Gestructureerde aanpak, systeemanalyse, modelvorming en
simulatie. Deel 8. Systeeminterpretatie en systeemstabiliteit
Citation for published version (APA):
Hezemans, P. M. A. L. (1988). Gestructureerde aanpak, systeemanalyse, modelvorming en simulatie. Deel 8.
Systeeminterpretatie en systeemstabiliteit. Aandrijftechniek, (8), 52-55.
Document status and date:
Gepubliceerd: 01/01/1988
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be
important differences between the submitted version and the official published version of record. People
interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the
DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page
numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at:
openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
Simulotie
met computers,
ook voor
oondrijffechnische
toepossingen
komt
steeds
meer
voor.
In
een
ortikelenreeks
OESTRUCIU
REERDE
AA]IPAK
SY
S
IE
ETITA]IA
IVS
E, TIODE
L.
voRilrllG
Ell slilutAllE
(8)
In dit achtste deel begint de auteur met het onderwerp,,Systeeminterpreta-tie". De eerder verkregen gegevens en si-mulaties dienen door de gebruiker op de juiste wijze te worden geihterpreteerd om tot een goede beoordeling van het sys-teem te kunnen komen. Aan de hand van de lVatt regulateur zal een en ander wor-den verduidelijkt. Hier beperken we ons tot de vereiste voorbeschouwing. De ac-tuele behandeling van het voorbeeld zal in het volgende deel geschieden.
Íysisch
inhrprelolieve
íase
De fysisch-interpretatieve fase van de systeemanalyse is niet alleen een van de meest attractieve maar ook een van de moeilijkste fasen van de systeemaanpak. Heeft men eenmaal een volledig uitgewerkt systeemmodel in handen, dan moet men zich realiseren, met welk doel het is opge-steld en waarvoor het wordt gebruikt. De vraagstelling voert ons ongetwijfeld tot de doelstelling, zonder welke de doelgerichte sy.steemanalyse enlof -synthese nooit zou zUn opgezet.
Het onderzoek aan een systeemmodel heeft dikwijls een interpretatief karakter, dat wil zeggen dat er bij het onderzoek wel-licht wordt geredeneerd en verklaard in ter-men van de doelstelling en waarin een ze-kere subjectiviteit helaas onvermijdelijk is. Op die manier wordt dit model een pragma-tisme waarbij haar bruikbaarheid alleen nog maar interessant is voorzover er ,,iets mee te doen valt".
Een interpreutie van het systeemmodel zal ons de nodige inzichten moeten veÍ-schaffen, opdat:
l. daarnree het functioneren van het be-trokken systeem voldoende kan worden verklaard; dat wil zeggen in het geval van het dieselaggregaal: hoe functioneert het dieselaggregaat?
2. een adequate beoordeling van het gedrag van het betrokken systeem kan worden ge-maah; bijv. hoe goed werkl het
dieselag-t ^
goot de outeur
in op dii Íenomeen
en verkloorf
technieken
en methoden
om tot een
goed
resultoot
te komen,
Ing. P. M. A. L. Hezemans Wetenschappel ijk hooÍdmedewerker vakgroep AandrilÍtechniek, TU Eindhoven
gregaat? Met andere woorden, hoe goed is het ontworpen?
3. een trouble shooting (opsporen van de oorzaken van gebreken of moeilijkheden) kan worden doorgevoerd en aanwijzingen voor de verbetering of oplossing daarvan kunnen worden opgestelc.
4. hieruit richtlijnen en aanwijzingen kun-nen volgen omtrent dimensionering en eventueel optimalisering van het betrokken systeem. Met andere woorden hoe wordt het dieselaggregaat ontworpen en kan het beter ontworpen worden?
Het ligt voor de hand dat dergelijke in-terpretaties niet kunnen worden gegeven zonder een voorafgaande statische en dyna-mische analyse. Op deze aspecten komen we later terug.
Tenslotte dient te worden gewaarschuwd tegen de opvatting, dat het systeemmodel beter is naarmate men ,,meer uit het ver-eenvoudigde systeemmodel kan halen". Men moet eerst de geldigheid van het sys-teemmodel beoordelen en dan pas de draag-wijdte, zodat men gevrijwaard blijft van verkeerde gevol gtrekkingen.
Wiskundige
inferprelclie
Gedurende de modelvorming hebben we kunnen opmerken dat men, teneinde voor een gegeven systeem een wiskundige be-schrijving te kunnen opstellen, in het alge-meen moet beginnen dat systeem te ontle-den in elementaire (lees: ideale) sys-teemelementen. Voor deze elementen stel-len we vervolgens (eenvoudige) element-vergelijkingen op en voor de samenhang tussen deze elementen structuurvergelijkin-gen. De op deze wijze verkregen collectie vergelijkingen noemt men een mathema-tisch nrodel.
Daarin zitten een aanlal algebrai'sche en eerste-orde differentiaalvergelijkingen. Merk op, dat relaties in tabel- en grafiek-vorm en ook Booleaanse relaties tot alge-brai'sche vergelijkingen kunnen worden ge-rekend.
Hieruit kunnen door middel van handig gekozen substituties in principe alle alge-braische vergelijkingen worden geëlimi-neerd. De resulterende differentiaalverge-lijkingen (stel n stuks) kunnen vervolgens allemaal in de volgende vorÍn worden ge-schreven:
D x , : F , ( x , , u . ) ; j = 1 , . . . . , n ; k : 1 , . . . . , n ; m : 1 , . . . . , M ; D : d / d t ( 3 3 ) dat wil zeggen: de snelheid waarÍnee \ ver-andert is in het algemeen een functie van alle variabelen x1 (inclusief 4 zelf, dus n sruks) en alle ingangsvariabelen u. van het systeem (M stuks).
In vectornotatie geven we xr, x2, ... , x, aan met x en u' uz, ... , u, met u. Fysisch gezien stElt u op ett< moment de <[an ínwer-kende bronvariabelen voor, terwijl de com-ponenten van x tesamen de toestand van het systeem op elk moment volledig beschrij-ven: ze worden daarom vaak toestandsva-riabelen genoemd. Zo beschrijven ze op t " : 0 dan ook de begintoestand van het sys- ' teem. Het aantal (n) is gelijk aan het aantal i eerste-orde differentiaalvergelijkingen vol- j gens (33) en ook gelijk aan het aantal begin- : waarden.
Het gedrag van een systeem kan nu be- I schreven worden als het verloop (verande- , ring) van de toestand x als functie van de ' tiidl We kunnen ons de-toestand x meetkun- | dig voorstellen als het eindpun-t van een j vector in een n-dimensionele ruimte en het I systeemgedrag als de baan die dat eindpunt I in de loop van de tijd in die ruimte aflegt. i
Die ruimte wordt de toestandsruimte ge- 1 noemd en deze algemene beschrijvingswij- i ze de toestandsbeschrijving (Engels: state- i space description).
De in (33) gegeven vorm is zeer alge-' meen; ze geldt bij voorbeeld ook voor niet- ' lineaire systemen. Met nrinder algemene ' vormen komt men echter verder; voor li-neaire systemen is (33) als volgt te
schrij-ven: n M
D x i =
k l 1 " . i , * ' x 1 + . D = , b 1 . m . u . ( 3 ,
rl
waarin q., en b,.,,, nu constante coëfficiënten zijn. In vectornotatie is dit als volSt te schrijven: D x = A x * B u
íl c''? n'
=
(35)
L -waarin: x = n-dimensionale toestandsvector; Í = m-dimensionale stuur- of bron- in-fangsv.ector; .V = r-dlmenslonale Ultgangsvector; Á : ryrt...matrix.1i*n) met elementen
A,."i
B = ingangsmatrix (n*m) met elementen b'.'l C = uitgangsmatrix (r*n); D = drijvende matrix (r*m) voorstelt.
M
E b;Dju
(36)
waaruit de overdrachtsmatrix H(s) volgt: H ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) : C(sI-A)'. B + D
Een moeizame bewerkins is de bereke-ning van de inverse van de-matrix (sI-A), die overigens mislukt, wanneer s gelijk wordt aan een van de eigenfrequenties.
Een eenvoudige manier om de algemene oplossing van de homogene differentiaal-vergelijking te vinden is het gebruik van een ,,probeeroplossing" xn : exp (p.t). Daarmee gaat (36) met bj : 0 over in: ( a " p " + 4,p''' * ... + a,p * a.). exp
(p-t)
= o
waaraan voor alle t voldaan wordt indien geldt:
4 p + 4 - , p + . . . + a , p + a " = 0 ( 3 9 ) Deze,,karakleristieke vergelijking" is een algebrai'sche vergelijking in p van de orde n die volgens de fundamentele stelling van de algebra precies n oplossingen p,, p, ... . , p" heeft. Deze zijn of reëel of in paren toegevoegd complex.
Wij komen dus tot de conclusie dat elk van de functies exp (p,t), exp (p,t), ..., exp (pJ) aa1 de homogene differentiaalvergelij-king voldoet. Vanwege de lineariteit geldt dit ook voor elke lineaire combinatie: x5 (t) :
c 1 .e x p ( p 1 . t ) + c2 .exp(pz .t) + . . . n
- X q . e x p ( p ; . t )
Lineariteit impliceert superponeerbaar-heid en homogeniteit.
tysiscfre
inferpretolie
Wij moeten niet uit het oog verliezen dat de uit het systeemmodel afgeleide n-de orde differentiaalvergelijking niets anders is dan een vereenvoudiging van de energieverge-lijking. Het is namelijk eenvoudig, de equi-valentie van deze differentiaalvergelijking en de energievergelijking aan te tonen.
Neem als eenvoudig voorbeeld een me-chanisch massa-veer-systeem :
C-+Or..L
met bijbehorendd differentiaalvergelijking : C D x + L D - ' x = 0
of
(40)
Differenrieerr men (41,) naar de tijd t. dan vrnot men:
C . ( D x ) . ( D ' x ) * L . x . D x = 0 .
Daar de toestand ,,rust" ons hier niet inte_ resseert, delen we door Dx en vinden: C . ( D ' x ) * L . x : g @ \ : ,
Deze uitdrukking heeft juist de eo"d"l vorm. Het omgekeerde bewijs gesóhiedt , door vermenigvuliligen met Di en intesre_ . ren naar t. Wij merken op, dat de teráen , uit differentiaalvergelijking (42) vermenie_, wldigd met dat steeds de dimensie và'n energie hebben.
Sysleem.
en onluerptechnische
inlerpretolies
Uitgaande van deze algemene beschrij-vingswijze kan men allerlei probleemtypen in gegeneraliseerde vorm oplossen. Dit is echter specialistenwerk waarop we niet zul-len ingaan, want het gÍult ons hier om de vraag: hoe moet degene die het systeem in kwestie kent en erme€ moet werken, hier-van een wiskundig model maken zodat een ander die niet vertrouwd is met dat bepaal-de systeem (maar wel met wiskundige mo-dellen en methoden) er zinvolle uitspraken over kan doen? Het voorafgaande geeft hiervoor een van de beste weqen aan.
Een tweede algemene m-odelvorm, die zeker nog menigmaal in deze cursus aan de ordezal komen, is de volgende.
Wil men een snelle en-efficiënte analyse uiwoeren, dan kan men dankbaar eebáit maken van een lineair systeemrnoàel met een ingang u en e€n uitgang y.
Stel dat het systeem lineair is en dat we slechts in enkele variabelen geihteresseerd zijn. Dan is het vaak doelmatïger om de in-vloed van de ingangsvariabele u op de be-treffende uitgangsviriabele y ( = xj apart te Dezlen.
Door eliminatie van alle variabelen die ons niet interesseren zal uit het D.V. stelsel (35) in het algemeen een D.V. van de vol-gende vorm verkregen worden:
a n D n x + ê n - t D n - l x + . . , * a 4 x = b . D . u + b ' - , D m - l u * . . . * b e u ofwel:
. De orde (n) van deze D.V. is gelijk aan het aantal toestandsvariabelen.
Omdat de differentiaaloDeratoren D-'. I, P', ...,D" lineaire operaàr.n zijn, mag uit (36) de overdrachtsfuncrie H(D)in tijdsl domein worden afeeleid:
Wat willen we met de systeemresDon-sies? Dit is een belangrijke en tevens Étie-ke vraag voor het systeemontwerp. De eer-ste stap die wij hier moeten doen is het in-terpreteren en beoordelen van de eisen-schappen van het beschouwde systeem.-De-ze stap zal ons ongetwijfeld leiden tot het stellen van de volgende vraag: ,,Aan welke eisen moet het te ontwerpen systeem vol-doen?"
Normaliter worden de eisen gesteld ten aar.zien van de volgende aspecten: - systeemstabiliteit;
- systeemdemping en -snelheid; en
- systeemfunctie; in het biizonder het in stand houden van dè stationaire evenwichtstoestanden (populair gezegd: het constant houden van het uitgangssignaal of-wel het onderdrukken van storingen) en de volgwerking (waaronder progiammastu-ring en servoregeling).
Wij zullen deze aspecten stralcs behande-len aan de hand van een klassiek voorbeeld: de centrifugaalregulateur van James Watt.
Tevens moeten we in staat zijn de te stel-len eisen wiskundig te formuleien opdat de wiskundige informatie uit de systeemverge-lijkingen aan de wiskundig-gêformuleeide eisen kan worden getoetst. .
In de praktijk is het zo dat de modelvor-ming van fysische systemen vaak resulteeÍ in nietlineaire systeemvergelijkingen met als gevolg dat ze analytisch nièt aiilO zlln op te lossen. Daarom moeten ze worden eê-lineariseerd, teneinde de voordelen v-an analytische oplosbaarheid te kunnen benut-ten.
Omdat de analytische oplossing van een groot, lineair systeemmodel van èen grote orde (n ) 4) zeer bewerkeliik en lasiis te hanteren is. en bovendien dé computeisi-mulatie van zo'n groot systeemmodèl geen probleem meer is, heeft het geen zin mêr, de .analytische oplossingsmethode te ge-bruiken voor zulke omvangrijke sÍs-teemmodellen. Men doet er verstándis áan een geheel andere methode te nemen, iaar-bij het beschouwde systeem beoordeeld enlofgecorrigeerd kan worden aan de hand van matrix- en polynoomcoefficiënten van respectievelijk toestandsvergelijkingen en overdrachtsfuncties.
Door het letten op de onderlinge verhou-ding tussen deze coëfficiënten in bepaalde ongeliiklreden, kentallen en determinanten
n
D alDix =
H ( D )
= I =
u
C D 2 x
+ L x = 0 , m e t D = d / d t ;
(37) |2 = fl2/fl12.
t/D = J( ) . dr.
h , n t *
Laat ons nu veronderslellen dat dit systeemtwee energievornren bezit en dat deze ener-gieën in grootte gegeven worden door: C(Dx)'/2 en L(x)'/2,
teru'ijl er verdcr geen arbeid op ofdoor het systeem wordl verricht. Volgens de wet van behoud van energie moet gelden: C(Dx)'/2 + L(x)'12 = constant. (41)
aO . Afleiding van de overdrachtsfunctie uit oe toestandsvergelijkingen :
loepassing van de Laplaceoperator D-s op (35 jgeefr:-! * D ' + b p - 1 D m - l * . . a n D n + ê n _ t D n - l + . . .
s X = A X + B U
l f = ( s I - A)'.TU
Y = è x + b u
-I : t C r - r t - Á ) ' . 8 + D ) 9 ,
A A N D R I J F T E C H N I E K ,re gebruiken wordt het mogelijk, de sys-reemeigenschappen ontwerptechnisch ade-ouaatle beoordelen en zonodig te wijzigen; heziJ manleel, hetzij met de computer. Het doen van computersimulaties is hierbij niet echt noodzakelijk, maar wel nodig om de iuistheid van de beoordelingen te kunnen irvestigen en om het effect van sys-teemcorrecties te kunnen nagaan. Dit ter ondersteuning en ter controle.
Problemen
rond
de
Hatl-reguloteuÍ
De Watt-regulateur danld zijn naam aan James Watt, die dit toepaste voor toerental-regeling van stoommachines, waarvan voorheen de stoomtoevoer met de hand moest worden bediend.
Hij kwam op een lumineus idee, nadat Matthew Boulton, zijn compagnon, op 28 mei 1788 na bezoek aan de korenmolen ,,Albion Mill" hem in een briefwisselins op iets had geattendeerd. De strekking vai de onderstaande briefpassage heeft op hem kennelijk associatief-innoverend gewerkÍ: ,for regulating the pressilre or distance of the top mill stone Jrom the Bed stone in such away that thefaster the engine goes the lo-wer or closer it ginds and when the engine síops he top stone ises up... ; this is produ-ced by the centrifugal force of 2 tead weights which ise up hoizontal when in motion and fall down when the motion is decreased, b1, which means thq, act on a lever that is divided as 30 to L.. ''
Op 8 november 1788 zette hij een ,,Cen-trifugal Speed Regulator" op een tekening. Het prototype, gemonteerd op de ,,Lap-en-gine" is nu te zien in het Science Musèum, South Kensington, London.
Bij de toerenregeling van de sroomma-chine is er sprake van een regelkring, waar-br1 een terugkoppeling aanwezig is om het werkelijke toerenral te vergelijken met de gewenste (of ingestelde) waarde van dit toerental. Het verschil tussen sewenste waarde en werkelijke waarde riordt
ge-bruikt om de stoomtoevoer zodanig te rege-len, dat deze afwijking zo kJein mogelijk wordt en het toerental van de machine zo min mogelijk wordt beínvloed door belas-tingvariaties en allerlei sroringen.
Gedurende tachtig jaar na Watt heeft men pogingen ondernomen, het toerental constanÍ te houden en met weinig succes: het blijft min of meer oscillerenï. Ari Oe bouw van elke nieuwe stoommachine bleef men in het ongewisse over het al ofniet op-treden van oscillaties.
Deze problematiek trok de aandacht van James Clerk Maxwell, de grondlegger van de theorie van het elektromagnetisme. Zijn artikel, getiteld ,,On Governors", dateert van 1868 en behandelt het dynamisch ge-drag van enkele, toentertijd bekende, typen regulateurs waarvoor hij de differentiaal-vergelijkingen opstelde en oploste. Hij komt tot aan differentiaalvergelijkingen van de derde orde en leidt afdat voor de stabili-teit vereist is dat de wortels van de karakte-ristieke vergelijking negatieve reële delen hebben.
In 1877 publiceert Edward John Routh een verhandeling over de stabiiiteit van sys-temen, waarbij hij het naar hem genoemde stabiliteitscriterium opstelt dat gebaseerd is op de polynoomcoëfficiënten van de karak-teristieke vergelijking. Hij stelt regels op waannee de stabiliteit van een beschouwd systeem beoordeeld kan worden. Dat wil zeg1en, of het systeem stabiel is of niet.
Over systeemdemping en systeemsnel-heid (in oud spraakgebruik: mate van stabi-liteit) zegt het criterium van Routh in feite nies.
In 1895 maakt Hurwitz ziin criterium voor het vaststellen van de syiteemstabili-teit bekend. Het berust op het opstellen van determinanten die gevormd worden uit de coëfficiënten van de karakteristieke verse-lijking; een methode, die verwantschap ríet die van Routh vertoont. Het bewiis van de-ze verwantschap is in l9l I gegéven door Bompiani.
,,Van geheel andere kant" verschijnen in I 892 publicaties van Liapunov over alge-mene stabiliteit van lineaire en nietJineaire systemen.
srobilifeif
Omdat het bestaan van een systeem inhe-rent is aan de stabiliteit ervan, moeten we op de eerste plaats eisen stellen ten aanzien van deze stabiliteit.
Het begrip stabiliteit van een systeem kan hier ,,inruilief ' \,orden gedefinieerd meí de volgende woorden:
,,Het systeem is stabiel als het begrensde ingangssignaal u een begrensd uitgangssig-naal y geeft. "
Omdat de wortels van de karal-teristieke vergelijking de eigenbewegingen (eigentril-lingen en inschakelverschijnselen) in feite representeren, zal het begrip stabiliteit uit-gedrull moeten worden in termen van de karaheristieke vergel ijking.
De oplossing van de systeemvergelijkin-gen blijft begrensd, als de wortels van de karalteristieke verge lijking (dir zijn de wortels van de noenler van de over-drachtsfunctie, de zgn. polen van het sys-teem) negatief reële dclen hebben.
De worlels van de teller van de
over-drachtsfunclie worden per definitie de nul_ punten van het systeem genoemd.
Het systeem is nu stábiel als deze polen in het linkerhalfvlak van de N_p_g;afi;k Iiggen.
Her zal duidelijk zijn dar naarmate het aantal termen van het noemerpolynoom van de overdrachtsfunctie toeneemt, iet zoeten naar de wortels ervan moeilijker wordt, (en dan nog te bedenken dat bij een .orpui". de ,,rootfinder" niet feilloos werkt).
Maar volgens Routh en anderen is het niet nodig de polen te bepalen. De voor_ waarde, dat deze polen in het linkerhalfulak moeten liggen is namelijk te herleiden tot een eis voor de coëfficiënten van de karak_ teristieke vergelijking:
a n D n + ê n - t D n - l + . . . * a o : 0
Het Routh-Hurwitz-criterium houdt in: a. Eerste stabiliteitsvoorwaarde :
Alle coëff,rciënten van het noemerDolv_ noom moeten hetzelfde teken hebbeir íá_ l e + o f - )
b. Tweede stabiliteitsvoorwaarde : Construeer eerst een rij determinanten (coeffi ciënten positief) :
de,
=a;de,,=
f",ïf
,*,=
l;;,I.-.'':li
l
Deze determinanten .kunnen we ontstaan denken door separatie uit een matrix van de volgende gedaante:
0 0 0 a , 4 0
l t \ a t '
i " : i ' .
:
De tweede stabiliteitsvoorwaarde eist nu, dat al deze determinanten positief zijn: det, ) 0; det, ) 0; det, ) 0, ... det, ) 0 Voldoet het systeem niet aan elk van deze twee voorwaarden, dan is het niet stabiel. I
I n h e t v o l g e n d e d e e l z a l a l s v o o r b e e l d e e n d i e s e l . a g g r e g a a t m e l W a t t - Í e g u l a t e u Í woÍden besDro. k e n .
r{íq.a-"-
(f212,--,./tlrr/A/ql.Itn
Tekenlng van de Wrtt-rogulateur. (Orlglnael ln de Boullon on Wslt colloctlo ysn do Blrmlngham Pubtlc Llbrrílos)
i
I
