Uitbreiding statische reduktie bij dynamische problemen voor het oplossen van het algemene eigenwaardeprobleem

Uitbreiding statische reduktie bij dynamische problemen voor

het oplossen van het algemene eigenwaardeprobleem

Citation for published version (APA):

Kraker, de, A. (1974). Uitbreiding statische reduktie bij dynamische problemen voor het oplossen van het algemene eigenwaardeprobleem. (DCT rapporten; Vol. 1974.014). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1974

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

het oplossen van het algemene eigenwaardeprobleem

Bij de analyse van dynamische problemen via de methode der eindige elemen- ten is een belangrijke stap in het oplossingsproces het oplossen van een algemeen eigenwaardeprobleem hetgeen, indien een niet al te grove verdeling in elementen is toegepast vaak van zeer grote orde is, dus erg veel reken-

t ij d vergend.

Men is echter in het algemeen enkel geïnteresseerd in een relatief klein aantal van de hoogste eigenwaarden van dat algemene eigenwaarde probleem, maar ondanks dit laatste kost het nog steeds veel moeite die eigenwaarden en bijbehorende eigenvektoren (eigentrillingsvormen) te bepalen.

Deze grote rekentijden kan men op verschillende manieren trachten te ver- minderen o.a. door het ontwikkelen van efficiënter procedures en rekenpro- gramma's waarmee

In dit rapport wordt een meer fysische methode gepresenteerd n.1. de re- duktie van het aantal graden van vrijheid van het probleem, en daarmee het aantal op te lossen differentiaalvergelijkingen, waardoor ook de orde van het daarmee samenhangende algemene eigenwaarde-probleem sterk verminderd kan worden.

De basis van deze methode wordt gelegd in hoofdstuk I en I1 waar de zoge- naamde Guyan- of statische reduktie wordt behandeld.

Na deze min of meer algemene inleiding wordt dan in hoofdstuk I11 deze re- duktie uitgebreid waardoor het mogelijk zal blijken deze reduktie een aan- tal malen na elkaar uit te voeren met steeds betere reduktiematrix (het verband tussen te elimineren en niet te elimineren vrijheidsgraden) waar- door een iteratief proces ontstaat waarmee men de exakte oplossing wille- keurig dicht benaderen kan.

In hoofdstuk IV worden enige numerieke aspekten van bovenstaande "herhaalde reduktie" belicht, en als zodanig is dit hoofdstuk dan ook enkel van belang door diegenen die echt op de rekenkundige aspekten van het proces willen in- gaan en de konctruktie van het erop gebaseerde rekenprogramma goed willen doorgronden.

Tenslotte wordt dit rekenprogramma in hoofdstuk V toegelicht, de recepten voor het gebruik ervan gegeven en i

doorgerekende konstrukties bekeken teneinde een indruk van werkelijke re- kentijden, konvergentie e.d. te krijgen ten behoeve van vergelijking met andere bestaande oplossingsprocedures.

men tracht de exakte oplossing sneller te bepalen.

~- -~ -

~ -~ ~

Li ter atuur _Pag

I. Inleiding.

1

11. Guyan-reduktie en verbeterd Rayleigh-quotiënt 6

11.1. Globale regels voor de keuze van de te elimineren vrijheids-

1 1

graden bij toepassing van Guyan-reduktie

11.2. Het verbeterd Rayleigh-quotiënt. 19

111. Uitbreiding van Guyan-reduktie teneinde de res k - bereikt te verbeteren en schattingen voor de nauwkeurigheid van de oploschg te verkrijgen.

IV. Enige numerieke aspecten van het herhaalde reduktieproces 32

IV.l. Het bepalen van een nieuwe benaderingsvektor IV.2. Normering, orthogonalisering en Rayleigh-quotiënt IV.3. Het bepalen van een ondex- en bovengrens via het

Krylov grensalgorithme

V, Het rekenprogramma.

V.1. Blokschema van het rekenprogramma V.2.

V.3.

V.4. De procedures in Beathe-tekst V.4.1.Het programma in Beathe-tekst

Enige algemene opmerkingen nAa.v. het blokschema Beschrijvingen van de toegepaste procedures

VI. Behandeling van enkele problemen, met het iteratieproces doorgerekend. 32 34 36 41 42

44

48 60 69 7 5 VII. Samenvatting 78

PI

C5J

Banens J.

Enkele methoden voor het bepalen van de grootste eigenwaarden van bandmatrices. '72 (WE 72-6).

Beathe procedures voor gebruik op de B 6700. Rekencentrum informatie nr. 39

T.H. Eindhoven. de Kraker, A.

Uitbreiding Guyan-reduktie tot een iteratief proces voor het oplossen van algemene eigenwaardeproblemen

afstudeerverslag T.H.E. jan.'74. Prof.dr. G.W. Veltkamp

Numerieke methoden diktaat T.H. Eindhoven Braam, C.G.S.M.

Een algorithme voor het oplossen van het general eigenvalue probleem voor bandmatrices. '71.

Bij toepassing van de methode der eindige elementen kunnen we voor de potentiële energie van een te analyseren dynamisch probleem schrijven:

waar in :

Q: symmetrisch, (Aanname dat M: symmetrisch,

positief-definiete (nxn) stijfheidsmatrix geen beweging als star lichaam mogelijk is) semi-positief-definiete (nxn) massamatrix x: verplaatsingsvektor van de konstruktie

betattende de n onafhankelijke vrijheids-

~

graden ~ ~ ~ -~

f : belastingcvektor, bevattende de n belastingsgrootheden j;: 2 = a2x/at 2

.

I

x: de getransponeerde van de vektor x.

I

In vergelijking ( 1 . 1 ) representeert

6

xQx de in de totale konstruktie opgehoopte vormveranderingsenergie, xMX de potentiële energie t.g.v. de

ingevoerde traagheidckrachten van d'Alembert en

-

xf de potentiële ener- gie t.g.v. de uitwendige belasting.

We zullen ons in dit geval beperken tot de analyse van het vrije tril- lingsgedrag van een konstruktie, waarbij geen uitwendige belasting werk- zaam is:

I

1

Vergelij king ( i e I ) wordt daarmee dus :

Het principe van stationaire potentiële energie stelt nu dat de le variatie 6(Yd) van de potentiële energie yd identiek nul moet zijn voor alle kinematisch-toelaatbare variaties x van de verplaatsingsvektor x, waarbij echter de traagheidskrachten M%

-

niet gevarieerd mogen worden.

Indien we dit principe toepassen krijgen we: ?

6(Yd) = Sx(Qx

+

M#) = O,

voor alle toelaatbare variaties 6x. Dit voert ons tot de eis:

In het algemeen is dit een stelsel gekoppelde lineaire differentiaal- vergelijkingen met konstante koëfficiënten (n stuks, 2e orde) hetgeen we op kunnen lossen door de substitutie:

x = 2 sin ( w t ) ( 1 . 4 )

We kunnen dan schrijven:

1

Stellen we

-

= A en merken we op dat (1.5) moet gelden voor alle t, dan levert dit: u 2

een algemeen eigenwaarde-probleem van orde n met een oplossing 2 # O indien geldt:

--

we moeten een s t e i s e i v a ~ ri Uiffrr&ntiaalveLge?l3klngen cplosseri, wzzrhij I?

het aarìtal onafhankelijke vrijheidsgraden is, dat men gekozen heeft om de

beweging van de konstruktie te analyseren. In het algemeen geldt uu dat n erg groot kan worden omdat vaak enkel door een fijne verdeling in elementen de werkelijke massaverdeling en de werkelijke stijfheid van de konstruktie voldoende goed benaderd kan worden.

Daardoor zal ook de orde van de massamatrix M en de stijfheidsmatrix Q erg groot kunnen worden.

Het oplossen van het stelsel (1.3) wordt dan een zeer tijdrovende en kost- bare geschiedenis, met name het oplossen van het hierbij behorende algemene eigenwaarde-probleem (1.6).

Om de rekentijden, nodig voor het oplossen van een groot aantal gekoppelde differentiaalvergelijkingen als beschreven in (1.3) te beperken kunnen we een aantal verschillende wegen volgen,

Eén daarvan is reduktie van het aantal vrijheidsgraden.

Hierbij wordt niet gestreefd naar het verkrijgen van de exakte oplossing, maar naar een benaderde oplossing, zodat men in ruil voor een grote ver- mindering van de benodigde rekentijd, moet aanvaarden dat de berekende resultaten slechts benaderingen voor de exakte oplossing van het stelsel vergelijkingen ( I .3) zijn.

De methode berust hierop dat men het aantal vrijheidsgraden n (en daarmee de orde van de matrices M en Q) reduceert door een aantal R van de vrij- heidsgraden op de één of andere geschikte manier te schrijven als een li- neaire kombinatie van d e overige e = n-R komponenten van de verplaatsings- vektor x.

Indien nu e << R hanteren we dus een veel kleiner aantal vrijheidsgraden om het gedrag van de konstruktie te beschrijven dan we oorspronkelijk had- den aangenomen, waarbij de afhankelijk gekozen vrijheidsgraden direkt door het aangenomen lineaire verband uit te drukken zijn in de onafhankelijk gekozen vrijheidsgraden.

Bergen we de e onafhankelijk gekozen vrijheidsgraden op in de vektor x (het externe deel) en de overige in de vektor xR (het lokale deel) dan zal dus gelden:

e

e ~

x = Te.xe - + X E [i] = C Te[i,j] xeL]

j=i R

i = 1 9 2 9 3 9 . . . R

Omdat zowel de komponenten van x, als die van x p óók komponenten zijn van de oorspronkelijke verplaatsingsvektor x kunnen we ook schrijven:

waarbij T de z.g, reduktiematrix is (n x e)

In plaats van n onafhankelijk te variëren vrijheidsgraden hebben we nu e onafhankelijk te variëren vrijheidsgraden gekregen waarbij vaak geldt: e << n.

Met de relatie (1.9) keren we nu terug naar de relatie voor de potentiële energie zoals weergegeven in ( 1 . 2 ) met evemtueel hernummerde matrices om de verplaatsingsvektor te kunnen partittoneren overeenkomstig vergelijking

( I . 9 ) .

We kr ij gen dan :

I 1 I 1

Ook nu weer het principe van stationaire potentiële energ%e toepassend met dien verstande dat alle komponenten van x

worden en bovendien de gereduceerde traagheidskrachten MT

Xe

-

niet gevarieerd mogen worden levert ons dit:

onafhankelijk gevarieerd mogen e

? F ?

6(yd) = 6xe (TQT xe + TMT

Xe)

= 0,

voor alle kinematisch toelaatbare variaties ô(x ) dus: e ? ? TQT xe

+

TMT = O e ofwel :

+

M

.Ze

= 0 Qe e waarbij : f Qe = TQT ? M = TMT e .. ( 1 . 1 1 ) (1.12) ( I .13) ( I ,141

Schrijven we nu het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen (1.3) eventueel met hernummerde matrices M en Q en gegartioneerd overeenkomstig de split-

sing in vrijheidsgraden aamgegeven door (1.9) dan geeft dit:

d.

Kombinatie van de relaties (1.9), (1.13), (1.14) en (1.15) leidt nu tot:

1 1 ?

T + T M T e ee + Te MRe + MRe e e R R e'

M = M _{( 1 . 1 7 )}

de relaties voor de gereduceerde stijfheidsmatrix en de gereduceerde massamatrix.

Via de hiervoor beschreven zogenaamde statische reduktie werd de orde van het op te lossen algemene eigenwaarde-probleem sterk verlaagd, in ruil voor het feit dat de oplossing van het gereduceerde stelsel (1.12) slechts een benadering is van de exakte oplossing,

In het volgende hoofdstuk zullen we een speciale reduktiemethode behandelen n.1. de "Guyan-reduktie", waarbij voor de reduktiematrix T een op fysische gronden gebaseerde keuze wordt gemaakt.

I1 Guvan-reduktie en verbeterd Ravleieh-auotiënt

We hebben in het vorige hoofdstuk gezien dat het mogelijk is de orde van het op te lossen algemene eigenwaarde-probleem aanzienlijk te verlagen door een deel van de eerder als onafhankelijk gekozen vrijheidsgraden nu via een lineair verband uit te drukken in een ander deel van die vrijheids- graden, waardoor het aantal nu nog onafhankelijke vrijheidsgraden sterk kan afnemen.

Omdat de oplossing van het daardoor ontstane gereduceerde stelsel slechts een benadering is van de exakte oplossing is het dus zeer belangrijk dat de keuze van de reduktiematrix welke het verband tussen afhankelijke en onafhankelijke vrijheidsgraden weergeeft, een goede keuze is.

In dit hoofdstuk wordt nu het tot stand komen van deze reduktiematrix bij de zogenaamde "Guyan-reduktie" besproken, er van uitgaande dat de splitsing in afhankelijke en onafhankelijke vrijheidsgraden reeds is gemaakt.

Vervolgens wordt bekeken aan welke voorwaarden of kondities moet zijn vol- daan opdat bij een bepaald keuze van onafhankelijke vrijheidsgraden, de op- lossing via deze Guyan-reduktie verkregen, de exakte oplossing in voldoende mate benadert

Tot slot wordt nog een eenvoudige uitbreiding van de Guyan-reduktie behan- deld (het

-

Verbeterd

-

Rayleigh

-

quotiënt) waarmee het mogelijk zal blijken de met Guyan-reduktie verkregen benadering voor de exakte oplossing, aan- zienlijk te verbeteren.

Ervan uitgaande dat de vektor x in een afhankelijk deel x

h a n k e l i j k d e e l x is gesplitst kunnen we schrijven (zie ook 1.15):

en een onaf- R

e

We veronderstellen nu dat de verdeling van de oorspronkelijke vrijheids- graden in afhankelijke (of lokale) en onafhankelijke (of externe) zo is gemaakt dat in het eerste stelsel ( 2 . 1 ) de traagheidstermen M ,it

+

.it te verwaarlozen klein zijn t.o.v. elk der stijfheidstermen Q MRe e

en QRe*Xe*

Aan welke voorwaarden in dat geval moet zijn voldaan opdat dit het geval zal zijn zal dadelijk worden bekeken.

We kunnen echter in dat geval het stelsel differentiaalvergelijkingen

( 2 . 1 ) benaderen door een stelsel lineaire, algebraïsche vergelijkingen n.1. door:

R R R

Zonder een wezenlijke beperking van de algemeenheid te introduceren mogen wij eisen dat de matrix Q

en slechts dan als het systeem geen bewegen als star lichaam kan uitvoeren indien alle komponenten van de vektor x

nul wordt opgedrongen hetwelk o.a. het geval zal zijn indien:

positief-definiet is, Dit is n.1. het geval dan R R

een voorgeschreven waarde bijv. e

-

Q is positief definiet

en/of een geschikte keuze van de te elimineren vrijheidsgraden (komponenten van de vektor x ) is gemaakt.

R

Indien nu Q,, positief-definiet (dus regulier) is kan x R uit ( 2 . 3 ) worden opgelost als funktie van x :

e

De reduktiematrix T uit hoofdstuk I blijkt dus in dit geval te zijn: e

- 1

QRR Qge

= -

Te ( 2 5 )

De bij de keuze van deze reduktiematrix behorende gereduceerde massa- en stijfheidsmatrix Me en Qe kunnen door substitutie van ( 2 . 5 ) en (1.16) en

( 1 . 1 7 ) nog worden overgevoerd in:

( 2 . 6 ) - 1 - 1 - 1

Mie Qt, Qte + QieQ,, M ~ Qge ~ Q ~ ~

-

- 1

M = Mee

-

QLe

Q,,

MRe e

In gereduceerde vorm rest ons bij deze Guyan-reduktie enkel nog het oplos- sen van vgl. (1.12) n.1.

..

Qe.x + M x = O,

e e e

een stelsel differentiaalvergelijkingen van veel lager orde (indien althans e << R) dan het stelsel waar we van uit zijn gegaan. We stellen ter oplos- sing hiervan :

x =

X

sin(,t)

e e

dit ingevuld in bovenstaande vergelijking levert:

( Q ~ - w ~ M ~ ) ? ~ sin(wt) = O

moet dus gelden: met A =

-

voor aiíe t , 1

w2

(hQe-Me)?, =

o

( 2 . IO)

een algemeen eigenwaarde probleem van orde e. Dit heeft dan en slechts dan een oplossing

X

e # O indien geldt:

IhQ -M

1

= O

e e ( 2 . I I )

Er bestaan numerieke procedures om een algemeen eigenwaarde-probleem zoals geformuleerd in (2.11) op te lossen o.a. "General eigenvalue Problem" zie hiervoor o.a. [ 2 ] ,

De oplossing bestaat uit een aantal (maximaal e stuks) eigenwaarden

h (')&i (2)>,

.

, .A (i) (;se) en bijbehorende eigenvektoren u

( 1 )

,u ( 2 ) ,u ( 3 )

...

u (i)

.

g g g

De eigenwaarden zijn daarbij gerangschikt naar orde van grootte.

Indien we alle mogelijke eigenwaarden (ook weer gerangschikt naar grootte) opbergen in de diagonaaimatrix A en alle bijbehorende vektoren in de matrix ìJ dus:

dan geldt o.a.

1 ?

U Q e U = I ; U M e U = A

I

( 2 . 1 2 )

( 2 . 1 3 )

Zoals reeds eerder is opgemerkt is het karakteristiek voor de methode van reduktie van het aantal vrijheidsgraden dat men hierbij niet streeft naar bereiken van de exakte oplossing, maar dat men genoegen neemt met een be- nadering van deze exakte oplossing, in ruil voor een sterke afname van de benodigde rekent ij d,

Daarom zullen we in het volgende deel (hoofdstuk 11.1) pogen na te gaan aan welke voorwaarden en kondities moet zijn voldaan opdat de via de hiervoor beschreven Guyan-reduktie verkregen resultaten het werkelijke gedrag van het te analyseren dynamisch probleem goed weergeven.

11.1

Globale regels voor de keuze van de te elimineren vrijheidsgraden bij toepassing van Guyan-reduktie

In dit hoofdstuk zullen we proberen enige globale regels voor de keuze van de te elimineren vrijheidsgraden af te leiden welke aangeven onder welke kondities of voorwaarden aan de veronderstellingen en afschattin- gen gemaakt bij het tot stand komen van de reduktiematrix is voldaan. Dit geeft ons dan hopelijk een indikatie omtrent de nauwkeurigheid van de oplossing van het gereduceerde stelsel ten opzichte van de exakte oplossing.

We gaan uit van het algemene eigenwaarde probleem zoals we dat reeds eerder geformuleerd hebben n.1.

(XQ-M)x = O (2.14)

We laten het vroeger wel vermelde tekentje

..

hierbij weg, aangezien we vanaf nu met x bedoelen de amplitude, en niet de harmonisch ver- anderende vektor.

Bergen we de afhankelijk te kiezen vrijheidsgraden (R stuks) weer op in de deelvektor x

R'

(e stuks) in de deelvektor x dan kunnen we stelsel (2.14) a l s

volgt partitioneren:

en de onafhankelijk te kiezen vrijheidsgraden e'

(2,151

De enige veronderstelling die we op dit punt maken is dat de onaf- R RI hankelijke vrijheidsgraden zodanig gekozen zijn dat de matrix Q positief-definiet is, dus inverteerbaar.

x opgelost uit het eerste stel vergelijkingen van (2.15) levert dan: R

o f vgl (2.16) iets anders geschreven:

(2.16)

-1 -1

mogen ont- We nemen voorlopig aan dat we de inverse (I

-

-

Q

ontwikkelen in een reeks, de voorwaarde daarvoor zal straks toegelicht worden, de betreffende inverse kan dan echter geschreven worden als:

1

h 2,

( 2 . I S )

waarmee ( 2 . 1 7 ) ook geschreven kan worden als:

( 2 . 1 9 )

of na enige wiskundige bewerkingen:

( 2 . 2 0 )

ter vereenvoudiging noemen we nu:

-1

QRR ML, = A

dan kunnen we ook schrijven:

1 2

A)+(x A) +.

.

IQ,,-' D]x ( 2 . 2 1 )

-1 1

1

x R =

[-

Q,,

Q,,

+ h{I+(-

x

e

Deze vergelijking geeft het exakte verband tussen onafhankelijke en afhan- kelijk gekozen vrijheidsgraden.

Substitueren we dit verband in de 2e set vergelijkingen van ( 2 . 1 5 ) dan geeft dit tenslotte:

1

. '

1 1 2 -1

h.Q .X =

be

+

7

D{I+(ä?)+(hA) +

. . .

IQ,, _D]xe ( 2 . 2 2 )

e e

met voor Q en M dezelfde betekenis als reeds bij Guyan-reduktie werd gebruikt.

De vraag is nu: wat is de afwijking van de benaderde oplossing, dus de oplossing van: -1 x R = -

Q,,

QRe AQ .x = M .x e e e e ( 2 . 4 ) ( 2 . 1 0 )

ten opzichte van de oplossing van de vergelijkingen ( 2 . 2 1 ) en ( 2 . 2 2 ) .

Voordat we dat echter gaan bekijken moeten we allereerst nagaan onder welke voorwaarden de reeksontwikkeling ( 2 . 1 8 ) toegepast mag worden.

We beschouwen daartoe:

dit is namelijk gelijk aan:

1

-1 -1

h(1-

-

x

Q R R _{Mag)-' Q,,}

( 2 . 2 3 )

mogen we de eerste ontwikkelen in een reeks, uan uiteraard 00, de tweede,

dus ook de term (I-

-

1

Q

-1

Mig)-' van die tweede. De vergelijking:

x

R R

( 2 . 2 4 )

levert ons de eigenwaarden en -vektoren van het "afhankelijke stelsel", noem die eigenwaarden:

en de bijbehorende eigenvektoren u, opgeborgen in de matrix V:

Indien de eigenvektoren genormeerd worden met de matrix Q (Q genormeerd) geldt weer:

als kern R R

R a

1 V = I en ;M V =

C ~ J

QRR R R ( 2 . 2 5 )

e

[Pd is een diagonaalmatrix met op de diagonaal in de i Met behulp van bovenstaande kunnen we nu schrijven:

rij p _i

.

1

-M )V = (XI-[PJ)

V(XQRR R R (2.26)

Omdat de eigenvektoren u. een basis vormen voor de !?,-dimensionale vektor- -1

ruimte R mogen we de inverse V hanteren waarmee (2.26) wordt: 1 8'

-1

- 1

'

-1

V (XQ,,-M,,) V-' = ( h I - r l . ? J ) ofwel : (2.27)

Noteren we de eigenwaarden van het oorspronkelijke stelsel als

A l

>

h 2 3 A 3

....

5 An en stellen we dat we de eerste k stuks willen ken- nen dus dié eigenwaardenX:

h Q A = { h . I j = 1,2,....k~

J (2.28)

Om nu voor een zekere eigenwaarde X de reeks ontwikkeling te mogen han- terem, dus de inverse (hÇ -E i r ì een reeks te mogen ontwikkelen moet gelden:

,-l. j R R RR'

lu./h.( < I voor i = i,2,3

,...

R

I J (2.29)

en daar we de eigenwaarden steeds in aflopende grootte gerangschikt heb- ben, is het voldoende dat:

(2.30)

Uit het Rayleigh-qoutiënt volgt (zie L i ] ) dat zeker geldt:

We zullen in het algemeen echter meer dan enkel alleen de le eigenwaarde willen kennen, zodat we voor alle gewenste eigenwaarden welke we via voor- noemde reeksontwikkeling willen representeren kriterium (2.30) zullen moe- ten hanteren. We zullen daarom bij de verdere behandeling aannemen dat

voor alle te onderzoeken eigenwaarden geldt:

I

r

1

<

1

1

Omdat de eigenwaarde p gelijk is aan 7 b e t e k e n t deze eis fysisch dat alle te onderzoeken eigenfrekwenties van het oorspronkelijke systeem kleiner moeten zijn dan de laagste eigenfrekwentie van het systeem in- dien het in de externe of onafhankelijke vrijheidsgraden wordt onder- drukt,

w

We keren nu terug naar onze vraagstelling: wanneer geeft toepassing van Guyan-reduktie een goede benadering voor het werkelijke dynamische ge- drag. Daartoe beschouwen we nogmaals de vergelijkingen welke Guyan-reduktie c.q, het exakte verband weergeven.

- 1 QRR Qge Guyan: x =

-

R XQe.xe = M x e e ( 2 . 4 ) ( 2 . 1 0 )

exakt : x = [-QRR -1 QRe#I+ (TA)+ 1 (+A) 2+.

. .

.}

QRR-'D]xe R

(2.21)

We kunnen de vraag nu ook anders formuleren n.1.: wanneer geeft het bij Guyan-reduktie gehanteerde verband ( 2 . 4 ) het werkelijke verband ( 2 . 2 1 )

rede1 ijk goed weer.

Dit blijkt nu het geval te zijn indien:

( 2 . 3 1 )

Dit blijkt o.a. het geval te zijn indien aan één van de volgende twee voorwaarden is voldaan:

u 1

Dit kan ook vertaald worden als

1 1 - 1

I

<c i .

De reeksontwikkeling zal dan zoals hiervoor is beschreven niet enkel kon- vergeren, maar ook snel konvergeren, en wel des te sneller naarmate de

term

I

IxAl

I

veel kleiner is dan

1 .

I

lhl

1

<<

1

betekent dat de traagheidsterm M,,.y uit vgl. ( 2 . 2 4 ) een orde kleiner is dan de overeenkomstige stijfheidsterm A.Q

We mogen nu voor het exakte verband ( 2 . 2 1 ) in goede benadering dus ook schr ij ven : h 1 R R * y * ofwel met

-1

- 1 Qkel en A = Q _{R R ;} D = {MRe

-

M,,

Q,,

( 2 . 3 2 ) ( 2 . 3 3 )

van dezelfde orde zijn als de traag- Indien nu de traagheidskrachten M

heidskrachten M .x (wat bij de meeste systemen een aannemelijke veronder- stelling is, zeker indien men te maken heeft met een verdeelde massa), en

en AQ .x (het- deze orde is klein t.o.v. de elastische krachten’hQ

geen het geval is indien

I

IAAI

I’

<< 1)dan geldt ook: R R XR Re e R R o X R Re e ( 2 . 3 4 )

n.1.

indien zal : i - 1 x zoals QEe e

konklusie: omdat

I

/;A/

I

<< 1 zal het verband: X, =

-

Q

,

,

’

dat bij Guyan-reduktie wordt gehanteerd een redelijk goede benadering zijn voor het werkelijke verband tussen afhankelijke en onafhankelijke vrij- heidsgraden.

Fysisch kunnen we de bovenstaande eis als volgt formuleren:

Wanneer een bepaald aantal vrijheidsgraden onafhankelijk genomen zal worden, dan is de beste keuze die, welke bij onderdrukking in de on- afhankelijke vrijheidsgraden de konstruktie zo "stijf'' mogelijk maakt, dus met een zo groot mogelijke laagste eigenfrekwentie.

0

1

1

1 2 -1

B. Het is mogelijk dat geldt:~f/I-(I+-A+(-A) h l h

x

+... }Q,!L D xelI <<

-1

_x

_I

_I

_{zonder dat}

₁

_{IhAyI << 1 .}

I

IQ,,

Q,e e

R E en

Dit is met name het geval als de

-

som van de traagheidskrachten M Mte

De traagheidskrachten maken in dat geval nagenoeg evenwicht. Indien we n.1, aannemen:

klein is t.o.v. elk der termen afzonderlijk.

geldt:

-1

Q,e

,-

-

Q,,

x -

In dat geval kunnen we schrijven:

dus de som der traagheidskrachten

M,,

xR+MRe xe moet verwaarloosbaar klein worden, en ook om die reden geldt dan dat het bij Guyan-reduktie gehanteerde verband het werkelijke verband goed weergeeft.

Uit het voorgaande kunnen nu enige globale richtlijnen worden afgeleid vol- gens welke het mogelijk wordt om de onafhankelijke vrijheidsgraden bij het toepassen van Guyan-reduktie zodanig te kiezen dat de via deze reduktie- methode verkregen benaderingen voor een relatief klein aantal van de hoogste

eigenwaarden en bijbehorende vektoren de werkelijkheid redelijk goed bena- deren.

1 . De keuze moet in de eerste plaats zodanig zijn dat de matrix Q posi- R R

tief-definiet is.

2 . Indien we te maken hebben met een min of meer homogene massa- en stijf- heidsverdeling, moeten de te elimineren vrijheidsgraden gelijkmatig over het systeem uitgespreid worden.

3 . Het aantal extern te nemen vrijheidsgraden dient zodanig over het sys- teem gespreid te worden dat de konstruktie bij onderdrukking in die extern te nemen vrijheidsgraden een zo groot mogelijke laagste eigen- frekwentie heeft.

4 , Men moet er voor zorgen dat nergens de resultante der massakrachten erg groot kan worden m.a.w. bij min of meer homogene stijfheidsverde- ling moeten delen met relatief veel massa ook relatief veel externe vrijheidsgraden bevatten.

Men moet wel beseffen dat dit slechts enige wenken zijn om Guyan-reduktie niet helemaal blindelings toe te passen, ze geven zeker nog geen antwoord op de vraag hoeveel en welke vrijheidsgraden extern genomen dienen te wor- den opdat men een bepaalde nauwkeurigheid in de oplossing verkrijgt.

Er bestaat echter een kleine uitbreiding van de "statische" o f Guyan- reduktie, en wel het verbeterd Rayleigh quotiënt hetgeen hierna nog ter sprake komt.

We moeten er echter wel duidelijk rekening mee houden dat we in principe door de reduktie van n vrijheidsgraden naar e vrijheidsgraden alleen bena- deringen krijgen voor de e hoogste eigenwaarden van de exakte oplossing, En wel in principe omdat van de via de reduktie verkregen (e) benaderde eigenwaarden alleen de hoogste redelijk goede benaderingen zullen zijn, de lagere van de e stuks zullen grote tot zeer grote afwijkingen vertonen, reden waarom dan ook wel als vuistregel geadviseerd wordt, indien men enkel Guyan-reduktie toe wil passem en de hoogste p eigenwaarden redelijk wil be- naderen om minimaal 3 % ~ van de vrijheidsgraden als onafhankelijke of externe vrijheidsgraden te kiezen.

Er dient dan ook op gewezen te worden dat deze reduktiemethode ook de in de verdere hoofdstukken besproken uitbreiding van dit proces, enkel en alleen geschikt en rendabel is indien men slechts een relatief klein aantal van de hoogste eigenwaarden en bijbehorende vektoren wil bepalen.

11.

Het verbeterd Rayleigh-quotiënt (V.R.Q.)

We zullen nu een eenvoudige uitbreiding van de statische- o f Guyan-reduktie beschouwen waardoor het mogelijk wordt de via deze reduktie verkregen eigen- waarden vaak nog aanzienlijk te verbeteren,

Wij gaan terug naar de resultaten verkregen met Guyan-reduktie waarvoor we kunnen schrijven:

Omdat we steeds over één bepaalde eigenwaarde en bijbehorende vektor spre- ken zullen we de index i welke hier aangeeft dat het de ie eigenwaarde resp. -vektor betreft, voortaan weglaten,

Het bij de vektor x behorende Rayleigh-quotiënt p(x ) levert na substi-

g g

tutie van (2.35):

(2.36)

de betreffende eigenwaarde van het gereduceerde algemene eigenwaarde- probleem (2.10).

We keren nu terug naar de oorspronkelijke vergelijkingen (2.15) welke

1

..:

J A - . I C L I U Z I L c i M x R R X~ Re e XQ,, xR+ X Q x = M Re e (2.37) ( 2 . 3 8 )

Guyan ging er nu vanuit dat om bepaalde fysische redenen het rechterlid (de traagheidskrachten) van vergelijking (2.37) te verwaarlozen was t.o.v. elk der termen van het linkerlid van die vergelijking.

Dit leverde ons het verband tussen afhankelijke en onafhankelijke vrij- heidsgraden.

Nu zullen we echter niet de totale traagheidsterm zonder meer verwaar- lozen, maar een nu bekende benadering voor het verband tussen afhanke- lijke en onafhankelijke vrijheidsgraden enkel en alleen in de relevante term van die traagheidskrachten substitueren.

x = - - 1 x + M x ( 2 . 3 9 )

~ Q g a + X Q h e MER ‘RE ‘ t e e t e e of iets anders geschreven:

- 1 Q QRelXe QRR QRe e

x

R R (Mge-M ER R R

-1

_{x + - Q}

1

-1

x = - R ( 2 . 4 0 )

Vergelijking ( 2 . 4 0 ) beschrijft een nieuw verband tussen afhankelijke en onafhankelijke vrijheidsgraden, en vergeleken met de reeksontwikkeling voor het exakte verband blijkt dat in deze nieuwe benadering voor het verband

maar ook wordt meegenomen.

Om schrijfwerk te voorkomen definiëren we:

de le term van ~~ de reeksontwikkeling -~ niet!meer is verwaarloosd, -

-1

Qie

D = M - M Q

Re R R R R

waarmee vgl. 2.40 ook geschreven kan worden als:

1

-1

x =

i-

Te +

7 Q,,

D 1xe R ( 2 . 4 1 ) ( 2 . 4 2 ) ( 2 . 4 3 )

Bepalen we nu het afhankelijke deel van de vektor welke een exakte eigen- vektor moet benaderen niet via het verband ( 2 . 3 5 ) maar via het hierboven vermelde verband dan krijgen we:

en het hierbij behorende Rayleigh quotiënt:

- X~~~ XVRQ XVRQ Q X V ~ ~ ’VRQ - P(XVRQ) = 1 ( 2 . 4 4 ) ( 2 . 4 5 ) waarbij u en

x

eigenwaarde zij n.

de bij de Guyan-reduktie gevonden eigenvektor c.q. g

behorende Rayleigh-quotiënt 1 wordt nu het

%RQ VRQ

Het bij de vektor

Verbeterd Rayleigh Quotiënt genoemd en is in het algemeen een aanzien- lijk betere benadering voor de exakte eigenwaarde dan X

na enkel ~ Guyan-reduktie.

Dit VRQ is eigenlijk niets meer dan het Rayleigh-quotiënt behorende bij de vektor welke men krijgt door na Guyan-reduktie 1 "power" iteratieslag

uit te voeren. Dit blijkt n.1, a l s volgt:

de benadering

~ 8'

bepalen uit: P

We gaan uit van x =

g

één poweriteratieslag betekent dat we x -

Q.x = M x ofwel: P g = M + M x 'RR x ~ p + Qke Xep R R "Rg te eg 1 1

+

$1

x

-

-

QQe XRp + Qee Xep ~ MQe XRg ee ~~ eg

( 2 . 4 6 )

( 2 . 4 7 )

( 2 . 4 8 )

( 2 . 4 6 ) gesubstitueerd in ( 2 . 4 7 ) en ( 2 . 4 8 ) waarna oplossing van x

( 2 . 4 7 ) levert: uit EP ( 2 . 4 9 )

-1

_{D u} ep + Q R ~ x = - T X RP

Dit laatste nu gesubstitueerd in ( 2 . 4 8 ) levert na enige omwerkingen:

= M .u

Qe Xep e ( 2 . 5 0 )

We hebben gezien dat bij de Guyan-reduktie gold:

A Q u = M u, ( 2 . 5 1 )

g e e

vanwege het positief-definiet zijn van Q , dus ook van Qe kunnen we uit

( 2 . 5 0 ) en ( 2 . 5 1 ) konkluderen:

x = A u

eP g

en daarmee leveren de vergelijkingen ( 2 . 4 9 ) en ( 2 . 4 4 )

( 2 . 5 2 )

Dit samen leidt tenslotte tot:

xp = g'

XVRQ

(2.54)

Dus de vektor verkregen door na Guyan-reduktie één power iteratieslag uit te voeren is op de lengte na gelijk aan de vektor bepaald bij het verbe- terd Rayleigh-quotiënt.

Omdat de lengte bij het Rayleigh-quotiënt geen enkele rol speelt zal dus het V.R.Q. (A ) gelijk zijn aan het Rayleigh-quotiënt behorende bij de vektor na een power-iteratieslag.

VRQ

In de praktijk komt Guyan-reduktie gevolgd door het verbeterd Rayleigh- quotiënt er dus op neer dat men de volgende stappen neemt.

1. Maak zodanige verdeling in afhankelijke en onafhankelijke vrijheids- graden dat Guyan-reduktie een goede benadering waarschijnlijk maakt. 2 , Bepaal de gereduceerde massa- en stijfheidsmatrix.

3 . Los het gereduceerde algemene eigenwaarde-probleem op.

via het verband ( 2 . 4 4 ) . %RQ

4 . Bepaal het afhankelijke deel van

5. Bepaal het bij x

We hebben nu benaderingen voor een aantal van de grootste exakte eigen- waarden en bijbehorende vektoren gekregen, echter zonder enige informatie over de fout van deze benaderingen t.o.v. de overeenkomstige exakte resul- taten.

Dit laatste kan echter alsnog verholpen worden door toepassing van het "grensalgorithme van Krylov en Bogoliubov" eventueel gevolgd door het

%RQ en het grensalgorithme van Kat0 en Temple, waarbij uit de vektor

daarbij behorende VRQ (A ) onder bepaald kondities onder en bovengren- zen voor de respektievelijke eigenwaarden bepaald kunnen worden. (zie voor uitvoerige beschrijving van deze algorithmen [l] )

.

Ervaringen echter met dit laatste hebben aangetoond dat indien het V.R.Q. niet reeds een zeer goede benadering voor de overeenkomstige eigenwaarde is, de met het grensalgorithme verkregen onder- en bovengrens dermate ruim zijn, dat van enig nut-eigenlijk geen sprake is, zeker indien de exakte eigenwaarden min of meer dicht bij elkaar liggen en de intervallen elkaar dus gaan overlappen.

In het nu volgende zal de mogelijkheid nagegaan worden om na uitvoering van Guyan-reduktie via een of ander proces betere benaderingen met bijbe- horende grenzen te bepalen. Het doel blijft echter om in relatief weinig rekentijd benaderingen voor de exakteeigenwaarden te bepalen indien moge- lijk met een schatting voor de nauwkeurigheid van de oplossing, of voor

VRQ ' behorende Rayleigh-quotiënt X VRQ VRQ ~~~ ~ ~

de praktijk bruikbare onder- en bovengrenzen verkregen via een o f ander grensalgorithme.

1II.Uitbreiding van Guyan reduktie teneinde de resultaten daarmee bereikt te verbeteren en schattingen voor de nauwkeurigheid van de oplossing te verkrijgen.

In dit hoofdstuk zullen we de mogelijkheden nagaan om, na het uitvoeren van de hiervoor besproken Guyan-reduktie, eventueel gevolgd door V.R.Q. de resultaten daarmee bereikt zodanig te verbeteren dat we goede benade- ringen voor de exakte oplossing van het algemene eigenwaardeprobleem zo- als dat in het begin is geformuleerd, verkrijgen.

We gaan er dus van uit dat Guyan-reduktie en V.R.Q. reeds zijn uitgevoerd. Om de eenvoud van de notaties te verbeteren zullen we de volgende bena- mingen invoeren:

Oplossing van Guyan:

= M x AQe e e eigenwaarden (0) eigenvektoren X e

-

Bedoeld wordt steeds één bepaalde eigenwaarde en bijbehorende vektor uit de groep welke we willen benaderen zodat geen index voor het 11 nummer" van de eigenwaarde is toegevoegd.

-

Omdat we later in dit hoofdstuk met een iteratief proces te maken zul- len krijgen is een index rechtsboven toegevoegd bij relevante termen, welke later nuttig zal blijken te zijn bij het beschrijven van dat pro- ces.

Op dit moment hebben we dus het V.R.Q.A(') als beste benadering voor de eigenwaarde en x

-

-

[xR ( 1 )

,

x I

(''1

als beste benadering voor de eigen-

e vektor.

Na het uitvoeren van deze Guyan-reduktie gevolgd door het V.R.Q. kunnen we voor het verkrijgen van informatie over de nauwkeurigheid van de be- naderingen, of voor het verkrijgen van betere benaderingen één van de volgende wegen volgen:

A. Maak gebruik van het grensalgorithme van Krylov en Bogoliubov, even- tueel gevolgd door het grensalgorithme van Kat0 en Temple.

Voor een uitvoerige beschrijving van deze algorithmen zie [ i ] .

Indien de met deze algorithmen gevonden onder- en bovengrens met een voor de verbruiker voldoende nauwkeurigheid de ligging van de gevraag- de eigenwaarde weergeven kan hierna met het proces gestopt worden. B. Op dit moment nu we een redelijk goede benadering voor enkele van de

grootste eigenwaarden en bijbehorende vektoren hebben gekregen, stap- pen we over naar een totaal ander proces om de eigenwaarden en -vek- toren beter te benaderen, waarbij we de benaderingen met Guyan-reduktie + V.R.Q. verkregen gebruiken als beginschattingen.

Een van de mogelijkheden is daarbij toepassing van "Power-iteratie" waarbij een nieuwe benadering x wordt bepaald uit de bekende benadering via:

(;+i)

Dit proces konvergeert bij bepaling van de ie eigenvektor met kon- vergentiesnelheid h (i+*)/h(i), en zal bij goede beginschattingen via het hiervoor beschreven reduktieproces verkregen, de gevraagde eigen- waarden en -vektoren met de gewenste nauwkeurigheid redelijk snel kun- nen af 1 ever en.

C . Probeer een reduktieprcces als dat van Guyan nog één o f meerdere malen toe te passen, waarbij de bij de reduktie vast te leggen

heid(t.g.v. de op dat moment bekende benaderingen) steeds beter het exakte verband weergeeft, dat tussen de afhankelijke en onafhankelijke vrijheidsgraden bestaat.

Dit laatste proces zal hierna uitvoeriger worden besproken, en zal de kern vormen van een iteratief-proces waarmee de eigenwaarden (en vek- toren) willekeurig goed benaderd zullen kunnen worden,

~~ ~~~~

~~

We hebben gezien dat bij reduktie van het aantal graden van vrijheid op de één of andere manier een verband gelegd wordt tussen bepaalde groepen vrij heidsgraden,

Deze vrijheidsgraden werden daarbij verdeeld in afhankelijke en onafhan- kelijke vrljheidsgraden.

Guyan-reduktie was hiervan een bijzonder geval door de specifieke keuze en achtergrond van deze afhankelijkheid.

Onder bepaalde omstandigheden (zie hoofdstuk 11.1) geeft het bij Guyan- reduktie gehanteerde verband n.1.

het werkelijke verband tussen afhankelijke en onafhankelijke vrijheids- graden goed weer.

We kunnen dan het exakte verband echter ook schrijven als:

x = R waarbij f een

I

/ f l

We gaan er nu hebben, dus f We kunnen dan ~~ x = - 1 x + f

-

Q,, Qge e ( 3 . 3 )

korrektievektor is, waarvoor geldt:

van uit dat we een schatting voor deze korrektievektor f is nu een bekende benadering,

weer ~ schrijven ~~ :

- 1

X I

e X e

( 3 5 )

relatie ( 3 . 5 ) gesubstitueerd in de relatie voor de potentiële energie van het betreffende systeem, zoals Seschreven in ( 1 . 2 ) levert:

Het principe van stationaire potentiële energie voor alle kinematisch toe- laatbare variaties 6(x ) van de onafhankelijke x

en de traagheidskrachten niet gevarieerd mogen worden leidt tot:

waarbij de vektor f

e e’

-

(zie hoofdstuk I) 1

..

- - - - 2 = - - x e h e h e

..

f = - - I f A krij gen we : t XQe.xe = M . x + Df e e

Ook hier wordt met x plaatsingsveld bedoeld.

en f de amplitude van het harmonisch veranderende ver- e

Vergelijking ( 3 . 8 ) beschrijft nu een stelsel van e, in het algemeen gekoppelde vergelijkingen met (e+i) onbekenden, n.1. de e komponenten van x en de onbe-

e kende A , m.a.w. er bestaan oneindig veel oplossingen.

Dit kunnen we echter op de volgende manier omzeilen:

Bezit men van een bepaalde eigenvektor een redelijk goede benadering (wat na Guyan-reduktie + V.R.Q. aannemelijk is) dan geldt dat het bij deze benadering behorende Rayleigh-quotiënt de betreffende eigenwaarde een orde beter benaderd dan de vektor de eigenvektor benaderd, m.a.w. het Rayleigh-quotiënt bevat glo- baal gesproken tweemaal zoveel goede cijfers als de benaderingsvektor.

Dit is dan ook de reden geweest om in plaats van A , een bekende benadering daarvoor in te vullen, waardoor een éénduidige oplossing ontstaat.

We kunnen dus vgl. ( 3 . 8 ) oplossen en daarmee benaderingen x voor het externe deel van de eigenvektor bepalen.

e

? m y h e t u f h z d c e l i j k e deel gaan we uu p r e c i e s eeiicleï Le werk 2:s bij

U c A L L l g - - A - v a i l h e t veïbeterd Rayieigh-quotiënt in hoofcia~i?k IIe2.

d e belian-

We bschouwen weer het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen:

+ M x h (QRR xR +

Q,,

xe) = M R R XR Re e = M ' x + M x ' ( Q , ; XR + Qee Xe) Re ee e (3 9) ( 3 . 1 0 )

Evenals bij de beschouwingen bij Guyan-reduktie en het V,R.Q. gaan we er ooknu weer van uit dat de traagheidstermen in ( 3 . 9 ) een minder belangrijke rol spe- len t.o.v. elk der stijfheidstermen.

We hebben een benadering voor het verband tussen afhankelijke en onafhanke- lijke vrijheidsgraden n.1. ( 3 . 5 ) .

Dit verband wordt nu enkel gesubstitueerd in de relevante traagheidsterm van

( 3 . 9 ) waarmee deze vergelijking ook geschreven kan worden als:

I

(3.1 i )

of met de tot nu toe gebruikte benamingen:

1

-1

x = - T x + - Q { D x e + M f}

R e e A R 2 R R ( 3 . 1 2 )

Na x dus opgelost te hebben uit vgl ( 3 . 8 ) kunnen we het afhankelijke deel

x bepalen via vergelijking (3.12).

Uit de nu verkregen vektor

i

= [x x

]

kunnen we via het Rayleigh-quotiënt een betere benadering bepalen voor de bijbehorende eigenwaarde A .

Opgemerkt dient echter te worden dat ook in vgl (3.12) i.p.v. A een bekende benadering daarvoor gesubstitueerd wordt, ook weer vanuit de overweging dat de korrektieterm waarin deze A voorkomt niet zo belangrijk is, en A toch al een orde beter is dan de erbij behorende benadering voor de eigenvektor. Het enige verschil van het hiervoor beschreven proces met de in hoofdstuk I1

besproken Guyan-reduktie, gevolgd door verbeterd Rayleigh-quotiënt is nu: e

R t l

R' e

1 .

Er wordt een ander (beter) verband tussen afhankelijke en onafhankelijke

vrijheidsgraden gebruikt om het aantal vergelijkingen te reduceren.

2. In de gereduceerde vergelijking, en in de vergelijking waaruit het afhan- kelijke deel wordt bepaald, wordt een bekende benadering vûûr de eigen- waarde X gesubstitueerd, hetwelk, omdat deze benadering een orde beter is

dan de bijbehorende vektorl niet zo erg veel uitmaakt. Het stelsel wordt daarmee echter wel oplosbaar.

Indien de vektor welke we op deze manier bepaald hebben een betere benade- ring van de eigenvektor is, dan de vektor waar we van uit zijn gegaan bij bepaling van de korrektievektor f, dan kunnen we ook een betere benadering bepalen voor deze korrektievektor f, waarna alles weer opnieuw doorlopen kan worden.

We beschouwen nu een iteratief proces met het bovenstaande als kern.

De index

niets te maken met welke eigenvektor we aan het benaderen zijn, We hebben dus een schatting voor de korrektievektor f n.1. uit:

duidt er hierbij op dat dit de ie-benadering is, en heeft dus

( 3 . 1 3 )

In de nu volgende iteratieslag bepalen we nu achtereenvolgens:

(i+]) (i> (i+]> = M x (i+i)

+

i

f(i) (zie 3.8)

X uit: A Qe e e e (3.14) (3.15) dus :

(;+i) = - I (i+]> + f(i>)

,

de

(i) Q,,-'{D x e R R uit: f

(i+]

1

A

nieuwe benadering voor de korrektievektor. (3.16)

Door nu het reduktieproces meerdere malen Git te voeren met steeds betere benaderingen voor het exakte verband tussen afhankelijke en onafhankelijke gïootheden z d l e n steeds betere benaderingen voor de te bepalen eigenwaarde en -vektor verkregen kunnen worden.

Omdat we in dit geval met een iteratief proces te maken hebben zullen we ook een kriterium moeten hanteren dat aangeeft wanneer het proces gestopt kan worden, m.a.w. dat aangeeft wanneer de eigenwaarde resp. -vektor vol- doende nauwkeurig bepaald is.

We moeten dus in elke slag op de een of andere manier een schatting voor relatieve fout in eigenwaarde en/of -vektor kunnen bepalen en deze vergelij- ken met de maximaal toelaatbare relatieve fout.

=it kan o . a . op twee manieren:

1. Door de konvergentie van een reeks van benaderingen te beschouwen. In geval van lineaire konvergentie (tests met het iteratieschema hebben aangetoond dat het proces liniair konvergeert) kunnen we in iedere

iteratieslag een benadering voor de konvergentiefaktor A van de benade- ringsvektor voor een eigenvektor bepalen uit:

(3. I S )

Indien we dus minimaal twee iteratieslagen uitgevoerd hebben en A een min o f meer stabiele waarde gekregen heeft kunnen we een schatting voor

de fout in de vektor bepalen uit:

(3.19)

waarin v de betreffende exakte eigenvektor van het probleem is. Voor de relatieve fout moet dus gelden:

(3.20)

E

: de toegestane relatieve fout in de oplossing.

Bovenstaand proces kunnen we natuurlijk ook toepassen op de relatieve fout in de eigenwaarde (zie [4] ) .

2. Door in iedere iteratieslag een onder- en bovengrens voor de eigenwaarde te bepalen via het grensalgorithme van Krylov en Bogoliubov ([I]).

Dit komt in het kort hierop neer:

--.

(i> -

U i t een benadering voor een eigenvektor x bepaien we

(3.21)

(3.22)

indÍenx(i) de eigenvektor v nu voldoende goed benaderd geldt:

(3.23)

Hiermee hebben we dus een ondergrens en een bovengrens voor de eigen- waarde A gekregen.

Na het uitvoeren van dit grensalgorithme kunnen we de grenzen nog trach- ten te verbeteren door toepassing van het grensalgorithme van Kat0 en Temple (zie ook fl]).

-

Enige opmerkingen t.a.v. bovenstaande afbreekkriteria:

a. Beide kunnen uiteraard ook toegepast worden indien na Guyan-reduktie

en V.R.Q. het proces voortgezet zou worden via een ander iteratief pro-

ces bijvoorbeeld power-iteratie.

b. Het voordeel van het le kriterium t.o.v. het 2e is dat het praktisch geen rekent ij d vergt.

c. Bij toepassing van het grensalgorithme heeft men meteen de beschikking over onder- en bovengrenzen voor de betreffende eigenwaarden, terwijl het konvergentiekriterium slechts goede schattingen aflevert nadat enige ite- ratieslagen gedaan zijn.

Doordat het bij de opzet van het algorithme de bedoeling was via een uitbrei- ding van de Guyan-reduktie betere resultaten en informatie over de nauwkeurig- heid daarvan te verkrijgen, en niet een nieuw iteratief proces voor het zeer nauwkeurig berekenen van eigenwaarden en -vektoren te ontwikkelen is gekozen voor het grensalgorithme als afbreekkriterium, omdat indien niet al te grote nauwkeurigheden worden geëist vaak reeds na enkele iteratieslagen kan worden gestopt, terwijl dan bij het konvergentiekriterium nog geen informatie over de mogelijke fout beschikbaar is.

In hoofdstuk IV hierna zijn enige numerieke aspekten van het iteratieve pro- ces belicht o.a. op welke manier een en ander wordt berekend of een stelsel vergelijkingen wordt opgelost.

Hierin wordt ook aangegeven hoe in een iteratieslag tegelijkertijd vrij een- voudig en via weinig rekenoperaties (relatief t.o.v. de rest van het proces n a t ~ u r l i j k ) h e t grensalgorithm~ V I I I K r y l ~ ~ ~*IOrri-t I ~ ~ ~ ~ P V I P - C ! i

IV. Enige numerieke aspekten van het herhaalde reduktieproces Allereerst nog enige algemene opmerkingen.

Evenals bij power-iteratie vertoont ook dit proces de neiging bij de bere- kening van de "lagere" eigenwaarden snel naar de hogere te konvergeren. Daarom moet men o o k bij de berekening van deze lagere eigenwaarden de bijbe- horende vektor steeds orthogonaliseren tegen reeds berekende vektoren van hogere eigenwaarden.

Omdat het een algemeen eigenwaarde probleem betreft hanteren we de Q-nor- mering ofwel normering met Q als kern.

Is men nu de ke eigenvektor aan het benaderen dan betekent dit dat steeds voor moeten zorgen dat:

we er

j = i,2

,...

(k-I) (4.1)

e e

Hierin is de ic benadering voor de k eigenvektor, x de reeds be- kende en voldoend nauwkeurig bepaalde "hogere" eigenvektor.

Om door één of andere oorzaak steeds toenemen of afnemen van de lengte van de benaderingen te voorkomen wordt tevens de lengte steeds genormeerd zodat:

k j

(4.2)

omdat d e lengte van een eigenvektor van geer, enkel belang is in tegerrstel- ling tot de richting heeft dit laatste verder geen enkele konsekwentie.

.,..

we zullen nu een driecal numerieke aspekten van her iteratieve proces be- handelen namel i j k :

(i-i) IV. i. Het bepalen van een nieuwe vektor x(~) uit x

IV.2. Normering, orthogonalisering en bepaling Rayleigh-quotiënt.

IV.3. Het bepalen van een onder- en bovengrens voor A , uit de vektor x via het grensalgorithme van Krylov en Bogoliubov.

.

(i-i)

IV.

1 .

Bepalen van een nieuwe benaderingsvektor

In een iteratieslag wordt een nieuwe vektor x'~) bepaald uit de oude vektor x

de korrektievektor f n.1. f volgens : (i-i)

,

de benzdering voor A n.1, A er, de Senadering VGGT (i-i)

(4.4)

Oplossen van een stelsel vergelijkingen zoals weergegeven in (4.3) vindt hierbij als volgt plaats:

De algemene vorm van de vergelijking is:

We gaan er nu van uit dat we alle eigenwaarden en bijbehorende eigenvek- toren van u Q .x = M .x bepaald hebben.

e e

De eigenvektoren zijn daarbij ondergebracht in de matrix van eigenvekto- ren U:

1 ,

u*, u3,.

. . .

.U de eigenwaarden in de diagonaalmatrix

pd

er geldt o.a.: (4 6 ) ( 4 . 7 )

Substitueren we in (4.5) x = Uy en wordt daarna vóórvermenigvuldigd met U dan geeft dit, samen met (4.8):

1

Hierbij is & I

-

een heel eenvoudig te inverteren diagonaalmatrix. De oplossing a volgt na bepaling van y uit:

x = uy

Vergelijking ( 4 . 4 ) wordt ook op iets andere wijze behandeld. Indien we

,

op die wijze

R e

n.1. voor f substitueren f

is f immers bepaald, dan krijgen we:

(i-i)

(i-i) (i-i) (i-1) +

= x (i-i)

( 4 . IO)

definiëren we nu:

(i-1)

-

(i-i) (i-i)

MRX

-

M M + MRe

(i-1) (i)

-

(i-i)

= x

e e

dx e

dan kunnen we ook schrijven:

(i-I) Deze vergelijking wordt nu opgelost, ervan uitgaande dat M

RX bekend

is uit de vorige iteratieslag (bij de bepaling van het Rayleigh-quotiënt van x

Tijdens het berekenen van (4.81) komt als tussenresultaat de waarde

(i-i)

voor, dit hebben we bij het orthogonaliseren nog nodig.

IV. 2. Nomering, orthogonalisering en Rayleigh-quotient

Hierbij worden wel verschillende eigenvektoren tegelijk bij betrokken zodat we een index invoeren, welke de verschillende eigenvektoren ~ ~~ van

elkaar onderscheidt, We hebben de ie be dering voor de je eigenvektor -~~

=

[i::),

i'i)]

,

voldoend benaderde eigenvektoren, noemen we uk

( 1

<k<j) y

J ej ~

tengevolge van eerdere normeringen geldt:

Stel nu:

( 4 . 1 2 )

( 4 . 1 3 )

uitgeschreven levert dit:

(i)

is bij de bepaling van de nieuwe vektor x'~) de tussenresultaat berekend, Q(i) wordt éénmaal bepaald waarna het bepalen van alle a[k] neerkomt op het vermenigvuldigen van vektoren met elkaar.

Hierna bepalen we :

QR x

ex

- a [ ] ] u -@[2]u2-.

. . .

.afj-iJ u

1 j-i

voor de vektor y(i) geldt nu:

( 4 . 1 5 )

Normering

Er moet gelden:

dus :

( 4 . 1 7 )

Rayleigh-quotiënt

Het Rayleigh quotiënt behorende bij de georthonormeerde vektor z(~) wordt:

(4.19)

en omdat de vektor z ( ~ ) Q-genormeerd is behoeven we dus enkel de teller te bepalen, de noemer is immers i.

(4.20)

Mi:', vroeger M(i) genaamd, wordt weer gebruikt bij de bepaling van een nieuwe vektor in een eventuele volgende iteratieslag.

RX

IV. 3 . T s via het Krylov grensalgorithme.

Hebben ~ we een benadering x(~) voor een eigenvektor, dan kunnen we daar-

uit grenzen afleiden voor de bij die eigenvektor behorende eigenwaarde indien de benadering

eigenvektor (zie [l] ) .

althans niet te veel afwijkt van de exakte

Hiertoe dienen we te bepalen:

De onder: en bovengrens volgen daarna uit:

ondergrens- p-i-6 A 6 p

-

4

= bovengrens

Hebben we dus een benadering x(~) dan moeten we hiervan de "eerste geïte reerde" x bepalen volgens:

(4.23)

-(i+l)

-(;+I) - 1 (i>

X = Q M x _{( 4 . 2 4 )}

-(;+I)

X

X ( i + i ) = v e k t o r b e p a a l d door een h i e r v o o r b e s c h r e v e n i t e r a t i e s l a g u i t x D e v r a a g i s nu, i s h e t m o g e l i j k om na u i t v o e r i n g v a n een i t e r a t i e s l a g , u i t d e daarmee v e r k r e g e n v e k t o r x

zonder d a t het n o o d z a k e l i j k is, p a r a l l e l a a n d i e i t e r a t i e s l a g steeds een p o w e r - i t e r a t i e s l a g t e moeten maken.

= v e k t o r b e p a a l d door p o w e r s l a g na x ( ~ ) , dus d e eerste g e i t e r e e r d e .

(i)

.

d i r e k t d e eerste g e i t e r e e r d e t e b e p a l e n ,

4.24 b e t e k e n t e i g e n l i j k h e t o p l o s s e n v a n :

-(i+]) - ( i + i )

($1

($1

Q,, + Qke = M~~ X~ + MRe

'

-(i+]) -(;+i) -

'

X(Q

+

M x (i) Q,te X~ + Qee - MRe R ee e

v o o r d e v e k t o r x ( ~ ) _R kunnen w e s c h r i j v e n : (4.25) (4.26) (4.27) d i t g e s u b s t i t u e e r d i n (4.25) levert: -(i+]) nu kunnen we met (4.28) (4.27) en (4.26) d e v o l g e n d e r e l a t i e v o o r x b e p a l en : e ( 4 . 2 9 ) Volgens h e t eerder beschreven i t e r a t i e p r o c e s b e p a l e n we een nieuwe v e k t o r X ('+I) u i t d e oude x(i)volgens:

e e

(4.30)

- ( i + ] ) ( i + l )

U i t (4.30) en (4.29) v o l g t nu h e t verband t u s s e n x _e en x _e n . 1 .

1

-(;+I) (i) (;+i)

-1

(i) (i+])

X = A x - x

+ Qe Me(xe e

e e (4.31)

-1

Vergelijking ( 4 . 2 8 ) kunnen we ook schrijven als: -( i+l ) -I

í

i) (i) ) R e e + Q,, (MM + M!te = - T x -(i+i) X

- -

-

T X-(i+]) + Q,, -1 (MRx(i) e e ( 4 . 3 2 ) (i) -(i+]) = x de teller van& uit ( 4 . 2 1 ) wordt met Q-I M x

1

-(i+]) -(i+]) -(i+i) -(i+]) - (i+i)

Qge X :(i+]) = X R Q,, X R + 2 X, 1 -(i+]) -(i+i> Qee xe + ( 4 3 3 ) hierin nu ( 4 . 3 2 ) gesubstitueerd: ( 4 . 3 4 )

is bekend na bepaling van het Rayleigh-quotiënt in de vorige ite- Ex-

-'

ratieslag, zodat het enige echte rekenwerk neerkomt op de bepaling van de tweede term van het rechterlid van ( 4 . 3 4 ) .

P uit ( 4 . 2 2 ) is gelijk aan het R.Q. behorende bij x(~), dus bekend, en

tengevolgde van de normering geldt tevens:

dus :

Indien nu Q en Q,, beide gedekomponeerd zijn volgens: e

1 I

Qe = LeeLe _{$22, = L ,* L} dan kunnen we ook schrijven:

( 4 . 3 5 )

( 4 . 3 6 )

Voor de bepaling v a n e 2 dienen we dus te berekenen:

1 ,

L, -I Mgx(i) -(i+])

Er d i e n t w e l op gewezen t e worden d a t w e e i g e n l i j k t w e e p a r a l l e l loperide

p r o c e s s e n beschouwen.

We gaan n . 1 . u i t v a n x(') en b e p a l e n h i e r u i t v i a een i t e r a t i e s l a g z o a l s i n Hoofdstuk I11 beschreven een nieuwe vektor x

welke w e v i a een p o w e r - i t e r a t i e s l a g u i t x(') gekregen zouden hebben wordt nu u i t x(~+'' b e p a a l d , dus d e p o w e r - i t e r a t i e s l a g z e l f w o r d t n i e t u i t g e v o e r d . D e grenzen d i e we dus v i n d e n z i j n b e p a a l d u i t d e v e k t o r x"), n i e t u i t -(;+i)

.

De v e k t o r x ( í + l ) (;+i) X

V. Het rekenprogramma

We gaan uit van een algemeen eigenwaardeprobleem van orde n, met stijfheidsmatrix Q en massamatrix M, beide bandmatrices met band- breedte b.

Hiervan willen we nu een klein aantal van de grootste eigenwaarden (laagste eigenfrekwenties) met bijbehorende eigenvektoren berekenen (de eerste nv stuks) met een maximaal toelaatbare relatieve fout eps in de eigenwaarde.

De keuze van de onafhankelijke vrijheidsgraden dient vooraf gemaakt te worden, waarbij deze e onafhankelijke vrijheidsgraden ook bij dit iteratieve proces zoveel mogelijk gekozen dienen te worden volgens de richtlijnen beschreven in hoofdstuk 11.

Op de volgende bladzijden wordt de opbouw van het programma toege- licht aan de hand van een blokschema, gevolgd door enige algemene opmerkingen, met tot slot een korte beschrijving van de belangrijkste procedures welke in het programma een rol spelen.

V. 1.Blokschema van het rekenprogramma begin

0

Algemeen eigenwaarde pr ob 1 e em

Q,

M, n 3 b , nv

4

kies aantal externe(e stuks)

i

statische reduktie

I

1

oplossen gereduceerde, stelsel met G.E.P.

nee c nv

>

i ? c end

I

or thonormeer 1 bepaal V.R.Q. ( A j

t

~ bepaal f; uit

I

I

print

1

benader ingen,

1

~~ I

t

iteratieslag j-e vektor + krylov grenzen

1

I I Kato-grenzen ( j + i je-vektor I ~ - 1 relfout

<

eps? iteratieslag

V . 2 E n i g e algemene opmerkingen n . a . v . h e t blokschema

B i j h e t d o o r l o p e n v a n d e i t e r a t i e c y c l u s wordt b i j h e t b e g i n v a n e l k e i t e r a t i e s l a g gekeken o f aan een tweetal voorwaarden i s v o l d a a n n . 1 .

1 .

I s d e r e l a t i e v e f o u t i n d e eigenwaarde k l e i n e r dan d e gewenste

r e l a t i e v e a f w i j k i n g E .

2.

I s d e k o n v e r g e n t i e w e l snel genoeg, o f kan b e t e r met h e t p r o c e s g e s t o p t worden.

t.a.v. punt

2

d i e n t opgemerkt t e worden d a t b i j d i t k r i t e r i u m gekeken wordt o f :

1

1

1

z e l f t e b e p a l e n g r o o t h e i d

g r e n s b r e e d t e ( i - i )

-'

b i j v o o r b e e l d

-

1

.

20

g r e n s b r e e d t e ( i - i ) i s h e t i n d e s l a g t e b e p a l e n interval (boven- g r e n s - ondergrens), idem g r e n s b r e e d t e (i) i n d e i e - s l a g .

I n h e t programma wordt ook g e b r u i k gemaakt v a n d e p r o c e d u r e Kato-grenzen welke, i n d i e n op d e een o f a n d e r e manier grenzen v o o r een eigenwaarde z i j n b e p a a l d , v i a h e t g r e n s a l g o r i t h m e v a n K a t 0 en Temple d e z e grenzen t r a c h t t e v e r b e t e r e n . ( z i e h i e r v o o r ook [ i

]

)

.

I s e e n eigenwaarde op een b e p a a l d moment nog n i e t nauwkeurig genoeg be- p a a l d d a n wordt een l o o p d o o r l o p e n w a a r i n n i e t a l l e e n d e o n d e r h a v i g e benadering v o o r d e e i g e n v e k t o r v i a een i t e r a t i e - s l a g wordt v e r b e t e r d , ook d e benadering v o o r d e e e r c t v o l g e n d e e i g e n v e k t o r wordt i n een itera-

t i e s l a g v e r b e t e r d , i n d i e n a l t h a n s d i e vektor n i e t r e e d s nauwkeurig genoeg benaderd i s . D i t l a a t s t e i s gedaan om h e t e f f e k t v a n d e p r o c e d u r e "Kato-grenzen" t e v e r g r o t e n . Deze maakt v o o r d e v e r b e t e r i n g v a n e e n b e p a a l d i n t e r v a l g e b r u i k v a n d e n a a s t l i g g e n d e i n t e r v a l l e n , z o d a t i n d i e n één v a n d e z e n a a s t l i g g e n d e in- t e r v a l l e n e r g g r o o t i s , de p r o c e d u r e geen e f f e k t s o r t e e r t .

Omdat d e benamingen v o o r d e v e r s c h i l l e n d e grootheden i n h e t programma soms a f w i j k e n d z i j n v a n d i e welke t o t nu t o e gehanteerd z i j n , z u l l e n d e b e l a n g r i j k s t e grootheden h i e r o n d e r weergegeven worden, mét d e bena- ming welke t o t nu toe gehanteerd werd, e n voor b e p a a l d e grootheden d e benaming binnen veel voorkomende p r o c e d u r e s .

programmanaam oude naam oms chr ij ving n ne x2 n - 1 1 ns bandb. X nv r elnauwk M _{ee 'ee}

,o

e X e R R X

-

b nv ePS

n orde van massa- en stijfheidsmatrix (totaal aantal vrijheidsgraden)

aantal onafhankelijke vrijheidsgraden (binnen de procedure n2)

onafhankelijk deel van de vektor aantal afhankelijke vrijheidsgraden (binnen de procedures ni)

afhankelijk deel van de vektor aantal onderdrukte vr ij heid sgraden bandbreedte van M en Q

aantal gewenste eigenwaarden

gewenste relatieve nauwkeurigheid van de oplossing (in de eigenwaarde)

gereduceerde massa- en stijfheidsmatrix

Verder komen nog een aantal nieuwe grootheden in het programma voor n.1. n max

n elm

maximaal aantal interatieslagen

orde van de stijfheidsmatrix van een element indien de konstruktie wordt opgebouwd uit vierhoekige plaatelementen via de procedure "maak matrices". Integer aangevende of wel o f geen informatie over uitmatrices

verschiiiende matrices uitgevoerd dient te worden uitmatrices = O - geen uitvoer

matrixvorm Integer aangevende op welke manier de matrices M en

Q ingelezen zullen worden.

F

U

Lam u 1 - [~:nv,~:ni]

u2 [~:nv,o:ne)

matrixvorm is O via "maakmatrices"

1

via "leesbij zonderebandmatrix" 2 via "leesbandmatrix"

vektor bevattende de informatie wélke vrijheidsgraden onderdrukt, extern resp. lokaal genomen dienen te worden

matrix van eigenvektoren van het gereduceerde (Guyan) stelsel

vektor met eigenwaarden daarvan.

matrix bevattende de afhankelijke delen van de iteratie- vektoren

matrix bevattende de onafhankelijke delen van de iteratievektoren.

Het programma kan een aantal gevallen tegelijk doorrekenen waarbij de

invoer er als volgt uitziet:

-

aantal gevallen

hierna per geval:

-

n, bandb,nv,nmax,relnauwk,uitmatrices,nelm,

matrixvorm

-

de matrices Q en M o p de door matrixvorm bepaalde manier