H4: Machtsfuncties

Hoofdstuk 4:

Machtsfuncties.

c. De symmetrieas ligt precies tussen de nulpunten: x  3₄ d. f( )  3_{4 8}1

Top: ( ,3₄ ₈1)

V_2.

a. De symmetrieas is de lijn x 1 . De x-coördinaat van punt B is dan -1. b. _{f(3) 2 3 } 2_{   4 3 7 13}

De coördinaten van punt B zouden dan (-1, 13) moeten zijn.

2

f( 1) 2 ( 1)        4 ( 1) 7 13: klopt, dus B ligt op de grafiek van f.

V_3.

a. f(0) 1 _{De x-coördinaat van de top is} 1 2 x   : f( )₂1  3₄ 2 f(x) 1 x x x(x 1) 0 x 0 x 1          b. _{g(x) (2x 3)(3 x) 6     ( 2x}2_{3x 9) 6 2x  } 2_{3x 15} 2 1 2 g(0) 15 g(x) 15 2x 3x x(2x 3) 0 x 0 x 1           

De x-coördinaat van de top ligt bij x  3₄. g( )3₄  161₈

c. Uit het voorschrift _{h(x) (x 4) } 2_{2 zijn direct de coördinaten van de top af te lezen: (4, 2)}

d. k(x)₂1x2₂1x 2 ₂1(x2 x 4) 1₂((x1₂)24 )1₄ ₂1(x₂1)22₈1 _Top: 1 1

2 8

( , 2 )

V_4. De symmetrie-as is de lijn x 4 . Het andere nulpunt is dus (10, 0)

V_5. a. b. R(3, 6) c. S(3, -6) d. M(3, -2) e. R’(3, -10) x y 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 4 5 6 -1 -2

V_6.

a.

b. De grafiek is een hyperbool.

c. y 16

x 

d. Er bestaat geen waarde voor x waarvoor x 0 16  _.

V_7. a. b. (-8; -0,25) c. f( a) 2 2 f(a) a a       

d. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn y x .

V_8.

a./b.

V_9. Symmetrisch in de lijn x 5 _.

V_10. Ik vermoed dat dit niet de juiste tabel is.

x -2 -1 0 1 2 y -8 -16 - 16 8 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 -2 -4 -6 -8 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 2 4 6 8 -2 -4 2

y (x 3)







4

1

y

3

x 3







1.

a. De even machtsfuncties liggen in z'n geheel boven de x-as (behalve voor x 0 ) en de oneven machtsfuncties gaan van groot negatief naar groot positief (net zoals y x 3).

b. Er is echt een duidelijk verschil voor negatieve x-waarden.

c. neg neg pos  en dus negeven pos en

oneven

neg neg.

d. even machtsfuncties: y 0 _{en oneven} machtsfuncties: ¡ .

2.

a. Even machtsfuncties hebben als symmetrie-as de lijn x 0 _. b. De oneven machtsfuncties hebben als symmetriepunt: (0, 0). c. f(x) 3 _{heeft twee oplossingen: x  3 1,71  x 3 1,71}

f(x) 0 _{heeft een oplossing: x 0} f(x) 2 _{heeft geen oplossing.}

d. Voor g en k heeft elke vergelijking één oplossing. Voor h geldt hetzelfde als voor f.

3.

a. Bij de even machtsfuncties heeft de grafiek een symmetrie-as: g(x) en h(x)

b. Alle grafieken gaan door (1, 1) en de even machtsfuncties gaan door (-1, 1). Alle oneven machtsfuncties gaan door (-1, -1).

c. De grafieken van f(x) en k(x) hebben 1 snijpunt met de lijn y 20 _{, en ook 1 met de lijn} y 8_. De grafieken van g(x) en h(x) hebben ieder 2 snijpunten met de lijn y 20 _{. Ze hebben geen} snijpunten met de lijn y 8_.

4.

a. De grafieken gaan allemaal door (0, 0). b. f(0) a 0  3   a 0 0

c. De grafieken gaan allemaal door (0, 0); de grafieken zijn symmetrisch in het punt (0, 0) en de

vergelijking f(x) c _{heeft maar een oplossing.}

5.

a. De figuur bestaat uit 8 kubussen met elk een inhoud van _{r r r r  } 3 _cm3_.

Totale inhoud: _{I 8 r } 3 _cm3_. b. _{O 34 r } 2 x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x2 x4 x3 x5 t y 1 2 3 -1 -2 -3 5 10 15 -5 -10 -15

a=-5 a=-1 a=20 a=3

c. _34r2 _306 2 3 3 r 9 r 3 r 3 I 8 3 216 cm         6. a. _{h(x) x x} 2_ 9 _x2 9 _x11

b. k(x) x 2 x9 en deze kan ik niet als één macht van x schrijven.

7.

a. niet juist: _{x x}3_ 8 _x3 8 _x11 _{d. niet juist: x}5_x5 _x5 _3x5

b. niet juist: x12₃ x12 3 x9 x    e. juist: x15₁₃ x15 13 x2 x   

c. niet juist: _x354_x8 _{kan niet kleiner f. juist: (x )}3 6 _x3 6 _x18

8.

a. Nee, de grafiek stijgt (daalt) enorm snel voor waarden in de buurt van –1 (1).

b. g(x) is een oneven machtsfunctie (lijkt dus op de grafiek van s(x) x 3) die vanwege de grote macht weer enorm snel stijgt.

9.

a. De functie bestaat niet voor x 0 . b. Horizontale asymptoot: y 0 Verticale asymptoot: x 0 c. _{g(x) x x } 1 _1 1 1 x x  _ 10.

a. Ze gaan allemaal door het punt (1, 1).

b. Ze bestaan niet voor x 0 (verticale asymptoot). c. Voor de even waarden van a.

d. x 2 1₂ x  _ 3 3 1 x x  _ 4 4 1 x x  _ 11.

a. x 0 is de verticale asymptoot van f en y 0 _{de horizontale.}

b. De grafiek van f is puntsymmetrisch in (0, 0). Hij ziet er net zo uit als de grafiek van

3 s(x) x_  _. c. f(x) x 5 1₅ x    t y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 f(x)

x f(x)



12.

a. n moet dan wel een even getal zijn. b. _x5 _{ 18 heeft 1 oplossing:} 1 5 x 18  0,56. c. _x6 _{0,8 heeft 2 oplossingen:} 1 6 x 0,8  1,04  x 1,04 13.

a. Voer in y1  5 x5 en y2 170. Met 2nd trace optie 5 (intersect): x 0, 49

b. 1. _x2 _{25 0 2.} 1 2 4 4 x  _x2 _{ 25 x}4 _8

heeft geen oplossing x 1,68  x 1,68

c. Voer in: y1 71x6 en y 2 4481 . Met 2nd trace optie 5 (intersect): x  2 x 2

Lees uit de grafiek af: 71x6 4481 voor   , 2 2,

14.

a. Als het ruimtestation heel snel draait, is de omwentelingstijd dus heel erg klein.

b. 2 2 2 2 200 a 200 t t  

    . Als het station steeds langzamer draait, wordt t steeds groter en de versnelling steeds kleiner.

c. 200₂ 2 9,8 t   2 2 200 t 201 9,8 t 14,2 sec.     15. a. 1 2 f(x) x  x b. 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 x x x_{  }x   _x c. D : 0,f D : ¡g

d. De grafiek van f(x) en g(x) lopen in de buurt van de oorsprong verticaal. 16. a. f(x) g(x) _voor x 0  x 1 b. f(x) g(x) _c. f(x) 4 _d. g(x) 2 0 x 1  _{x 4} 3 _{64 x 2} 4 _16 17.

a. Ja klopt, als A groter wordt, wordt 1 3 A ook groter. b. c. 1 3 28,6 A 300 Voer in: 1 3 1

y 28,6 x en y2 300. Dan met 2nd trace (calc) optie

5 (intersect): x 1154 mile2 A S 500 1000 1500 2000 2500 -500 100 200 300 400 500 600 -100 t y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 -1 f(x) g(x)

18. a. (1) 4_{16 2 (2)} 3 8 2 27 3 (3) 5  1 1 b. 4 1 3 3 3 4_{8 8 (8 )}4 _{16 en ( 8)}3 4 _24 _16 c. 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3_{5 5 5 5 5 5}3 _3 _{   5}   _5 d. 5_{23 1,87} 9_{213 1,81} 6_{0,45 0,88} 19. a.

-b. Vul één punt in: 4329 c 7781,5 c 4329_1,5 0,2 778     c. _{88 0,2 A } 1,5 1 1,5 1,5 A 441 A 441 57,9   

Mercurius ligt dus 57,9 miljoen kilometer van de zon. d. Omlooptijd is 365 dagen. A 149,3 _{miljoen km.}

20.

a. _{HG 0,012 1 } 0,67 _{0,012 kg.}

b. _{0,012 LG} 0,67 _0,75

Voer in: y10,012 x 0,67 en y2 0,75. Dan met 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): LG 479 kg.

21. a. (x )5 15 x515 x b. _x3 _13 1 3 3 x 13  13 2,35 c. _3x6 _30 1 1 6 6 6 x 10 x 10 1, 47 x 10 1, 47         d. -22. a. _x20_{1000 b. x}3 _{6 c.} 2 3 x 4 1 1 20 20 x 1000 1, 41  x 1000  1,41 1 3 x 6_  _0,55 3 2 x 4 8 23.

a. Voor de even waarden van a: x2 3  x  3  x 3

b. 1

6

x _5

6

x 5_  _0,000064

c. De grafiek van _x654 _{ziet er ongeveer zo uit als die van x}2 _{(en dus in z’n geheel boven de x-as)}

24. a. _5x5 _{160 b. x}2 _{25 0 c.} 1 6 1 7x  448 1 5 5 1 2 x 32 x 32      2 x 25 geen oplossin g  _{ } 1 6 6 1 64 1 64 x x ( ) 2 x 2          d. 4₄ 1₂ x  e. 3x4  20 f. 3x5  20 1 2 1 1 4 4 4 4 x 8 x 8 x 8       14 41 4 2 3 2 2 3 3 x 6 x (6 ) x (6 )      15 5 2 3 2 3 x 6 x (6 )     25.

a. De grafieken snijden elkaar in drie punten. b. _8x5 _x7 5 7 5 2 5 2 8x x 0 x (8 x ) 0 x 0 x 8 x 0 x 2 2 x 2 2 (0, 0) ( 2 2, 1024 2) (2 2, 1024 2)                  

c. Je krijgt dan alleen de oplossingen x 2 2 en x 2 2 . De oplossing x 0 ben je

kwijtgeraakt. Dat komt doordat je beide kanten deelt door _x5_{. Maar dan mag x}5 _{niet 0 zijn,}

want je mag niet delen door 0!

26. a. _x6 _4x4 _{b. 3x}13 _9x8 _c. 1 9 5 2x 5x 0 6 4 4 2 4 2 x 4x 0 x (x 4) 0 x 0 x 4 0          13 8 8 5 8 5 3x 9x 0 3x (x 3) 0 3x 0 x 3 0             5 4 1 2 5 4 1 2 x (x 10) 0 x 0 x 10 x 0 geen oplossing          x 0  x  2 x 2 1 5 5 x 0  x   3 ( 3) d. _5x3 _80x7 _e. 1 9 5 2x 5x 0 f. 3x2 12 3 7 3 4 3 4 5x 80x 0 5x (1 16x ) 0 5x 0 16x 1         x 0 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 x 4 x 4 x x x              4 1 16 1 1 2 2 x 0 x x 0 x x          27.

a. f(0,01) 10000, 01 _en f( 0,01) 9999,99  _{. Als x klein is, dan wordt de term x}12 heel groot.

b.

c. Voor grote waarden van x is _x12 heel erg klein (vrijwel 0, naarmate x groter wordt) en is dus

28.

a. Voer in: y1 x3 _x12 , y2  x3 en y3  _x12

2nd _{window (TBLSET) TblStart=-5 en Tbl 0,25}

b. Voor grote positieve of negatieve waarden van x is y3 heel

erg klein en is de term _x3 _{de bepalende factor. Voor}

waarden in de buurt van x 0 wordt y2 ook bijna 0 en

juist y3 heel erg groot. Voor deze x-waarden geldt dan:

2 1 g(x) x  _. 29. g(x) _x32   _en 2 h(x) x 30. a/b/c. Voor

x-waarden in de buurt van x 0 wordt de machtsfunctie met negatieve exponent heel erg groot (omdat de noemer heel erg klein wordt; vrijwel 0). Er geldt dan:f(x) 1

x  _, g(x) 1₂ x   _en 2 1 h(x) x  _.

Voor grote waarden van x wordt juist de machtsfunctie met negatieve exponent heel erg klein. De functies f(x), g(x) en h(x) gaan dan lijken op de grafieken van resp. x , x en x2 3 3

31.

a. Voor grote waarden van x wordt _x3 _{heel erg groot, en daarmee} a₃

x vrijwel gelijk aan 0 voor alle

waarden van a. Dus f(x) x3 a₃ x3 x

   _{voor grote waarden van x.} b. x3_xa3 0 3 3 6 a x x x a    

Deze vergelijking heeft alleen oplossingen (twee als a 0 ) als a negatief is. c. Voor x waarden in de buurt van 0 is de term _x3 _{vrijwel gelijk aan 0. De factor}

3 a

x beïnvloed het

gedrag van de grafiek van f. Dus a beïnvloed het gedrag van de grafiek dicht bij de y-as.

32.

a. Voor alle waarden van x is _x42 een positief getal. Er wordt dus altijd een positief getal bij x

opgeteld. b. x _x42 0 c. g(x) x  _x42 x y1 y2 y3 -5 125,04 125 0,04 -4,75 107,22 107,17 0,044 -4,5 91,174 91,125 0,049 -4,25 76,821 76,766 0,055 … … … … -0,5 4,125 0,125 4 -0,25 16,016 0,016 16 … … … … x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 h(x) f(x) f(x) g(x)

1 3 2 3 x x x 4 x 4 1,59        

33.

a. De grafiek heeft een horizontale asymptoot (y 0 _{) en een verticale asymptoot (x 0} ). De grafiek van f is bovendien symmetrisch in de y-as.

b. g(x) 0 2 4 2 4 4 2 2 2 2 2 1 1 x x x x x x 0 x (x 1) 0 x 0 x 1 x 0 x 1 x 1               

c. Voor alle waarden van x is _x14 een positief getal wat van _x12 afgetrokken wordt.

2 4 2 1 1 1 g(x) h(x) x x x     34. a. b 2b h 36   b 2,5 2 2 2 36 18 2b b 2b h 36 h     2 18 2,5 2 h 2,88 K 2,5 5 2 2,5 2,88 2 5 2,88 55,7 dm            b. K b 2b 2 b h 2 2b h 2b         2 6b h 2b  26b_b182 2b2108_b

c. Natuurlijk b 0 en als b 12 wordt de hoogte kleiner dan 2,5 cm (zinvol?)

d. Als de breedte vergroot wordt van 10 naar 11 dm neemt K toe met ongeveer 41 dm2_{. Neemt de}

breedte toe van 17 naar 18 dm, dan neemt K toe met ongeveer 70 dm2_.

e. Voer in: 2 108

1 x

y 2x  _{. Met 2}nd _{trace (calc) optie 3 (minimum): x 3}

K is minimaal 54 dm2 _{bij een doos met afmetingen: lengte: 6 dm bij breedte: 3 dm bij hoogte: 12}

dm. 35. a. 1 3 Z 0, 4 2400_{ }  _0, 03 _ml/kg. T_{1 km }0,03 2400 73,6_{  ml en} T_{5 km }368 _ml. b. 1 3 Z 0, 4 20_{ }  _0,15 _ml/kg. T_{1 km }0,15 20 2,98_{  ml en} T_{5 km }14,9 _ml. c. 1 3 Z 0, 4 L_{ }  _0,08 1 3 0,08 0,4 3 L 0,2 L 0,2 125 kg       d. 1 3

8 _0,5_{. Dus het zuurstofverbruik van de geit is 2 keer zo klein.}

e. 1

3

Z 0, 4 0,032_{ }  _1,26 _ml/kg 1

100 meter 10

T  1,26 0,032 0,004  _ml. Kleine dieren hebben een laag zuurstofverbruik.

36.

a. Voor a 0 en a 8 zijn er geen nulpunten. b. f(x) 4₂ a₄ 4x₄2 a₄ 4x2₄ a x x x x x       c. f(x) 0 2 2 1 4 4x a x a  

Deze vergelijking heeft geen oplossingen als a 0 . d. De nulpunten zijn x 3 en x 3 . 1 4 9 a a 36   e. f. a 1₂:_{maximum is 8 voor} 1 2 x  a 1 : _{maximum is 4 voor} 1 2 x 2 a 4 : maximum is 1 voor x 2

g. Voor de gekozen waarden van a geldt de bewering.

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5

T_1.

a. f(x) is symmetrisch in de lijn x 0 en g(x) is puntsymmetrisch in het punt (0, 0). b. Nee, h(x) is geen machtsfunctie.

c. _{k(x) f(x) g(x) x x  } 4_ 7 _x4 7 _x11 T_2. a. f(x) 4 _b. f(x) 100 1 1 4 4 4 4 2 x 4 x 2 x 2 x 2            1 1 4 4 4 4 2 x 100 x 98 x 98 x 98            0,32;0 0;0,32  

c. _x4 _{is groter dan 0 voor alle waarden van x, dus f(x)}

is groter dan 2. T_3. a. 1 6 S 40 0,75  38 vogelsoorten en 1 6 S 40 1500  135 vogelsoorten. b. S 50 1 6 1 6 6 40 A 50 A 1,25 A 1,25 3,81 vierkante mijl     

c. Neem voor de oppervlakte 10A: 16 16 61 61 16 16

10A A

S 40 (10A) 40 10 A  10 40 A  10 S Het aantal vogelsoorten wordt dan ongeveer 1

6

10 1,5 keer zo groot.

d. De grafiek van S is afnemend stijgend. Dat wil zeggen dat bij grote waarden van A de toename kleiner is. Dus bij het kleine gebied is de stijging groter.

e. 1 6 S 40 A  1 6 1 40 6 6 6 10 6 A S 0,025 S A (0,025 S) 0,025 S 2,44 10 S            f. 61 1 16 1 16 16 16 2,56 2,56 S 40 A  40 ( O) 40 ( ) O 34,2 O T_4. a. _x3 _{ 12 c.} 14 2 3 x  d. 14 2 3 x  1 3 x 12  2,29 x ( ) 2₃ 4 0,20 x ( ) 2₃ 4 5₁₆1 b. _3x2_2x5 _{0 e. x}5 _{ 7x}3 _{f. 3x}2 _x6 1 3 2 3 2 3 1 2 x (3 2x ) 0 x 0 2x 3 x 0 x ( 1 )           5 3 3 2 2 x 7x 0 x (x 7) 0 x 0 x 7 geen oplossin g         1 1 4 4 2 6 2 4 4 3x x 0 x (3 x ) 0 x 0 x 3 x 3 x 3            g.

x

_{ }

x



x

 

8

en x



0

x

0

 

T_5. a. f(x) 0 2 2 3 1 x 0 x 1 x x x 1 x 1        

b. Voor grote waarden van x wordt de term 1x vrijwel 0, dus f(x) x 2 _x1 x2

c. Voor waarden in de buurt van x 0 _{wordt de bepalende factor de term} 1_x.

T_6.

a. Als de waarde van x toeneemt, wordt _{2500 x} 1 _{kleiner (vrijwel 0) en komen de functiewaarden}

steeds dichter bij de 2 te liggen.

b. _{2500 x} 1 _{is voor alle positieve waarden van x groter dan 0. Dat wil dus zeggen dat de}

functiewaarden dus altijd groter dan 2 zijn.

c. f(x) 4 f(x) 6 1 1 2500 2 2 2500 x 4 2500 x 2 x 1250          1 1 2500 4 2 2500 x 6 2500 x 4 x 625          4 f(x) 6 voor 625 x 1250    T_7. a. y x b. y 1 x   T_8. a. _x2 _10

x  10  x 10 hieruit volgt voor g(x) 10 : x 3    10  x 3  10 b. h(3) 25 2 h(3) (3 a) 25 3 a 5 3 a 5 a 2 a 8              2 8 h (4) 36 en h (4) 16 _  c. _x2 _{(x 3)} 2 1 2 x x 3 x x 3 2x 3 x 1          