Gebruikershandleiding voor de tweedimensionale
meshgenerator TRIQUAMESH
Citation for published version (APA):
Schoofs, A. J. G., Beukering, van, L. H. T. M., & Sluiter, M. L. C. (1978). Gebruikershandleiding voor de tweedimensionale meshgenerator TRIQUAMESH. (DCT rapporten; Vol. 1978.001). Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1978
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
GEBRUIKERSHANDLEIDING VOOR DE TWEEDIMENSIONALE MESHGENERATOR-
TRI QUAME SH
Vakgroep Technische Mechanica Afdeling der Werktuigbouwkunde Technische Hogeschool Eindhoven.
le uitgave: januari 1978 Ze uitgave: juni 1978 3e uitgave: februari1981
INHOUDSOPGAVE
Literatuur H. 1
H. 2
Samenvatting
Inleiding; faciliteiten van TRIQUAMESH
H. 3 Beknopte beschrijving van de werkwijze
3.1 Inleiding
3.2 Lezen, kontroleren en transformeren van de invoer-
gegevens. 3.2
1 . 1
2 . 1
3.1 3.1
3.3 Verdelen van een gebied in subgebieden en substrukturen. 3.5
3.4 Genereren van kontourpunten. 3.13
3.4.1 Beschrijving van een kontourdeel. 3*13 3.4.2 Genereren van steunpunten op een kontourdeel, 3.18 3.4,3 Beschrijving van subkontouren door middel van steun-
punt en. 3.25
3.5 Verdelen van een subgebied in driehoeken of vierhoeken, 3.28
3 e 5.1 Inleiding
3.5.2 Verdelen van een konkaaf subgebied in konvexe deelge-
bieden. 3.28
3.5.3 Verdelen van een konvex deelgebied in driehoeken. 3.31 -
3.6 Optimaliseren van de vorm der elementen. 3.33
3.7 Hernummeren van de elementen per subgebied. 3.35
3.5.4 Verdelen van een konvex deelgebied in vierhoeken. 3.32
3 . 8 Hernummeren van steunpunten t.b.v. bandbreedte reduktie. 3.36
3.8.1 Inleiding 3.36
3.8.2 Beschikbare hernumeringsmethoden. 3.37
3.9 Genereren van middenpunten. 3.44
3.10 De uitvoer van TRIQUAMESH. 3.46
3.10.1 Inleiding. 3.46
3.10.2 Regeldrukkeruitvoer. 3.47
3.10.3 Ponskaartuitvoer, 3.54
3.10.4 Uitvoer op magneetschijf. 3.54
PH
-$ I-
..
Literatuur
[
41
rsi
c- 4
671
Buell, W.R. en Bush, B.A.: Mesh Generation
-
A Survey,Transactions of the ASME; Journal of Engineering for
Industry, februari 1973, pp. 332-338.
George, J.A.: Computer Implementation of the Finite
Element Method; Stanford University, Stanford, California, STAN-CS-71-208, februari 1971.
Klingen, J.: Statische analyse van vaste scheepsschroeven met behulp van de elementenmethode; Eindstudierapport WE 76.17, vakgroep Technische Mechanika, Technische Hoge- school Eindhoven, augustus 1976.
Argyris, J.H.: ASKA Part I
- Linear Static Analysis, User's
Reference Manual; ASKA UM 202, ISD, Stuttgart, 1975.
P e t e r s ; F.J.: FEMSYS, een systeem voor op de eindige ele- menrenmethocie gebaseerde berekeningen. Eeei i, ïnieiciing
terminologie en gebruikershandleiding. Technische Hoge- school Eindhoven, onderafdeling der Wlskunde, maart 1976.
MARC-CDC User Information Manual, Volume I, Non-linear
Finite Element Analysis Program. Publication no.17309500, rev. F.
A.
Schoofs, L. van Beukering,l M. Sluiter,handleiding voor de tweedimensionale meshgenerator TRIQUAPIESH, Technische Hogeschool Eindhoven, afdeling der Werktuigbouw-
kunde, vakgroep Technische Mechanika, rapport WE 78.02.
Complexe functietheorie; Technische Hogeschool Eindhoven, onderafdeling der wiskunde, diktzat nr.2.261.
Cuthill, E. and McKee, J., Reducing the bandwidth of sparse Programmeurs-
symmetric matrices; proc. 24th National Conf., Assoc. Comput. Mach,, ACM Publication P-69, 1122 Ave. of the Americas, New- York, N.Y., 1969.
r
1nj
p eLCILDP i - r v r i2A . " * . T 'Z+w-.+--:-- ULIQLtjejAGSi3 F i v L U I sû?i-L3g si3ârse sets af I k e ä ï
L A "
equations; Technische Hogeschool Eindhoven, onderafdeling der
C'
'I
Wiskunde, Intern rapport, september 1976.
Veldpaus, F.E.: Het voorloopprogramma SCHOVEL, gebruiksaan- wijzing en beknopte beschrijving; Technische Hogeschool Eindhoven, afdeling der Werktuigbouwkunde, vakgroep
Technische Mechanika, rapport WE 76-07 of PRGL-I/@-R-76-1,
D
l
Use of the B 6700 Systeem; Technische Hogeschool Eindhoven Rekencentrum, RC-informatie HS-3, THE-
RC 18449a,november 1974.
Burroughs B 6700/B 7700 Command and Edit Language, Information Manual; Publ. no. 5000318, October 1972, Burroughs Corporation.
c133
E 1 4 1 Burroughs B7000/B6000 ALGOL REFERENCE MANUAL; Publ. no. 5001639 may 1977.
1 . 1
i. Samenvatting.-
- I__.__ _- I I- - - L _ ~ - .. . ~--.--
-In dit rapport worden de opbouw, de mogelijkheden en het gebruik
besproken van de meshgenerator "TRIQUAMESH": een komputerprogramna voor het genereren van elementverdelingen in twee dimensionale ge-
bieden. Na de inleiding in hoofdstuk 2 volgt in hoofdstuk 3 een be-
knopte beschrijving van de door ons gevolgde werkwijze. In hoofdstuk
4 komt het gehrllik v m , eil het opstellen van de irivoergegevens voor
TRIQUAMESH ter sprake; a l s voorbeeld worden in hoofdstuk 5 enige ge-
2.1
2. Inleiding. faciliteiten van TRIOUANESH.
_---_____--
1---;---De methode der eindige elementen vormt een belangrijk hulpmiddel bij de analyse van diskrete en kontinue systemen. Plen kan daarbij denken aan o.a. het mechanisch gedrag van konstrukties, stromingsproblemen, elek- trische en magnetische veldproblemen.
Er bestaat een grote verscheidenheid aan analyse-programma's op basis van de elementenmethode. Teneinde de bruikbaarheid van deze methode voor praktische berekeningen te vergroten is het noodzakelijk om te beschik- ken over "software" voor :
1 .
het genereren van -de meestal vrij omvangrijke- invoer.2. het grafisch weergeven van de -meestal eveneens vrij omvangrijke- uitvoer (analyse-resultaten), teneinde de interpretatie ervan te vergemakkelij - ken.
Aan de ontwikkeling van dergelijke huipprogláTilllla's i s Iïì Ue afgeloper, jaren dan ook reeds veel energie besteed, zoals blijkt uit de publikaties
[ i j en [2]. In dit rapport zullen wij ons beperken tot bespreking van de meshgenerator "TRIQUAMESH": een programma voor het genereren van een ge-
deelte van de invoer voor de bovenbedoelde analyse
-
programma's.Het hoofdbestanddeel van de invoer voor de analyse
-
programma's wordtgevormd door de beschrijving van het te hanteren elementenmodel: een denk-
beeldige verdeling van het beschouwde gebied in een (meestal groot) ,aantal
stukken van relatief eenvoudige vorm: de elementen. Er worden verschillende soorten elementen gebruikt; voor elke soort gelden een aantal afspraken met betrekking tot de vorm (lijnelement, driehoek, vierhoek, viervlak, zesvlak etc.), het aantal knooppunten per element, het aantal vrijheidsgraden per knooppunt etc. Bij het opstellen van het elementenmodel (ook elementver- deling genoemd; Eng. "mesh") worden in het beschouwde gebied een (meestal groot) aantal punten gekozen: de konstruktieknooppunten of kortweg knoop- punten genoemd; de knooppunten worden eenduidig genummerd. De elementen worden gedefinieerd door geschikte verbindingslijnen of vlakken tussen de knooppunten aan te geven, en wel zodanig dat elk der elementen
begrensd wordt door een aantal knooppunten (en de bijbehorende verbindings- lijnen of vlakken). Ook de elementen worden eenduidig genummerd. Een vaak gebruikte (en ook door ons gehanteerde) beschrijving van het elementenmodel omvat twee deken:
1 .
De topologische beschrijving bestaande uit voor elk der elementen:-
de specifikatie van het zogenaamde elementtype, waarmee bovenge-noemde afspraken met betrekking tot de vorm etc. worden vastgelegd.
2.2
Opmerking: In het algemeen is in de elementenmethode het begrip topo-
logie uitgebreider; in het kader van dit rapport kunnen wij echter
met het bovenstaande volstaan.
2. De geometrische beschrijving bestaande uit een opgave van de rele-
vante koördinaten van elk der knooppunten.
Opmerking: in de elementenmethode is óók de geometrische beschrijving soms uitgebreider en omvat behalve de koördinaten der knooppunten nog andere geometrische karakteristieken zoals bijvoorbeeld de dikte van p 1 aat-e 1 ement en.
De topologische en >geometrische beschrijving tesamen leggen de vorm en de
afmetingen van elk element én van het in elementen verdeelde gebied een-
duidig vast.
k a l s reeUs aangeduid kan h e t aantal eleiiìenten en h2t aantal knûoppüntzïì
in een elementenmodel zeer groot worden. Het samenstellen van de topo-
logische beschrijving is dan zeer arbeidsintensief en tijdrovend. Bovendien is het verdelen van een gebied in elementen lang niet altijd een triviale zaak omdat men enerzijds het aantal elementen klein zou willen houden
om het aantal manuren voor het samenstellen van de invoergegevens en de
rekentijd die nodig is voor de feitelijke analyse te beperken, terwi3l anderzijds de verdeling fijn moet zijn om voldoende nauwkeurige analyse-
resultaten te verkrijgen. Soms zal het elementenmodel dan ook achteraf
moeten worden geoptimaliseerd, waarna het probleem opnieuw wordt geanalyseerd a
Onder een optimaal elementenmodel verstaan wij in dit verband een verde-
ling met zo weinig mogelijk elementen, die nog voldoet aan de te stellen
eisen met betrekking tot o.a. de beschrijving van de geometrie van het gebied
en de verlangde nauwkeurigheid der resultaten. Het zal duidelijk zijn dat
de gebruiker van de elementenmethode grote behoefte heeft aan een (hulp)
-
programma dat hem in staat stelt om snel een volgens hem gunstig elementen- model
tor", zai ais uitvoer in ieder geval de topologische beschrijving en de geo-
metrische beschrijving van het ontworpen elementenmodel moeten leveren,
en wel in een aan het te gebruiken analyse-programna aangepaste vorm. Tot op
heden is het nog allerminst duidelijk of het mogelijk zal zijn om een rede-
lijk efficiënte, universeel bruikbare meshgenerator te ontwikkelen voor het verdelen van gebieden in drie-dimensionale elementen (viervlakken, vijfvlakken
enz,) Daarom wordt tot op dit moment voor drie-dimensionale gebieden meestal
gebruik gemaakt van ad hoc generatoren, die slechts bruikbaar zijn voor een
beperkt klasse van problemen. Zo is de verdeling in drie-dimensionale elementen
2.3
van het blad van een scheepsschroef in fig.1 gegenereerd met een dergelijke
ad hoc meshgenerator [3] met als invoergegevens een relatief klein aantal
konstruktie parameters van het schroefblad. Deze meshgenerator is daarom alleen bruikbaar voor de klasse van schroefbladen welke door delbedoelde
parameters beschreven kunnen worzen,
-
- ___ ~ __
Fig.
1
Elementverdeling voor een blad van een scheepsschroef-__. Gedurende de afgelopen jaren zijn er in de vakgroep Technische Mechanika
van de afdeling der Werktuigbouwkunde van de Technische Hogeschool Eind- hoven wel wegen gevonden voor de ontwikkeling van een efficiënte en rede- lijk universeel bruikbare mesh generator, waarmee elementverdelingen in uitsluitend twee-dimensionale gebieden gegenereerd kunnen worden. Deze
ontwikkeling resulteerde in de meshgenerator TRIQUAMESH.
~
De belangrijkste faciliteiten van TRIQUAMESH zijn:
- De meshgenerator kan als "black box" gebruikt worden dankzij de
ontwikkeling van een gebruikers gerichte invoertaal en van eensysteem van foutdetectie en foutmeldingen.
-
De meshgenerasor is tamelijk ver geautomatiseerd, zodat met eenminimum aan invoer de topologische en geometrische beschrijving van de te ontwerpen elementverdeling gegenereerd kunnen worden. Vrijwel alle programmasystemen op basis van de elementenmethode
bevatten min of meer uitgebreide substruktureringsfacilitelten.
2.4
-
_ _
__ - wordt uit een aantal delen, de zg. substrukturen, waarvan de eigen-schappen berekend worden a l s waren het afzonderlijke konstructies. De eigenschappen van de totale konstructie volgen door de koppeling tussen d e afzonderlijke substrukturen in rekening te brengen.
Z e E de meshgenerator kunnen de diverse substrukturen afzonderlijk verdeeld worden en wel zodanig dat de gegenereerde verdelingen te
koppelen z i j R.
-
_ _De meshgenerator biedt verschillende mogelijkheden voor het hernummeren van de knooppunten ten behoeve van het reduceren van de bandbreedte van de coëfficiënten matrices der substrukturen.
De gangbare tweedimensionale elementen (driehoeken en vierhoeken) met rechte elementzijden zijn geimplementeerd.
De gebruiker kan op eenvoudige wijze de grootte der elementen in de elementverdeling sturen.
De gegenereerde e l e m e ~ t e n zijn goed van vorm; er wordt gestreefa naar gelijkzijdige driehoeken en vierkanten als ideale element- vormen,
De uitvoer van de meshgenerator is zoveel mogelijk aangepast aan de eisen die gesteld worden door de volgende programma-systemen
op basis van de elementenmethode: ASKA [: 51en MARC [ 61.
Uitbreiding naar andere systemen i s eenvoudig mogelijk, mits men zich
beperkt tot gelijksoortige elementen.
4
3
,
FEMSYSWellicht hier en daar ten overvloede, vermelden wij a l s beperkingen van TRIQUAMESH :
-
Alléén 2-dimensionale elementen; uitbreiding met I-dimensionale ele-menten (staven, balken, overdrachtselementen etc.) is in principe mog el ij k
.
-
Géén elementen met gekromde elementgrenzen.-
Voor de beschrijving van de kontour van het verdelen gebied zijn momen-teel slechts rechte lijnstukken en cirkelbogen besch?l%aarg dL,ûexe!- d i t voor het merendeel der technische problemen toereikend is, lijkt hier uitbreiding gewens t.
-
TRIQUATTESH levert noch dynamische, noch kinematische randvoorwaarden--_n."- V U V I het te m d y s e r e n probleem. Dit hoort in feite ook niet in een
mesh generator thuis, maar in een "input generator": een programma dat een komplete invoer "file" voor een analyse programma aflevert, en waarvan een mesh generator deel kan uitmaken
3 . Beknopte beschrijving van de werkwijze van TRIQAMESH.
3 . I . Inleiding.
Naast de toelichting op de in TRIQUAMECH gevolgde werkwijzen heeft
hoofdstuk 3 als belangrijk nevendoel de begrippen te definiëren die nodig zijn voor het begrijpen en samenstellen van de invoergegevens.
De in'dit hoofdstuk met een kantlijn gemarkeerde teksten (en uiter-
aard het gehele hoofdstuk 4 ) achten wij in dat opzicht min of meer
van essentieël belang.
Voor meer gedetailleerde beschrijvingen en de informatika-aspekten van de gevolgde werkwijzen, verwijzen w i j m a ï de prmedxre beschrbj- vingen in C71.
D e struktuur VanTRITQVmSXI kcrrnt t6t u k h g in de stappen ale achter- eenvolgens uitgevoerd worden om te komen tot een bruikbare verdeling
in elementen van het tweedimensionale gebied G. In de deeihoofdstukken
3 . 2 e.v. werken wij deze stappen nader uit. Daarbij hzîîteïeE L . J het begrip steunpunt. Onder de steunpunten in het in elementen verdeelde
gebied G verstaan wij die punten in G die samenvallen met een hoek-
punt van één of meer elementen.
. _ I _ - ~ - - - - -
I
..
I
I
I 11
'
De achtereenvolgende stappen zijn:
1 .
Lees en kontroleer __. alle invoergegevens voor TRIQUAMESH en transformeer deze naar de ingangsparameters van stap 2 e.v.2. Verdeel G in ns(ns>,l) enkelvoudig samenhangende subgebieden. Definieer in G nss(nss>,i) substrukturen, elk bestaande uit één of meer subgebieden.
3 . Genereer steunpunten op de kontour
4 . Verdeel, uitgaande van de steunpunten op de kontour, elk der sub-
der subgebieden.
gebieden in of driehoekige of vierhoekige elementen.
5. Optimaliseer de vorm der elementen in de subgebieden.
6, Hernummer de elementen per subgebied.
_ _ _ - . .-
Hernummer, per substruktuuri, de steunpunten zodanig dat d e coefficiën- ix een bandstruktuur iverkrij gt
.
. -
8. GenerE%X, m a r het elementtype dat vereist, knooppunten op de middens van eiementzijáen (en eventueel
-
i ~ r h e t elexent) e9. Voer de resultaten van TRIQUAMESH uit op een zodanige wijze dat zij
direkt geschikt zijn a l s invoer voor het gewenste programma systeem op basis van de elementenmethode.
3 . 2
3 . 2 ,
Lezen, k o n t r o l e r e n en t'ransformeren v a n d e invoergegevens. Voor h e t opgeven v a n de invoergegevens staat de gebruiker v a n TRIQUAMESH een g e b r u i k e r s - g e r i c h t e i n v o e r t a a l ter b e s c h i k k i n g .
Hiermee wordt b e r e i k t d a t :
a) d e invoer (voor d e gebruiker met enige r o u t i n e ) eenvoudig t e i n t e r p r e t e r e n is.
b) er u i t g e b r e i d e k o n t r o l e s m o g e l i j k z i j n op e v e n t u e l e f o u t e n i n
d e invoergegevens.
D e i n v o e r i s tevens zodanig gestruktureerd, dat metj een minimum aan invoergegevens kan worden v o l s t a a n .
D e s y n t a x van de i n v o e r t a a l alsmede d e i n h o u d e l i j k e b e t e k e n i s v a n d e i n v o e r z u l l e n i n hoofdstuk 4 u i t g e b r e i d aan d e o r d e komen; w i j
g a m daar h i e r n i e t v e r d e r op in.
H e t programma v e r w a c h t de invoer i n een f i l e d i e g e k r e ë e r d kan worden door h e t i n l e z e n v a n ponskaarten, invoer v i a een terminal of door k o p i e ë r e n van een op achtergrondgeheugen aanwezige f i l e . De invoer- f i l e wordt door h e t programna weggeschreven i n een f i l e op d i s k en v a n d a a r u i t g e a n a l y s e e r d , w a a r b i j e e r s t van later t e gebruiken array's d e grenzen worden b e p a a l d . Vervolgens worden deze array's g e v u l d ; z i j vormen ingangsparameters v a n d e stappen 2 t / m 9 v a n TRIQUAPIESH.
B i j d e verwerking wordt de opgegeven invoer tevens g e k o n t r o l e e r d op s y n t a x f o u t e n en op i n h o u d e l i j k e fouten. G e d e t e c t e e r d e f o u t e n worden op een v o o r de gebruiker eenvoudig t e i n t e r p r e t e r e n w i j z e
gemeld, zodat k o r r e c t i e ervan i n h e t algemeen weinig m o e i t e k o s t . W i j geven ter t o e l i c h t i n g een tweetal voorbeelden.
a . Melding van een s y n t a x f o u t .
S t e l d a t een b e p a a l d e i n v o e r k a a r t er a l s v o l g t d i e n t u i t t e z i e n :
1
TBIAX3Gh33)en d e g e b r u i k e r v e r g e e t d e l i n k e r haak, dan wordt h e t b e t r e f f e n d e t a c t b e e l d a f g e d r u k t met een s t e r r e t j e t . p . v . d e fout en v e r v o l g e n s d e f ou tmelding :
b Melding v a n een f o u t i n de inhoud.
D e i n h o u d e l i j k e b e t e k e n i s van d e i n v o e r i s door Bfspraken v a s t g e l e g d . Deze a f s p r a k e n z u l l e n i n hoofdstuk 4 aan d e o r d e komen.
Met b e t r e k k i n g t o t h e t bovenstaande v o o r b e e l d zou de melding v a n een i n h o u d e l i j k e f o u t kunnen luiden:
1 TRIEX3<2,3>
>>>>
D e invoergegevens z i j n zodanig g e s t r u k t u r e e r d d a t z i j , ook nadat één o f meer f o u t e n g e d e t e c t e e r d z i j n , zolang m o g e l i j k i n t e r p r e -
teerbaar b l i j v e n en d e k o n t r o l e s kunnen worden v o o r t g e z e t . A l s v e r d e r e i n t e r p r e t a t i e n i e t meer m o g e l i j k i s , wordt d e verwerking v a n h e t programma g e s t o p t . E r wordt u i t e r a a r d GÓk g e s t o p t nadat d e
gzhele lzvcer is v e r w e r k t e11 er één of meer f o u t e n (ERROR(S)) ge- d e t e c t e e r d z i j n . H e t programma kan ook rout"-rneidinigen geveïì vâïì h e t t y p e "COMMENT" en v a n h e t t y p e iiWARNING" ( v e r g e l i j k h e t foutmel- dingssysteem i n ASKA). D i t kan h e t g e v a l z i j n b i j gegenereerde ele- mentverdelingen d i e l e g a a l z i j n maar n i e t g e b r u i k e l i j k ( b i j v . geen hernummeringsopdracht). T e n s l o t t e hanteren w i j een foutmelding van h e t t y p e "FATAL ERROR"; h i e r b i j
m a onmiddelijk g e s t o p t . W i j kennen aan d e v e r s c h i l l e n d e typen f o u t e n d e niveau's v a n
1
t/m 4 t o e ; hoe hoger h e t f o u t n i v e a u d e s t ee r n s t i g e r de f o u t . W i j v a t t e n een en ander samen i n t a b e l I j deze
foutmeldingsstruktuur wordt n i e t a l l e e n b i j h e t verwerken v a n d e invoer maar ook b i 3 d e v e r d e r e verwerking v a n TRIQUAMESH gehanteerd.
1 1 ,-
wordt de verwerking v a n h e t program-
f o u t n i v e a u f o u t t y p e 4 FATAL ERROR 3 ERROR 2 1 WARNING COMMENT e f f e c t op d e verwerking v a n h e t programma
d e verwerking wordt onmiddelijk g e s t o p t daar anders een dynamische f o u t b i j de verwerking o p t r e e d t
de verwerking wordt v o o r t g e z e t zolang d a t z i n v o l (en m o g e l i j k ) i s v o o r h e t opsporen v a n e v e n t u e l e v e r d e r e fouten. de verwerking wordt normaal v o o r t g e z e t ; d e gebruiker d i e n t na t e gaan of d e r e s u l - t a t e n van TRIQUMESH voor hem bruikbaar z i j n . d e gebruiker kan d e mededeling voor kennis- geving aannemen.
3 . 5
3.3. Verdelen- v a n een gebied i n subgebieden en substrukturen. W i j beschouwen een tweedimensionaal gebied G, begrensd d o o r d e kontour C . Punten van G d i e n i e t t o t C behoren noemen w i j inwendige punten v a n g . W i j s t e l l e n aan G d e volgende e i s e n :
1 .
H e t oppervlak en d e afmetingen van G moeten e i n d i g z i j n ; hiermee v e r v a l l e n b i j v o o r b e e l d :-
h e t gebied begrensd door d e x-as, d e y-as en d e kromme y = i / x 2 v o o r X>'O.-
h e t gebied b u i t e n een c i r k e l i n h e t x-y-vlak.2.
E l k punt v a n G (dus ook v a n C!) moet hoekpunt kunnen z i j n v a n een g e h e e l i n G gelegen driehoek met o p p e r v l a k A > O. Als voorbeeld z i e f i g . 2 ; d e kontour C i s d.m.v. eem ge-troickën l i j n ezïìgegeveïl. Het geblec! i:: f i g . 22 zullen wij n i e t a c c e p t e r e n , d a t i n f i g . 2b w e l .
F i g .
2
Een n i e t (a) en w e l (b) a c c e p t a b e l gebied G.W i j noemen G enkelvoudig samenhangend indien
-
e l k e w i l l e k e u r i g e g e s l o t e n kromme d i e :a. g e h e e l i n G l i g t , en
b . geen e n k e l punt met C gemeen h e e f t ,
kan worden samengetrokken t o t e l k inwendig punt v a n G, w a a r b i j s t e e d s aan a en b v o l d a a n b l i j f t .
-
F i g . 3 en f i g . 4 tonen enkele voorbeelden. W i j merken op d a t boven-
staande d e f i n i t i e van een e ï i k e l ~ ~ u d i g saíiìenhaïìgend gebfed a f w i j k t vaïì
3.6
Fig. 3 Enkelvoudig samenhangende gebieden.
L
X
LL
Xx
Fig. 4 Niet enkelvoudig samenhangende gebieden.
'L.i
x
O f het beschouwde gebied enkelvoudig samenhangend i s o f niet,
steeds kan G door het aanbrengen van geheel binnen G verlopende,
al dan niet rechte lijnen verdeeld worden Pn ns (ns
r i )
subae- GI,G2,...Gns, die alle enkelvoudig samenhangend zijn.De verzameling krommen, bestaande uit de kontour C van het gebied
G plus de extra aangebrachte, geheel binnen G verlopende deelkrommen, wordt de kontour C
delen van.C
kontour C (s=1,2,
....
ns) genoemd. -s*
van het in subgebieden opgedeelde gebied G genoemd. De
*
die het subgebied Gs (s=1,2,
....
ns) begrenzen wordt de sub- Onze redenen voor het opdelen van het gebied G in enkelvoudig samenhangendesubgebieden zljri:
1 .
het afzonderen van gebieden met bepaalde elementtypen, elementeigenschap- pen, materiaaleigenschappen etc.3 . 7
2 . de mogelijk tot het definiëren van substructures in G; dit komt later in dit hoofdstuk ter sprake.
3. de eenvoud van te hanteren algoritmen.
I
Het oorspronkelijke gebied G en de verdeling van G in subgebieden
kan beschreven worden door kontour C” te beschrijven en bij ieder sub-
gebied Gs (s=1,2,
....
ns) aan te geven uit welke delen van Csubkontour C is opgebouwd. Om dit proces te vergemakkelijken
wordt het begrip kontourdeel ingevoerd. Een kontourdeel is een
-
nietvertakt gedeelte van de kontour C‘
,
dat de grenslijn of een gedeelte*
de S-I_- va1L U Z grenslijzi v c r m t tussen t w e e subgebieden of tussen een subge-
bied en de omgeving (d.i. het deei van het x-y-vlak dat
het beschouwde gebied behoort). Iedere subkontour C (s=1,2,
...
ns) zal dus bestaan uit een aantal kontourdelen. De kontourdelen wordengenummerd van i t/m nr, waarbij nr het totale aantal kontourdelen is.
aLet tot
S
De begin- en eindpunten van kontourdelen worden hoofdpunten genoemd. Uit de definitie van een kontourdeel volgt dat alle vertakkings-
t
*
1
punten van C tevens hoofdpunt zijn. Vertakkingspunten van C zijn*
punten waar men, C doorlopend:
-
verschillende wegen kan kiezen (b.v. punt P in fig. 5.a)- van richting moet omkeren (b.v. punt
Q in fig. 5.a)Wij laten de gebruiker van TRIQUAMECH de vrijheid om, behalve
vertakkingspunten van C
het punt R in fig. 5.a). Als C
w i j op C * tenminste één hoofdpunt moeten kiezen, bijv. punt T in fig.5.b. de
,
nog andere hoofdpunten te kiezen (b.v.*
*
geen vertakkingspunten heeft zullen
0
e,
EG
T
Fig. 5 Hoofdpunten ( o ) op de kontour C
*
3.8
Aan elk kontourdeel wordt een oriëntatie toegekend, n.1. de
richting gaande van het beginpunt naar het eindpunt. Wij zeggen
dat een kontourdeel in positieve (negatieve)& wordt doorlopen indien het
doorlopen wordt volgens (tegengesteld aan) zijn oriëntatie. Wij geven de oriëntatie aan met een pijl en schrijven het nummer van het
kontourdeel bij die pijl, zie fig. 6.
Fig. 6. Georiënteerd kontourdeel n; beginpunt P, eindpunt Q.
De beschrijving van de kontour C* kan geschieden door voor
ieder kontourdeel op te geven van welke vorm het is: een rechte lijn, een cirkelboog of een opeenvolging van rechte lijnen en/of cirkel-
bogen. De kontour,delen worden daarbij in positieve zin doorlopen; de
beschrijving van de afzonderlijke kontourdelen komt in deelhoofdstuk '
3.4 in detail ter sprake.
_ _ -
1
Het vastleggen van de subkontour Cs van subgebied G ( s = 1 , 2 , ..
.
.ns)S
geschiedt in TRIQUAMECH als volgt: wij doorlopen de subkontour C S
als eén gesloten kromme; het inwendige van G, dient steeds links
van de subkontour te liggen.
De daarbij achtereenvolgens doorlopen kontourdelen-noteren wij
met hun van een teken voorziene nummer. Het teken is positief (negatief) als het betreffende kontourdeel in positieve (negatieve) zin wordt door- lopen. Wij geven in fig.7 enige voorbeelden; de kontourdelen zijn georiën-
L
LGGr3
-
* - e n g ~ . r i u ~ i 2 ï ~ ; d e h n r r f r l n r . n t n n rluvluyurrcI-L z i j n m e t ( o ) aazlgege~7en. Merk op dat in een bepaalde subcontour eenzelfde kontourdeel tweemaal kan voorkomen.(€ “-‘ I>
S -3
3. IO
H e t l a a t s t e v o o r b e e l d i s b i j z o n d e r : d e i n Gs op h e t kontourdeel
2
t e genereren steunpunten behouden b i j h e t r e p o s i t i o n e r e n ( z i e hoofd- s t u k 3 . 6 ) hun p l a a t s . Een hierop veel g e l i j k e n d doch w e z e n l i j k ander
v o o r b e e l d wordt gegeven i n f i g . 8. D e punten A en B z i j n v e r s c h i l l e n d e hoofd- punten met d e z e l f d e koördinaten; A-D vormt kontourdeel
2
en D-B vormtkontourdeel 3. D e i n G
d e l e n
2
en 3 n i e t gekoppeld, met uitzondering v a n punt D. H e t voor- b e e l d v a n f i g . 8 kan dus opgevat worden a l s een p l a a t met een scheur.gegenereerde elementen z i j n t . p . v . d e kontour-
S
F i g . 8 Subkontour v a n een p l a a t m e t een scheur.
Elk subgebied wordt v e r d e e l d i n driehoeken o f vierhoeken. Daarna moeten
deze subgebieden gekoppeld worden waardoor weer h e t o o r s p r o n k e l i j k e g e b i e d G o n t s t a a t . H i e r b i j kan z i c h een probleem voordoen. Immers, a l s d e gege- nereerde driehoeken en/of vierhoeken naderhand g e h t e r p r e t e e r d worden z l s elementen ir, d e z i n d e r elementernethode dan moet er b i j d e koppeling van elk tweetal subgebieden voor gezorgd worden d a t op d e s c h e i d i n g s l i j n
tussen d i e subgebieden d e elementen u i t d i e subgebieden a a n s l u i t e n . D i t b e t e k e n t d a t d e op d i e s c h e i d i n g s l i j n gelegen hoekpunten v a n driehoeken of vierhoeken u i t h e t ene subgebied moeten samenvallen met d e op d i e z e l f d e s c h e i d i n g s l i j n gelegen hoekpunten v a n d r i e - hoeken o f v i e r h o e k e n u i t h e t andere subgebied. A l s d i t n i e t h e t
g e v a l i s kan d e koppeling tussen d i e subgebieden n i e t of s l e c h t s ten k o s t e v a n veel extra rekenwerk t o t stand worden gebracht i n h e t t e hanteren programmasysteem op b a s i s v a n d e elementenmethode. Ter il-
3.11
b. koppeling w e l m o g e l i j k
_I
a. koppeling n i e t m o g e l i j k
-
F i g . 9 Koppeling van een tweetal subgebieden GI en G2.
D i t probleem kan eenvoudig worden o p g e l o s t door eerst h e t a a n t a l en d e p o s i t i e v a n a l l e steunpunten ( d a t z i j n : hoekpunten van d r i e - hoeken of vierhoeken) op d e kontourdelen t e bepalen. Nadere d e t a i l s
o v e r d e d a a r b i j gevolgde werkwijze en d e door d e gebruiker t e v e r s t r e k k e n gegevens volgen i n deel-hoofdstuk 3 . 4 . E l k d e r subkontouren kan dan
worden beschreven door d z s t e z ~ p ~ u t e 1 1 op de samenstellende kontourdelen. Daarna wordt, uitgaande v a n deze steunpunten, elk d e r subgebieden i n driehoeken o f vierhoeken v e r d e e l d ; d i t laatste komt i n deelhoofdstuk
3 . 5 ter sprake.
~
Teneinde a a n t e s l u i t e n b i j d e substruktureringsmogelijkheden ( z i e hoofd- s t u k
2)
i n programma systemen op b a s i s v a n d e elementenmethode, wensen w i j i n TRIQUAMESH d e mogelijkheid om elementverdelingen t e genereren i n eenvoudig t e koppelen substrukturen.Bovenstaande werkwijze, w a a r b i j h e t gebied G v e r d e e l d wordt i n (eenvoudig t e koppelen) subgebieden, b i e d t d a a r t o e een goede mogelijkheid. Indien w i j immers e l k d e r substrukturen d e f i n i ë r e n a l s bestaande u i t één o f meer
subgebieden, dan z u l l e n ook d e substrukturen eenvoudig t e koppelen z i j n . Ten behoeve van de o r g a n i s a t i e van TRIQUAMESH maken w i j d e volgende af spraken :
1 .
Een bepaald subgebied z a l d e e l uitmaken van één en n i e t meer dan é é n subs fruktwúr".2.
P e r subgebied wensen w i j u i t s l u i t e n d elementen v a n één element- t y p e .3 . P e r s u b s t r u k t u u r wensen w i j u i t s l u i t e n d elementen d i e kompatibel
z i j n ; b i j v o o r b e e l d (zie d e "USERS i4klldAL'' -I"- v a i i ASKP, E43 > t
TRIM 3 en/of QUAM 4
3.12
4 . V o o r de substrukturen onderling stellen wij de eis van kompatibele elementen niet. Het is bijvoorbeeld mogelijk om in substruktuur X
elementen te kiezen met een lineair verplaatsingsveld (b.v. TRIM 3)
en in een andere,met substruktuur X te koppelen substruktuur Y,elementen
te kiezen met een kwadratisch verplaatsingsveld (b.v. TRIM 6 ) .
Wij stellen met nadruk dat de gebruiker zich terdege dient af te vragen
o f het kiezen van niet kompatibele elementen in de diverse substrukturen
3.13
3 . 4 . 1
3 . 4 Genereren v a n steunpunten op d e kontour C .w
.
B e s c h r i j v i n g v a n een kontourdeel. I n 3 . 3 zagen W i j d a t de kontour C
meer kontourdelen. Een kontourdeel i s een n i e t vertakt g e d e e l t e v a n d e g r e n s l i j n t u s s e n twee subgebieden of t u s s e n G n subge- b i e d en d e omgeving van h e t gebied G. D e begin- en eindpunten v a n d e kontourdelen noemen w i j hoofdpunten. D e o r i ë n t a t i e van
e a kontourdeel geven w i j aan met een p i j l gaande v a n h e t begin-
punt P n a a r h e t eindpunt Q. Een kontourdeel wordt
( n e g a t i e v e ) z i n doorlopen a l s h e t doorlopen wordt i n d e r i c h t i n g v a n ( t e g e n g e s t e l d aan) z i j n o r i ë n t a t i e .
*
samengesteld i s u i t één of
i n p o s i t i e v e
W i j beschöuweíï een k ~ ~ t o u r d e e l bestaande u i t n(np1) zogenaamde
elementaire krommen z o a l s r e c h t e IijnsTükken, c i r k e l b o g e n e . d . De e l e m e n t a i r e krommen worden, gaande van h e t beginpunt P naar h e t
eindpunt Q, genummerd van i t/m n; i n f i g . 10 i s d e z e nummering aangegeven. D e elementaire kromme met nummer i z u l l e n w i j v e r d e r aangeven met D E v e n a l s b i j h e t g e h e l e k o n t o u r d e e l onderscheiden w i j b i j e l k e e l e m e n t a i r e kromme Di
(i=1,2
...
n) een beginpunt Pi en een eindpunt Q,. U i t e r a a r d z a l gelden:i'
1
PI=p; pii.t.i=Qi v o o r
i=1,2
....
n-1 en Q n =QI
Fig. 10 Een kontourdeel bestaande u i t vier e l e m e n t a i r e krommen. Het kontourdeel t u s s e n de punten P en Q wordt b e s c h r e v e n door i e d e r van de samenstellende d e l e n DI,D 2....D t e b e s c h r i j v e n .
De punten welke nodig z i j n v o o r de geometrische b e s c h r i j v i n g van de- ze d e l e n noemen w i j geometriepunten. ( H e t z a l d u i d e l i j k z i j n
d a t eik i i o o f d p ~ n t t e v e n s geonaetriepunt i s ) . W i j v e r o n d e r s t e l l e n d a t d e geometriepunten genummerd z i j n en de k o o r d i n a t e n e r v a n bekend z i j n . Van welke s o o r t ( r e c h t e l i j n s t u k , c i r k e l b o o g e t c . ) d e e l e m e n t a i r e kromme i s z u l l e n w i j aanduiden met een l e t t e r k o d e , h e t z . g .
-
t y p e v a n de e l e m e n t e i r e kromme, b i j v . t y p e = RL,CB e . d .-x
3 . 1 4 .
In TRIQUAMESH zijn de volgende elementaire krommen geimplementeerd:
-
een rechte lijnstuk-
een reeks voorgeschreven steunpunten-
een cirkelboog.Deze krommen worden a l s volgt beschreven.
Recht lijnstuk
Type=RL; beginpunt P.; eindpunt Qi.
-
I
Beschrijving: pi RL Q~ (zie fig.
1 1 )
De reden waarom wij in de beschrijving het type tussen het beginpunt en het eindpunt plaatsen, z a l verderop duidelijk worden.
P,
Pi RL
Qi
Fig. I 1 Beschrijving van een recht lijnstuk.
Wij eisen dat P. en Qi echt verschillende punten zijn, dus:
1
Pi# Qi én af stand PiQi> O.
Een reeks voorgeschreven steunpunten.
Wij wensen deze mogelljkhe%l om zowel nec in elementen te verdelen gebied G
eenvoudig te kunnen koppelen met een reeds -bestaanGe verdeling Iri 21en,~~,f,eii
van een ander gebied a l s om een contour met een voorgeschreven vorm te kunnen
vastleggen (evolvent, ellips etc.). Dit wordt bereikt door een reeks van
n(n
2
2) geometriepunten, verbonden door rechte Lijnstukken, op te geven. Opdit eleEentâiïe d e e l worden verder yéén steunpunten gelegd; de opgegeven geonetriepunten representeren dus een reeks van n opeenvolgende steunpunten
op het contourdeel. Wij duiden de reeks a2n met type = EP en beschrijven de
i i i n P 1 EP P2
...
Pi waarbij wij met P
Di bedoelen, zódat geldt:
het jde punt uit de reeks op de elementaire kromme
j
i = P. en P i = Q~ ; zie fig. 12.
1 n
In figuren zullen wij voorgeschreven steunpunten met __O_ aangeven.
Fig. 1 2 Beschrijving van een reeks voorgeschreven steunpunten.
Wij eisen dat de Opeenvolgende voorgeschreven steunpunten echt verschil- lende punten zijn, dus:
i i i
én
Merk op dat wij hiermee wel toestaan dat punten samenvallen!
afstand Pj PjCl
>
O voor 5=1,2,...,
n-1 P j i+pj+iniet direct opeenvolgende
-
Een cirkelboog door drie punten.
Een cirkelboog beschreven door drie punten op de boog duiden wij aan met type=CB. P. en Q. zijn het beginpunt resp. eindpunt van de boog D..
Indien het derde punt, het tussenpunt T. niet tussen P.en Q. ligt, zullen
wij in de beschrijving T. van een min-teken voorzien. (zie fig. 13).
I 1 1 1 1 1 1
Y
Pi CB-T. Q* I' 1 P. CB T. *Q. 1 I' I3 . I 6
W i j e i s e n d a t d e punten Pi,Qien Ti e c h t v e r s c h i l l e n d e punten z i j n , d u s : Pi # Qi en a f s t a n d P.Q.
>
O, P. # Ti en a f s t a n d P.T.>
O, T. # Qi en a f s t a n d TiQi>
O 1 1 1 1 1 1 W i j s t a a n i n TRIQUAMESH w e l t o e d a t Pi, Qi en Ti op één r e c h t e l i g g e n . Indien A h e t o p p e r v l a k i s van de driehoek P.T i i i . Q. en d e a f s t a n d v a nP. 1 en Q. - 1 i s
1,
dan zeggen w i j d a t d e boog P.Q. ontaard 1 1 i s i n h e t r e c h t e l i j m t u k P.Q. als:1 1
2 -6
A L
c a l
met&<<
1
( i n TRIQUAMESH & = 10 ).Het programma meldt d a t i n d e vorm van een “WARNING”.
W i j wensen een tweede mogelijkheid v o o r h e t b e s c h r i j v e n v a n c i r k e l b o g e n , n l . d i e w a a r b i j h e t beginpunt P
middelpunt Ti worden opgegeven. Indien een d e r g e l i j k e c i r k e l b o o g , welke w i j aanduiden met t y p e = CM, i n d e r i c h t i n g van d e w i j z e r s v a n d e k l o k wordt doorlopen, z u i l e n w i j h e t opgegeven middelpunt T. v a n een min-teken
h e t eindpunt Qi en h e t (benaderde) i ’ 1 v o o r z i e n (zie f i g . 14). -X P. CM Ti,Qi . 1 -. P. CM -T;,Qi 1
F i g . 1 4 B e s c h r i j v i n g v a n een c i r k e l b o o g met opgegeven middelpunt.
Door h e t opgeven van h e t (benaderde) middelpunt Ti kan d e boog overbepaald z i j n , omdat door zowel Tipi a i s T.Q. d e straal van de boog wordt v a s t g e l e g d . W i j Depaien claarurn h e t wertslijke middelpunt M. van d e boog a l s d e p r o j e c t i e van Ti op d e m i d d e l l o o d l i j n van PiQi, z i e f i g . 15.
1 1
3 . 1 7
Y
F i g . 15 B e p a l i n g van h e t w e r k e l i j k e middelpunt Mi.
W i j v e r g é k i j k e n daarna d e a f s t a n d a v a n T . en M. met d e a f s t a n d r v a n M. en P d u s met de straal van d e boog. A l s :
1 1
1 i'
a $ E . r m e t E << I ( i n TRIQUAMESH E = 0.05)
g e e f t h e t programma een foutmelding i n d e vorm v a n een "Em@Rrf.
De punten Pi en Qi kunnen samenvallen. D e boog P.Q. 1 1 i s dan een h e l e c i r k e l met T.P. a l s straal. Deze c i r k e l wordt linksom (rechtsom) door- lopen a l s Ti p o s i t i e f ( n e g a t i e f ) opgegeven i s .
1 1
Een c o n t o u r d e e l kan beschreven worden door e a aaneenschakeling van e l e m e n t a i r e krommen, zonder d a t begin- en eindpunten dubbel vernoemd behoeven t e worden. F i g . i 6 t o o n t een v o o r b e e l d .
I
F i g . 16 Kontourdeel nr. 6; beginnend i n hoofdpunt 3 en eindigend i n hoofdpunt 25.
I/
I
c
I
SZ C0 I-J nI3 IZ IZ'OZ 93 S I SI'tlI'EI d3 ZI ZI ? X € '8 1 '&met beginpunt P en eindpunt Q, een booglengte 1 en een boog- ko8rdinaat s zodanig dat s=O in P en s=l in
Q.
g = g(s) >O voor O I S r l
bekend verondersteld, zie fig. 1 7 (wij maken de niet essentiële beperking tot een recht lijnstuk PQ),
Fig. 1 7 Elementaire kromme met gegeven relatieve grofheid g(s).
Veronderstel dat op de kromme tussen P en Q n-1 steunpunten, en dus
n elementribben zullen worden gelegd, zie fig. 18.
c I
$
1
\
I
I I I 13.20
Voor punt i (i=O,l,
...,
n) z a l gelden s=s. en de relatieve g r o f h e i d i n punt i duiden w i j aan met gi. D e g r o f h e i d s d e f i n i t i e l u i d t dan in1 formule vorm:
+
g.).RI v o o r i = 1 , 2 ,...,
n1
-
_ -
i - i 2 ('i-i 1 s . 1-
sHet: z a l d u i d e l i j k z i j n d a t , b i j een konstante waarde van R I , s l e c h t s i n u i t z o n d e r i n g s g e v a l l e n v o o r e l k e elementribbe i ( i = l , 2 ,
...,
n) aan( 1 )
v o l - daan kan worden. Op d e eerste p l a a t s i s h e t b e l a n g r i j k , b i j gegeven R I en g = g ( s ) , h e t aantal elementribben n t e bepalen zodanig d a t overalzo goed mogelijk" aan ( I ) v o l d a a n kan worden. Het b l i j k t d a t n v o o r ons I 1
d o e l voldoende nauwkeurig kan worden berekend u i t :
U i t e r a a r d d i e n t n op een g e h e e l g e t a l afgerond t e worden. W i j ronden op
d e g e b r u i k e l i j k e manier a f , m e t d i e n v e r s t a n d e d a t voor O<n<0.5 n i e t n=O maar n=l genomen wordt.
Voor h e t p o s i t i o n e r e n v a n d e steunpunten op de k r o m e i s onze w e r k w i j z e a l s v o l g t . Punt O en punt n ( z i e f i g . 1 8 ) l i g g e n vast (begin- r e s p . eindpunt van d e kromme). Aangezien er s l e c h t s n-1 onbekenden z i j n (de k o ö r d i n a t e n
s 1 t/m s
( I ) R I a l s onbekende i n t e v o e r e n (immers: a l s n bekend i s , kan R I n i e t meer v r i j gekozen worden) en v e r v o l g e n s t e elimineren k r i j g e n w i j d e v o l g e n d e n-l r e l a t i e s :
) en n elementribben i s h e t s t e l s e l ( I ) overbepaald. Door i n n- 1
D i t s t e l s e l n i e t lineaire v e r g e l i j k i n g e n (want g=g(s)) h e e f t een z i n v o l l e o p l o s s i n g als:
met
&(SI
I<
01 v o o r O<S<Inader t e b e p a l e n d
.
U i t ( i ) kan worden a f g e l e i d d a t moet g e l d e n : d s3.21
In TRIQUAKESH worden cosinusfucctiec gebruikt als grofheidsfuncties g = g(s) voor elke elenentaire kromne.
De gebruiker van TRIQUAMESH behoeft dan slechts de standaardelenentribbe
op te geven, alsmede de relatieve grofheid in begin- en eindpunt van de
en (zie fig. 19).
I
I
pi
t -d a=o4'1
Fig. 19 Cosinusfunctie voor het grofheidsverloop.
Ten opzichte van bijv. lineaire of diskontinue functies g(s) heeft de cosinusfunctie het voordeel. dat de grofheid vrijwel konstant is in de omgeving van een punt waar deze opgegeven wordt. Bovendien is een derge-
lijke grofheidsfunctie niet slechts kontinue maar ook dif ferentieërbaar
in elk punt, hetgeen de eenvoud van door ons te hanteren algoritmen ten goede komt.
Behalve in de geometriepunten kan de gebruiker ÓÓk grofheidswaarden opgeven
in z.g. grofheidspunten op de kontour. De grofheidspunten dienen uit-
rluitezzd .o^r het mede q?ecFficersn VIZ? de grcfheFdsfuL,etl2c E Z n i e t vclûk" het
beschrijven van de geometrie van elementaire krommen. Indien er m ( m > / O )
grofheidcpunten liggen op een elementaire kromme, kan op deze kromme een stuks- gewijze cosinusfunctie g(s) van m+l stukken worden gedefinieërd.
3.22
De grofheidspunten zullen w i j in figuren met
&
aanduiden, zie fig. 20.71
Fig. 20 Stuksgewijze cosinusfunctie voor het grofheidsverloop.
Er is uiteraard meer dan een mogelijkheid voor het vâstleggen van de
posities van de grofheidspunten. Wij hanteren de volgende werkwijze.
Van de genummerde grofheidspunten worden de koördinaten opgegeven. Verder dient opgegeven te worden:
- het kontourdeel waarop het grofheidspunt ligt, en
- de geometriepunten die, gaande van het beginpunt naar het eindpunt
van het kontourdeel, direct vóór en direct na het grofheidspunt liggen. Fig. 21 geeft een voorbeeld.Y Fig. 21 Kontourdeel nr. 2 met de grofheidspunten 5 en 16.
3.23
De elementaire kromme waarop het grofheidspunt 5 ligt kan dan als volgt worden vastgelegd:
2 (6, 5, 10)
L
volgend geometriepunt grofheidspuntvoorafgaand geometriepunt nr. van het kontourdeel
En vaar grnfheidspunt 1 6 : 2 ( 1 1 , 16, 20)
Als op één kontourdeel meerdere grofheidspunten liggen, kunnen die ook in één keer worden opgegeven; bijv. voor het kontourdeel van fig. 21:
._
,.i2 ( 6 , 5 , I U ; J l , 16, 20)
De koördinaten van een grofheidspunt T behoeven niet zodanig opgegeven
te worden dat dit punt exact op de betreffende elementaire kromme ligt,
maar er kan volstaan worden met benaderde koördinaten. Als werkelijk grofhelds- punt T wordt dan gehanteerd:
-
voor een recht lijnstuk:*
*
de loodrechte projektie T
het snijpunt T met de boog van een rechte door T en door het mid-
delpunt van de boog, waarbij T zie fig.22b.
van T op het lijnstuk, zie fig.22a.
-
voor een circelboog*
*
en T aan dezelfde kant van M liggen,
Y
It../.
J
Ca,
x
3.24
Uiteraard dienen de koördinaten van elk grofheidspunt T wel zodanig
te zijn dat T tussen het begin- en het eindpunt van de betreffende
kromme ligt. Als dat niet het geval i s volgt een foutmelding.
Er volgt ook een foutmelding als een werkelijk grofheidspunt T
samenvalt met het beginpunt P, met het eindpunt Q Óf samenvalt met
een ander werkelijk grofheidspunt T2
In dit verband merken wij nog op dat het tussenpunt van een cirkel-
boog van type=CB (bijv. punt
1 1
in fig. 21) ÓÓk als grofheidspunt be-schouwd wordt. Men mag dus niet een grofheidspunt T opgeven waarvan
het werkelijke grofheidspunt T* samenvalt met een dergelijk tussenpunt.
*
*
1
*
op dezelfde elementaire kromme.
Door de beperking tot stuksgewijze cosinusfuncties als grofheidsfunctie
g(s) kunnen wij de in ( 4 ) gestelde eis nader precisiëren, zie fig. 23.
C O S ( d d . f l )
4
voor
444
d s d r4 - 0
F---
Fig. 23 Grofheidsfunctie g(s) voor s l ~ s I s 2 .
Op het in fig.23 aangegeven interval ter lengte 1 is:
1
1
11 s-s ,-
.
sin (-. n >
- GI -G2-
- -
ds 2 l 1 'LI zodat:Eis ( 4 ) kan dan worden geschreven als:
3.25
De gebruiker dient met deze eis rekening te houden. Als er niet
aan voldaan is, m.a.w. als op een elementaire kromme de grofheid
te sterk varieërt, volgt een foutmelding.
*
Bij het genereren van steunpunten op de kontour C
steunpunt k, behalve zijn koördinaten
%
en y,
bovendien een absolute grofheid ga toegekend:wordt aan elk
k
k gak = gk.RI
Hierin is g de relatieve grofheid t.p.v. het steunpunt en RI is de k
lengt€ -Ju= u e stunduuirc? elementrihhe. De ahsnl13te grnfheLd
In
*
de steunpunten op de kontour C
der elementen in de subgebieden. Daar de relatieve grofheden in de steunpunten afgeleid worden uit de door de gebruiker op te geven rela- tieve grofheden in de geometrie- en grofheidspunten, vormen deze invoer-
gegevens, samen met de op te geven lengte RI, het stuurmechanisme voor
het aantal en de variaties in grootte van de elementen in het gebied G. bepalen in onze werkwijze de grootte
3.4.3 Beschrijving van de subkontouren door middel van steynpunten,
I
In 3.3 zagen wij hoe een subkontour beschreven wordt d.m.v. kontourdelen
en in 3.4.1 en 3.4.2 kwam ter sprake hoe op elk der kontourdelen steunpunten
worden gelegd. In onze werkwijze zullen de opeenvolgende steunpunten op een
kontourdeel onderling door rechte lijnstukken
- de
op dat kontourdeel gelegenelementribben
- verbonden worden. De gebruikers-gerichte externe representatie
van een subkontour C d.m.v. rechte lijnstukken, cirkelbogen en voorgeschreven
steunpunten, wordt hiermee overgevoerd in de interne representatie van C : een
gesloten polygoon gedefinieërd door de steunpunten op C
polygoon enkelvoudig te zijn, d.w.z. zonder dubbelpunten, zie fig. 2 4 .
S
S
In principe dient dit
S
Fig. 24 Subkontour C gevormd door een gesloten enkelvoudig polygoon.
3.26
Uit het voorgaande zal duidelijk geworden zijn dat wij toestaan
dat gedeelten van C samenvallen, hetgeen in overeenstemming is
met de door ons gehanteerde definitie (zie vooraan in 3.3) van een S
enkelvoudig samenhangend gebied. Als voorbeeld zie fig. 25.
Fig. 25 Subkontouren waarvan gedeelten samenvallen.
Fig. 25 (a) toont een gebied met een scheur; de punten 2 en 6, resp.
3 en 5 zijn niet gekoppeld. De subkontour wordt beschreven door de op-
eenvolgende steunpunten 1 t/m 13. Fig. 25 b toont een gebied, met een
door de gebruiker vastgestelde kromme in het gebied, nl, de
kromme van punt 2 via 3 naar 4 . De subkontour wordt in dit geval be-
schreven door de reeks opeenvolgende steunpunten: 1 , 2 , 3 , 4 , 3 , 2 , 5 , 6 9 7 9 8 , 9 3 ~ 0 ~ 1 1 ~
A 5
Wat wij uiteraard niet toestaan is dat een subkontour zichzelf Gén of
meerdere keren snijdt. Fig. 26 geeft hiervan een tweetal voorbeelden.
Fig. 26 Subkontour die zichzelf éénmaal ( a ) en tweemaal (b) snijdt.
Als de gebruiker een dergelijk subkontour blijkt te hebben gedef inieërd,
volgt een foutmelding bij het in elementen verdelen van het betreffende subgebied.
3.27
Eenvoudig kan worden nagegaan dat van een subgebied G
hoeken verdeeld moet worden, het aantal steunpunten op de subkontour
C even dient te zijn. Hiervoor wordt in TRIQUAMESH zorg gedragen.
Eerst wordt het aantal steunpunten op
bepaald; met die aantallen wordt het aantal steunpunten op elk der subkontouren berekend. Indien dan niet aan bovenstaande eis voldaan is, wordt het aantal steunpunten op één of meer elementaire krommen met
één verhoogd of verlaagd, waarbij gestreefd wordt naar minimale wijzi-
gingen. Pas als de aantallen steunpunten op de subkontouren in orde zijn,
worden de posities van de steunpunten bepaald volgens de in 3 . 4 . 2 be- schreven werkwij ze.
dat in vier-
S S
3 . 5
3 . 5 . I
3.5.2
3.28
Verdelen v a n een subgebied G s i n driehoeken of vierhoeken.
I n 1 e i d Eng
Nadat d e steunpunten op de kontour C z i j n gegenereerd, l i g t v o o r e l k subgebied Gs d e subkontour C vast d.m.v. d e steun- punten op d i e subkontour, welke onderling door r e c h t e l i j n s t u k - ken z i j n verbonden. E l k subgebied d i e n t nu, a f h a n k e l i j k v a n h e t door d e g e b r u i k e r opgegeven elementtype, Óf i n driehoeken Óf i n
v i e r h o e k e n t e worden v e r d e e l d . D e hoekpuritem van d e drLs- of vlerhmken noemen w i j d e steunpunten i n h e t subgebied G
.
Voor sommige element- t y p e n ( b i j v . de "ACKA"-elementen TRIM 3 en QUAM 4 ) kunnen w i j d e d r i e - of v i e r h o e k e n meteen a l s elementen i n t e r p r e t e r e n ; d e steunpunten i n G s gaan dan o v e r r i n knooppunten i n G s . Andere elementtypen( b i j v . d e "ASKA"-elementen TRIM 6 en QUAM 8) o n t s t a a n door op d e
middens van d e z i j d e n van de d r i e - of v i e r h o e k e n extra punten, zg. middenpunten t e leggen. D e knooppunten i n G S worden dan gedefineërd
a l s d e verzameling v a n steunpunten en middenpunten i n G s . I n d i t hoofd- s t u k z u l l e n w i j h e t genereren van middenpunten b u i t e n beschouwinglaten; d i t z a l i n hoofdstuk 3 . 9 aan de orde komen.
Hoewel h e t v e r d e l e n v a n een subgebied i n driehoeken of v i e r h o e k e n de k e r n v a n d e meshgenerator TRIQUAMESH vormt, z u l l e n w i j v o l s t a a n met een s l e c h t s z e e r g l o b a l e b e s c h r i j v i n g v a n d e gevolgde werkwijze. D e reden h i e r v a n i s d a t , gegeven een j u i s t g e d e f i n i e e r d e subkontour, de verwerking van d i t s t u k programma volkomen automatisch p l a a t s v i n d t , dus zonder s t u r i n g door d e gebruiker.
De werkwijze v a l t u i t e e n i n de stukken:
-
v e r d e l e n v a n een konkaaf subgebied i n konvexe deelgebieden.-
v e r d e l e n v a n een konvex deelgebied i n driehoeken of vierhoeken.*
S
S
I
V e r d e l e n v a n een konkaaf subgebied i n konvexe deelgebieden.
Z i j Cs d e door middel van steunpunten beschreven subkontour v a n h e t enkelvoudig samenhangende subgebied G s . De steunpunten op C S worden,
linksom Cs volgend, l o k a a l genummerd van
1
t / m ncp, w a a r b i j ncp h e t aantal steunpunten op Cs i s ; h e t met1
genummerde punt wordt w i l l e k e u r i g gekozen, z i e f i g . 27.3.29
X
Fig. 27 Lokale nummering van de steunpunten op C s .
Wij definiëren de hoeken ai (i=1,2,
...
ncp) zoals in fig. 27 is aangegeven.Uit de in 3 . 4 beschreven werkwijze voor het genereren van steunpunten op C t-olgt U 2 5 v o o r de g r o o t t e van de hoeken 01. geldt:
S 1
O < ai 5 2n i=1,2,
...
ncp.Wij zeggen dat het subgebied G konkaaf is als voor één o f meer hoeken
01. geldt:
S 1
Laat i en j (i,j = i,2,
....
ncp; i#
j) zodanige steunpunten op C S zijn datde verbindingsrechte van i en j geheel binnen G S ligt. Bij het verdelen in
driehoeken o f vierhoeken van G
dergelijke rechte lijnstukken waarop steunpunten worden gelegd. Voor elk zo'n zullen wij veelvuldig gebruik maken van S
lijnstuk moet gekontroleerd worden o f dit inderdaad binnen G S ligt, en er
dus niet een situatie kan ontstaan zoals aangegeven in fig. 28.
't
I
m-
/}
3.30
Daar deze k o n t r o l e s v o o r konkave gebieden gekompliceerd en t i j d r o v e n d z i j n , z u l l e n w i j een konkaaf subgebied eerst s p l i t s e n i n t w e e o f meer konvexe deelgebieden en v e r v o l g e n s deze deelgebieden i n d r i e - of vier- hoeken v e r d e l e n .
W i j noemen een steunpunt i konkaaf a l s ai > II ( z i e f i g . 2 7 ) . Verder zeggen w i j d a t een steunpunt j op d e kontour z i c h t b a a r i s v a n u i t h e t steunpunt i op de kontour, a l s de v e r b i n d i n g s r e c h t e van i en j geheel binnen h e t beschouwde gebied l i g t . H e t s p l i t s e n van een konkaaf subge- b i e d i n konvexe d e e l g e b i e d e n v e r l o o p t dan In de v c l g e n d e stapperi:
1 .
7 L . 3 . 4 . 5. 6 . 7 . 8.Zoek e e n g e s c h i k t konkaaf steunpunt op de kontour; b i j v . h e t punt met de meest,
Noem d a t steunpunt P.
konkave hoek of h e t m i d d e l s t e van een reeks konkave punten;
Y e p â â l de verzzrrielirig TI1 van die stelmpunten op d e kontour welke van- u i t P z i c h t b a a r z i j n ,
B e p a a l u i t V
e n i g e k r i t e r i a (o.a. d e hoeken d i e PQ maakt met de kontour) de b e s t e s p l i t s l i j n o p l e v e r t.
h e t steunpunt Q zodanig d a t d e r e c h t e PQ op b a s i s v a n 1
Bepaal d e verzameling V Q z i c h t b a a r z i j n .
van d i e steunpunten op d e kontour d i e v a n u i t
2
D e f i n i e g r op d e r e c h t e PQ een f u n c t i e voor d e a b s o l u t e g r o f h e i d ga(s) op b a s i s v a n d e a b s o l u t e grofheden ter p l a a t s e van d e steunpunten i n V en V (In 3 . 4 zagen w i j d a t aan e i k steunpunt op de kontour C
,
b e h a l v e een koördinatenpaar,
Ó Ó k een waarde v o o r d e a b s o l u t e g r o f h e i d wordt toegekend).*
1 2
Leg, uitgaande van d e g r o f h e i d s f u n c t i e g a ( s ) steunpunten op d e r e c h t e PQ.
D e f i n i e g r t w e e nieuwe gebieden ; de r e c h t e PQ vormt de g r e n s l i j n van d e z e gebieden.
L
V e r v o l g v o o r b e i d e gebieden met s t a p I .
H e t a a n t a l steunpunten op d e kontour van een i n vierhoeken t e v e r d e l e n ge- b i e d moet even z i j n . Hiermee wordt i n s t a p 6 rekening gehouden: h e t aantal
op PQ t e leggen steunpunten wordt i n d i e n nodig met één g e w i j z i g d zodanig d a t d e a a n t a l l e n kontourpunten van d e nieuw o n t s t a n e gebieden ( s t a p 7 ) even z i j n .
3.31
I n h e t bovenstaande p r o c e s maken w i j gebruik v a n r e c u r s i e v e program- mering: d e procedure d i e een konkaaf gebied s p l i t s t , r o e p t één of meerdere keren z i c h z e l f aan. B i j h e t v e r d e r v e r d e l e n v a n konvexe deel- gebieden wordt eveneens v a n r e c u r s i e v e programmering gebruik gemaakt.
3.5.3 Verdelen v a n een konvex deelgebied i n driehoeken.
De kontour v a n een konvex d e e l g e b i e d wordt beschreven met9 zeg n steun- punten w e l k e onderling door rechte l i j n s t u k k e n verbonden z i j n . Van e l k
k ~ n t ~ ~ r p u n t z i j n d e koördinaten: d e door de kontour i n g e s l o t e n hoek
a . ( i = I y 2 , . . . ~ n ) en d e a b s o l u t e g r o f h e i d ga. ( i = i , 2 ,
...
n) bekend. Wij noemen een hoek a . scherp als g e l d t :1 1
1
01 < 80'
i
--
H e t v e r d e l e n van een k o m e x deelge'v;ed i n i
g l o b a a l als v o l g t :
rizhveken verlocpt Yuri
1. Als IP = 3 wordt &én driehoek gevormd en z i j n w i j klaar,
2. Zolang n > 3 worden, mits de r e s t e r e n d e kontour: a c c e p t a b e l b l i j f t , e v e n t u e e l aanwezige scherpe hoeken afgesneden door h e t l e g g e n van één o € twee driehoeken, en de kontour wordt: aangepast.
3. A l s er geen scherpe hoeken z i j n wordt h e t gebied door een verbindings- r e c h t e v a n d e kontourpunten P en Q i n twee nieuwe d e e l g e b i e d e n g e s p l i t s t . B i j h e t bepalen van PQ s p e l e n meerdere k r i t e r i a een r o l , o.a. d e hoeken d i e PQ maakt met d e kontour.
4 . Op PQ worden steunpunten gelegd uitgaande van d e g r o f h e i d i n a l l e kon- tourpunten.
5. Voor e l k van d e nieuw gevormde deelgebieden wordt d e kontour g e d e f i n i e ë r d en wordt v e r v o l g d met s t a p
1 .
3.32
3 . 5 . 4 Verdelen v a n een konvex d e e l g e b i e d i n vierhoeken.
W i j e i s e n h i e r d a t h e t a a n t a l steunpunten n op d e kontour van h e t d e e l g e b i e d even i s . Voor h e t v e r d e l e n i n v i e r h o e k e n noemen w i j hoeken a<- scherp. H e t v e r d e l e n i n v i e r h o e k e n v a n een konvex deel-
g e b i e d v e r l o o p t dan g l o b a a l a l s v o l g t : rI
ìz
2
I . A l s h e t a a n t a l kontourpunten g e l i j k 4 i s wordt één v i e r h o e k ge- vormd en z i j n w i j k l a a r .
2.
Voor een g e b i e d met 6 kontourpunten z i j n w i j klaar nadat d i t ge- bied, afhaxìkelij'x vap, Ye hoekeil a . ( i = l S 2 $ , . . . 6 ) $ met behulp van s t a n d a a r d procedures i n 2,3,4 of 5 v i e r h o e k e n i s v e r d e e l d .1
3. I n d i e n d e p o s i t i e s van 4 opeenvolgende steunpunten op de kontour d a t t o e l a t e n , s n i j d e n w i j d e door d i e steunpunten gevormde vier- hoek a f . D e kontour wordt aangepast en er wordt v e r v o l g d met s t a p
1 .
4. Ter p l a a t s e van elk d e r steunpunten i waaï'vûûr G. scherp i s 9 w o r d t
één v i e r h o e k gevormd w a a r b i j v o o r e l k e v i e r h o e k i n h e t inwendige van h e t d e e l g e b i e d één steunpunt wordt g e l e g d , D e kontour wordt aan- g e p a s t (deze i s dan konkaaf geworden) en er wordt v e r v o l g d met s t a p
1
v a n h e t i n 3.5.2 beschreven p r o c e s v o o r h e t s p l i t s e n v a n een kon- k a a f gebied.1
Tr 5. A l s n>6 en a.>-
1 2
(i=1,2,
...
n) wordt h e t g e b i e d door d e verbindings- r e c h t e van d e kontourpunten P en Q i n t w e e nieuwe d e e l g e b i e d e n g e s p l i t s t .6. Op PQ worden steunpunten gelegd uitgaande van d e g r o f h e i d i n a l l e kontourpunten v a n h e t o o r s p r o n k e l i j k e gebied. H e t aantal steunpunten
op PQ z a l zodanig z i j n d a t d e nieuwe d e e l g e b i e d e n e l k een even aantal
steunpunten k r i j g e n .
7 . Voor e l k v a n d e nieuw gevormde d e e l g e b i e d e n wordt d e kontour g e d e f i - n i e ë r d en er wordt v e r v o l g d met s t a p
