Het optimaal ontwerpen van nieuwe pensioencontracten : een investeringsprobleem

HET OPTIMAAL ONTWERPEN VAN NIEUWE PENSIOENCONTRACTEN: EEN INVESTERINGSPROBLEEM 29 juni 2016 Chantal R. M. Lobbrecht 0513229

Universiteit van Amsterdam 2015-2016

Bachelorscriptie Actuariële Wetenschappen Onder begeleiding van dr. Servaas van Bilsen

1 1 Inleiding

Ondanks dat Nederland een van de beste pensioenstelsels van de wereld kent, is er sprake van negatieve berichtgeving in de media. Tevens voeren steeds meer pensioenfondsen pensioenkortingen door en hierdoor is het vertrouwen in het pensioenstelsel verminderd (Sociaal-Economische Raad, 2015). Het totale vermogen van pensioenfondsen is integeneel gestegen en dat zorgt voor onbegrip bij veel mensen. Uit data over de typen pensioenovereenkomsten van De Nederlansche Bank (2015) blijkt dat ongeveeer 91,8 procent van het aantal actieve deelnemeres een uitkeringsovereenkomst heeft, waarbij in beginsel een nominale uitkering gegarandeerd wordt. De overige actieve deelnemers hebben een premieovereenkomst en zij bouwen een pensioenvermogen op dat op de datum van pensionering wordt omgezet in een pensioen. Deze overeenkomst lijkt voor de deelnemer transparanter dan de uitkeringsovereenkomst omdat er tussentijds berichtgeving plaatsvindt van het tot dan opgebouwde vermogen. Een koopkrachtbestendig pensioeninkomen begint dus voor veel deelnemers uit zicht te raken en dit is niet onopgemerkt gebleven. De SER heeft in een van haar adviezen aan het kabinet vier pensioenvarianten in behandeling genomen die het pensioenstelsel zouden kunnen versterken waarvan een de meeste pluspunten heeft gescoord, namelijk een persoonlijk pensioenvermogen met collectieve risicodeling.

Een deel van het tekort aan pensioeninkomen ligt bij de deelnemers zelf. Uit onderzoek in de Verenigde Staten blijkt dat deelnemers afwijken van het gedrag dat door de literatuur wordt onderbouwd (Mitchell & Utkus, 2006, p.82). Verschillende onderzoeken tonen aan dat sommige mensen te weinig sparen, anderen nemen slechte investeringsbeslissingen en dan is er nog een groep die een te groot deel van hun vermogen opzij zet voor hun pensionering (2006, p.82). De oorzaken liggen volgens Mitchell & Utkus (2006) bij de beslissing om te sparen, de beslissing om te beleggen en de beslissing omtrent de uitkering. De beslissing om te sparen wordt ten eerste beïnvloed door een self-control probleem: mensen weten wat ze zouden moeten doen maar ondernemen niet vaak hetgeen wat ze moeten doen, en als dit laatste wel het geval is, dan zijn de ondernomen acties niet effectief (p.83). Ten tweede worden individuen beïnvloed door de manier waarop keuzes voorgelegd worden en wat de standaard keuzes zijn (p.84). Als laatste wordt de beslissing om te sparen beïnvloed door “het pad van de minste weerstand” en kiezen individuen de makkelijkste optie in plaats van de beste optie (p.85). De beslissing om te inversteren wordt beïnvloed door een tekort aan voorkeuren op het gebied van beleggen, waardoor ze achteraf liever een andere portefeuille hadden gekozen (p.87). De beslissing omtrent het uit te keren bedrag wordt beïnlvoed door de

2 onwetendheid van een individu over hoe lang hij nog zal leven. Ook worden voor eenmalige uitbetalingen gekozen in plaats van periodieke uitkeringen (p.91).

De huidige pensioencontracten zijn niet optimaal en het kan wellicht van belang zijn om pensioencontracten te herzien. Het doel van het pensioen is om het bestedingspatroon van vóór pensionering erna te kunnen voortzetten De vraag die hiervoor beantwoord dient te worden is: hoeveel van het pensioenvermogen moet een individu consumeren en hoeveel ervan moet hij beleggen? Het opbouwen van een pensioen gebeurt met name tijdens het arbeidsleven waardoor er keuzes gemaakt dienen te worden omtrent consumptie en beleggen. Door het apart gehouden deel van het inkomen dat voor het pensioen bedoeld is bijvoorbeeld op een spaarrekening bij de bank te zetten of een deel ervan of geheel te beleggen kan het opbouwen van een pensioenvermogen bereikt worden.

Om deze vraag te beantwoorden was het van belang om onderzoek te doen naar bestaande adviezen en theorieën. Het ontwerpen van een pensioencontract moet passen binnen het pensioenbeleid aangezien dit wettelijk voorgeschreven is. Daarnaast is het samenstellen van een nieuw pensioencontract als een inversteringsprobleem beschouwd waarbij een zo hoog mogelijk nutsniveau wordt geambieerd. Andere uitgangspunten waren de veronderstelling dat een individu het inkomen volledig besteedt aan consumeren en sparen, dat het sparen kan worden gedeeld in vrij sparen en/of beleggen, en dat er ook in de uitkeringsfase opbouw kan plaatsvinden. Met het toegepaste model is niet ingegaan op de samenstelling van het te beleggen deel, maar wel op het deel dat belegd wordt. Ook de verzekeringstechniek achter pensioenrekeningen is van belang, daar dat voor het uitvoeren ervan onmisbaar is. De laatste stap in dit onderzoek was aantonen dat het mogelijk een optimaal contract betreft door de bevindingen te vergelijken met andere strategieën die momenteel gehanteerd worden. De contracten werden berekend als een gemiddelde consumptie zodat er op bestedingsniveau uitspraken gedaan konden worden.

2 Theoretisch kader

Het theorethisch kader voor dit onderzoek kan worden opgedeeld in vier delen. In het eerste deel wordt de vraag beantwoord wat de mogelijkheden zijn binnen het pensioenbeleid en welke optie het beste blijkt te zijn. In het tweede deel wordt de verzekeringstechniek achter pensioenrekeningen waarbij een pensioenvermogen wordt aangehouden met name in de uitkeringsfase behandeld. In het derde deel wordt Mertons portfolio probleem als de basis

3 gelegd voor het beantwoorden van de vraag welk deel van het inkomen er belegd moet worden. In het vijfde deel wordt besproken wat de huidige strategieën zijn die individuen hanteren. Tenslotte wordt er een model ontworpen om de bevindingen te kunnen berekenen.

2.1 Mogelijkheden binnen het penisoenbeleid

In het advies van de Sociaal-Economische Raad aan het kabinet (2015) is besproken wat de toedracht is van de problemen met huidige penisoenen en welke mogelijke aanpassing interessant zou kunnen zijn. Er wordt binnen het pensioenstelsel onderscheid gemaakt tussen twee hoofdrichtingen. Een deelnemer kan een uitkeringsovereenkomst of een premieovereenkomst hebben. Het grootste deel van de deelnemers heeft te maken met een uitkeringsovereenkomst waarbij er als het ware steeds een deel van een annuïteit wordt ingekocht. Door tegenvallende beleggingsresultaten en de dalende risicovrije rente is de waarde van deze verplichtingen gedaald met als gevolg dat in de praktijk uitkeringen niet gegarandeerd zijn omdat er kortingen worden doorgevoerd (Sociaal-Economische Raad, 2015). Deelnemers die een premieovereenkomst hebben bouwen een vermogen op dat afhankelijk is van de ingelegde premie, de rendementen, de kosten en eventuele solidariteitsafpraken. De twee soorten overeenkomsten zijn dan ook als basis genomen door de SER om vier varianten te beschrijven en in te delen. Onder de uitkeringsregelingen vallen enerzijds varianten I en II, respectievelijk een uitkeringsovereenkomst met degressieve opbouw en een nationale pensioenregeling. Anderzijds vallen onder de pensioenregelingen die uitgaan van kapitaalsopbouw varianten III en IV, respectievelijk een persoonlijk pensioenvermogen met vrijwillige risicodeling en een persoonlijk penisoenvermogen met collectieve risicodeling. Tabel 1 geeft de varianten en bijbehorende scores op de vergelijkingscriteria met de huidige uitkeringsregeling weer.

Het is duidelijk te zien dat variant IV de meeste pluspunten heeft gescoord waardoor binnen het pensioenbeleid het opbouwen van een persoonlijk pensioenvermogen een interessante optie blijkt. Omdat de Sociaal-Economische Raad niet heeft getoetst op basis van individueel belang wordt variant 1B welke gericht is op geïndexeerd pensioen niet als interessante optie beschouwd. Variant IV heeft de voorkeur van de SER en het aanhouden van een persoonlijk pensioenvermogen is dan de basis voor het ontwerpen van en optimaal pensioencontract.

4

Tabel 1 Beoordeling varianten SER 2015

Varianten uitkeringsregelingen Varianten persoonlijk pensioenvermogen Variant IA Uitkeringsovereenkomst met degressieve opbouw Variant IB Voorwaardelijke uitkeringsovereenkomst met degressieve opbouw Variant II Nationale Pensioen-regeling Variant III Persoonlijk pensioenvermogen met vrijwillige risicodeling Variant IV Persoonlijk pensioenvermogen met collectieve risicodeling Pensioen-resultaat 0/+ + 0/+ * - + Aansluiting op maatschappelijke trends 0 -/ 0 - + + Macro-economische effecten 0/+ + 0 0 + Transitie - - -

-* Deze variant kent een sterk politiek risico. In theorie zou een kleine verbetering van het pensioenresultaat mogelijk zijn, maar het is hoogst onzeker of dat in de praktijk daadwerkelijk zo zal zijn.

2.2 Verzekeringstechniek achter pensioenrekeningen

Het volgende onderwerp dat van belang is bij het ontwerpen van een pensioencontract is de techniek voor het bepalen van de waarde van het opgebouwde vermogen. Bovenberg, Mehlkopf & Nijman (2014) beschrijven deze techniek beschrijven in de uitkeringsfase van pensioenrekeningen. Hun uitgangspunt is dat deelnemers zowel vóór als na de pensioendatum beschikken over een persoonlijke pensioenrekening (2014, p.1) en hierdoor kan het vermogen zowel gedurende de arbeidsduur als de pensioenduur worden bepaald.

Tijdens de uitkeringsfase kent een persoonlijke pensioenrekening een aantal functies, namelijk een beleggingsfunctie, een uitkeringsfunctie en een verzekeringsfunctie (2014, p.2). Beleggingsrendementen worden bijgeschreven op de pensioenrekening, periodiek vinden er onttrekkingen uit de pensioenrekening plaats en er is sprake van een actuarieel resultaat. De budgetrestrictie tijdens de pensioenperiode die Bovenberg en zijn collega’s opstellen is

5



1 1



1



1





 



verwachte onverwachte biometrisch individuele financiële rendement financiële rendement rendement actuariële

r

1 fin fin fin 1 bio 1 v

t t t t t t t t t t K K_ C_ E_ R R E_ R R R      _{   }     _{  }  _{  }         





geaggregeerde actuariële esultaat resultaat 1 Ra_t   (1)

Hierin zijn K_t enC respectievelijk het opgebouwde kapitaal van het pensioenvermogen _t

en de pensioenuitbetaling aan het begin van periode t. Het verwachte kapitaal vertoont vóór de pensioendatum een stijgend verloop en na de pensioendatum een dalend verloop. Er vindt immers tijdens de opbouwfase geen uitkering plaats en na de pensioendatum wordt er weliswaar nog resultaat bijgeschreven maar niet meer dan er uitgekeerd wordt (2014, p.7).

De pensioenuitkering C wordt bepaald aan de hand van een parameter _t _t en deze representeert in feite de annuïteitsfactor waarmee een levenslange uitkeringsstroom ingekocht kan worden (2014, p.10). Er wordt een verschil beschouwd tussen de werkelijke pensioenuitkering C op tijdstip t en de verwachting _t E_t1

 

C_t van deze uitkering in de voorgaande periode t - 1. Deze afwijking wordt enerzijds bepaald door onverwachte financiële rendementen op het vermogen en anderzijds door onverwachte ontwikkelingen in de waarde van de annuïteitsfactor. Door te kiezen voor een contractinvulling waarbij niet alleen de premie-inleg en de return portefeuille, maar ook de gewenste verwachte groeivoet, de gewenste gevoeligheid van de groeivoet voor inflatie en rente én de matching portefeuille in acht worden genomen kan ervoor worden gezorgd dat de rekenrente minder gevoelig is dan in het geval van een nominale annuïteit. Dit zorgt ervoor dat de uitkeringsfracties ook minder gevoelig zijn.

Aan de hand van het model van Bovenberg en zijn collega’s kan de conclusie getrokken worden dat de opbouw van het pensioenvermogen een investering is waarbij het rendement een verwachtingswaarde is. Het pensioenvermogen kent een beleggingsfunctie en kan het aanhouden van dit vermogen als een inversteringsprobleem beschouwd worden.

2.3 Mertons portfolioprobleem

Een model dat aansluit op de beschouwing van het pensioencontract als een inversteringsprobleem is het model van Merton (1969). Hij combineert het probleem van de optimale portfolio selectie met consumptieregels voor een individu waarbij het

6 vermogen gegenereerd wordt door rendementen en deze rendementen of eventuele groeifactoren zijn stochastisch verdeeld. Hij begint zijn model met het definiëren van variabelen en het opstellen van de budgetrestrictie.

 





 













1 1 1 1 1 m i i i i X t W t t W t C t X t     _  _{ }    _  



 (2) Hierbij zijn

 

 

 

 

totaal vermogen op tijdstip prijs van asset ( 1, , )

deel van totale vermogen in asset op tijdstip ( 1, , ) = consumptie per tijdseenheid

i i W t t X t i i m t i i i m C t t      

Vervolgens herschrijft hij (1) als,

 







  

_



_



































1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 m i i i i i m g t i i X t X t W t W t t W t C t C t X t t e W t C t C t            _  _{ }    _       _   __    _   





(3)

waarbij g t_i



 1



log_X t_i

 

/X t_i



1 , de rate of return per tijdseenheid van asset .



_ i

Deze g t worden verondersteld gegenereerd te zijn door een stochastich proces. Hij _i

 

onderscheidt het discrete geval waarbij

 



2



/ 2

i i i i

g t     Y. Hierbij zijn

verwachte rate of

i

  return, constant en  Y_i Y t_i

 

Y t_i



 1



_iZ_i en Z t een _i( ) onafhankelijke variabale is met een standaardnormale verdeling vor elke t, _i2 de variantie van het proces Y_i is en de verwachting van de groei  Y_i 0. Y t wordt _i

 

gegenereerd door een Gaussian random walk zoals hierboven beschreven. Door de budgetrestrictie te herschrijven tot (2) kan de groei in het vermogen als een stochastisch proces worden gezien en kan er een verwachtingswaarde worden bepaald (p. 248). Dit is nodig om het het nutsniveau gedurende de hele periode dat er geconsumeerd wordt te maximaliseren. Het probleem is dus

7 onder de budgetrestrictie en waarbij U

 

een strict concave nutsfunctie is (p. 250) en ρ de subjective rate of time preference is (1969, p. 252).

Hij bekijkt vervolgens het geval waarbij er sprake is van constante risicoaversie en er belegd wordt in een risicovrije asset en in een risicovolle asset (1969, p. 248). Dit is het geval voor m = 2, en voor dit model definieert hij de variabelen

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 1 2 2

deel geïnvesteerd in risicovolle asset 1 deel geïnvesteerd in risicovrije asset

rendement van risicovolle asset (Var 0) rendement risicovrije asset (Var 0)

t t t t g t g t g g t r g               

Voor dit geval vindt Merton voor het portfolioprobleem waarbij het vermogen gegenereerd wordt door rendementen optimale oplossingen voor de consumptie en het te beleggen deel (p. 251)

 





 

 

 

 

_

_

₂ * voor 0 1 1 1 voor 0 en * * 1 t T C t W t e W t T t r t   _                      (5) Hierbij is  



   _



r



2 / 22



1



r_



/ 1







. (6) Uit (4) blijkt dat deze optimale ω* onafhankelijk is van het vermogen en de tijd. Dit betekent dat voor het onderzoek naar welk deel er gespaard en/of belegd moet worden voor een nieuw pensioencontract er een constante gebruikt kan worden die gedurende de hele looptijd toepasbaar is. Met de veronderstelling dat rendementen stochastisch verdeeld zijn en de verdeling van deze rendementen kan om een optimale oplossing ω* bepaald worden alsmede het te consumeren deel na pensionering. Het in te leggen deel van het inkomen, het te beleggen deel van deze inleg, de subjective rate of time preference en de risicoaversie ontbreken nog, en hiervoor zijn resultaten van empirisch onderzoek nodig.

8 Booij & Van Praag (2009) hebben een onderzoek gedaan naar de subjective rate of time

preference ρ en de risicoaversie γ waarbij de maatstaf voor constante absolute

risicoaversie afgeleid wordt uit de nutsfunctie u y

 

 y1 / 1







(p.375). Zij veronderstellen eenzelfde nutsfunctie als Merton (1969) t



 



eu C t dt



en stellen dat als

er geen liquiditeitsbeperkingen zijn een individu preferenties heeft over contante waarden van geld (p.376). Verder maken Booij & Van Praag onderscheid tussen gevallen als er sprake is van onmiddellijke consumptie en er niet gespaard wordt en consumption

smoothing waarbij consumptie plaatsvindt over een langere periode waarbij er wel

gespaard wordt en er een vermogen wordt aangehouden (pp.376-377). In dit onderzoek zijn enquêtes afgenomen bij 3026 werkende individuen tussen de 16 en 65 jaar oud (p.379). Verder wordt er bij consumption smoothing onderscheid gemaakt tussen vijf spaarrentes, namelijk 0, 1, 2, 3 en 4 procent (p.382). De bevindingen zijn in tabel 2 weergegeven.

Tabel 2 Geschatte preferentieparameters (Booij & Van Praag, 2009)

Onmiddellijk Consumption smoothing

r 4% 0% 1% 2% 3% 4%

γ 2,10 81,71 81,73 81,77 81,84 81,95

ρ 0,0603 0,0603 0,0602 0,0602 0,0601 -

De subjective time discount rate blijft voor zowel onmiddellijke consumptie als voor

consumption smoothing 6 procent ongeacht de spaarrente (p.383). Dit ligt hoger dan de

waarde die normaliter wordt toegkend aan ρ. Voor de waarde van de risicoaversie zijn er wel verschillen waar te nemen. Als er sprake is van onmiddellijke consumptie, dan γ = 2 en als er sprake is van consumption smoothing dan γ = 82 (pp.382-383). Voor mijn onderzoek zal ik voor γ en ρ respectievelijk 2 en 0,03 uitgaan.

Er zijn ook onderzoeken geweest naar het spaargedrag van huishoudens. Thaler & Benartzi (2004) hebben onderzoek gedaan naar het spaargedrag van Amerikaanse werknemers waarbij het doel was om het spaargedrag te stimuleren. Hun doel was om een programma te ontwerpen waarbij werknemers die welwillend waren om meer te sparen maar het niet deden door een tekort aan wilskracht, dat hen ertoe zou leiden dit wel te doen (p.170). Vóór het SmarT (save more tomorrow) programma was het spaarpercentage 4,4 procent en daarna 10,6 procent (p.174). Het doel van hun programma is om na een periode van 10 jaar bij één-op-één gesprekken met een financieel adviseur een spaarpercentage van 12,9 procent te ambiëren en bij automatische aanmelding vor een

9 spaarplan zou dit na 10 jaar 15,0 procent moeten zijn (p.184). Er is een onderzoek door Alessie & Teppa (2010) gedaan om het spaargedrag van Nederlandse huishoudens in kaart te brengen. Zij rapporteren een gemiddeld spaarbedrag van €8081,70 bij een gemiddeld inkomen van €63170,58 (p.396). Dit geeft een gemiddeld spaarpercentage van 12,79 ≈ 13 procent. Voor het onderzoek zal ik het inlegpercentage vaststellen op 20 procent.

Agnew, Balduzzi & Sundén (2003) hebben onderzoek gedaan naar de allocatie van het risicovolle deel in een portefeuillie van 28.755 werknemers in de Verenigde Staten. Over de periode 1994 tot en met 1998 komen zij uit op een gemiddelde allocatie van het risicovolle deel in een portefeuille van 40,54 ≈ 41 procent (p.198). Opmerkelijk is dat 47,61 procent een allocatie van 0 procent in het risicovolle deel van de portefeuille heeft, en 21,73 procent een allocatie van 100 procent (p.198). Voor de suboptimale contracten kunnen deze waarden voor ω worden aangehouden in mijn onderzoek.

Om geschikte waarden voor de spaarrente en de risicopremie met bijbehorende volatititeit te vinden, heb ik het Advies Commissie Parameters (2014) geraadpleegd. Ik zal het verwachte rendement op grondstoffen hanteren, en deze bedraagt 5 procent met een standaarddeviatie van 20 procent (p.2). Voor de risicovrije rente r_f wordt 1 procent aangehouden.

2.5 Basis voor mijn onderzoek

Het uitgangspunt van Merton (1969) is nutsmaximalisering en dat is voor dit onderzoek hetzelfde. Het nut is afhankelijk van de consumptie, waardoor het doel is om de consumptie C te maximaliseren. Voor het optimale contract zijn de bevindingen van Merton (1969) van belang om de consumptie en het te beleggen deel te bepalen. Om het vermogen W op elk tijdstip te bepalen is de methode van Bovenberg, Mehlkopf en Nijman (2014) toepasbaar. Het onverwachte financiële rendement, het biometrisch rendement, het individuele actuariële resultaat en het geaggregeerde actuariële resultaat kunnen buiten beschouwing gelaten worden. Het nieuwe pensioencontract wordt immers als een individueel investeringsprobeem gezien waarbij alleen het verwachte financiële rendement van belang is.

De volgende functies bepalen het rendement, het te beleggen deel, de consumptie, het vermogen en het nutsniveau op tijdstip t:

10





 













 









2 2 1 1 1 1 ~ N ,

* voor optimaal contract

1

0 1 voor suboptimaal contract

* voor optimaal contract

1 1

1

voor suboptimaal contract

1 tijdens opbouwfase 1 f f t t T t t t t t t t t R r r r C W e C W T t W r W s r W C                                   







 

















1 2 ₂ tijdens uitkeringsfase 1 1 / 2 1 / 1 t t t U t C e r r                    _    _  (7)

In tabel 3 wordt weergegeven welke waarden er voor de verschilende parameters gehanteerd zullen worden. Er is één aanpassing die ik zal doen, en die heeft te maken met de maatststaf voor de risicoaversie. Merton (1969) noemt de Arrow-Pratt maatstaf voor constante absolute risicoaversie   1  maar ik zal in de plaats van



1



juist gebruiken en voor  juist



1



. De waarde voor  in sectie 2.4 is gevonden door deze als de maatstaf voor de risicoaversie te nemen, en om deze op dezelfde manier toe te kunnen passen moet deze aanpassing gedaan worden.

Tabel 3 Aannames parameters

r 1% α 5%

γ 2 σ 20%

ρ 3% s 20%

3 Onderzoeksopzet

Bij dit onderzoek worden allereerst vier contracten beschreven. Drie van deze contracten betreft een suboptimaal ontwerp en de laatste betreft het optimaal contract. Vervolgens worden er een aantal aannames gedaan voor parameters die voor dit onderzoek vast staan maar voor een heruitvoering ervan gewijzigd kunnen worden. Als laatste wordt de uitvoering van het onderzoek besproken.

11 3.1 Simulatie

Om te bepalen in hoeverre er sprake is van een optimaal pensioencontract, wordt er een simulatie gedaan. Voor elke t worden er voor 1000 scenario’s rendementen r_{i j,}

gegenereerd, voor tijdstip i = 1,...,60 en scenario j = 1,...,1000, waarbij





 



2



~ N _{f f} ,

R r  r  . De rendementenmatrix ziet er dan als volgt uit:

1,1 1,500 60,1 60,500 r r R r r            (8)

Aan de hand van deze gegenereerde rendementenmatrix wordt het vermogen W bepaald wanneer 0. De aannames gedurende het onderzoek worden weergegeven in tabel 4 en deze blijven het hele onderzoek gelijk.

Tabel 4 Aannames onderzoek

arbeidsduur 40 jaar pensioenduur 20 jaar inkomen 1 inleg 20% allocatie* 50% spaarrente 1% ρ 3%

*het deel dat belegd wordt voor t = 1,...,40

Voor alle contracten geldt dat voor t = 1,...40 de consumptie gelijk is, namelijk 0,80. De consumptie vindt plaats aan het begin van het jaar en de inleg vindt plaats aan het eind van het jaar. Vóór pensionering wordt 50 procent van de inleg belegd, en dit percentage kan na pensionering gewijzigd worden naar invulling van het contract. Ook het te consumeren deel verandert na pensionering waarbij deze voor elke t = 41,...60 wordt berekend als deel van het vermogen op tijdstip t - 1. Voor alle contracten geldt C₆₀W₅₉ .

Het doel is om aan de hand van het totale verwachte nut in de uitkeringsfase een gemiddelde consumptie C te vinden waarvoor geldt dat





 

1 ₁ 20 20 40 1 1 1 1 t t t t t C C e e E U  _      _         







. (9)

12 De gevonden waarden voor C van de verschillende suboptimale contracten worden dan vergeleken met de C van het optimale contract en het verschil wordt dan in percentages uitgedrukt, waarbij sub opt

opt

C C

C

C 

  . Ik zal deze verschillen tevens kwantificeren voor

zowel het geval als de risicoaversie hoger ligt als wanneer de subjective time discount rate hoger ligt. Dit laatste geval wil ik bekijken aangezien de gevonden waarde van Booij & Van Praag 2 keer zo groot is van gangbare waarde van 0,03.

3.2 Suboptimale contracten

De eerste type suboptimale pensioencontracten zijn contracten waarbij er spake is van een vermogen dat voor 100% gespaard wordt. De inleg s = 20% wordt bijgeschreven op een spaarrekening en het vermogen groeit met een rendement gelijk aan de spaarrente r_f = 1%.

Bij deze contracten is er geen sprake van verwachtingswaarden aangezien de spaarrente niet stochatisch gegenereerd wordt.

De tweede type suboptimale contracten zijn contracten waarbij een willekeurig deel van het vermogen wordt belegd. Voor deze contracten geldt 0 < ω ≤ 1 voor t = 40,...60. Het in te leggen deel s blijft hetzelfde de eerste soort suboptimale contracten, namelijk 20%. Doordat er belegd wordt, zal het vermogen bepaald worden aan de hand van de stochastich gegenereerde rendementen. De consumptieregel in dit contract zal die in (7) zijn.

De derde type suboptimale contracten zijn contracten waarbij net zoals het tweede type een willekeurig deel van het vermogen belegd wordt. Het verschil is dat in deze contracten de consunptieregel in de uitkeringsfase periodiek verandert, namelijk:

1 1 1 1 1 0, 05 41, , 45 0,10 45, , 50 0, 20 51, , 55 0, 40 56, , 59 1, 00 60 t t t t t t W t W t C W t W t W t          _{ }  _    _{ }     . (10)

13 De vierde type suboptimale pensioencontracten zijn contracten waarbij er niet belegd wordt. Het verschil met type 1 contracten is dat de consumptie is bepaald als in (10), net als bij de type 3 contracten.

3.3 Optimaal contract

Voor het optimale contract wordt voor de gegeven parameters r_f, , , ,    ens het optimale te beleggen deel als ook het te consumeren deel bepaald. Ook in dit contract geld dat tijdens de uitkeringsfase een willekeurig deel In eerste instantie wordt gelijk het optimale te beleggen deel berekend door *  ₂r

 

 te bepalen. Het enige verschil is dat

Dit gebeurt door eerst ν uit te rekenen en vervolgens het te consumeren deel van het vermogen C*

 

t uit (7) te bepalen. Het vermogen wordt bepaald aan de hand van de

inleg s en de optimale consumptie.

4 Resultaten en analyse eigen onderzoek

Allereerst zal ik mijn bevindingen beschrijven en de verschillen laten zien tussen suboptimale contracten en het optimale contract voor γ = 2 en γ = 5. Daarna zal ik de resultaten laten zien als de subjective time discount rate hoger is. Vervolgens zal ik mijn interpretatie geven aan deze resultaten.

4.1 Resultaten voor optimale en suboptimale contracten

In tabel 5 worden de resultaten weergegeven als het om een optimaal contract gaat voor de gevallen γ = 2 en γ = 5.

Tabel 5 Resultaten optimaal contract

γ = 2 γ = 5

ω* 0,50 0,20

Σ E[U] -15,09 -4,13

14 De tabellen 6 tot en met 9 geven de resultaten weer voor de vier typen contracten voor de gevallen γ = 2 en γ = 5. In de laatste kolom staat dat het verlies in consumptie ten opzichte van het optimale contract.

Tabel 6 Type 1 suboptimale contracten; ω = 0

γ Σ E[U] C-bar ΔC (%)

2 -27,89 0,5312 -45,89

5 -47,41 0,5287 -45,67

Tabel 7 Type 2 suboptimale contracten

γ = 2 γ = 5

ω Σ E[U] C-bar ΔC (%) Σ E[U] C-bar ΔC (%) 0,10 -15,54 0,9534 -2,89 -5,23 0,9174 -5,73 0,20 -15,55 0,9552 -2,71 -5,30 0,9143 -6,04 0,30 -15,55 0,9527 -2,96 -5,25 0,9165 -5,82 0,40 -15,53 0,9540 -2,83 -5,32 0,9135 -6,13 0,50 -15,51 0,9528 -2,96 -5,28 0,9152 -5,95 0,60 -15,52 0,9546 -2,77 -5,31 0,9139 -6,09 0,70 -15,49 0,9564 -2,58 -5,33 0,9130 -6,18 0,80 -15,56 0,9521 -3,02 -5,27 0,9156 -5,91 0,90 -15,50 0,9558 -2,64 -5,28 0,9152 -5,95 1 -15,57 0,9515 -3,09 -5,34 0,9126 -6,22

Tabel 8 Type 3 suboptimale contracten

γ = 2 γ = 5

ω Σ E[U] C-bar ΔC (%) Σ E[U] C-bar ΔC (%) 0,10 -17,47 0,8481 -13,62 -21,52 0,6441 -33,81 0,20 -17,57 0,8432 -14,11 -21,71 0,6427 -33,96 0,30 -17,52 0,8456 -13,87 -21,39 0,6451 -33,71 0,40 -17,52 0,8456 -13,87 -21,41 0,6449 -33,73 0,50 -17,51 0,8461 -13,82 -21,61 0,6434 -33,88 0,60 -17,50 0,8466 -13,77 -21,45 0,6446 -33,76 0,70 -17,53 0,8451 -13,92 -21,77 0,6422 -34,00 0,80 -17,48 0,8475 -13,67 -21,59 0,6436 -33,87 0,90 -17,49 0,8471 -13,72 -21,42 0,6448 -33,74 1 -17,56 0,8437 -14,07 -21,48 0,6444 -33,78

Tabel 9 Type 4 suboptimale contracten; ω = 0

γ Σ E[U] C-bar ΔC (%)

2 -32,43 0,4568 -53,47

15 4.2 Resultaten als ρ = 0,06

In tabel 10 staan de resultaten voor de het optimale contract voor de gevallen γ = 2 en γ = 5 als de subjective time discount rate hoger ligt.

Tabel 10 Optimale contracten ρ = 0,06

γ = 2 γ = 5

ω* 0,50 0,20

Σ E[U] -12,13 -4,42

C-bar 0,932 0,894

Tabel 11 illustreert de resultaten voor type 2 suboptimale contracten waarbij in de laatste rij het verlies in consumptie ten opzichte van het optimale contract staat aangegeven. Om het effect van de subjective time discount rate op het consumptieverschil te beschrijven heb ik alleen vergelijkingen gedaan voor beleggingsdelen gelijk aan die in het optimale contract.

Tabel 11 Type 2 suboptimale contracten ρ = 0,06

γ = 2 γ = 5 ω 0,50 0,20 Σ E[U] -12,13 -4,42 C-bar 0,932 0,894 ΔC (%) -5,85 -8,12 4.3 Analyse

Voor het optimale contract is de gemiddelde consumptie tijdens de uitkeringsfase voor γ = 2 0,982. Dit komt overeen met een pensioenuitkering die gelijk is aan de het geconsumeerde deel van het inkomen vóór pensionering. Hiermee wordt het doel van een pensioen dan ook bereikt, namelijk om het bestedingspatroon in de uitkeringsfase te kunnen voortzetten. Voor γ = 5 ligt de gemiddelde consumptie iets lager en resulteert op 0,973. Na pensionering is er wel sprake van een lichte Of het bestedingspatroon ook met andere inlegpercentages voortgezet kan worden zou nader onderzocht kunnen worden.

Voor de type 1 pensioencontracten voor zowel γ = 2 als γ = 5 is de gemiddelde consumptie 0,53. Als een individu ervoor zou kiezen om bij pensionering het pensioenvermogen in een keer te laten uitkeren, en deze op een spaarrekening zou zetten,

16 dan zou dit leiden tot een verlies van de gemiddelde consumptie van 46 procent in vergelijking met het optimale contract. Daarnaast betekent dit dat er sprake zou zijn van een gemiddeld pensioengat van 0,45 wat inhoudt dat vergeleken met de consumptie vóór pensionering er net iets minder dan de helft minder geconsumeerd wordt. Dit sluit niet an bij het doel van het opbouwen van een pensioenvermogen en is dit contract het minst aan te raden type van allemaal. Dat deze waarden voor de gemiddelde consumptie zo laag zijn is te verklaren doordat de spaarrente lager ligt dan het gemiddelde rendement indien er belegd wordt.

Voor de type 2 pensioencontracten ligt het verlies in gemiddelde consumptie voor γ = 2 op ongeveer 3 procent vergeleken met het optimale contract. In het geval γ = 5 is dit verlies ongeveer 6 procent. Dit verlies is voor beide waarden van γ gelijk, ongeacht welk deel van het vermogen belegd wordt. Dit kan verklaarbaar zijn doordat de rendementen stochastisch verdeeld zijn en deze fluctueren op de tijdslijn. Het verschil in verlies zou verklaarbaar kunnen zijn doordat een individu met γ = 5 minder snel risico’s wilt nemen en het effect hiervan is te zien in de nutsfunctie. Het nut uit eenzelfde consumptie is bij een risicoaverser individu lager dan een individu met een lagere risicoaversie. In deze type contracten zou de mogelijkheid geboden kunnen worden voor een vrij beleggingsbeleid aangezien de verwachte gemiddelde consumptie voor elke ω ≠ 0 nagenoeg gelijk is aan 0,91. Ten opzichte van het consumptieverlies vóór pensionering zijn deze contracten beter dan de type 1 contracten, maar nog steeds slechter dan de optimale contracten.

De type 3 pensioencontracten laten grotere verschillen zien met de optimale contracten dan de type 2 contracten. Voor γ = 2 is het gemiddelde consumptieverlies gelijk aan ongeveer 14 procent en voor γ = 5 ongeveer gelijk aan 34 procent. Het verschil tussen het consumptieverlies voor γ = 2 en γ = 5 is veel groter dan bij type 2 contracten. Dit kan liggen aan de consumptieregel die gehanteerd wordt bij dit type contract. Ook het verschil in het te consumeren deel van het vermogen tussen opeenvolgende perioden is groter dan bij type 2 contracten.

De type 4 pensioencontracten zijn de slechtste contracten vergeleken met de optimale contracten. Voor γ = 2 is er sprake van een consumptieverlies van ongeveer 53 procent en voor γ = 5 is dit verlies ongeveer 68 procent. De verklaring voor dit opmerkelijk verschil is het feit dat er niet belegd wordt na pensionering. Het vermogen groeit veel minder snel

17 dan de type 2 en type 3 contracten; het rendement is ook veel lager namelijk gelijk aan de spaarrente. Daarnaast is het te consumeren deel vanaf t = 51 twee keer zo groot als in het optimale contract. Het vermogen is bij pensionering al beduidend lager dan in het optimale geval en bovendien zijn de onttrekkingen aan dit vermogen ook groter.

In figuur 1 is het verloop van het vermogen te zien voor zowel het optimale contract als voor de vier typen contracten.

Figuur 1 Verloop vermogen bij ω = 0,20

Het vermogen bereikt voor alle contracten een piek op t = 40. Het vermogen bij het optimaal contract verloopt tot t = 47 ongeveer gelijk aan het vermogen bij het type 2 contract. Daarna is dit verloop gelijk aan die van type 3 contracten. Voor het type 1 en type 4 contract daalt het vermogen in de uitkeringsfase minder hard, maar in deze grafiek bereikt het vermogen een veel lager maximum dan het optimale contract en type 2 en type 3 contract. Voor type 3 contracten is er een lichte knik te zien op t = 56. De consumptie daalt waardoor het vermogen minder hard daalt. Voor alle contracten zou het verloop van de grafiek tijdens de opbuwfase gelijk moeten zijn. Er zu alleen sprake van een verschil in het verloop van het vermogen mogen zijn tijdens de uitkeringsfase.

In figuur 2 is te zien hoe het bestedingspatroon verloopt voor de vier typen contracten en voor het optimale contract voor γ = 5.

Figuur 2 Bestedingspatroon bij ω = 0,20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 Ver m o ge n t

ω = 0,20

optimaal type 1 type 2 type 3 type 4 Contract

18 Hoe vlakker de lijn van de grafiek loopt, hoe beter de consumptie afgevlakt wordt. Zo een verloop van de consumptie komt dichter in de buurt van voortzetting van het bestedingspatroon vóór pensionering. Type 1 contracten zijn in dat opzicht beter dan de andere typen contracten. Het grote nadeel van type 1 contracten is de groei van het vermogen dat achterblijft door de lage spaarrente waardoor de hoogte van de consumptie lager uitvalt dan bij de andere contracten. De grafiek van type 2 contracten loopt steiler dan de grafieken van het optimale contract en type 1 contracten. Dit houdt in dat vlak na pensionering er veel minder geconsumeerd wordt dan vlak vóór het overlijden. Dit biedt dan ruimte om de consumptieregel aan te passen en aan het begin van de uitkeringsfase meer te consumeren en aan het eind van de uitkeringsfase juist minder. Type 3 en type 4 contracten vertonen veel fluctuaties wat betreft de consumptie en ook vindt er een bij beide contracten een grote daling plaats op t = 57. Deze fluctuaties zijn het gevolg van een de consumptieregel die gehanteerd wordt.

Bij een subjective time discount rate van 0,06 is het consumptieverlies bij een type 2 suboptimaal contract voor γ = 2 ongeveer 6 procent. Ook voor γ = 5 is dit verlies hoger, namelijk ongeveer 8 procent. De gemiddelde consumpties voor de optimale contracten zijn bij deze subjective time discount rate lager dan bij 0,03. Als ik kijk naar het verschil in gemiddelde consumptie met type 2 contracten, dan is dat voor zowel γ = 2 als voor γ = 5 ongeveer 0,02. Voor een verdubbeling van de subjective time discount rate is dit verschil in consumptie nagenoeg verwaarloosbaar. Het optimale beleggingsdeel is voor

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 Co n su m p ti e t optimaal type 1 type 2 type 3 type 4 Contract

19 beide waarden van risicoaversie gelijk als voor ρ = 0,03 omdat de subjective time discount

rate geen invloed heeft op ν.

5 Conclusie

De optimale contracten zijn betreffende het verloop van de consumptie de meest geschikte contracten. Ze voldoen aan de definitie die de Sociaal-Economische Raad geeft aan een goed pensioen. Ook het streven van een individu is om met het pensioen zijn bestedingspatroon zo veel mogelijk te kunnen voortzetten. Hoe risicoavers een individu is heeft invloed met name op het te beleggen deel als het te consumeren deel tijdens de uitkeringsfase. Het in een keer laten uitbetalen van het pensioenvermogen en deze op een spaarrekening houden vertoont het meest vlakke verloop wat het vermogen betreft maar blijft achter al het om de consumptie gaat. Het beleggen van een dele van het vermogen daarintegen zorgt voor het aanhouden van een vermogen dat iets hoger is waardoor ook de consumptie hoger is. Hierdoor kan het verschil tussen consumptie vóór en consumptie na pensionering worden beperkt. Een consumptieregel aanhouden die periodiek vatgesteld is als een constant deel van het vermogen voor een verloop van bijvoorbeeld 5 jaar zorgt voor pieken en dalen in het verloop van de consumptie. Dit beoogt niet om het bestedingspatroon zo constant mogelijk te houden en wijkt sterk af van de definitie van een goed pensioen.

20

Bibliografie

Agnew, J., Balduzzi, P. & Sundén, A. (2003). Portfolio choice and trading in a large 401 (k) plan. American Economic Review, 93(1), 193-215.

Alessie, R. & Teppa, F. (2010). Saving and habit information: evidence from Dutch panel data. Empirical Economics, 38(2), 385-407.

Booij, A.S. & Praag, van, B.M.S (2009). A simultaneous approach to the estimation of risk aversion and the subjective time discount rate. Journal of Economic Behavior &

Organization, 70(1-2), 374-388.

Bovenberg, A. L., Mehlkopf, R. J., & Nijman, T. E. (2014). Techniek achter persoonlijke pensioenrekeningen in de uitkeringsfase, Netspar Occasional Paper.

Centraal Plan Bureau. (2014). A financial market model for the Netherlands. Geraadpleegd van http://www.cpb.nl/publicatie/een-financieel-marktmodel-voor-nederland

De Nederlandsche Bank. (2015, 17 september). Typen pensioenovereenkomsten; jaar [Dataset]. Geraadpleegd van http://www.dnb.nl/statistiek/statistieken-dnb/financiele-instellingen/pensioenfondsen/pensioenregelingen/index.jsp

Merton, R. C. (1969). Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case. The Review of Economics and Statistics, 51, 247-257.

Mitchell, O.S. & Utkus, S.P. (2006). How behavioral finance can inform retirement plan design 1. Journal of Applied Corporate Finance, 18(1), 82-94.

Rijksoverheid. (2014). Advies Commissie Parameters. Geraadpleegd van

https://www.rijksoverheid.nl/documenten/rapporten/2014/03/21/advies-commissie-parameters

Sociaal-Economische Raad. (2015). Toekomst pensioenstelsel. Geraadpleegd van

http://www.ser.nl/nl/publicaties/adviezen/2010-2019/2015/toekomst-pensioenstelsel.aspx

Thaler, R. & Benartzi, S. (2004). Save more tomorrow: Using behavioral economics to increase epmloyee saving. Journal of Political Economy, 112(1), 164-187.