Verscherpingen van de centrale limietstelling

Verscherpingen van de centrale limietstelling

Citation for published version (APA):

Joosten, H. P. G. (1969). Verscherpingen van de centrale limietstelling. (EUT report. WSK, Dept. of Mathematics and Computing Science; Vol. 69-WSK-03). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1969

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Technological University Eindhoven

Netherlands

':Department of Mathematics

VERSCHERPING EN

VAN DE CENTRALE LIMIETSTELLING

door

H. P. G. Joosten

Inhoud

o.

Inleiding

r

c-

'c::'~.,-=-:-;,,-

,.-

K

I

. ;3'::, I ' !~

r-,t:"1:.

1. _ _",, __ <. ~"..."'_ .... , .~

I

860627;,'

I

} - - IT:~~ ~·~I·;~I~'~"~.;'--:-;:;- '.:

I

• . . ' ~,;.1 •tJ.)t ~ """f ~ ~"'~"'"f. ~ I ,-~ .

.-..

-

-'

.-1 • 2

4.1. Schatting van de restterm in de centrale limietstelling. 1.

2.

3·

4·

Karakteristieke funkties, momenten en semi-invarianten. Een ontwikkeling voor de verdelingsfunktie F •

n

Enkele hulpstellingen.

Identiek verdeelde stochastische grootheden.

3

15

29

38

38

4.2.

Verscherping van de centrale limietstelling ala de momenten van de orde 3 bestaan.

4.3.

Verscherping van de centrale limietstelling als de momenten van de orde r > 3 bestaan.

43

61

5.2.

Verscherping van de centrale limietstelling.

5.1.

Schatting van de restterm in de centrale limietstelling.

5·

Niet-identiek verdeelde stochastische grootheden.

69

69

74

Appendix

Literatuur

89

[FellerJ: Feller, W.: An introduction to probability theory and its applications, Vol. II, J. Wiley, New York

1966.

[G.K.] Gnedenko, B.W. en Kolmogorov, A.N.: Grenzverteilungen von

Summen unabhangiger Zufallsgrossen, Akademie Verlag, Berlin

1959.

[Cramer]: Cramer, E.: Random variables and Probability distributions, Cambridge Univ. Press, Cambridge

1963.

[EsseenJ: Esseen, C.G.: Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law, Acta Math.,

77,

1-1

(1945).

o.

Inleiding

Laat X ,X ,X , ••• een rij onderling onafhankelijke stochastische grootheden

1 2 3

zijn. De grootheid ~ (k

=

1 ,2,3, ••• ) heeft de verdelingsfunktie Uk(x) met verwachting 0 en variantie o~.

Zij verder

2 + 02

a_, + ••• _n

Indien nu aan de voorwaarde van Lindeberg, d.i.

1 n - 2::

2

s k=1

n

als n ~

=

voor elke vaste t > 0 ,

is voldaan, dan zegt de centrale limietstelling dat de verdelingsfunktie F (x)_n van de gestandariseerde som (X, +~ .•. + X )/s naar de verdelingsfunktie \J?(x)

n n

van de standaard-normale verdeling nadert.

Ons probleem is nu het as,ymptotisch gedrag van het verschil F (x) - \J?(x) na n

te gaan. Hiertoe zoeken we:

1) een van n afhankelijke bovengrens voor de modulus van het verschil,

2) een of andere asymptotische ontwikkeling van dit verschil voor grote waar-den van n.

Stellingen hierover vindt men voor identiek verdeelde stochastische groot-heden in [FellerJ, [G.K.J, [CramerJ en [EsseenJ; terwijl in [FellerJ err

[CramerJ ook uitspraken voor niet-identiek verdeelde grootheden gegeven wor-den. In [FellerJ is de manier van bewijzen en de aanpak van bepaalde proble-men anders opgezet dan in de andere drie boeken. Daar de bewijzen in ~FellerJ vaak alleen een schetsmatig karakter hebben, zijn deze in de volgende para-grafen volledig uitgewerkt. Verder is getracht een zo goed mogelijke schat-ting te vinden voor de konstante, welke in het probleem onder 1) opduikt. Bovendien is in het geval van niet-identiek verdeelde grootheden

(§

5) een uitspraak gegeven over de asymptotische ontwikkelingvan F - \J? onder zwakkere

n

3-§

1. Karakteristieke funkties, moment en en semi-invarianten

Deze paragraaf is hoofdzakelijk een opsomming van een aantal begrippen en stellingen, welke we later nodig hebben.

Karakteristieke funkties

Zij

(Q,

~,p) een waarschijnlijkheidsruimte [zie: Lamperti, Probability, New York, 1966;

§

1J en laat X(w) en yew) hierop reele stochastische groot-heden zijn, dan noemt men de grootheid Z(w) = X(w) + iY(w) een komplexe

stochastische grootheid. Indien de verwachtingen E(X) en E(Y) bestaan, dan is

r

E(Z)

j

Z(W)dp(w) E(X) + iE(Y) •

Q

Laat voorts A(x)

=

a(x) + ibex) een Borelmeetbare funktie van x (reeel) zijn. Indien de reele stochastische grootheid X de verdelingsfunktie F bezit en de verwachting E(A(X» bestaat, dan geldt hiervoor

(1.2) E(A(X» =

J

A(X(w»dp(w)

J

a(X(w»dp(w) + i

J

b(X(w»dp(w)

Q Q Q

+00 +00 +00

J

A(x)dF(x)

J

a(x)dF(x) + i

J

b(x)dF(x)

_co _00 _00

Onder de karakteristieke funktie ~(C) van een reele stochastische grootheid X verstaat men nu de verwachting van de komplexe stochastische grootheid eiXC• Definitie 1:

Zij X een reele stochastische grootheid met verdelingsfunktie F. De karak-teristieke funktie van F (of van X) is de funktie ~(~), die voor reele ~ is gedefinieerd door:

+00

J

eiCXdF(x)

=

u(~)

+ iv(') met +00

J

cos(Cx)dF(x) C!n vet) -00 +00

J

sin(Cx)dJ!~(x)

-00

van de stochastische Opmerkingen:

1) De karakteristieke funktie bestaat voar willekeurige verdelingsfunkties

en aIle reele

~

daar

lei~xl

1.

De karakteristieke funktie is niets anders dan de Fourier-Stieltjes

ge-transfarmeerde van F.

2) Als F een dichtheid f heeft, dan is +00

~(~)

J

ei~Xf(x)dx

_00

en ~(,) is de Fourier-getransformeerde van f. Stelling 1 :

Laat ~(~)

=

u(C) + iV(') de karakteristieke funktie grootheid

X

met verdelingsfunktie F.

Dan geldt:

a) ~(C) is uniform kontinu.

b) ~( 0) = 1 en

I

~

(

~

)I

~ 1 voor aHe ~.

c) de stochastische grootheid aX +b (a en b reele konstanten) heeft de karak-teristieke funktie

d) u(e) is een even en v(~) is een oneven funktie van

C.

Bewi,js:

Zie: [Feller], Hoofdstuk XV, § 1, lemma 1 (p.

473-474).

[G.K.], Boofdstuk II, § 11, Satz 1 en 2 (p.

44-45).

Stelling 2:

Een verdelingsfunktie is eenduidig door zijn karakteristieke funktie bepaald. Bewi,js:

Zie: [Feller], Hoofdstuk XV, §

3,

theorem 1 (p.

480-481).

[G.K.], Hoofdstuk II, § 12, Satz 2 (p. 48).

Vervolgens bekijken we eerst de convoluties van een reele funktie h met een verdelingsfunktie F. (Bij onze toepass:Llgen is h ste'~ds een begrensde funktie.)

5·

Dennitie 2:

De convolutie van een funktie hex) met een verdelingsfunktie F(x) is de funktie k(x), gedefinieerd door

k(x)

- 00

We zullen hiervoor de notatie k = F~h gebruiken. Als F een dichtheid f bezit, dan is

(1.6) k(x)

+00

J

h(x-y )f(y)dy _ 00

en di t laatste noteren we als k := f "*h.

Stelling 3:

Laat F een verdelingsfunktie zijn.

Is de funktie h begrensd dan is ook k

=

F~h begrensd. Is de funktie h bovendien kontinu dan is ook k kontinu.

Is h een verdelingsfunktie dan is ook keen verdelingsfunktie. Bewijs:

Zie: [FellerJ, Hoofdstuk V,

§

4,

theorem 1 (p.

141-142).

Nemen we de convolutie tussen verdelingsfunkties, dan is de convolutie

opera-tie~ commutatief en associatief.

Stelling 4:

Laat F en G verdelingsfuncties ZlJn. Als G kontinu is, dan is ook F~G kontinu

en als G de dichtheid g bezit, dan heeft F~G de dichtheid

+00

J

g(x-y)dF(y). _00

Bewi,is:

Stelling 5:

Laat

Xi

en

X

₂ stochastische grootheden zijn met verdelingsfunkties F

i resp.

F₂- Als

Xi

en

X

2 onafhankelijk zijn, dan heeft

Xi

+

X

2 de verdelingsfunktie

F1

*

F2' Bewi,js:

Zie: [FellerJ, Hoofdstuk

V,

§ 4,

theOrem

2 (p. 142).

Stelling

6:

Zijn F en F verdelingsfunkties met karakteristieke funkties ~ resp. ~ ,

1 2 1 2

dan heeft F

*

F de karakteristieke funktie q> ~ •

1 2 1 2

Bewi,is:

Zie: [G.K.], Hoofdstuk II,

§

12, Satz 3 en 3a (p.

44-47).

[Feller], Hoofdstuk XV, § 1, lemma 2 (p.

474).

Voor een discreet verdeelde stochastische grootheid X met mogelijke waarden

~ (k

=

1,2,3, ••• ),

welke met waarschijnlijkheid Pk worden aangenomen, is de karakteristieke funktie

( 1.8)

Onder de discrete verdelingen onderscheiden we een bijzonder soort verde lin-gen, nl. de tralieverdelingen (Engels: lattice distribution, Duits: gitter-formige Verteilung).

Definitie

3:

Een discreet verdeelde stochastische grootheid X heeft een "tralieverdeling" als er reele getallen a en h > 0 bestaan, zodat iedere mogelijke waarde van X voorgesteld kan worden ala a + vh met v een geheel getal.

We noemen h een spanwijdte van de verde ling.

We noemen h de maximale spanwijdte van de verdeling, als er geen enkel paar getallen a en h > h bestaat zodat de mogelijke waarden van X in de vorm

1 1

a + vh (v geheel) kunnen worden weergegeven.

1 1

Opmerkingen:

7·

tralieverdelingsfunktie.

2) Als de stochastische grootheid X slechts een mogelijke waarde a kan aan-nemen, dan heet de verdeling een oneigenlijke verdeling en de karakteris-tieke funktie is

~(~)

eiCa, zodat

l~(c)1

= 1 voer aIle

C.

3) Als F een tralieverdelingsfunktie is met spanwijdte h, dan geldt voor de karakteristieke funktie ~(C) dat l~(c)l periodiek is met periode 2n/h. Dit kan men direkt uit (1.8) zien.

Stelling

7:

Een stochastische grootheid X heeft dan en slechts dan een tralieverdeling, als voor haar karakteristieke funktie ~(,) geldt dat I~(c_o

)1

=

1 voor een

Bewijs:

Zie:

[G.K.],

Hoofdstuk

II,

§

14,

Satz 5 (p. 57).

Stelling 8:

De spanwijdte h van een tralieverdeling is dan en slechts dan maximaal als veor de karakteristieke funktie ~(C) geldt, dat I~(~)I < 1 voor 0 < , < 2n/h en 1~(2n/h)1

=

1.

Bewijs:

Zie:

[G.K.],

Hoofdstuk II,

§

14,

Folgerung 2 (p.

58).

Het resultaat van beide voorgaande stellingen is: Stelling 9:

Voer de karakteristieke f~-ktie ~(') van een verdelingsfunktie F bestaan slechts de volgende

3

mogelijkheden:

a) l~(c)l < 1 voor aIle'

f

O.

b) Er is een

A

> 0 ZOdat 1~(A)1

=

1 en 1~(c)1 < 1 voor 0 <

C

<

A.

In dit geval is I~l periodiek met periode A en F is een tralieverdelings-funktie met maximale spanwijdte h = ~£/A.

c) I~(c)l = 1 veor aIle

C.

Momenten en semi-invarianten

Definitie

4:

Het"moment van de orde \)n (\I = 0,1,2, ••• ) van een stochastische grootheid X

of van zijn verdelingsfunktie F is het getal, gedefinieerd door

_00

Nodig en voldoende vaarwaarde voor het bestaan van IX is dat het "absolute \!

moment van de arde \! II

+00

J

Ixl v

d]l(X)<OO _00

is.

Opmerkingen:

1) ~ is ook vaar niet-gehele v > 0 gedefinieerd.

\i

2) a_o

=

~o = 1 en a

1 is de verwachting van X (of F).

Stelling 10:

Bestaat het moment

P

k van een stochastische

momenten

p

met v < k en er geldt

v 1. 1

(.l

~

(.l2

~

(.l3

~1/k

f'J ~t"" ~tJ ~ • • • ~

1 2 3 k

grootheid X, dan bestaan oak de

Ik

Xi

+

1 voar aIle x Bewi,is:

De eerste bewering voigt direkt uit het feit dat

Ixl v

~ en v < k.

Voor de tweede bewering zie: [Feller], Hoofdstuk V,

§

8, moment inequalities

(p. 153).

Naast de mamenten IX en

p

kent men voor \!

v \!

moment van de orde v":

+00

fL

v

=

E((X-E(X»v) =

J

_00

9·

en het "centrale absolute moment van de orde v":

E(

Ix -

E(X)

I

\I)

_ 00

Ret bestaan van de centrale momenten van de orde v is equivalent met het bestaan van ex_v en

0 •

_v

Qpmerking:

2

~2

=

a heet de variantie van X (of van F).

Tussen de karakteristieke funktie en de momenten van een stochastische

groat-heid bestaat de volgende relatie:

Stelling 11:

Eestaan voar een stochastische grootheid de momenten van de orde k, dan is haar karakteristieke funktie ~(~) k maal kantinu-differentieerbaar en er geldt Eewi,is: +00 i v

J

ei'xxvdF(x) _00 (v O,1,2, ..• ,k).

Zie: [Feller], Roofdstuk XV,

§

4,

lemma 2

(p.

485).

[G.K.], Hoofdstuk II,

§

15, lemma 2

(p.

61).

Uit (1.13) zien we

(v

O,1,2, .•• ,k)

en wegens appendix stelling 2 is k ex

~

vi

(is)V + o(!slk)

v=()

Is I

-+

°.

Stel X

1 en X2 ZlJn onafhankelijke stochastische grootheden met karakteristieke funkties <p (,) reap. <p (,) en moment':'t, a en Il resp. 0: en ~ • De

1 2 V,1 V,1 V,2 V,2

momenten van de som X + X zijn uit de: momenten van de afzonderlijke

stochastische grootheden te bepalen: a a + 2a a + a 2 2,1 1,1 1,2 2,2

...

en 11₂

,

1 + 11₂

,

2

...

We zien dat bij optelling van onafhankelijke stochastische grootheden de momenten a

1, 112 en 113 zich ook optellen. We zoeken nu nog andere karakteris-tieke getallen voor de stochastische grootheden met dezelfde eigenschap. De karakteristieke fur~tie van X

₁

+ X

₂

is ~(~) = ~1(~)~2(~)' zodat

(1.16) (mod 2ni) •

Onder log ~(~) verstaan we de hoofdwaarde van de logaritme van de karakteris-tieke funktie; dit is de funktie, die

1) aIleen voor die reele ~ is gedefinieerd, waarvoor ~(~)

f

0 is. 2) in het punt ~ zelf en tussen 0 en , kontinu is.

3) in het punt'

=

0 de waarde 0 heeft.

Daar de karakteristieke funkties kontinu zijn en in 1;;

geldt in een voldoend kleine omgeving van , = 0:

o

de waarde 1 hebben,

Stelling 12:

Restaan voor een stochastische grootheid de moment en van de orde k, dan is log ~(~) in een omgeving van (

=

0 k maal kontinu-differentieerbaar.

Bewi.i s:

11 •

We voeren de volgende notatie in

Y

_v

(v

1 , •.• ,k) • Op grond van appendix stelling 2 geldt dan

It;l

-'> 0 .

Uit

(1.17)

en

(1.19)

voIgt dat bij optelling van onafhankelijke stochastische

grootheden de koefficienten y zich ook optellen.

'V

Definitie 5:

De koefficient y_v heet de "kurnulant" of \Isemi-invariant van de orde VII van

de stochastische grootheid.

Als de momenten van de orde k bestaan, dan bestaan, zoals uit stelling 12 voIgt, ook de semi-invarianten tot en met de orde k. Deze laatste zijn, zoals uit (1.14) en (1.1S) blijkt, eenduidig bepaald door de momenten ex (\I := 1, ••• ,k).

v

Uit

(1.15)

en (1.19) zien we dat we de relaties tussen momenten en

semi-invariant en kunnen beschouwen in de vorm van een formele vergelijking tussen machtreeksen: Hieruit krijgen we Y1 ;:: ex := E(X) 1 ( 1.21 ) _Y2 :;;;; ex - ex2 ;:: (]2 2 1 Y3 := ex

-

_{3ex ex}

+

2ex3 3 1 2 1

...

Stelling 13:

( 00 ~j/k ~ l'n 1\,'-' _l-'k,, IW\"j) LA I is kleiner dan J=1 J.

, .

.e

ID m/k of gellJk aan ~ ~k • ID. Bewi.is:

( k.LiL

,) 1(

~

-Lu

,)2

1(

)3

~

,L: .!

I

wi

J +

2" .

z

~

!

I

wi J +

'3 ...

+ ••.•• J=1 J J=1 J Yv

Uit (1.15) en (1.19) zien we dat --,_v. vaar v

=

1, ••• ,k de koefficient is van

(i~)

v in de machtreeksontwikkeling van 109('1 +

~ ~

(iC)j)'•

• 4 J.

J=.

(1.23)

( k a. .\

De koefficienten in de machtreeksontwikkeling van lOt!\l + ,Z

-1

wJ ) worden

J=1 J

absoluut gemajoreerd door de koefficienten van de machtreeksontwikkeling van

'jk

I 00

f3~

'\

- log\1 - Z ~

IwIJ) •

j=1 J.

q.e.d.

(m ~ ~ + 1)

Voor £ =:: 1 is de bewering juist; stel dat de bewering voar £ geldt, dan zul-len we aantonen dat de bewering voor ~ + 1 geldt.

(

00

~/k

.

\~+1

De koefficient van Iwlmin ~ ~ IwIJ) =

j=1 J.

00

~/k

~

(00

~/k

)

de kaefficient van

Iwl

m in

(.~

--=-r-

lw 1j )

.~ ~

Iwj

j =::

J=::1 J J=::1 J m-1

~

00

f3j/k

J~

00

=::

~

koeff. van

lwl

h in

(.~ ~

!w 1j ) koeff. van !wl m-h in

~

h=::£ \J=1 J j=1

~

J...

~m/k ~ (~)~

= mi,!

~k/k

(.e + 1)m • m! k h \h =0 m-h m-1

~h

h/k 1 k 1 /k m-1

~

\_h

~ ~ -hI fC R. =:: I ~m ~ mh),c- ~ h=::£ . 'k (m-h)! .'k m. k

h=~

13· +00 f(x) -

2~

J

e-i'X~(')d'

- 0 0

Hiermee is de bewering bewezen en we zien dat

Tenslotte vermelden we nog enkele stellingen.

+00

J

I

~(,)

I

dC < ao. Dan heeft F een begrensde kontinue dichtheid f:

_00

Stelling 14: (Fourier-inverse)

Zij

~(,)

de karakteristieke funktie van de verdelingsfunktie F en stel dat

Bewi,js:

Stelling 15: (Riemann-Lebesgue) Als +00

J

Ig(x)ldx < 00 is en y(C) := -00 +00

J

eiCxg(x)dx, dan geldt y(l::) .... 0

-00

als C -..

.±

00

Bewi.js:

15·

Een ontwikkeling voor de verdelingsfunktie F n

Hebben we een rij onderling onafhankelijke stochastische grootheden X ,X ,X , •••

1 2 3

en bestaan voor de stochastische grootheden aIle momenten, dan kan men voor de verdelingsfunktie F van de gestandariseerde som van de eerste n

stochas-n

tische grootheden een ontwikkeling van de volgende vorm beschouwen:

+ ••• + Q..J,n(x) + )

n

jh

....

Hierin is Q. (x) een polynoom, wiens ko1Hficienten alleen van de eerste j +2

J,n

momenten van de stochastische grootheden X , •.• ,X afhangen. De ontwikkeling

1 n

(2.1) berust op het algemenere.idee van het ontwikkelen van funkties naar Hermite-funkties.

We be schouwen de funktieruimte

;t2(-

00 , +(0) (deze wordtverder steeds

geno-teerd als ~2)' welke een separabele Hilbertruimte is. Tot deze ruimte be-horen onder meer de Hermite-funkties

_X2/2

k e

ax

(k=0,1,2, ••• )

met ~(x) de verdelingsfunktie van de standaard normale verdeling. Bij deze Hermite-funkties hebben we de Hermite-polynomen

Uit (2.3) vinden we (k 0,1,2, ••• ) . He o(x) He 1

(x)

He 2(x)

=

1 = x 2 = x - 1

.

..

.

....

.

...

.

De funkties hek(x) (k

=

0,1,2, ••• ) vormen in

aG

2 een orthogonaal systeem,

+00

(2.5)

< hek,he,.e > =

J

hek(x)he,.e(x)dx =

_00

als k ~ ,.e als k = ,.e • (Zie o.a.: H. Buchholz, Die konfluente hypergeometrische Funktion, Berlin,

1953. )

hek(x)

De funkties Ilhekl! (k 0,1,2, ••• ) vormen een basis in '(:,L2

f(x) E ~ kunnen we als een Fourrierreeks schrijven: 2

en een funktie

We beschouwen vervolgens

(konvergentie in de zin van de

(:1...2-norm).

een dichtheid p(x) met de eigenschap

(2.8) Nu is p(x)

=

e _x

2

/4

h(x); daar hex) E ';/..,2 en e _x 2

/4

E:

'1...

2

geldt p(x) E:

Daar voorts lp(x)[ ~ lh(x)[ geldt p(x) E: (/...,2' zodat p(x) E:

'rt-1

n

';/,.,2'

Voor de funktie hex) bekijken we de Fourierontwikkeling in

dC

2:

00 he

k hek(x) 00 1

hex) = L: < h, llhekll > IIhe

k

ll

= k: 2 < h,hek > hek(x) k:=o ..., Ilhekil 00 = _1_ L: _1 < h,he > he (x)

b

k:=o k! k k Hierin is +00

< _h,hek >

=

J

p(x)ex2/4 hek(x)dx =

+00

J

p(x) Hek(x)dx

=

_{(-1)kck •}

_00

Uit het feit, dat de Hek(x) polynomen , zien we dat de koefficienten c k lineaire kombir~ties zijn van de momentG~ van p(x). D~ar de integralen in

(2.9)

bestaan, bestaan aIle momenten van p(x). Uit

(2.8), (2.9)

en

(2.2)

voIgt hex) = p(x)e x2 /4 = 00

z

_...k

C

_x

2/

(

)

4 if,k+1 k! e ~(x) . k=o

We bekijken nu de afbeelding A : Af(x) = e_x

2

/ 4 f(x).

Als f(x)

E

~ dan geldt Af(x)

EO(;

de afbeelding

A

is een lineaire

opera-2 2

tor op

Cf...

en daar IlAfll ~ IIfll is A begrensd en dus kontinu.

2

We passen

A

toe op hex) en op de partiele sornmen in

(2.10).

De partiiHe sorrunen in (2.10) konvergeren - in de zin van de ~ -norm - naar

2

hex); orndat de afbeelding

A

kontinu is, konvergeren dan ook de beelden van de partiele sornmen naar het beeld van hex):

Ah(x)

=

p(x) _ ; Ok l;i?(k +1 )

- k=o k! (x) .

We beschouwen vervolgens de Fourier-Plancherel operator

F

op

ac

₂• Als de funktie f(x)

E

';I..,

n

£., , dan is

Fr(e:)

voor bijna aIle I;;

E

(_00,+00)

ge-1 2

definieerd door

Ff(I;;)

-00

De lineaire operator F is unitair en heeft derhalve een inverse F-1•

Als f(x) E

£1

n

~2' dan is voor bijna alle , E (_00 ,+00 ) +00

F -1f(l") 1

J

eiXl"f(x)dx.

'"

=~

'"

_00

Nu geldt p(x)

E

a(1

n

~2 en verder is (zie

(2.2»

(k

0,1,2, •.. ) ,

zodat (zelfde redenering als vroeger voor p(x»

~«k+)

nE.lC

n

X

(k 0,1,2, ••• )

X 1 2

Eerst merken we echter het volgende op: De karakteristieke funktie van ~(x) is

+00

I

ei l:xe

-itx:

2 dx == -co 1

~

een gehele funktie is, is volgens de stelling van Cauchy

met L de horizontale rechte z == x-il;; (- co < X < co) in het komplexe vlak.

Neem in het komplexe vlak de rechthoek met hoekpunten N,-N,-N-il;;,N-iC.

2 z Daar e

I

reohthoek

-N

y

o

N x

...,..,...---+----.... - -- -

L -N-i~ N-j~

Voor de bijdrage van de vertikale zijden geldt:

I

vert.zijden 1 2 -=2 Z e dz

o

I

Y= -t;, -I;; e-t(N+iy)2dy+

I

y 0

-t(

-N+iy)2 e dy ~ J_N2

II

c

I

~ 2e 2

o

De bijdrage van de vertikale zijden gaat naar 0 alB N ... 0 0 . We zien dat dz +co

I

_00 1 e-:3 _{dx •}

Uit (2.15) voIgt dat de karakteristieke funktie van ~(x) is

(k)

Verder is de Fourier-Stieltjes getransformeerde van ID(x)

19· (k "" 1,2,3, .•• ) +00

J

-00 _1_

~

:1 2

-:ax

e +00 - 00

J

+OO(dk -'\ k-11 dx -00 :1

2,

"I"..

-:a x

1.':>A e e -00 +00

j('

eiCX(dk-1k-1 dx

door de partiele integratie te herhalen vinden we hiervoor +00

J

i1;;x-i e e - 00 dx • Uit

(2.16)

en

(2.17)

voIgt (2.18)

J

+OO_eiCxdjt\(k)_""(x) - 0 0 +00

J

- 0 0

De partiele Bornmen in (2.11) konvergeren - in de zin van de dt2-norm - naar p(x); de operator F-1 is begrensd zodat ook de beelden van de partiele sornmen konvergeren naar het beeld van p(x). We krijgen:

+00

J

-00

Hierin is ~(,) de karakteristieke funktie van de dichtheid p(x). Daar de par-tiele sornmen in

(2.19)

in de zin van de ~ -narm konvergeren, bestaat er een

2

deelrij van de partiele Bornmen, die bijna averal puntsgewijs naar de som-funktie ~(,) konvergeert.

Vaorts is volgens de stelling van Parseval (zie

_{(2.8), (2.9)}

en

(2.5»)

00

hek " 00 2

(2.20)

llh(x)1l2 _"" L:

_I

_{< h,}

[2

_L: Ck 00

llhekll / <

zodat de rij

00

~}

E.e

{;!

k=O 2

Bovendien geldt: de rij E o want ;

kL,2k

=

e

I

C

[2

< 00 •

N _{2 '} k

k=0 .

00 c

De reeks

~ ~

(_iC)k is absoluut konvergent voor aIle

~

en bij gevolg

kon-k=o k!

vergeert elke deelrij van de partiele sornmen in (2.19) bijna overal puntsge-wijs naar ~(,). De rij van partiele Bornmen in (2.19) konvergeert dus zelf bijna overal puntsgewijs r~r ~(,) en (2.19) is een machtreeksontwikkeling. De koefficienten c

k zijn lineaire kombinaties van de momenten en deze laatste kunnen in de semi-invarianten uitgedrukt worden, zodat de koefficienten c

k uit de invarianten bepaald kunnen worden. De relaties tUBsen de semi-invariant en en de koefficienten c

k vinden we als voIgt:

Daar voor de dichtheid p(x) aIle momenten bestaan, hebben we voor zijn ka-rakteristieke funktie ~(C) in een omgeving van (,

=

0 de machtreeksontwikke-ling (zie (1.19))

00 Yk k

= ~ (iC).

k! k=1

p(x) de dichtheid van een gestandariseerde stochastische grootheid (ver-wachting 0 en variantie 1), dan geldt (zie (1.21)) Y = 0 en Y 1; verder

1 2 is (zie (2.9) en (2.4)) +00 Co '"

J

p(x)dx 1

,

-00 +00 (2.22) c =: -

J

xp(x)dx =:

o ,

1 - 0 0 +00 c₂

J

(x2 - 1 )p(x)dx O. -00

De machtreeksontwikkelingen (2.19) en (2.21) worden dan

e

2 00

(, ( 1 + ~ (_,jy .,k ) . k! ~.. :

21 •

en

log q>(l;;)

Door deze twee maohtreeksen met elkaar te vergelijken zien we, dat we de re-laties tussen de koeffioienten ok en de semi-invarianten in de vorm van een formele vergelijking tussen maohtreeksen kunnen beschouwen

Dit geeft 00 c 1 + E

-!i

(w)k k==3 k! 00 E Yk k k=3

kT

(-w) e 2 -y , 0 = y , c == -y , C :::: Y + 10 y , •••••••••• 3 4 4 5 5 6 6 3

Hebben we nu een verdelingsfunktie F van een gestandariseerde stochastische grootheid en bestaan aIle momenten van

F,

dan kunnen we voor

F

met behulp van (2.25) uit de semi-invarianten koefficienten Ok konstrueren. We besohouwen voor

F

de ontwikkeling:

F(x)

~ ~(x)

+ ;

ck

~(k)

k=3 k!

(x)·

Deze formele ontwikkeling kan als voIgt gemotiveerd worden: x

Als F een dichtheid p(x) heeft, dan geldt F(x) ==

f

p(y)dy; de reeks in het

_00

reohterlid van (2.27) ontstaat op zijn beurt uit de reeks in (2.11) door deze termsgewijs te integreren (hierbij is Co :::: 1, 0

1 = c2 =

0;

zie

(2.22».

Na deze algemenere opmerkingen bekijken we nu een rlJ onderling onafhankelijke stochastischegrootheden X ,X ,X , ••• ,_{1 2 3} waarbij de grootheid X-_-K. (k=1,2,3, ••• ) de verwachting 0 en variantie

a~

heeft. De verdelingsfunktie van

~

zij Uk(x) en haar karakteristieke funktie zij wk(l;;). Voor de grootheid ~ noteren we het moment, het absolute moment en de semi-invariant van de orde ~ als resp" a k' ~ k en y k" Er is dan (zie (1.21»

~, \I, V,

a

=

y

=

0

De som (X₁ + X₂ + •.• + X )_n van de eerste n stochastische grootheden X._~-k

heeft de variantie

We veronderstellen s > 0;

n

zijn, buiten beschouwing. De gestandariseerde som (X

1 de verdelingsfunktie

2 02 + 2 2

s a + ••. + 0

n 1 2 n

d.w.z. we laten het triviale geval, dat aIle ok = 0

+ •.• + X )/s heeft

n n

F_n(x)

=

U₁

*

_U2

* ... *

U_n (s x) •_n

De karakteristieke funktie van F is volgens

§

1 stelling

6

en stelling 1:

n n

~

(C)

= IT

wk(C/s ) .

n k=1 n

Stel voor de stochastische grootheden ~ (k

=

1 ,2, ••• ) bestaan de momenten van een vaste orde r ~

3,

we nemen dan voor ~

=

2,3, •••

,r:

B_v,n

=

~

_n (p_~,1 + ••• +

P

_\I,n

)

en

r

=

~

(y + ••• + y ) en A

\I,n n \1,1 \I,n \I,n

r

\I,n

Voor \I

=

2 hebben we B

=

r

2,n 2,n

Voorts is B het absolute moment \I,n

S2/

n en p

=

A

=

1.

n 2,n 2,n

van de orde ~ van de verdelingsfunktie (U (x) + ••• + U (x»/n en volgens

§

1 stelling 10 geldt

1 n 1 1 3 ~ B ~ .... ,n 3,n Uit

(2.32)

en

(2.34)

voIgt 1 1.

t

3 P ~ P 2,n 3,n ~

...

~ 1 r Pr,n •

Uit

(2.31)

en

(1.17)

zien we dat in een voldoend kleine omgeving van ~

=

0 geldt log cP (C) n n log wkG' ) = 1:: k=1 n n

(V~2

Yv,k

(~)V

+ o(lClr

»)

= = 1:: k=1 v! n 1:: Yv k r k=1

,

_{( iC)v}

₊

_o(

_I

_C

_I

_r) 1:: _"" '.1=2 SV vi n r nr _(iC)V 1:: v,n

₊

_o(lcjr) v/2 BV/2 v! \1=2 n 2,n r A. (is)V 1:: V,n

₊

_o(Il::lr₎ (\1-2)/2 v!

.

\1=2 n -(V-2)/2 ( )

We zien dat n A. de semi-invariant van de orde v van F is \! =

2, •••

,r

v,n n

en dat de semi-invariant van de orde 1 nul is.

Verder is volgens §

1

stelling

13

Ir

I

~ vVB en geldt mede op grond van

v,n' v,n

1

'\ I,,;:: \I ,,;:: ( r )v/r

I\. I'-"Vp ~ r p

. v,n \I,n r,n (v=3, ••. ,r) .

We veronderstellen nu dat voor de stochastische grootheden ~ (k = 1,2, .•. )

alle momenten bestaan. De ontwikkeling

(2.27)

is voor F :

n

00

F (x)

~ ~(x)

+ 1:: ck,n

~(k)

n k=3 k! (x)

De koefficienten c

Hieruit krijgen we A _~5n 3 2 ' °6 n ,n A 10 A2 = ~ + 3,n 2 n n

...

.,

..

..

..

..

.

.

.

..

.

.

.

.

...

.

....

..

.

..

.

...

...

...

.

Verder is (zie (2.2) en (2.3» 1 2 -2X e

Vullen we voor de ck,n de uitdrukkingen (2.40) en voor de

~~~~

de uitdrukkin-gen (2.41) in (2.38) in en nemen we de gedeelten, waarin n expliciet tot de-zelfde macht voorkomt, samen dan krijgen we

_X2/2

~1

,n(x) + + ••••• ) • (2.42) F (x) rv ~(x) + e

G

n 2n

fu

_n Hierbij vinden we A (2.43) Q 1,n(x) = -b1l _{(1 -}

)

,

6 10 A2 /A 10 A2

5

A2 A Q (x):= 3,n +

1(--i.1!!

93_,n

~3

_{+ (}

2~

_{,n _}

~,n~

2,n 61 _{8 3}

....

...

...

.

...

.

. .

.

..

..

.

..

.

...

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

..

. .

.. .

.

. .

..

.

.

..

.

De polynomen Q kunnen algemeen op de volgende manier bepaald worden. Be-'k,n schouw daartoe g(w,n,t) [ 00L: !L"k+2 n ( k+2..i.(

'kJ

exp (k+2)! \ -w)

,r) .

k=1 ~n

Merk op dat g(w,n,1) het rechterlid van (2.39) is. Ontwikkel g( w,n,t) naar machten van

t/~:

(2.45)

De polynomen P (-w), welke we hierbij krijgen, zijn van de graad 3v in w

v,n

en de term van de laagste macht in P

-w)

met mogelijke koefficient

f

0 is WV+2•

25·

Immers bij het uitwerken van de reeksontwikkeling van de e-macht in (2.45)

krijgen we {•••••

}(tf~)\1

als een produkt van £ faktoren:

met

k +

1 + ••• + k£ = \I en k. ;;:: 1_J (j=1,2, ••• ,£) •

, A_v+2_,n afhangen.

en

(2.47)

dat we de polynomen P_v,n(-w) kunnen voorstellen door

De bijbehorende macht van w is wv+2£

3\1 .

Uit

(2.47)

voIgt

1

~ £ ~ \I, zodat de hoogste macht van w is w en de laagste

V+2 macht van

w

w

Daar verder 1 ~ k. ~ v (zie

(2.47»,

zien we dat de koefficienten van P (-w)

J v,n

aIleen van A

3_{, n} ,A4_,n ' •••

Bovendien zien we uit

(2.46)

P (-w) v,n v := .E ( 1)_- V+2£_a wV+2£ • ,£,v,n Zo is o.a. A 3 P (-w) = 3 6,n (-w) , 1,n

(-w)

,n

...

P_v,n(-w) ontstaat van f. Uit

(2.48)

voIgt

We voeren de volgende notatie in:

Stel de funktie f(x) is een voldoend aantal malen

(3v)

differentieerbaar. Dan definieren we de P [-fJ als de funktie, die uit het polynoom

v,n k

door hierin w te vervangen door de k-de afgeleide

v

.E

'£=1

V+2'£)

00 c

k k

00

(1

)'11

1 + E k

:n

w = 1 + L: P (-w)

,r

.

k=3 • v:=1 V,n .~n

Vergelijken we dit met (2.38), dan krijgen we

F (x)

~ ~(x)

+ ; P

[_~](~1)'II.

n 'II,n \

\/=1 n

Uit

(2.50)

volgt dat P [-~] een lineaire uitdrukking in de afgeleiden van

'II,n

~(x) is en op grond van (2.41) zien we dat

met Q_v,n(x) een polynoom van de graad 3'11-1 in

X;

immers de hoogste afgeleide,

. (3\!)

die voorkomt, ~s ~(x) •

De ontwikkeling

(2.52)

kunnen we dus noteren als

Daar de koefficienten van de funktie P [-~J evenals de koefficienten van

. v,n

het polynoom P ( -w) alleen van A , . •• , A afhangen, hangen ook de

'II,ll 3,n 'II+2,n

koefficienten van het polynoom Q (x) alleen van As ' ••• ,A 2 af.

V,ll ,ll '11+ ,n

We zien derhalve dat de koefficienten van Q (x) alleen van de eerate v + 2

V,ll

momenten van X

1' •••'Xn afhangen (zie (2.33)). De Fourier-Stieltjes getransformeerde van

2n

+00

f

27·

- 0 0 (volgens (2.18» v E

,e=1

= (zie (2.48»

Bestaan nu voar de stochastische grootheden

X

1

,X

2, ••• de momenten van een

vaste orde r ~

3,

dan is het mogelijk om de grootheden

A

_3,n

, ••• , A

_r,n te vormen (zie

(2.33»

en kunnen de polynomen Q (x), ••• , Q 2 (x) op de

1,n r- ,n

hierboven beschreven manier gekonstrueerd worden.

Ret probleem is nu om onder eventuele aanvullende voorwaarden, waaraan de stochastische grootheden moe ten voldoen, het asymptotisch gedrag van de rest-term

R (x)

r,n

te onderzoeken voor n - 00 •

Allereerst zij het volgende opgemerkt.

Stel de stochastische grootheden voldoen aan de voorwaarden :3 V (B ~ c)

c>O n 2,n

en

3

C>0 V (Bn r,n ~ c).

Uit

(2.34)

en

(2.58)

voIgt dat de B (v

=

2, ••• ,r) uniform in n naar boven

v,n

B

begrensd zijn. Wegens

(2.57)

zijn dan de p

=

v,/;

(v

=

2, ••• ,r) en bij-\I,n B \12

2,n

gevolg wegens

(2.37)

ook de

IA

I

(v = 2, ••• ,r) uniform in n naar boven

be-v,n

grensd. de konstruktie van de polJr.~omen Pk,n(-w) (zie (2.45) en (2.46» zien we dat de grootheden A , . . . , A_1r aIleen als posi tieve machten in

3 ~n £.+2,n de koefficienten van P

polynomen P_{v n}

(-w)

(v == 1, ••• , r-2) - en dus ook de koefficH~nten van de poly-nomen Q_v (x) (v '" 1, ••• ,r-2) --in absolute waarde uniform in n naar hoven

,n begrensd zijn.

De ontwikkeling in (2.56) is dan een ontwikkeling naar opklimmende machten

van

1~.

Vervolgens beschouwen we het speciale geval van identiek verdeelde stochas-tische grootheden, d.w.z. de grootheden X ,X , ••• hebben aIle dezelfde

ver-1 2

delingsfunktie F. We noteren het moment, het absolute moment en de semi-invariant van de orde v van F als resp. a ,

p

en y • Verder bezit F een

v v v

positieve variantie 02 en karakteristieke funktie zij ~(~). Voor de verdelingsfunktie (zie (2.30»krijgen we dan

(2.) F (x) '" F * F * .••_n

*F(xo~)

==

Fn*(xo~)

.

De karakteristieke funktie ~ (C) (zie (2.31»is dan

n ~• .~.IF;vU we (v == 2, •••,r) (2.61 ) B_{v,n -}

- p · r

_{v ' v n} " ' ' Y ' p_{v' v,n} = - " ' p

P

v_{v v} , 0 en A v,n en Q (x) = Q (x) • v,n v p_v,n

(-w) '"

P_v

(-w)

Uit (2.45) zien we dat de koefficienten van P_v,n(-w) dan aIleen van_. A , ••• ,A +

3 V 2

afhangen en dus onafhankelijk van n zijn. Evenzo hangen de koefficienten van

Q (x) dan niet meer van n af en kunnen we de volgende notatie gebruiken v,n

(2.62)

29·

§

3. Enkele hulpstellingen

Teneinde na te gaan hoe de verdelingsfunktie F naar de verdelingsfunktie van n

de normale verdeling nadert, wordt in het onderstaande een methode ontwikkeld om de discrepantie ~ tussen enerzijds F en anderzijds of de verdelingsfunktie

n

van de normale verdeling of een eindige ontwikkeling van F van de gedaante n

(2.54) te schatten met behulp van hun Fourier-Stieltjes-getransformeerden.

Zij T > 0; de funktie

1 1 - cos Tx

n: Tx2

is de dichtheid van een verdelingsfunktie V

T, immers vT(x) ~ 0 voor alle x en

+00

J

_00 1 - cos Tx dx n:Tx2 1 •

(Voor berekening van de integraal zie: F. RUhs, Funktionentheorie, Berlin,

1962,(p. 347).)

De karakteristieke funktie van V T is -00 _00 +00

J

_00 +00

f

cos(i;x) _00

- t

cos(Cx + Tx) -

t

cos(i;x n:Tx2 Tx) dx -00 +00

J

~dx+.1.

_{2 2} n:Tx +00

J

1 -cos(Ir +.rrTIxvI ~ ~x+­ 2 2 n:Tx -00 +00

f

1-cos(11;2-T1x)dx= n:Tx _00 (wegens (3.2))

_ ill

+_l- It: +T1_ - - T 2 T ~ m' ~ - J.! + _ "-1_ 2 T voor voor

II; I

~ T lz:i~T.

Uit de inleiding van deze paragraaf blijkt, dat we geinteresseerd zijn in een schatting van

I

tix)

I,

waarbij tkx) een funktie is met de eigenschap

6.( -00)

=

6.(+00)

=

O. Dergelijke funkties zullen we daartoe benaderen door hun convoluties met V

T:

_00

Opmerking:

T

Is 6. begrensd en kontinu, dan geldt 6. ~ 6. als T _ 00 •

Heem € >

0;

daar 6. kontinu is, bestaat er een 0t >

0,

zodat voor Ixl ~

D

t geldt 16.(t-x) - 6.(t)1 ~

t

E. Verder is 16.(y)

I

~M voor aIle y, zodat

+00

J

{6(t-x) - 6.( t)}vT(X)dx

~

_00 -0 00 °t ~2M

J

_t vT(x)dx + 2M

J

VT(X)dx +

t

€

J

_vT(x)dx

~

-= °t -0t 00 ₊₀₀ ~4M

J

_2_ dx +

t

€

r

vm(x)dx

=

J

2 .1 nTx °t - 0 0 t voor T~ T t •

De bovengrens van 16.1 wordt nu geschat met behulp van de bovengrens van

I

T6.I. Lelluna 1:

Zij F een verdelingsfunktie en g een begrensde, op

(_00

,+(0) absoluut integreer-bare funktie. Zij verder

I

g(x)

I

~ m< 00 voor - 00 < x < +00 en

x

J

g(t)dt met G(+:J<l +00 (' I

J

_00 g(t)dt 1 •

Stel

~(x)

=

F(x) - G(x) en

T) sup

I

~(x)

I

-00< x<+

00

Dan geldt vaar iedere kanstante k ~ 2:

D" k + 2m

fl2k-1

)k

2

+....L log(k-1

~

•

..." k-1 T)T nT

L

(k-1)2 k-1

J

Opmerking:

In [Feller] vinden we een soortgelijk lemma met iets andere voorwaarden en de eenvoudigere uitspraak T)

~

2T)T +

~~~

• Dit laatste komt overeen met de

uitspraak

(3.8)

veor het geval k

2.

De voorwaarden zijn hier iets anders geformuleerd vanwege de voorwaarden, welke wij in lemma 2 zullen stellen. Zie: [Feller], Hoofdstuk XVI, §

3,

lemma 1, (p. 510-511).

BewL! s:

De funktie G(x) is kontinu, immers

vaar

I

x··x

I .,;;;

0 •

o IG(x) - G(x_o

)1

=

JX

g(t )dt

I ..

mj x-xo

I '" ,

X

o

De funktie ~(x) is 0 in

200

en de linker- en rechterlimiet bestaan overal. Het is duidelijk dat in een of ander punt X

o !6(xo

-)!

= T) en/of 1~(xo+)1 =

n.

We onderscheiden twee gevallen:

1) G(x )_o ~t[F(x +) - F(x

-)J,

dan is 6(x +)

=

n.

0 I 0 0

Nu is F(x) monotoon niet dalend en

G(x) ~ G(x )+m(x-x ) veor x ;;.. x , zodat o 0 0 ~(x + s) ;;. TJ - ms voor 0 < s ~ TJ/m • o Ste1 t = X ₊

1.!l

o _km dan is ( ) k-1 6 t-x ;;.. - t) + mx ;;.. 0 k k-1 !l.

---

~ k m

Vaar de integraal in

(3.4)

vinden we met behulp van

(3.9)

en het feit, dat ll(t-x) ~ - TJ voor x ~--k-1 .!l k ill en Til(x + 1..!l) =: o k ill +00

J

il(t-x)vT(x)dx

~

_00 ..!l km

~

J

(k~1

TJ + mx)vT(x)dx - 11

J

k-1 .!l - 0 0 - k ill k-1 .!l k m +00

r

vT(x)dx +

J

vT(x)dx 1..n kill 1.11 km

(vT(x) is een even funktie, zadat

J

xVT(X)dx 0)

1.] kill k-1 - T] k

J

_00 .1.!l. kill 1,_-:::::.;00~8::...:::T.::.::.x - dx+ 2 nTx +00 2k-1

J

- - - T) k k-1 ..!l k ill k-1 ..!l

J

k ill 1-008 Tx mx 2 dx nTx k-1 == - _k 11 -1-008 Tx dx ~ nTx2 +00 +00

r

dx +

J

dx

J

2 2 X x k-1

.n.

1. .!l k ill kill k-1 ..!l k m

J

.9:?f. -

(2Y~

1.!l.

x k nT 2m nT .1..!l kill >- k-1 ~k11

33·

_ k -1 2m 1 (k 1) ( 2k -1 ) [kIn kIn ] - k TJ - rtr og - - k nr(k-1)T) +-; k-1 2m [ ( ) (2k-1 ~kJ-- k TJ - TIT log k-1 + (k-1 • Hieruit voIgt: (3.10) TJ T

~ k~1

T] - ;;; [log(k-1) +

«(~=~ ~k]

Uit (3.10) voIgt direkt (3.8).

2) G(x ) > t[F(x +) - :B'(x -)], dan is f1(x -) - T).

o 0 0 0

F is monotoon niet dalend en

G(x)~G(x )+m(x-x) voorx~x, zodat 0 0 0 - 6(x

o

-s) ~ T) - ms voor 0 <

s

~

T]/m.

Stel t dan is x -

1.!l.

en x = _

1

..!l + S o km k m ' - A(t-x) ~ k-1 TJ - mx ~ 0 k Gexo / ' Y-G(X )+m(x-x ) / - 0 0 / /

---"".jC.----

_{/ ' t Y: F(x • ) F(X} o·) / ' 0 /

:

_, I 1

.n

k-1 .!l voor -

k

m < x ~

k

m •

Wegens (3.11) en het feit, dat - f1(t-x)

~

- T] voor x

~

-

~

-; en x

~ k~1

.; ,

geldt nu voor de convolutie van 6 met V

T: +00 T 1 T1 _ f1(x _ -

..;J.)

== o k m

J

_00

111

k m +00

J

vT(x)dx +

J

k-1 ..!l k m

~

J

(k~1

T) - mX)vT(x)dx - T]

_1.!l.

km -00 k-1 11. k m

Ull.

k m +00 +00 k-1

J

mxvT(x)dx - ( 2k-1 )

TJf

vT(X)dx +

f

vT(x)dx ~ == - _k TJ -k

111

1.11. k-1 11. km km k m (zie onder 1).) >-_~

_k

k-1 2m (Ck-1 ~k' TJ - nT [log(k-1) + k-1)

J •

Hieruit voIgt (3.10) en bijgevolg (3.8); hiermee is het lemma bewezen.

We schatten vervolgens de bovengrens

Dr

van

IT~(x)

I

uit lemma 1 met behulp van de karakteristieke funktie van F en de Fourier-getransformeerde van g.

Lemma 2:

Zij F een verdelingsfunktie met karakteristieke funktie ~(C) en g een begrensde, op (_00,+00) absoluut integreerbare funktie.

Zij 19(x)

I

~ m < 00 voor _00 < x < +00 en G(x)

I

g(t)dt met G(

+00)

_00 +00

J

g( t)dt - 00 1 •

Stel verder dat voor F de momenten van de orde 1 bestaan en dat g een kontinu-differentieerbareFourier-getransformeerde y(C) bezit. Dan geldt voor aIle x,

T > 0 en k ~ 2: !F(x) - G(x) I ~ k-1 1 2n T

f

-T Opmerking:

In [Feller] vinden we, uitgaande van een eenvoudiger versie van lemma 1, een soortgelijk lemma, echter met enigszins andere voorwaarden. Wij hebben hier andere voorwaarden gesteld omdat Feller in de schets, welke van het bewijs geeft, formele differentiatie toepast.

Zie: [Feller], Hoofdstuk XVI, §

3,

lemma 2 (p. 511-51 Bewi,is:

Volgens

§

1 stelling 11 is de karakteristieke funktie ~

s)

kontinu-differen-tieerbaar en verder is volgens § 1 stelling 1 ~(O) = 1 en I~(c)l ~ 1 voor aIle C. Voor de Fourier-getransformeerde y(C) geldt dat

yeo)

+00

f

g( t)dt

- 0 0

1 en dat y(C) begrensd is, immers

+00

!Y(c)1 =1

f

eitCg(t)dt!

~

_00 += ('

j

I

g(

t)

I

dt < 00 •

35·

voor

I

~

l

~ T.

De karakteristieke funktie van vTjr F is ~(C)~(~) (zie

§

1 stelling

6).

Daar 1t4:r~l integreerbaar is op (-00,+00), heeft V

TjrF op grond va:n

§

1 stelling 14 de begrensde kontinue dichtheid

T_{f (}t) =_1 2n +00

f

-i

tC ()

( )

1 e ~, w_{T ( de -} 2n _00 T

f

-T

-it~ () ( ) e ~ C~ ,

d' .

De convolutie Tg = V

Tjr g vT

*

g is begrensd, daar g begrensd is (zie

§

1 stelling 3) en Tg heeft de Fourier-getransformeerde wT(C)y(C).

Daar !wTy! integreerbaar is op (_00 ,+00), is volgens het Fourier-inverse-theorema: +00 T Tg(t) 1

r

e-itCy(()wT(C)dC ~

f

-i tC ( ) ( ) (3.14)

--

j

=-' e y C w_T

C

dC • 2n 2n - 00 -T Voor _00 <:;;x, x <:;; +00 geldt 1 2 X X +00

(3.15)

f

2 Tg(t)dt =

f2 f

g( t-y )vT(y )dydt

x x _oo

1 1

(volgens FUbini, daar g absoluut integreerbaar is)

+00 X

f

vT(y)[

f

2 g(t-y)dtJdy = _00 x +00

f

_ 00

v~(y)[G(x_{_ 2}-y) - G(x -y)Jdy₁ =

T T f(t) -

g( t)

_1 2n T ( '

J

e -it'{q>(C) - y(C)}wT(C)dC

-T

- _1

J?

- 211: t=O T

J

e-it!;;{q>(l:) - y(t;;)h.1l T(t;)dl;;dt -T T x

=

;11:

J

{q>(~)

- Y(I;;)}wT(c)[

J

e-itl:dtJd~

-T 0 T

=

2~

J

pC

I;

~~l(

l:) w T(t;;)

[e

-ix!;; - 1 Jdt;; -T

De funkties <pet;;) en y(l:) zijn kontinu-differentieerbaar en <p(O) yeO)

=

1, zodat de breuk in de integrand in t;;

=

0 een eindige waarde heeft. We vinden (met

6(x)

als in

(3.6)):

T T6(x)

=

V

T

*

~"(x)

- VT

*

G(x)

-;11

f

e-ixt;;

ep(t;;~~t(t;;)

wTCOdt;; +

c .

-T

Daar

I

p (t; )

~l

(

1;) w_{m. '"}(I" )

I .

_{In egreerbaar is op}t ( )_{-00 ,+00 , geldt volgens}

§

1

- l 1

stelling

15,

dat

+00

~

J

e-ix!;;

Ql(r;~~t(l;;)

WT(t;;)dl: -00

naar 0 gaat als x -+

.±

00 •

T

Verder geldt

6(x)

-+

0

als

x

-+

.±oo;

dit zien we als voIgt:

De funktie

6(x) --... 0

als

x

-+ +00 en

1~(x)1

'" IG(x)[ + IF(x)1 '"

i

l

g(t)dtl +00

~

J

I

g( t)

I

dt + 1 = M< 00 • -00 + 1 ,;;;:

Neem e > 0; voor x ~ yo > 0 is +00

J

vT(X)dx

~

t

i .

y Voor y ~ y > 0 is 1

37.

Neem Y2 max(y ,y ); voor y ~ y geldt:

o 1 2 +00

I

T6.(2y)I =

I

J

6.(2y-x)v T(x)d:x:1

~

- 0 0

J

16.( 2y - X)

I

vT(x)d:x: +

J

+00 16.( 2y - X)

I

vT(x)dx

~

- 0 0 Y

J ()

:L e : L :l vT X d:x: + M"2

M

~ "2 e + "2 e = e • - 0 0

We zien dat de konstante C in (3.18) 0 is en

T T

I

T6.(x)I

~

;n

J

lep(~)?(OI

i1wT(I;;)ldl;;

~

;n

J

(d

s

)?(1;:

l

ldl:.

-T -T

rp

Voor de bovengrens TlT van 1-6.(x)1 geldt:

T

D

T

~ ~

J

\w(C),Y(C)ld~

.

§

4.

Identiek verdeelde stochastische grootheden We beschouwen in deze paragraaf

tische grootheden X1,X2'X

3' ••• ,

met verwachting

0

en variantie

eenrij onderling onafhap~elijke stochas-welke aIle dezeIfde verdelingsfunktie F

!

0 hebben.

4.1. Schatting van de restterm in de centrale limietstelling

Over de snelheid, waarmee de verdelingsfunktie van de gestandariseerde som van de eerste n stochastische grootheden ~ naar de verdelingsfunktie qJ

van de standaard normale verdeling nadert, is de volgende stelling in de literatuur te vinden:

Stelling 1 (Berry - Esseen) : Zij X

1

,X

2

,X

3, ••• een rij onderling onafhankelijke stochastische grootheden, 2

die aIle dezelfde verdelingsfunktie F met verwachting 0 en variantie a > 0

hebben. Zij verder F de verdelingsfunktie van (X + ••• + X

)/a~.

n 1 n

Indien voor F het absolute moment

+00

~3

f

IxI3dF(x) < 00 is, - 0 0

dan be staat er een van 1" onafhankelijke konstante C zodat voor -co < x < +=

en n ;;;;. 1 geldt: ~3

IF

_n(x) - qJ(x)

I

~ C

-V;; .

3, a n Opmerkingen:

1) Bovenstaande stelling vinden we in [Feller] en

[G.K.J,

Zie : [Peller], Hoofdstuk XVI,

§

5, theorem 1, (p. 515-517).

[G.K.],

Hoofdstuk VIII,

§

39,

Satz 1, (p.

202-205).

Wij hebben hier het bewijs zo gekonstrueerd, dat we er tevens met de ge-bruikte methode een zo goed mogelijke schatting voor de konstante C trach-ten uit te halen. We vinden dat C< 4,12.

2) Hebben we nu zoln rij stocnastisch0 grootheden en kennen we a en ~ , dan

3

<l?(b) - <l?(

a)

+

e

met

I

e

I

~ £ •

39.

c~ 4C2~2

We zien dat 3,~ ~

i

£ en dus n ~ 6 3 moet zijn. Hierbij kunnen we voor C

o Vn 0

de gevonden waarde

4,12

gebruiken. Heeft bijvoorbeeld de grootheid

X

k (k

=

1,2,3, ••• )

de Bernoulli -verde ling met parameter p, dan heeft de gereduceerde grootheid X

_k

= X_k - p de momen-ten ~ = p(1 - p)(p2 + (1 - p)2) en 02 p(1 - p). En de gestandariseerde som

3

n

,--(~ Xk)/o~n neemt zijn mogelijke waarden aan volgens de binomiale

verde-k=l

ling met parameters n en p. Bewi,js:

Zij ~(~) de karakteristieke funktie van F, dan heeft (zie (2.60» F de n karakteristieke funktie

Daar de momenten van de orde 3 bestaan, is volgens

§

1 stelling 11 ~(~) drie maal kontinu-differentieerbaar en is I . \) 12 +00

J

ei~XxVdB'(x)1 ~

-00 -00

zodat wegens appendix stelling 3 geldt

(a

l en

o

en a 2 ): Definieer: 2 T _.f2:.-c -

P3

Voor

Itl

~ T is c met 0 < c <

(2 .

I ( ) ₁ 1 22 1 2 ~t -1 ~201;. ~2c 2 ..\L < 1 2 3

~

- 2

We zien dat in het interval I~I ~T ~(~) lOis zodat daar geldt

c

elog

~(~).

Er geldt de volgende

reeksontwikkeling~

== 1 - ~(~) - 2~ a2

co

+

~

t

(1 _

~( ~»k

•

k==2

Hierin is voor l~l ~

T

wegens

(4.6)

c 00 ~

1

c4 k==2 k 4 a 4 4 2 2 a·to'· [ 1 (1 _

°

2 ) - C 2 ] ::;: =~ - og "'" 4 C ~ 2 2 2 ~ a 2.2:- [_ loge1 _.2-) _.2- ] ~ e4 ~3 _{2 2}

~31 ~

1 3 2 2

[

(

_

-C)

C ]

~ ₃ - log 1 _{2 -} -_{2 •} C met A(e) 1 2 2 -6 + [- log(1 _.2-) _.2-J • c3 2 2

De verdelingsfunktie F voldoet aan de voorwaarden voor de funk tie F in § 3

n

lemma 2. Evenzo voldoet de verdelingsfunktie ill aan de voorwaarden voor de

~ 2

funktie G; immers voor haar dichtheid x) == ill'(x) ==

~

e-2 x geldt:

V2n 1) g(x) is absoluut integreerbaar Of; \ ··(v ,+co ) ,

41.

3) g(x) heeft de kontinu-differentieerbare Fourier-getransformeerde _..1-1;,2

ret:)

=

e 2 (zie (2.16).

We passen het lemma toe met , I ca3

{ll

T = T aVU

=

•

C

P

3 Dit geeft (k ~ 2):

~Fn(x)

- <;p(x)

I

~

k:1 211 T

r

J

-T + 2P3

[C

2k-1 )k2 +

I I

(k-1)] 3,1

, r -

2 k 1 og, • ca Vn rrV2 11 (k-1)

-We nemen

~

; - ; voor de integrand in

(4.12)

krijgen we met behulp van (4.9)

a\n

en de algemene ongelijkheid le P - 1

I

~

jp

e

1p \

(zie appendix stelling 1):

I 1 2'

I

n{logcp(C/ofu) +

t

a2 (1;,/

of~)

2} - 1

I

(4.13) IcpnCl;,/oh) - e-2 l;, \ e -.:L2 (,2

Ie

(, ~ ( , j , '3 np

I-t;;

I

A(e)

~

np31-l;,-1 \(c) e 3

0[,;1

e

_H

2

ill

~

ah 1;,

-i

(,2 133 '13 133 2 + 3 ' - A(e)11;; 3{;; A(c)C e a ~n ~ a n

(

_daar

I'

_{1;,1 ~}

ca3f~)

_P 3 13 ( 1 2 _{+ cA(c)1;,2)} ~ _3_ _{A(c)(,2 e-} 2-t;; a3~ 13₃ 2 1 _B(e) - - A(e)' e-2 a3~ met 2

(4.14)

B(e) == 1 - 2cA(e) = 2 c ." l1 C \ -3"+ ₂ .log, '

- 2)

c

.,

~

We willen dat de e-macht in de schatting (4.13) een negatieve exponent heeft. Daartoe moet c naast de eis 0 < c <

f2

ook nog voldoen aan de eis

B(c) > 0 •

Dat er een dergelijke c bestaat, zien we aan het feit dat c 1 voldoet. Stel c voldoet aan de twee bovenstaande eisen; voor de integraal in (4.12) geldt dan

T

J

-T

_ 00

Uit (4.12) en (4.16) voIgt met ACe) als in (4.10) en B(e) als in (4.14):

(J3~

IF (

~3 n - rI>(x)

I

1 c2 02 (- + 3 [ - loge 1 -

2"") -

2""])

k 1

6

c ,;:: - - - " - - - : / , - + "'" k-1 J 2-rr (2 2 3 2 V '" _{- -}c _{+ -}2 _log(₁ _ _e ))_.

3

c2 2 + 2 [( 2k-1 )k 2 + log(k-1)l. en~ (k_1)2 k-1

J

De ongelijkheid (4.17) geldt onder de voorwaarden:

k~2, O<e<(2 en e 2 ( 2 2 -

'3

+

2"

log 1 - e 2 ) > 0 • C

Het reehterlid van (4.17) is een funktie

C(k,c).

We bepalen nu onder de voor-waarden (4.18), (4.19) en (4.20) het minimum van C(k,e); nemen we voor de konstante C in (4.1) dit minimum, dan is hiermee de stelling bewezen. Mot het in de appendix bijgevoegde programma hebben we voor dit minimum de waanie 4,1174 gevonden; het minimum werd bereikt vcor

stante C in (4.1) geldt dus C~ 4,1174·

kon-43·

Opmerkingen:

Zie de opmerkingen na het bewijs van stelling 1 in

§

5.

4.2.

Verscherping van de centrale limietstelling als de momenten van de orde 3 bestaan

Indien nu voor de verdelingsfunktie F de momenten van de orde r (r ~ 3) be-staan, dan kunnen de polynomen Q (x), .•• ,Q (x) op de in

§

2 beschreven

ma-1 r-2

nier gekonstrueerd worden en kan men voor de verdelingsfunktie F een eindi-n

ge ontwikkeling

(2.54)

beschouwen. Het is dan mogelijk am de centrale limiet-stelling te verscherpen door een uitspraak te doen over het asymptotisch ge-drag van de restterm (zie

(2.56»:

(4.21 )

R (x) = F (x)

r,n n

Voor r

_3,

het eenvoudigste en belangrijkste geval, is

(4.21)--

zie

(2.43),

waarin nu A. 3,n A.3

=~

3 o a 2. 3 o - : a Rex) =F (x)

-~(x)

-

3~

(1_x2) 3,n n ~ bO n

Als F geen tralieverdelingsfunktie is, dan zullen we aantonen dat uniform in x geldt

R (x)

3,n als n -.. 00 •

Is Fechter een tralieverdelingsfunktie, dan geldt

(4.

)

niet, daar volgens het hieronderstaande lemma de sprongen van F van de cr,le van grootte

1~

. n

zijn. Er is evenwel voor tralieverdelingsfunkties een soortgelijke uitspraak mogelijk (zie stelling 3).

Lemma 1:

Zij X

1,X2,X3 "" een onderling onalrlankelijke stochastische groatheden,

die aHe dezelfde verdelingsfunktie 1" met verwachting 0 en variantie 02 > 0 hebben, en F de verdelingsfunktie van (X + ••• + X

)/o{~.

Indien F een

n 1 n

sprong p (t) van F in ieder punt t, waar F diskontinu is, dat n n n p (t) n h .1..t2 -~- e-2

a~

21m +

o(

1 ) ~n als n .... 00 • Opmerkingen:

1) Een andere versie van dit lemma vinden we in [G.K.]. Zie: [G.K.], Hoofdstuk IX,

§

48, (p. 235-238).

2) Indien voor F de momenten van de orde r (r ~ 3) bestaan, dan is het moge-lijk om een eindige ontwikkeling van p (t) naar opklimmende machten van

n

(1~)

te vormen.

Zie: [G.K.], Hoofdstuk IX,

§

50, Satz 1 (p. 243-245). [EsseenJ, Hoofdstuk

IV,

§

4,

theorem

5

(p.

63).

Bewi,is:

Laat de mogelijke waarden.van ~ (k=1,2,3, ••• ) zijn b + vh ('V=O,.± 1, + 2, •.• );

, I nb

de mogelijke waarden van (X + ••• +

X

)/aVn zijn dan --- + v'

1 n

a'ht

a~

('V' O,.± 1, .± 2, •.• ), deze worden aangenomen met de waarschijnlijkheid

p (nb + VI

--1.L) .

n a~ a~

Voor de karakteristieke funktie ~ n

)

van F geldt (vergelijk (1.8»:

n , \ . iI;;

(nb

+

v

I

--1.L)

..1l.-)

e

a~

a~

a~

( nb h ) P -:= + v' ---n aV ---n

a~

'1" v1h ~'::> -e

a{;;.

Nu is voor k en

,e

geheel: rr./a

{;

alsk~,e

J

ikax - i,eaxdx e e -rr./a als k

,e •

45·

( nb h ) P - + v - ==

n

(l~

crfu

h

_,.

2ncr~n

J

nd~

h e .,. vh .,. nb -~'"

r

-~",-cr~

n e crh cp (,

)d~

• n Neem t =

~;=-

+ v , I ' dan is (4.26): crVn crVn p (t) n h 2ncrfu

Verder geldt (zie

(2.16»:

h 2ncrt:. - 00 zodat p (t) -n h 2nofu

2 bestaat er een & met 0 < 0 ~ b ,

2 2 1 Zij cp(~) de karakteristieke funktie van F, dan is (zie

(2.60)

Daar de momenten van de orde 2 bestaan, is er volgens

§

1 stelling 12 een

b > 0, zodat voor I~I ~ 0 log cp(~) twee maal kontinu-differentieerbaar is.

1 1

Neem 0 < E < volgens appendix

zodat voor I~I ~ 0 geldt: 2

Neem 0 '= min(o ,n/h) > 0; we splitsen het integratiegebied van de eerste

in-2 ~

tegraal in (4.28) in de stukken

Ie!

~ od~

en

ocr~ ~

lei

~ n~

n •

n Voor (4.28) krijgen we

oa~

h

f

2rra~

-oa~

Hierui t voIgt: h

-i-

t2 p (t) - e ~ n

aV

2nn

o(J~

h

r

~ 2n(J~

J

-oa~

'= I + I + I . 1 2 3

r

-L1"2 + h

J

e - 2 '"

d~

2rra~

O(J~~

Ie

< +00

Neem

~

=

-1= ;

met (4.29) en de ongelijkheid

(J~n vinden we voor I : 1

oa~

2no:G

II

-oaVn

(wegens (4.32) en (4.29)) , I £:

2(

C

\2

.

oaVn n - a - )

r

(

)2 2

, I :l

2

J

IS 2 ~ aV n - 2' (; dl"" ~ n - a - e e " "'= I 2 , I -ba~n aVn

47·

Verder is _ =h_£= ~ 4naV;

met 01 een kanstante.

I _ _h_ 3 - naV; +00

r

oa~

als n -> 00.

Neem

l;

-j=;

volgens

§

1 stelling 9is

Icp (U I

< 1 voar

°

<

II;

<

~

• Er

aVn

-0

bestaat daarom een konstante 02 > 0, zadat voor 0 ~ I~I ~

*

geldt

Icp(l;)1

~ e-- 2

Voor I krijgen we 2 I 2

nih

-no

J

~

11

e 2 n b

]aar 8 willekeurig klein gekozen kan worden, geldt: (n- oo ) • p

(t)

n ( 1 \ + 0

~)

q.e.d.

We keren nu weer terug naar de ontwikkelingen voar de verdelingsfunktie

Stelling 2:

Zij X ,X ,X , ... een rij anderling onaL~ankelijkestachastische groatheden,

1 2 3 2

die aIle dezelfde verdelingsfunktie F met verwachting 0 en variantie a > 0

hebben, en zij F de verdelingsfunktie van (X + ••• + X

)/a~.

F geen

n 1 n

tralieverdelingsfunktie en is het absolute moment van de orde 3 van F eindig, dan geldt uniform in - 00 < x < + 00

F (x)

n (

1 \

+ 0 ~) als n - 00 •

Opmerking:

Bovenstaande stelling vinden we in seen] en

[G.K.].

Het onderstaande bewijs is een van het door Feller gegeven bewijs; Feller verwijst voar de schatting van de integralen naar het bewijs, dat hij eerder al gegeven heen voar soartgelijke antwikkelingen van dichtheden.

In [EsseenJ en

[G.K.]

wordt zij op een andere marrier bewezen. Zie : [Feller], Haofdstuk XVI, § 4, theorem 1, (p. 512-513).

[G.K.], Hoofdstuk VIII, § 41, Satz 2, (p. 211-212). [EsseenJ, Hoofdstuk IV, § 2, theorem 2, (p. 49-52).

Bewi,j s:

Zij cp(t;) de karakteristieke funktie van F, dan is de karakteristieke funktie van F_{n (zie} (2.60»

cpn(~)

=

cpn(

5-).

49·

Stel

~2n

= \t>(x) + g (x) n De afgeleide ex waarin nu A =: -2). 3,n 3 a g van G is n n ~ 2 -2 X - 3x» • De Fourier-getransformeerde van +00

J

_00 ex (zie

(2.49)

met

A

=: -1) 3,n 3 a is (zie (2.18) en (2.55» Nu geldt G (-

(0)

0, G (~ (0) 1; y is kontinu-differentieerbaar en g is n n n n

absoluut integreerbaar op (- 00,+

(0).

Uit (4.38) zien we dat er een van n on-afhankelijke konstante m bestaat zodat voor n ~ 1 en - 00 < x < + 00 geldt dat

Ig

(x)

I

~ m< 00. n

De funkties F en G voldoen aan de voorwaarden v.an

§

3

lemma 2.

n n r

Neem E>

°

willekeurig en pas het lemma toe met k 2 en T a~n, waarbij de konstante a zo gekozen is dat 1.4m ~ Ea.

n Dit geeft r aVn

(4·40)

iF (x) - G (x)

i

~1

r

~n(7:)

-

_YnCs)!

ill

_d' +.£. n n n

_J

_~

-a~

aV n

We splitsen het integratiegebied van de integraal in

(4.40)

in de stukken

1,\

~ oa~

en

oa~ ~

[el

~ a~

met 0 < 0

~

a/a. De keuze van 0 voIgt verder-op, maar is onafhankelijk van n.

+ _{+ +}

Voor I~_~ geldt (zie (4.39))=

_.1.. 1;,2 e 2

ia

I

3

=

2

afu

L

n oavn

1 2 1;,e - 2 I;, dl;, + ---'''--30-3

ala 1\

ls.2 2 ----'=._ + 3 - 2 u an 303

_I

.1. r'2 - 2 "

Neem

~

_-

-

~

_r

vear I₂ vinden we met

(4.

):

ov

n I 2 -ne

d~ ~

2e 0 a/a

J

-r=

6 -ne 2e 0 log...§:.. 60 veor I ' Is 0

~

0 1 dan is

~(

,}- ) oVn

Rest ans nag I te schatten.

1

Daar de moment en van de orde 3 bestaan, is er volgens § 1 stelling 12 een

~(~) drie maal kontinu-differentieerbaar is. log

~(~)'

\vn

e

6₁ >

°

zodat voor I~I ~ 0

i zien we dat I 1 _.1.,..2 e 2 ""

Om de integrand te schatten gebruiken we de ongelijkheid (zie appendix stel-ling 1): Wij stellen ~ no:: t , 0:: = n{log ~(~) +.1- t;,2\ [3 =

-t

(it,)3

o~

2 )

,

en beschouwen 1 0::

(4.47 )

~ _{(a - (3) log ~(t;,)} + -~- ~2 ,,-3 (it;,)3

.

n 0 Nu is voor F· Y i 0::1 = 0, Y2 0 2 en Y

3 = 0::3 , zodat in

(4.47)

het verschil

tussen log ~(t;,) en haar 3de graads Taylol'-polynoom staat (vergelijk (1.19». Verder is log cp(!;,) drie maal kontinu-d.ifferentieerbaar voor

Ir,1

~

°

1, zodat