Hoofdstuk 8:
De afgeleide.
V_1.
a. 100 meter snoer weegt 10,8 2,8 8 kg. b.
c. Per 100 meter snoer neemt het gewicht met 8 kg toe. Dat is dan 0,08 kg per meter.
d. Het snoer alleen weegt 6, 2 2,8 3, 4 kg. Dat is dan 3,4
0,08 42,5 m snoer.
e. startgetal: 2,8 en het hellingsgetal: 0,08
V_2.
a. Voer in: y10,5x2 en kijk in de tabel. b.
c. De y-coördinaten verschillen dan 3. d. Het verschil tussen de x-coördinaten is 40.
V_3. a. b. 1, 2x 6 x 5 d. y 0, 4x b 2, 2 11 5 0 x x en y 14 0, 4 22 8,8 22,8 b b b c. l y: 1, 2x12 y 0, 4x22,8 V_4.
a. Als de x 4 groter wordt, wordt de y 3 groter. Dus als de x-coördinaat met 1 toeneemt, wordt de y-coördinaat 3 4 groter. b. 3 4 y x b gaat door (4, 9): 3 4 3 4 9 4 3 6 6 b b b y x V_5. a. 8 2 2 4 1 a b. 9 2 2 3 7 a c. y3 d. 78 12 22 11 2 a 8 2 6 6 y x b b b y x 7 2 7 3 2 21 23 7 23 y x b b b y x 2 78 2 22 78 44 34 2 34 y x b b b y x V_6. a. y4x b b. y 0,5x b c. 2 3 y x b 7 4 10 7 40 47 4 47 b b y x 5 0,5 3 5 1,5 3,5 0,5 3,5 b b y x 2 3 1 2 3 3 2 2 3 2 3 1 1 1 b b y x lengte in m 0 20 40 60 80 100 gewicht in kg 2,8 4,4 6 7,6 9,2 10,8
lengte (in meter) G ( in kg) 0 20 40 60 80 100 0 3 6 9 12 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5
V_7.
a. In 6 uur wordt de kaars 20 cm korter. De lengte van de kaars wordt 20 1
6 33cm korter per uur. De kaars begon dus met een lengte van 1 2
3 3 20 2 3 26 cm. b. 2 1 3 3 26 3 L t V_8. a. b. 2 3 : 4 m y x c. 2 3 : 4 n y x
d. Bij spiegeling in de lijn y x worden de variabelen x en y verwisseld: 2 3 4 x y 2 3 1 2 4 1 6 y x y x V_9. a. 2x3y18 y10 2 x 2 3 3 2 18 6 y x y x
b. met de x-as: met de y-as: 0 2 18 9 (9, 0) y x x 0 3 18 6 (0, 6) x y y
c. Bij m zijn de coördinaten van de snijpunten met de assen: (5, 0) en (0, 10)
d. 2 3x 6 10 2 x 2 3 2 16 6 2 x x en y V_10. a. x ( 2x 3) 9 b. y2x6 6 6 15 x x en y 3 2((218 6) 3) 2(2 9) 4 18 x x x x x 6 6 x en y c. 1 2 2 y x d. y2x8 1 1 2 2 1 2 3((2 ) 2) 3 ( ) 5 5 10 7 x x x x x x en y 3 4 5 5 3( 2) (2 8) 4 0 3 6 2 8 4 5 18 0 3 x x x x x x en y V_11. a. 1 2 2(x2) 2x4 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 4 4) 2 4 4 6 ( 8 12) ( 2)( 6) 0 2 6 (2, 0) (6, 8) x x x x x x x x x x x en b. f(4) 1(4 2) 2 1 4 2 x y 2 4 6 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 -2 -4 l m n
c. 2(x2) 2x6 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 6 4 8 ( 8 16) ( 4) 0 4 x x x x x x x x x Er is maar één oplossing. 1.
a. De grafiek is het steilst in het 6e uur: van t5 tot t6 uur. b. Van 3 tot 4 uur is de temperatuur met 3,5o afgenomen. c. Dan is er sprake van een afname.
d. Om 7 uur is de temperatuur 2oC. (linker grafiek). In de volgende uren neemt de temperatuur toe met 2oC en 1oC. De temperatuur om 8 uur is 4oC en om 9 uur 5oC.
2.
a. b.
c. Phil was op z’n 9e verjaardag 126 3 6 144 cm.
leeftijd in jaren 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6
3. Voer in: y2 y x1( )y x1( 1) en kijk in de tabel. a. b. c. 4. a. b. De langste staat is 55.
c. De toename per 10 km is constant 50. 200 30 8 50 430
T oC.
d. De temperatuur heeft een maximum als het toenamediagram van positief (een stijging) overgaat in negatief (een daling):
Dit gebeurt bij h55.
5.
a. Elyse is 15 13 10 9 8 55 cm gegroeid.
b. We weten nog niet hoe lang Elyse was toen ze werd geboren. c. De staafjes worden steeds kleiner.
d. 112 55 57 cm.
e. In de volgende 5 jaar groeide Elyse 35 cm. Dat is 7 cm per jaar. Het toenamediagram heeft dus nog 5 staafjes van 7 cm.
6.
a. Annika begint rustig, versneld iets, maar kan dat niet tot het eind toe volhouden. b. De grafiek van Bea ligt boven die van Annika.
c. In de eerste 10 minuten legde Bea bijna 5 km af. Ze reed gemiddeld iets minder dan 0,5 km/minuut d. 40 69 s t 7. a. s(15) 5,06 , s(30) 14,73 en Vs s (30)s(15) 9,67 Tussen de 15e en 30e minuut heeft Annika 9,67 km afgelegd. b. 9,67 15 0,64 km/minuut. c. (20)20 15(15) 0,57 s s km/minuut en (16) (15) 16 15 0,53 s s km/minuut d. Ongeveer 0,5 60 30 km/uur. h (in km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 T (in oC) 0 -55 -60 -30 0 5 -15 -40 -70 -65 -35 -10 30 80 130 toename -55 -5 30 30 5 -20 -25 -30 5 30 25 40 50 50 x 0 1 2 3 4 5 6 toename R 2 2 2 2 2 2 x 0 1 2 3 4 5 6 toename K -2 -1,6 -1,3 -1,0 -0,8 -0,7 x 0 1 2 3 4 5 6 toename h 5 3 1 -1 -3 -5
8. a. b.
1, 4 (4)4 1(1) 5,253 1,75 f f y x 9. a.
(1) (0) 1 0 0,1 f f 3,5 f x
(4) (1) 5 4 1 6 1, 4 f f f x
(9) (4) 9 4 4,9 f f 0,3 f x b. (9)9 1(1) 0,5 f f a 10.a. f(2) 0 f(0). Het differentiequotiënt is 0 omdat f(2) f(0). b. Bijvoorbeeld op de intervallen
2, 4
en
5,7
. 11. a.
0 3 2 1 1, 2 3 f x
1,3 13 13 2 f x
1, 4 04 13 1 f x Nee, ze worden juist kleiner.b. f
3,3.5
0,5 x
3,3.1
0,1 f x
3,3.05
0, 05 f x
3,3.01
0,01 f x c. De differentiequotiënten worden steeds kleiner en naderen naar 0.De grafiek van f heeft een top (3, 1), en daar is de helling 0.
12. a. 1 3 (1, 3 ) A en B(3, 2) b.
2 313 2 3 1 3 1,3 f x c. De helling van l is 313 1 1 33 en de helling van m is 2 3 d. e. De helling van f in (3, 2) is 0. 13.a. Ook Carel legt de 50 km in 30 minuten af. Zijn gemiddelde snelheid over de hele rit is dus ook 100 km/uur.
b. De grafiek van Carel wijkt iets af van de grafiek van s.
c. De grafiek van Carel moet dan steiler lopen dan s; dus bijvoorbeeld
4,6
of
14,18
.14.
a. f
1,1.001
1,9995 x
. De helling van de grafiek van f in het punt (1, 4) is 2. b. l y: 2x b x 1 4 f(x) 6,25 1 interval
2,3
2.5,3
2.99,3
3,3.01
2.99,3.01
differentiequotiën t -0,667 -0,417 -0,010 0,010 0,00004 2 1 2 2 b b b l y: 2x2
15.
a. x32x10x16 Voer in: 3
1 2
y x x en y2 10x16 intersect: x 4 x2 Er zijn twee snijpunten (-4, -56) en S(2, 4).
b. De helling van de grafiek van g is overal 10. c. f
1.99, 2
9,9401 x
2, 2.01
10,0601 f x
1.99, 2.01
10,0001 f x De helling van de grafiek van f is ook 10. De grafieken raken elkaar in S.
16. Voer in: 1 6 1 y x
en y0 nDeriv y x x( , , )1 nDeriv staat bij math optie 8 en berekent de differentiaalquotiënten van de functie y1.
In de tabel vind je de hellingen van de g(x). De helling in (7, 1) is ongeveer -0,167
17.
a. f
2; 2,001
18,006 x
. De helling van de grafiek van f in het punt (2, 16) is 18. b. Het hellingsgetal van l is gelijk aan de helling van f in
2
x , en die is -6.
18.
a.
b. De snelheid van de vuurpijl op t3 is 0. Tot dat tijdstip is de vuurpijl omhoog gegaan en staat op het punt om naar beneden te vallen.
2.99,3.01
0 h t 19. a. b. 0,01 0,001 0,0001 0,00001c. Hoe kleiner Vx hoe nauwkeuriger de benadering.
20. a. f(3Vx) (3 Vx)2 (3 Vx)(3Vx) 9 6 Vx(Vx)2 b.
2 2 2 (3 ) (3) 9 6 ( ) 9 6 ( ) 6 ( ) 3,3 3 3 y f x f x x x x x x x x x x x x x V V V V V V V V V V V V V 6 x VAls Vx heel klein wordt komt y x
in de buurt van 6. De helling van de grafiek van f in (3, 9) is 6. 21. a. f(2Vx) 5 (2 Vx) 3 10 5 Vx 3 13 5 Vx b. f
2, 2 x
13 5 x 13 5 x 5 x x x V V V V V t h 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 interval
2, 2.01
2, 2.001
2, 2.0001
2, 2.00001
differentiequotiënt 4,01 4,001 4,0001 4,00001c. Het differentiequotiënt is onafhankelijk van Vx. De helling in (2, 13) is 5.
d. De helling van de grafiek van f (een rechte lijn) is 5. Het differentiequotiënt op elk willekeurig interval is 5. 22. a. f
0.5, 0.5001
1,001 x b. (0, 0) zijn de coördinaten van de top. De helling daar is 0. c. f
2, 1,999
3,999 4 x 23. a. voer in: 2 1 y x en y2 nDeriv y x x( , , )1 . b. y2x 24. a. De helling in (-1, -4) is 9. b. In de punten (-4, -112) en (6, 108) is de helling 72. c. (0, 0) en (2, -4).d. Dat zijn de toppen van de grafiek.
25.
a. De hellingen worden steeds 2 groter. b. De helling voor x 10 is 2 10 20 c. y2x d. 2x7 1 2 3 x In het punt 1 1 2 4 (3 ,12 ) is de helling 7. 26. a. De helling in (-5, 25) is 2 5 10.
b. f '(7) 14 en f '( 7) 14. De grafiek is symmetrisch in de y-as. c. f '(2,9) 5,8
27.
a. De helling van de lijn is 1. b. f '( 2) 1 en f '(3) 1 c. f x'( ) 1 28. a. f x( Vx) ( xVx)3 (xVx x)( Vx)2 (xVx x)( 22x xV (Vx) )2 3 2 2 ( )2 2 2 ( )2 ( )3 3 3 2 3 ( )2 ( )3 x x x x x x x x x x x x x x x x V V V V V V V V b. f x( Vx) f x( )x33x2Vx3 (x xV )2(Vx)3x3 3x2Vx3 (x xV )2(Vx)3 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) -112 -54 -20 -4 0 -2 -4 0 16 50 108 helling 72 45 24 9 0 -3 0 9 24 45 72
c. 3 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) 2 2 3 3 ( ) f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x V V V V V V V V V V V V
d. Als Vx naar 0 nadert, dan wordt f x'( ) 3 x2.
29. a. klopt. b. c. f x'( ) 10 x9 30. a. 4 '( ) 5 f x x en 19 '( ) 20 g x x b. f '(1) 5 c. g'( 1) 20 d. f x'( ) 20 4 4 5 20 4 2 2 ( 2, 4 2) ( 2, 4 2) x x x x en 31. a. f x'( ) 3 x2 en g x'( ) 6 x5 '(1) 6 3 '(1)
g f . De helling van g is groter, dus de grafiek van g loopt steiler.
b. 1 3 2 4 '( ) f en 1 3 2 16 '( ) g c. f x'( )g x'( ) 1 3 2 5 2 5 2 3 2 3 3 1 2 3 6 3 6 3 (1 2 ) 0 3 0 2 1 0 0,5 0,79 x x x x x x x x x x x 32. a.
b. Door een vermenigvuldiging van f ten opzichte van de x-as met factor 3.
c.
d. Die is 3 keer zo groot: g'(1) 6 e. g'(2) 3 f '(2) 12 f. g x'( ) 3 f x'( ) 3 2 x6x f(x) x 2 x 3 x 4 x f'(x) 1 2x 3x2 4x3 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2 4 6 8 10 12 14 -2 f(x) g(x) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f'(x) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 g'(x) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
33.
a. Door de grafiek van f 7 omhoog te verschuiven. b. De hellingen veranderen niet.
c. g x'( ) f x'( ) 2 x
34.
a. zie plaatje hiernaast.
b. 37,5 15 15 : 2,5 t v m/s 40 : 0,83 t v m/s c. s t( )b t( )p t( ) d. s t'( )b t'( )p t'( ) 35. a. 2 2 '( ) 20 3 60 f x x x b. 4 2 4 2 '( ) 20 5 3 100 3 f x x x x x c. 5 5 '( ) 15 6 80 f x x x d. 0 '( ) 2,5 1 5 2 2,5 10 g t t t t e. 3 3 '( ) 0 2,5 4 10 h p p p 36. a. ds 0 1 3t2 3t2 dt b. s t( ) (10 ) t 4 104 t4 10000t4 3 3 10000 4 40000 ds t t dt c. 1 8 1 8 2 2 ( ) ( 6) 3 s t t t 1 7 7 2 8 0 4 ds t t dt d. s t( ) ( t 5)(t 5) t2 10t25 ds 2t 10 dt 37.
a. De grafiek van f is een horizontale lijn. De helling is in elk punt 0. b. f x'( ) 0
c. Ja: f x'( ) 5 0 x10
38.
a. Na 3,5 uur heeft ze s(3,5) 29, 75 km afgelegd. Haar gemiddelde snelheid is 29,753,5 8,5 km/u.
b. s t'( ) 3 t2 9t 12 s'(1) 6
en s'(2) 6 c. Na 1 uur en na 2 uur lopen liep ze met dezelfde snelheid. d. Haar snelheid was minimaal 5,25 km/u op tijdstip t1,5
39.
a. Voer in: y10,5x43 en y2 16x. Intersect: x 0,19 x 3,11 b. f x'( ) 16
3
c. De lijn moet dan door punt P gaan: 11 16 2 11 32 21 p p 40. a. 2 2 '( ) 1 f x x x b/c.
De waarden komen overeen met de waarden van 2 2 1 '( ) f x x x d. De helling in de buurt van x0 is heel erg groot en negatief.
41. a. 1 12 2 1 '( ) 2 f x x x b. Klopt. 42. a. g x( )x2x2 3 3 2 '( ) 2 2 2 g x x x x x 3 2 8 4 '(2) 4 3 g b. 3 4 3
y x b gaat door punt 1 4 (2, 4 ) P 3 1 1 4 4 2 1 4 3 1 4 4 4 3 2 7 3 3 3 b b b y x Voer in: 1 2 2 1 y x x
. Plot de grafiek en dan 2nd PRGM (draw) optie 5 (Tangent) 2 enter… c. De helling is 0 in de toppen van de grafiek. De coördinaten van de toppen zijn: (-1, 2) en
(1, 2).
De vergelijking van de raaklijnen is y2.
43. a. '( ) 7 2 f x x en 7 3 4 4 '(4) 1 f b. 3 4 9 1 4 b 7 b 3 4 2 1 2 b y x 44. a. f x'( ) 2 x3 b. 1 2 '( 1) 2 ( 1) 2 f en f 1 2 1 2 1 2 1 2 '(1) 2 (1) 2 2 2 1 2 4 2 4 f en f b b b y x 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 4 2 4 b b b y x x -3 -2 -1 0 1 2 3 f'(x) -0,111 -0,25 -1 - -1 -0,25 -0,111
45. a. f x'( ) 3 x212x15 '(0) 15 15 f y x b. x36x215x 15x 3 6 2 2( 6) 0 0 6 (0, 0) (6, 90) x x x x x x en 46. a.
1,001 1 (3 9) (3 9) 1,1.001 3,30 0,001 f x b. y3,30x b 6 3,30 1 9,30 3,30 9,30 b b y x c. -47.a. Plot de grafieken, zoom in en zie … de lijn raakt de grafiek niet.
b. Er zijn drie raaklijnen aan de grafiek van f evenwijdig aan de lijn y 10x. c. f x'( ) 4 x312x2 '( 1) 16 16 5 16 1 16 11 16 11 f y x b b b b y x 48. a. '( ) 1 4 1 2 0 2 f x x x 2 1 2 4 x x x
b. Bij het nulpunt van f' heeft f een minimale waarde.
49. a.
2 2 3,5 0 0,3.5 3,5 3,5 d t m/s. b. d t'( ) 2 t c. Met 7 m/s. t (in s) 1 2 3 3,5 v (in m/s) 2 4 6 7d. De gemiddelde snelheid is 3,5 m/s. In 3,5 seconde heeft hij dus 12,25 m afgelegd. 12, 25 7 3,5 24,5 12, 25 7 12, 25 b b b d t e -50. a.
4,6
(6) (4) 0,67 6 4 dr r r dt cm/s. b. '( ) 3 2 r t t r'(4) 0,75 cm/s. c. r(4) 1 3 4 7 2 7 49 O cm2. d. O r2 (1 3 )t 2 (1 6 t9 )t 2 1 2 3 '( ) ( 9) '(4) 10 / O t t O cm s Of bereken het differentiequotiënt van O op het interval
4, 4.001
51.
a. f(5)g(5) 250 125 125
b. Als je de lijn naar links verschuift wordt de afstand tussen C en D kleiner. Verschuif je de lijn naar rechts, dan wordt die afstand eerst groter maar daarna ook weer kleiner.
c. a x'( ) 20 x3x2 d. a x'( ) 0 2 3 (20 3 ) 0 0 3 20 0 6 x x x x x x Voor 2 3 6 x is de afstand CD maximaal. 52. a. O50 90 4 x2 4500 4 x2 b. I x (50 2 )(90 2 ) x x x(4500 280 x4 ) 4x2 x3280x24500x 50 2 0 2 50 25 x x x Domein: 0, 25 c. I x'( ) 12 x2560x4500 2 '( ) 0 12 560 4500 0 10,32 36,35 ABC formule I x x x x x
53.
a. Hoe meer bescherming hoe hoger de kosten om te beschermen: de apparatuur wordt geavanceerder en duurder.
b. Naarmate de bescherming toeneemt, neemt de kans op diefstal af en daalt S dus. Men probeert nog wel te stelen, maar het gaat moeilijker.
c. Voor "volledige" bescherming nemen de kosten te snel toe.
d. Voer in: 2 3
1 42000 800 4 0,1
y x x x en bereken het maximum: x40. e. Geen enkele bescherming: S(0)B(0) € 42000,
€19200,-T_1.
T_2.
a. R(15)R(13) 320 . Met 2 extra machine's neemt de weekomzet toe met €320000,-en als alle machine's draai€320000,-en met ( (16)R R(13)) 1000 € 432000,
b. R
13,15
160 Q duizend euro/machine.
13,16
141 R Q duizend euro/machine. c. 1 machine bijplaatsen: R 57 Q 2 machine's bijplaatsen: 31 R Q en 3 machine bijplaatsen: R 3 Q T_3. a. (2 ) (2) 1 1 2 2 2 2 2(2 ) 2(2 ) 2(2 ) x x f x f x x x x V V V V V V V b. (2 ) (2) 1 4 2 f f x f x x x V Vc. Als Vx naar 0 nadert, komt het differentiequotiënt steeds dichter bij 1 4 .
T_4. Voer in: y1 5x11, y2 0, 4x en y0 nDeriv y x x( , , )1 . Bereken het snijpunt van y2 en y0: x3,043
T_5. a. f x'( ) 2 x3 f '(1) 2 b. y2x b gaat door 1 2 (1, 2 ) P want 1 2 (1) 2 f 1 2 1 2 1 2 2 2 1 4 2 4 b b y x T_6. a. 19 '( ) 0, 2 2 f x x b. 2 2 ( ) (4 ) 4 16 4 s t t t s t'( ) 32 t c. 2 3 2 ( ) ( 5)( 5) 5 5 25 H m m m m m m 2 '( ) 3 10 5 H m m m d. 2 3 2 ( ) ( 1)( 2) ( 3 2) 3 2 h x x x x x x x x x x 2 '( ) 3 6 2 h x x x T_7. a. 1 2 ( ) 5 5 5 N t t t t 2 3 2 3 5 10 '( ) 5 5 10 5 N t t t t t b. 1 2 ( ) 10 98 12 A u u u '( ) 10 6 112 5 6 2 A u u u u u u c. 4 6 ( ) 3 5 g x x x 5 7 5 7 12 30 '( ) 12 30 g x x x x x tijd 10 11 12 13 14 15 16 aanta l 600 300 200 100 400 500 400
T_8. a. s t'( ) 3 15t s'(0) 15 m/s = 54 km/u b. s'(2) 9 m/s en s'(4) 3 m/s c. s t'( ) 0 3 15 5 t t
Na 5 seconden staat de auto stil. In die 5 seconden legt hij nog s(5) 37,5 m af. Hij staat 12,5 m voor het stoplicht stil.
T_9.
a.
b. Er zijn twee raaklijnen aan de grafiek door (0, 0). c. In het raakpunt zijn de functiewaarden aan elkaar gelijk
en ook de hellingen. d. a f x'( )x 2 2 1 2 2 1 2 2 4 4 8 2 2 2 2 x ax x x x x a x a T_10. a. 1 15 75 ( )
f x x c waarbij c een constante is. b. De grafiek van f heeft een buigpunt voor x a .
x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1
