Schets van de hoofdstukken uit de meetkunde en de kinematica

(1)

Schets van de hoofdstukken uit de meetkunde en de

kinematica

Citation for published version (APA):

Meiden, van der, W. (1978). Schets van de hoofdstukken uit de meetkunde en de kinematica. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7812). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1978 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN

Onderafdeling der Wiskunde

Memorandum 1978-12

oktober 1978

Schets van de hoofdstukken uit de meetkunde en de kinematica

door

W. van der Meiden

Technische Hogeschool Eindhoven Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoven Nederland

(3)

\

_,

~

- 1

-HOOFVSTUKKEN UIT VE MEETKUNVE EN VE KINEMATICA

Blnnen de hoofdstukken zljn de paragrafen en hun onderdelen genummerd volgens het declmale systeem van Peano.

Verwljzlngen naar de wiskunde syllabus WSK x (x

=

10,20,30, .•• ) worden aange-qeven met "WIS

x";

overige verwijzingen, naar in de literatuurlijst genoemde werken, zijn aangegeven met [yz] waarin Y een letter en z een natuurlijk

ge-tal ls.

Bet einde van een stelling (inclusief, indien vermeld, het bewijs) wordt aan-gegeven met het symbool IJ.

(4)

- 2

-Hoofdstuk I.

AFFIENE

RUIMTEN

1.1. Definitie. Een ~eele a66~ene ~~e wordt gevormd door het ensemble van i) een niet-Iege verzameling

R,

elementen a,b,c, ••• ,x,y,z;

ii} een re~le vectorruimte

U,

vectoren ~'~' .•. '~'Z,

... ;

iii} een afbeelding 0:

R

x

R

+ U met de notatie o(a,b)

=

a + b, met de eigenschappen:

ARl : voor iedere a €

R

is de afbeelding 0 :

R

+

U

met 0 (x) :=

a a

jectie;·

AR2: voor iedere a €

R

geldt a + a

=

~;

AR3: voor alle a,b,c €

R

geldt a + b + b + c = a + c.

a + x een

bi-We spreken over de affiene ruimte

(R,U),

of, als geen misverstand ontstaat, de affiene ruimte

R.

De elementen van

R

noemen ~e pa~en.

1.11. Qpmerkingen en voorbeelden

1.111. Neem voor R de gewone ruimte; a + b is de pijl (gericht lijnstuk) van a naar

b; representeer deze pijl in een Cartesisch coOrdinatenstelsel, dan is

R

=m

3 en

(R~3)

een affiene ruimte.

2

1.112. Neem voor R het vlak en handel als in 1.111; (R~) is een affiene ruimte.

~.113.

Uit ARl en AR2 voIgt dat a + b

=

-b + a.

1.114. Als a,b,c,d € R dan is [a + b = c + dJ • [a + c

=

b + dJ.

1.115. Als u - a + b schrijven we oak b

=

a + u en a

=

b - ~; op grond van 1.114 is

(a + u) + v

=

a + (~+ v) en we schrijven a + u + v. 1.116. We veronderstellen dim

U <

~ (zie WIS 20, p. 108).

1 .2. Raakruimten

1.21. Beschouw de verzameling o+(U) = {a + ~

I

u E

U}.

Omdat 0a eenbijectie is,

~+(U)

R a +

1s v

= ,

en we kunnen

R

met behulp van 0 opvatten als een vectorruimte:

~ a

(a + u) + (a + v) := a + (~+:!...) ,

A(a

+

u) := a + A~ .

+

Deze vectorruimte noemen we weI de ~~uim~e van R in a; elementen van 0 (a)

a

(5)

1.211.

1.212.

3

-Men kan gemakkelijk verifi~ren: (u_-₁,u_-₂'···,u) is dan _-m ••• ,a + u ) een basis -m +-dim

U.

dim a (U)

=

a en is

slechts dan een basis voor

U

als (a + ~1,a + ~2".'

+-voor a (U) • a

of-1.22. Bij iedere ~ €

U

omvat de vezel (] (~) aIle paren (a,b) €

R

x

R

met a -+ b

=

u. Deze vezels vormen een partitie van

R

x

R,

induceren bijgevolg e·en equivalen-tierela tie

#-:

(a,b)

#-

(<;:,d) :~a-+b c -+ d

De verzameling van deze vezels, R x

R/#-,

kan op natuurlijke wijze als

vector-ruimte worden opgevat:

+- +-

+-a

(u) + 0 (v) :

=

a

(~+ v)

+-

+-Aa (u) := 0 (Au) •

Deze vectorruimte heet de

vJr.i..je. ve.c.:toJr./U..lhn.te.,

en de vezels noemt men dan vJr.i..j~

ve..c..tolLen.

Men kan gemakkelijk verifi~ren:

+-

+-1.221. (~1/~2' ••• '~m) is dan en slechts dan een basis voor

U

als (a (~1)'0 (~2) , •••

••• /~(U

»

een basis is voor

R

x

R/#.

-m .

1.222. dim

R x

RI~ = dim

U .

• 1.23. Definitie. dim R :- dim U.

n

1.24.

U

heet de met R verbonden lineaire ruimte. Als U wordt opgevat alslR (het-geen in principe altijd mogelijk is.als dim

a

< ~) dan schrijven we voor de

n

affiene ruimte: A ; we spreken van de Cartesische affiene ruimte.

Als we aannemen dat inlRn bovendien een inproduct is gedefinieerd, zodat in

n n

m

een metriek bestaat, dan schrijven we voor de affiene ruimte: E ; ze is nu een Euclidische affiene ruimte.

1.3. Affiene deelruimten

Zij

(R,U)

een affiene ruimte. In U wordt door de parametervoorstelling

~ m b + A~ respectievelijk ~

=

£

+ A~ + ~~

(met onafhankelijke ~ en v) een lijn respectievelijk een vlak bepaald. Met +-een a €

R

kan men van deze lijn (of het vlak) het beeld bepalen bij 0 :

(6)

4

-+ +

a (b + ~u)

=

a + b + A_U, a (b + AU + iIv)

=

a + b + ~u + lJ~

a - a

-~~~ dat ook geldt

ZUIkadeelverzamelingen heten uiteraard weer lijn (vlak) in

R.

ZO komen we

tc:t

1.~ .. DefLnLtie. V~~r iedere lineaire deelruimte V van U en voor iedere a € R heet

cr+-(.U) &en

an6iene

deeiJuL.imte

van R. Men schrijft ook a +

V. V

heet de richting

a .

~. ~ +

V,

a heet een steunpunt van a+

V.

Men verifieert gemakkelijk:

1':1l.1.. b ~. ~

+

V ..

a € b +

V.

1 .. :J.t.2... a. + II ., b + W _ V

=

W.

lit. m

1.l!i.

&Ls

nL~ (a

i + Vi) ~ ~ dan is ni=l (ai + Vi) een affiene deelruimte met rich-1ti1nq

n~_l

Vi·

Jdia:t wm. p a£.

I&!wt.;ts ..

~-o ~iP +

._{a i -}

L~=O

_{Aiq + a i}

=

L~=O ~i(P

_{+ a i - q + ai)}

=

- t:-a

Xtp + q - p + q, zodat m

P

+

r

~iP + a_i

= p

+ (p + q) + i-<) 1

m~

a_O...

~

b -

r

~

a_j .

o

j::cl 0 m

L

Aiq + a_i

=

q + 1=0

(7)

1 m

~

~ - + ( - b-

I

A aJ AO j=l 0 J -1 c 1 (a ... b -.. 0 0 m

t

j=l - 5 -1 a -)- a~) = Ii) j 0 J m

x.

I

~

a_Q-+ a_j >

=

j=1 0

o

1.322. Stelling. Als V j=O, . . . ,p b_j

= L~ ajk~

en c =

[~

Sl'j

met V j=O, . . . ,p

r:=o

Q jk = 1 en

L;=o

a

j

=

1 dan is

r:=o

¢I~,=o

t1}Ita

j l JC: 1 en

m p

C 10:

Lk=O

(Lj=O

ajkaj}~

•

_·Bewijs.

_{Lk CL}

j Qjk6j) =

L

j 6j

Lk

Qjk =

I

j Bj :: 1.

C - C

+

L

_j tijc ... b_j = C +

lj

6

j (e ...

Lk

a.jk~l

=

o

1.33.

Definitie. Onder bet

46tune

cp.6paJt.6d

van een einctiqe btf.et-l.ege) deelverza-WIel..ing {aO' - - -raJllvan

R

"gerstaan we

"'UDder bet (affiene) opspansel .van -een 'vi1.~ekeuriqe (met-lege)' deelverzameling

·.A '9aJ1

R

verstaan we

.-<A'> :-

'

u

.

~

-' .~,al'··· ,am£S

- 1 ;-331. -£en lijn is-bet -opspansel <a

O,a1> -vant:wee verschi.1leDde pun-ten aO,a1;

-+

<a_O,a₁> e GaO «a

O -+ a1» · Een vlak is het opspansel <a

O,a1,a2> van drie niet op ~~n rechte gelegen pun-

-+-ten a_O,a₁,8

2; <aO,a1,a2>

=

Gao «aO -+ a1,aO -)- a2» · Zen ruimte is het opspansel <a

O,a1,a2,a3> van vier Diet in ~~n vlak gelegen punten a

(8)

6

-(Zie WIS 20, p. 98 voor de definitie van <~1""'~m> in U.)

1.332. Stelling. <aO,a1, •.. ,a

m> is een affiene deelruimte .

•

Het is duidelijk dat ieder der punten aO,al, ... ,a

m als steunpunt kan gekozen worden:

en in het bijzonder (volgens 1.312)

= <a ~ a a -+-a a --+ a >

i 0' i 1 " ' " i m

voor alle i - /l, ... ,m.

o

/'

1.333. Definitie. De punten a

O,a1, .•. ,am heten (of: het stelsel punten (aO,a1, ••• ,am) heet)

(a66ien) ona6hankelijR

als g~~n van die punten tot het affiene

opspan-•

sel der overige behoort~ anders heten ze (of: heet het)

(a66ien) a6hankeiijk.

1.334. Stelling. (a

O,a1, •• .,am) onafhankelijk .. (aO-+al,aO-+a2, ••• ,aO-+am) onafhan-kelijk.

Bewijs. Stel dat a

O -+ al,aO -+ a2, ••• ,aO -+ am afhankelijk zijn; dan zijn er

A_1,A₂,···,A

m €lR, niet Vi \ = 0, met

I~=l

\ aO -+ ai =

Q. .

Er zijn nu .twee mogelijkheden:

1)

.

l~_1

\ ,.

0; het is geen beperking te onderstellen dat

I~=l

Ai = 1

~

dan zijn equivalent li AiaO

~

_{a i :}

Q,

_{a O}+ _{Ii AiaO -+ a i = ao' Ii Aiai = ao'}

a

_o

€ <a

1,a2,···,am>·

2)

4-1

Ai 0:: o~ het is geen beperking te onderstellen dat Al = -1; nu is

l~&2

Ai - 1, en de volgende beweringen zijn equivalent:

-aO -+ a 1 +

I~=2

AiaO -+ a i =

Q,

a O +

I~=2

AiaO

~

a i

=

aI'

I~=2

Aiai Ie a 1,

(9)

\

7

-Stel nu, omgekeerd, dat 3k €O,1, ••• ,m ~ € <aO, •.. ,ak_l'~+l, ••. ,am>. Met

Li~k ~i

- 1 zijn dan equivalent:

~

€

<aO'···'~_l,ak+l,···,am>'

~.,. Li~k ~iai'

_{a O}-+

~

=

Li~

_{a O}-+ _{ai' (aO}-+ _al,aO-+ _{a 2,···,aO}-+ am)

afhan-kelijk.

0

1.335. Als (a

O,a1, ••• ,am) affien afhankelijk is, geldt

niet

dat ied~ der punten tot het opspansel der overige behoort; neem bijvoorbeeld a

O = al

#

a2; (aO,al,a2) is afhankelijk, maar a

2

i

<aO,al>. Maar: als (aO,al, .•• ,am) afhankelijk en (a₁, ••• ,a

m) onafhankelijk is, dan is_-aO E <al, •.. ,am>; wantals, metk ~ 0,

~= ~OaO _{+ Ala l + ... +}Ak-l~-l + Ak+l~+l + .•• + ~mam ... dan moet

~O

#

0 zijn en kan men a

O oplossen (1.321) zodat oak aO € <a1, ••• ,am>. En in het bijzonder:

Stelling. Als (aO,al, ••• ,a

p) een maximaal onafhankelijk deel is van (a

O,a1,· •• ,am) dan is <aO,al,···,a > - p <aO,al, •.. ,am>.

Bewijs. Nu is aO,al, ••• ,a

m € <aO,al, ..• ,ap> dus (1.322) oak <aO,a1, ••• ,am> c <a

O,a1, ••• ,ap>; het omgekeerde is triviaal.

0

1.336. (a) is oriafhankelijk.

Als dim

R

~ 1 en a ~ b, dan is (a,b) onafhankelijk. Als dim

R

~ 2 en a,b,e liggen niet op 44n reehte, dan is,(a,b,e) onafhankelijk (en omgekeerd).

~ Als dim

R

~ 3 en a,b,e,d liggen niet in ~4n vlak, dan is (a,b,e,d) onafhanke-lijk (en omgekeerd). Volledigheidshalve noemen we ~ afhankelijk. Een niet-leeg deel van een onafhankelijk stelsel is onafhankelijk.

1.337. Definitie. Een onafhankelijk stelsel punten (aO,al, ••• ,a_m) heet een

(affiene)

ba6~ voor de affiene deelruimte a + V indien 1) a +

V -

<a

Oial, ••• ,am>, 2) (a

O,a1, ••• ,am) onafhankelijk.

1.338. Stelling. ledere affiene deelruimte a + V heeft een basis, en deze bestaat uit dim

V

+ 1 punten.

Bewijs. Neem in

V

een basis ~1 '~2' •• · '~m met m

=

dim

V

(vergelijk WIS 20, p. 105-108). Dan zijn a,a + ~l'~ + ~2,· .• ,a + ~m onafhankelijk (1.334) en

<a,a

+

v

l, ••• ,a + v »= a + <v1, •.• ,v > :0: a + V (1.332).

0

(10)

- 8

-(Er zijn veel bases in a +

V.)

1.339. Stelling. Als b € <a

O,a1, ... ,am> met onafhankelijke aO,a1, ••• ,am, dan zijn de ~i in b

=

Li ~iai ·eenduidig bepaald.

Bewijs. Uit Li

~iai

=

_{Ii Uiai volgt a o} + Li AiaO + a i

=

a o + Li PiaO + ai'

Li

~iaO

+ _{a i}

=

_{Li uiaO}+ ai'

Ii

_{(Ai - ui)aO}+ _{a i}

=

_{Q.,'v'i Ai - Ui}

=

O. 0 De getallen A

O,A1, ..• ,Am heten de

a66iene

eoo~dinaten van b ten opzichte van de basis (a

O,a1, ••• ,am).

~1.34.

Stelling. Iedere affiene deelruimte a +

V

van

(R,U)

is een affiene ruimte

(a +

V,V).

•

Bewijs. (a +

V,V)

is al een ensemble van een verzameling a +

V

en een vector-ruimte

V;

we zoeken nag een T: (a +

V)

x (a +

V)

+

V

met de vereiste eigen-schappen; neem

't :"" 0 ;

I

(a + V) x (a + V) •

Dan is triviaal voldaan aan AR2 en AR3; voor T : L (x)

=

a + x (met x € a + V)

a a geldt 1) a+

x

€ V dus 't : a + V + V, a 2) 't - 0 a + V, L is een injectie, a a a

3) als v € V dan is v

=

L (a + v), L een surjectie.

0

- a - a

1.341. De dimensie van een affiene deelruimte is gelijk aan het aantal basispunten plus 1; en: iedere basis heeft evenveel punten (1.23, 1.33S:em 1.34).

1.342. Stelling. Als (a

O,a1, .•• ,am) dan is (bO,bl, •• ~,bm) dan en

onafhankelijk is, 'v'i-O 1 _{- , , ••• ,m}_{b i}

=

Im_j__-_o SiOaj _J slechts dan onafhankelijk als det[Sij] ~ O.

Bewijs. De volgende beweringen zijn achtereenvolgens equivalenb (b

O,b1, ..• ,bm) onafhankelijk, (b

O + b1,bO + b2, .•• ,bO + bm) onafhankelijk,

(!j>O (B_{1j - SOj)aO}-+ a j , Lj>O

(f~2j

- SOj)aO + _{a j , .•. ,Ij>o (Smj - SOj)aO}+ _{a j}> onafhankelijk,

(11)

\

•

1..344. - 9 -6 tm - Bmm. ,p.

a;:

132m - B~ 6_{m1 -} 6₀₁ 6 - ₆₀₂ B

- a

m2 IlDl Om , _{-en, omdat}

L

j Bij

=

1 (i

=

0,1 , ••• ,m) , is BOO

13

₀₁ 802 80m r

=

1 BOI 802 BQm

=

8

₁₀

13

₁₁ 6₁₂ B_lm 1 ₈₁₁ 6 ₁₂ 6 _lim. 8₂₀ 6₂₁ 8₂₂ _82m 1 8 21 6 22

5

2Dt ' 8 _mO 6_m1 _6m2

ega

1

₁₃

_13m2

_B mt mm

...

1

8

₀₁ ₁₃₀₂ _BOm = _j_B

u

-SQJl _SliZ-B'([2 8._lmt-B, 0

8

₁₁

-13

₀₁

6

₁₂-8₀₂ 8_lm-8 0m 13 21-601 1322-802 132m -Bam "0

13

₂₁

-13

₀₁ 13 22

-8

02 82m-flam , - _{Bml-BOI Bm2-B02} _{B DJD.",,:,B am} 0 _/_/_8.1-1301

_13.

2-602 8 an Om -B Q

=daamJ.j rechtereiqenvector is_

Stellinq. Zij (a_O,a₁, •• -,am) onafhankelijk en R

=

~.iIl.1 •••• "a_n";; z:f..j Q'S: mS n

'--en b

i ...

r~=o

Aijaj -(i =0, ••• ;m) • Dan is ChO,b1, •••• bm' dan en

s~edtts

dan -onafhankelijk als ranq[

B

ij]

=

m + 1 •

'ranq

13

₁₁ _{- BOI} ₆_{12 - ~}_,₀₂ B _1n-

_Ban

=m .B'21 - ,6₀₁ ,13₂₂- 8₀₂ ,Bm -

BOn

13 _{- 13 01}

B

-

8

02 8 - BOn

ml m2 on

(12)

\

.

- 10

-1.345. Stelling. Als (b

O,b1, ••. ,b ) en (cO,c1, .•. ,cm) onafhankelijk zijn, en t < m dan is er een deel {d

1,d2, .•. ,dm_t} van {cO,c1, ..• ,em} z6 dat (bO, •.. ,bt ,d1, .• ••• ,dm-t) onafhankelijk is.

Bewijs. Beschouw de stelsels

(i O,l, .•• ,m) •

Deze zijn niet alle afhankelijk; ware dit zo dan zou (1.335)

en dat is, wegens m > t, onmogelijk (1.342). Neem dus d

1 € {c1, ••• ,cm} z6 dat

... (b

O,b1, ••• ,bt,d1) onafhankelijk is, en pas dezelfde redenering toe op (b

O,b1, ••• ,bt,d1) en (cO,c1, ... ,cm). Oit kan men voortzetten zolang

D

1.346. Affiene deelruimten

S

van

R

met dim R

=

n heten

•

punten als dim S = 0, lijnen als dim S = 1 ,

/

vlakken als dim S

=

2,

ruimten als dim S

₌

3,

hypervlakken als dim S n- 1.

1.35. Stelling. Als (S,V) en (T,W) affiene deelruimten zijn van (R,U) dan is pre-cies ~~n van de volgende uitspraken waar:

1) SeT of

T

c S; en dan is V c W respectievelijk W c V;

2)

S

n T

=

~;

3)

(S

n

T,

V n W) is een affiene deelruimte met

o

~ dimeS n T) < min{dim S,dim T} •

Bewijs. Als SeT en S

=

a + V, dan is V V a + v € a + W, zodat V V v € W;

v€ - v€

-dus

V

c

W.

Als bovendien

S

# T

dan is blijkbaar ook

V

~

W

en dim

V

< dim

W.

Stel nu dat

S

n

T

#

~; dan is (1.313)

(S

n

T, V

n ~) een affiene deelruimte, dim

S

n

T

~ 0 en volgens het voorgaande ook dim

S

n T ~ min{dim S,dim

T);

(13)

\

- J 1

-1.351. oefinitie. Affiene deelruimten

(S,V)

en

(T,W)

heten

evenwijdig

indien

V

c

W

of W c V. Men schrijft dan SII T.

1.352. Ais dim

R

=

n, dan is voor k E {O,l, •.. ,n} evenwijdigheid een

equivalentie-klasse voor aIle deelruimten S van R met dim S = k. 1.353. Als

SeT

dan is

SliT

(1.35).

1.36. Als CSi,V

i) (i

=

O,l, ... ,m) affiene deelruimten van (R,U) zijn dan is hun op-spansel <.SO' S l' •.• , Sm> := <Ui=O m Si> (zie 1.33).

1.361. Stelling. Voor iedere A c

R

is <A> een affiene deelruimte •

•

Bewijs. Beschouw de verzameling £. van aIle maximale onafhankelijke eindige deelverzamelingen B van Ai Ais B,e E £. is (volgens 1.345) ~ B = ~ e, noem dit aantal m + 1 i blijkbaar is <A> = U f' .

BE ...

Zij nu d_i € <A> (i = O, ... ,p) i voor iedere i is er een Bi = (biO,bil, ••• ,bim)

z6 dat d i

=

I~=o

Sijbij met Lj Sij = 1. Dan is, met

I~=o

0i

=

1,

Ii 0i I, S, ,bij _J _1J

=

I.

_1J

'

0i8i _· _{J 1J},b, . met

o

1.362. Stelling. <A> is de kleinste van aIle affiene deeLruimten die A omvatten.

0

•

1.363. Stelling. Voor affiene deelruimten

(S, V)

en (T,W) van (R,U) geldt:

i) als

S

n

T,1l

dan

dim<S,T>

= dim

S

+ dim

T -

dim

S

n

T,

ii) als

S

n T

=

Il

dan

dim<S,T>

dim

S

+ dim

T

+ 1 - dim V n

W.

Bewijs. Het eerste getal voIgt direct uit de overeenkomstige stelling voor vectorruimten (WIS 20, § 3.3.5-3.3.7),

dim V + W

=

dim V + dim W - dim V n W •

Zij, in het tweede getal,

S

=

a +

V, T

= b +

Wi

neem s = a + u €

S,

t => b + w € T, A + U

=

1; dan AS + ut = Aa + ub + J..v + lJW = a+u(a-+b) +A.!.+U~ zodat dim<S,T>

=

diro<a -+

a,V,W>

= dim<a -+ b,V + W>~ We moeten laten zien dat a -+ b ,

V

+

Wi

ware dit zo dan was b = a + v + ~, b - v = a + w

€S

n

T,

te-genspraak. Ous a -+ b ,

V

+

W

en dim<a -+ b,V +

W>

=

1 + dim(V +

W) .

o

I

_r

(14)

\

- 12

-1.4. Affiene afbeeldingen

1.41. Zij

(R,U)

een affiene ruimte.

Definitie. V~~r iedere u E U is een afbeelding t :

R

+

R

gedefinieerd:

u t (a)

=

a + u .

u

TU heet een ~n6latie van

R.

1.411. Stelling.

1) T is een bijectie, voor iedere affiene deelruimte

S

van

R

is -c

(S)

=

S

+ u

u u

een affiene deelruimte, -c (S) II S'en dim -c (S) = dim S,

u u

•

2) als

(S,V)l1

(T,W) dan -c (S) II -c (T); u u + 3) T

=

T -u' -c o -c

=

-c

=

T 0 -c •

0

u u v u+v v u

1.42. Stel dat

(R,U)

en

(S,V)

affiene ruimten zijn.

Defini.tie. Een afbeelding a:

R

+ Sheet

a.66-ien

indien voor aIle a

O,a1, .•• ,am E

R

en alle A

O,A1, ••• ,Am ElR met Li Ai

=

1 geldt

"

1.421. Een translatie is affien; in het platte vlak zijn bijvoorbeeld gelijkvorroig-he ids trans forma tie affien; als men in een vectorruimte U de vectoren als pun-ten opvat, dan zijn aIle lineaire afbeeldingen affien •

•

1.422. Stelling. Als a:

R

+ S affien is, en als T,Q affiene deelruimten van

R

zijn, dan geldt:

i) aCT) is een affiene deelruimte van

S.

ii) Als '1'11 Q dan a (T) II a (Q) •

1.423. Zij a: R + S affien. Uit de voorgaande stelling voIgt dat, als a(a + u)

=

K a(a) +~, ook geldt a(x + u)

=

a(x) + v voor aIle x E R; met andere woor-den: v :~ a(x) + a(x + u) is constant (als functie van x E

R).

Definitie. Bij a:· R + S definit':\ren we a : U + V, door a (u)

=

a(x) +a(x+ u).

*

(15)

\

Bewijs. 1) 2) Uit volgt - 13 -a* (.!!. + v)

=

a (a) + a (a + U + v)

=

a (a) + a (a + u) + a (a + u) + a (a + ~ + v)

=

ci (u) + a (v) •

* -

*-a + AU

=

a + _A(a + (a +

u»

+ (1 - A) (a + a)

=

A(a + u) + (1 - A)a

a(a+ AU)

=

Aa(a + u) + (1-A)a(a) =

=

a(a) + ).(a(a) + a(a +

u»

+ (1-),) (a(a) + a(a»

•

zodat

o

a* heet de

mu

a

veJtbortden. Urte.aA.Jte a6bee1.cUrt9.

1.424. Zij dim

R

= n •..

1.425.

Stelling. Een affiene afbeeiding a:

R

+

S

wordt bepaald door ieder der vol-gende gegevens:

i) de beelden a(a

i ) van n+1 onafhankelijke punten aO,a1, ••• ,an €

R.

i1) a* en het beeld a(a) van ~~n punt a E

R.

Bewijs.

i) Als x € R 1s x

=

L~=o ~iai

met (1.339) eenduidig bepaalde

~O'~1"."~n€lR

en

L~~o ~1

- 1. Dus a(x) voIgt u1t a(x) = Ii

~i~(ai)·

11) Nu 1s a(x) D a(a) + a (a + x) •

*

Stelling. De affiene a:

R

+ S is dan en slechts dan

i) 1njectief als a injectief is *

i1) b1jectief als a

* 1njectief is en dim

R

= dim S. Bewijs.

1) :volgt u1t de definitie.

o

ii) als a,a* injectief zijn dan is dim R

=

dim U s dim

V

=

dim

S.

Als nu a niet surjectief is, dan is er een b E S\a (R), zodat V

R

V

U

a (a) + a (u) -:I b,

aE U€

*

-of ook

V

R

V

U

a(a) + b -:I a (u) of a is niet surjectief, en

a€ UE

* -

*

(16)

\

- 14

-1.426. Stelling:. Als Cl:

R

-+

S

_{affien en bijectief}_is,

+ +

(Cl )*

=

_{Cl * •}

1.427. Stelling:'~ Ais Cl .

R

-+

S

_en_S:

S

-+ T affien zijn

(8

0

Cl)*

= 8

0 Cl

* * •

1.43. Veronderstel nu dat Cl:

R

-+

R;

dan is Cl.:

U

-+

U.

1.431. Stelling:. Zij Cl:

R

-+

R

affien. Bij iedere a E

R

v

x€R Cl (x)

=

a + !a + Cl. (a -+ x) • +

S

-+

R

dan is Cl : affien, 0 dan is S 0 Cl : R -+

T

_{affien en} is een t €

U

z6 dat -a 0

•

Bewijs. Neem t

=

a -+ Cl(a).

-a

o

1.432. Definitie. Ais Cl:

R

-+

R

affien en bijectief is, heet Cl een a66~niteit van

R.

Een d €

R

heet

de.k.pun:t

van de affini tiet Cl indien a (d)

=

d.

Een affiene deelruimte F van

R

heet inv~an:t indien Cl(F) c F. (Een dekpunt

is een bijzonder geval van een invariante deelruimte.)

1.433. Stelling. Als Cl:

R

-+

R

een affiniteit is, en als 1 niet eigenwaarde is van Cl*

dan heeft Cl precies ~~n dekpunt.

Bewijs. De vergelijking Cl(d)

=

d kan, voor iedere a E

R,

geschreven worden

• als a + t + Cl.(a -+ d)

=

d , -a equivalen.t met t

+

Cl (a -+ d)

=

a -+ d , -a

*

(Cl* - I) (a -+ d)

=

-t -a

Als 1 niet eigenwaarde van Cl is dan is Cl - I regulier en dan heeft deze

•

verge~ijking precies ~en oplossing. Deze oplossinq hangt niet van de keuze van a af: Uit

...

«(1* -

I) (b -+ d)

=

-~

voIgt door aftrekken van de vorige vergelijking

...

(17)

- 15 -(a*

-

I) (d -+ d)

=

!t,-

_-at

-

(a . - I) (a -+ b)

*

=

_!t,-

_-at

+

a -+ b

-

a -+ b -

_!t,+

_-at

=

0

....

zodat d

₌

d.

o

De stelling geldt ook als a niet bijectief is, maar in deze algemeenheid heb-ben we het resultaat niet nodig.

1.434. Voorbeelden.

•

1) Neem op de x-as: x'

=

2x + 1. Het vaste punt is -~.

Neem y'

=

y + 2. Er is geen vast punt . 2) Neem in het xoy-vlak

Het vaste punt vindt men uit

" 5 5 en het is (-

2'2) .

3) Neem, in het xoy-vlak,

X· a:::

_1+'5

4 _x

_{+'5 Y'}

3 3 4 y'

=

2 + - x + - y 5 5 3 4 y'

=

2 +

5"

x -

'5

y 1 4

De matrix

SC

3 -4 3] heeft 1 l i d a s e genwaar e, en e a d fb ldi ee ng ee h ft g~~n

~~

dekpunt.

4) Neem, in het xoy-vlak,

X. :0::: y' _-3₊

5"

3 _{x -}

'5

4 _y

1 4 3

De matrix

SC3

-4] is dezelfde als in voorbeeld

3;

de afbeelding heeft een rechte van dekpunten, x

=

(5,0) + ~(3,1).

1~435. Stelling. Als van de affiniteit a:

R

-+

R

de verbonden operator a* als

eigen-waarde 1 heeft, dan is er 6f geen dekpunt, 6f een affiene deelruimte

V

van dekpunten met dim

V

;?: 1.

(18)

\

- 16

-Bewijs. De vergeIijking (a* - I) (a ~ d) = - t heeft dan en slechts dan oplos--a

+

singen ais t € (a - I) (U); indien dit zo is dan voIgt uit dim{a - I) (0)

=

n

-a .

*

+

*

-- rang{a - E) dat voor V = a + (a - I) (-t) geldt dim V ~ 1. Dat V niet van

* . * - a

de keuze van a afhangt blijkt op dezelfde manier als in 1.433.

o

1.436. V~~r een bij a: R ~ R invariante deelruimte (F,V) van R geldt (op grond van de bijectieve eigenschap van a) dat a(F)

=

F; dus ook a

(V)

=

V.

Dus is F

al-*

leen dan invariant bij a als

V

invariant is bij a ; deze voorwaarde is evenwel

*

~et'voidoende: bij een translatie T is (T)

=

I zodat. (V)

=

V, maar als

u u

*

u

~,

V

is •

(F)

~

F.

u

4It.437._ Stelling. V~~r invariante deelruimten Fen

G

van (R,U) bij de affiniteit 2ijn

F

n

G

en

<F,G>

ook invariant.

~edere invariante deelruimte is begrepen in een maximale invariante deeIruimte.O

1.438. Stelling. Iedere affiniteit a kan geschreven worden als a

= •

0 ~, waarin •

een translatie is en ~ een affini tei t met dekpunt en ~ *

=

a*; ~ heeft dan en slechts dan een dekpunt als a een dekpunt heeft.

•

-~ewijs.Neem a € R,...!:,= a(a) ~ . .a, .(x) := x + t, en ~ := T 0 a; dan is ·a(a) a a(a)

+

~

=

a, zodat a dekpunt van ~ is.

ri) {a -+ x)

=

<'i (a) -+ ~ (x)

=

a ~ (a (x) + t)

=

(a - t) -+ a (x)

=

•

... a{a) -+ a(x)

=

a (a -+ x)

*

·-dat-wil· -zewena

-=

~ ""Em <5 -ileeft eigenwaarde 1 -alleenal1!! a '-dat ·heeft.

0 *

*

• *

1.1137 .Voorbeeld. 'Neemvoor a, zie 1.-434 voorbeeid 3,

x' ""

1 + -4

5

x +

5

3 y, y'

=

2

+ -

3 x - -4 Y

5 5

12 9 7 4

<.Q ·heeft geen dekpunt. Neem a ::: (1, l)zodat a (a)

=

(S'

5)'

!

=(-

5'- 5)

en ~:

, - 2 4 3

x - -

5

+

'5

x +

'5

y, y'

= 5"

..6 +

'5

3 x - .4

'5

y .~ ·heeft een rechte van dekpunten,

(19)

•

- 17

-1.5. Euclidische ruimten

1.51. Als

(R,U)

affien is, en als in U een inproduct is gedefinieerd (WIS 20, § 5.13,

WIS 30, § 1.4.1 e.v.) dan heet R een eueti~~he ~uimte; met dim R = n

schrij-n

ven we

R

=E • Het gehele metrische apparaat, met lengte, afstand, hoek, lood-rechte stand en topologie, is nu ook in En beschikbaar: de afstand van a,b E:JEn

is d(a,b) = la ~ bl = I(a ~ b,a + b). Bij affiene deelruimte a + V kan men V in U schrijven met behulp van vergelijkingen; als ul' ••• 'u een basis is voor

- -p

het orthoplement Ui van V dan is

V

=

{~ E U

I

V'_l (x,u,)

=

o}

J- , . . . ,p - - J

(WIS 20, § 3.8. 1), zoda t

a +

V

= {x E

R

I

Vj=l (a ~ X'~j) = o} • , . . . ,p

In het bijzonder is voor een hyperblak a +

H

door a en loodrecht op ~

a +

H

=

{x E

R

I

(a + x,n)

o}.

De

veJLgeLi.jfUng

van dit hypervlak is dan (a + x,n) = O.

1.52. Definitie. Een afbeelding <p: R + S heet AAome.tJr.M~, of

een

AAomWUe,

als V b _a,

R

d(<p(a),<p(b» = d(a,b). Als

R

=

S

dan heet <p een ~omwue

van

R.

€

1.521. Stelling. Zij <p:

R

+ Seen isometrie; dan geldt: <p is injectief en continu

en dim

S

~ dim

R. ~.522.

Stelling. Zij

w:

U

~

V

een isometrie van vectorruimten U en

V,

en zij

~(O)

=Q.

Danis ~ lineair en orthogonaal.

Bewijs. Voor een orthonormale basis {~l' ..• '~n} in

U

is dankzij ~(Q) =

Q

het stelsel {W(~l)' ••• '~(~n)} orthonormaal in V en aan te vullen tot een

ortho-normale basis {~(el, ••. ,~(e ),f

l, •.. ,f}.

- -n - -p

V~~r

x

=

l~cl (~'~i)~i

geldt n

!

111 (x) ~

L

(~(x) '~(~i» ~ (~i) + (~(x) '~i) ~i =

i=l i=1 n

I

R:

L

(~'~i)~(~i) + (~ (~) '~i) !i i=l i=1 en

(20)

en - 18 -n

I

1=1 (_!£"~i.. ) 2 n 111 (x) =

I

i=1 (x,e.)tjJ(e.) - -~ -1. n 111 (~ + y)

=

I

(x + l..'~i) tjJ (~i)

=

tjJ (~) + tjJ (1..) i=1 n 111 (~x)

=

I

(F; x , ~ i ) tjJ (~i) 1=1 2 (tjJ(x),f.) -~

~

De orthogonaliteit van een isometrische lineaire afbeelding is in WIS 20 (p. 162) al bewezen.

1.523. Stelling. Zij ~:

R

~ Seen isometrie; dan is ~ affien.

•

Bewijs. Neem a €

R,

{~l' ... '~n} als orthonormale basis in

U

en definieer

• : U

~

V,

~ (u)

=

~(a) ~ ~(a + u). ~ voldoet nu aan de voorwaarden in

*

* -

*

1.5.22, en is bijgevolg lineair. Als Ii ~i

=

1, dan is

1.53.

Isometrie~n

van ]E2

Er zijn g~~n dekpunten, er is er een, of er is een lijn van dekpunten (als niet de identieke afbeelding is bedoeld) •

o

2

1.531. Stelling. Een isometrie a vanE met een dekpunt d is een draaiing om dover een hoek

e

€ (0,2w); als

e

=

~ is iedere rechte door d invariant, als

e

F

W

dan zijn er geen invariante rechten.

o

1.532. Stelling. Een isometrie a met meer dan een dekpunt (anders dan de identieke afbeelding) heeft een rechte 0 van dekpunten; a is spiegeling in 0; invariant zijn alle rechten loodrecht op D.

(21)

- 19

-Bewijs. Als 1 een dubbele eigenwaarde van a* is dan is a* = I en voor iedere decompositie a

=

T 0 15 ook c .·

=

I zodat 0

=

I en a

=

T; maar dan heeft a geen

*

dekpunten tenzij ook T

=

LO' zodat a = ide

1 is dan een enkelvoudige eigenwaarde en evenzo -1. Zij a (u)

=

_u, a (v) -v.

* -

*

-Neem een dekpunt d, a(d)

=

d; dan is a(d + ~u + nv)

=

d + ~u - nv ,

en dit is dan en slechts dan een dekpunt als n 0; dus de rechte a + ~u is een rechte van dekpunten, ten opzichte waarvan d + ~u + nv en d + ~~ - nv ge-spiegeld liggen. Ais E een invariante deelruimte is (1,. met een punt, niet]E2, dus een lijn), bijvoorbeeld x = Aa + (1- A)b met a " b, dan is a(x) = Aa(a) +

• +

(1-A)a(b) en opdat aCE) c: E is nodig en voldoende dat a(a) €: E, a(b) €: E,

dus b behoort tot de lijn door a en a(a) die loodrecht op D staat; omgekeerd zijn al zulke rechten invariant.

2

1.533. Stelling. Als de isometrie a vanE geen dekpunten heeft dan is ~~n van beide waar:

1) a is een translatie, a

=

I; als a

*

L u dan zijn aIle lijnen lI invarianh,

andere niet.

2) a heeft ~~n invariante rechte, E; er is ~~n u E E

,.

_*

zodat a

=

Tu 0 15; 0 is

een spiegeling in E met 0 (u) = u.

* -

-Bewijs. Bet eerste geval correspondeert met een dubbele eigenwaarde 1; dan ~ is, in a - t • 15,15* - ~, 15

=

id, a

=

T.

Voor het tweede geval, 1 is een enkelvoudige eigenwaarde, nemen we a

=

T 0 15, met een T die schuift van a naar a(a) voor een nog be bepalen a: T(X) := X + +a + a (a). Neem ~ en

y..

als boven: 15 * (~)

=

a* (u) = ~,o* (:!)

=

a* (v)

=

-v.

6

heeft een rechte

V

van dekpunten, en

V

= . Als d €:

V

dan is

*

-a(d + ~a + <lea»~

=

c(d + ~a + <lea»~ + a + <lea)

=

- d + ~c (a + a(a»

+

a + <l(a);

*

schrijf a + a(a)

=

~~ + n:! en

a(d + ~a + a(a»

=

d + ~~u - ~~~ + ~u + ~~

=

d + ~a + <lea) + ~u . Dit betekent dat E :=

V

+

~a + <lea) invariant is en dat <lIE een translatie over ~u is: voor e €: E is aCe)

=

e + ~u. We kiezen nu a €: E en u := a + a(a). Dan is

(22)

- 20 .

-a(x)

=

a(a) + a (a + x) = a + u + a (a + x)

'*

*

=

6 (x) + u = ('r 0 0 )(x)

u

en deze 0 heeft de vereiste eigenschappen.

=

a + 6. (a ~ x) + u

=

*

o

1.534. OVerzicht.

--II heeft als dekpunten

~ EO El ]E2 multipliciteit draaiin<j 0 0 om lE

-van 1 over 8 E

•

als eigen';'; (0, 21T) waarde van a spiegeling met]E 1 schuifspiege-1

-met eigenvector u

ling

II

als as, Elil

..

-2 translatie identiek

1.535. Stelling. Het product van twee (schuif)spiegelingen langs niet-evenwijdige assen is een draaiing. Het product van twee (schuif)spiegelingen langs even-wijdige assen is een translatie (als de schuifspiegelingen elkaars inverse

zijn dan de identieke afbeelding) .

•

Omgekeerd: Iedere draaiing is te schrijven als het product van twee spiege-lingen met assen door het dekpunt • .

Iedere translatie is te schrijven als product van twee spiegelingen met even-wijdige assen. In beide gevallen kan men ~~n der factoren (mits door het dek-punt respectievelijk loodrecht op de ~anslatie) willekeurig kiezen.

Bewijs. Zij a

=

T • 0,

B -

a 0 €; voor 0 en £ nemen we spiegelingen aan de

invariante rechten Ea respectievelijk E

B; dan zijn T en a translaties

(even-tueel de identieke afbeelding) over ~ resp. v, waar 6*(u)

=

u, e:*(v)

=

v. Dan is a •

B

=T 0 6 0 a 0 €.

3

1.54. Isometrie~n vanE

3

Voor iedere affiniteit a geldt, voor iedere a E E , volgens 1.423 a(x)

=

a(a)

+

a (a + x)

*

en men kan hierui t afleiden, dat voor iedere translatie T geldt ( •• a) = a •

*

(23)

•

- 21 -(t 0 a) (a ~ x) = (T 0 a) (a) ~ (T 0 <l) (x)

*

= <lea} ~ <lex) = a (a ~ x)

*

In het bijzonder geldt dit voor de decompositie (1.438)

waarin 0 het dekpunt a heeft en T de translatie met vector a(a) ~ a.

Hieruit voIgt dat weliswaar de decompositie TOO met a varieert, maar niet de bijbehorende 0* = <l*. Zo vallen de

isometrie~n

vanE3 uiteen in 2 soor-ten: v~p~~ngen, met det 0 = 1, en om~app~ngen, met det 0 -1.

*

Stelling. De verplaatsingen vormen een normaaldeler in de groep der

isome-trie~n.

1.541. Stelling. Een verplaatsing (l is dan en slechts dan een translatie als <l*=E.

Bewijs. Uit <lex) = <lea) + (l (a ~ x) volgt, als <l = E, dat <lex) = <lea} + a~x,

-

*

a(a) ~ a(x)

=

a ~ x, x ~ <lex) = a ~ <lea) voor aIle x, dus <lex)

=

x + a ~ <lea) ,

een translatie. Het omgekeerde is vanzelfsprekend.

o

1.542. Als de verplaatsing <l geen translatie is, dan heeft <l , een echte draaiing,

*

•

bij de eigenwaarde twee invariante deelruimten, namelijk de (eendimensionale) eigenruimte <e> 1, de draaiingsas, en het orthoplement V

*

.L

= <e> hiervan (WIS 20, § 3.9.2). Volgens 1. 436 moeten eventuele invariante deelruimten van

3

E onder a dan gezocht worden onder de lijnen die met <e>, en onder de vlak-ken die met V* ev;nWijdi9 zijn.

Neem nu een a € E , beschouw a ~ <l(a). We schrijven a +u(a)

=

Ee + wf met

f

E

V*" V~~r een willekeurige vector u schrijven we ~~ + nv met v € V*' Dan

is

a(a .j. uX= <lea) + <l (u) = a +Ee + wf + ~_e + na v

=

* -

*

-=

a + (E + F;) ~ + (wf + na~) .

Hieruit volgt dat de lijn a + <e> overgaat in de lijn a + Ee + wf + <e> die ermee evenwijdig is (neem

n

0), en dat het vlak a + V overgaat in a + Ee + V ,

*

dat ermee evenwijdig is (neem E,; = 0) .

Beschouw nu de afbeelding

S: Sex) =

<lex) - E~, weer een isometrie, en met

a

=

a .

(24)

•

- 22

-Nu is S(a +

v )

=

a + V , zodat

sl

(a + V ) een isometrie van a + V is;

*

het is een verplaatsing maar geen translatie van a + V*; het is dus een draaiing van a + V*' met een vast punt d; maar dan is ~(d) = d + £~, ~(d + <e»

= d

+ <e> en ~(d + u)

=

d + £e + ~ (u).

*

-Definitie. Een verplaatsing ~ die bestaat uit een draaiing, gevolgd door een translatie langs de draaiingsas; heet een ~c.h!toe.vin.g.

We noteren ~

=

{a,!,S}; hierin is a + <!> de draaiingsas, ! de translatie-vector,

e

de draaiingshoek, gezien in de richting van ! . Als ~ een echte draaiing is om a + <t> dan schrijven we ~

=

{a,O!,e} •

Stelling (Mozzi 1763, Chasles 1830): ledere verplaatsing is een schroeving.O

Opmerking. Als ~ = {a,!,S} dan kan men, met S := {a,a!,S} en T := {a,!,O}, schrijven ~

=

T

0

S

=

SOT.

1.543. Stelling. Een verplaatsing ~ is volledig bepaald door de beelden ~(a), ~(b)

en a(c) van drie niet op ~~n lijn gelegen punten a,b,c.

Bewijs. Zij h := a ~ b, ~ := a ~ c; dan is a + h x keen vierde punt, niet in <a,b,c»gelegen, en met ~ (a + h x k)

=

~ (a) + (a (a) ~ ~ (b» x (~(a) ~ ~ (c» ,

zodat a is bepaald (1.424) .

o

•

1.544. Definitie. Bij iedere lijn t = a + <e> heet de draaiing A := {a,a~,~} een

Ujn6p.i..ege11.n.g.

Bij .twee lijnspiegelingen A := {a,Oe,n} en II := {b,a!.,~} is het product II 0 A uiteraard een schroeving. We kiezen a,b,~ en !. z6 dat

la

~

bl

minimaal is, I~I

=

I!.I

=

1, en, indien e x ! .

-f

Q en a

-f

b, geldt

det[~,!.,a ~ b] > a.

Stelling. Als ~ x !.

=

Q

en a

-f

b, dan is II 0 A de translatie {a,2(a~b) ,aJ. Als e x

f

~

Q

en a

=

b, dan is II 0 A de draaiing {a,a~ ~ f,2arccos(~,!)}. Als e x ! . ~ Q en a

-f

b, dan is fl 0 A de schroeving {a,2(a~b) ,2arccos(~,!)}.O

apmerking. A

=

II dan en slechts dan als a +

A

0

A

=

E, anders gezegd

A

=

A.

(25)

- 23

-Gevolg. Iedere schroeving a kan, op oneindig veel manieren, geschreven wor-den als product van twee lijnspiegelingen

A

en ~; a

=

~ 0

A.

De assen van

A

en ~ staan loodrecht op de draaiingsas, hun afstand is de helft van de spoed, hun hoek de helft van de draaiingshoek.

1.545. Stel dat a := {a,o~,~} en

S

:= {b,E~,~} schroevingen zijn, dat (a + b,~) = 0, (a-:+ b,~)

=

0 en p := la + bl FO; verder dat I~I = I~I = 1 en dat

•

• det[d,~,a

+ b] > O. Neem f := p-1(a + b), zodat If

I

= 1, en

det[d,~,f]

>

o.

Als

e

:= arccos(d,e) dan is, bij deze afspraken, det[~,~,fJ sin 6.

Zij Y := {a,O!.,1T}, de lijnspiegeling om a + <f>. Dan is a = y 0 A en S = ~ 0 y

met nader te bepalen lijnspiegelingen A en ~, en S 0 a

=

~ 0 y 0 y 0 A

=

~ 0 A.

Volgens het voorgaande is nu

A

=

{a- ~od,O<'f cos

t

+

!

x ~ sin ~) ,IT} , II

=

{b +

~e:~,O

(! cos

t -

f x

~

sin

!)

,IT}

(26)

•

~oofdstuk II.

LIJNENMEETKUNVE

2.1.

Het

begJUp pM

j ec.ti.e.ve JU..U.m:te

(27)

-- 25

-2.2. Lijneoo~aten

2_'21. Lijncoordinaten van een lijn door twee punten

3 3

"Zij a E: JP , b E:]P , en beschouw

--a j b '

j

i , j 0,1,2,3 •

2.211. De matrix P := [Pij] is scheefsymmetrisch. 2

2.212.det P

=

(P01 P23 + _P02P31 + _{P 03P12)}

=

O.

2.213. Als a'

=

Aa + ~b, b'

=

pa + obi AO - ~P ~ 0 {d.w.z. a'

#

b~) dan is

•

-.en

plj

=

(AO - _llP)Pij

P'

=

(AO - ~p)p ~ 0 .

2.214. De getallen P01,P02,P03,P12,P13,P23 heten de

lijn-,

P£Uek~- of G~~mann

~o~naten van de lijn door a en b.

2.215. De rijen (of kolommen) van P stellen inW3 de punten voor waar de rechte

';door a en b de respectieve zijden van het grondtetraeder snijdt •.

2.216. Opdat de lijrt P in het vlak a ligt, is nodig en voldoende dat Pa

= O.

•

2.22. Lijncoordinaten van een lijn door twee vlakken

Als ( l en S vlakken in]p3 zijn, beschouw dan

i,j

=

0,1,2,3 2.221. De matrix Q := [~j] is scheefsymmetrisch.

2 .2_.222. -det Q ... (QOlq23 + Q0'2Q31 + Q03Q12)

=

O •

..2,.223. Als a'

=

Aa +

1113, 13'

=

1'a + 08, AO - ~P

F

0, dan is

.en ,qij

C (AO - ~P)Qij 42' C(AO ~-l.lPJQ f:. 0 •

2.225. De rijen van Q stellen de vlakken voor die door een lijn gaan (namelijk die door a en

13),

en die door de respectieve hoekpunten van het grondtetraeder gaan.

(28)

- 26

-2.23. Enige eigenschappen van scheefsymmetrische 4 x 4-matrices

Zij lK de verzameling der scheefsymmetrische 4 x 4-matrices en IL := {A E lK

I

det A

=

0 A A ~

a}.

2.231. Definitie. V~~r A,B ElK is

w (A) := n(A,A)/2 v (A) := a2 2 2 2 2 2 01 + a02 + a03 + a12 + a13 + a23 2.232. De minor van a 01 is a23w(A) , enzovoort. ~ De minor van a OO is 0, enzovoort. 2

2.233. det A

=

w(A) ; als det A

o

dan is rang A S 2; als A E lL dan is rang A = 2. 2.234. Definitie. Voor iedere A ElK definieren we

AT :-= 0 a 23 a31 a12 -a 23 0 a03 a20 -a₃₁ -a 03 0 a01 -a₁₂ -a 20 -a01 0

2.235. AT E~; w(AT)

=

w(A); AAT

=

ATA = -w(A)E; (AT)T A. Als rang(A)

=

4 dan is A-1 = _W(A)-l AT •

• 2.236. n(A,B)

=

n(B,A) '" n{AT ,B T) •

nCaA + SB,e) = an{A,e)

+

sn(B,e) .

w(aA + SB) '" a2w(A) + asn{A,B) + S2W(B).

ABA ""' w(A)BT - n{A,BT)A ElK. w{ABA) z W(A)2W(B).

(ABA) ~

=

ATBTAT. ABT + BAT

=

-n(A,B)E.

4 · 2 2

det(A - ~E)

=

~ + V(A)A + w(A) .

2.237. Als A,B ElLen A,J,J E lR (niet beide 0) dan geldt aA + SB ElL .. n(A,B) = 0 .

2.24. Incidentievoorwaarden; transformaties

T

2.241. Een punt a en een vlak a zijn incident als a a = O. 2.242. Een l~jn L en een punt a zijn incident als LTa O.

(29)

- 27

-2.243. Een lijn L en een viak. a zijn incident als La

=

o.

2.244. Twee lijnen L en M snijden elkaar (of: Eggen in een vlak.) als

n

(L,M)

o.

2.245. De lijn door de punten a en b is abT _ ba T

.

2.246. De lijn in de vlakken a enS is (as T - SaT)T.

2.247. Het snijpunt a en het gemeenschappelijke vlak. a van twee lijnen L en M vol-doen voor iedere b op L-en voor iedereS door M (niet samenvallend met

a respectievelijk a) aan

%odat (2.3.6) oak

•

2.248. Stelling (van Von Staudt). Zij 01020304 een viervlak, L een rechte; de vlak-ken door L en 0i zijn ai' de punten op L en in 0jOk01 zijn a_i (1=1,2,3,4;

j,k,1 ~ i); dan is DV(a

1a2a3a4) = DV(a1a2a3a4).

Bewijs. De vlakken a door L voldoen aan La = 0, zodat a ligt in de door LT ,.opgespannennulruimte van L: ~ -

..

₀ ₊_A "'" 23 , .1 23 0 131 -1₀₃ - 112 ₁₀₂ (11 "'9aat door

-

°

_{1 :}

_"'1

=

O. - "U

2 -qaat door

-

°

2: ", 2 --:= co.

«3 '~aat door 03: "'3

=

1₃₁/1₀₃• a 4 .qaatdoar

°

4 :_ A4 = -""'12/""'02·

11 A3 A2 Aj -nv(a₁a

₂

a3a4 )

=

A1 - A4 : A2 - A4

De punten aop L voldoen aan LTa nulruimte van LT: a

=

0 + lJ ₁₀₁ tOl 0 ""'02 -112 t03 -1₁₃ \ A3 131 102

=

A4

= -

""'03 112

(30)

a 1 ligt in 020304: ~1

=

O. a 2 ligt in 0304°1: ~2

=

~ a 3 ligt in 04°1°2: ~3 a 4 ligt in 01°2°3: ~4 R-0 /R- 12 •

=

R-O/R-13· - 28

-o

2.249. Stelling. Als a'

=

Aa een coordinatentransformatie voorstelt (met det A;'O), dan geldt voor de coordinaten n' en P' van een viak n en een lijn P:

•

_a,

₌

_{A n, P}-T ,

₌

APAT, pT,

₌

_{A P A}-T T -1

T T -1

Bewijs. V~~r aile punten x van het viak geldt n x

=

0, n A x'

=

0,

-T T -T

(A a) x'

=

0, zodat n'

=

A u.

V~~r de lijncoordinaten

PkR-

geldt, met b en c op de iijn P,

De laatste bewering voigt uit de vorigen.

o

~.2491. Zij a een projectieve transformatie die aan 01'02'03'04 toevoegt de punten waarvan de coordinaten zijn verzameid in de kolommen van de matrix S. Dan zijn de coordinaten van o(x) voor aile x geiijk aan Sx, en voor een lijn L geldt O(L)

=

SLST.

Stelling. Als y de coordinatenvector is van een punt ten opzichte van 01'02'03'04' dan zijn de coordinaten ten opzichte van 001,002,003,004

ver--1

zameld in y' - S y.

0 2~

25

~

Lijncoordinaten in lE3

3

Neem inlE een assenstelsel (aO'~1'~2'~3) en de gewone projectieve coordina-ten. V~~r een lijn L, die door twee punten (1,x₁,X

2,x3) en (1'Yl'Y2'Y3) van

3

(31)

- 29

-Dus [P01,P02,P03] = ~ - x, [P23,P31,P12] zoals het behoort.

x x ~ en W (L) = (~- ~,x x ~)

De vector ~ -

x

is een richtingsvector voor L, en

x

x ~ is het moment van ~ - ~ ten opzichte van de oorsprong aO' In deze versie worden lijncoor-dinaten toegepast in de mechanica, zie [Vl], [V2].

0,

Zij ! een richtingsvector voor L met

I!I

= 1, en zij

~*

het moment van

~

ten

*

opzichte van aO' Dan is (!,!) lijnen L en M wordt nu

*

(!,,!!!) + (! ,~ = 0 •

O. De voorwaarde van het snijden van twee

4If.251. De lijn L met richtingsvector

~

en moment

~*

noteren we al: [!,!*]; ! en

~*

zijn op een evenredigheidsfactor na bepaald. Het paar [!,! ] legt de.lijn L

eenduidig vast (ten opzichte van een gegeven coordinatenstelsel {aO;~1'~2'~3}). Als

I!I

=

1 noemen we (devoorstelling [!,!*] van) de lijn 9enO~e~d.

Als van [!,!*] en [m,m*] niet geldt

!

x ~

=

Q, zodat deze lijnen niet even-wijdig zijn, dan is de orthogonale transversaal van deze lijnen

[~! x m,

n!

+ ~m] met

~

:=

I!

x

m1

2,

*

n

:= (!,!!!.)det[!,,!!!,~ ] - (,!!!,m) det[!,~,! ] ,

*

.

2.252. De matrixvoorstellingen van L = [!,! ] zi]n

• L~~

lT ]

en

L'

=

L

1*TJ

-0 (R. *) 1* _-o(!)

Sierin is o(!) de 3 x 3-matrix met het effect n(~)x = 1 x x.

- -

-2.26. Het lineaire complex

3

InP. heeft een lijn L de homogene coordinaten ~Ol'~02'~03'~23'~31'~12' die aan de betrekking weLl = 0 voldoen. Er zijn dus vier van deze coordinaten willekeurig te kiezen en men zegt dan ook dat er "" 4 lijnen in]p3 zijn. Stelsels rechten die men verkrijgt door aan R.

ij nog 1, 2 of 3 voorwaarden op te liggen heten achtereenvolgens

eompiex,

eon9~uentie, ~egulU6 (of ~egel

(32)

- 30

-2.261. De raaklijnen aan een cilinder vormen een complex; ieder punt "snijdt op het canplex twee lijnenbundels in"; ieder vlak "snijdt op het complex een kwadra-tisch vlak lijnenstelsel in".

De gemeenschappelijke raaklijnen van twee cilinders vormen een congruentie; ieder punt snijdt op de congruentie vier raakIijnen in; ieder vlak snijdt op de congruentie vier raaklijnen in. De congruentie heet daarom een (4,4)-congruentie.

De gemeenschappelijke snijlijnen van twee elkaar kruisende lijnen vormen een (1,1)-congruentie. De gemeenschappelijke snijlijnen van drie elkaar krui-sende lijnen vormen een regulus; de puntverzameling waarvan de regulus de drager is, is een (tweedegraads-) oppervlak, namelijk een eenbladige hyper-bololde of een hyperbolische parabolo!de.

2.262. Zij A € E en L € L; A

F

O. Door de voorwaarde n(A,L) = 0 wordt een complex bepaald,

n(A,L) = O} •

De voorwaarde Q(A,L)

=

0 is lineair in de coordinaten 1

01, ... ,112, en we

noe-men zoln canplex een line~

eomplex;

als A E L dan heet het complex ~peciaal,

als A € X~ dan heet het complex

algemeen.

Een speciaal complex C

A is de ver-zameling van snijlijnen van A (2.4.4).

2.263. Stelling. De lijnen van C

A die door een gegeven punt a gaan liggen in het

•

vlak ATa (door a) •

T T T

Bewijs. Allereerst ligt a in A a want a A a

=

O. Neem een punt x ~ a op een lijn L door a en in CA' Dan is t ..

1.J

- li,j aljaiX_{j -} _{Li,j ajiaixj - 2L i} ,j

a~jaixj

en

a~AT

=

{_ATa)T.

x ligt dus in het vlak ATa, en bijgevolg ook L.

T

=

2a ATX ,

o

2.264. Stelling. De lijnen van C die in een gegeven viak u liggen, gaan door het

A

(33)

- J 1

-' 2.265. Uit AAT

=

ATA

=

-W(A)E volgt dat, indien A

tL,

dus als C

A algemeen is, het complex een bijectieve afbeelding van punten en vlakken induceert. ATa heet het poolvlak van a ten opzichte van C

A, Aa heet de pool van a, en de toevoe-ging noemt men een

polaniteit

of ~o~elatie; omdat iedere pool in zijn pool-vlak ligt, spreekt men hier in het bijzonder van een nulpo~eit of

nul-~o~etatie. Als A E L is ATA

=

0, hetgeen wil zeggen, en ook meetkundig

di-rect duidelijk is, dat de pool Aa op A ligt en het poolvlak ATa door A gaat.

De polariteit is nu ontaard, de toevoeging a + ATa is niet bijectief; voor

alle b E ATa is ATb = ATa; vlakken nlet door A zijn geen poolvlak, punten niet op A zijn geen pool.

_.266. 2.2661.

Bijzondere complexen

Het fundamentaal ccmplex _POl ₊_P23 =

o.

A

=

AT

₌

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0

Het poolvlak van a = (a

O,al,a2,a3) is (al,aO,a4,a3).

De pool van a

=

(a

O,al,a2,a3) is (a1,aO,a4,a3). 2.2662. Het fundamentaal complex POl - P23 = O.

De grondpunten hebben dezelfde poolvlakken als in het vorige geval; toch

e

_{2.2663. Er zijn zes fundamentaal complexen (Klein,}zijn de correlaties verschillend.

3'

*

2.2664. InE wordt door twee vectoren ~,~ (niet noodzakelijk onderling loodrecht) een complex als voIgt bepaald:

*

(!,

a;·) +

(! '

a) = 0 •

2.267. Poollijo. Zij A:€]I(, C

A een complex, niet speciaal. Beschouw een rechte L door a en b. Voor een willekeurig punt x

=

Aa + ~b van L geldt

zodat deze poolvlakken door de snijlijn M van ATa en ATb gaan. Dus MATa

=

0 en MATb

=

O. Beschouw AT als de matrix van een projectieve transformatie 0.

(34)

- 32

-T -+- T

Dan staat er dat de lijn M door a(a) en a(b) gaat; dus gaat a (M ) door a en b, dus

Men noemt M de poollijn van L; de poollijn van M is AMTA

=

AATLATA

=

L. Als L € C

A dan is n(A,L) = 0 en

met andere woorden, de cornplexlijnen zijn hun eigen poollijn (en omgekeerd) .

Stelling. Als L en zijn poollijn M niet samenvallen, is iedere lijn P, die L en M snijdt, een complexlijn.

Bewijs.

i) Meetkundig: het poolvlak van L n P gaat door L n P en door M; het pool-vlak van M n P gaat door M n P en L; P is de snijlijn van beide, en dus poollijn van P; dus P E CA'

ii) Algebraisch: n(L,p)

=

0, n(M,p)

o

en M ALTA; volgens 2.236 is M - w(A)L - n(A,L)A, zodat

o

=

n(M,p) = W(A)n(L,p) - n(A,L)O(A,P) -n(A,L)n(A,p)

omdat n(A,L) ~ 0 volgt hieruit n(A,p)

=

O.

o

_2.268. Uitde defin~tie van poollijnenvolgt dat van alle lijnen in ~~n vlak de pool-lijnen gaat door ~~n punt, namelijk de pool van dat vlak. V~~r het euclidi-ache geval betekent dit: de poollijnen van oneigenlijke rechten zijn evenwij-dig. Zulke lijnen heten

middeltijnen

van het complex. Een stelsel evenwijdige vlakken (die door een oneigenlijke rechte gaan) heeft zijn polen op een mid-dell1jn.

Stelling. Er is precies ~~n middellijn die loodreCht staan op de poolvlakken van zijn punten. Deze middellijn bestaat uit de punten waarvan de poolvlakken loodrecht op de middellijnen staan, en deze middellijn snijdt de complexlijnen die ze snijdt, loodrecht.

(35)

- 33 -2.269. Zij A €~, C

A een lineair complex, niet speciaal. Neem het grondtetraeder zo dat 0001 en 0203 poollijnen zijni dan voIgt uit 2.5.7 dat 0002' 0003' 0102 en 0103 complexlijnen zijn. De Pluckervoorstellingen van deze vier rechten zijn POl P02 P03 P23 P31 P12 °0°2 0 1 0 0 0 0 °0°3 0 0 1 0 0 0 °1°2 0 0 0 0 0 1 °1°3 0 0 0 0 -1 0 Als C

A speciaal is, is A een lijni neem die als zijde 0001 van het grondte-traeder, en de vergelijking wordt

Als C

A niet speciaal is, is de volgende stelling waar: Als van een tetraeder twee paar overstaande zijden tot C

A behoren, is het derde paar een paar pool-lijnen.

(36)

- 34

-·Boofdstuk III.

VIFFERENTlAALMEETKUNVE

. e beschouwen Ck -afbeeldingen van JRlII in JRn, m = 1 of 2, n = 2 of 3, k 2

.of 3 .We volgen [S 1] en [L1J.

3.1 • . K:roumen. Zij lIeen interval

inJR,~:

II -f.::JE3 een cl-afbeelding. We noteren

1 2 3 1 2 3

het -heeld ~(t) als .een vector x = (x ,x ,x ), en x ,x,x zijn dan re~le

.£uncties van de parameter t E II • Als voor de afgeleide x van x naar t geldt

x

(t)

i-

Q voor aIle t E I dan heet de parametervoorstelling x

ltegu..U.eJt.

3.11. Als lI, lrintervallen zijn, 9:

lr-+

II een C1-functie is met 9 ' (t)

i-

0 voor

.aIle

t

e:

ir

en

e

(lI)

=

II , dan heet 8 een

toegei.a;ten. .6ub.6:tLtuUe.

Een

toege-+

-laten substi tutie i.s monotoon en heeft een inverse 9 : II

-+

n die ook een

~oegelaten substi tutie is.

·'Stelling. Als ~ een reguliere parametervoorstelling is en 8 een toegelaten stibstitutie, dan is ook ~ = x 0 8 een reguliere parametervoorstelling.

0

3 .. 12.-<:inderde "kranme x" verstaan we x (n ) ··tezamen met aIle reguliere parameter-voorstellingen.

3.13 • .2ij IL:= [a,b], ~ een reguliere parametervoorstelling. De lengte van ~(1I )

· b t

·is L ...

fa

Ix(t) Idt, en door aCt) := s := fa IX(T) IdT wordt een toegelaten

~ln!Ibst1tutie 0: -]I -~[O,L] gedefinieerd.

ds .... o'(t) -= Ix(t) I > 0

dt

-+

2ij ~ - ~ • 0 , dan is x ... ~. a,

·;i(t)

=

_{l(o(t»a '}(t), §Js) = x(t)/I!(t) I •

·~tJeparameter sheet de

booghn.gte,

de parametervoorstelilng £.(s) heet de

~jke parametervoorstelling, en om het bijzondere karakter aan te

ge-d

4Ven .schrijven we - - met een accent: I

ds

Stelling. V~~r een natuurlijke parametervoorstellinq x heeft de raakvector

~' de lengte 1.

o

3.14. De

Jta4klijn

aan de kromme ~ in ~(s) is ~(s) + <~'(s».