Stageverslag

Stageverslag

Citation for published version (APA):

Rooijackers, H. F. L. (1983). Stageverslag. (DCT rapporten; Vol. 1983.007). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

WE

83-07 S T A G E V E R S L A G V e r s l a g van d e p r o j e c t s t a g e v a n H.F.L. R o o y a c k e r s D e s t a g e w e r d v e r r i c h t b i j d e c a p . g r o e p A n a t o m i e & E m b r y o l o g i e v a n h e t B i o m e d i s c h C e n t r u m van d e R i j k s u n i v e r s i t e i t L i m b u r g t e M a a s t r i c h t T e c h n i s c h e i-iogeschool E i n d h o v e n A f d e l i n g d e r W e r k t u i g b o u w k u n d e V a k g r o e p F u n d a m e n t e l e W e r k t u i g b o u w k u n d e

InhoudsoDclave

Samenvatting Literatuur

O . Inleiding

1 . Probleemstelling

2 . Omschrijving van d e opdracht

3 . Gepaling van d e ruimtelijke ligging

v a n

punten uit stereometrische fotoopnamen

4 . De bepaling van een lijn uit foto's van 2 punten op d i e lijn 5. Bepaling v a n d e krachten i n het ellebooggewricht

Eigenschappen van de krachtvectoren De opbouw

v a n

het restmoment

materie met 4 referentiekogeltjes

6. Bepaling

v a n

de ligging van het zwaartepunt van een stuk

Bepaling van het zwaartepunt

Zwaartepuntsbepaling

v a n

het kunstmatige schoudergewricht

7 . Eigengewicht van d e krachtopnemeris)

8. Het d o o r middel van een naald aangeven van d e reaktielijnen op het bot

9. Glabale opbouw van het programma 1 0 . Metingen

1 1 . Conclusies

* * *

Moeten nog uitgevoerd worden

* * *

* * *

Hangen hoofdzakelijk

v a n

d e metingen a f

* * *

Appendices

' r . Anatomische begrippen

2. Het voorstellen van een moment als vector

3 . De bepaling van de gemiddelden en d e standaarddeviaties v a n

4 . Bepaling

v a n

de rotatiematrix uit hoekverdraaiingen om d e

5 . Bepaling van d e transf~rmatiegraotheden uit d e coordinaten v a n

5. Opzet

v a n

de metingen

7 . Controle v a n het positioneren van d e boor

meetpunten en afstanden tussen meetpunten

coordinaatassen

referentiepunten in 2 standen

Bijlagen

1 . Sebruikershandleiding bij het elleboogprogramma

Samenvattinq

Voor u ligt het verslag van d e projectstage, verricht door K . F . I . Rooyackers, b i j d e capaciteitsgroep Anatomie en Embryologie v a n de

faculteit der Geneeskunde aan de Rijksuniuwersiteit Limburg, t e

Maastricht, in d e periode van 2 1 oktober 1982 tot 31 januari 1983. Deze stage maakt d e e l uit van mijn studie tot werktuigbouwkundig ingenieur aan d e Technische Hogeschool Eindhoven.

Dit verslag is naar mijn mening zonder specifieke biologische kennis goed leesbaar, enig kennis van d e vector- en

tensorrekening, een zeer symbolische en compacte SchrijSwijze, Is voor een goed begrip wel vereist. Het d o e l van d e stage is het ontwikkelen

v a n

een computerprogramma w a t , aan d e hand van

metingen aan een vereenvoudigd model wan d e menselijke elleboog, in staat is d e krachten welke bij belasting i n d i e elleboog

optreden t e berekenen. In dit verslag wordt dit probleem

gesplitst in min of meer afgebakende deelproblemen welke

afzondelijk behandeld worden. De bedoeling hiervan is dat bij uitbreiding e n f o f aanpassing van het hier behandelde probleem geen of maar weinig nieuwe afleidingen gemaakt hoeven worden.

Deze stage was een vervolg op de stage van F . Y . Langelaan i n het voorjaar van 1 9 8 1 . Dit verslag moet dan ook gezien worden als een vervolg op het verslag van F . Y . Langelaan.

Er

is geen aandacht

aan andere methoden

van

berekening voor bepaalde deelproblemen

geschonken omdat:

-

hieraan in het verslag van F . Y . Langelaan ruime aandacht besteed wordt

-

d e methode van meten a l vastligt, d e daarvoor benodigde

-

geeist werd d e meetmethode zoveel mogelijk d e oude t e laten

Wel worden alle uitbreidingen van d e methode besproken evenals die

zaken d i e naar mijn mening t e onvolledig in het verslag van F . Y . Langelaan behandeld worden.

Na een inleiding wordt in hoofdstuk 1 het probleem geschetst en

het verloop

v a n

het voorgaande onderzoek.

In

hoofdstuk 2 wordt d e stageopdracht omschreven.

Omdat d e gehele meettechniek gebaseerd is o p het bepalen van d e ruimtelijke coordinaten

v a n

referentiepunten uit Stereometrische projecties var, d i e punten d.m.v. rontgenstraling, wordt in

hoofdstuk 3 behandeld hoe uitgaande van d e projecties d e ruimtelijke coordinaten van d e refentiepunten bepaald worden. Voor een inventarisatie en vergelijking van andere mogelijkheden voor deze bepaling wordt verwezen naar het verslag van F . Y . Langelaan.

In hoofdstuk 4 komt het bepalen van lijnen d o o r 2 refentiepunten aan d e orde, evenals de fouten die hierin op kunnen treden.

- 2 -

I n

hoofdstuk 5 wordt nader ingegaan o p d e bepaling van d e krachten

welke in het ellebooggewricht optreden. Tevens wordt geprobeerd het samenspel van krachten welke op d e onder- of bovenarm werken duidelijk t e maken voor d e niet technisch onderlegde lezer. Bij

d e bepaling

v a n

d e krachten worden meetfouten gemaakt. Dit geeft

aanleiding tot een restmoment $0 1 in d e berekening van het evenwicht voor d e arm. De opbouw van dit restmoment wordt in dit hoofdstuk ook behandeld.

In hoofdstuk 6 wordt op d e methode v a n bepaling van het

zwaartepunt

v a n

een stuk materie met 4 referentiekogeltjes nader

ingegaan. In hoofdstuk 7 wordt aangegeven hoe het eigengewicht

van d e krachtopnemer, in d e spierkabel, in d e bepaling

v a n

de krachten, i n het ellebooggewricht, meegenomen kan worden. Hoofdstuk Ei behandelt d e gebruikte methode D m d e plaats van d e resultante op het kontaktvlak in het ellebooggewricht aan t e geven. Hoofdstuk 9 schetst d e globale opbouw van het programma. De hoofdstukken 1 0 en 2 1 zijn niet aanwezig omdat er nog geen metingen verricht zijn. Uit tests v a n d e programma's b i j het afstellen van de opstellingen i s w e l gebleken dat d e

rekennauwkeurigheid goed is.

Die lezer die niet op d e hoogte is van d e (weinigel gebruikte anatomische begrippen wordt verwezen naar appendix 1 . Voor meer informatie over d e opzet van d e metingen wordt u verwezen naar appendix 6. Deze appendix is vooral van belang voor diegenen die het stageverslag van F . Y . Langelaan niet gelezen hebben. In de andere appendices worden voornamelijk zaken behandeld d i e voor een latere aanpassing of uitbreiding van d e programma's van belang zijn.

Voor d e gebruikers van d e programma's is in bijlage 1 een

gebruikershandlelding opgenomen. Het programma ELBOOG is het

eigenlijke meetprogramma. De andere programma's

zijn

alleen van

belang bij het afstellen van d e opstellingen.

E&n van de eisen was een duidelijke communicatie tussen d e programma's en d e gebruiker. Voor d e mens i s het dar! het

eenvoudigst als d e commando's d.m.v. teksten gegeven worden. Een c o m p u t e r p r o g ~ a m m a werkt echter handiger met getallen. B i j de eerste programma's I E L B O O G ) is daarom gekozen voor d e volgende vorm van communicatie:

het programma geeft een serie getallen met achter elk getal een verklaring van het bijbehorende commando, d e gebruiker kiest een van d e beschikbare commando's en gee-ft het

bijbehorende getal.

I n een later stadium van d e stage is het subroutinepakket COIN van

dhr. J . Banens, medewerker

v a n

de THE, op d e MINC-computer

geimplementeerd. Dit pakket, een u m m a n d o u t e r p r e t e r , vormt een interface tussen het computerprogramma en d e gebruiker. De

gebruiker werkt nu alleen met teksten, het computerprogramma alleen met getallen en COIN zorgt automatisch voor het omzetten

v a n

getallen in teksten en andersom. Voor d e communicatie in d e

andere programma's wordt gebruik gemaakt van COIN. De ombouw van

het programma ELBOOG zou t e veel tijd vergen, daarom is hiervan afgezien. Voor geinterreseerden

i n

d e mogelijkheden van COIN is in bijlage 2 d e aan het gebruik o p d e MINE aangepaste

programmeurshandleiding van COIN toegevoegd.

Deze stage werd mogelijk gemaakt door een samenwerking van: Prof. Dr. 3. Drukker, voorzitter van d e capaciteitsgroep Anatomie en Embryologie van d e Rijksuniversiteit Limburg. P r o f . Dr. Ir. J.D. Janssen, hoogleraar van d e vakgroep Fundamentele ~ e r ~ ~ u i g ~ o u w k u n d e van d e Technische Hogeschool Eindhoven.

Ir. P . J . Corzilius, coordinator praktisch werken van d e

afdelingen werktuigbouwkunde, elektrotechniek en natuurkunde aan d e Technische Hogeschool Eindhov@n.

Waarvoor mijti hartelijke d a n k , evenals voor d e prettige

samenwerking met d e lederr van d e capaciteitsgraep, in het blzorider

dhr. H. van Mameren, arts en wetenschappelijk hoofdmedewerker,

voor zijn enthQUSiaSte begeleiding.

Tevens ben ik een woord van dank verschuldigd aan:

Dr.

Ir.

A.A.H.J. Sauren, wetenschappelijk hoofdmedewerker van

d e vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde aan d e T H E , voor

zijn begeleiding van het technische deel van d e stage. Dhr. H.

J a s ,

medewerker van d e dienst Informatieverwerking van d e R L , v ~ o r zijn h u l p b i j het kennis maken m e t het programmeren op d e MINC en het oplossen van d e specifieke problemen daarbij.

Ir.

J.P.A. Banens, medewerker van h e t Rekencentrum en d e vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde aan d e T H E , voor het beschikbaar stôllen van zijn commandointerpreter aan d e R L @rr zijn raadgevingen bij d e implementatie o p d e MINC.

A l deze personen en ook z i j die ik misschien nog vergeten b e n , dank ik nogmaals hartelijk voor hun hulp welke deze stage voor m i j tot een onvergetelijke ervaring gemaakt heeft.

Literatuur

1 . Langelaan F.Y., 'Stageverslag', voorjaar 2981 2 . Mameren H .

v a n ,

Projectaanvraag 'Sport en gezondheid', Deelproject 'Het bewegingsapparaat',

Projectelement 'Biomechanische functies van spieren t.o.v. het gewricht waarover z i j hun functie uitoefenen, i.h.b. bovenasmspieren en onderarmspieren t.o.v. het ellebooggewricht'

3. Spoor C . W . and Veldpaus F.E.,

'Rigid Body Motion Calculated From Spatial Coordinates Of Markers',

Journal o f Biomechanics 1 9 8 0 , vol. 13, pag. 3 9 1 - 3 9 3

4 . Veldpaus F . E . ,

'Vectoren, enige onderwerpen uit vectorrekening', Vakgroep Tecnische Mechanica, T H E , Eindhoven 1 9 8 2

5 . Veldpaus F.E.,

'Tensoren, enige onderwerpen uit tensorrekening', Vakgroep i e c r i i s c h r H e c h â n i c a , THE, Einc!kh=?ren 1 9 5 2

S. Banens J . ,

' C O i N - g e b r u i k e r s h a n d l e i d i n g ' ,

O : Inleidinq

Dit is het verslag van d e projectstage, verricht door H . F . L .

Rooyackers, bij d e Capaciteisgroep Anatomie en Embryologie van d e Faculteit der Geneeskunde

a a n

d e Rijksuniversiteit Limburg, t e Maastricht, in d e periode van 1 1 oktober 1 9 8 2 tot 3 1 januari 1 9 8 3 .

Deze stage maakt deel uit van zijn studie tot werktuigbouwkundig ingenieur aan de Technische Hogeschool Eindhoven.

De capaciteitsgroep Anatomie en Embryologie kent twee hoofdtaken: 1 . het verzorgen van het onderwijs in d e Anatomie

en

Embryologie

ten behoeve van d e studenten aan d e Medische Faculteit van d e rijksuniversiteit Limburg

2 . het verrichten van onderzoek i n d e Anatomie eo Embryologie De capaciteitsgroep bestaat momenteel uit een achttiental leden onder voorzitterschap

v a n

Prof. Dr. J . Drukker.

Een van d e onderzoeksprojecten i n de Anatomie is het hoofdproject 'Sport en Gezondheid' met als deelproject 'Het Bewegingsapparaat'. Een projectelement van dit deelproject luidt:

' D e biomechanische functies van spieren ten opzichte van het gewricht waarover z i j hun functie uitoefenen, i n het bizonder bovenarmspieren en anderarmspieren ten opzichte

v a n

het

ellebooggewricht.'

Drs. H .

v a n

Hameren, arts en wetenschappelijk h o o f ~ m e d e w e r k e r van d e capaciteitsgr=ep, heelt d e leiding over d i t projectelement.

I n

het begin w a s het onderzoek naar de Siomechznicche functies van de onder- en bovenarmspieren ten opzichte van het ellebooggewricht, door middel van een modelstudie, 2-dimensionaal

v a n

opzet. Dit bleek echter een t e sterke vereenvoudiging van d e werkelijkheid. Daarom werd in de daarap volgende fase (begin 198:) voor een ruimtelijk model gekozen.

In verband met de complexiteit en de omvangrijkheid

v a n

d e meetresultaten van dit ruimtelijk model werd d e stagiair F . Y .

Langelaan aangetrokken am een analyse van het model te maken

waaruit een computerprogramma ontwikkeld werd om d e meetresultaten t e verwerken. Uit metingen aan dit model rees het vermoeden d a t ook dit d e werkelijkheid onvoldoende benaderde, onder andere door het verwaarlozen van d e eigengewichten van d e verschillende delen van het model. Daarom werd er een nieuw model gekozen waarin enkele van d e

in

het oude model verwaarloosde grootheden w e l meegenomen werden. Hiermee werd d e complexiteit van het model zodanig opgevoerd dat er opnieuw behoefte ontstond a a n d e

$ e c h n i s ~ h - w e t e n s c n a p p e i i j k e hulp vati eé?n stagiair ~ r n het bestzande computerprogramma aan d e nieuwe situatie aan te passen.

D i t gebeurde onder l e i d i n g van P r o f . Dr. 3 . Drukker en werd

b e g e l e i d d o o r Drs. H. van Nameren. ûr. i r . A . A . H . J . Saureri van d e

Technische Hogeschaol Eindhoven was ‘ n i e r b i j betrokken door h e t geven van h i n t s en k r i t i s c h e opmerkingen.

1: P r o b l e e m s t e l l i n a . In e e n m o d e l s t u d i e w o r d e n e n i g e b i o m e c h a n i s c h e f u n c t i e s van s p i e r e n g e a n a l i s e e r d t e n o p z i c h t e v a n d e g e w r i c h t e n i n d e e l l e b o o g w a a r o v e r zij h u n f u n c t i e u i t o e f e n e n . H i e r b i j z i j n v a n b e l a n g d e g r o o t t e v a n d e k r a c h t i n d e s p i e r e n z i j n b i j d r a g e t o t d e s t a b i l i t e i t v a n h e t g e w r i c h t . De r e d e n e n v o o r d i t o n d e r z o e k z i j n d e volgende:

-

w a t k a n d e o o r z a a k zijn van b e p a a l d e k l a c h t e n .

-

h e t o p z e t t e n v a n b e t e r g e f u n d e e r d e t h e r a p i e e n .

-

h e t u i t v o e r e n v a n e e n g e r i c h t e d i a g n o s e .

-

het o n d e r k e n n e n v a n d e g e v o l g e n

-

v o o r d e k r a c h t d o o r l e i d i n g

-

v a n

b e p a a l d e c h i r u r g i s c h e i n g r e p e n z o a l s bv. het' v e r w i j d e r e n van d e r a d i u s k o p , k e t d o o r s n i j d e n v a n b i n d w e e f s e l - s t r u c t u r e n w a t w e l b i j e e n z o g e n a a m d e ' t e n n i s - e l l e b o o g ' g e d a a n w o r d t , o f het v e r v a n g e n v a n ( h e t t o t a l e ) e l l e b o o g g e w r i c h t , b e s t a a n d e uit e e n b o l - en e e n ' l i j n - ' s c h a r n i e r , door e e n e c h t l i j n s c h a r n i e r . B i j d e R i j k s u n i v e r s i t e i t L i m b u r g t e M a a s t r i c h t i s m e t n a m e d h r . H. v a n M a m e r e n v a n d e C a p a c i t e i t s g r o e p A n a t o m i e e n E m b r y o l o g i e h i e r m e e bezig. M e t b e h u l p v a n e e n v e r e e n v o u d i g d m o d e l p r o b e e r t h i j d.m.v. m e t i n g e n e e n g l o b a a l i n z i c h t i n d e k r a c h t d o o r l e i d i n g en h e t b e l a n g v a n d e v e r s c h i l l e n d e k o n t a k t - o p p e r v l a k k e n i n het m e n s e l i j k e e l l e b o o g g e w r i c h t t e v e r k r i j g e n , i n e e r s t e i n s t a n t i e a l l e e n b i j e e n b u i g b e w e g i n g in het e l l e b o o g g e w r i c h t . D o o r h e r h a l e n v a n d e m e t i n g e n na v e r w i j d e r e n van a l l e b i n d w e e f s e l s r o n d h e t e l l e b o o g g e w r i c h t , w o r d t i n z i c h t i n h e t b e l a n g v a n d e z e w e e f s a l s v o o r d e s t a h i l f t e i t van het g e w r i c h t v e r k r e g e n . T e v e n s w o r d e n d e m e t i n g e n h e r h a a l d na v e r w i j d e r i n g v a n d e l e n v a n d e k o n t a k t v l a k k e n . B o o r d e c o m p l e x i t e i t v a n e e n i n t a c t e l l e b o o g g e w r i c h t

-

g e e n d u i d e l i j k t e o n d e r s c h e i d e n s t r u c t u r e n

-

i s a n a l y t i s c h o n d e r z o e k m.b.v. r e k e n m o d e l l e n v o o r a l s n o g n i e t mogelijk. A l s m o d e l v o o r h e t o n d e r h a v i g e o n d e r z o e k d i e n t e e n g e p r e p a r e e r d e m e n s e l i j k e a r m (d.w.z. a l het s p i e r w e e f s e l i s v e r w i j d e r d e n a l l e e n h e t k a p s e l e n d e ' v e r s t e r k e n d e ' b i n d w e e f s e l s r o n d d e e l l e b o o g z i j n i n t a c t gelaten). V o o r d e e x p e r i m e n t e n w o r d t d e zo geprepareerde a r m in d e m e e t o p s t e l l i n g o p g e h a n g e n , h i e r b i j w o r d e n e e n o f m e e r s p i e r e n g e r e p r e s e n t e e r d d o o r e e n t o u w t j e . Dit t o u w t j e w o r d t b e v e s t i g d a a n d e a a n h e c h t i n g e n van d e p e z e n v a n d e t e r e p r e s e n t e r e n s p i e r , d e z e u i t e i n d e n r e s t e r e n na w e g p r e p a r e r e n v a n het s p i e r w e e f s e l z e l f . B e l a s t i n g v a n het g e h e e l v i n d t p l a a t s door e e n g e w i c h t w a t t e r h o o g t e v a n d e pols a a n d e a r m b e v e s t i g d w o r d t . O e l e n g t e van het t o u w t j e b e p a a l t d e h o e k t u s s e n o n d e r - en

- 1 . 2 - b e l a s t i n g l i j n e n w o r d e n door referentiekogeltjes op e l k d e e l e e n d u i d i g v a s t g e l e g d . onderarm-'

Y

f i g u u r 1 . 1 S c h e m a t i s c h e w e e r g a v e v a n d e o p s t e l l i n g . Bij m e t i n g e n m e t @@n s p i e r w o r d e n a l l e k r a c h t e n in d e k o n t a k t v l a k k e n g e c o n c e n t r e e r d i n & e n r e s u l t a n t e g e d a c h t . D e z e v e r e e n v o u d i g i n g m a a k t het m o g e l i j k d e P i g g i n g v a n d i e r e s u l t a n t e t e n o p z i c h t e v a n d e k o n t a k t v l a k k e n b i j e l k e m e t i n g t e b e r e k e n e n en a a n t e g e v e n d o o r m i d d e l v a n e e n n a a l d i n het k o n t a k t v l a k . In d e eerste, f a s e v a n het o n d e r z o e k i s m e n u i t g e g a a n v a n e e n 2 - d i m e n s i o n a l e b e n a d e r i n g w a a r b i j d e b o v e n a r m ( h u m e r u s 1 n i e t k o n v e r p l a a t s e n . E r w e r d g e w e r k t met de p r o j e c t i e v a n h e t v l z k door d e s p i e r - e n d e l a s t l i j n o p e e n v l a k e v e n w i j d i g a a n d a t vlak. De d a a r b i j o n t w i k k e l d e m e e t t e c h n i e k m a a k t e het m o g e l i j k o m i n het e l l e b o o g g e w r i c h t cie l i g g i n g v a n d e r e s u l t a n t e t e n o p z i c h t e v a n d e g e w r i c h t s v l a k k e n a a n te geven. Z i e f i g u u r 1.2. U i t m e t i n g e n a a n d e z e o p s t e l l i n g m e t e e n o n d e r a r m s p i e r ( m u s c u l u s b r a c h i o r a d i a l i s ) bleek d a t d e r e s u l t a n t e a a n g r i j p t op de k o n t a k t v l a k k e n v a n d e b o v e n a r m e n h e t s p a a k b e e n ( r a d i u s ) , d e z e b e i d e b o t t e n m a k e n kontakt via e e n ' k o g e l ' - g e w r i c h t .

-1.3-

ij-as

f i g u u r i - 2 2 - d i m e n s i o n a l e m e e t o p s t e l l i n g

d

I

-J-

'G

x-,

as

t

, U i t m e t i n g e n m e t e e n b o v e n a r m s p i e r ( m u s c u l u s b i c e p s ) b l e e k d a t d e d a a r b i j o p t r e d e n d e r e s u l t a n t e i n het e l l e b o o g g e w r i c h t a a n g r i j p t v i a h e t k o n t a k t v l a k t u s s e n d e b o v e n a r m e n d e e l l e p i j p ( u l n a ] , d e z e k o n t a k t v l a k k e n v o r m e n e e n ' l i j n ' - s c h a r n i e r . T e v e n s b l e e k u i t d e z e m e t i n g e n d a t d e o n d e r a r m n i e t in e e n v l a k b e w e e g t , z o d a t b i j e l k e m e t i n g h e t v l a k d o o r d e l a s t - e n d e s p i e r l i j n e v e n w i j d i g a a n h e t p r o j e c t i e v l a k o p g e s t e l d m o e s t w o r d e n . i n g e l u i d t w a a r b i j m e n u i t g i n g van e e n 3 - d i m e n s i o n a l e b e n a d e r i n g . O o k n u k o n d e b o v e n a r m z i c h n i e t v e r p l a a t s e n . De al o n t w i k k e l d e m e e t t e c h n i e k i s d a a r v o o r u i t g e b r e i d t e n a a n g e p a s t z o d a t d e p l a a t s van a a n g r i j p i n g v a n d e r e s u l t a n t e s!, h e t k o n t a k t o p p e r v l a k a a n g e g e v e n kon w o r d e n . Z i e s t a g e v e r s l a g v a n F . Y . L a n g e l a a n . D a a r m e e w e r d d e t w e e d e f a s e

- 1 - 4 -

f i g u u r 1 . 3 3 - d i m e n s i o n a l e m e e t o p s t e l l i n g ( F . Y . L a n g e l a a n )

- 1 . 5 -

Uit metingen aan deze opstelling bleek weer dat d e plaats van aangrijpen van d e resultante i n het ellebooggewricht afhankelijk is van d i e spier waarmee d e meting verricht wordt. O m d i t nog nadrukkelijker t e onderzoeken werd b i j metingen met

onderarmspieren een deel ( d e haak) van het lijnscharnier aan d e ellepijp (ulna) verwijderd, dit had geen invloed o p d e stand van d e arm

in

d e ruimte. B i j metingen aan deze arm met

bovenarmspieren bleek een stabiele stand van d e arm niet mogelijk. Bij metingen aan andere armen met bovenarmspieren werd het gehele kontaktoppervlak van het spaakbeen verwijderd, ook nu bleek dit de stand van d e arm i n d e ruimte niet t e beinvloeden. Uit metingen aan zo'n arm met onderarmspieren bleek weer dat een stabiele stand

v a n

d e

arm

niet mogelijk was. Veranderingen in d e plaats van

aangrijping van d e resultante bij deze metingeg ten opzichte wan metingen, aan dezelfde a r m , met intakte gewrichtsdelen bleken binnen d e verwachtte rekennauwkeurigheid t e liggen.

Ook metingen met intakte gewrichtsbanden en metingen, aan dezelfde

arm,

met doorgesneden gewrichtsbanden rond het ellebooggewricht

leverden geen noemenswaardige verschillen. Dit leidde tot d e

volgende hypothese:

'in d e OnderZQChte gevallen leveren d e gewrichtsbanden geen

bijdrage tot d e stabiliteit

van

en d e krachtdoorleiding door het ellebooggewricht'.

Uit verder onderzoek met deze opstelling rees het vermoeden dat het vasthouden van d e bovenarm van invloed was o p d e

meetresultaten,

in

het bijzonder d e beweging rond d e lengteas van

de bovenarm. Dit resulteerde in een derde fase w a a r b i j tevens een wat natuurlijkere belastingssituatie mogelijk gemaakt werd. De komplete arm wordt daarbij vrij draaiend i n het schoudergewricht gedacht, zodat d e momenten op het geheel nul worden.

Deze situatie komt dan overeen met een mens d i e een last met &Qn hand tilt en d e zwaartelijn van d i e last ongeveer door het

schoudergewricht van de heffende arm laat gaan, zodat er alleen kracht uitgeoefend hoeft t e worden zonder dat er

van

buitenaf een moment o p d e bovenarm w e r k t , kleine spierkrachten rand het

schoudergewricht worden hierbij buiten beschouwing gelaten.

De overgang van d e 2 naar d e 3 fase is

in

feite een uitbreiding waarvoor aanpassing van d e a l bestaande computerprogramma's (zie

stageverslag F . Y . Langelaan) noodzakelijk is. Deze aanpassing wordt in dit verslag beschreven.

2: ûmschriivina van de oisdracht.

Het doel van d e stage was te komen tot een computerprogramma waarmee d e meetresultaten, welke uit metingen aan eer!

ellebooggewricht in de nieuwe opstelling verkregen worden,

verwerkt kunnen worden. In eerste instantie was het d e bedoeling om de programma's voor d e oude opstelling, welke goed voldeden,

u i t te breiden.

Na

bestudering

v a n

deze programma's bleek het

echter verstandiger om opnieuw te beginnen omdat d e oude

programma's t e specifiek van opzet waren o m z e op eenvoudige wijze aan te passen.

e Bij heî ontwikkelen van het programma moet van d e b i j d e 2 fase ontwikkelde meettechniek uitgegaan worden o m d a t alle apparatuur voor dat soort metingen a l aanwezig is. Uitbreidingen dienen dan ook zoveel mogelijk binnen deze techniek t e passen. Uit d e

meetgegevens moeî uiteindelijk de grootîe en d e richting van d e resultante van alle in het ellebooggewricht werkende krachten bepaald worden.

Daarvoor is het volgende plan opgesteld:

1 . Ontwikkel een z o algemeen mogelijk rekenmodel van d e arm in de opstelling, rekening houdend met o.a. het eigengewicht

v a n

d e verschillende botten en d e eventuele opnemers.

2 . Bepaal d e optredende belastingen in het ellebooggewricht.

3 . Ontwikkel een compuîerprogramma w a t d e onder 1 . en 2 . bepaalde berekeningen u i t kan voeren. Hierbij moet speciale aandacht aan d e gebruikersvriendelijkheid van het programma geschonken

worden zodat ook leken hiermee vlot kunnen werken.

4 . Ontwikkel een zo algemeen mogelijk Ivoor d i t soort problemen)

toepasbare subrautinebibliotheek, zodat latere aanpassing en

3: B e p a l i n s v a n d e r u i m t e l i i k e l i a s i n s van D u n t e n uit s t e r e o m e t r i s c h e f o t o o r m a m e n . f o t o cas set l i n k e r f o t o c a s s e t t e

%

P;

r e c h t e r r o n t genb yon 4 f i g u u r 3.1 i

+

P l i n k e r r o n t g e n b r o n .

+

+

P r e c h t e r r o n t g e n b r o n . i s d e p r o j e c t i e

v a n

P o p d e l i n k e r f o t o c a s s e t t e v a n u i t d e 1 i s d e p r o j e c t i e van P op d e r e c h t e r f o t o c a s s e t t e v a n u i t d e r

- 3 . 2 -

Gegeven: I- een vast orthonormaal assenstelsel, waarvan de z - a s

zuiver vertikaal staat.

-

d e plaatsen van d e rontgenbronnen in d e ruimte.

-

d e plaatsen van een bekend punt op d e fotocassettes ( d e 'foto-oorsprong' van d e cassette).

opgenomen met twee punten met gelijke afstand tot die lijn.

-

in d e cassettes is nog een exact verticale lijn

-

d e draaihoeken om resp. d e x , y en z - a s van het vaste assenstelsel.

Samen met d e 'oorsprong' o p d e cassette wordt hierdoor d e plaats

van d e rontgenfoto in de ruimte vastgelegd. De beginpositie is

het x-z-vlak. d e draairichting is positief gedefinieerd volgens een rechtse schroef vanuit d e oorsprong v a n het vaste assenstelsel langs een van d e positieve assen.

Gevraagd:

-

bepaal d.m.v. opmeten van d e projecties op d e foto's m.b.v. een digitizes d e ligging van h e t ruimtelijke punt.

Opmeten van d e projectie's op d e (linkerlfoto m.b.v. een digitizes.

assenstelsels, t e weterr het x-y-assenstelsel ten opzichte waarvan d e digitizer d e gemeten coordinaten opgeeft, en het

x

-y -assenstelsel wat d e posities van d e projecties _{o p} d e f o t o

vastlegt ten opzichte van de foto zelf.

Hiervoor wordt tijdeiijk overgegaan op enkele lokale

*

*

digitizertablo

vert

ikale

lijn

* figuur 3 . 2

- 3 . 3 -

Door aankruisen van punt I op d e digitizer wordt d e oorsprong

v a n

het assenstelsel, ten opzichte waarvan d e digitizer

zijn

coordinaten geeft, in d a t punt gelegd ( d e 'oorsprong' o p d e

fotocassette). D e digitizer meet

n u

tov. het x-y-assenstelsel, we

*

*

willen echter d e coordinaten tov. het

x

-y -assenstelsel meten. Daarom worden d e punten 2 en 3 opgemeten, waaruit het verband tussen het x-y- en het

x

- y -assenstelsel t e berekenen is. Deze

punten hebben exact gelijke afstanden tot de verticale lijn. Uit

* *

+

het verschil in coordinaten van punt 2 en 3 vindt men een punt S

*

wat opgevat kan worden als een punt op d e y - a s , zodat d e plaats

*

*

van het

x

-y -assenstelsel bekend i s .

1

*

2 2 + ys = J C ~ _s X s sin a =

y

Y S

*

x

= x cos OL

-

y sin OL

P

P P X Y S cos a =

-*

Y S

*

y p = x sin a -> y CGS a

P

P

- 3 . 4 -

R =

Qp deze wijze zijn de coordinaten t.o.v. het assenstelsel op d e foto van elk punt t e bepalen, dit kan gezien worden a l s het

'rechtleggen' van d e foto.

In d e volgende stap worden d e meetpunten in het x-z-vlak van het vaste assenstelsel gelegd. Hierbij moet men erop letten dat het coordinatenstelsel op d e rechterfoto 180° gedraaid i s , d e x-as van

r = 2 c 3 s 2 c l s 3 c l s 2 c 3 + s 3 c s 2 s 3 - S ? c3 c 2 s 3 s 2 s 3 + c l c 3 1 c c i 2 s c 2 1 2 - s

-

de foto wijst in de richting van stelsel.

d e negatieve x-as van het vaste

Y*

X*

Y

figuur 3 . 4

Y*

z x* en

+ o

+ r

Daarna moeten d e vlakken o p d e juiste plaats in d e ruimte gedraaid worden m.b.v. d e volgende rotatiematrix.

Hierin is s . resp. c d e sinus resp. d e cosinus van d e rotatiehoek

1 i

-3.5-

+

tiet bepalen van punt P i s nu omgevormd t o t h e t volgende probleem. Gegeven: 2 puntenparen ( P P 1 en (;

= i +

+

P 1 bestaande u i t een +

1 ' 2 3 ' 4

b r o n p o s i t i e en de p r o j e c t i e van punt P v a n u i t d i e bron o p

de f o t o .

+

Gevraagd: Bepaal h e t punt P met de k o r t s t e a f s t a n d t o t de b e i d e l i j n e n tussen e l k puntenpaar.

i n h e t algemeen z u l l e n de b e i d e l i j n e n e l k a a r k r u i s e n en n i e t s n i j d e n , d i t i n verband met meetfouten b i j h e t opnemen van de punten met de d i g i t i z e r en a f r o n d f o u t e n i n h e t voorgaand@ r e k e n p r o c e s . -9 (;,, P 1 r e s p . p r o j e c t i e - @n bron voor de l i n k e r c a s s e t t e 2 -9 l;3, P 1 r e s p . p r o j e c t i e - en bron voor de r e c h t e r c a s s e t t e 4 D -e

/

f i g u u r 3.5

+

-4 -? = P ,

-

P 2 : llrlll = 1 + + -9 -? 1 l1 : x = P , + p r l met r - ? +

+

-D i

+

+

: I l r I I = l 2 met r = P g

-

P,, 2 1 2 : x = P + A r p 3

+

2' De v e c t o r a g a a t van punt A op l i j n 1 naar punt B op l i j n 1 E i s nu d a t de a f s t a n d tussen de punten A en B minimaal i s , dus IIail

1

-+

i s minimaal zodat moet gelden:

+ + + + a e r = a e r = O

- 3 . 6 - 3 - v 3 4' + o f w e l ( P , + iJ r l

-

P g

-

A r 2 b r 2 =

o

e n -P 3 3 + 4' 3 3 d o f w e l I J = ( P ,

-

P 3 b r 1

-

( P I

-

P 3 ) Q P 2 r 2 * r l - + - o + +

r

er r a r

-

1 1 2 1 2 e n L e g P nu i n h e t m i d d e n v a n AB d u s : + 2 - s -D -t 4' x =

-

[:P,

+ p r i +

P

+ A r23 2 3 P :

4 : De b e p a l i n q van een l i i n u i t f o t o ' s van

2

D u n t e n OE) d i e l i j n .

X

/

f i g u u r 4 . 1

Oe l i g g i n g van d e b e i d e p u n t e n op d e l i j n i n d e ruimte kan b e p a a l d worden, deze punten k u n n e n n u o p g e v a t worden a l s b e s c h r i j v e n d e

+

+

-9

*

p u n t e n van de l i j n , bv.

1

: x = P, + h ( P ,

-

P 2 )

-

Oe p r o j e c t i e s op d e f o t o ' s kunnen echter maar met eindige nauwkeurigheid bepaald worden.

f i g u u r 4 . 2

De c o o r d i n a t e n van h e t d i c h t s t b i j l i g g e n d e k r u i s p u n t worden aangegeven.

- 4 . 2 - ~ 1 1 s p u n t e n b i n n e n h e t g e a r c e e r d e v l a k j e w o r d e n d u s g e d i g i t a l i s e e r d t o t h e t p u n t i n h e t m i d d e n . Door h e t r e c h t l e g g e n v a n d e f o t o v e r d r a a i d h e t v l a k j e , z o d a t i n h e t a l g e m e e n h e t g e z o c h t e p u n t b i n n e n e e n c i r k e l met s t r a a l

-

.f 2 a , om h e t m i d d e l p u n t l i g t . B i j d e b e p a l i n g v a n h e t p u n t P l i g t d e p r o j e c t i e i n e e n k e g e l r a n d d e p r o j e c t i e l i j n t u s s e n d e r o n t g e n b r a n e n d e g e d i g i t a l i s e e r d e p r o j e c t i e o m d a t d e r o n t g e n b r o n v e r v a n d e p r o j e c t i e a f s t a a t . Waor d e e e n v o u d w o r d t d e z e k e g e l b e n a d e r d d o o r e e n c i l i n d e r mat d e p r o j e c t i e l i j n a l s m i d d e l l i j n . De e l k a a r k r u i s e n d e l i j n e n v o o r d e b e p a l i n g v a n ? k u n n e n d u s v e r v a n g e n w o r d e n d o a r twee e l k a a r k r u i s e n d e c i l i n d e r s . 1 2 -B -P f i g u u r 4 . 3

A l l e e n a l s men met d e d i g i t i z e r ook w e r k e l i j k h e t d i c h t s t b i j z i j n d e -4 k s u i s p u n c a a n g e e - f t zullen d e c i l i n d e r s e l k a a r s n i j d e n , w a a r b i j P i n d e d o o r s n e d e v a n d e s n i j d e n d e c i l i n d e r s m o e t l i g g e n , d a t h o e Q t e c h t e r n i e t h e t m i d d e n v a n d i e d o o r s n e d e t e z i j n . A l s d e b e i d e p r o j e c t i e l i j n e n e l k a a r l o o d r e c h t k r u i s e n w o r d t h e t s l e c h t s t e g e v a l o n g e v e e r a l s v o l g t . S t e l d a t b e i d e p r o j e c t i e s op d e r a n d v a n h e t g e a r c e e r d e g e b i e d l i g g e n .

c, r: Y Q ai .IJ t u o N a, u) w Q, S w m 'u c a, a k

3

'u i] i, w w o u) w Y 'u E m Y 'u $= a, a r: O k cc m !E oi -r O 51 !-I m (I 2 c., u i] o u) E (I P c, Y- 't7 .Pi h t u cn v) S a S Y w P a, Y rl 4 O a c Cu ai a S o > E: OJ Iu a -a k 0 o >

5i

ai 2 m I1 N N b Cu -I N rl m m k c, v) +, # E I-4 o .a

- 4 . 4 -

A l s d e beide projectielijnen elkaar niet loodrecht kruisen verslechterd d e situatie aanzienlijk.

--

figuur 4 . 5 b i j scheve projectie

De Kubus defQrmeeTt

nu

tot een d o o s en d e Omschrijvende bol tot een ellipsoide. Hieruit blijkt dus dat b i j projectiehoeken

v a n

z i j n , m i t s d e punten steeds goed gedigitaliseerd worden.

In het algemeen zal het werkelijke punt

?*

dus ergens i n een b o l

digitizer aangegeven werd. i n werkelijkheid z a l d e bol wel groter zijn afhankelijk

v a n

d e n a u w k ~ ~ ~ i g h ~ ~ d waarmee de punten

gedigitaliseerd worden. T e r controle

w a n

d e gemaakte meetfouten wordt steeds de loodrechte afstand tussen het berekende punt en de Pïojectieïijnen bepaald.

90 0 ten opzichte

v a n

elkaar d e fouten i n d e berekening het kleinst

- 4 . 5 -

Een l i j n d i e n u met 2 p u n t e n b e p a a l d w o r d t , z a l d a n , tussen d e b e i d e punten, ergens i n een c i l i n d e r om d e b e i d e b o l l e n l i g g e n

f i g u u r 4 . 6

U i t d e bovenstaande s c h e t s b l i j k t d a t d e n a u ~ ~ e u ~ i g ~ e i d van d e b e p a l i n g van een l i j n a f h a n k e l i j k i s van d e a f s t a n d tussen d e b e i d e b e s c h r i j v e n d e p u n t e n op d e l i j n en d e nauwkeurigheid waarmee d e p r o j e c t i e s van d e z e p u n t e n g e d i g i t a l i s e e r d worden.

5: B e o a l i n e v a n d e k r a c h t e n i n h e t e l l e b o o q q e w r i c h t .

G

f i g u u r 5.1 In e e n l a t e r s t a d i u m w o r d t o o k h e t e i g e n g e w i c h t v a n d e k r a c h t o p n e m e r i n d e s p i e r k a b e l m e e g e n o m e n . Dit h e e f t a l l e e n i n v l o e d op d e r i c h t i n g e n g r o o t t e v a n S en i s d a a r o m h i e r w e g g e l a t e n . Na l o s s n i j d e n e n v e r o n d e r s t e l l e n d a t d e k r a c h t e n i n h e t g e w r i c h t d o o r een p u n t k r a c h t g e r e p r e s e n t e e r d k u n n e n w o r d e n v o l g t : =t f i g u u r 5.2

-5.2-

Voor zowel de boven- a l s de onderarm moet nu evenwicht g e l d e n . Omdat h i e r a l l e e n de methode van berekenen besproken w o r d t , w o r d t a l l e e n de onderarm behandeld.

r e d e n e r i n g . Dus:

Voor d e bovenarm g e l d t een z e l f d e

O

_t

T i g u u r 5.3 U i t d e e v e n w i c h t s e i s v o l g t nu d a t moet gelden: O H i e r wordt d a t : -b + e - * o f w e l R =

-

m

-

G

-

S f i g u u r 5 . 4

-5.3- -* n 1 i = I -P

Mi = O m o @ t gelden om elk willekeurig p u n t , dus ook OM d e systeem-oorsprong zodat: n i = 1 3 - 9 - D - 5 - 9 + 3 + e -* M . = m * x + G * x + S * X + R * x = O 1 m 9 S r 3

Na bepaling van R uit d e eerste vergelijking kan uit d e z e laatste

+

vergelijking x bepaald worden. De grootte, plaats en richting

van d e reaktiekracht z i j n d a n bekend. Het bepalen van x komt neer op het evenwijdig aan zichzelf verschuiven van d e vector û in een richting loodrecht op iif ( k e t totale moment om d e s y s t e e m -

r -D r -9

-+

t

oorsprong van alle krachten o p d e onderarm met uitzondering van d e reaktaekrachtl totdat = O .

-5.4- Eiclenschappen van d e k r a c h t v e e t o r e n .

* - 9 -*

S t e l d a t a l l e e n de k r a c h t e n R , G en S a a n w e z i g z i j n en d a t de a a n g r i j p i n g s p u n t e n van d i e k r a c h t e n op een l i j n l i g g e n . Dan z a l a a n g e t o o n d worden d a t d e 3 k r a c h t v e c t o r e n i n & & n v l a k moeten l i g g e n om aan d e e i s van e v e n w i c h t t e kunnen v o l d o e n .

- 9 - b -9 0 = A + b e C = A + c e - 9 - D -9 - 9 - 9 met e s e = l -* Met een p u n t o p l e g g i n g i n A f i g u u r 5 . 5 U i t e v e n w i c h t v o l g t nu: H i e r w o r d t d a t : " - 4 - b - 9 3 - 9 -9 - 9 - 9

E

F . = G + S * R = O o f w e l R =

-

G

-

S 1 i= 1 n

E

M . = c e * G * b e * S = O i= 1 -9 + - P * - 9 + 1 D@ v o l g e n d e r e g e l g e l d t a l t i j d : * a 3 3 -* v = x

*

y s t a a t l o o d r e c h t op z o w e l x a l s y . 4 i - 9 + + - 9 S t e l nu e

*

G = q en e

*

S = p dan moet g e l d e n -9 + - 9 -* b - D c q + b p = O o f w e l g

-

- P

C -* -b H i e r u i t v o l g t d a t q en p d e z e l f d e r i c h t i n g hebben ! !

Omdat

1

e

,

1

,

1;

, -9 p

1 5

moeten G en S i n een v l a k -# 3

-9

*

-b - b - 9 -b

l o o d r e c h t o p p en dus ook q l i g g e n . M a a r R =

-

G

-

S z o d a t Ook R i n d a t v l a k moet l i g g e n .

-5.5-

A l s d e aangrijpingpunten van d e krachten niet in een v l a k liggen dan kan weer aangetoond worden dat d e drie krachten, eventueel

n a

een verschuiving evenwijdig aan zichzelf, in èbn vlak moeten liggen o m aan de eis

v a n

evenwicht t e kunnen voldoen.

DUS:

- 3 - 9 -t

B

= A + b

xs

-t

*

+

met X ~ X 1 = s s

-+

Met een puntoplegging in A

figuur 5 . 6 Uit evenwicht volgt

nu

weer:

Hier wordt dat:

n . +

- 9 - ? - ? - ?

+

+ 3

E

F . = G + S + R = Q ofwel R =

-

G

-

s

1 i- 1 n + + - t

..

₊

- 3 - 9

E

M i = c x * G 4 b x * S = Q 9 s i= 1 - ? + + + + +

Stel nu

x

*

G = q en

x

*

S = p dan moet gelden

g S

-? + + -9 b +

c q + b p = O ofwel q = - - p

C

n . +

+

-t

Dus

E

M . = O geldt alleen als q en p dezelfde richting hebben

(afgezien van Ret teken). Dit is alleen mogelijk als d e vectoren

1

i = 1

+ -+ -? + + 4

welke loodrecht o p q en p staan

-

dus x S , x en G

-

i n &en vlak

s ' g

+ -0

loodrecht op q en p liggen. Maar dan liggen niet alleen d e

spierkrachtvector en de lastkrachtvector in etin vlak, maar ook d e

spierkracht- en d e l.astkrachtliin. Uit het voorgaande volgt

-5.6-

A l s er meerdere krachten (b.v. zwaartekracht e n / o f meerdere spier-

o f lastkrachten) op het systeem werken kan men i.v.m. evenwicht

v a n

het geheel weer eisen:

" - 4 -? n -b -4

1 F , = O en I: = O om punt A

i L

i = 1 i= 1

'$

Hierbij i s A een willekeuriq punt in d e ruimte zodat: n

i=

I I:

ii

n

i = 1 I:

Mi

Hierin is: -? R

+

X r S . J x . $ 3 + -4 ' k

+

X gk -? -B X zl d e reaktiekrachtvector

de vector vanuit A naar een punt op d e reaktielijn d e spierkrachtvector van spier j

d e vector vanuit A naar een punt op d e spierkrachtlijn van spier j

d e ko la st krachtvector

d e vector vanuit A naar een punt op d e k iastkracktlijn

d e 1' zwaartekrachtsvector

d e vector vanuit A naar een punt o p d e 1 zwaartekrachtslijn

-+

-?

-? O

-+ O

I n

het algemeen zal nu niet meer gelden dat d e verschillende

krachtlijnen in Ben vlak liggen.

A l s er meerdere reaktielijnen z i j n , dan is het probleem onbepaald omdat niet bekend is welk deel van d e uitwendige belasting door elke reaktiekracht opgenomen wordt.

- 5 .

a-

M e t m e e n e m e n v a n m e e t f o u t e n w o r d t dit: -D + + + - 4 + g - + -? n

E

F . = R + 6 + S + @ + G + E Z = O 1 1 i = I I= I - ? + 4 m e t d e e x a c t e v e r g e l i j k i n g l e v e r t dat: @ + 6 = O Om na t e g a a n w e l k e f a c t o r e n d e g r o o t s t e i n v l o e d op h e t r e s t m o m e n t h e b b e n i s v e r d e r o n d e r z o e k w a a r u i t i n f o r m a t i e o v e r g r o o t t e en r i c h t i n g v a n d e v e r s c h i l l e n d e m e e t a o u t e n v e r k r e g e n w o r d t n o o d z a k e l i j k .

6: B e u a l i n a v a n d e A u u u m a t e r i e m e t 4 r e f e r e n t i e k o a e l t i e s . O m h e t e i g e n g e w i c h t van bv. e e n bot i n d e b e r e k e n i n g v a n d e r e a k t i e k r a c h t t e b e t r e k k e n i s het n o o d z a k e l i j k o m d e l i g g i n g v a n h e t z w a a r t e p u n t v a n d a t b o t t e k e n n e n . D a a r d e 4 k o g e l t j e s d i e a a n h e t b o t b e v e s t i g d z i j n , g e b r u i k t w o r d e n o m d e r u i m t e l i j k e p o s i t i e e n d e o r i e n t a t i e v a n h e t bot e e n d u i d i g v a s t t e l e g g e n , i s h e t h e t h a n d i g s t om h e t z w a a r t e p u n t t.o.v. d i e 4 k o g e l t j e s v a s t t e l e g g e n . O m d a t e l k e s t a n d v a n h e t b o t g e t r a n s f o r m e e r d k a n w o r d e n n a a r e e n a n d e r e s t a n d m.b.v. e e n r o t a t i e m a t r i x e n e e n t r a n s l a t i e v e c t o r i s het v o l d o e n d e om h e t z w a a r t e p u n t v a n h e t b o t i n e e n b e k e n d e s t a n d t e b e p a l e n . D o o r m.b.v. d e c o o r d i n a t e n v a n d e 4 k o g e l t j e s i n e l k e s t a n d d e t s a n a f s r m a t i e g r o o t h e d e n t e b e p a l e n k a n h e t z w a a r t e p u n t van d e e n e n a a r d e a n d e r e s t a n d g e t r a n s f o r m e e r d w o r d e n z o n d e r d a t e x a c t e i n f o r m a t i e o v e r d e v o r m v a n h e t bot n o o d z a k e l i j k is. f i g u u r 6.1 B e p a l i n g v a n h e t z w a a r t e p u n t . D o o r h e t bot i n h e n punt a a n e e n t o u w t j e t e h a n g e n k o m t h e t z w a a r t e p u n t v a n h e t bot p r e c i e s o n d e r h e t t o u w t j e t e h a n g e n . In h e t p r o g r a m m a w o r d t v e r o n d e r s t e l d d a t d e z - a s v a n h e t v a s t e a s s e n s t e l s e l e x a c t v e r t i k a a l l o o p t . D o o r o p het t o u w t j e e e n k o g e l t j e t e b e v e s t i g e n k a n m e n d.m.v. t w e e r o n t g e n f o t o ' s d e v e r t i c a l e l i j n doos h e t z w a a r t e p u n t c o n s t r u e r e n . D e r u i m t e l i j k e c o o r d i n a t e n v a n h e t k o g e l t j e op h e t t o u w t j e z i j n te b e p a l e n o p d e h i e r v o o r g e s c h e t s t e w i j z e . De v e r t i c a l e l i j n d o o r d a t p u n t g a a t o o k d o o r h e t z w a a r t e p u n t . D e z e l i j n z a l h i e r s o m s m e t ' z w a a r t e l i j n ' l a a n g e d u i d w o r d e n . O o k v a n d e 4 k o g e l t j e s o p h e t bot w o r d e n d e r u i m t e l i j k e O f i g u u r 6.2 c o o r d i n a t e n bepaald.

- 6 . 2 -

Vervolgens wordt het bot in een ander punt opgehangen. Ook nu worden weer d e zwaartelijn en d e ruimtelijke coordinaten van d e kog@ltjes bepaald.

De volgende stap i s het bepalen van d e transformatiegrootheden tussen d e beide standen. Door nu d e zwaartelijn van d e ene stand naar d e andere t e transformeren ontstaan 2 i n het algemeen

kruisende lijnen. Hu wordt verondersteld d a t het gezochte zwaartepunt zich o p het punt met d e kortste afstand tot beide lijnen bevindt, analoog aan d e bepaling van d e ruimtelijke ligging van referentiepunten i n het voorgaande.

In een opstelling met 2 rontgenbronnen is dit een g o e d e methode omdat d e opstelling d a a r b i j stil kan blijven staan. In het onderhavige onderzoek heeft men echter d e beschikking o v e r maar &&n rontgenbron.

De

opstelling wordt telkens gedraaid o m d e tweede foto t e nemen. Een draaiing over ca. 9 0 blijkt d e

kleinste numerieke afwijkingen te veroorzaken (zie hoofdstuk 4 ) .

In het ideale geval draait het bot met d e opstelling m e e , zonder dat het bot t.o.v. tie opstelling draait. Door allerlei oorzaken {b.v. 'doorschieten' van het bot t.g.v. zijn niassatrâagheidi kan er toch een verdraaiing van het bot t.o.v. d e opstelling optreden. A l s het bot na verdraaien van d e opstelling niet in z i j n oude positie t.o.v. d e opstelling terugkeert, dan Ss d e v e r p ~ a a t s i n g van het bot van d e oude naar d e nieuwe stand t e representeren door een hoekverdraaiing M o m d e verticale lijn door het zwaartepunt.

De hoekverdraaiing i s slecht t e meten, daarom kiest d e onderzoeker zel? een kleine hoekverdraaiing. Het programma berekent d e plaats van d e punten i n d e ruimte en d e afstanden tussen d i e punten. De onderzoeker vergelijkt deze afstanden met d e waarden w e l k e uit opnamen van een vast opgesteld bot verkregen

zijn

en doorloopt de bovenstaande procedure opnieuw als d e afwijkingen te groot blijken te zijn. k l s deze hoek bekend i s , b . v . gemeten

vliòr

het nemen v a n elke foto maar i n d i t geval door d e onderzoeker zelf gekozen, dan is d e oude positie van d e kogeitjes o p iteratieve

wijze

t e

berekenen o p d e nu volgende wijze.

o

Veranderstel bekend:

OL : d e draaihoek, positief als i n d e richting van d e z - a s recht som

3

M : het draaimiddelpunt [onafhankelijk van al

ia""

: het berekende kruispunt van de beide rontgenstralen

: d e positie van d e rontgenbron voor d e linkerfoto 'bron

: d e positie van d e rontgenbron voor d e rechterfoto Rbron

+ -P

- 6 . 3 -

Uitgaande

v a n

doze bekende gegevens z a l nu afgeleid worden h o e het gezochte punt gevonden kan worden. Uit figuur 6 . 3 blijkt dat er steeds 2 oplossingen A en A ' gevonden kunnen worden, welke van de beida punten het gezachte punt A is blijkt afhankelijk te zijn v a n de volgorde waarin de beide rontgenfato's g e m a k t werden lirrks- rechts o f rechts-links. Met behulp van het inprodukt van MA en

+

-+

-9

4

-i

MA' blijken d e beide oplossingen gevonden t e kunnen worden. linker f o tocas s e t t e O

I

-c %ron

----.-

fotocassette

I

rechter

l+

Lbron

Ciguur 6.3 Bovenaanzicht, niet op schaal

-9* I n het algemeen kruisen d e beide rontgenstralen elkaar i n A

.

Gebruik d i t punt als steunvector van d e lijnen

+ 33; -b -?* +

-P -?* -4 a * -9

x = A y = A

-

-

b. 1 waarop A ligt er;

-

A 1 waarop A ' ligt.

-

( Ltsron

'

'

Rtsron

Later nog rekening houden met het eventueel niet horizontaal lopen

v a n

d e rontgenstralen om het werkelijke kruispunt t e berekenen

bemoeilijkt het rekenwerk aanzienlijk. Daarom wordt hier direct

- 6 . 4 -

kruispunt van d e b e i d e werkelijke projectielijnen. D e hierdoor gemaakte fouten zullen klein zijn t.o.v. fouten in het

digitaliseren v a 3 d e ~ o t o ' s .

Hiermee is de bepaling van A en A ' t e vervangen door d e bepaling van A

het vervolg de onderindices van h en p weggelaten worden. + +

en p A , . Ter vereenvoudiging van hei schrijfwerk zullen in

A

Stel nu:

+ -9

MA

: d e vector van M naar A MA' : d e vector van M naar A

-P -$ +

-J) c3

Dan geldt: IIMAII = Ilt4á'Ii met

+ -v* -9

+*

- A 1 1 1 5 1 1 +* !i$!! = l l M - A + ( Lbron 4 -? -b*

-+

IIMA'II = I!

M

-

A -i. p (

Rbron

- A

en u i t de "Formule voor het inproduct volgt:

d s s 4 4 IIMA!\ IIMA'! c o s M = MA M A '

+

4 * 3 -? 3* - A R b r o n - A en R r = -b -b -b*

+

= Lbron Met S = M - A ; -a -b -b !I

2

+ h R I! = II S + p RE:!( 1 geldt dan : + 3 -9 -B. -+ -? -? d en :i

s

+ k R1ll li

s

+ p 8 H cos ct = t

s

+ A RI!.!

s

i p R ! r r

Deze beide gekoppelde vergelijkingen worden nu m . b . v . het Newton- Raphson iteratieproces opgelost. Daartoe worden d e volgende notaties gebruikt :

-6.5-

-? + -b

S t e l

P1

= S + h R1 en

De iteratieformule volgens Newton-Raphson luidt nu:

met en -9 I

"I

1 s -0 .9 cos a P e P cos El. P @P

-

Pl.Pr

-

P 6 ; I l - 9 - P

r

r

en F I h , p ) =

Als 5 = O i s

er

geen eenduidige oplossing t e vinden, cos o: mag dus aeker niet O worden. Beperk nu het toelaatbare bereik van o: t o t - 6 0 a

i

6 0 dan geldt 0.5

2

c o s OL

L

1

.

Uit afschatting van d e verschillende termen i n

A

blijkt dan d a t i n het algemeen

n

> > o

o o

Met behulp van d e voorgaande Formule worden nu ~p iteratieve wijze

d e gezochte A en Q bepaald, waarmee dan het gevraagde punt t e bepalen is. B i j Ret begin van d e iteratie moeten h en p een startwaarde hebben. Omdat deze startwaarde bepalend blijkt t e zijn voor het punt dat gevonden w o r d t , wordt eerst een

inventarisatie van d e verschillende rnogeli jkheden gemaakt

-

Met d e hierboven beschreven methode van iteratie worden

afhankelijk van d e startwaarde verschillende oplossingen gevonden zie figuur 6 . 4 . Hieruit blijkt d a t , afhankelijk van d e plaats van

+*

het geprojecteerde punt i n d e ruimte, het besekende punt A binnen

-Q

b f buiten d e cirkel ligt waarover het gezochte punt A zich beweegt bij e e n arâaiiny on; H. In het ene geval moeten w e d u s tot het t e vinden punt naderen komend vanuit d e rontgenbronnen. I n het andere g e v a l moeten w e juist i n d e richting van d e rontgenbronnen gaan. I n : i e t algemeen z a l dan het punt A niet gepasseerd kunnen

-P

-6.6-

worden omdat dan ook a l een oplossingenpaar gepasseerd is. A l

itererend zal een rekenprogramma bij dit oplossingenpaar blijven

steken zodat d e gewenste oplossing niet gevonden kan worden. In figuur 6 . 4 is een situatie geschetst waarbij eerst een linker- en daarna een rechterfoto genomen werd. In verband met d e gegeven definitie

v a n

01 is Ret eenvoudig i n te aien dat i n d e situatie dat eerst d e rechterfoto en daarna d e linkerfoto gemaakt worden d e

punten A welke zich nu buiten de cirkel bevinden, zich dan binnen

d e cirkel zullen bevinden

en

andersom. Dus ook d e volgorde waarin d e fato's gemaakt worden is bepalend voor de startwaarde, daarom wordel? deze gevallen apart behandeld.

4*

figuur 6 . 4

Oe beide projactiefijnen zijn:

-B

waarop A ligt en

waarop -f A ' ligt.

-B* .9 -%

Voor A geldt h = p = O , voor L geldt A = - 1 en voor U

bron bron

- 6 . 7 -

a *

z i c h tussen d e d e rontgenbronnen e n A

i n

d a t geval kan als

startwaarde A = - 1 en p = - i gekomen worden. Om i n alle gevallen een even g r o o t bereik t e hebben kan nu i n het linkse in figuur 6 . 4 geschetste geval A = 1 en g = 1 gekozen worden. Uit d e andere i n figuur 6 . 4 geschetste situatie blijkt d a t ook mengvormen mogelijk z i j n , hies h = - 1 en g = I . Afhankelijk var! d e situatie kan d u s als startwaarde voor h en 1.1 gekozen worden uit 1 o+ - 1 .

Uit Ret feit d a t d e startwaarde afhankelijk is van d e plaats van

-9%

A blijkt a l d a t dan o o k ercjrris een o v e r g 8 n g tussen beide

startwaarden aanwezig moet zijn. Het i s eenvoudig aantoonbaar dat z o ' n overgang plaats vindt in het punt o p d e cirkel, d i e A b i j rotatie o m M beschrijft, waar een rontgenstraal de cirkel raakt,

zie

figuur 6 . 5 . Het prcbleem i s echter d a t deze cirkel niet bekend is. Wel bekend zijn S en R . (de richtingsvector van een rontgenstraal). Tevens geldt dat i n het geval d a t d e

+ -2

-# .3 1

-B - + % -F* .+ -$

rontgenstraal d e cirkel raakt (in A = A = A 1 S l o o d r e c h t ap R .

1 + - + staat zodat S e R = O .

i

I1 figuur 6.5

- 6 . 8 - Maak e e r s t de l i n k e r f o t o en daarna de r e c h t e r f o t o

I

rechter ronigenbron X

*

linker rontaenbron f i g u u r 6 . 6

+*

De gemeten punten A z i j n met aangegeven, h e t + o f

-

t e k e n d u i d t o p h e t a l dan n i e t p o s i t i e f z i j n van de h o e k v e r d r a a i i n g a . De g e z o c h t e punten A z i j n met o aangegeven t e r w i j l d e p u n t e n A ' met x aangegeven z i j n .

-6.9-

3 3

Dan kan d e volgende tabel met verbanden tussen SeR. en h en p opgesteld worden 1 3 - b SbR

>

O r nee nee nee nee A

-1

1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 1.i - 1 1 1 - 1 1 - 1 - 1 I

Hieruit blijkt dat het voldoende i s om alleen naar d e positieve a-waarden t e kijken, want d e A en 1.i b i j a < O komen overeen met d e -A en -1.i welke gevonden warden b i j Ial. Uit d e resterende 4

mogelijkheden blijkt dat hetzelfde teken heeft als SeR en d a t A

hetzelfde teken heeft als SeR

.

Voor een voorbeeld zie figuur 6 . 7 .

+ 3 1 + + r 3 3 SeRr< O 3 3 SIRl<

o

figuur 6.7

-6.10- M a a k e e r s t d e r e c h t e r f o t o e n d a a r n a d e l i n k e r f o t o Y

I

./

rechter rontgenbron

.

X

'

linker rontgenbron

f i g u u r 6.8

I n

d e t e k e n i n g z i j n d e z e l f d e t e k e n s g e b r u i k t a l s

i n

de v o o r g a a n d e t e k e n i n g . N u kan d e v o l g e n d e t a b e l o p g e s t e l d w o r d e n a 2 0 n e e ja n e e j a ja ja n e e n e e h iJ

-1

- 1 I

1

- 1 1 1

-1

1 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 1

- 6 . 1 1 -

Hieruit blijkt d a t d e z e tabel gelijk is aan d e tabel voor d e linkerfoto a l s alle 01 van teken wisselen. Het eerst nemen van d e rechterfoto komt d u s neer op een tekenwisseling van OL tov. het eerst nemen van d e linkerfoto.

A l s stopcriterium voor d e iteratie wordt gekeken naar het verloop

*

*

2

van ( A

-

A

1 2 +

( p

-

p

l

, als deze waarde groter i s dan de waarde b i j d e vorige iteratieslag dan stopt het iteratieproces. De A en p van d e vorige iteratieslag worden gebruikt.

-+

-+

Uit het iteratieproces vinden w e 2 punten A en A ' , ken op d e straal van d e linkerfoto ( A ) en één op de straal van d e

r e c h t e r f o k ! p ) . A l s eerst d e linkerfoto gemaakt wordt dan bigt het gezochte punt A altijd op d e A-straal. A l s eerst d e

rechterfoto gemaakt wordt dan ligt het gezochte punt A ' altijd o p

d e p-straal. Be keuze welke foto eerst gemaakt wordt is dus

bepalend voor welk van d e 2 oplossingen d e juiste is. +