( ) ( ) ( ) P PPG P PGP P GPP c. 3 9 20 20 (2 ) 3 P keer prijs 32.
a. Omdat de steekproef van 5 blikken klein is
ten opzichte van het totaal aantal blikken van 20000. De kans op kwaliteit A blijft vrijwel 90%.
b. P niet van kwaliteit A(1 ) 5 0,90 0,10 0,3281 4
c. P(2niet van kwaliteit A) 10 0,90 0,10 3 2 0,0729
33. a. 1 2 ( ) P even b. 1 3 (6)
P (Eén van de even getallen {2, 4, 6} is een 6)
34.
a. 26
79
( sin , ) 0,3291
P wel aasappel toch verkouden
b. 32
79
( sin , ) 0,4507
P geen aasappel toch verkouden
c. 26 26
26 32 58
( , sin ) 0,4483
P verkouden toch aasappeleter
35. a. 1 3 ( | ) P drievoud even b. A: 3 4 5 6 B: 1 2 3 1 3 ( | ) P A B en 1 4 ( | ) P B A 36. a. 2 5 ( | 6)
P beide even som is b. 2
9
( 6 | )
P som is beide even
37. a. 4 1 52 13 ( ) 0,0769 P A 1 13 ( | ) 0,0769 P A B
Bij gebeurtenis A gaat het om 4 azen van de 52 kaarten en bij gebeurtenis AB om 1
kaart (A) van de 13 schoppen.
b. 13 1 52 4 ( ) 0,25 P B 1 4 ( | ) 0,25 P B A c. 1 52 ( ) 0,0192 P C 1 4 ( | ) 0,25 P C A
Bij gebeurtenis C gaat het om 1 van de 4 azen en bij gebeurtenis CA om 1 kaart (A) van de 4 azen.
38.
a. Het werpen van de eerste dobbelsteen heeft geen invloed op het werpen van de
tweede dobbelsteen. A: {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} B: {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} C: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 1 6 ( | ) P A B en 6 1 36 6 ( ) P A 1 6 ( | ) P B A en 6 1 36 6 ( ) P B b. 1 6 ( | ) ( ) P A C P A en 1 6 ( | ) ( ) P C A P C
39.
a. 11
77
( | ) 0,1429
P onvoldoende op CSE voldoende op SE
b. 5
71
( | ) 0,0704
P onvoldoende op SE voldoende op CSE
c. Die bekende van mij is goed in een bepaald schoolvak.
d. P onvoldoende op SE( ) 0,23 en P onvoldoende op CSE( ) 0,29 terwijl
18 29
( | ) 0,6207
P onvoldoende op SE onvoldoende op CSE en
18 23
( | ) 0,7826
P onvoldoende op CSE onvoldoende op SE . Dus de
gebeurtenissen onvoldoende op SO-cijfer en onvoldoende examencijfer zijn afhankelijk. 40. a. 372 710 ( ) 0,52 P met vlooien b. 286 361 ( | ) 0,79
P vlooien geen middel
c. 263
338
( | ) 0,778 77,8%
P wel middel zonder vlooien
d. 263
349
( | ) 0,754 75,4%
P geen vlooien wel middel
e. 86
349
( | ) 0,246 24,6%
P met vlooien wel middel
41.
a. Je moet dan 0,00 raken. Deze kans is 1
5 b. c. 4 25 (€ 2,50) P d. 15 3 25 5 ( €1,50 )
P meer dan gegooid
42.
a. P gezond ziek( | ) 15%
b. Van de 62000 mensen zijn er 62000
1000 8 496 ziek en 61504 gezond.
0,85 496 0,05 61504 3497 mensen krijgen te horen dat ze ziek zijn.
c. 0,05 61504 0,15 496
62000
( ) 0,0508
P verkeerde uitslag
d. P verkeerde uitslag( ) 10% . De test is onbetrouwbaarder. 43.
a. 20 groepen (testen) en 3 15 45 recruten (testen): 65 testen.
b. 1000 groepen en 400 10 4000 afzonderlijk: 5000 bloedmonsters.
c. P geen syfillis( ) 0,95 8 0,6634 en
8
( ) 1 ( ) 1 0,95 0,3366
P wel syfillis P geen syfillis
d. Er zijn 10000
8 1250 groepen. Daarvan moeten er 0,3366 1250 421 elke recruut
apart getest worden. In totaal zo'n 1250 421 8 4618 testen.
e. Voer in: y1 10000 10000 (1 0,95 )x x 10000 10000 (1 0,95 )x
x x x
Deze functie is minimaal bij x5.
0,00 0,50 1,00 1,50 2,50 0,00 0,00 0,50 1,00 1,50 2,50 0,50 0,50 1,00 1,50 2,00 3,00 1,00 1,00 1,50 2,00 2,50 3,50 1,50 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 2,50 2,50 3,00 3,50 4,00 5,00
T-1.
a. 6 2 4 112 3
60 10
( )
P Jimmy moet wachten .
b. 12
45
( )
P Esmee moet wachten .
c. Theoretische kans. d. experimentele kans. T-2. a. 1 1 1 6 6 36 (33) P . b. 1 1 1 6 6 36 (4 5 )W R P . c. 1 1 1 6 6 18 ( 11) (5 6W R 6 5 ) 2W R P som is P of .
d. de som van de ogen is meer dan 11, ofwel de som is 12.
e. 1 35 36 36 ( ) 1 ( ) 1 P A P niet A . T-3. a. b. P SZ( ) 0,40 0,80 0,32 . c. P SSS( ) 0,40 0,20 0,05 0,004 T-4. a. P OO( ) 0,45 0,45 0,2025 .
b. De kans dat iemand bloedgroep O heeft is groter dan dat die bloedgroep A heeft.
De kans dat twee mensen bloedgroep O hebben is dus ook groter dan dat ze beiden bloedgroep A hebben.
c. P verschillende bloedgroep( ) 1 P dezelfde bloedgroep( )
2 2 2 2 1 (0,43 0,09 0,03 0,45 ) 1 0,3964 0,6036 T-5. a. 6 5 4 120 1 10 9 8 720 6 ( ) P WWW . b. 1 4 3 2 144 1 6 10 9 8 720 5 ( ) ( )
P drie van dezelfde kleur P WWW of ZZZ .
c. 6 5 4 360 1 10 9 8 720 2 ( ) ( , ) 3 P twee W P WWZ WZW of ZWW . d. 1 5 6 6 (min ) 1 ( ) 1
P stens een Z P geen Z
e. 1 5
6 6
( ) 1 ( ) 1
P hoogstens twee W P drie W
T-6. a. 16 52 ( ) P A . b. 4 1 16 4 ( | ) P B A . c. 1 4 ( ) ( | ) P B P B A en 4 13 ( | ) ( )
P A B P A dus de gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk van elkaar.
T-7. a. b. 1 1600 16000 0,90 9 c. d. 1599 1608 ( | ) 0,9944 P NZ T T-8.
a. Wanneer de steekproef (4 knikkers) groot is ten
opzichte van de populatie (het aantal knikkers in de vaas). Dus wanneer er bijvoorbeeld 10
knikkers in de vaas zitten.
b. Dan neem je bijvoorbeeld een vaas met 10.000
knikkers.
c. Als de eerste knikker weer terug wordt gelegd in de vaas.
T+ T
-WZ 9 1 10
NW 1599 14392 15990
