Over modulaire vormen van meer veranderlijken

Over modulaire vormen van meer veranderlijken

Citation for published version (APA):

de Bruijn, N. G. (1943). Over modulaire vormen van meer veranderlijken. Noord-Hollandsche Uitgevers Maatschappij.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1943

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

OVtR MODULAIRE

VORtvIJ:::J\J

VAN

MEER VERANDERLIJKEN

K 244

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE. OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS DR D. NAUTA, HOOGLEERAAR IN DE FACUL-TE!T DER GODGELEERDHEID, IN HET OPEN-BAAR TE VERDEDIGEN OP V R IJ DAG 26 MAART 1943, DES NAMIDDAGS 2 UUR, IN HET GEBOUW DER MAATSCHAPPIJ VOOR DEN WERKENDEN STAND,

KLOVENIERS-BURGWAL 87, TE AMSTERDAM, DOOR

NICOLAAS GOVERT DE BRUIJN

GEBOREN TE 'S-GRA VENHAGE

1943

N.V. NOORD-HOLLANDSCHE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ AMSTERDAM

Vrije Universiteit voor de mij verleende gastvrijheid. In het bijzonder ben ik U, hooggeleerde KoKSMA, erkentelijk voor de bereidwilligheid,

waarm~ U de taak van Promotor op U hebt genomen, en de interesse, die U voor deze dissertatie hebt getoond.

Voorts ben ik allen dankbaar, die tot mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen: in de eerste plaats den hoogleeraren en lectoren van de Rijksuniversiteit te Leiden. Het feit, dat ik door omstandigheden slechts gedurende twee jaren van hun colleges heb kunnen profiteeren, wordt door mij nog steeds als een gemis gevoeld. In het bijzonder dank ik U, hooggeleerde VAN DER WoUDE, voor de warme en oprechte belangstelling, die U steeds voor het wel en wee Uwer leerlingen hebt getoond.

Doch bovenal ben ik dank verschuldigd aan U, zeergeleerde KLOOSTERMAN, voor de wijze, waarop U erin bent geslaagd, mijn belangstelling te winnen voor alle onderwerpen, die U na aan het hart liggen. Ook in dit proefschrift hebt U een actief aandeel gehad, zoowel door het vroeger door U verrichte wetenschappelijke werk, waarvan dit in zekeren zin een voortzetting is, als door de verhazing~

wekkende nauwkeurigheid, waarmee

U

mijn manuscript hebt be~

studeerd.

Ook U, hooggeleerde VAN DANTZIG, ben ik zeer erkentelijk. De enkele maanden, gedurende welke ik het voorrecht genoot, Uw assistent te zijn, waren voor mij in allerlei opzichten uiterst leerzaam. Hooggeleerde BOTTEMA, de dagelijksche omgang met U, die scherpzinnige kritiek weet te paren aan hartelijkheid, bescheidenheid en gemoedelijkheid, is mij steeds zeer aangenaam geweest.

Prof. Dr. 0. BLUMENTHAL heeft mij zeer verplicht door de bereid~

willigheid, waarmee hij mij in enkele gevallen behulpzaam is geweesi:. Tenslotte betuig ik mijn dank aan allen, die mij door belangstelling en aanmoediging bij mijn studie tot steun waren. In het bijzonder denk ik hierbij aan mijn collega's W. VAN DER KULK, H. BOLDER, Dr. E.W. BETH, Dr.

J.

DEKNATEL,

J.M.

REIJNIERSE en Ir.

A. A.

B. VAN DIEMEN DE JEL ..

INLEIDING . . HOOFDSTUK I.

De theorie der T-operatoren voor modulaire vormen van meer ver.anderlijken met den trap 1 . ·

1. Matrices van de orde

n .

2. Modulaire vormen van den trap 1

§ 3. De operatoren T(n, x) . . . . HOOFDSTUK II.

Meervoudige thetareeksen in meer veranderlijken .

§ 1. T otaal-definiete kwadratische vormen in N

=

2 k

varia-belen . . . . 2. N-voudige thetareeksen in n veranderlijken . 3. Bepaling van P ({J, c'l)

4. Vormen van den trap 1 . AANHANGSEL LITERA TUURLIJST BLZ. Xl 8 18 26 26 30 42 57 61 63

Op voorstel van HiLBERT zijn door BLUMENTHAL 1) modulaire functies van meer veranderlijken gedefinieerd ten opzichte van een totaal-reeel 2_{) algebra1sch getallenlichaam}

_K:

Met een matrix

(Y

a~)

u (a,{3,y,o€K; ao-{3y-=f0)

correspondeert een stelsel substituties

aO) 7:(1)

+

(3(1) . a\n) T(n)

+

{3(n)

7:(1) - 'l:(n) - _ _ _ _ _

I - yOl 1(1)

+

JO) ' ••• ' I - y(n) 1(n)

+

o(n) '

(1)

waarin rO , ••• , 1(n) complexe veraf?.derlijken zijn; a = aO>, a(2l, ••• , a(n)

zijn de geconjugeerden van a.

Is de determinant a = a b -

/3

r

totaal-positief, clan transformeert (1) het door de ongelijkheden 0(r(l))>O •.•. , 0(r(n>)>O gedefinieerde gebied

T

in zichzelf. Een in

T

gedefinieerde functie F(r(ll, ..• , r(n)) heet nu een modulaire functie, als F. behalve aan enkele regulariteits-voorwaarden, voldoet aan

F

-F·(

(t) (nl)

(

a(l) 1(1)

+

(3(1) _{a(n) 1(n)}

+

/3(n))

,/'(!) 1( I)

+

J(l) ' • . • ' y(n) 1(n\

+.

J(n) - 1 ' • • • • 1

voor_ alle matrices (;

~)

uit- een bepaalde groep I'. HILBERT koos hiervoor de groep van matrices,. waarbij a, {3,

y, o

geheel zijn en

a b -

f3

r

een totaal-positieve eenheid is.

Daarnaast zijn o.a. door KLOOSTERMAN modulaire vormen be-handeld; .deze voldoen, behalve aan enkele regulariteitsvoorwaar-den; aan

- (i) (i) _ (i) k (I) (n)

( a(!) ₁(1)

+

(3(1) · _{afn) 1(n)}

+

/3(n))

n

F

y(I) 1(1)

+

J(l) • · · · • y(n) 1(n)

+

J(n)

-i!fi

(r 1

_-1

_{O ) F(r • · · ·,} T )

1 ) BLUMENTHAL [ 1, 2]; cijfers tusschen [ ] verwijzen naar de literatuurlij~t. 2 ) Een algebra!sch getallenlichaam K heet totaal-reeel, als de geconjugeerde lichamen K

=

K(l), ... , K(n) reeel zijn.

XII

voor alle matrices (;

~)

uit een bepaalde groep. Hierin is k een

geheel raticnaal getal, - k heet· de dimensi~ van den vorm.

Een uitbreiding van deze begrippen werd verkregen, door bij

een vast geheel ideaal

9J1,

in de groep van HILBERT alleen

. matrices toe te laten met

(;

~)

- (

~ ~)

(mod

9J1).

De groep die zoo ontstaat, heet een groep van den trap (Sttife)

9J1.

Overeenkomstig hiermee definieert men modulaire functies en vormen van den trap

9J1.

De theorie der T(n)-operatoren werd (voor de modulaire vormen van

een

veranderlijke) behandeld door HECKE en zijn school. De grondslag is te vinden in HECKE [1]. Belangrijke bijdragen werden geleverd door H. PETERSSON, terwtjl een bruikbare theorie voor de transformatie van de thetareeksen werd gegeven door BRUNO SCHOENEBERG.

Een uitgebreid, doch moeilijk leesbaar overzicht van den stand der theorie werd in 1940 gegeven door HECKE 3_):

De theorie der T-operatoren heeft tot resultaat, dat onder zekere voorwaarden in de (eindige) lineaire schaar van modulaire

vormen van den trap M en dimensie -k een basis kan worden

gekozen, die bestaat uit eigenfuncties van de (onderling commuta-tieve). T-operatoren, die z66 zijn gedefinieerd, dat de coefficienten uit de machtreeksontwikkeling van de eigenfuncties een bepaalde multiplicativiteitsrelaties blijken te voldoen. De met diezelfde coefficienten opgebouwde DIRICHLET-reeksen bezitten op grond daarvan een EuLER-productenontwikkeling, die analoog is met die van de zetafunctie in imaginair-kwadratische lichamen.

In de schaar van de reeksen van EISENSTEIN zijn de eigen-functies gemakkelijk aan te geven; ze correspondeeren met bekende, uit L-reeksen van DIRICHLET opgebouwde EULER-producten.

In

de theorie van kwadratische vormen leveren de multiplicatieve coefficientenrelaties, opgesteld voor de thetareeksen, die ook modulaire vormen zijn, relaties tusschen de ,,Losungszahlen" van

de diophantische vergelijking

A

(x1, •• .,X2k)=n, waarin

A

(x1,. .. ,x2k)

een positief~definiete kwadratische vorm in X1t • •• ,

x

2k is. Uit de

klassieke theorie van de kwadratische vormen van twee variabelen zijn dergelijke reiaties van oudsher bekend.

Het doel van dit proefschrift is de uitbreiding van de arithme~

tische grondslagen van de theorie van HECKE tot modulaire vormen van meer veranderlijken. Oit is in groote trekken gelukt, zoodat er alleen moeilijkheden van functietheoretischen aard over~

blijven. Deze zijn niet eenvoudig, daar onze kennis van analytische functies van meer veranderlijken nog zeer beperkt is. Onover-komelijk zijn ze echter waarschijnlijk niet. Practische toepassingen op kwadratische vormen zijn wegens de groote complicaties nog ver verwijderd.

Voor de formeele behandeling van de T~operatoren zijn

ver-schillende uitbreidingen noodzakelijk en zeer vruchtbaar gebleken. 1. Het is noodzakelijk, behalve het gebied

T

ook de gebieden met andere signatuur te beschouwen : Is w een signatuur

wUl

=

± 1 (i

=

1, ... , n), dan stellen we het gebied

w<il

0

(rUl)

>

0 (i

=

1. ... ,

n) door

T

w voor 4

). De in de verschillende

T

w' s te definieeren vormen zijn alleen dan triviaal te verkrijgen uit de in

T

reeds gedefinieerde, wanneer w de signatuur van een singulier getal is.

De vormen in de andere Tw's werken echter evengoed mede bij den opbouw van de EuLER-producten, terwijl de samenhang van de vormen in de verschillende

T

w' s juist door de T-operatoren aan het licht komt.

Daar we ons nu niet meer tot het gebied

T

beperken, kunnen we in de transformatiegroepen ook matrices toelaten, waarvan de determinant niet totaaJ~positief is.

2. In plaats van de groep van HILBERT beschouwen we de groep I'0 (zie blz. 8), de normalisator _van de groep I'1 (zie biz. 2)

4_{) De letter T is zoowel voor gebieden als voor operatoren gebruikt, ofschoon} deze begrippen overigens niets met elkaar te maken hebben. Voor verwisseling bestaat geen gevaar.

in de groep van alle matrices met van nul verschillenden determinant. Als zoodanig komt deze groep reeds bij HURWITZ 5) voor.

3. HECKE. behoefde slechts de reeksontwikkeling jn

een

,,Spitzett

van het fundamentaalgebied te beschouWen, hiet is echter·

gelijk-tijdige behandeling van alle modulo I'₀ niet equivalente ,,Spitzen" noodzakelijk.

4. Een minder belangrijke uitbreiding wordt nog verkregen, door inplaats van de dimensie · -k een dimensie-vector - u

=

=

(-uOl; •.. , -u(nl) (u(il geheel rationaal) toe te laten 6).

In Hoofdstuk I van dit proefschrift worden de T-operatoren gedefinieerd en de multiplicatieve relaties tusschen deze operatoren afgeleid. Ter vereenvoudiging is daarbij alleen het geval van den trap 1 beschouwd; de theorie bij den trap

we

hoop ik later elders te publiceeren. Deze is veel ingewikkelder, doch biedt niet veel principieele moeilijkheden meer.

Het . belangrijkste functietheoretische probleem is, de eindigheid van de lineaire schaar van modulaire vormen van gegeven trap en dimensie aan te toonen. Dit prob!eem is hier echter niet aan-geroerd en is voor de in dit proefschrift behandelde stof ook niet noodig.

Hoofdstuk II bevat de uitbreiding van de transformatietheorie van SCHOENEBERG voor meervoudige thetareeksen. De voor-naamste moeilijkheid ligt hier in de keuze van een eindige schaar van speciale thetareeksen, ·die door modulaire substituties in zich-zelf wordt overgevoerd (zie clef. 1, blz. 31). In tegenstelling tot ScttOENEBERG behandelen wij hier ook substituties met determinant a

=f

1. De beschouwing daarvan is voor de toepassing van de theorie der T-operatoren beslist noodzakelijk.

In bepaalde gevallen blijken reeds bij de dimensie - i theta-reeksen van den trap l op te treden, hetgeen in enkele opzichten de hier gegeven theorie interessanter maakt clan het geval van een veranderlijke, waar thetareeksen van den trap 1 pas bij de dimensie

-4

aanwezig zijn.

Ter vereenvoudiging is van de toevoeging van de z. g •

.,bol-5 ) A. HURWITZ, Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlerikorper, Gott. Nachr., Math.-phys. Klasse 1895, biz. 342.

functies t. o. v. een kwadratischen vorm", zooals door S,HOENEBERG is gedaan, afgezien. Alleen het eindresultaat is in het Aanhangsel opgenomen; de lezer zal gemakkelijk aan de hand van SCHOENE~

BERG [1] de voor het bewijs noodzakelijke wijzigingen in den tekst kunnen aanbrengen.

Er

is naar gestreefd, den inhoud van dit proefschrift onafhankelijk te maken van de opgegeven liter atuur. Van de theorie van HECKE is niets bekend ondersteld.

Voor de elementaire ideaaltheorie zij verwezen naar HECKE, V orlesungen iiber die Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig 1923, in het volgende steeds met HECKE, A. Z. geciteerd.

Tenslotte zij hier nog opgemerkt, dat Stelling II, blz. 6 slechts volledigheidshalve is opgenomen en eventueel kan warden over~

geslagen.

Notaties. De meeste gebruikte notaties zijn ontleend aan KLOOSTERMAN [2]. HECKE [1] en SCHOENEBERG [1]. Nieuw zijn de notaties [1),

fl,

(blz. 2) en

F

11

M

(biz. 12), terwijl de veel

voorkomende uitdrukking e2_{"i S(/) door e (f) is vervangen (biz. 12).}

a _

0 (b) en

a

C b beteekenen ook bij gebroken idealen, dat

a

b-1 _{geheel is; de notatie bf}

_a

_{en de uitdrukking ,,b is een deeler} van

a"

blijven echter voor geheele

a

en b gereserveerd.

(a, b) beteekent ook voor gebroken idealen de

G. G.

D. van

a en b: de verzameling van alle sommen

a+

fJ

met a€ a,

fJ

€b. De betrekking c (a, b)

=

(ea, c b) blijft hiervoor geldig.

a

fJ

(a) beteekent, dat (a-{J)

a-

1 _{geheel is,}

3

(z) is het imaginaire gedeelte van

z.

De different van

K

wordt overal door b voorgesteld.

In Hoofdstuk II ontstond de moeilijkheid, een not~tie te vinden voor vectoren, waarvan alle componenten algebra'ische getallen zijn. Daar over een afzonderlijk lettertype niet meer kon worden beschikt, is besloten, voor deze grootheden de letters ~. YJ· '· w,

e

te reserveeren. In de formules is steeds duidelijk, of een getal dan wel een vector is bedoeld.

De stellingen, hulpstellingen en definities zijn in ieder hoofdstuk, de formules en voetnoten in iedere paragraaf afzonderlijk ge~

De theorie der T ~operatoren voor moduiaire vormen van meer veranderlijken met den trap 1.

§

1. Matrices van de orde

n.

K

zij een vast algebraYsch getallenlichaam van den graad n, dat

we van

§

2 af totaal~reeel onderstellen. Met kleine Grieksche letters geven we getallen van

K,

met kleine Gotische letters idealen van

K

aan. Wanneer niet uitdrukkelijk is vermeld, dat een getal of . een ideaal geheel is, is dat niet verondersteld. Met getal of ideaal

is steeds bedoeld : getal of ideaal van

K.

Definitie

1.

Is a een 'getal en n een geheel ideaal, z66, dat

(a)n-1 _{ideaal~kwadraat is ((a)= nb}2_{), dan noemen we een matrix}

( _y a

fJ)

₀

met al>- fJ y =a, a - fJ - y o 0 (b)

een ,,matrix van de orde n met determinant a".

Hulpstelling 1 i). Zijn a, (J,

y, a

getallen met (a,

/J)

=

(y,

a)*

0,

dan zijn er getallen 2, µ, Y,

e

met

~

r=2a+µfJ

(1)

a__:_va+efJ, 2,µ,Y,(! geheel, A(!-µY=l.

Bewijs. Uit

a=

(a, {J)

=

(y, a) volgt, dat er geheele getallen Ai,

µi. 'Jli en (!1 bestaan, z66, dat

r

=

Aia

+

µifJ, 0 =Via +eifJ· Zij

A= Ai+ (JI;, µ

=

µi - al;, v =Yi

+

fJ17, (!

=

ei - a17. Dan is ook

'Y = fo

+

µ fJ,

o

= va

+

(! {J, en Af! - µ 'Jl = A1 (!i - Yi µi

+

fJ !; f!i

-- ar;A.i

+

a/;Yi -/Jr;µi

=

A.ie1 - Yiµi +!;a - r;y.

Daar ( : ,

! )

=

1, en 1 - (A.1 f!i - Yi µi) geheel is,

ku~nen

we de 1) A. HURWITZ, Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlenkorper, Gott. Nachr., Math.~phys. Klasse 1895, biz. 335; het hierboven gegeven, door dr. KLOOSTERMAN medegedeelde bewijs is eenvoudiger dan dat van HURWITZ, dat gebruik maakt van de eindigheid van het aantal ideaalklassen.

1

getallen ~en r; z66 kiezen in-, dat

_a

~CJ-r;y= 1 - l1

e

1 - Y1µ1•

Dan is 2

e -

µ Y

=

1, terwijl 2, µ, 11,

e

geheel zijn.

Definitie 2. Zijn

9

en f (niet noodzakelijk geheele) van nul

verschillende idealen, zoo, dat

9

f hoofdideaal is, dan verstaan we

onder een matrix van het type [9. f] een matrix

(2)

met de eigenschappen a _

r _

0 (fJ).

f3 _

CJ -

0

(f). terwijl de

determinant o =a CJ -

fJ

r ·

voldoet aan (o)

=

9

f.

,

Is de determinant <J (met (o)

=

9

f) voorgeschreven, clan spreken

we over het type

[9.

fJ.

De existentie van matrices van ieder type wordt in hulpst. 3 aangetoond.

Hulpstelling 2. Is (o)

=

9

f.

en is (2) een matrix van het type

[9.

f]~. dan is (a, y) =

9.

(fJ,

CJ)=

f.

Bewijs. Wegens o=aCJ-{Jy is oE(a,y)(fJ,CJ). Nu zijn

(a~y)

en ({Jf CJ) geheel, hun product is deelbaar op

~~

=

1.

dus beide idealen zijn aan het eenheidsideaal gelijk.

Hulpstelling 3. Is (o)

=

9

f =f- 0, dan bestaan er matrices van het type

[9.

f]~.

Bewijs. Is a=f-0 een willekeurig getal uit

9.

clan is er daarbij steeds een y E

9

te vinden met (a, y)

=

9.

dus (a

f.

r f)

=

(o). (o) is dus te schrijven als som van een getal uit a f en een getal uit

r

f;

ieder getal uit a f is te schrijven als a CJ (CJ

d).

ieder getal uit y f als -

fJ

y ({J E f). dus

<J =a CJ-

fJ

y, met

fJ

CJ _ 0 (f).

Definitie 3. De groep van matrices (::) met geheele l, µ, Y,

e

en determinant l I} - µ v

=

1

geven we met I'1 aan.

Twee matrices M en M' heeten linksequivalent mod I'1 , als

er een matrix LET; is met LM=M' (dus M'=L-1_M,

_L-

1_EI'

1).

dat

an-

1 _{een ideaal-kwadraat}

is,

_{dan verstaan we onder}

een

links-klasse mod I'1 van matrices van de orde n met determinant a de

verzameling van alle matrices, die mod

I'.,

met

een

vaste matrix

van die soort linksequivalent zijn.

Het is duidelijk, dat al die matrices van de orde n met deter-minant a zijn.

Het ligt in onze bedoeling, een volledig representantensysteem • van deze linksklassen aan te geven. We bewijzen daartoe eerst

nog enkele hulpstellingen. Gemakkelijk toont men aan:

Hulpstelling 4. Is

(a)= 9f1=-

0 en is M een matrix van het

type

[f),

r],,

dan is iedere met M mod I'1 linksequivalente matrix

van datzelf de type.

Omgekeerd:

HulpsteUing

5.

Is(a)=9f1=-0,enzijnM=

(;~)en

M'=

(;'.~'.)

matrices van het type

[f),

f],, dan zijn M en M' mod I'1

links-equivalent.

Bewijs. Het is voldoende, aan te toonen, dat

M'

M-1 _€I' 1 • De determinant van

M'

M-1 _{is aa-}1

. 1, terwijl

Men gaat gemakkelijk na, dat de elementen van de product-matrix geheele getallen zijn; bijv.

a'o€9f=(a),fi'rE-9t=(a),

enz.

Hulpstelling 6. Is a 1=- 0,

n

geheel,

(a)= n

b2_{, en M een}

matrix van de orde n met determinant a, dan is er een deeler

9 van n, daarbij een matrix M0 van het type [9 b, fb]o (waarin

f=n9-

1

, dus f geheel) en.een getal

17€9-

1 met M=M₀

LJ'1,

waarin U

= (

~ ~)

en

LJ'I

een symbolische schrij{wijze is voor

(

~ ~).

Bij gegeven M en n

i~

door dezen eisch

fJ

eenduidig bepaald.

(a, y) _ (fJ, o) O (b), zoodat (abr)

=

f) en ({Jb of geheel zijn. Verd er

. . (a, y) (fJ, o)

volgt mt

a=

a o-{J71

, dat aE: (a, y)(fJ, o), zoodat -b- . -b-deelbaar

· (a) D h I · h d I

~

d fi ...

1s op (JZ

=

n. er a ve 1s ₉ een ee er van .11; i e meeren we

door

fJ

£=11 (fb behoeft niet = (fJ, o) te zijn).

Is

y' =f=

0 een getal E: n b, clan is

y'

E:

fJ

b =(a;

y).

Er is dus een . getal a'E:(a,y) met a'=f:O en

(a,y)=(a',y').

Volgens hulpst.

1

is er dus een matrix LE: I'1 z66, dat

( I Rf\

LM=

a~\

-

\ r' o')

voldoet aan (a', y') =bf), y' E: 11 b, a'_ fJ' y' _ o' 0 (b). Bovendien is

o'

E: tb, hetgeen we als volgt inzien: Wegens a'

o' -

fJ' y'

=a,

fJ' E. b, y' E: n b geldt a' 01

E: (a). Verd er is (a'. y')

=-

b f), dus, daar

y'd1n en f)/n, (a'b-1_{,n)=fJ. Nu zijn a'b-}1 _en

_o'b-

1 _{geheel. hun}

product is deelbaar door n, terwijl a' b-1 _{met 11 den G. G. D.}

_fJ

heeft. Daaruit volgt, dat

o'

b-1 _{deelbaar is door n f)-}1

_=f.

_dus

o'Etb.

We bepalen nu een 'fJ met

(3)

17 -

0 (

~).

a' 'f}-{J'

_o

(fb).

Deze congruenties zijn oplosbaar, want fJ' E b=

(~· ~) ~

( tb,

~):

· a'

E

er is dus een

EE

~ met E . fJ' (f b ), zoodat 'f}

=a'

een oplossing van (3) is.

Nu is

M

= (

1 a' fJ')

(1

-17)

=(a' fJ' -a' 'f})

1

,r' o'

o

1

r' o'--,- r'

'fJ

van het type [fJ b,

fb

J,,

want de determinant is weer a, terwijl a'E:f)b. y'E:f)b, fJ'-a''f}db, o'db, ')'1

'f}E:ltbf)-1_=fb. We hebben nu

M

1

=LMU-'fJ,

dus

M=L-

1

M

1

U'fJ.

Daar

volgens hulpst. 4

L-

1 _M

1

=Mo

weer van het type [fJ

b,

tb]o- is, -volgt hieruit het gestelde.

Dat

f)

eenduidig door

M

en n is bepaald, volgt uit het feit, dat bij rechtsvermenigvuldiging met

U 11

de elementen uit de eerste kolom van een matrix niet veranderen .

.,..,. T n· ,.., T I \ h f'-+ 11 · }\lf • • nu1psteu1ng ; . ~s ,o,

=

9 ~ / ~. en is ,v1 een matrix van het

type

[f),

f]", dan is noodig en voldoende, opdat M'

=

M

U11

weer

van dat type is (hetgeen volgens hulpst. 4 en 5 equivalent is met

den eisch, dat M' en M mod I'1 linksequivalen t zijn}, dat 11 _ 0 (

~)

.

Bewijs. Zij

M

= (; ;).

clan is noodig en voldoende, opdat

M'

weer van het type [f), f]a is, dat (3+11 a a+ 11 y 0 (f). Deze voorwaarden zijn wegens

fJ=

a

0 (f) equivalent met de voor~

waarden 17 a 1J

r _

0 (r), dus met 11 (a, y) _ 0 (f) of 1J

f)

0 (r), q.e.d. . De hulpstellingen 3 t.e.m. 7 leveren nu onmiddellijk

Stelling I. ls n * 0 geheel, a* 0, terwijl an-1 _{een ideaal~}

kwadraat is ((a)= n '62_{), dan wordt een volledig representanten~}

systeem van linksklassen mod I'1 van matrices van de orde n met

determinant a gegeven door

[f) b, fb]a

u11.

waarin fJ de deelers van n doorloopt, f daarbij is gedefinieerd

door

f)

f

=

n, terwijl 17 de getallen uit

~

doorloopt mod

~

.

In deze uitdrukking stelt het symbool

[f)

b,

fb

]a een willekeurige

matrix van dat type voor.

Het aantal linksklassen bedraagt dus

Hulpstelling 8 2

).

fJ aan

:2

N(f)

=

:2

N

(f)).

f)/n f)/n

Voldoen de idealen b, m, t en het getal

·t O (b),

b

=

(m,

(3).

t

*.

o.

dan bestaat er een getal ~ met

~ _ (3 (m), (~. t) =b.

2 ) Vgl. A. HURWITZ, Zur Theorie der algebraischen Zahlen, Gott. Nachr., Math.-phys. Klasse 1895, biz. 330. Het hierboven gegeven bewijs is afkomstig van dr. KLOOSTERMAN.

Bewijs. Voor fJ=O of m=O is de bewering gemakkelijk in te zien; we onderstellen verder, dat fJ, m en dus ook b niet nul zijn. Daar zoowel de gegevens als de bewering niet van inhoud veranderen, als de grootheden b, m, t,

fJ,

!; met eenzelfde getal worden vermenigvuldigd, mogen we aannemen, dat b, m, t en

fJ

geheel zijn, en dat t ~ 1 is.

Bepaal een geheel ideaal

c

z66, dat b

c

een hoofdideaal (w) is en ( c, ; ·

! )

=

1. Speciaal is clan (w, m)

=

(w, t) =b.

Daar fJ E b

=

(w, m) is er nu een geheel getal 17 en een µEm z66, dat fJ = w17

+

µ. Dan is b = (fJ, m) = (w17, m) = (b c17, m) = 1

m) . (. m)

=

b ( c17,

b

=

b 17,

b ,

dus (4) . t

Zij nu r het product van alle priemfactoren van

b,

die niet in

~

opgaan. Dan is ( r,

~)

=

1. Dus er is een eE r en een AE

~-

z66, dat 1 - 11 ..:___

e

+

J,, dus 11

+

2 1 (r). Hieruit volgt

(5) (17

+

l, r)

=

1. Uit (4) en (6)

m

(5) volgt wegens l E

b :

( 17

+

l,

f)

=

1.

Het getal !;

=

w (17

+

2) voldoet nu aan de gestelde eischen, want

1°. fJ=w17+µ=!;+µ-wl. Hier is w2Ebc

~=cm_S_m,

dus

fJ - t; (m).

2°. (!;, t)

= (

w (17 + },), t) = b ( c (17+1),

! )

= b ( 17 + J,,

! )

= b (volgens ( 6) ).

Stelling II. Bij vaste van nul verschillende a en b met o · 0 (b2₎

equivalent, d.w.z. zijn Mi en M₂ dergelijke matrices, dan zijn er matrices Li € I'i, L2 € I'i met Mi = Li M2 L2 •

Bewijs. We gaan uit van een willekeurige matrix

M,

die aan de bovenstaande voorwaarden voidoet, en zullen deze door ver-menigvuldiging links en rechts met matrices uit I'i op een standaard-vorm brengen; de

G.G.

D. van de elementen en de determinant zullen bij dat proces niet veranderen.

Door vermenigvuldiging links kunnen we bereiken, dat voor de nieuwe matrix geldt y'=f=O, y'E.(o)b-i=nb ((o)=nb2_{; vgl. het}

begin van het bewijs van hulpstelling 6); we zullen daarom direct onderstellen, dat y =f= 0 en y € n b is.

Zijn }, en v nog nader te bepalen geheele getallen, dan is

LJl'MUv=(

1

l },)

(·afJ)

('l

v)=(a+A.rfJ+A.O+va+vA.y)=(a'fl'.).

,01. yb 01 y b+vr rb.

Zetten we (a, b)

=

m, dan is (m, {Jl

=

b, want (a, (3, y, <5) = b, terwijl wegens o =a b -

fJ

y geldt o € b (,8, b), dus y € ({J, b), zoodat

y uit (a, {J, y, b) kan worden weggelaten. We passen nu hulpstelling 8

toe met

t

= (y): er is een µ€

m

met (,u

+

fl, y) = b; we kunnen dus wegens

m

=(a, b): geheele getallen }, en v z66 bepalen, dat

A. b

+

v a+

/3

=

µ

+

f3

met y de G. G. D. b heeft, dus b

=

(fJ'

+

+

v A. y, y)

=

(/3',

y ).

Wegens a' E: b is nu de congruentie a' 'YJ {J' (y) met geheele 'YJ

. 1 b I · - 0

((a',

y)) N (a', y) "h

op os aar, en er vo gt uit: 'YJ

=

- b - , . oemen we-b-= '!•

dan is 'YJ 0 @, en f) een deeler van n.

Uit a' b'

=

fJ'

y _ 0 (o) en y b' - 0 (o) volgt verder (a', y) b' = =bf) b' ~ 0 (o), dus 'YJ b' 0 (n b). Zetten we nu

(~

;:) (

~'YJ ~)

=

(a;

'YJn:,'

~:)

=

(;:~:)=Mi,

dan is a"_ y" _ 0 (nb), (3' - b'

=

0 (b), zoodat Mi van het type

[nb, b]~ is.

Als standaardvorm kiezen we nu een willekeurige matrix van het type [n b, b]~. Volgens hulpstelling 5 is clan M1 door links-vermenigvuldiging met een matrix uit I'i op <lien standaardvorm te brengen.

§

2. Modulaire vormen van den trap 1.

Definitie 4. Is

e

een ( geheel of gebroken) ideaal met

e

~ 0,

e

2 _(/)

₁

1_{), dan heet het type [}

_{e, e]}

_{een eenheidstype.}

Een matrix van een eenheidstype kan steeds als matrix van de orde 1 worden ge1nterpreteerd en omgekeerd ..

'

Stelling

III.

De matrices van de eenheidstypen vormen een

groep I'_{0 •}

Bewijs. 1°. het type [

e1 ,

ei]

Want

Is

ei (/) e~ (/)

1, en zijn M1 resp. M2 matrices van resp.

[e2 ,

e2],

clan is

M

1

M

2 van het type

[e

1

e

2 ,

e

1

e

2].

Mi

Mz

=

(a1 f31) (a2

fJ2)

=

(a1

a2

+

(J1 _Y2

a1

_(J2

+

_{J1 _{02 );}

Y1 01 Y2 02 Y1 a2

+

01 Y2 Y1 fJ2

+

01 02

de getallen met index 1 resp. 2 zijn ~eelbaar door

e1

resp.

ei.

zoodat de elementen van de productmatrix alle deelbaar zijn door

e1 e2 ,

terwijl de determinant

=

a1 a2 is, met (a1)

=

ef,

(a2)

=

e~. dus (01 02)

=

_{(e1 e2)2•}

2°. Is

M

= (;

~)

van het type [

e, eJ,

((o)

=

e

2

), clan is

- ( oo-1 -(Jo-I)

M

1

₌

_van

- y 0-I a o-1

het type

le-

1,

e-

1],-1, hetgeen men eveneens gemakkelijk inziet.

Ondergroepen van _I'0, die I'₁ bevatten, zullen we met I' (al of niet met indices) aangeven. De groep van de determinanten van de matrices uit I' geven we met ~ aan (met correspondeerende indices). @₀ is dus de groep van getallen o uit

K,

die een hoofd~

ideaal voortbrengen, dat het kwadraat van een ideaal is (m. a. w" @0 is de groep van de singuliere 2) getallen). Want bij iedere singuliere o ( (o)

=

e

2

) zijn volgens hulpst. 3 matrices van het type [ e, e

J,

te vinden. @1 is de groep, die alleen het getal 1 bevat.

Js @ een groep met @₁ ~@ ~ @_{0 ,} clan is daarmee de groep

I' (I'1 ~ r~ I'o) eenduidig bepaald.

r

moet nl. bij iedere 0 E:@

minstens

een

matrix van het eenheidstype [e.

e],

bevatten (als e 1 ) De uitdrukking ., Ct is equivalent met b" en de notatie Ct ~ b beteekenen

,, Ct b-I is hoofdideaa!". 2_{) HECKE, A. Z., biz. 253.}

het ideaal is, waarvan het kwadraat

=

(o) is). Dan bevat I'

wegens I'

2

I'1 alle matrices van dat type (hulpst. 5); I' is dus

de groep van alle matrices uit I'0 , waarvan de determinant in

@ ligt.

Daar @₀ abelsch is, volgt uit

I;

C I'; C I'j C I'0 , dat I';

normaal-deeler in I'j is, I'j /I'; (/)@ j /@;; I'j /I'; is dus ook abelsch.

We kunnen een groep I' homogeen maken, door alle matrices

e

M (ME I',

e

=f-

0) er aan toe te voegen (voor zoover ze er niet reeds in lagen); voor deze groep schrijven we

I'.

I'0 is reeds

homogeen: Ta=I'0 • Met

I'

correspondeert @=@@1, waarin

Q\

de groep is van alle kwadraten van getallen

=f-

0 uit

K.

Met @* geven we aan: de groep van alle totaal-positieve 3 ) getallen uit @. Met @* correspondeert I'*: de groep van . alle matrices uit I', waarvan de determinant totaal-positief is. Duidelijk is, dat @* =@ n @(j .

De operaties @~®=@®

1

en @~@*=@n@(i zijn verwissel-baar, want ®1S®o, dus (@®1 n@o )=(@@1 n@0@i)=(@n@0) ®1· zoodat @*=(®)*; we kunnen dus schrijven @*.

Belangrijk zijn nog ;de ondergroep @,, bestaande uit alle een-heden van

K,

en de bijbehoorende groep I',; I',* is de z.g. ,,HILBERTsche Modulgruppe der Stufe

1".

@, is de groep van alle getallen o

=f-

0, die het kwadraat van een hoofdideaal voort-brengen ( (o)

=

(a)2).

De belangrijkste indices kunnen we nu bepalen. Ter afkorting geven we hier een groep aan door het symbool, waardoor een element van die groep wordt voorgesteld. Zoo beteekenen

a getallen

=f-

0,

o singuliere getallen,

e eenheden,

f3 totaal-positieve getallen,

{31

=

±

/3

totaal-positieve en totaal-negatieve getallen,

e idealen met e2 VJ 1, w signaturen 4 ), w₀ totaal-positieve signatuur. 3) HECKE, A. Z., blz. 242.

4 ) Bij iedere signatuur i:v is een getal te vinden, dat w tot signatuur heeft, vgl. HECKE, A. Z., biz. 252.

Dan is

De laatste factorgroep is de groep der ideaalklassen, waarvan het kwadraat de hoofdklasse is.

Verder is volgens de tweede isomorphiestelling

@,/@

1 = ·sa

2

j

a2 (/) 8/₈2 =groep der ,,Einheitenverbande".

Is @2 =

/J2

de groep der kwadraten van totaal-positieve ge-tallen, clan is

@1/@2 =a2j fJ2 (/) aj /31 (/) w j

±

Wo.

Van alle hier genoemde factorgroepen is de orde een macht van 2.

Bij ieder geheel rationaal getal k definieeren we riog de groep

@(k)• bestaande uit de getallen o=a2 met

N

(a)k

>

0. Als

k

even is, clan is dus @(k) =

®

1 ; steeds is _{@ 2}

_s;_

@(k)

_s;_

@1•

Van nu af aan onderstellen we K totaal-reeel, n is de graad van

K.

Met rOl, ... , y(n) geven we n onafhankelijke complexe

veranderlijken aan.

Is w=(wOl, ... , w(n)) een signatuur (wUl=± 1), clan is

Tw

het gebied wUl0(rUl)>O(i=L ... , n. Met 0(z) wordt het imaginaire deel van het complexe getal z bedoeld). Vervolgens is k een geheel rationaal getal, terwijl, als a een getal van K is, de geconju-geerden van a warden aangegeven door a=aOl, ... , a(n); hetzelfde geldt voor idealen (met overeenkomstige indices).

Is FUl =F(aUi, aUi, ,Ul, wUl, .• . ), clan defin!eeren we

n n

N (F) = II FUl (norm van F), S (F) =

L:

FUl (spoor van F);

i=l i=l

zoo beteekent bijv.

N

(yr+ o) hetzelfde als

(yOi y(I)

+

(j(ll) ••• (y(n) i(n)

+

(j(nl). Een systeem van n gelijkheden of ongelijkheden

F (aUl, aUl, ,ul, wril, ... ) = O resp.

>

O (i = 1, ... , n)

zullen we steeds voorstellen door een gelijkheid resp. ongelijkheid, doch zonder bovenindices:

Zoo kunnen we bijv.

Tw

door w

0

(r) > 0 voorstellen.

Is w een signatuur met w

F>

0, clan heet w de signatuur van _

F:

w

=

sgn

F.

Is

F

>

0, clan heet

F

totaal-positief.

Is qi (w) =qi (w0 l, ... , w(ni) voor alle signaturen en alleen daar-voor geclefinieercl, dan schrijven we i. p. v. qi (w sgn a)

=

=

ip(w(ll sgn a(ll, ... , w(n) sgn a(nl) ook wel <p (wa). Zoo zetten we bijv.

Tw"

i.p.v. Twsgn"-• enz.

Met een matrix M

= (:

~)

correspondeert een substitutie

a r

+

f3 (il aUl y(i)

+

(JU) .

r1=rr--f=b (d.w.z. r1 =yUlrUl+oUl' z=l. ... ,n).

Is

a=j=O

de determinant van

M,

clan wordt het gebiecl wJ(r)>O(Tw) hierdoor getransformeerd in waJ(r1)>

O(Taw).

aangezien

°"

(a

r

+

(J)-

a

0

(r) '0

\rr+o -

irr+~·

Is F(r)=F(r(ll, •.. , r(nl), en M= (; :). clan definieeren we5₎

F

(~+

/3)

. yr+

o

F

(r)

I

M

=

N

(r

r

+

o)k .

waarin weer

F (;:

~

! )

een afkorting is voor

(

a(ll r(ll

+

f30l a(n) y(n)

+

/3(n))

F y(l) y(I)

+

o(I) • • • • • y(n) T(n)

+

C)(n), •

Gemakkelijk blijkt, dat voor ieder paar matrices M1, M2 geldt

(F

(-r)

l

M1) \ Mz

=

F

(r)

I

(M1 M2).

Definitie 5 6_{). Een in alle}

_Tw

_{gedefinieerde functie F (r) heet}

modulaire vorm van het type (I'1 , - k), wanneer

1°. F (r)

I

L

=

F (r) voor alle L € I'1,

2°. F(r) regulier en eenduidig is in alle

Tw.

5) In deze .notatie komt de afhankelijkheid van k niet tot uitdrukking; dat is geen bezwaar, aangezien we steeds met dezelfde k werken.

3°.

bij iedere matrix M

= (;

~)

met determinant a =;t'=

0

een

ideaal m bestaat, z66 dat F (r) IM voot r € T w kan warden ont~

wikkeld in een absoluut convergente reeks

(1) F(r)/M=c(O)+

2

c(r)e(vr),

WP>0

v=o(m)

waarin e (f) een afkorting is voor e2_{"i S(f).}

We merken hierbij op, dat de coefficienten in deze ontwikkeling eenduidig bepaald zijn, hetgeen voor w

>

0 is in te zien door overgang op de variabelen u1 , ••• , Un, gedefinieerd d()()r cie.

ver..-gelijkirigen Ui

=S

(wi r);- waari~ W1, ••• '~~ een totaal~positieve

basis van het eenheidsideaal is 7_{); het geval, dat w niet totaal~} positief is, is hierop gemakkelijk te herleiden. Langs dezen weg is ook aan te toonen, dat de voorwaarde 3°. vervangen kan worden door ,,F(r) IM in w

0

(r)

>

1 begrensd (bij iedere Men iedere w)". Is

F

slechts in een

Tw

gedefinieerd, dan spreken we over een ,,modulairen vorm in

Tw"·

Het getal - k heet de dimensie van F.

De in verschillende

Tw's

gedefinieerde waarden van een modulairen vorm behoeven niet door analytische voortzetting samen te hangen, want een modulaire vorm in

T

w. die niet identiek nul is, heeft den rand van

T

w tot natuurlijke grens 8_).

Door toepassing van clef. 5, 1°. op de matrix(---: 1 O ) blijkt,

0 -1

dat wanneer N(-l)k

= (-

l)nk

= -

1 is, iedere vorm van het type

(I'1 , -k) identiek nul is. We onderstellen daarom verder steeds,

dat (-l)nk

=

+

1

is.

We zullen de vormen van het type (I'1, - k) nog nader indeelen

naar het gedrag ten opzichte van substituties van de groep I

_0.

Is

F

van het type (I'1> - k) en is (a)= f) f =;t'= 0, zijn verder M 1 en M2 matrices van het type [f), f]r,, clan is er een L € I'1 met

L

M.,

=Mi.

dus FI M1

=

(F /

L)

I

M1

=

F / L

M1

=

F / M1.

We . kunnen dus definieeren

FI

[f),

r],

=

FI

M1.

Is

M

een matrix van een eenheidstype· [e, e],,., clan zetten we nog

F/(M=N(e)kFj M.

Ligt

M

in r(k) ( dus is a het kwadraat van een getal µ met N(µ)k

>

0), dan is

(2)

\

(af3\

F(;:!~)

!

FllM=Fll

r o)

=N(e)k N(rr+o)£ =

J

_N(e)k

F!

(aµ-1 13µ-1)-

N(e)k

FIL

( - N (µ)k

r

µ-1 b µ-1 - N (µ)k .

Nu is LEI'1, terwijl (µ)=e en N(µ)k>O, dus N(µ)k=N(e)k.

We vinden dus, dat

F

II

M

=

F voor alle ME I'(k)·

Is nu

x

een karakter van de (eiildige abelsche) factorgroep I'0 / I'<kl

(die met @0/@(k) isomorph is), dan noemen we

F

van het type

(I'_{0 , -} k, x), wanneer F aan clef. 5 voldoet en bo"vendien voor alle ME. I'₀ geldt

FllM=x(M)F.

Hierbij is

x

(M) de waarde van het karakter

x

voor die restklasse mod I'(kl· waar

M

in ligt. Aangezien alle

M'

s met denzelfden determinant o in eenzelfde restklasse liggen, kunnen we X ook interpreteeren als een karakter van de factorgroep @0/@(k), dus als ' een voor alle singuliere o gedefinieerde multiplicatieve functie van

o: Als o=detM. dan is x(M)=x(o). Voor oE@(kl is x(o)= 1.

We kunnen nu op de bekende wijze iedere F van het type ( I'1, - k)

schrijven als som van vormen van de typen (I'0 , - k, x) (waarbij

x alle g karakters van I'o/ r(k) doorloopt):

F=.SFx. Fx

=

_!_

.2

X

(L)

F

II

L,

X g LEI'o

LmodI'(k)

waarin

Fx

een vorm van het type (I'_{0 , -} k, x) is; gemakkelijk gaat men na, dat

Fx

aan def. 5 voldoet.

We kunnen dus nu volstaan, met bij iedere

x

de vo.rmen van het type ( I'o, - k, x) te bestudeeren. Er kan echter nog Worden

opgemerkt, dat er niet steeds bij alle

x'

s vormen. bestaan, die niet identiek nul zijn, want voor o E @1• o = a2 moet daai:toe gelden x(a)= N(sgna)k (vgl. (2) ).

ledig multiplicatieve functie x(a) uitbreiden tot de groep van alle getallen

=f-

0 va~

K.

Dit kan z66 gebeuren, dat

x

ook daar vol~ ledig multiplicatief blijft, terwijl steeds

Ix

I= 1 is. De mogelijkheid is als volgt in te zien: we tellen de getalien

=f-

0 van K af:

a1, a2, a3, ••• ; de groep @In) zij door volledige inductie gedeflnieerd

als de kleinste groep, die zoowel @(n-I) als an bevat, terwijl

@(OJ=@0. Gemakkelijk is nu X achtereenvolgens op @(I), @(2), ••• , uit te breiden.

We zullen, als

F

een modulaire vorm van het type ( I'0 , -

k ..

x)

is, de machtreeksontwikkelingen (1) nader bestudeeren, en ons daarbij beperken tot het geval. dat

M

een matrix van een type

[fJ,

f], is

(f)

f =(a)

=f-

0); het algemeene geval is daarop volgens hulpst. 6 direct terug te voeren door een substitutie r=r1

+11.

Stelling IV. · Is F (r) een modulaire vorm van het type

(I'0 , - k, x). dan is er bij ieder ideaal

f)

=f-

0 en bij iedere signatuur

w eeh coefficient c₀

(f),

w), verder bij ieder geheel ideaal m, dat

met het kwadraat van een ideaal equivalent is, een coefficient

c (m) z66, dat als f) en

£

idealen zijn met f)

£ (/)

1. f) £=(a)

=f-

0,

voor iedere signatuur w en voor alle r €

T

w geldt 9_{) :}

·'

_{F(r)/[f),f],.x(a)N(f)k=x(a)c}

(vfb)

0(f),aw)+

2

c ~ e(vr)x{v).

wv>O ':I

v=o(~)

Is a1 een singulier getal,

(o1)

=

e

2, dan is c0 (f), w) = c0 (f)

e,

a1 w) X (a1)·

Bevat K een eenheid c: met N (c:)k

= -

1, dan is c₀

(f),

w)

=

0.

Bewijs. We mogen onderstellen, dat voor alle a geldt

x

(a2_{)=N(sgna)k, aangezien anders}

_F

_{identiek nul is.} Volgens clef. 5, 3° is er een ideaal m met

F

(r)

I

[f),

f],

=

ci(O)

+

2

ci(v) e (vr) (r €

Tw);

wv>O

v=O(m)

de c₁'s hangen natuurlijk nog van f), a en w af. 9) Steeds is b de different van K.

f

Wegens hulpst. 7 is verder voor iedere 17 E.~

(FI

[1), f],,)

I

Un

=FI

[1),

f],,

zoodat

Wegens de eenduidigheid van de ontwikkeling (1) is c1 (v) hoogstens dan

=f=O,

als e(v17)=l (d.w.z.

S(v17)

geheel) voor alle

f 1)

1J E.~· dus als v E. f b·

We hebben dus

Zetten we c2(v,1), a, sgn v)

=

c2(v,1), a) als v

=f:

0, dan kunnen we

in deze formule c2(v,1), a, w) door c2 (v,

f),

a) vervangen.

Is seen eenheid 10_{), en}

_M

_{van het type [f), i]., clan is (} 8_-1

O)

_{M (}

8

0)

. 0 1 0 l

dat ook, zoodat

FI

M

=FI (

8

~

1

~)

M (

~ ~)

=

X (s)

(FI

M)

I (

~ ~),

dus (rE.

Tw.

erE. T,w):

c2 (0, l), a, w)

+

,2 c2 (v, f), a) e (vr)

X

(v)

=

w1·>0

·o)

v:::=o(fl)

=

X (e) { c2 (0, l),

a, s

w)

+

Z

c2

(v,

l), a) e

(v

t: r) X (v)

!·

wv::=o

v=o(J..)

_{- fb}

Zetten we in het rechterlid vt:=v', en noemen we

v'

weer v,

clan gaat het over in

X

(t:}! c2 (0, l), a, t: w)

+

Z

c2 (v

c\

I), a) e (v r)X (v)

x

(t:)},

wv>O

v::=o(~)

waaruit blijkt

(3) _c2 (v, [),a)= c2 (i::v, f), a) (v

*

0).

f b

Is nu m een geheel ideaal

*

0 met m (/) ---,--, clan zetten we

. t)

c3(m, f), a)=c2(v, f).a), als v een getal is met (v)=

7bfJ.

Wegens (3)

is deze definitie onafhankelijk van de keuze van v. Voor alle w

geldt nu dus (TE:

T

w)

(4) F(r)i[f),f],x(a)N(f)k=c2(0,f),a,w)+ 2) c3((v)y:..,fb, f),a)e(vr)x(v). wv>O ';!

•=o(t\)

Zijn !; en

r;

getallen

*

0, en is M van het type [f), !'.],, clan is

M(~~)

van het type [!;f),r;rlf'l,. We passen nu twee keer (4)

!;

toe. Eerst (rE

Tw.

dus -TE

Ts,

₇w):

r;

(F

(r)

IM)

I (/;

0)

X

(a)

N

(r;)k

N

(f)k

=

I 0

r;

=

Cz

(0,

fJ,

a, wh)

+

2

c3 (

v~b,

f), a)

e (v/;r)

x

(v).

•=o(r\)

r; s'l•W>O Z . h V/; I I d b. 1

etten we ier -

=

v en noemen we v weer v, an ijkt

r;

wegens x(r;2)=N(sgn r;)k, dat

Aan den anderen kant volgt. direct uit (4), dat het linkerlid van (5) gelijk is aan (rE

Tw)

Cz

(0,

n,

/;r; O, w)

+

v=;(

s(J

)C3 (

v;~b, ~fJ,

/;r;

0)

e (n)

X

(v).

- 'lbf

Vergelijking van de beide laatste formules levert

en (v

=f=

0)

c3 (

v

i

~b,

fJ,

a)

= C3 (

v;

~b,

gf),

g

11

a) ,

fb

dus voor alle geheele

m

met

m (/)

~

c3 (m, fJ, a)= c3 (m, gf),

g

11 a).

Hieruit blijkt, dat c3 niet van a, en wat fJ betreft, hoogstens van de klasse van fJ afhangt. We zetten c3 (m, fJ, a)= c3 (m, fJ).

We beschouwen tenslotte een willekeurige matrix

L

van een

eenheidstype [ e, e

]e (

e2 _{= (e) ). Is}

_M

_{van het type [fJ, r]~ clan is}

_{L M}

van het type [

e 1). e

r]e 0-•

Eenerzijds is F(r) J L=N(e)-k x(e)F(r), dus volgens (4) (rE: Tw)

(7) F(r)JLM.x(ea)N(re)k=c2 (0,fJ,o,w)+

l:

c3('v!b.f))e(vr)x(1!).

wv>O 9

v=o _- (~) _bf

Aan den anderen kant geldt F(r)

I

LM

= F(r) \ [ef),d]e~· dus weer volgens (4) (r€ Tw) is het linkerlid van (7):

c2(0,efJ,eo,w)+

2

c

3

(v~b.eIJ)e(vr)x(v),

wv>O 9 ;

v=o(~)

dus (8) c2 (O, fJ, a, w) = c2 (0, e fJ, ea, w) en (9) c3 (m, fJ)

=

c3 (m, e

9)

9

92

voor alle geheele m met m (/)

t

b (/)

b.

Dan is, daar b met het kwadraat van een ideaal equivalent is 11_{), m dat eveneens. Is om~} gekeerd m geheel en met een ideaal~kwadraat equivalent, en fJ een ideaal met

9

2

(/) b m, clan kunnen we zetten 11) HECKE, A. Z., Satz 176.

c (m}

=

c3 (m,

fJ).

Is nl.

fJ

1 een tweede ideaal met

fJi (./)

b m, clan is

(fJ

1 f)-1)2 (./) 1,

zoodat c₃ (m,

fJ)

=

c₃ (m, f)i) volgens (9). Vervolgens stellen we

c2 (0,

fJ,

a, w)

=

X (a) c0 (fJ, a, a w), waardoor (6) overgaat in (a; 17 w

=

w') (10)

Hierin is 17 willekeurig, zoodat c₀ niet van zijn tweede argument afhangt: c0

(fJ,

a, w)

=

c0

(fJ,

w). Toepassing van (8) levert nog

c0

(fJ,

w)

=

c0

(fJ

e, Q w) X (e) voor alle

e

en e met (e)

=

e2

=f

0.

Zij tenslotte c een eenheid met N(c)k

= -

1, dus x(e2

)

= -

1,

clan is volgens (10) met ;

=

e, 17

=

1 : c₀

(fJ,

w')

= -

c0

(fJ,

w'),

dus

co

(fJ,

w')

=

0. Hiermee is St.

IV

volledig bewezen.

§

3. De operatoren T (n, x).

Definitie 6. ls n een geheel ideaal, dat met een ideaal-kwadraat

equivalent is, en (a)

=

n b2

; M_{1, •• ,}

Ms

een volledig

representanten-systeem van linksklassen mod

I'

1 van matrices van de orde

n

met

determinant a; F (i) een vorm van het type ( I'0 , - k, x). dan zij 1)

s

(1)

FI

T

(n, x)

=

N

(n)k-I

N

(b)k

x

(a)

,SF

I

Mi.

i=l

Het rechterlid is onafhankelijk van de keuze van de represen-tanten: als

Mi==LM[, LEI'

1, clan is

F/Mi=F[Mi

wegens

FIL=

F.

Het -is echter ook onafhankelijk van de keuze van a (mits natuurlljk a n-1 _{een ideaal-kwadraat blijft). Is nl. (a}

1 )

=

n

bi,

clan is

o

1

=eb, e

2

=(a1

a-

1); is nu

L

0 een matrix van het type [e,e].,.1,.-1,

clan is

L

0

M

1 , •• • , L0

Ms

een volledig representantensysteem van linksklassen mod I'1 van matrices van de orde n met determinant a1, want uit

LL

0

Mi= L

0

Mj

(LEI'.,),

volgt wegens

Lo

1

LL

0

E

I'1

en

Lo

1

L L

0

Mi= Mi··

dat i

=

j. De uitdrukking voor FI T(n, x).

opgebouwd met a1 en 01 , i. p. v. a en b, wordt dus s

N (n)k-l N (b_{1)k X (ai)} .2'

FI

L₀ M;, i=l

en dit is wegens

F / L

0 .

x

(<Ji a-1)

N (

e)-k

F

hetzelfde als het rechterlid .

van (1).

Volgens

St. I

kunnen we nog schrijven (r

=

n f)-1 ):

(2) FIT(n.x)=N(n)k-1_N(b)kx(a):E

z

_{Ff[bf),bf],.Un.} l)/n nE:2

lj f

'}mod{)

Stelling V. ls n een geheel ideaal, dat met het kwadraat van een ideaal equivalent is, en is F een modulaire vorm van het

type (I'o, - k. x). dan is FI T (n. x) dat ook.

Bewijs. Zij L0 een matrix van een eenheidstype [e, ele· Is

M1 , .- •• , Ms een volledig representantensysteem van linksklassen mod I'1 van matrices van de orde n met determinant a, clan is

M1 L0 , ••• , Ms L0 hetzelfde bij orde n en determinant a fl· Dus,

daar (a e)

=

n (b e)2:

s

F \ T

(n, x)

=

N

(n)k-i

N

(6 e)k

x

(a e)

Z

Fi

Mi Lo=

i=\

=

x

(e)

Nk

(e) (F [T(n, x))

I

L0

dus

(FI

T

(n, x)) II

Lo=

x

(e) (FI

T

(n, x) ).

Bovendien constateert men gemakkelijk, dat F[ T(n,x) aan de regulariteitsvoorwaarden van clef. 5 voldoet.

Stelling VI. Zi]n

m

en n geheele idealen 2

)

=f

0, die met

ideaal~kwadraten equivalent zijn, dan is voor iederen vorm van het type (I'o' - k, x)

FI

T

(m, x) .

T

(n. x)--:-

:E . N

(c)k-1 _FI

_T

('5~

2

11

,

x) .

c/(<JC, n) C

De operatoren T (~1. x) en T (n, x) zg·n dus verwisselbaar.

2 ) Ter vermijding van indices geven we hier getallen en idealen ook door hoofdletters aan.

Bewijs. We kiezen idealen

\B,

b en getallen L), a met

en berekenen, als !) een deeler van n is

(fJ

f'

=

n,

.f;;J

~

=

91), de uitdrukking

I

F I T

(SJc,

x)[b !), b.f], N (SJC)l-k N (\B)-k x (.2)

=

(3)

=

(F [

.2

.2

[\B

.f;;J,

\B

R]z UH) [

[b

!), bf'], . . 'Q/91 HE.~-! Hmod~.p-1

We kiezen bij vaste !) voor het type [b !), bf'], een representant

(

~ ~J

z66, dat y E.

SJ(

1t b; de mogelijkheid is met behulp van

,Y

i

hulpst. 1 in te zien (vgl. bewijs van hulpst. 6). Vervolgens kiezen we bij iedere .f;;J/SJC voor het type [\B

.f;;J,

\B

Rh, een representant

I AB'

\I'

LI)

met

I'

E. SJC 1t

\B;

voorloopig blijft oak

.f;;J

vast. Is HE. .f;;J-1 clan is het stelsel

(4)

₁

_o

_{(.f;;J\).J,a_f3+Ho}

(~

0

)

Rf . .

mod

.f;;J

!) eendmd1g naar

J,

oplosbaar. Voor de oplosbaarheid is

voldoende f3+1-1

o

0 (.;

~· ~~b}

Hieraan is voldaan, want

(at

SHb)

f f f

bf

\.f;;Jf'

T =

.f;;Jl) (a,Rl)b)-2_.f;;J-l) (a, SJ<nb)-2_.f;;Jl) (a, y)=

.f;;J

bf Rf)

terwijl

f3

+

Ho

E.

.f;;J. T

egelijk met }, voldoet ook

1

1, als },1 }, (

.f;;J

!) , .

SH

Voor de eenduidigheid mod

.f;;J

!) is het voldoende te laten zien, dat

. Rf

uidd(.f;;Jl))-1_{,fo O(SHb.f;;J-}1

) volgt },E. .f;;J!). Triviaal is, dat clan

l.f;;J!)

geheel is, en a(l.f;;Jl)) O(Rfbl)). Verder is aE.bl) en (a,y)=bl),

1 ~

Doorloopt verder in (4) ff de getallen van ~mod ~· clan doorloopt

r

~r

A de getallen van &;;>

9

mod &;;>

9

.

Want:

(

~) I

st

f

1

e. Uit

H1 _

H2

~

volgt 11 11 ( &;;>

f))

als zooeven. daar (H1 -H2)o_O(~fb~-1).

r

2e. Is A E ~ f), clan is er een HE ~-1• die aan (4) voldoet. fb

Want clan is A a -

fJ

E ~; het is dus voldoende te laten zien, dat

fb

(o

SUb)

~ .s_ ~·T

.

Nu is o=ao -fJy, dus oE(b[Jo, b2_~f)r),

dus fb .s_(o,SH'b), q. e.d. .

We kunnen nu opmerken, dat de matrix

(AB)"

LJH(a

fl)u-i.. (Aa+(B+HA)y AfJ+(B+HA)o)u-1.

\I'

L1 y o I'a+(Ll+HI')y I'f3+(L1+HI')o

van het type [QJ b ~ f), Q3 b ~

fh,

o is, hetgeen we kunnen controleeren met behulp van de congruenties (4) en de relaties I'E IJ1nb, yE?)1nb,

AE QJ~, B 6 _0(QJ~). aE'b9. f3_o O(fb). We kunnen nu voor het linkerlid van (3) schrijven

(5) Fj

2

2

(QJ'b~fJ, QJ'f:J~f]Io

LJ}·,

dus (6) f)f'J( l.Eff)-10-1 !.modSHf)- 1 {)-l

I

,

F

!

T

(?)1, x)

T

(n, x)

N

(IJl

n)1-k

N

(QJ b)-k

x

(2o)

=

=2 2 2 2F

I

[QJ'b ~f).

Q)b

~f)I,,.

u

1_·+1J

₌

'7 O/n f)/IJ'l i.

i

=

2

FI

[aQJb, mn Q}b]

2) 2) 2)

a/'l'ln

a

I" _a_/"/( ) E_t_ l.EJI_

(a, 'l'l) " n,a '7 g ag

1}mo:in{l-2 !. d IJ'ln

mo a'.! LJ!·+'l,

want bij gegeven a=~ f) is

fJ

gebonden aan de voorwaarden