Mathematische modellen ter bepaling van het mechanisch gedrag van het femur

(1)

Mathematische modellen ter bepaling van het mechanisch

gedrag van het femur

Citation for published version (APA):

Brekelmans, W. A. M., Laaper, W. J. M., & Sanders, A. J. (1973). Mathematische modellen ter bepaling van het mechanisch gedrag van het femur. (DCT rapporten; Vol. 1973.007). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1973

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN

NEDERLAND

AFDELING DER WF,RKTUIGBOUWKUNDE

VAKGROEP DER TECHNISCHE MBC

T.H. Report

TECHNOLOGICAL UNIVERSITY EINDHOVEN

KETHERLAND S

D E P A R a N T OF ihtECUNICAL ENGINEERING

OF ENGINEERING MECMNICC

~ a t h e m a ~ ~ s c h e modellen ter bepaling van het ~ e c h gedrag van ~ ~ ~ ~het ~ femur. h

WE

-

73-7

(3)

Literatuur 1 , Inleiding 2, Modelvorming 3, De geometrie 4 , Het materiaal 5. De belastin

6, K ~ a ~ ~ i t a ~ ~ ~ v ~ recultaten en vergelijking der modellen

1

2 3 9 12 a3

(4)

----

^ I . -- 3 . -Brekelmans, W,AöM, and Poort, H.W. and- S l o o f f , T e J 3 ' , R , -

A new method to analyse t h e mechanical ~ ~ h ~ v i o u ~ OP s k e l e t a l p a r t s , ~ c t a 0 r ~ h o ~ a e ~ i ~ Scandinavia,

4 3 (1972), p p 3011

-

3 1 7

6, Evans, F.G, and Llssner, H e R e

S t r e s s c o a t deformation s t u d i e s of t h e femur under statie vertical loading

Anatomy Rec,,

108 (19481, p p 190

-

200,

(5)

The Technical University of Norway, TrsndheBm, Norway 1969,

8. Inman, T.

Functional aspects of the abductor muscles of the hipa J. Bone and %t. S ~ r g o ,

23 (19471, pp 607

-

619

13. McLeish, W,D, and Charnley, J.

i i b d u c t k o ~ ~ forces in the one legged stance, Journal of Baomeckanacs,

3 (1970), p p 191

-

209. 14. Rydell, M e

Forces acting on the femoral head Acta Orthopaedica Scandinaviea,

(6)

15. S e l d i n , E.D. and Hirsch, C .

Factors affecting the determination of the physical p r o p e r t i e s of femoral corical bone.

Acta Orthopaedica Scandbnavlca, 3 7 ( 1 9 6 6 ) , p p 29-48

16, Smith, J.W. and Walmsley, R.

Factors affecting t h e elasticity of bone, American JQUKnal o f ~ ~ a t o m y ~

93 ( 1 9 5 9 ) , pp 503

-

523 17, Timsshenko, C . an

Theory of elasticity.

McGsaw-Hill Book ~ o ~ ~ a n y Inco, New York,

I __ - - - - -Torontop -Loadon 9 i 95 B o . l_l __ __

18. Williams, J.P, and Svensson, N.L, A f o r c e analysis of t h e

Biomechanical En

19. Wolff, J.

Das Gesetz der T s a n ~ ~ o ~ ~ a ~ i o n der Knochen, Xirschwabd, B e r l i n , 1892.

Z ! , Rybicki, E,F, and Sirnonens F , A , and Weiss, E,B,

On the mathematical analysis o f s t r e s s in the human femur Journal o f Biomechanics,

(7)

i , Inleiding

Het onderzoek naar het mechanisch gedrag van het femur is reeds op veler- lei wijzen ter hand genomeno Zowel langs experimentele ( 1 , Q ) a l s langs analytische < 2 , 1 0 > weg is getracht tot een beter begrip van het gedrag van het femur te komen.

Bij experimentele methoden zal een werkelijk femur (in vivo of in vitro) of een materieel model ervan het meetobjekt in een meetopstellin

bij analytische methoden zullen door toepassing van theorieën op een mathematisch model van het femur uitspraken worden gedaan.

Ten opzichte van experimentele technieken hebben analytische ~ e ~ ~ o d ~ n het voordeel dat een mathematisch m ~ d e l , dat eenmaal als voldoende n ~ ~ w k e u ~ i g geaksepteerd is, een goed uitgangs~unt vormt V Q O ~ het evalueren van ope-

____ -rat ietechnieken en-orthopaedische ingrepen <3> o _ _ I _ _ - ..__ - _ _ _ _ _ _ _ .

IR de door ons gekozen analytische werkwijze wordt uitgegaan van m~dellen gebaseerd op de methode der einai e elementen<7,8,7> B Deze

-

recente-

lijk ontwikkelde

-

methode maakt het mogelijk om de verplaa~sin~en en de spanningstoestand te bepalen van een willekeura objekt onder een gespe- cificeerde belastingssituatPe, door intensief gebruik van d e

t a l e rekenmachine te maken, Was voorheen een gekomplicee~de g

onoverkomelijke m o e i l i j k ~ ~ i d ~ nu kan elke k~nstruktie~ waarvan d e geometrie en het materiaalgedrag vsldoencle nauwkeurig bekend i s , geanalyseerd worden. K o r t sanengevat kan de werkwijze v ~ n de gerioexde rr'ethede 21s v o l g t worden beschreven. Het te analyseren objekt wordt verdeeld

ars.

een groot aantal deeltjes met eenvoudige ~eometrische begrenzingen :

Verondersteld wordt dat het mechanisch gedrag van een. element volledig bepaald is door de verplaatsingsgrootheden van een ~ a diskrete ~ ~ ~ l op de begrenzingen van dat element : de knosp~unten~

De voor een bepaalde ~erplaatcingssituatie van een element benodigde

krachtwerking op d a t element kan afgeleid worden u i t de mechanische elgen- schappen behorend bij dat element, die uitsluitend afhankelijk z i j n van geometrie- en materiaalspecafikaties~

D O Q ~ een j u i s t e koppeling van alle elementen van het objekt ontstaat een relatie tussen de op het objekc, werkende belasting en de k n o ~ ~ p ~ n t s v e r - plaatsingen. B i j bekende belasting is het mogelijk de verplaatsingen der

(8)

- 2 -

knooppunten en als afgeleide grootheden ook de spanningen, te berekenen. Ons doel is na te gaan wat de invloed is van vereenvoudigingen of verfijningen in de geometrische en fysische (rna~eriaaleigenscziappean) be-

schrijving van ziet model o p de resultaten voor verplaatslngc- en spanningstoestand,

In dat opzicht karn dit onderzoek gezien worden als een voortzetting van een eerder in '@acta Orthspaedica S c a ~ ~ i ~ a v i ~ a ' ~ gepubliceerd on

in niet de resultaten maar de methode centraal gesteld is,

... ... . . . - ... -. .~. ... .. - . . . .. I

-_I.

(9)

2 .

Voor het voorspellen van het mechanisch gedrag van een o b j e k t z i j n een drietal aspekten van belang :

a) de geometrie van het objekt

b) de materiaaleigenschappen van het objekt

c ) de belasting op het o b j e k t Beschouwen we het f

situatie, dan is van deze drie aspekten de geometrie het eenvoudigst te bepalen

Reeds in 1917

geometrie van het femur,

Wat het materiaal betreft is reeds door vele onderzoekers <4,5,12,15) aan- a

och^^

O> een gedetailleerde beschrijving van de

-getoond dat-bo # w e e f s e l gakarakter iseer-d. -

anisotroop en niet-lineair elastisch materiaal. ~ e r ~ e ~ i ~ ~ i n ~ van onderzoek- resultaten laat grote ver~c~illen z i e n met betrekking t o t de elasticiteit treksterkte en hardheid,

In het kader van onze

van de g e p ~ b l i ~ e e ~ ~ e on~erzoeke~ u i t te de voor Q ~ Srelevante

Voor de belasting van het femur zal een keuze g e m a a ~ ~ dienen te worden uit d e reële, fysiologisch mogelijke standen van het lichaam. omdat veel a d e r - zoekers een a~alysé! hebben verricht van h e r krachtenspel tijdens het staan

op G n been, i s over die situatie de meeste informatie VOO% handen, die

voor ons probleem n o ~ ~ i s . ~ De n ~ ~erieke waarden van de krachten e ~ i ~ ~ die werkzaam zijn op het femur lopen bij de v e r ~ c h ~ l ~ e n e auteurs nogal uiteen, De oorzaak hiervan moet gezocht wor

namen, die gedaan moeten worden omtrent de ~ i g ~ ~ n g van het Iichaamszwaarte-

punt en de izwloed vi?n spieren en spiergroepen en ~ ~ ~ a ~ e ~ ~ e n ~

oelstellbng l i j k t het het meest zinvol om op basis

e keuze van de aan-

Veelal wordt volstaan met een twee-dimensionale analyse, waarin alleen krachten in het frontale vlak in rekening worden gebracht.

Williams en Svenssen <i$> geven een drie-dimensionale analyse van het krachtenstelsel dat werkzaam is op het proximale gedeelte van het femur. Z i j komen tot een aanzienlijk hogere belastlng van het caput femoris daw bijvoorbeeld Rydeii <14> Inman <S> en ~ c ~ e i s h en Charniey <13>

zich met hun onderzoek beperkten t o t een twee-dimensionaal wisdel, d i e

(10)

- 4 -

ondanks de onderling grote verschillen tussen de diverse ondeszoekresu,?- taten, kan toch de konklusie getrokken worden d a t de komponemen van de krachten in sagitale richeing k l e i n verondersteld kunnen worden ten opzichte van de komponenten in het f r o n t a l e vlak.

Neemt men nog in ogenschouw d a t de kro van het frontale vlak

instantie alleen de vervormingen en de s a ~ ~ in het ~ n frontale ~ @ ~vlak t e bestuderen,

%

ing van het femur cara opzichte

an lijkt het ~ e ~ e c ~ om t En ~ eerste a a ~ ~ ~ ~ ~

ensiomaai tot een t w e e - ~ ~ m e ~ s i o n ~ a l probleem, Er wordt echter ~ a ~ ~ ~ l i j k s een be

steld aan de keuze van de ~ e ~ ~ van de ~ r ~geometrie, de materiaal- ~ v ~ n e ~ g e n s c ~ a ~ ~ e n of de belasting.

_. ___ Inhet volgen e zull.@n enkele modellen u i t g ~ ~ @ ~ ~ ~ - - w ~ ~ ~ ~ ~ ~ I

in g ~ o ~ e ~ ~ i e en UnateriaaBeigenschappen~ De belasting word houden om eem snderlimge vergelijking van de mo

(11)

3 . De geometrie

Als uitgangspunt voor de voor onze modellen Benodigde elementenverdeling is de geo9ietriebeschrijving volgens Koch <IO> genomen, Figuur

1

laat de buitenkontour van het gebruikte model van het femur zien,

Het model is verdeeld in 936 driehoekige elementen. Hes aantal knooppunten (de hoek~unten van de elementen) bedraagt 537. Be afmetingen z i j n zodanig gekozen dat het model OVePe@nkOmt met e ware grootte in h e t frontale vlak, ~ l k knooppunt u i t de ver eling krijgt een dikte in sagitale ~ i s h t i n

Erend e

AIS de dikte in alle knoo~~unten g e l i j k gekozen wordt, ontstaat er een model d a t veel overeenk s t heeft met de mo ellen ~ a a r ~ ~ e in het twee- dimensionaal f o t o - e ~ ~ s t i s ~ ~ s ~ a n ~ i n t gewerkt, dan kan

I

I I .

. . . een-goede s c h a t t i n voos-de- ( k o n ~ t ~ n s e 9 - - ~ i k t e vaa he& ~ o d e l - - ~ ~ d a a n -wor- - den met behul e door Koch (10) rd62 foto's Van

smeden van het femur. Aan ezien alle^^ v e ~ v o r ~ i n g in het fr r d t , is van een o o r s ~ e ~ e alleen van Iselan osi~ione~rd is ten o p z ~ ~ h t e van het mediale vl o s i t i e van h e t b o t m a ~ ~ ~ i a ~ ~ in een

richt^^^

%o

frontale vlak is a a l d e , in ons geval red j k e a ~ n n a ~ ~ n niet be- langrijk V O Q ~ de v ~ ~ ~ o ~ m ~ n g $ - en s ~ a n n ~ n

van elke door och gegeven awarsdoo~sne~e wordt h e t oyper.sla%tetraaghebIlsmc%,ent,

d e schacht van het femur

een maat voor d e weerst&nd tegen buiging, berekend, Als we a ~ n n ~ ~ e n dat buiging wel d e

lasting van het femur vor t kan d e voor het model VBW. heg Lemur gelden.de k o ~ $ dikte zodanig t ~ ~ ~ ~ worden g e k o ~ ~ n ~ dat de

el

oppervlaktetraagheidsmo~en~~n van

met d i e van de ware doormedes.

Een n e e r geavanceerd mode4 ontstaat a l s

voor d e aiErte in eik k n o ~ punt d e oorsp~o~kelijke vorm van h e t femur wordt oar het t ~ @ k e ~ n e n van een waarde

gerekonstrueerd, D i t kaan raktisch uitgevoerd W Q ~ en SaOoP- lineaire i

polatie van de dikte van het femur tussen twee door Koch ege'Vesb CiQOrsne- den. op aie wijze wordt voor elk knooppunt een waarde voor de a i k t e ge- vonden, die nagenoeg overeenkort met de afmeting van het botmateriaal, ge- meten in een richting Boodresht op het frontale vlak.

(12)

- 6 -

(13)

(14)

- 8 -

Dit impliceert tevens dat de in d e schacht aanwezige mergholte wordt ge- elimineerd, maar dit heeft in het kader van de modelvosmirag ZQaPS h i e r

is beschreven geen invloed. E-S worden immers alleen a ~ e r v o ~ m i ~ a g e n in het f ~ ~ s ; t a l e vlak beschouwd,

De knooppunten gelegen in het proximale en distale uiteinde van het femur k r i j g e n een dikte toegekend, dbe g e l i j k is aan de som van de diktes van het daar aanwezige kompcakte en spon

**

(15)

(16)

-

80

-

o =

B 2

E2-v E

1

V E 2 1

Ira richting 2 as een e l a ~ ~ i ~ i t ~ i t s ~ o n in een v l a k loo

e Eh is vanuit

ag wordt wel he dit vlak isotroo

anisotroop genoemd,

Het ligt voor de hand om richting 2 te kiezen als de richting waarin de hoofd spannin maximaal is, dus l o 2 [ >

1 0 ~ 1 .

Aangezien bij de aanvang van de berekeningen de hQofgspannangs-acRtafig~~

nog niet bekend z i j n zal d e vol ezde iteratieve ~ ~ oworden gevolgd c e ~ ~ ~ ~

(17)

en O ) en de h o o f d s p a n n i n g s r i c h t i n g e ~

2

element berekend.

en $ 2 ) worden per

2.

d e i n a b s o l u t e waarde maximale hoofdspanning man g e z i e n over a l l e elementen wordt bepaald.

3 . een berekening wordt uitgevoerd w a a r b i j d e e ~ e ~ ~ n t ~ ~ waarvoor d e

eerder bepaalde maximale hoofdspanning v o l d o e t aan :

I

a2

1

> 0,3 omaars a l s a n i s o t r o o p worden beschouwd volgens de VOOK deze elementen eerder bepaalde r i c h t i n g e n @ l en $ 2 9 hetgeen K e s u l t e e r t i n nieuwe waarden

voor hoofdspanningen en bijbehorende r i ~ h t i n g e n ~

4 . s t a p 2 en 3 worden herhaald t o t d a t k o n v e r g e ~ t ~ e i s bereikt, met andere woorden t o t d a t de eindtoestand van s t a p 3 no

,

__ _I_ - - . kwantif-keren- w-i-j z e van-d~-begintoectand-afwaj.~t, --_l__-.- - - - .

Zeer g l o b a l e b e ~ ~ h o u w ~ n g e n hebben e r t o e g e l e i d d a t voor a l l e de v o l g e n d e ~ ~ m e ~ ~ e k e en g e b r u i k t :

-

a n i s o t r o o p materiaal : 2 E = 20,000 N/ v = 0,37 2 2 E l = 10.000 !N E2 = 30.000 N/ v = 0,37

Medegedeeld kan worden d a t voor de g e s c h e t s t e ~ m $ ~ a n ~ a ~ h e en slechts een

zeeg beperkt aantal. iteratiestappen nodig was ( 3 à 4 ) ss-i d e ~~~~~~t~ graad

van nauwkeurigheid ( 4 en (I o 5" n a u w k e ~ ~ i ~ ~ t e behalen, 3% b i j d e Paat- s t e stap bekorende r e s u l t a t e n worden z l s eindresultaat van d e berekening beschouwd.

(18)

-

12

-

5 . De belasting

Reeds in hoofdstuk 2 werd ingegaan op de resultaten van het onderzoek naar de belasting van het femur,

Omdat het in het kader van ons onderzoek niet in de eerste plaats gaat om een analyse van de vervomings- en spanningstoestand van het femur onder reële belastingssituatie (bijvoorbeeld het staan op één been) maar veeleer om de vergelijking van een aantal meer op minder gesehema-

tiseerde modellen is een zeer eenvoudige belastingstoestand gekozen, namelijk de belasting, die ook door Koch <IO> werd beschouwd.

Deze belasting bestaat uit één kracht met aangrijping~pu~t op het caput

femoris en een werklijn, die de verbindingslijn vormt van het ~ i d ~ e l p ~ ~ ~ van het caput en een punt liggend midden tussen de mediale en laterale

I _ _ _ . _ condyle. De ootte van de kracht wordt gesteld op- 1000 Ne-_- ____ _ _ __I___

De uitwendige belasting zal een evenwichtsstelsel vormen met de reaktie- krachten, die op het femur werken, op die plaatsen waar het met de vaste omgeving is verbonden, Gekozem is voor een fixatie van het femur langs de gehele onderkant van de condylen. In de te

eindige elementen vertaald betekent dit dat de ~ ~ r ~ ~ a a t s i n g ~ langs de rand van de condylen Q n d e r d r ~ ~ t zijn,

(19)

6 , Kwantitatieve resultaten en vergelijking der modellen.

De berekeningen zijn uitgevoerd met een driehoekig elementtype waar- binnen een lineair verplaatsingsveld verondersteld wordt. De daarmee berekende spanningen zijn konstant over het gehele element. Ket aantal elementen moet groot zijn om de diskontinue overgang van de spanningen van element naar element niet te groot te laten worden.

De resultaten zouden per element in een tabel weergegeven kunnen worden. Beter inzicht Wordt echter verkregen als de gegevens grafisch worden weergegeven, Daartoe is gekozen voor het tekenen van lijnen van konstante spanning. Het diskontinue,berekende spanningsveld is daarvoor kunstmatig kontinu gemaakt door allereerst per knooppunt de spanningen van de in dat knooppunt samenkomende elementen te middelen en vervolgens aan te nemen

- -. - A a t.4 e--s.p ann ingen

-1

inea ir-ver-1 open tu s s en d e-kno op-pun t en-van -e lk--el.emen t

Zo zijn in figuur 4 de axiale spanningen weergegeven van een homogeen, isotroop en lineair elastisch model van het femur met een konstante dikte, De dikte van het model as volgens de in hoofdstuk 3 geschetste weg berekend op 1 6 mm.

Het verloop van de spanningslijnen in de schacht van het femur maakt het aannemelijk te veronderstellen dat de schacht zich gedraagt als een balk. waarvoor in de mechanika bekende theorieën zijn ontwikkeld <17>.

Deze veronderstelling wordt nog ondersteund door de in figuur 5 weerge- geve2 vergelijkspanningen,

De vergelijkspanning is een maat VOQP lokale gevoeligheid VOOP de aanwe-

zige belastingstoestand. Alle optredende spanningen worden gekonsentreerd in dit getal volgens een door Maxwell, Huber en Hencky

<ia>

opgesteld kr i t ea: ium e

Omdat de resultaten in mag gesteld worden dat belangr ij kste spanning Een meer gedetailleerd

de figuren 4 en 5 weinig van elkaar verschillen de axiale spanning, althans in de femurschacht, d e is e

inzicht in de spanningssituatie wordt verkregen door per element de hoofdspanningen te tekenen. De hoofdspanningen z i j n afgebeeld in figuur 3 . De lemgte van de lijntjes geeft de grootte van de hoofdspanningen aan.

(20)

I- 14

-

1c

_ _

5

Fig. 4 Fig, 5

spanningen in een isotroop model met konstante dikte

(21)

-10

i,

I I .- . I _ ... . 15 Fig. 6 Fig. 7

spanningen in een aniso- troop model met konstante dikte

(22)

De gegevens van figuur 3 zijn uitgangspunt geweest voor een model met anisotrope materiaaleigenschappen, De dikte van het model is konstant en gelijk aan die van het model met isotroop materiaalgedrag.

De iteratieve procedure om de optimale elasticiteitsrichtingen te vin- den is drie maal uitgevoerd.De bij de laatste stap behorende axiale spanningen zijn afgebeeld in figuur 6 . Figuur 7 geeft de vergelijkspan-

ningen weer.

Beide modellen vertonen zeer veel overeenkomst wat het verloop van de axiale- en vergelijkspanningen betreft. Dit ondersteunt de opvatting dat de femurschacht zich als een balk gedraagt, omdat uit de balkentheorle volgt dat anisotroop materiaalgedrag, zoals hier is verondersteldogeen

invloed heeft op het spanningsverloop. -.Xo-o-r-ts word-t-, -doordat -dsar-de_ gev-ofgde

- - rkwi jxe niet. a 11.e- el eme.n&en. an-i

-

I

sotroop verondersteld zijn, het effekt van de anisotropie afgezwakt. Het anisotrope materiaalgedrag is wel duidelijk van invloed op de vervor- mingstoestand van het femur zoals figuur 8 weergeeft, Door invoering van anisotrope materiaaleigenschappen zoals in dit model heeft plaatsgevonden wordt het femur duidelijk stugger. Globaal genomen vervormt het femur on- geveer 25 procent minder dan in het isotrope geval hetgeen ook via zuiver theoretische beschouwingen te verwachten is.

Om de invloed van de geometriebeschrijving na te gaan, werd ook een model doorgerekend me+ isotrope ~ateriaaaleigsnsshagqgaa, d ~ c h met een diktepatroon zoals is weergegeven in figuur 2 ,

De axiale spanningen staan afgebeeld in figuur 9 ; de vergelijkspanningen zijn opgenomen in figuur 10.

Deze verfijning van de geometrie van het model heeft sok slechts geringe invloed op de spanningstoestand. De grootste spanningen treden op aan de zediale zijde van het femur. Invoering van een meer op de werkelijkheid gelijkende belasting zoals gedaan is door Rybicki en Simonen <21>geeft een beter inzicht in de optredende spanningen in het femur, voorzover mogelijk

is met de gekozen uitgangspunten.

De beperking vam de amalyse tot een twee-dimensionale situatie is blijk- baar zo essentieel dat verfijningen in het model weimig effekt hebben op het spanningspatroon.

De vervormhgen, zoals die in de modellen zijn berekend, zijn voornamelijk afhankelijk van de keuze van de elasticiteitsmoduli.

(23)

kontour in belaste toestand in een anisotroop model met konstante dikte

kontour i n belaste toestand in een isotroop model met konstante

_ _ - _ . - ___ __ I_ .. - __ - - . _- __ __

kontour in onbelaste toestand

dik

-

schaal voor de buitenomtrek 1:2.5

-

schaal voor de verplaatsingen 1:0.5751

-

vergrotingsfaktor voor de verplaatsingen i s 4.375

(24)

-

18 - -

I

F i g . 9 Fig.

10

spanningen i n een i s o t r o o p model met v a r i a b e l e d i k t e

(25)

Houdt men vast aan een twee-dimensionaal model dan beschrijft de lineaire balkentheorie het mechanisch gedrag van de femurschacht voldoende nauwkeurig

.

Het spanningsverloop in het caput efi het collum is goed te beschrijven met behulp van de methode der eindige elementen.

De spanningskonsentratie die optreedt in het caput bij de aangebrachte belasting, vloeit voort uit de keuze van een puntbelasting op het caput. Deze keuze is verre van realistisch. De belasting op het caput i s in werkelijkheid een verdeelde belasting. Voor onze analyse is dit echter niet van belang omdat de optredende extra

leiding slechts lokaal optreden.