Hoofdstuk 6 Afsluiting meetkunde

Hoofdstuk 6:

Afsluiting meetkunde

V-1

a. AFDE is een parallellogram, dus ED3

ABC EDC  :  (hh), dus 3 2 9 8 23 CD   en 3 1 9 7 23 EC    b. De vergrotingsfactor is 6 9 FB AB 

V-2 In elke gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk aan elkaar. Als van twee gelijkbenige driehoeken de tophoeken gelijk zijn, dan zijn de basishoeken ook gelijk. De twee driehoeken zijn dan gelijkvormig (hh).

V-3

a. ASM : CSB (hh) met vergrotingsfactor 1 2 AM BC  2 2 2 2 2 3 3 5 12 83 BS  BM    

b. ABT : CNT (hh) met vergrotingsfactor 12 4 3 AB CN   2 2 3 3 1 4 4 12 10 12 61 AT  AC     V-4 a.  180o50o80o 50o _{b. 12}2 _72_62_{   2 7 6 cos( )} 6

AC (gelijkbenige driehoek) cos( )  0,70

6 sin(80 ) sin(50 ) 6 sin(50 ) sin(80 ) 7,71 AB AB   o  o o o 7 sin(135 ) 12 135 12 7 sin(135 ) sin( ) sin( ) 0,42       o  o o 25 en 20   o   o c.  180o60o56o64o _{d. AC}2 _92_82_{   2 9 8 cos(45 ) 43,18}o _ 45 sin(60 ) sin(56 ) 45 sin(64 ) sin(56 ) 45 sin(56 ) sin(60 ) 47,01 45 sin(56 ) sin(64 ) 48,79 BC BC AB AB       o o o o o o o o 8 sin(45 ) 6,57 6,57 6,57 8 sin(45 ) sin( ) sin( ) 0,86 59 76 AC en           o o o o V-5 a. _BC2 _62_82_{   2 6 8 cos(50 ) 38,29}o _{ BC 6,19} b. 6,19 6 sin(50 )o sin( ) 6 sin(50 ) 6,19 sin( ) 0,74 48      o o c. _CD2 _42_6,192_{  2 4 6,19 cos(48 ) 35,72} o _

V-6 a. cos( ) ₂| 3 1 ₂ 2 2 |_{2 2} 0,12 3 ( 2) 1 2            83   o

b. De hellingshoek van l is _{tan (4) 76}1 _ o _{en die van m is tan ( 3)}1 _{  72}o De hoek tussen l en m is 180o(76o72 ) 32o  o c. 2x3y 6 2 3 2 3 3 2 6 2 1 3 : 2 l y x y x rv                  |3 6 2 3| 13 45 6 3 cos( ) 0,50 m rv          _     geeft  60o d. 1 4 5 x _y _ 3 12 m rv _{  }    5 4 5 4 20 4 5 l l x y rico rv         _   |4 3 5 12| 41 153 cos( ) 0,61 53          o V-7 a. 3 3    2    35 1 4   1 2 1 4    1 2( 35) 1 6  10 10 10 1     

Het snijpunt is (0, -3) en ligt op de y-as. b. 1 5 | 3 1 4 2 | cos( ) 5 5 63           o

1 groen: middelloodlijn op AB rood: zwaartelijn uit hoekpunt C geel: bissectrice van hoek A 2

a. De afstanden AM en BM zijn gelijk

b. M ligt op de middelloodlijn van BC, dus BM CM

c. AM BM en CM BM, dus AM CM

d. Uit c volgt dat M ook op de middelloodlijn van AC ligt. 3 a. 3 1 5 3 2 AB rc    

De middelloodlijn van AB heeft rico 1 2  en gaat door (4, 1): 1 2 3 y   x 3 1 2 5 5 5 BC rc    

De middelloodlijn van BC heeft rico 1 2 2  en gaat door (0, 1): 1 2 2 1 y   x 1 1 3 5 0 AC rc     

De middelloodlijn van AC gaat verticaal en door (-1, 0): x 1

b. 1 1 2x 3 22x 1      1 2 2 2 1 ( 1, 3 ) x x S    

 en ook de middelloodlijn van AC gaat door S. 4

a.

-b. Het snijpunt van de bissectrices AD en BE noemen we N.

Omdat N op de bissectrice van hoek A ligt geldt: d N AB( , )d N AC( , ) Omdat N op de bissectrice van hoek B ligt geldt: d N AB( , )d N BC( , )

Hieruit volgt dat d N AC( , )d N BC( , ): N ligt dus ook op de bissectrice van hoek C. c. De bissectrices van een driehoek gaan ook door één punt: het middelpunt van de

ingeschreven cirkel van driehoek ABC. 5 a. _{PA (0 3)} 2_{(8 1)}2 _{ 90} b. 0 3 3 8 1 9 PA_   _{ }  _       uur

De richtingsvector van lijn l is: 3 2   _   . Omdat PQl uuur is 2 3 PQ _{  }    uuur c. 21 90 13 3 2 9 3 cos( ) 90 13 | | | | PA PQ P PA PQ             uur uuur uur uuur d. cos( ) 90 PQ PQ P PA    21 21 90 13 13 ( , ) 90 cos( ) 90 d P l PQ  P   _ 

6 a. PA r p s q      _    uur en PQ a b        uuur 2 2 2 2 2 2 2 2 | | cos( ) | | | | | ( ) ( ) | | | | | cos( ) | | | | | | | | | | | | PQ P PA PA PQ a r p b s q PQ PA P PA PA PQ a b ar ap bs bq ap bq ar bs ap bq c a b a b a b                               uuur uur uur uuur

uuur uur uur

uur uuur

b. De hoek tussen de vectoren _PAuur en PQuuur is altijd kleiner dan 90o _{en de afstand altijd} positief. 7 a. _{2 2} 35 | 3 2 7 4 | ( , ) 2 5 ( 2) 1 d P l         c. 2 2 | 1 6 5 | ( , ) 0 1 1 d P l       b. _{2 2} 25 | 4 3 2 6 | ( , ) 10 1 ( 3) d P l         d. 8 13 2 2 | 12 0 5 0 60 | ( , ) 4 12 5 d P l        8 a. ( , ) | 4 ₂ 3 12 | | 4₂ 3₅ 12 | 4 ( 3) p q p q d P l         b. ( , ) | 5 ₂12 ₂60 | | 5 12₁₃ 60 | 5 12 p q p q d P m        c. 13 | 4p3q12 | 5 | 5 p12q60 | 2 4 3 7 13(4 3 12) 5(5 12 60) 13(4 3 12) 5(5 12 60) 52 39 156 25 60 300 52 39 156 25 60 300 27 99 456 0 77 21 144 0 3 11 50 11 3 20 p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q                                      De bissectrices: 2 3 3x11y  50 en 4 7 11x3y 20 9

a. ABCD en ABEC zijn parallellogrammen

b. In een parallellogram zijn de overliggende zijden even lang.

DC AB en AB CE . Hieruit volgt dat DC CE

c. omdat AB // DE staat de hoogtelijn uit C ook loodrecht op DE. Dus de hoogtelijn uit

C is de middelloodlijn van DE.

d. De drie hoogtelijnen van ABC zijn de drie middelloodlijnen van DEF. De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt (het middelpunt van de omgeschreven cirkel). Dus de drie hoogtelijnen gaan door één punt.

e. AB: y 0 middelloodlijn DE: (loodrecht op AB en door C): x0 3

4

: 6

BC y   x middelloodlijn FD: (loodrecht op BC en door A): 1 1

3 3

1 5

y  x

Het snijpunt van de hoogtelijnen is 1 3 (0, 5 ).

10 3(4) 4(2 3 ) 38    12 3 8 12 38 9 18 2             Het snijpunt: (2, 8) 11 a. _{( 1 )}2_{(2 3 ) } 2_{  4( 1 ) 6(2 3 ) 7   } 2 2 2 2 1 2 4 12 9 4 4 12 18 7 10 10 10( 1) 0 1 1 ( 2, 5) (0, 1) S T                               b. _{(p2 )} 2_{ ( )}2 _{17 heeft één oplossing} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 17 5 4 17 0 16 4 5 ( 17) 4 340 0 85 85 85 p p p p D p p p p p p                            12 a. : 1:q 1: p p q   m mits p0 b. x 8  en y  2 m c. _(7)2_{  ( 1 m)}2 _25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 56 200 3 56 200 1 192 4 192 3 49 14 1 2 25 (1 ) (14 2 ) 25 0 (14 2 ) 4 (1 ) 25 196 56 4 100 100 0 96 56 96 0 1 m m m m D m m m m m m m m m                                            De raaklijnen: 3 4 4 y  x en 1 2 3 3 1 12 y   x d. 3 9 2 1 4: 116 122 25 0 m     1 7 2 2 3 9 3 1 : 2 16 25 0 m      2 2 9 9 16 16 1 1 ( 8 16) 1 ( 4) 0 4 (4, 1) R             2 2 7 7 9 9 2 2 ( 6 9) 2 ( 3) 0 3 (5, 6) R            13 OP: 1 2

y  x staat loodrecht op de raaklijn

raaklijn: y  2x b gaat door P(4, 2); dus y  2x10 14

a.

b. Het middelpunt ligt op de lijn door R loodrecht op l. 3x2y d. Punt R invullen geeft 3x2y 6

M ligt op de x-as: 3x 6 geeft x 2

2 2 2 2 2 3 13 : ( 2) 13 r MR c x y       

15 a. _x2_y2 _{ 8 x}2 _y2_8y8 2 2 8 16 2 4 8 4 2 2 y y x x x x         

De snijpunten van de twee cirkels zijn: R1(-2, 2) en R2(2, 2).

b. De lijn door de middelpunten (0, 0) en (0, 4) is x0. De lijn door de snijpunten 2

y  staat loodrecht op de y-as.

c. De raaklijnen in R1 staan loodrecht op M1R1 resp. M2R1

de richtingscoëfficiënten van M1R1 resp. M2R1 zijn -1 en 1: hun product is -1, dus

loodrecht. Ditzelfde geldt voor de raaklijnen in R2.

16 a. b. 2x3y 11 MA MB 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 11 3 ( , 3 ) y x y x M x x      2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 4 2 8 4 2 4 2 2 7 9 9 9 9 9 9 2 2 3 3 ( 3) ( 9 ) ( 3) ( 1 ) 6 9 12 93 6 9 2 2 22 90 x x x x x x x x x x x x x                    4 x

Het middelpunt van de cirkel is (4, -1) en straal _{(3 4)} 2_{(6 1)}2 _{ 50}

2 2

(x4) (y 1) 50

Of: M ligt op de middelloodlijn van AB. Richtingscoëfficiënt van AB is 2 6 4

3 3 3  

   en het midden van AB is (0, 2) Middelloodlijn van AB is: 3

4 2 y   x 3 4 1 4 1 4 2 3 ( 2) 11 2 2 6 11 4 17 4 1 x x x x x x en y             17 a. b. 1 2 ( , ) R p p 1 1 2 2 : 2 2 2 MR y x b b p p p       

Het middelpunt van de cirkel is 1 2 (0, 2 ) M p 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 1 4 70 60 70 60 2 2 (0 ) (2 ) 8 (2 14) 4 64 6 70 196 1 70 260 0 4 52 MR MP p p p p p p p p p p p  p                      2 _{( 10)}2 ₈₀ x  y  en _x2_(y130)2 _13520.

18

a. M1(-5, -1) en M2(15, 14) d M M( ₁, ₂) 202152 25

b. r14 en r2 5 de afstand tussen beide cirkels is 16 19

a. _{c x:} 2 _y2_{4x8y 5}

2 2

(x2) (y4)   5 4 16 25 : een cirkel met M(-2, -4) en straal 5.

2 2

6 11 157

MP    , dus d P c( , ) 157 5

b. c: _x2_y2_{4x 0 Een lijn door (-2, 0) loodrecht op l: 3x2y  6} 2 2 2 2 4 4 4 ( 2) 4 x x y x y        2 3 6 3 2 6 x y y x     2 3 1 3 3 2 ( 2) 6 4 2 x x x        2 3 2 y  x 6 4 13 213 S S x   en y   2 2 10 7 4 13 13 13 ( , ) 2 (1 ) ( 2 ) 2 2 d l c MS       c. _x2_y2_{14x8y 125} 2 2 2 2 2 (3 4 ) ( 1 3 ) 14(3 4 ) 8( 1 3 ) 125 9 24 16 1 6 9 42 64 8 24 125 25 70 81 0 13000 D                                    

Er zijn dus twee oplossingen. De lijn snijdt de cirkel: d l c( , ) 0 20 a. _{AP  8}2_42 _{ 80 4 5 en BP  2}2_42 _{ 20 2 5} b. _(x1)2_y2 _{2 (x7)}2_y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4( 14 49 ) 3 3 54 195 0 18 65 0 ( 9) 16 x x y x x y x y x x x y x y                  

21 gelijke afstanden tot de lijnen m en n:

2 2 2 2 1 2 3 3 | 2 1| | 2 3 | 2 ( 1) 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 3 2 3 4 3 4 x y x y x y x y x y x y x y x y y x y x                                

En deze twee bissectrices snijden met de lijn: 2x y 10 1 2 3 3 1 1 3 3 1 2 2 ( ) 10 2 ( 3 4) 10 2 9 6 4 6 (4, 2) ( 6, 22) x x x x x x x x P P                  

22 2x y  8 0 AB 2 AC 2 8 ( , 2 8) y x A x x      2 2 2 2 2 2 2 2 ( 6) ( 2 8) 2 ( 2 5) 12 36 4 32 64 4( 4 20 25) x x x x x x x x x x x                  2 2 2 5 20 100 20 80 100 15 60 15 ( 4) 0 0 4 (0, 8) ( 4, 0) x x x x x x x x x x A A                 23 a. Het middelpunt is (0, 0): c: _x2_y2 _r2 p r AX q         uuur en BX p r q         uuur 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 0 AX BX  p r p r  q p r q r r  uuur uuur

, dus _AXuuur_BXuuur b. MA MX (straal), dus MAX  MXA (gelijkbenige driehoek)

MB MX (straal), dus MBX  MXB (gelijkbenige driehoek)

AXB AXM MXB MAX MBX

        

c. MAX AXB MBX 180o _{(hoekensom van een driehoek)}

2 180 90 AXB AXB      o o 24 _PAuur_PBuuur 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 5 (1 )(5 ) (4 )(7 ) 0 4 7 5 6 28 11 0 2 17 33 (2 11)( 3) 0 5 3 (5 , 5 ) (3, 3) p p p p p p p p p p p p p p p p p p P en P                _   _                     25 cos(45 ) ₂2 1 1_{2 2 2} 2 ₂ 2 1 1 5 1 a a a a            o 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 3 2 2 5 5 (2 ) (5 5 ) 4 4 2 2 1 4 1 (3 8 3) (3 1)( 3) 0 3 a a a a a a a a a a a a a a a                         26 1 3 3 6 9 18 18 18 1 3 7 2 6 10 5 4 4 12 Z  _{ }  _ _ _ _{  }           27

a. De massa’s in A en B zijn even groot, dus D is het midden van A en B: (5, 1 2 4 ) b. 2 2 4 8 8 8 1 4 5 2 8 5 2 3 6 0 E   _{ }  _{ }  _{   }         

c. 0 3 5 2 : AC y  x b x b       met b  0 5 5 y   x 5 1 4 6 2 ₁ 8 5 4 : 1 BE y  _ x b  x b met 1 4 6 1 8 4 b     1 4 1 4 y  x 1 4 1 4 5 1 4 2 9 4 F x x x x      

de coördinaten van F zijn: (4, 1) d. Stel: 1 2 ( , 2) B b b 3 3 1 1 1 2 4 8 8 4 1 3 4 4 1 4 2 2 4 8 8 1 8 1 1 2 4 8 ( 2) (1 ) 3 6 3( 2) 2 6 24 3(2 8) 2 8 (3 ) 3 2 2 8 3 2 5 2 1 3 0 : b b b b b b EB b b b b b b b b b b E b b rico EB y x c                          _{ } _{ } _{   }                 

Punt B invullen geeft 1 2 (12 2)(2 8) ( 2) 2 16

2 2 2 8 2 8 2 8 b b b b b b b b b c b  b                2 2 16 2 8 2 8 2 2 16 2 8 2 8 3 6 12 24 2 8 2 8 4(3 6) 12 24 2 8 12 24 2 8 3 6 3 6 3 6 5 ( 1) 5 4 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b x x x x x                                   

de coördinaten van F zijn (4, 1)

28 a./b. c. 1 1 1 1 3 3 12 2 DZ  CD  AB ABAD DB ADZ

 en BDZ zijn gelijkbenige driehoeken

DAZ DZA 

    en DBZ  DZB 2 2 180o _{(hoekensom van een driehoek)}

90

AZB  

    o_{, dus AE BF} d. AZB90o

Z ligt op de cirkel met middellijn AB (Thales)

D is dus het middelpunt van deze cirkel en dus is DA DZ DB

1 1 2 3 1 1 2 2 3 1 DZ AB CD CD AB AB          29 A(2 , 2 ), B( , 2 2 )   en S(0, 2)

Het zwaartepunt van deze drie punten is P(5, 6): 1 3(2  0) 5 en 31   (2  2 22) 6 2 15 6 2 18             2( 2 12) 15 3 9           3   en daarmee is 6 A(12, 8) en B(3, 8) 30

a. ABFK: (7, 3) en KEGD: (5, 6) ALGD: (5, 4) en LBFE: (10, 3)

b. ABFK: 40 en KEGD: 12 ALGD: 36 en LBFE: 16

c. 7 13 40 12 52 52 9 13 6 7 5 3 3 6 Z   _{ }  _{  } _       7 13 36 16 52 52 9 13 6 5 10 3 4 3 Z   _{ } _ _{ } _      

31 a. 1 1 1 3 3 3 0 9 6 5 0 0 6 2 OAB Z   _{ }  _{ }    _{   }         en 1 1 1 3 3 3 0 6 0 2 0 6 3 3 OBC Z   _{ }  _{ }    _{   }         b. 1 2 9 6 27 OAB Opp_     en 1 2 3 6 9 OBC Opp_     c. 1 4 9 27 36 36 1 4 4 5 2 2 2 3 OABC Z   _{ }  _{   }        32 a. midden van OA 1 2 (4 , 0) naar C en midden van OC(0, 3) naar A geeft snijpunt D. midden van BC 1

2

(3, 7 ) naar A en midden van AB 1 1

2 2

(7 , 4 ) naar C geeft snijpunt E. c. _{z m d n e}r _{   }ur r en dit zijn alle punten op

lijnstuk DE. d. midden van OA 1 2 (4 , 0) naar B en midden van AB 1 1 2 2

(7 , 4 ) naar O geeft snijpunt F. midden van BC 1

2

(3, 7 ) naar O en midden van OC(0, 3) naar B geeft snijpunt G.

e. Het snijpunt van DE en FG is het zwaartepunt Z. 33

a.

b. Het zwaartepunt ligt op lijnstuk UV. c. Het zwaartepunt ligt op lijnstuk ST

d. Het zwaartepunt is het snijpunt van UV en ST. 34 a. _x2_{(y q )}2 _R2 b. _{( 1 q)}2 _R2 _{geeft R 1 q} c. 2 2 2 5 (5 0) (5 ) MM   R   q  2 25 (5 q)    d. _{1  q 5 25 (5 q)}2 2 2 2 2 ( 4) 25 (5 ) 8 16 25 25 10 2 34 17 q q q q q q q q             35

a. NC staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel in punt C. MC staat ook loodrecht op

de raaklijn aan de cirkel in C. De stralen NC en MC vallen samen. b. CAM 90o _(Thales)

BCM

 is gelijkbenig met hoogtelijn MA.

A is dus het midden van BC.

D

E Z

36 MA MB dus M ligt op de middelloodlijn van AB. 8 10 6 0 3 AB rico  

  en het midden van AB is (3, -1) 1 3 y   x b met 1 3 1 3 0 b     . Middelloodlijn: 1 3 y   x ( , ) d M l MB met M(3b, -b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 100 1000 4 100 1000 450 9 450 2 2 52 2 1 4 3 9 81 | 3 3 4 60 | (3 ) ( 10) 3 4 | 5 60 | 5 10 20 100 (5 60) 25(10 20 100) 25 600 3600 250 500 2500 225 100 1100 0 2 2 ( 7 ) ( 2 ) 208 ( 6) ( b b b b b b b b b b b b b b b b b b x y x y          _{   }                                ₂₎2 _100 37 a. d P l( , )d P m( , ) 2 2 2 2 | 3 16 | | 3 8 | 1 ( 3) 3 ( 1) 3 16 3 8 3 16 3 8 2 2 24 0 4 4 8 0 12 2 x y x y x y x y x y x y x y x y y x y x   _                                

b. A moet op de cirkel liggen met middelpunt op de bissectrice y  x 2.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) | 3( 2) 16 | ( 1) ( 2 1) 10 | 2 10 | 10 2 4 10 ( 2 10) 10(2 4 10) 4 40 100 20 40 100 16 80 16 ( 5) 0 0 5 ( 2) 10 ( 5) ( 3) 40 d M l AM m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m x y x y                                           38 a. 1 3( ) er  a b sr r r  , 1 3( ) f  b c s  r r r r , 1 3( ) g  c d s  ur r ur r en 1 3( ) hr  d a sur r r  b. 1 1 1 3( ) 3( ) 3( ) EFuuur b c sr r r   a b sr r r   c ar r en 1 1 1 3( ) 3( ) 3( ) HGuuur c d sr ur r   d a sur r r   c ar r 1 1 1 3( ) 3( ) 3( ) EHuuur d a sur r r   a b sr r r   d bur r en 1 1 1 3( ) 3( ) 3( ) FGuuur c d sr ur r   b c sr r r   d bur r Vierhoek EFGH heeft twee paar evenwijdige zijden, dus EFGH is een

parallellogram.

c. _{AC c a}uuur r r_{ } , dus EF // AC // HG en _{BD d b}uuur ur r_{ } , dus BD // EH // FG. d. heb nog even geen idee hoe deze moet

39

a. raken aan beide assen: het middelpunt ligt op de bissectrices van de assen

y x  y  x

Vanwege het feit dat (4, 2) op de cirkel ligt, kan het middelpunt alleen maar in het eerste kwadrant liggen

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (4 ) (2 ) 16 8 4 4 12 20 ( 2)( 10) 0 2 10 x m y m m m m m m m m m m m m m m m m                        2 2 2 2 ( 2) ( 2) 4 ( 10) ( 10) 100 x y x y         b. de raaklijn aan c1: x 4

de raaklijn aan c2: rcPM 10 210 4 131 rcraaklijn  34 y  34x5 1 ( , ) 4 d O l  en 3 2 1 4 5 2 _{( ) 1} ( , ) 4 d O l    40

a. de cirkels snijden met y x: 2 2 2 1 2 1 1 2 2 25 12 2 2 2 2 x x x x x        2 2 2 ( 12) ( 12) 144 ( 12) 72 12 6 2 12 6 2 x x x x x            2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 (12 6 2 2 2) (12 6 2 2 2) (12 8 2) (12 8 2) 6 2 8 r               

b. Het middelpunt ligt precies tussen 1 2 2 2 x  en x 12 6 2 op de lijn y x: 1 2 2 2 12 6 2 ₃ 1 2 2 4 2 2 1 2 6 x       3 3 4 4 (6 1 2, 6 1 2) M   41 a./b. c. BC b c         uuur : 0 x a c AE y  b                      a AC c        uuur : 0 x b c BF y  a                      d.  a c b c b a   hieruit volgt: a b    Invullen in de eerste vergelijking:

2 2 _{( )} ( ) 0 ac b a b ac b a b ab b ac bc c b a b ab b ac bc a b a c b c c a b x b c b b b                               42 a. tan(60 ) BC BC AB a   o geeft BC a tan(60 )o a 3 _{C(0,a 3)} b. 1 3 tan(30 ) 3 BE  a o  a 1 3 (0, 3) E a

c. AC: y x 3a 3 en BD: 1 3 y   x 1 3 1 3 1 1 3 3 3 4 1 3 3 ( 3 ) 1 3 3 a x a x x x a x  a           3 1 1 4 4 3 3 1 4 4 3 ( , 3) y a a D a a       d. 1 1 3 1 2 3 1 2 2 ( 3 3 3) 4 2 3 3 4 4 3 DEC Opp_   a  a  a  a  a a e. 1 1 2 1 2 2 3 2 3 2 4 3 2 ABC DEC Opp_   a a  a   a  Opp_ 43

a. OAP90o _{(raaklijn), dus A ligt op een cirkel met middellijn OP (Thales)} 2 2 5 1 26 OP    en dan is 1 2 26 r  c. AP  26 13  13 d. _x2_y2_{13 ( x5)}2_(y1)2_{13 x}2_{ ( 5x13)}2 _13 2 2 ₁₃ 2 _{10 25} 2 _{2 1 13} 2 10 26 5 13 x y x x y y y x y x                2 130 26 130 26 52 52 26 130 156 0 2 3 (2, 3) (3, 2) x x x x A en B            b. 1 3 2 1 5 2 3 a      1 2 1 2 5 3 12 a     2 3 2 1 3 3 2 1 3 3 1 5 4 4 y x b b y x           1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 5 6 1 6 y x b b y x         

e. het product van de richtingscoëfficiënten is -1. De lijnen staan loodrecht op elkaar. De hoek tussen de raaklijnen is dus 90°.

44 a. A(-r, 0) B(r, 0) C(0, r) D(0, -r) N 1 2 (0, r) b. PC: y mx r en de cirkel: 2 1 2 1 2 2 4 ( )

x  y r  r hebben één punt gemeen

2 1 2 1 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) (1 ) 3 2 0 (3 ) 4 (1 ) 2 0 9 8 8 0 8 8 2 2 2 2 x mx r r m x mrx r D mr m r m r r m r m r r m m m                       2 2 6 2 1 18 3 1 1 3 3 9 6 2 2 0 2 2 2 2 r P P x r x r x r y r r r              c. 1 3 1 3 2 r r PA r _{ }   _ _   uur en 1 3 1 3 2 r r PB r  _   _ _   uuur 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 3 3 9 9 9 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 9 3 9 9 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 3 9 3 3 2 2 2 2 4 8 4 8 4 1 2 1 2 7 3 3 3 3 9 9 9 ( 2)( 2) | | ( 2) 2 1 2 | | ( 2) 1 2 | | | | 1 2 1 2 1 PA PB r r r r r r r r r PA r r r r r r r r r PB r r r r r PA PB r r r r r r r                                    uur uuur uur uuur uur uuur 2 2 3 2r

2 2 3 1 2 2 2 3 cos( ) 2 2 135 r APB r APB        o 45 a. AM CM en AM CM, dus AC r 2 Dit geldt op analoge wijze ook voor BC.

CP is de raaklijn, dus CPN90o _(raaklijn)

2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 4 4

(1 ) ( ) 2 2 2

CP  r  r  r  r  r r

b. APC is gelijkbenig, dus CAP  CPA

AMC

 is een gelijkbenige rechthoekige driehoek, dus MAC MCA45o Hieruit volgt dat PAB PAC MAC   45o_.

BPC

 is gelijkbenig en BMC is gelijkbenig en rechthoekig. Dus op dezelfde manier volgt dat BPC en PBA  45o_.

In driehoek APB geldt:  45o      45o180o _{en dus 22 90}o _180o 135 APB       o 46 a. _x2_{ 4 68 b. x}2 _p2 _68 2 2 2 3 3 2 3 64 8 8 16 10 (2 , 2) x x x AC C         2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 2 1 3 68 68 68 2 68 1 68 ( 68 , ) x p x p x p AC p p C p p               c. 1 2 2 2 1 2 2 3 9 9 ( 68p ) p  9 (68p )p 68 klopt. 47 a. _{P p p( , 2} 2_{4 )p} b. 1 1 3 3 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 2 3 3 3 0 1 1 0 2 2 4 p p z p p p p           _{ } _{ } _{   }             r c. 1 1 3 3 x  p 1 1 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 1 3 3 3 1 1 ((3 1) 2(3 1) 1) (9 6 1 6 2 1) (9 12 2) 6 8 1 p x p x y p p x x x x x x x x x                          48 a. 2 1 3 3 1 1 1 3 3 3 2 1 3 3 2 3 11 1 1 C C C C x x z y y            _{ } _{ } _{   }          r b. 1 2 3xC xZ 23 geeft xC 3xZ 8 31yC yZ 32 geeft yC 3yZ 2 c. (3x_Z  8 4)2(3y_Z  2 2)2 50 2 2 2 1 2 3 2 1 2 5 3 9 (3 12) (3 4) 9( 4) 9( 1 ) 50 ( 4) ( 1 ) 5 Z Z Z Z Z Z x y x y x y            

d. 1 1 3 3 1 1 1 3 3 3 2 1 3 3 3 11 1 1 3 C C C C x x z y y            _{ } _{ } _{   }            r 1 1 3xC xZ 33 geeft xC 3xZ 10 31yC yZ 23 geeft yC 3yZ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 2 3 9 (3 10 4) (3 2 2) 50 (3 14) (3 ) 9( 4 ) 9 50 ( 4 ) 5 Z Z Z Z Z Z Z Z x y x y x y x y               

Test jezelf

T-1 a. D(6, 5) ricoAD 5 16 2 1 y  x b met b   1 2 1 y  x 1 ricoAC 4 27 1 3 y  31x b met b   3 13 8 532 y  13x532 1 2 3 3 1 2 3 3 1 5 1 6 5 4 x x x x en y        S(5, 4) b. ricoAB 8 23 1  13 y  31x b met b   1 13 2 31 y 31x31 (x3y  1 0) 16 3 5 10 2 2 | 4 3 7 1| ( , ) 1 10 1 ( 3) d C AB         T-2 a. _{2 2} 35 | 26 | ( , ) 2 6 8 d O l     b. P(p, 0) 1 3 | 6 26 | ( , ) 4 10 6 26 40 6 26 40 11 2 p d P l p p p p              P1(11, 0) en P2( 2 , 0) 13 T-3 a. _x2_y2_{2x10y  1 0} 2 2 2 2 2 1 1 10 25 25 1 0 ( 1) ( 5) 25 x x y y x y              M(1, 5) en r 5

b. _{MP  (5 1)} 2_{(0 5)} 2 _{ 41 en MR ( 41)}2_52 _4 cirkel met middelpunt P en straal MR: _(x5)2_y2 _16

7 7 25 25 7 7 25 25 2 2 2 2 4 4 5 5 2 4 4 2 5 5 2 16 7 16 25 25 25 11 8 11 8 ₃₆ 41 3 3 36 37 41 41 2 10 1 10 25 16 8 10 8 0 ( 5) ( ) 16 1 11 9 0 1 5 (1, 0) (5 , 3 ) x y x y x y x x y y x x x x x x  x                            37 41 36 41 1 3 ₄ 2 9 4 2 9 9 4 2 2 9 9 0 4 0 4 5 22 4 22 y en y x b b y x            T-4

a. De stralen staan dan in R(2, 2) loodrecht op elkaar. b. _x2_y2_{2x10y 16 0} 2 2 2 2 2 1 10 25 10 0 ( 1) ( 5) 10 x x y y x y            middelpunt N(1, 5) en straal 10

M ligt op de middelloodlijn van O(0, 0) en (2, 2): y   x 2 M p( , p 2)

ricoNR 13  3 dus ricoMR 2 (2 2) 13

p p       1 2 3 2 4 2 p p p p     Het middelpunt is 1 1 2 2 ( , 1 ) M en straal 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) (1 ) 2 r    : 1 2 1 2 1 2 2 2 (x ) (y 1 ) 2

T-5 het middelpunt ligt op de loodlijn van l in (1, 1): 1 4

1 3 x y              _       

De afstand van het middelpunt tot de x-as (yM) is gelijk aan de afstand van het

middelpunt tot (1, 1): 2 2 2 2 2 1 1 8 2 1 3 (4 ) ( 3 ) 1 6 9 25 16 6 1 (8 1)(2 1) 0                              2 1 2 1 1 2 4 2 5 2 25 1 2 2 8 64 : ( 1) ( 2 ) 6 : ( 1 ) ( ) c x y c x y         T-6 _x2_y2_{4x6y 3} 2 2 2 2 2 2 4 4 6 9 16 ( 2) ( 3) 16 | 4 2 3 3 72 | ( , ) 11 4 3 x x y y x y d M l                 

De afstand van de lijn tot de cirkel is: 11 4 7  T-7 a. _2_{  ( 5 2 )} 2 _10 2 5 20 15 (5 5)( 3) 0 1 3                A(1, -3) en B(3, 1)

b. raaklijn in A: 1 3 3 1 x y    _ _     _          en raaklijn in B: 3 1 1 3 x y      _{ }              

Het inproduct van de richtingsvectoren van de raaklijnen is 3    1 1 3 0, dus de raaklijnen maken een hoek van 90° met elkaar.

T-8 a. 1 2 3 2 1 4 10 10 10 10 1 5 5 2 10 5 4 4 6 0 6 Z  _{ }  _ _  _{ } _ _{  }             ur b. 2 3 1 6 6 6 6 2 10 5 4 4 6 0 6 0 k k k k k x Z  _ _{ }  _ _ _ _  _{ } _ _   _{  }            ur 8 18 6 6 6 6 0 8 18 6 0 k k k k k          1 3 6 26 4 k k   c. 39 4 6 3 2 1 6 6 6 6 26 6 6 2 10 5 4 4 6 0 6 k k k k k k k k k Z                    _{ } _{ } _{ } _{   }            ur 2 2 39 4 26 6 6 6 2 2 39 4 26 6 6 6 2 2 2 2 39 4 30 5 26 6 9 26 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 ( 5) ( ) 2 ( 5) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 81 18 676 312 36 4(36 12 ) 33 378 613 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k CZ k k k k k k k k                                          Voor 378 61968 66 1,96 k _  _{ en} 378 61968 66 9,50 k _  _

Voor k 2, 3, 4, ..., 9 is de afstand kleiner dan 2. T-9 Stel N(x, y) 1 2 2 2 2 ( , ) 6 ( 2) ( 0) 6 4 4 36 d N M x y x x y          2 2 2 2 2 ( , ) 7 ( 3) ( 0) 7 6 9 49 d N M x y x x y          4 5 32 4 40 6 10 8 x x x x        2 4 4 2 14 5 5 25 12 6 2 5 5 32 4 ( ) 34 2 6 y y         T-10 a. M1(0, 0), M2(-4, 5) en M3(4, 5)

Het middelpunt van de cirkel ligt op de y-as: M(0, p)

2 2 2 2 2 2 2 ( ) 16 (5 ) 16 25 10 x y p p p p p p p           1 10 2 1 2 1681 10 100 10 41 4 ( 4 ) p p x y      b. ricoAC108 114 hoogtelijn uit B: 4 5 y   x b met 4 2 5 5 0 8 6 b    4 2 5 65 y   x De hoogtelijn uit B snijdt de y-as in 2

5 (0, 6 )

H

Ligt het midden van CH 1 5

(0, 8 ) op de cirkel?

2 1 1 2 1 1681

5 10 10 100