Het energieprincipe van Reissner vergeleken met andere energieprincipes

(1)

Het energieprincipe van Reissner vergeleken met andere

energieprincipes

Citation for published version (APA):

Janssen, J. D. (1965). Het energieprincipe van Reissner vergeleken met andere energieprincipes. (DCT rapporten; Vol. 1965.006). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1965

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

TECHNISCHE HQGESCHOOL EINDHOVEN TECHNOLOGICAL UNIVERSITY EINDHOVEN

NEDERLAND NETHERLANDS

AFDELING DER WERKTUIGBOUWKUNDE DEPARTETI OF MECHANICAL ENGINEERING LABORATORHIM VOOR TECHNISCHE MECHANICA LABDRATORY OF ENGINEERING MECHANICS

Het energieprincipe van Reissner vergeleken met andere energieprincipes.

door

J.D. Jancsen

T.H.

-

Report

februari 1965

(3)

Inhoudsopgave

Literatuur 1. Nomenclatuur 2. Inleiding

3. Het principe van Reissner

4 . Het principe van minimale potentiële energie

5. Het principe van complementaire energie

6. Benaderingsoplossingen met behulp van het principe van Reissner 6.1. Algemeen

(4)

Samenvatting

Het energieprincipe van Reissner wordt bewezen en toegepast op een eenvoudig voorbeeld, waarbij van verschillende veronderstellingen wordt uitgegaan. Aangetoond wordt dat men soms genoodzaakt i s "gemiddelde" vervormingsgrootheden eh resulterende spanninBen in te voeren om tot een oplossing te komen.

1

Een vergelijking vindt plaats met het principe van minimum potentiële energie en het principe van complementaire energie.

Met name de nadelen der verschillende principes worden aangegeven, waarbij op een aantal plaatsen procedures worden besproken om de moeilijkheden op te lossen.

Aangegeven wordt dat het principe van Reissner in het algemeen bij de constructie van benaderingsoplossingen bruikbaarder is dan de twee andere energieprincipes.

(5)

Literatuur

1 . Hellinger

,

Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, Mechanik

_-

4

-

30

pp. 601-694 (1913)

2. Reissner, O n a variational theorem of elasticity

Journal of Mathematics en Physics,

_-

29, pp. 90-95 (1950) 3. Langhaar, Energie methods in applied mechanics

(6)

- 1 - 1. Nomenclatuur U. 1 Yi j ij i fi Pi n. 1 R V .V*

u

__

_U O

w

-

F S V s1 s2 : component verpiaatsingsvector

: component rektensor (rekgrootheden kleia)

: component spanningstensor

: component volumekracht

: componenL oppervlaktekracht

: component buitennormaal oppervlak

: voorgeschreven grootheid

: energle functionaal van Reissner (of Eellinger)

: potentiële e n w e i e

: complementaire energie

: vormveranderingsenergie

: elastische potentiaai

: complementaire energie per volume eenheid

'5 begrenzend oppervlak van beschouwde lichaam

: volume beschouwde lichaam

: deel oppervlak waar de spanningen zijn voorgeschreven

(7)

2. Inleiding

In de mechanica worden de energieprincipes in twee, geheel verschillende ge- bieden gebruikt.

a. in de mathematische theorie voor de formulering en het bewijs van een aantal eigenschappen; soms zelfs als fundamenteel axioma, waarop de theorie gegrondvest is.

b. bij het constzaeren van (numerieke) benaderingsoplossingen.

Zij kunnen bijvoorbeeld zeer geschikt gebruikt worden wanneer voor een bepaalde klasse problemen een algemene theorie geformuleerd wordt onder bepaalde veronderstellingen. Omdat bij de energieprincipes een aantal relaties gecomprimeerd zijn in één uitdrukking is veel duidelijker te overzien welke termen in een bepaald geval verwaarloosd kunnen worden.

eaire Schalentheorie die door Koiter is geconstrueerd wordt aangetoond dat de veronderstelling dat het effect van een aantal spanningen. verwaarloosd mag worden, impliceert dat in de vormveranderingsenergie de termen die samenhangen met de buigende momenten losgekoppeld mogen worden van de normaalkrachten-termen

$.:

'T

i 1

1.

P

Alle energieprincipes hebben gemeen dat een functionaal van vervormings- enlof spanningsgrootheden wordt beschouwd.

Het gezochte vervormings- of spznningsveld is datgene, dat er voor zorgt dat bij bepaalde variaties van dit vervormings- of spanningsveld de energie-uitdrukking stationair is. Het is belangrijk aan te geven aan welke beperkingen \

~

de variaties gebonden zijn. !

De bestudeerde functionaal heeft de dimensie van een energie, waardoor de naam "energieprincipes" wordt verklaard. Het erop toegepaste variatieprocédé verklaart de benaming "variatieprincipes".

Veel gebruikte energieprincipes in de elasticiteitstheorie zijn:

1. het principe van minimale potentiële energie

2. het principe van complementaire energie of het principe van Castigliano.

Het eerste levert als resultaat van de variatie de evenwiehtsvergelijkingen (in de vervormingen) en de dynamische randvoorwaarden.

(8)

- 3 -

Het verband tussen de vervormingsgrootheden en de spanningsgrootheden volgt niet uit dit principe

Het principe van complementaire energie resulteert in de compatibiliteits- vergelijkingen in de spanningen en de geometrische randcondities. In de algemeen gebruikte vorm moeten ook de gevarieerde spanningen blijven voldoen aan de evenwichtsvergelijkingen. Daardoor is dit principe vaak niet eenvoudig bruikbaar.

Er volgen bovendien niet expliciet de relaties tussen spanningen en vervormingen uit. ,

-

Gebruiken wij deze twee energieprincipes om te komen tot benaderingsoplossingen van een probleem, dan moeten Óf veronderstellingen gemaakt worden over het vervormingsveld Ó f over het spanningsveld.

Het principe van Reissner geeft een algemenere energie-uitdrukking, waarbij onafhankelijk van elkaar de verplaatsingen en de spanningen kunnen worden gevarieerd. Als resultaat van de variatie ontstaan alle vergelijkingen uit de elasticiteitstheorie, inclusief de randcondities.

In een benaderingsoplossing worden dus tegelijkertijd gevonden:

1 . benaderingen voor de evenwichtsvergelijkingen

(9)

- 4 -

3. Het principe van Reissner

Het hier gegeven energieprincipe, waaraan Reissner in 1950 een artikel gewijd heeft

123

en dat daarna onder andere door Fraes de Veubeke enigszins is ver- volmaakt, is reeds in 1913 geformuleerd door Hellingerrll. Het principe is inmiddels op allerlei problemen toegepast (door Naghdi bijvoorbeeld op schaal- prob 1 emen).

Door Reissner (en Hellinger) wordt de volgende functionaal van de spanningstensor, de rektensor en de verplaatsingsvector gedefinieerd:

..

-

j”JTIJni(u

-

;.) dS j J s2

. .

j

(voor r l J n . kan uiteraard p gelezen worden.)

1

..

In (3.1) is een component van de spanningstensor; y . . een component van de rektensor en u. een component van de verplaatsingsvector.

I J 1

. .

W ( - r l J ) is de complementaire energie per volume-eenheid, uitgedrukt in de componenten van de spanningstensor.

De rekcensor en de spanniagscensor zijn symmerrisoh.

Wij zullen ons beperken tot problemen waarbij kleine vervormingen optreden. Er wordt geen beperking opgelegd aan het coördinatensysteem waarin het probleem wordt beschreven.

De bewering is dat in de elasticiteitstheorie de werkelijke spannings- en vervormingsgrootheden ervoor zorgen dat:

,_ 6 R =

o

(3.2)

ij

‘ij en u. 1

(10)

onder de conditie:

Een andere formulering wordt verkregen door de substitutie van ( 3 . 3 ) in

(3.1), waardoor H louter afhangt van de spanningstensor en de verplaatsingsvector. De variatie van R is voor het werkelijke spannings- en verplaatsingsveld nul voor iedere variatie van de spanningstensor en de rekvector.

Dit principe is enerzijds te bewijzen door uit te gaan van bekende energieprincipes, zoals minimale potentiële energie en Complementaire energie; an- derzijds door aanrte tonen dat toepassing van het principe resulteert in:

a. de evenwichtsvergelijkingen

b. de relaties tussen spannings- en rekgrootheden

c. de kinematische en dynamische randcondities.

Wij zullen in dit hoofdstuk de tweede weg volgen. üir: (3.i) volgt:

. .

..

-

// TlJni6U.dS

-

/i n.(u

-

;.)6rlJdS i j J s2 J s2 ( 3 . 4 )

Op grond van ( 3 . 3 ) en de in spannings- en rektensor aanwezige symmetrie geldt voor een deel van ( 3 . 4 ) :

///Tij6yijdV = / / / T ij 6u dV = V V i Ij

..

dV ij / / / ( T ’ ~ ~ u . ) .dV

- //i

~ U . T V

IJ

V 1 Ij

Toepassing van de stelling van Gauss levert:

..

_ij

/// rijôy..dV =

/i

rlJ6u.n.dS

-

///~u.T

= J V 1 IjdV S

I J

( 3 . 5 )

(11)

- 6 -

Wanneer (3.6) in ( 3 . 4 ) wordt gesubstitueerd en wanneer SR=O wordt gesteld, dan resulteert:

Uit (3.7) volgt op grond van de variatierekening:

(3.7)

( 3 - 8 )

(3.9)

(3.10)

(3.11)

De juistheid van het principe van Reissner is hiermee bewezen.

Het.is overigeas ook tamelijk eenvoudig om de hiervoor geschetste weg in de andere richting te doorlopen. Dit wil zeggen: om uitgaande van (3.8)..

...,

(3.11) te komen tot de energieiúi-tdrukking R en de bewering 6R = O

Eet is zinvol de volgende afkûïting in te voeren:

(12)

- 7 -

4 . Het principe van minimale potentiële energie.

Het is duidelijk dat er tussen het principe van Reissner en dat van minimale potentiële energie een verband bestaat.

Het principe van potentiële energie stelt dat voor het werkelijke verplaatsingsveld de variatie van de potentiële energie nul is voor alle kinematisch toelaatbare variaties van het verplaatsingsveld.

Voor de potentiële energie geldt:

V =

/i/

Uo(y..)dV

-

i// fiuidV

-

// p.u.dS 1 1 (4.1) s 1

V

I J

V

6V =

o

(4.2)

voor alle variaties van u. en y. waarbij geldt:

1 ij

'ij =

qj

+ Ujli) ( 4 . 3 )

u. ₁= u. op

s2

( 4 . 4 )

1

Uit het principe van Reissner kan het bovcnctaande . . . principe.:!orde> . , .. .af

leid door'ai ëi-ep; ' ' ? _%Dan,' ' _onQt&_{. . .}. . , "' " .

- . . . . .

:

.

. . . ', . . . I ( 4 . 5 ) ( 4 . 6 )

aw

-

- -

ij y ij u. = u. op

s2

a T

-

1 1

. '

7 -

met behulp van ( 4 . 5 ) kan -r-Jworden uitgedrukt in y

.

Er geldt immers: ij

..

( 4 . 7 ) ij

_{- -}

aw

6r ij ij ij

6[T Yij

-

W(T")] = T 6yij + Tij67

a T

Gebruik makend van ( 4 . 5 ) en het feit dat

. r

u

= T ij yij = W(,13)

O

gaat (4.7) over in:

-

ij

6wo

-

T "ij

( 4 . 8 )

(13)

- 8 -

Wanneer U

voor ( 4 . 5 ) derhalve:

alleen afhangt van de rektensor is een alternatieve formulering

O ij

au

2 -

ij ay - T ( 4 . 1 0 ) ij

Wanneer de resultaten van de variatie van T

--

in concreto ( 4 . 6 ) en ( 4 . 8 )

-

gesubstitueerd worden in (3.1) dan gaat de energie-uitdrukking van Reissner over in potentiële energie.

Op een analoge wijze kan de transformatie van potentiële energie naar R worden uitgevoerd. Het is dan noodzakelijk om met behulp van multiplicato- ren van Laplace het verband tussen de spannings- en rektensor in rekening te brengen.

Wanneer het principe van potentiële energie gebnuikt wordt als basis voor de constructie van benaderingsoplossingen, dan kunnen alleen veronderstellingen gemaakt worden over de verplaatsingsvector. In een aantal gevallen kunnen echter ook bepaalde beweringen aangaande de spanningstensor worden gelanceerd. Het principe van Reissner biedt daartoe de mogelijkheid.

De hiervoor aangegeven werkwijze om vanuit R te komen tot een energie-uitdrukking in louter de componenten van de verplaatsingsvector, kan bij benaderingsoplossingen zinnig gehanteerd worden.

Op grond van veronderstellingen over verplaatsingen en spanningen wordt R

bepaald als functie van verplaatsings- en spanningsparameters.

De spanningsparameters worden gevarieerd. Op deze manier ontstaat bet

-

best mogelijke

-

verband tussen spanningen en rekken. Deze betrekkingen wùsden vervolgens gebrüikt ùm in X de spanningsgrootheden uit te drukken in de verplaatsingsparameters. De zo verkregen energie-uitdrukking bevat louter de verplaatsingsparameters. Deze uitdrukking is dan als potentiële energie te gebruiken.

Een nadeel van deze werkwijze is dat voor de zo gevonden "potentiële energie" in het algemeen niet zal gelden dat de werkelijke (benaderings-)oplossing van het probleem de potentiële energie tot een minimum maakt ten opzichte van kinematisch toelaatbare vatiaties van het verplaatsingsveld.

(14)

- 9 -

5 . Het principe van complementaire energie.

Het principe van complementaire energie luidt:

ôv*=

o

..

voor alle variaties +an $';die voldoen aan:

(5.2)

-

..

= T = J n j

-

pi

OP S I (5.4) ' i

Op soortgelijke wijze als in 4 . kan dit energieprincipe worden over- gevoerd in de twee, reeds behandelde principes.

Wanneer het hier geformuleerde principe gebruikt wordt als basis voor de constructie van benaderingsoplossingen, dan kunnen alleen veronderstellingen gemaakt worden over de spanningstensor. Tijdens het variëren moet er steeds voor gezorgd worden dat aan alle evenwichtsrelaties voldaan is. Dit is zeer beslist een nadeel van deze methode.

Een toepassing van het principe is te vinden in de (2e) stelling van Castigliano die voor balkconstructies beslist waardevol is.

Wanneer in de twee- of driedimensionale elasticiteitstheorie gebruik gemaakt wordt van complementaire energie, dan zal het meestal nodig zijn te

1_ "eschikken over een zogenaamde spanningsfttnctie OEI aai de eis van evenvicht

(15)

-

10

-

6 . Benaderingsoplossingen met behulp van het principe van Reissner.

6.1. Algemeen

Het is bekend dat met behulp van het principe van EjGimale potentiëie energie en het principe van Castigliano benaderingsoplossingen van bepaalde problemen gegeven kunnen worden.

In het eerste geval wordt een groep vervormingsvelden gekozen, die voldoen aan de geomettiskhe randcondities, en waarin nog vrijheid gelaten is. Het principe van minimale potentiële energie levert het "beste" ver- vonningsveld uit deze groep. De methoden van Ray1eigh;en Ritz zijn een verdere uitwerking van dit idee.

In het tweede geval wordt een groep spanningsvelden geïntroduceerd, die zo zijn dat steeds voldaan is aan de evenwichtsvergelijkingen (en de randvoorwaarden in de spanningen). Het principe van Castigliano (complementaire energie) zoekt het"beste" spanningsveld uit deze groep. HeC nadeel van deze beide principes is, dat óf over de vervormingen Óf

over de spanningen benaderende veronderstellingen gemaakt worden. Vaak zal het echter eenvoudiger zijn om de mogelijkheid te bezitten over bepaalde vervormingen

-

en bepaalde spanningen veronderstellingen te maken. Het principe van Reissner brengt in deze gevallen de oplossing. Er kan een benadering gegeven worden die in zkhzelf geen tegenstrij- digheden bevat. In het algemeen zal in benadering voldaan zijn aan de evenwichtcvergeiijkingen en aan "de wet van Hooke".

Wij zullen het principe van Reissner toelichten aan de hand van een eenvoudig voorbeeld.

6.2. Een voorbeeld.

b P

i cilindrische balk

i$--'

XF- E

-

I h

I

I I

I V

v y Y

dwarsdoorsnede

(16)

-

1 1

-

Gegeven is een homogene cilindrische balk met rechthoekige dwarsdoorsnede

en lengte i e (zie fig. 6.1) De balk is belast door de kracht P en het mo- ment M. Bij z = O is de balk ingeklemd.

We maken de volgende veronderstellingen:

o = u = T = O (bekende veronderstellingen uit balken- X Y X Y

theorie)

= O (vanwege de vorm der dwarsdoorsnede)

.T xz

v = v ( 2 )

O

Er zijn zowel veronderstellingen gemaakt over de spanningen a l s over de vervormingen. De vier functies uo(z),.r0(~), vo(z) en w (z) moeten zo goed mogelijk bepaald worden.

O

Onder de gemaakte veronderstellingen (6.1) wordt de functie F (zie (3.1’2)):

Voor R geldt dan:

R =

fii

F dFdz

-

IS y “(P.) wo(9,)dF +

(17)

-

12

-

waarbij is aangenomen dat bij z = R, de spanning U = a en de spanning

T = T

De resultahaen van deze spanningen in deze doorsnede zijn:

Z Z

-

in ieder punt van de dwarsdoorsnede is voorgeschreven.

YZ YZ M =

-

I / ydF 46.4) F Z P = I / dF F (6.5)

Wanneer (6.2) gesubstitueerd wordt in ( 6 . 3 ) en de integratie over de dwarsdoorsnede wordt uitgevoerd, dan vinden wij:

4 R dvO

dw

O

R = -

2

bh3

IR

o o ( z )

.

dz +

-

bh 1 T ~ ( z ) ( ~ + wo)dz

+

z=o z=o

Het principe van Reissner zegt dat 6R = O voor willekeur2ge variaties van

ao(z), ~ ~ ( wok) 2 ) ~en vo(z)

Dit betekent dat geldt:

-

I

(2) d

öo ( z )

+

u ( z )

-

öw 'dz -I

(18)

-

13

-

en w toe te Door achtereenvolgens alleen variaties van u T

laten, zijn de volgende relaties te verkrijgen:

o' o' vo O dio(z) dz

= o

duo(z) 2-r

-

h2

= o

O dz wo(o) =

o

vo(o) =

o

'i( a ) =

-

3 P O 4bh 3 u (1) = - 3 M O 2bh (6.10) (6.1 I ) (6.12) (6.13) (6.14) (6.15)

De twee differeRtiaalvergelijkingen (6.8) en (6.9) geven het verband tussen de spannings- en deformatiegrootheden; de differentiaalvergelij- kingen (6.10) en (6.11) z i j n de evenwiehtsvergelijkingen.

Als randvoorwaarden verschijnen de kinematische en de dynamische randcondities, zoals die passen in ons systeem van vervormingen en spanningen. ((6.12),

...,

(6.15))

Substitutie van (6.9) in (6.10) levert:

dw

.,:;o

-

d2vo

+ d z " - 0

'1 7

Substitutie van (6.8) en (6.9) in (6.11) levert:

O

5 dv O + w ) - E h 2 - = 0 d2w

T G ( d z

O dz

(6.16)

(6.17)

Door (6.17) naar z te diffirentiëren kan m.b.v. (6.16) v worden :

geëlimineerd

(19)

-

14

-

d3wo

- = o

met als algemene oplossing:

w = c + C Z + C Z 2

O O 1 2

De randcondities (6.12) resulteert in

c

= o

O

Uit (6.16) volgt dan:

O

d v'

- = - c - 2 c z

dz 1 2

met als algemene oplossing:

C

v = -;c 22 - 2 2 3

+

c z

+

c

O 1 3 3 4 .

Uit de randconditie (6.13) volgt:

c4 =

o

Met behulp van het voorgaande is (6.9) over te voeren in:

i z j =

2

G c O 4 3 Uit (6.24) en (6.14) volgt: 3 P 1 c = _ 3

5 G b h

zodat (6.24) overgaat in:

T ( 2 ) =

-

3 P

O 4bh

Substitutie van (6.19) in (6.8) levert:

o (2) = E(c, + 2c2z) O (6.18) (6.19) (6.20) (6.21) (6.22) (6.23) ( 6 - 2 4 ) (6.25) (6.26) (6.27)

(20)

-

15

-

Uit (6.271, (6.11) en (6.26) volgt: 3 P

c 2 = 4 b h 3

E

De bepaling van c volgt tenslotte uit (6.27) en (6.15) 1

3 M 3 2 P

‘1 = - S E

_ -

2 b h ” E

-

(6.28)

(6.29)

De relatie (6.27) kan dus m.b.v. (6.28) en (6.29) worden geschreven-als:

Voor de parameters van het vervormingsveld w_ en v geldt:

a O

O

(6.30)

(6.31)

(6.32)

Het is duidelijk dat uitgaande van de veronderstellingen over vervormingen en spanningen met behulp van de exacte vergelijkingen uit de li- neaire elasticiteitstheorie geen oplossing te vinden is. Dit is eenvoudig te zien. Immers T

condities eis T = O

is louter een functie van z . Voldoen aan de rand-

Z Y

ZY

We merken nog op dat v-(z) niet de verplaatsing van een punt van het mid- denvlak i s , maar een soort gemiddelde voor de hele doorsnede. Uit het hierna volgende zal dit duidelijk worden.

”

Wij zullen hetzelfde probleem ook oplossen door alleen veronderstellingen over de spanningen te maken, namelijk:

(21)

-

16

-

Er g e l d t i n d i t g e v a l :

en

( 6 . 3 4 )

( 6 . 3 5 )

Gevarieerd kunnen worden:

(22)

-

17

-

Het is in dit speciale geval mogelijk uit (6.36) een aantal differen- tiaalvergelijkingen met randcondities af te leiden. Dit is echter een helebod werk. We constateren dat de grootste moeilijkheid komt vanwege het feit dat op enige plaatsen de integratie over het oppervlak der dwarsdoorsnede niet is uit te voeren. Deze moeilijkheid verdwijnt, als de volgende “gemiddelden” worden ingevoerd.

(6.37)

(6.38)

(6.36) gaat dan over in

bh3 2 z

- -

To dz +

- _

8 bh /Y. Zd 3E

z=o

O z=o 15

G

Wanneer wij voor de aan de Land z=L voorgeskhreven spanningen veronderstellen:

gaat (6.39) over in (6.7), waarbij dan geldt:

(6.40)

(6.41)

(6.42)

(23)

-c 18 7

Het is hiermee duidelijk gemaakt dat

v,

( z ) en wo(z) niet de verplaatsingen van een bepaald punt van de dwarsdoorsnede zijn. Het z i j n gemiddelden over de hele dwarsdoorsnede.

Het zelfde probleem wordt nogmaals opgelost, uitgaande van de veronderstellingen: c. v = v (2) O (6.44) w = w (2)

.

_y O u = u Z T

-

- T

= o

x y xy XE

Wanneer wij zonder meer eisen dat 6R = O voor willekeurige vakiaties van

v ( z ) , wo(z), uz(x, y, z ) en i

Dit is eenvoudig te zien door de variatie van i

(x, y , z ) dan is géén oplossing mogelijk.

O YZ

alleen te beschouwen. YZ

We kunnen weer een zinvol resultaat bereiken door een “gemiddelde” van de spanningen u en T

De randcondities voor de spanningen en tevens alle termen uit R doen ons

kiezen:

m e r de hele dwarsdoorsnede in te voeren.

Z YZ I / u ydF = M&z) F J J T dF = D(z) F Z

Hierdoor is in iedere term van R de integratie over F uit te voeren:

i M(ojw ( o ) + D(o)v ( o ) ( 6 . 4 5 )

O O

Met behulp van:

(24)

r

-

19

-

.l

gaat (6.45) over in:

+ w )dz -t dvO M(z)dz + 1' D$z)

(z

dwO R = 1' O z=o z=o

- -

+

D(z) =

O

dz

da(zt

= o

wo(o) =

o

dz v (o) =

o

O M,'&.L) = -M D(k) = P (6.47) (6.48) (6.49) (6.50) (6.51) (6.52) (6.53) (6.54) (6.55) (6.56)

Dit systeem i s weer eenvoudig op te lossen, In iedere doorsnede zijn dan de spanningsresultafieen M(z) en D(z) bekend. Om hieruit de spanningen op een willekeurige plaats te berekenen, moeten veronderstellingen gemaakt worden over de spanningsverdeling in een dwarsdoorsnede. Deze veronderstellingen moesten tijdens de afleiding van bovenstaande vergelijkingen ook

(25)

-

20

-

We zullen in het kort de drie methoden die tot de oplossing van het ge- noemde probleem geleid hebben, samenvatten.

Samenvatting van het voorbeeld.

Gebruik werd gemaakt van het energie-principe van ReTssner. Gezocht werd een benaderingsoplossing; Algemene veronderstelling: 1 . 2 . v = v (2) O

w

= w (2)

.

_y O

Oplossing van het prob8eem zonder moeilijkheden mogelijk. Exacteroplos- sing onder deze veronderstellingen niet mogelijk.

u = o o ( z ) y

Z

Irecies toepassen van het variatieprincipe van Reissner levert in dit geval de exacte oplossing van dit probleem.

Een eenvoudige benaderingsvergelijking eist dat de integratie over het oppervlak der dwarsdoorsnede i s uit te voeren. Dit is mogelijk als de "gemiddelde" verplaatsingen a(2) en B ( z ) worden ingevoerd volgens:

(26)

-

21 i

spanningen op dezelfde manier over de dwarádoorsnede verdeeld zijn als in het gekozen spanningsveld is aangenomen, dan is dit probleem eenvoudig op ge lossen. Het blijkt dat a ( z ) en @(z) op een constante fac-

tor na w (z) en vo(z) zijn.

O 0 3 . v = v (2) O w = w ( z ) . y O

Het zonder meer toepassen van het principe van Reissner levert een on- bruikbaar redataat n.1. een constante schuifspanning in een dwarsdoor-

snede.

Er moeten inddit geval "gemiddelde" volgens :

van de spanningen worden ingevoerd

M(z) =

/ i

u ydF

Z

F

Hiermee alleen is het probleem nog niet oplosbaar. I m e r s zonder meer zijn de integralen J'Jio 2dFdz en

M(z) en D(z). We moeten nog veronderstellen hoe u doorsnede verdeeld zijn.

Bv. 0 = M(z)

.

g(y) waarbij moet gelden:

ffJT 'dFdz niet uit te drukken in

Z Y2

en T

Z YZ

over de dwars-

Z

M(z) = 1.f o,ydF = M(z) J J g(y)

.

yaF

F P

De eenvoudigste functie g(y) die hier aan voldoet is:

Op dezelfde manier kan een verloop voor T

Het is duidelijk dat deze laatste methode nu evengoed vervangen kan worden door methode 1

verondersteld worden. YZ

Aan het h&er gegeven voorbeeld is met betrekking tot het principe van Reiss- ner het volgende duidelijk gemaakt:

(27)

-

2 2 -

a. het is mogelijk vervormingen.

veronderstellingen te maken over spanningen en

b. de verschillende veronderstellingen hoeven niet steeds tot een oplossing te leiden.

C . wanneer alleen veronderstellingen over de spanningen gemaakt worden is het mogelijk dat geen oplossing bereikt kan wurden. Een oplossing is wellicht wel mogelijk als "gemiddelde" vervormingen worden ingevoerd.

HetzeEfüe geldt voor de spanningen à&s veronderstellingen over de vervormingen worden gemaakt.