Algebra oefenen met inzicht

(1)

Algebra oefenen met inzicht

Johan Deprez

CNO, Wilrijk, 19/11/14

(2)

Kennismaking

(3)

Wie zijn jullie?

• _{gra(a)d(en) waarin je lesgeeft?}

 (derde) // tweede // eerste

• _{basisdiploma?}

 bachelor onderwijs: wiskunde // andere  master/licentiaat: wiskunde // andere

• _{ervaring als wiskundeleraar?}

(4)

Wie ben ik?

• _{verantwoordelijke voor de Specifieke}

Lerarenopleiding wiskunde KU Leuven

• _{(en een verleden als}

 docent wiskunde in het economisch onderwijs aan de hogeschool/universiteit

 verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding wiskunde aan de Universiteit Antwerpen)

(5)

• _{gebaseerd op artikel in}

Uitwiskeling 29/1 (winter

2013) = syllabus

• _{mede-auteur: Regi Op de}

Beeck (lerares) + grondig

besproken met de hele

redactie van Uitwiskeling

• _{artikel schatplichtig aan}

vele bronnen, maar o.a.

aan Paul Drijvers en

Martin Kindt (medewerkers

Freundenthal Instituut)

(6)

Werkmoment 1

Los werktekst 1 op

(7)

Aanleiding voor deze nascholing

(8)

Peiling wiskunde 2

de

graad aso (2011)

resultaten voor algebra niet goed genoeg

(9)

(10)

Peiling eerste graad A-stroom

(11)

Resultaten voor algebra niet goed genoeg

• _{enkele nuanceringen}

 grote verschillen tussen studierichtingen

 op het einde van het vierde jaar zonder vooraf studeren

• _oorzaken?

 te moeilijke vragen?

eerder niet

 leraren vinden algebra niet belangrijk?

leraren geven in de peiling aan dat ze algebra belangrijk vinden

 weinig lestijd besteed aan algebra?

leraren besteden veel tijd aan algebra

(12)

Oplossingen?

• _{problemen zijn niet nieuw}

 zoals oudere collega’s wel weten

 is ook gedocumenteerd in wetenschappelijk onderzoek

• _{niet typisch voor Vlaanderen}

 in internationaal perspectief doen we het zelfs vrij goed

• _{geen wonderoplossingen bekend}

• _{vandaag inzoomen op verdere verbetering didactiek} • _{(lang) niet enige element in de oplossing}

bv. grote problemen bij Humane Wetenschappen zijn niet zomaar op te lossen met betere didactiek

• _{betere oriëntering?}

• _{eindtermen differentiëren} • _…

(13)

Werkmoment 2

(14)

Zoek

•

(15)

5. Wat verkies je?

Los op:

OF

Los op: .

Bereken: d.

OF

Bereken: d.

•

15

(16)

Wat werkt niet?

(17)

Wat werkt niet?

[S]tudies over several decades ha[ve] shown that an exclusively skills-based approach to the teaching of algebra did not lead to skilled performance among algebra students […]. Nor, according to the ample number of studies of the late 1970s and 1980s,

ha[ve] such approaches led to students’ being able to interpret adequately the various ways in which letters are used in algebra […], or the structural features of algebraic expressions […], or equivalence constraints on equations and equation solving […]. Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching

(18)

Vaardigheden + inzicht!

• _{basisvaardigheden alleen: werkt niet}

• _{doel moet hoger liggen:}

basisvaardigheden + algebraïsch inzicht

18

• flexibel met verschillende methodes (WM2 oef. 1 en 2)

• inzicht in de structuur van een uitdrukking (WM2 oef. 4 en 5) • deeluitdrukkingen als een geheel zien (WM2 oef. 3 en 4)

• welke vorm is best: product of som? (WM2 oef. 5)

• je niet laten verleiden door aandachtstrekkers (WM2 oef. 3) • …

(19)

Vaardigheden + inzicht!

1. techniek, begrip, … inzichtelijk aanbrengen

2. gedurende een korte tijd directe oefeningen maken

3. oefenen combineren met versterken van inzicht

19

(20)

Wat kunnen we je bieden?

een menu met veel kleine gerechtjes!

(21)

Wat we je al geboden hebben

• _{gevarieerd oefenen}

• _{oef. 1 en 2:}

rechthoeksmodel voor

vermenigvuldigen

• _{oef. 3: band tussen}

getallen en algebra

• _{oef. 4 en 5: inzicht in}

structuur van een

uitdrukking

• _{oef. 5:}

omkeeroefeningen

(22)

Werkmoment 3

• Verrassende resultaten

• Omkeervragen

(23)

(24)

Rekenregels die nuttig zijn

Bij welke van de onderstaande berekeningen…

… mag je de haakjes wegwerken?

… vind je het nuttig om de haakjes weg te werken?

•

(25)

Rekenregels die nuttig zijn

Haakjes wegwerken is soms nuttig, maar soms ook niet.

• _{moet een optie zijn}

• _{mag geen automatisme worden}

• _{breng dit aan met voorbeelden waaruit de}

nuttigheidswaarde blijkt

• _{oefen dit in in situaties waarin het nuttig is}

(26)

Rekenregels die nuttig zijn

Ken je andere voorbeelden van rekenregels die soms

wel, soms niet nuttig zijn?

Geldt ook voor:

• _{associatieve eigenschap}

• _{ontbinden in factoren}

• _…

•

(27)

Optellen van breuken?

• _{Gebruikte je de formule ?}

• _{niet de formule maar een algoritme}

• _{Is deze formule nuttig?}

•

(28)

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules

Ken je nog voorbeelden?

• _{nulpunt van is}

• _{-coö van de top van een parabool is ??}

 versus werkwijze: bereken -coö en functiewaarde  beter werkwijze aanleren i.p.v. formule, want

• _{werkwijze steunt louter op inzicht}

• _{formule wordt na verloop van tijd vergeten}

 formule voor -coö van de top wel nuttig

•

(29)

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules

Ken je nog voorbeelden?

• _{tabellen met tekenverloop van een algemene} tweedegraadsfunctie

 laat leerlingen de 6 types grafieken onthouden…

 … en het tekenverloop (en nog veel meer) daaruit afleiden…

(30)

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules

• _{in mijn vroegere job in het hoger onderwijs: veel}

studenten

 wisten dat ze een formule geleerd hadden voor  stelden vast dat ze ze vergeten waren

 en voelden zich machteloos…

• _{Wat is belangrijker?}

 formule kennen voor ?

 weten wat een 3-de macht is?

•

(31)

Van abstract terug kunnen gaan naar

concreet

• _{inzichtelijk aanbrengen: van concreet naar abstract}

• _{bij oefenen: verband abstract - concreet levendig}

houden (zie werktekst 1)

• _{bij twijfel: van abstract terug kunnen gaan naar}

concreet

• _{verschillende vormen}

 zien  sprekende voorbeelden  narekenen  … 31

(32)

Formules zien

• _{bij het aanbrengen} • _{bij het oefenen} • _{bij twijfel}

• _{op een poster in de klas?} • _{op het formularium?}

(33)

(34)

Formules zien

1

3 +

1

2

1

5

≠

(35)

Sprekende voorbeelden

een prototypisch voorbeeld

• _{bij het aanbrengen}

• _{ernaar teruggrijpen bij twijfel}

• _{opnemen in formularium?}

•

(36)

Formules narekenen

• _{steunen op de betekenis}

 met leerlingen die formules vergeten zijn:

• _{getallenvoorbeelden invullen}

 ?

 getallenvoorbeeld is vaak voldoende om de incorrectheid van een vermeende formule aan te tonen

 let op: getallenvoorbeeld is niet voldoende om de correctheid van een formule aan te tonen

•

(37)

Werkmoment 4

• Oplossingen van een vergelijking zien

• Tweedegraadsvergelijkingen oplossen …

(38)

(39)

Los komen van standaardoplossingen

(plan B)

Hoe los je de volgende eerstegraadsongelijkheden op?

ALTIJD termen met naar het linkerlid brengen en de constanten naar het rechterlid

OF flexibel gebruik maken van verschillende methoden? • _{vaste methode kan zekerheid bieden}

• _{vaste methode kan inefficiënt zijn of leiden tot meer} rekenfouten

• _{afweging maken!}

Hoe los je de volgende tweedegraadsvergelijkingen op?

•

(40)

Twee vraagstukjes

1. 208 vertegenwoordigers van de verschillende Belgische gewesten waren aanwezig op een congres over

euthanasie. Er waren 3 keer zoveel Vlamingen als

Brusselaars, en 16 Walen minder dan Vlamingen. Hoeveel vertegenwoordigers had elk gewest op het congres?

2. Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de

schoolsportdag konden ze kiezen tussen in-line skaten, zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee keer zoveel leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en er kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan voor in-line skaten. Als je nu weet dat er 120 leerlingen gingen zwemmen, hoeveel gingen er dan mee in-line skaten, en hoeveel kozen voor de fietstocht?

(41)

Twee vraagstukjes

1. …

2. Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de schoolsportdag konden ze kiezen tussen in-line skaten, zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee keer zoveel leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en er kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan voor in-line skaten. Als je nu weet dat er 120 leerlingen gingen zwemmen, hoeveel gingen er dan mee in-line skaten, en

hoeveel kozen voor de fietstocht?

(42)

Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig?

• _{basisonderwijs: ‘rekenkundige oplossingsmethoden’, bv.}

terugrekenen

• _{secundair onderwijs: algebraïsche oplossingsmethoden}

• _{overgang kan beter}

 voor sommige vraagstukken zijn rekenkundige methoden prima  voor andere vraagstukken is algebra beter (sneller, routine i.p.v.

inventiviteit, …)  wees flexibel

 waardeer rekenkundige methoden…

 … maar laat de voordelen van algebra zien: zoek problemen

waar algebra echt nuttig is en laat leerlingen hierover nadenken, zie bv. werktekst in syllabus

(43)

Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig?

There is a stage in the curriculum when the introduction of algebra may make simple things hard, but not teaching

algebra will soon render it impossible to make hard things simple.

Tall, D., Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking in algebra using the computer. Educational Studies in

Mathematics 22, 125–147. simple things hard

 er is een serieuze drempel die overschreden moet worden hard things simple

 algebra maakt veel mogelijk voor wie het begrijpt

(44)

Globaal kijken naar uitdrukkingen

(45)

Voorbeeld 1

• _{Bepaal het domein van .}

 Ken je courante fouten?

 inzicht nodig in de manier waarop deze uitdrukking opgebouwd is

• _{eerst aftrekken van 2 (dat geeft een tussenresultaat)} • _{daarna wortel trekken}

• _{het tussenresultaat moet positief zijn (want daaruit moet je de} wortel kunnen trekken)

 pijlenschema:

 zie applet Algebra pijlen op www.wisweb.nl (let op: je moet zelf opgaven maken)

•

(46)

Voorbeeld 2

• _{Hoe ontstaat de grafiek van grafiek van uit die van ?}

• _{Hoe ontstaat de grafiek van uit die van ?}

• _{Ook hier helpt het inzicht dat je opbouwt met de}

applet Algebra pijlen!

•

(47)

Voorbeeld 3

• _{Waarom is ?}

• _{Maak een pijlenketting!}

• _{Exponentiële en logaritmische functie worden niet}

onmiddellijk na elkaar toegepast.

•

(48)

Voorbeeld 4

• _Herschrijf

 argument van de logaritme is een product

 onderdruk nog even de aandachtstrekker ‘macht’  gebruik kadertjes om deze ideeën te ondersteunen

 pas nadat je de regel voor de logaritme van een product toegepast hebt, wordt de macht in de tweede factor belangrijk

• _{Laat leerlingen uitdrukkingen benoemen}  is een verschil

 ontbinden in factoren: een som omzetten in een product  …

• _{zie applet Algebra expressies op www.wisweb.nl}

•

(49)

Algebra expressies op www.wisweb.nl

(50)

Slot

• _{we kunnen niet alle problemen zelf oplossen,} • _{wel ons steentje bijdragen}

• _{door in te zetten op het combineren van basisvaardigheden met het} werken aan algebraïsch inzicht.

Een menu met veel kleine gerechtjes

 Variatie in de vraagstelling, Omkeervragen, Slimme rijtjes, Kunnen weerstaan aan aandachtstrekkers, Uitdrukkingen als een object kunnen zien, Rekenregels moeten functioneel zijn, Spaarzaam zijn met formules, Van abstract terug naar concreet, Globaal kijken naar uitdrukkingen, Algebra inzetten om patronen te beschrijven, Vergelijkingen interpreteren met grafieken, Loskomen van

standaard-oplossingsmethoden, Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig

 En ook nog: Niet te snel en niet teveel verkorten, Niet alleen successen maar ook mislukkingen, Geregeld oefenen, Ook bij andere onderwerpen algebra oefenen, …

(51)