H1: Exponentiële en logaritmische functies

Hoofdstuk 1:

Exponentiële en logaritmische functies.

V_1.

a. Er is sprake van een procentuele afname per jaar, dus exponentieel.

b. 12 100 1 0,88 jaar g    en g2 jaar 0,882 0,7744 c. _{N t}( ) 75000 0,88_{ } t d. _{N(6) 75000 0,88 } 6 _34830 vlinders. e. 75000 0,88_ t _10000 Voer in: 1 75000 0,88 x y   en y2 10000 Intersect: x15,76

In het jaar 2018 zullen er nog 10000 vlinders over zijn.

V_2. a. 2,312 1,517 half uur g   en 2,314 1, 231 kwartier g   b. 601 minuut 2,3 1,01398 g   V_3. a. gjaar  1 1003,5 1,035 10 10 jaar 1,035 1, 411

g   Een toename van 41,1% per 10 jaar. b. g17 uur  1 10080 1,80

1 17 6

6uur (1,80 ) 1, 231

g   Een toename van 23,1% per 6 uur. c. g5 jaar 2 1 5 3 3 jaar (2 ) 1,516 g   V_4. a. _{t } 2_{log 3 1,58} b. _{t 2} 5_{log 8} c. _{2 1t } 3_{log 7} 5 2 log8 0,71 t     3 3 1 1 2 2 2 1 log 7 log 7 t t      d. 1 2 3 ( )_ t _9 1 2 1 2 ( ) 3 log 3 1,58 t t     V_5.

a. 3_{log 8}3_{log 5}3_{log 8 5 }3_{log 40}

b. 2 2 2 18 2

3

log18 log 3 log  log 6

c. 3_{log 6 2 log 5 }3 _ 3_{log 6}3_{log 5}2 _3_{log 6 25 }3_log150

d. 3 3 3 3 3 2 3 64 3

4

3 log 4 2 log 2    log 4  log 2  log  log16

V_6.

a. 2

2 1 2 1 2 2

4 2

log _ log _ log 2 _{ }2

b. 0,5 0,5 2 0,5 1 2 0,5 2

log 4 log 2  log(0,5 )  log 0,5  2

c. 0,25 0,25 0,5

d. 2 2 2 12 2 212 1

2

log 4 2  log 2 2  log 2 2 e. 0,5_{log 0, 25}0,5_{log 0,5}2 _2

f. 8 8 2 8 3 23 8 23 2

3

log 4 log 2  log(2 )  log8 

V_7.

a.

b. Een horizontale verschuiving van 2 naar rechts (

2_{log( 2)}

y x ) en dan nog een verticale verschuiving van 4 omhoog. c. f x( ) 0 d. f x( ) 3 2 4 1 16 1 16 log( 2) 4 2 2 2 x x x         2 1 1 2 1 2 log( 2) 1 2 2 2 x x x         1 2 (2 , 3) S V_8. a.  2 1,5 log H log1,80 1,50 1,5 log 2, 26 log 1,50 10 31,9 H H H m     

b. Neem een diameter van 360 cm. De hoogte wordt dan ongeveer 50,6 m, en dat is niet twee maal zo hoog.

c. logD  2 1,5 log H

2 1,5 log 2 1,5 log log 1,5 1,5

10 H 10 10 H 0,01 (10 H) 0, 01 D_    _  _  _{   }H x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3

1. a. 4 4 4( ) 2 (2 ) 16 t t t f t    b. ₈t _{(2 )}3 t _23t _a3 c. 1 1 2 ( )t (2 )t 2 t y     a 1 1 1 2 2 ( 2)t (2 )t 2 t y   1 2 a d. _{g t}( ) 7_ t _(2 )a t 2a _7 Voer in: 1 2 x y  en y2 7 Intersect: a2,8 2. a. _{f t( ) 2 0,5 } 2,32t _{ 2 (0,5}2,32₎t _{ 2 4,99}t b. _{g t}( ) 4 10_{ } at _{ }4 (10 )a t _{ }4 2,8t 10 2,8 log 2,8 0, 45 a a    c. _{h t( ) 3 0, 75 } t _{ 3 (10}log0,75₎t _{ 3 10}0,12t _en 2 3 log 0,18 2 3 ( ) 5 ( )t 5 (10 )t 5 10 t k t        d. Je moet oplossen 10a _g

. De oplossing daarvan is alogg. En deze is negatief als 0 g 1. 3. a. ₃2t _{5 b. 3 2 }t _{5 c. 2,3 0,7} t _1,8 3 3 1 2 2 log 5 log 5 0,73 t t     5 3 2 5 3 2 log 0,74 t t    1,8 2,3 0,7 1,8 2,3 0,7 log 0,69 t t    d. _{500 1,95} t1_16000 1 1,95 1,95 1,95 32 1 log 32 1 log 32 6,19 t t t  _      4. a. 1,5 101 1,0 ( ) 1,04 1 5 1,8 1,5 ( ) 1,04 1 5 2,2 1,8 ( ) 1,04 1 5 2,7 2,2

( ) 1,04: De groeifactor per jaar is 1,04. b. _{P t}( ) 1,0 1,04_{ } t c. 1,0 1,04_ t _2,0 1,04 1,04 2 log 2 17,7 t t jaar    d. 2_log1,04 2_{log1,04 0,0566} ( ) 1, 0 1, 04t 1,0 (2 )t 1, 0 2 t 1, 0 2 t P t _{     }  _{ } e. _b2a T _2_b 1 2 2 2 1 a T a T  _{ }  

5.

a. periode is 2

0,25 8 jaar.

b. _{N 10}3,29sin(0,2 ) 5,18 t

c. _{N  2 10}3,29sin(0,25 ) 5,18t _100,30_103,29sin(0,25 ) 5,18t _{ 10}3,29sin(0,25 ) 5,48t

d. De uiterste waarden liggen dichter bij de evenwichtsstand _y105,18_.

6.

a. 2 2 1

4

( ) 2 t (2 )t ( )t

f t      . De groeifactor is kleiner dan 1, dus de functie is dalend. b. _{f t}( ) 2_ at b _2at_2b _2 (2 )b_ a t 1. b0 en a 1. 2. b5 en 2a _5 _b_{5 en a} 2_{log 5 2,32} 3. 2b _4,5 en 2a _0,6 _b 2_{log 4,5 2,17} en _a 2_{log 0,6 0,74} 4. 1 2 1 2 1 9 3 t 3 (3 )t 3 ( )t y_  _{ }  _{ } 1 2t 1 2 t 1 t 9 y 3_  _3 (3 )_  _{ }3 ( ) 2b _3 _en 1 9 2a _ 2 log 3 1,58 b  en 2 1 9 log 3,17 a   7. a. Voer in: 1 2 x y  en y0 nDeriv y x x( , , )1 1,39 2,77 5,55 11,09 22,18

0,69 1,39  2,77  5,55 11,09 2. De groeifactor is constant, dus de groei is exponentieel met

groeifactor 2. b. -c. _{f x}'( ) 0, 69 2_{ } x 8. a. _{f x}'( ) 1,10 3_{ } x _{h x'( ) 0,36 0,7} x 1 2 '( ) 0,69 ( )x k x    _{m x}'( ) 0, 26 1,3_{ } x

b. cg 0 als g1 (de exponentiële functie is stijgend) en cg 0 als 0 g 1.

9. a. 0,001 0,001 0,001 ( 0,001) ( ) ( 1) 1 0,001 0,001 0,001 0,001 x x x x f x f x g g g g g g    _  _   _{ }  b. Voer in: 0,001 1 1 0,001 x y   : c. 2,72 1 c  d. f x'( )cg f x( ) 1  f x( ) f x( ) x 0 1 2 3 4 5 y1 1 2 4 8 16 32 y0 0,69 1,39 2,77 5,55 11,09 22,18 g 2 3 4 5 6 7 cg 0,69 1,10 1,39 1,61 1,79 1,95 g 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 cg 0,79 0,88 0,96 1,03 1,10 1,16

10. a. b. f x( ) 2 f x( ) 3 2 log 2 ln 2 x e e x    3 log 3 ln 3 x e e x    2 f x( ) 3 voor ln 2 x ln 3 c. _{f x}'( )_ex 1,5 '(1,5) 4, 48 f e  d. y4, 48x b 1,5 _{4, 48 1,5} 4, 48 4, 48 1,5 2, 24 4, 48 2, 24 e b b y x           11. a. kettingregel: u x( ) 3 x en _{y u}( )_eu u x'( ) 3 en _{y u'( )e}u _{f x'( ) 3 e}u _{ 3 e}3x b. kettingregel: _{f x'( )  2 e}2x c. kettingregel: _{f x'( )  3 e}5 3 x d. productregel: ₂ 2 ₃ 2 _{2 4} 2 '( ) 3 x 2 x (3 2 ) x f x  x e  x xe  x  x e e. _{f x'( ) 2cos 2 x e} sin 2x f. quotiëntregel: 2 2 2 2 ( 1)2 (2 3) (2 2 ) (2 3 ) '( ) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x e e e e e e e e f x e e            2 2 2 2 2 2 2 3 5 ( 1) ( 1) x x x x x x x e e e e e e e        12. a. h1, 2 0, 001 t b. _p1000e0,14(1,2 0,001 ) t _1000e0,168 0,00014 t c. u 0,168 0,00014 t en _{p u}( ) 1000_{ e}u ' 0,00014 u   en _{p u'( ) 1000 e}u _{p t'( ) 0,00014 1000 e}u _{ 0,14e}0,168 0,00014 t 0,168 '(0) 0,14 0,12 p _{  }e _{  mb/s.} 13. a. 0 75 1 2 (0) _e 25 n  _  b. c. 0,2 0,2 0,2 2 0,2 2 75 ( 0, 2 2 ) 30 '( ) (1 2 ) (1 2 ) t t t t e e n t e e             d. n'(5) 3,66 vliegjes/dag. e. Voer in: 0,2 1 0,2 2 30 (1 2 ) x x e y e   

 maximum: 3,75 vliegjes per dag na ongeveer 3,5 dag.

x y 1 2 3 -1 -2 2 4 6 8 10 12 -2

tijd (in dagen) vliegjes 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -10

14. a. _{f x}'( ) (2_{ x  }4) _ex_2_ex _{  }( 2_x 2)_ex '( ) 0 2 2 0 0 1 ( 1) 2 x f x x e x f e              b. c. _f "( ) ( 2_{x     x} 2) _ex_{ }2_ex _(2_{x  }2 2) _ex_2_{x e} x "( ) 0 0 (0, 4) f x x   15. a./b.

c. Als je punt (a, b) spiegelt in de lijn y x krijg je het punt (b, a). Punten op g: (1, 0), (e, 1) en (e2_{, 2).}

d. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot: 0

y , en die van g heeft een verticale asymptoot: 0 x e. D xg : 0 16. a. _{f(ln )p e}lnp _{ p g p( ) ln p} b. _{f x}'( )_ex ln '(ln ) p f p e  p c. De helling in B is dan 1p. d. 1 ₁ p p  17. a. f x'( ) 4 x  b. kettingregel: u x( ) 3x en y u( ) ln u 1 1 1 3 1 '( ) 3 '( ) '( ) 3 3 3 3 u x y u g x u u x x x               c. h x'( ) 1 1 x   d. productregel of kettingregel: k x'( ) 1 lnx lnx 1 2lnx x x x      e. productregel: l x'( ) 2 lnx x x2 1 2 lnx x x x       f. quotiëntregel: _{m x}'( ) x 1x ₂ln 1 1 lnx ₂ x x x       x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 -1 buigpunt x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5

18. a. kettingregel: u x( ) 3 x en y u( ) ln u '( ) 3 u x  en '( ) 1 '( ) 3 1 3 1 '( ) 3 y u f x g x u u x x       b. v x'( ) f x'( ) g x'( ) 1 1 0 x x      , dus v(x) is constant. c. s x'( ) f x'( ) g x'( ) 2 x    19. a. kettingregel: u x( ) 6 2  x en y u( ) ln u '( ) 2 u x   en '( ) 1 '( ) 2 1 2 6 2 y u f x u u x        b. productregel: _{g x}'( ) _ex ln_{x e}x 1 _ex(ln_x 1) x x       c. kettingregel: '( ) 1 x x e h x e   d. quotiëntregel: 2 ₁ 4 4 3 ln 2 2 ln 1 2ln '( ) x x x x x x x x k x x x x         e. '( ) 1 2 ln₄ 1 2₃ ln ln x x l x x x x       f. _{m x'( ) 3x}2 _ln2 _{x x}3 _2lnx 1 _3x2 _ln2 _{x 2x}2 _{lnx x}2_{ln (3lnx x 2)} x            20. a. 2 ln x0 b. f x( ) 0 2 2 ln 2 : 0 f x x e D x en x e     0 2 ln 0 1 1,    x x e e c. 5 5 5 2 5 7 ( ) f e      , 20 20 10 2 20 11 ( ) f e      en 1000 1000 500 2 1000 501 ( ) f e     

Als x in de buurt van 0 komt, nadert de y-waarde naar –1: (0, -1) is een asymptotisch punt.

d. 2

x e is de verticale asymptoot en y 1 is de horizontale asymptoot. e. ln ln 1 1 2 2 2 2 (2 ln ) ln 2 '( ) (2 ln ) (2 ln ) (2 ln ) x x x x x x x x x f x x x x x             f’(x) wordt nooit 0. 21. a. _x2_{ 1 0} 2 1

x   : dit geldt voor alle waarden van x, dus Df :¡ .

b. '( ) ₂1 2 ₂2 1 1 x f x x x x     

b. f x'( ) 0 c. 1 2 '( ) f x  2 0 0 x x   1 2 2 2 1 x x   2 2 4 1 4 1 0 x x x x      In (0, 0) is de helling 0 In x 2 3 en x 2 3 is de helling 0,5 d. Voer in: 1 2 2 1 x y x   maximum: x1 In (1, ln2) is de helling maximaal. 22. a. ( ) 3log ln 0,91 ln ln 3 x f x  x   x b. 2 2 ln( 1) 2 ( ) log( 1) 0, 43 ln( 1) ln10 x h x  x      x  c. 4 4 4 1 1 2 2 2 ln

( ) log( ) log 2 log 0,72 ln

ln 4 x g x x x x         23. 1 ln 2 1 '( ) f x x   24. a. 6 1 1 ln 6 ln 6 1 ( ) log ln '( ) f x x x f x x      b. 2 2 1 2 1 ln 2 ln 2 2 2 ( ) log( 1) ln( 1) '( ) 1 x f x x x f x x         c. 5 1 1 ln 5 ln5 2 ( ) log(2 4) ln(2 4) '( ) 2 4 f x x x f x x         d. 3 3 3 3 1 1 ln3 ln3 2 1

( ) log( ) log 2 log log 2 ln '( )

f x x x f x x x          25. a. f x( )g x( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

log(5 ) 2 log log 4 log log(5 ) log log(5 ) log 4

5 4 5 4 ( 1)( 4) 0 1 4 (1, 2) (4, 0) x x x x x x x x x x x x x x x A en B                     

c. 1 ln 2 2 5 2 '( ) 0 5 p l p p p      1 2 5 2 0 2 5 2 p p p     26. a. aln 3 b. kettingregel: u x( ) ln 3 x en ( ) u f u e '( ) ln 3 u x  en ln 3 '( ) u '( ) ln 3 u ln 3 x ln 3 3x f u e f x  e  e    c. 1 ln 2 1 ln 2 ln 2 1 ( ) 2x ( )x x '( ) ln 2 2x f x    e  e   f x    d. 1 ln3 ln12 ln3 ln12 1 1 2 2 2 ( ) 3 ( )x ( )x x '( ) ln 3 ( )x g x   e  e e   g x    27. a. _{f x}'( ) ln 4 4_{ } x b. 1 1 1 3 3 3 '( ) ln ( )x ln 3 ( )x g x      c. '( ) 7 ln 8 8x h x   d. 3 '( ) 3ln 2 2 x j x     e. 2 1 2 1 '( ) 3 2 ln 4 4 x 6 ln 4 4 x k x        f. '( ) 1 5x ln 5 5x 5 (1x ln 5) m x    x   x 28. a. 0,012 100 1 0,99988 g   b. 14( ) 0,14 0,99988 t C t   c. 5 14'( ) ln 0,99988 0,14 0,99988 1, 68 10 0,99988 t t C t         5 14'(50) 1,67 10 C _{  }  mg/jaar. d. 0,99988t _0,02 0,99988_{log 0,02 32598} t   jaar. 29. a. _{f x( )x}p _(elnx p_{) e}plnx b. u x( ) p lnx en _{f u}( )_eu 1 ln 1 1 '( ) p '( ) u '( ) p u p x p p u x f u e f x e p x e p x x px x x               

30. a. 0 330 330 11 1 10 (0) _e 30

Q  _{ }   _{en als t heel groot wordt,} wordt _e0,3818t _{vrijwel gelijk aan 0. Q wordt dan}

ongeveer 330. b. 330_0,3818 110 1 10_{ e} t  0,3818 0,3818 0,3818 ln 0,2 0,3818 1 10 3 10 2 0, 2 4, 22 t t t e e e t jaar             c. Met de quotiëntregel: 0,3818 0,3818 0,3818 0,3818 2 0,3818 2 (1 10 ) 0 330 0,3818 10 1259,94 (1 10 ) (1 10 ) t t t t t dQ e e e dt e e                  

d. Zowel de teller als de noemer is voor alle waarden van t positief; dus dQ

dt is altijd positief en dus is Q stijgend. 31. a. 1 ln '( ) ln x x ( ) a a a F x   a a a  f x b. 1 2( ) ln 2 2 x F x   32. a. ( ) ln 0 ln( ) 0 x voor x h x x voor x     _{ }  b. h x'( ) 1 x  c. h x'( ) 1 1 1 x x      33. a. '( ) 3 1 1 3 f x x x    (voor x0) '( ) 5 1 1 5 g x x x      (voor x0) b. F x'( ) a 1 1 ax x   

c. F x( ) ln ax C ln a ln x C . Hierin is ln a C een constante die in de afgeleide wegvalt. 34. a. 1 ln10 ( ) 10x F x   c. 1 3 3 1 1 1 3 ln 3 3 ln ( ) 3 ( )x ( )x H x       b. 1 5 ln 4 ln 4 ( ) 5 4x 4x G x      d. 1 1 7 12 7 7 ln 5 7ln5 ( ) 12 5 x 5 x K x      

tijd (in jaren) Q 5 10 15 20 50 100 150 200 250 300 350 -50

35. a. F x( ) 3ln x c. K x( ) 3ln x6 b. 1 1 3 3 1 1 ( ) ( ) ln 3 g x G x x x x     36. a. Met de kettingregel: u x( ) ln x en 1 3 3 ( ) F u  u 1 '( ) u x x  en _{F u'( ) u}2 _{F x'( )} 1 _u2 ln2x x x     b. G x'( ) 1 lnx x 1 1 lnx 1 1 lnx g x( ) x           c. F x'( ) 1 ln2x x 2lnx (2lnx 2x 1) 2 ln2x 2lnx 2lnx 2 2 ln2x f x( ) x x                d. f x( )g x( ) 2 0 1 ln ln 0 ln (ln 1) 0 ln 0 ln 1 1 (1, 0) ( , 1) x x x x x x x e x e e en e             e. 2 2 ₁ 1 (ln ln ) 3 ln 3 ln 3 e e Opp



x x dx_ x x x x x_   e 37. a. 1 3 5 3 ( ) x F x _{  }e  _d. 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 6 6 ( ) x x ( ) x x f x _ e _ e F x _ e _ e b. ln 1 2 2 ( ) x ( ) f x e x F x  x e. 1 2 1 1 4 2ln3 4 ( ) 3 x F x     x c. 2 1 2 2 ( ) x 1 ( ) x f x e  F x  e x 38. a. 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 (1) 2 x 4 x 4 4 A e dx e _ e e    



_{ }   b. 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 ( ) 2 4 4 4 p p x x p A p e dx e e e     

_

_{ }   c. A p( ) 16 d. _2e0,5x_8 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 4 16 4 16 4 4 2ln(4 ) 3,05 p p p e e e e e e p e              0,5 2ln 4 2ln 4 0,5 0,5 0 0 4 2ln 4 (8 2 ) 8 4 x x x e x Opp e dx x e     

_

 _  _  16 ln 4 16   4 16 ln 4 12 39. f x( ) 0

2 2 2 2 3 3 3 2 1 1 1 4 3 ( 1)( 3) 0 1 3 4 3 4 3 ( ) 1 4 3 3 ( ) ( 1 ) 4ln ( 3 4ln 3 1) ( 1 3) 4ln 3 4 x x x x x x x x f x x x x Opp f x dx dx x x x x x                          _  _           





40. a. 10 10 5 5 3 3ln 4 3ln 6 4 dx x x     



b. 3 3 3 3 3 3ln 4 3ln 7 4dx x x    _    _ 



c. De functie heeft een verticale asymptoot: x4. Deze waarde mag dus niet in het te integreren gebied liggen.

41. a. 1013 800 (800) 8218 ln( ) 1940 h    meter. b. dh 8218 1 8218 dp p p     1000 :dh 8, 218 p dp    p 800 :dh 10, 273 dp    c. h(680)h(750) 805 meter.

d. h(680)h(1360) 5696 meter. Dat is wel erg onwaarschijnlijk om dat in één dag te doen.

42. a. 1 1 ₃ 1 1 2 ln3 ₀ ln3 ln3 ln 3 0 3x 3x Opp



dx _  _    b. 2 ln 3 3 blauw Opp  

c. De functies f en g zijn elkaars inverse functie en de gebieden zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y x . d. 3 3 7 1 ln 2 ₀ ln 2 0 24 2x 24 2x 24 Opp 



dx _  _   43. a. f xp( )g x( ) 2 2 2 ln 2 ln 0 2 0 ln 0 0 1 p x x x p x p x p x          

b. g x'( ) 2x g'(1) 2 c. 1 2 '(1) f  1 2 1 2 1 4 2 2 1 1 2 2 1 p p p      d. f x'( ) 0 f( p) 0 2 2 2 2 0 2 2 p x x x p x p x p x p         2 ln 0 ln 0 (ln 1) 0 0 ln 1 p p p p p p p p p p p e           44. a. _{I t'( ) (4 6 )  t e} 2t_{(4t3 ) 2t}2 _{ e}2t _{(4 6 ) t e} 2t_{  ( 8t 6 )t}2 _e2t _(6t2_{14t 4) e}2t 2 2 1 3 '( ) 0 6 14 4 0 0 2 t ABC formule I t t t e t t            De stroomsterkte is maximaal 2 3 0,51 e  mA op 1 3 t ms. b. 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 4 2 2 '( ) t(6 2 1) t(12 2) t( 3 3 ) t( 3 4 ) ( ) J t _{ } e t _{  }t e t_{ }e _ t _{    }t t e _ t _ t _I t c.





0,8 0,8 0 0 ( ) ( ) 0,31 I t dt J t 



Coulomb. 45. a. 2 2 0,4 0,4 0,8 0 0 20_e t _{dt  } 50_e t_{ }50 50_{ e}  



b. De hoeveelheid cyclopropaan in mol die in de eerste 2 seconden is omgezet in propeen.

c. 0,4 ₀ 0,4 0 ( ) 50 50 50 p p t p s t dt_{ } e _{  } e  



. Als p heel groot wordt, gaat 0,4

50 p

e naar 0 en de hoeveelheid cyclopropeen dat wordt omgezet nadert de 50 mol.

d. 0 ( ) 25 t s t dt



1 2 0,4 0,4 1 2 ln 0,4 50 25 1,73 sec t t e e t       

T_1. a. 2_{log 60} 2_{log1,169 5,91 0,23} 60 1,169t 2 (2 )t 2 t B_{    }  b. 1,169t _2 1,169_{log 2 4, 44} t  

De verdubbelingstijd is ongeveer 44,4 jaar.

c. Als de bevolking in 44,4 jaar verdubbelt, wordt de bevolking in 3 44, 4 133, 2  jaar 8 keer zo groot. Dus in 2113.

d. 1970: 1

60 1,169  51,3 miljoen. 1960: 2

60 1,169  43,9 miljoen.

e. In 44,4 jaar verdubbelt de bevolking. Dus in 1980 44, 4 1935  was de bevolking 2 keer zo klein als in 1980. T_2. a. 0,5 3 '( ) 0,5 x f x  e  b. 2 3 3 3 2 3 3 '( ) 3 x x (3 ) x g x  x e     x e   x x e  c. 2 2 2 2 2 6 3 (6 3) '( ) x x x x e e x e h x x x      d. _{k x'( ) e}x _2e2x1_{ e e}x 2x1_{3e e}x_ 2x1 T_3. a. '( ) 2 1 1 ( 0) 2 f x x x x       b. '( ) 2 ( 3) 6 2 g x x x     c. h x'( ) 1 (lnx 2) (lnx 1) 1 2lnx 3 (x 0) x x x          d. 1 2 2 3 3 3 ( ) ( ) 2 3 4 6 k x x x x         e. _{l x'( ) 2e} 2x _{(ln )x} 2 _e 2x 2lnx _2e 2x _{lnx (lnx} 1_{) (x 0)} x x               f. '( ) x x x x e e m x e e      T_4. a. '( ) 3ln 2 2x h x   d. 1 2 '( ) ln 5 ( 5)x ln 5 ( 5)x k x     b. _{g x}'( ) 3 ln 2 2_{  } x _e. 1 ln 3 2 6 2 '( ) 3 ln 3 x l x x x    c. _{f x'( ) 2 ln 3 3} 1 2 x _f. 5 2 1 5 1 ln 5 ln5 2 '( ) 2 log(2 ) 2 log(2 ) 2 m x x x x x x x x        

T_5. a. 1 2 1 2 ( ) x F x _{ }e  _d. 1 2 ln 3 ( ) 3 x J x _{ }x _  b. 1 1 ln 3 ( ) 3 x G x _  _  _e. 2 1 ( ) ln 1 ( 1) K x x x      c. 1 3 ( ) ln 3 2 H x   x f. 3 4 ( ) ln 4 9 L x   x T_6. a. _P40e0,006t _{40 ( e}0,006₎t _{40 0,994} t b. 0,994t _0,5 0,994_{log 0,5 115,5} t   dagen. c. _{P t'( ) 0,006 40 e}0,006t _{ 0, 24e}0,006t 0,6 '(100) 0, 24 t 0,13 P _{ } e _{ }

Het vermogen neemt na 100 dagen af met een snelheid van 0,13 watt per dag.

T_7. a. _{f x'( ) (4 x3)e}x_(2x2_{3 )x e}x _{ ( 2x}2_{  x 3) e}x b. f '(0) 3 3 y x c. f x'( ) 0 2 1 2 2 3 0 0 1 1 x ABC formule x x e x x             

minimum van –e en een maximum van 1,5

9e . d. 2 (2 3 ) x x x  x e  e 2 2 1 2 (2 3 1) 0 2 3 1 0 0 1 x x x x e x x e x x                 1 2 1 ( ( )g x f x dx( )) 0,09    



T_8. a. f x'( ) 2 6 x    b. f x'( ) 2 6 18 x     '( ) 0 6 2 3 (3, 6 6ln 3) f x x x T      6 3 20 10 3 6 3 10 10 10 6 20 ( , 6ln ) x x     

c. De helling van de raaklijn is f '(1) 4 en de lijn gaat door (1, -2): 4 2 4 1 y x b b       1 2 1 1 1 2 2 2 (1 , 0) (0, 6) 1 6 4 ABC A en B Opp      V 6 4 6 b y x    

T_9. a. f x( ) 0 1 1 2 2ln 0 ln 1 e x x x e      

b. Verticale asymptoot: x0 en een horizontale asymptoot: y0. c. _{f x}'( ) x 2x (2 2ln ) 1 2 2 2ln₂ x ₂ x 2ln₂ x x x x           '( ) 0 2ln 0 ln 0 1 f x x x x     

De uiterste waarde is 2; het gaat hier om een maximum. d. F x'( ) 2lnx 2 2lnx 2 f x( ) x x x      e. 1 1 2 2 2 2ln ( ) ln 2ln ln 2ln 1 e e p p x A p dx x x p p x  _{ } 



_  _    f. A p( ) 4 2 2 3 ln 2ln 1 4 2 3 ( 3)( 1) 0 3 1 ln 3 ln 1 p p y y y y y y p p p e p e                    