Hoofdstuk 2: Lijnen en vlakken

Hoofdstuk 2:

Lijnen en vlakken.

1. a. Hellingsgetal:  1 2 2 startgetal: 5 b. x-as: y 0 y-as: x 0     1 2 1 2 2 x 5 0 2 x 5   1   2 y 2 0 5 5 (0, 5)  x 2 (2, 0) c.  1  2 m : y x 3. d.  1  2 k : y x 2. 2. a. 1     2 m : x y 3 x 2y 6 b. 1      2 k : x y 2 x 2y 4 3.

a. De noemer is het snijpunt met de as. b. m :x y 1 6 3    y x k : 1 4 2

c. n snijdt de x-as in (-6, 0) en de y-as in (0, 3).

d.    y x j : 1 9 4      4  9 4x 9y 36 9y 4x 36 y x 4 4. a. x y 1 6 18 b.   y x ₁ 4 14 c.   y x ₁ 9 6      3x y 18 y 3x 18      7x 2y 28 2y 7x 28      2x 3y 18 3y 2x 18   1  2 y 3 x 14  2  3 y x 6 d.    y x ₁ 4 20 e.   21  y x ₁ 5 7 f.     y x ₁ 1 7      5x y 20 y 5x 20      3x 2y 15 2y 3x 15       7x y 7 y 7x 7  1  1 2 2 y 1 x 7 5.

a. Bij lijn m, die gaat namelijk door (2, 2) b.  _{ } _{ } _ _        x 0 2 y 3 1 c.  _{ } _{ } _ _        x 0 2 l : _y 5 5       _{ } _{ }   _       x 0 2 k : _y 2 1

6. a.  _{ } _{    }        1 x 2 y 8 4 b.  _{ }  _   _{  }       1 3 2 1 8 4 4          _{   }         1 2 4 2 8 4 0         _{ }           1 2 1 1 8 4 12         _{ }           1 2 0 2 8 4 16                      1 2 1 3 8 4 20

c. Het hellingsgetal is –4 (steeds 1 naar rechts en 4 naar beneden) d. De lijn gaat door (0, 16): y 4x 16

e. 4x y 16 

7.

a. De lijn gaat door (0, 2) en door (3, 6). De richting is dus 3 naar rechts en 4 omhoog. b. richtingsvector:      a b hellingsgetal: ba c.  _{ }  _{ }_ _       3 0 18 2 4 26              _{ }        1 2 3 0 7 2 4 8     3 18 6       1 2 1 2 3 7 2 d. 2 4  0      1 2 4 2 e.     1 1 2 2 0 3 1  1 2 ( 1 , 0) f.  4  3 y x 2       4 3x y 2 4x 3y 6 g. _ 1   2 y x ₁ 1 2 h.     4 (3 ) 3 (2 4 )      12 6 12 6 8.

a. Het hellingsgetal bestaat niet.

b. m heeft alleen een snijpunt met de x-as: (5, 0). Dus ₅x 1 c. x 5

d.              

x 5 0

9.

a. O(0, 0, 0) A(5, 0, 0) B(5, 6, 0) C(0, 6, 0) D(0, 0, 4) E(5, 0, 4) F(5, 6, 4) en G(0, 6, 4). b.             _{ } _{ }       _        0 5 x DB : y 0 6 z 4 4             _{ } _{ }       _        5 0 x EP : y 0 2 z 4 4

c. Ze moeten gelijk zijn of veelvouden van elkaar. d.             _{ } _{ }       _        2,5 0 x QM : y 2 4 z 4 4

niet evenwijdig met DB.

e.             _{ } _{ }       _        0 0 x RC : y 4 2 z 4 4 . f. RC is evenwijdig aan EP. 10. a.           _{  }  _ _        2 4 2 1 2 3 6 . b.        _{ }  _          _  _        4 2 16 0 1 6 1 3 17           6 4 6 2 16 1 6 3 17 c.   3             x 4 3 2 2 en z 1 3 3 10

d. Ze gaan beide door (-2, -3, 10) en lopen evenwijdig. Ze vallen dus samen.

11.            _{  } _ _        7 21 3 3 9 2 6 Ligt (21, -11, -1) op m?                    21 21 1 y 2 1 9 11 en z 5 1 6 1 Ze vallen samen. 12. a.             4 QP 0 3  en      _{ }     4 SR 5 0  b. Lijkt me duidelijk!

13.

a. De x-coördinaat van een willekeurig punt op lijn PQ voldoet aan 4 4  en op lijn RS aan 4 4  b. De richtingsvectoren zijn geen veelvouden van elkaar.

                              1 2 2 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 10 5 3 2

Klopt niet; DB en RS kruisen elkaar. c.              _{ } _{ }               4 4 x AP : y 0 2 z 0 3              _{ } _{ }               4 4 x BG : y 5 0 z 0 3         4 4 4 4     1 2 2 5 2       3 3 Klopt: S(-6, 5, 7₂1) 14. a. l, m en a lopen evenwijdig. b. 2  4    1 4       2 x 1 en z 2 2 4            4 x 1 en z 2 4 2 6 (1, 4, 4) ligt op l, dus l en m vallen samen. (1, 4, 4) ligt niet op a.

c./d. l en n: n en a:       1 1 2      2 5 3       1 1 2      5 5

Invullen in 2  4 : klopt niet, Invullen in 4    2 2 , klopt: S(1, 5, 8) dus kruisend. 15. a.            2 OQ 0 1            0 OP 2 0  b.      _{  }     2 OQ OP 2 1   c. S d. (4, 6, 2) e. M(4, 1, 2) f. V:  3 en  0 (6, 0, 3) T:  3 en  1 (6, 2, 3) R:  1 en  1 (2, 2, 1) K:  0 en  2 (0, 4, 0) U:  1 en  2 (2, 4, 1) L:  1 en  3 (2, 6, 1) W:  3 en  3 (6, 6, 3) 16. a.            0 OH 0 2  b. S

c. M d. F e. V f. T:  3 en  1 (6, 2, 5) P:  0 en  1 (0, 2, 2) R:  1 en  1 (2, 2, 3) K:  0 en  2 (0, 4, 2) U:  1 en  2 (2, 4, 3) L:  1 en  3 (2, 6, 3) W:  3 en  3 (6, 6, 5) 17. a.            2 OR 4 0  b.      _{ }     4 PQ 1 0       _    2 PR 3 4  c.                 _{        }         _          2 4 2 x y 4 1 3 z 0 0 4 18. KLM:                  _{ } _{ } _{ }       _  _          0 1 2 x y 2 3 1 z 6 4 6 19. a.                                                               _  _                2 3 0 2 3 0 5 0 1 0 3 2 0 0 6 6 1 2 3 1 2 9 6 b. 2 3  8   2 6   3 6   3  2

Invullen: 1 2 2      3 3 4 klopt, dus  2 en   3. c. 2 3  5   2 1   3 3   1 2  1 Invullen:      1 1 2 2

1 1 2 3 1 klopt niet, dus (5, 1, 8) ligt niet in vlak V. d. Een willekeurig punt van vlak V is:

            _{ }      _{   }     2 3 x y 2 z 1 2 3 A:   1        1 1 2 en 1 : 1 2 1 3 2 12 A ligt niet in V. B:  2 en   1 : 1 2 1 3 2 5      B ligt niet in V. C:  0 en   1 : 1 2 1 3 0      1 _{C ligt in V.} D:  3 en   1 : 1 2 1 3 3 8      D ligt in V.

20.

a. l en m lopen evenwijdig.

(4, 1, 1) ligt niet op m, dus ze vallen niet samen.

b. Een tweede richting is bijvoorbeeld van de ene steunvector naar de andere:                 _{ } _{ }  _{ }                   4 0 0 x y 1 2 1 z 1 1 2 c. 1 2  3 2  4         2 2 1 z 1 1 1 2         2 y 3 z 4 2 1 2 Klopt. d.                 _{ } _{ } _{ }         _          4 0 1 x y 1 2 0 z 1 1 1 e. 4 1   2       3 3 3 9     1  2 3 1 1   3    1 2

4 dus m en a zijn kruisend. f. Nee.

g. m en n zijn niet evenwijdig.      2 4 2             1 1 2 2 1 2 3 2 4 2 1 2 4 3 1 1 1

m en n zijn kruisend, dus er is geen vlak mogelijk. 21. a.        _    2 PQ 0 1 uuur en             2 PR 3 0 uur zijn de richtingsvectoren. b.          _   _        _{ }      2 2 2 2 3 3 3 4          _   _        _{ }      2 2 2 4 3 6 1 4  1 en  1  2 en  3 c. x-as: y 0 (  0) en z 0 (  4) : x 2 2 4 2 0 10      (10, 0, 0) y-as: z 0 (  4) en x 0 (2 8 2    0  5) : y 3 5 15   (0, 15, 0) z-as: y 0 (  0) en x 0 (2 2   0   1) : z 4 1 1 5     (0, 0, 5) d. Uit de snijpunten met de coördinaatassen.

e. 2  3  3 6  6  18  10 15 5 30 30 30 1 en 104 156  51 3012 3012  306 1 f. 30x30y30z 30 10 15 5    3x 2y 6z 30 22. a.     y x z ₁ 7 2 1 2x y 14z 14   b. 2 2 7 t 14 5 14      7t 80  3 7 t 11

23. a.                                  _{ }  _{ } _{    }   _                     _{     }            _{    } 1 1 2 2 1 2 1 0 1 1 0 x y 0 1 1 2 0 1 1 0 z 1 1 0 1 1 0 0 b. (21 , 0, 0)

c. Een willekeurig punt van V is:

             _{ }      _{ }      1 x y 2 z 1 Met de y-as: x 0 (  1) en z 0 (   1) : y    1 2 1 1 _{(0, 1, 0)} Met de z-as: x 0 (  1) en y 0 (      2 2) : z 1     2 1 1 (0, 0, -1) d.     y x z ₁ 0,5 1 1    2x y z 1

e. 2 5 5 14 1    klopt, dus (5, 5, 14) ligt in V. 24. a. ABFE b. z 3 c. OAED d. y 10 e. (6, 0, 0) en (0, 10, 0) f./g. x y 1 6 10   5x 3y 30 25. a. 3  2  1  1  12y 12z 4y 6z 1

Het vlak snijdt de y-as in (0, 4, 0), de z-as in (0, 0, 6) en is evenwijdig aan de x-as. b. x-as: er staat geen x in de vergelijking.

c.                 _{ }  _{ } _{ }                   0 0 1 x y 4 2 0 z 0 3 0 d. y-as e.                  _{ } _{ } _{ }                   9 3 0 x y 0 0 1 z 0 5 0 26.

a. De snijpunten met de assen zijn (4, 0) en (0, 3): dus  x y 1 4 3 b. (4, 0, 1) en (4, 0, 2): 4 0

3

4 1 (0, 3, 1) en (0, 3, 2): 04  33 1 c. Nee, de punten liggen boven l.

d. (4, 0, 3) (4, 0, 2007) (0, 3, 3) (0, 3, 2007) e. Een verticaal vlak waar l in ligt (evenwijdig aan de z-as).

27.

a. H ligt achter het vlak en F er voor. b.                   _{ } _{  }  _          _          3 1 3 x y 0 2 2 z 0 2 2 c./d. 2(3       ) 4 2 2 12               1 2 1 2 6 2 8 2 6 12 12 12 6 S(3 , 1, 1) 28.                     _{ } _{  }  _       _   _{ }         4 1 4 x m : y 0 3 3 z 5 2 5 2                               4( 4 ) (3 ) 2(5 2 ) 16 4 3 10 4 3 6 15 3 21 7 S( 11, 21, 19) 29. a. 3(1 3 ) 2(2) 2(4 4 ) 3 9                4 8 8 7 12     5 S(16, 2, 16)

b. 3( 3 2 ) 2                  2( 2 ) 9 6 2 4 9 12: m en W hebben geen snijpunt. c. 3(2 2 ) 2    2(3 2 ) 6 6          2 6 4 12 _{voor alle waarden van} _.

d. lijn m loopt evenwijdig aan vlak V en lijn n ligt in V. 30. a. A(6, 0, 0): 2 6 2 0 3 0 12      D(0, 0, 4): 2 0 2 0 3 4 12      F(6, 6, 4): 2 6 2 6 3 4 12      b. CE:             _{ }  _{ }               0 3 x y 6 3 z 0 2 c. 2(3 ) 2(6 3 ) 3(2 ) 6        12 6    6 18 12 12     1 3 2 3 18 24 1 S(4, 2, 2 ) d. CG:             _{ } _{ }               0 0 x y 6 0 z 0 1               2 0 2 6 3 12 3 12 3 24 8 S(0, 6, 8)

e. PQ:             _{ } _{ }       _        6 6 x y 6 3 z 2 2                      2 (6 6 ) 2 (6 3 ) 3(2 2 ) 12 12 12 6 6 6 6 12 Dus PQ loopt evenwijdig aan ADF.

31. a. V:           _  _      _{   }     5 x y 2 z 1 x-as: y 0 (  0) en z 0 (1   0   1) : x 5   1 4 (4, 0, 0) y-as: x 0 (   5) en z 0 ( 4    0  4) : y 2 4 8   (0, 8, 0) z-as: x 0 (   5) en y 0 (  0) : z 1 0     5 4 (0, 0, -4) b.     y x z ₁ 4 8 4    2x y 2z 8 c. 2( 1 3 ) (2      ) 2(3 2 )                2 6 2 6 4 6 9 8       5 9 9 14 1 l snijdt V. 32.

a. W bestaat uit de steunvector en de richtingsvectoren van beide lijnen. b. 2(1) 3(3   ) (2  ) 13 2(1  ) 3(3) (2 2 ) 13                     2 9 3 2 5 4 13 4 8 2 A(1, 5, 0)                    2 2 9 2 2 5 4 13 4 8 2 B( 1, 3, 2) c.             _{ } _{ }               1 1 x y 5 1 z 0 1 33. 2(2    ) 3( ) (1 2 ) 12   2(2) 3( ) (1 2 ) 12                      4 2 3 1 2 5 7 12 7 7 1 A(3, 1, 3)               4 3 1 2 5 12 7 B(2, 7, 13) 34.

a. Twee lijnen in W zijn:

            _{ } _{ }      _         2 1 x y 0 2 z 1 0 en             _{ } _{ }      _ _        2 0 x y 0 1 z 1 1

                4 2 6 1 5 4 7 4 12 3 A(5, 6, 1)                 4 3 1 5 2 7 2 12 6 B(2, 6, 7) De snijlijn van W en U is:

            _{ } _{ }      _         5 1 x y 6 0 z 1 2 b.                      (2 ) 2(2 ) ( 1) 18 2 4 1 3 5 18 5 15 3 A(5, 6, 1)                      2 2( ) ( 1 ) 18 2 2 1 3 3 18 3 15 5 B(2, 5, 6) De snijlijn van W en V is:

            _{ } _{ }      _         5 3 x y 6 1 z 1 5

c. Ze liggen alle twee in vlak W. 35.

a. ABC:  x y z 1

6 2 4 2x 6y 3z 12   b. DEF:   _{3 1 2}x y z 1 2x 6y 3z 6   c. De coëfficiënten van x, y en z zijn gelijk. 36.

a. Ze hebben dezelfde richtingsvectoren; zijn evenwijdig of vallen samen. b.                    _{ }        1 2 2 2 1 5

Uit de bovenste vergelijking volgt   1 en uit de onderste:  4. Invullen in de middelste:    

4 2 1 2: klopt.

c. Ze hebben een gemeenschappelijk punt, dus vallen ze samen. 37.

a. Punt A ligt ook in beide vlakken. De snijlijn is dus AQ:

             _{ } _{ }               4 2 x y 0 0 z 0 1

b. De vlakken AKL en PQG vallen samen.

c. De lijn BR ligt in het vlak BCGF, dat is dan ook de snijlijn:

             _{ } _{ }               4 2 x y 6 0 z 0 1

38.

a. KN:  _{ } _{ }  _{ }      

x 1 3

y 1 2

b. P is het midden van KM: P(3, 4)

LP: y 61x b 1 2   61(1 3 ) 4   12    21 413            1 1 6 2 1 2 1 1 6 2 4 3 b b b 4 y x 4     1 1 2 3 1 3 2 3 2 3 1 S(5, 3 ) c. Het midden van KL is (5, 2)

ML:               x 5 0 y 7 1 snijden met LP:          1 1 6 2 1 3 2 3 7 5 4 3 S(5, 3 ) 39. a. P(2, 4, 0) Q(0, 4, 2) R(0, 2, 4) S(2, 0, 4) T(4, 0, 2) U(4, 2, 0) b. x y  z 1 4 4 4    x y z 4 c. QR:             _{ }  _{ }               0 0 x y 4 2 z 2 2            4 2 0 2 4 2 z 2 2 2 6 (0, 0, 6)

d. met de y-as: (RQ verlengen) met de x-as: (ST verlengen): (6, 0, 0)             2 2 0 1 y 4 1 2 6 (0, 6, 0) e. x y z 6  

f. De coëfficiënten van x, y en z zijn gelijk. 40. a. B(8, 5, 0)        _    4 HB 5 8  en        _    2 JK 4 8 

: ze zijn niet evenwijdig. b. Beide lijnen liggen in het vlak BCDE.

c.              _{ }  _{ }       _        8 8 x EC : y 0 5 z 5 8 en                           _        x 4 4 HB : y 0 5 z 8 8              8 8 4 4 5 5 5 8 8 8           Uit vergelijking 2 : 8 8 4 4 12 4  1 3 1 2 1 3 3 3 S(5 , 1 , 5 )

d. Dat is vlak BCDE; een vlak evenwijdig aan de x-as snijdt de y-as in (0, 5, 0) en de z-as in (0, 0, 8):  _{5 8}y z 1 ofwel 8y 5z 40  .

e. De z-as ligt in z’n geheel in dat vlak.

41. AC:  1  2 z x 10 en      _        x 0 1 DF : y 16 2 BC: z 23y 10 en        _{  }    _       3 y 0 EF : z 16 4            1 2 1 2 1 16 2 10 1 6 4 S (4, 0, 8)            2 3 2 16 4 3 10 2 6 3 S (0, 9, 4) S1S2:             _{ }  _{ }               4 4 x y 0 9 z 8 4 42. a.     y x z ₁ 10 8 4    4x 5y 10z 40 b.                  _{ } _{ } _{ }                   5 10 5 x y 0 4 0 z 0 0 2 c. 4x 5y 10z 0   43. a. AT 6 2 en BT 6 3 b. ABT:  x z 1 : x z 6  6 6 BCT:  6 6y z 1: y z 6  c. DEG: y z 4  d. AT:              _{ } _{ }               6 1 x y 0 0 z 0 1  4 F(2, 0, 4) e. OM:          _{ }           1 x y 1 z 1    4  2 S(2, 2, 2)

T_1. a. A ( 1) en E ( 4) liggen op de lijn. b. 3  0           _{ } _{   }   _         3 x 1 2 7 3 y 3 1 0 c./e.  1  1 2 2 y x 3      2y x 7 x 2y 7 d.  1  2 y x ₁ 7 3 T_2. a. l en n lopen evenwijdig. b. l en m: c. n en m:            (1) 2 1 2 (2) (3) 3 1 2          Uit (3) : 2 2 1 In (1) : 2 1 1 2             (1) 1 2 1 (2) 1 (3) 1 2 3         Uit (3) : 2 2 In (2) : 1 1 In (1) : 1 2 1 0 Klopt: S(3, 1, 3) Klopt niet, dus n en m kruisen elkaar. T_3. a. HJK:                 _{ } _{ } _{ }                   3 0 0 x y 0 1 0 z 0 0 1 b. ACI:                   _{ } _{ } _{ }                   6 1 1 x y 0 1 0 z 0 0 2 c.                   _{ } _{ } _{ }                   3 1 1 x y 6 1 0 z 0 0 2 T_4.

a. Het vlak ACI snijdt de z-as in (0, 0, 12)

      y x z ₁ 6 6 12 2x 2y z 12 b. 2x 2y z 6   c. A(6, 0, 0) D(0, 0, 6) B(6, 6, 0)

d. Een vlak dat de x-as snijdt in (6, 0, 0), de z-as in (0, 0, 6) en evenwijdig loopt aan de y-as: ABGD T_5. a.             _{ }  _{ }       _        0 1 x DB : y 0 1 z 8 1

b.

 4 S(4, 4, 4)

c. De richting van AC is gelijk aan de richting van UP in vlak PQR. d. Een willekeurig punt van l is (5 , 4, 3 )

      

(5 ) 4 (3 ) 12_{, klopt, dus l ligt in vlak PQR.}

T_6.

a./b. Lijnen in vlak V zijn:

            _{ }  _{ }               2 0 x y 3 1 z 2 1 en             _{ } _{ }               2 1 x y 3 0 z 2 1                      1 2 1 1 1 2 2 (2) 8(3 ) 4(2 ) 20 2 24 8 8 4 20 12 6 S (2, 3 , 1 )                       1 5 4 4 2 5 5 (2 ) 8(3) 4(2 ) 20 2 24 8 4 20 5 6 1 S ( , 3, )   _{ }           _{   }       _{ }     _{ }   1 1 2 ₂ 1 2 2 12 x S S : y 3 5 z ₁ 7

Lijnen in vlak W zijn:

            _{ } _{ }               1 4 x y 3 1 z 2 1 en             _{ }  _{ }       _        1 0 x y 3 1 z 2 2 (1 4 ) 8(3 ) 4(2 ) 20 1 4 24 8 8 4 20 15 20                      (1) 8(3 ) 4(2 2 ) 20 1 24 8 8 8 20 15 20                 

Deze lijn heeft geen punt gemeen met U Deze lijn heeft geen punt gemeen met U De vlakken U en W zijn evenwijdig.

T_7. a. DEM: y z 1 8 5  ofwel 5y 8z 40  en AK: 6 6 x y 0 6 z 0 5              _{ } _{ }               4 7 4 3 6 7 7 7 5(6 ) 8(5 ) 30 40 70 40 S(2 , 3 , 2 )             b. 4 2 4 2 1 2 7 7 7 KS ( 2 ) (2 ) (2 ) 4,22 c. KL: 0 6 x y 6 6 z 5 1             _{ } _{ }        _       114 5(6 6 ) 8(5 ) 30 30 40 8 22 70 40 22 30 1                      Kl snijdt het vlak DEM.

d. 6 1 0 x y 12 0 8 z 4 0 5                 _{ } _{ } _{ }         _         

T_8. In het platte vlak is x 7 de vergelijking van een verticale lijn; in de 3-dimensionale ruimte is x 7 de vergelijking van een vertikaal vlak evenwijdig aan de y-as.