Hoofdstuk 6 Rijen en recursies

Hoofdstuk 6

Rijen en recursie

V-1

a. De y-waarden nemen elke keer met 4 toe.

b. y 43 2 4 51   En voor x 11 is y 43 3 4 55   .

c. zie b.

d. dan kan ik de uitkomst sneller uitrekenen.

e. Om de y-waarde bij x 0 uit te kunnen rekenen moet je van 19 er 2 4 8 

aftrekken; 11 f. y 4x11 g. x 20 :y 91 en x 82,7 :y 341,8 V-2 a. a11 9 2  b. 115 120 1 4 2 22 a      c. a5,1 4,8 0,3  2 9 2 7 14 5 2 5 A y x b b b b y x            1 2 1 2 1 2 2 120 2 2 5 125 2 125 B y x b b b b y x               0,3 4,8 0,3 3 0,9 3,9 0,3 3,9 C y x b b b b y x           12 : 19 95 7,5 20 : 35 75 9,9 64,3 : 123,6 35,75 23,19 A B C A B C A B C t y y y t y y y t y y y              V-3 a. 80 64 1,25 10080 1,25 125100 1,25 156,25125 1,25 195,31 156,25 1,25 244,14 195,31 1,25 De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus er is sprake van een exponentieel verband. b. y 244,14 1,25 305,18  . En voor _{x 12 :y 244,14 1,25} 2 _381,47.

c. zie b.

d. dan kan je het sneller berekenen.

e. De waarde van y als x 0 is _1,25643 32,77. De formule wordt dan y 32,77 1,25 x

f. x 25 :y 8674 en x19,3 :y 2431,31 V-4 a. 11 10 1,1 g  b. 96 48 2 g   c. 256 1024 0,25 g  10 1,1 12 : 31,4 15 : 41,8 8,3 : 22,1 t p t p t p t p         7 48 2 0,375 0,375 2 12 : 1536 15 : 12288 8,3 : 118,19 t b p t p t p t p           6 1024 0,25 4194304 4194304 0,25 12 : 0,25 15 : 0,0039 8,3 : 42,22 t b p t p t p t p           V-5

a. 81 90  9 72,9 81  8,1 dus niet lineair. 81

90 0,9 72,981 0,9

65,61 72,9 0,9

59,05

65,610,9 De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus tabel A is exponentieel.

1 3  2 0 1  1 dus niet lineair.

1 1

3  3 01 0 dus tabel B is ook niet exponentieel.

1 1,5 2,5 3,5 1 2,5  6 3,5 2,5  8,5 6 2,5  tabel C is lineair. 1 a. +1 +2 +3 +4 b. 13 5 18  en 18 6 24  c. 4 3 7 5   5 3 7 8   8 3 7 17   d. 17 3 7 44   en 44 3 7 125   2 a. 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191

b. nieuwe waarde oude waarde : 2

c. 800, 400, 200, 100, 50, 25, 1

2

12

d. nieuwe waarde 2 oude waarde2 (maar dat moet je maar zien!) 4, 10, 22, 46, 94, 190, 382 3 a. 100 0,8 100 30 110   0,8 110 30 118   0,8 118 30 124,4   b. 46 1,5(46 10) 54  1,5(54 10) 66  1,5(66 10) 84  1,5(84 10) 111  4 a. … 18 21 24

b. nieuwe waarde oude waarde 3

c. … 1280 5120 20480 nieuwe waarde oude waarde 4

5 u(7) 2 7 1 15    en u(8) 2 15 1 31    6 a. u(4) 3 43 5 124    , u(5) 3 124 5 367    en u(6) 3 367 5 1096    b. u(1) 3 8 5 19    , u(2) 3 19 5 52    , u(3) 3 52 5 151    en (4) 3 151 5 448 u     7 a. u(0) 2 u(1) 10 (0) 4 24 u   u(2) 10 (1) 4 244 u   u(3) 10 (2) 4 2444 u   b. u(0) 34 1 2 (1) (0) 17 u  u  1 2 (2) (1) 8,5 u  u  1 2 (3) (2) 4,25 u  u  c. 1 2 (0) u   (1) 1 3 1 (0) u u  _{ } (2) 1 3 4 (1) u u  _{ } (3) 1 3 3,25 (2) u u   

8

a. 2005: 1400 1,40 400 1560   en in 2006: 1560 1,40 400 1784  

b. u n(  1) 1,40 ( ) 400u n  en u(0) 1400

c. Voer deze recurrente betrekking in: in 2010: u(6) 4012

d. u n(  1) 1,40 ( ) 800u n  en u(0) 4012 .

e. 2017: 4817 en in 2018: 5944

9

a. u(1) 94 u(2) 108,7 u(3) 124,14 u(4) 140,34

b./c.

-d. Voor n30 zijn de termen groter dan 1000.

10

a. u n( ) 2 ( u n 1) 24

b. u n( ) 80 1,4 (  u n1)

c. u n( )u n(  1) ( (u n 1) 0,25)

11 Voer in: u n( ) 2 ( u n 1) 24 en u(0) 10

Voor n12 zijn de termen groter dan 100 000

12

a. Na 5 jaar zijn er voor ’t eerst meer dan 3000 ratten.

b. 0x n, 10 en 0 y 15000

13

a. a1,017 en b300

b. € 8 595,90

c. Er wordt pas na elk jaar rente bijgeschreven

en € 300,- er vanaf gehaald.

d. € 10 756,05

14

a. 3000: nieuwe aanplant 0,8: 20% wordt gekapt, dus 80% blijft staan.

b. Het stijgt steeds minder en komt uiteindelijk in een evenwichtssituatie (15 000)

c. Je krijgt dan eenzelfde soort ontwikkeling, alleen ligt de evenwichtswaarde hoger

(17 500 bomen)

d. Er is sprake van een evenwicht als:

het aantal bomen dat gekapt wordt (p% van het bomenaantal) is gelijk aan de

aanplant: ₁₀₀p _25000 3500_

. Hieruit volgt: p14

15 Het is niet altijd even gemakkelijk om deze formules te vinden.

a./b. 12, 17, 22, 27, 32, …: u n( )u n(  1) 5 …, 37, 42, 47 100, 50, 25, 1 2 12 , …: 1 2 ( ) ( 1) u n  u n …, 1 1 9 4 8 16 6 , 3 ,1

1, 3, 6, 10, 15, …: steeds plus 1 meer …, 21, 28, 36 lastig

3, 6, 12, 24, 48, …: u n( ) 2 ( u n1) …, 96, 192, 384

2, 7, 22, 67, …: u n( ) 3 ( u n 1) 1 …, 202, 607, 1822 lastig

16

a. Opp_{grootste groene}   8 8 64

De groene driehoek linksboven is gelijkbenig met zijde 4. De schuine zijde daarvan,

en dus de zijde van het grootste gele vierkant is 4 2.

4 2 4 2 32 grootste gele Opp    b. u(1) 64 u(2) 32 u(3) 16 c. 1 2 ( ) ( 1) u n  u n met u(1) 64

d. Voer in: mode rij 4 (seq) enter y=

1 nMin 1 2 ( ) ( 1) u n  u n 2nd _{7 (u) (n-1)} ( ) 64 u nMin 

en kijk in de tabel: vanaf n17

17

a. er wordt elke keer met 1

2 vermenigvuldigd. b. u(1) 64 1 2 (1) (0) u 128 u   c. 1 2 ( ) 128 ( )n u n   : de beginwaarde is 128 en de groeifactor 1 2. d. 1 12 2 (12) 128 ( ) 0,03125 u    18 a. u n( )u(0)   n 4 7 4n b. u n( )u(0)   n 5 205 5 n 19 a. B n( ) 1,023 B n( 1) en B(0) 500 c. _{B(18) 500 1,023 } 18 _{€ 752,89} b. _{B n}( )_B(0) 1,023_ n _500 1,023_ n 20

a. A en F zijn rekenkundige rijen: de verschillen zijn 5 en -3

b. B en D zijn meetkundige rijen met reden 1

2 resp. 2 c. A: u n( ) 12 5  n B: 1 2 ( ) 100 ( )n u n   D: _{u n}( ) 3 2_{ } n _{F: u n( ) 20 3  n} 21

a. uit u3 u2 4 27 volgt u2 23; uit u2 u1 4 23 volgt u119 en uit

1 0 4 19 u u   volgt u0 15. Directe formule: u_n 15 4 n b. v3  5 v2   5 5 v1   5 5 5 v0 500. Hieruit volgt: v0  500125 4 Directe formule: 4 5n n u   22 a. u(2) 72 a, u(3) 72 2  a, u(4) 72 3  a 72 3 243 3 171 57 a a a     recursieformule: u n( )u n(  1) 57 met u(1) 72 rangnummerformule: u n( ) 15 57  n

b. u(2) 72 r , _{u(3) 72 r}2_{, u(4) 72 r}3 3 3 3 8 1 2 72 243 3 1 r r r     recursieformule: 1 2 ( ) 1 ( 1) u n  u n met u(1) 72 rangnummerformule: 1 2 ( ) 48 (1 )n u n   23 a. b. u(0) ... u(5) 1 3 5 7 9 11 36       c. 6 termen d. 11 4 1 8   termen 24 a. 5 1 ( ) (1) (2) ... (5) 4 7 10 13 16 50 k u k u u u           



b. die bestaat uit 150 13 1 138   termen

25 a.

er komt elke keer 3 bij.

b. die bestaat uit 8 termen

c. je telt de som van 4 t/m 25 twee keer bij elkaar op. Dat zijn dan 8 sommen met

uitkomst 29. De uitkomst daarvan is 8 29 232  . Dus om één keer de som 4 t/m 25

te berekenen moet je de uitkomst delen door 2.

d./e. het aantal termen is 15 5 1 11   . De eerste term en de laatste term is

(5) (15) 19 49 68

u u    . Twee keer de som is dus 11 termen met som 68: 748

15 1 1 2 2 5 ( ) 11 (19 49) 748 374 k u k        



26 a. 81 termen b. u(0)u(80) 100 220 320   1 2 (0) (1) ... (80) 81 320 12960 u u  u    

27 =sum(seq(u(n), n, 0, 11, 1) sum: 2nd _{stat math seq: 2}nd _{stat ops}

a. 11 1 2 0 (2 5) 12 (5 27) 192 k k       



b. u n( ) 4 3  n 32 1 2 0 ( ) 33 (4 100) 1716 k u k      



c. 19 1 2 5 (0,5 3) (19 5 1) ( 0,5 6,5) 45 k k          



d. u n( ) 100 7  n 12 1 2 0 ( ) 13 (100 16) 754 k u k      



n 0 1 2 3 4 5 6 7 u(n) 4 7 10 13 16 19 22 25 u(0) u(1 ) u(2) u(3 ) u(4) u(5) u(6) 1 3 5 7 9 11 13

28

a. iedere maand komt er € 0,50 bij.

b. recursie: u n( )u n(  1) 0,50 met u(0) 5 rangnummer: u n( ) 5 0,50  n c. in 2015: 11 1 2 0 ( ) 12 (5 10,50) € 93, k u k       



en in 2016: 23 1 2 12 ( ) 12 (11 16,50) € 165, k u k       



29 0 0 ( ) 5 k u k   



, 1 0 ( ) 8 k u k   



, 2 0 ( ) 9 k u k   



, 3 0 ( ) 8 k u k   



, 4 0 ( ) 5 k u k   



en 5 0 ( ) 0 k u k  



30 a. s(0) 3 , s(1) 3 7 10   , s(2) 3 7 11 21    , s(3) 3 7 11 15 36     en (4) 3 7 11 15 19 55 s       b. 1 2 (50) 51 (3 203) 5253 s      c. 1 1 2 2 0 ( ) ( 1) (3 (4 3)) ( 1) (4 6) n k u k n n n n           



31 a. 1 2 ( ) 6 u n   n b. 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( 1) (6 (6 )) ( 1)(12 ) s n   n    n  n  n c. 1 1 2(n1)(122n) 1000 Voer in: 1 1 1 2( 1)(12 2 ) y  x  x en y2 1000 intersect: x 51,8 Voor n52 is s n( ) 1000 32 a. s(0)u(0) 21 (1) 44 (0) (1) s  u u u(1) 23 (2) 69 (0) (1) (2) s  u u u u(2) 25 recursieformule: u n(  1) u n( ) 2 met u(0) 21 rangnummer: u n( ) 21 2  n 33 _{u n( ) 1 2 } n1

Op het 64e _{veld: u(64) 1 2 } 63 _{9,22 10} 18 _korrels 34

a. _{s(64)u(1)u(2)u(3) ... u(64) 2} 0_21_22_{ ... 2}63 _{    1 2 4 ... 2}63

b. Alle termen van de tweede rij zijn verdubbeld.

c. klopt.

35

a. r s n ( ) is bijna dezelfde rij als s n( ). Als je ze dan van elkaar aftrekt blijven alleen de eerste en de laatste term over.

b./c. _{r s s    b r}p _{ b r}q1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) 1 1 q p q p s r b r b r b r b r u q u p s r r                  d. 30 3 (31) (3) 9,076 2,315 ( ) 135,22 1,05 1 0,05 k u u u k       



36 a. 12 0 11 0 3 1,2 3 1,2 3 (1,2) 118,7415 1,2 1 k k       



b. 12 5 11 3 3 4 4 3 4 ₃ 5 4 ( ) ( ) ( ) 0,8225 1 k k    



c. 3, 6, 12, … 768: _{u n}( ) 3 2_{ } n 8 9 0 0 3 2 3 2 ( ) 1533 2 1 k u k       



d. 4, 2, …, 1 32 : u n( ) 4 0,5  n 8 0 7 0 4 0,5 4 0,5 ( ) 7,9688 0,5 1 k u k       



37 a. 5 20 1,1 20 (4) 122,102 1,1 1 s      b. 1 1 1 ( 1) (0) 20 1,1 20 20 1,1 20 ( ) 200 1,1 200 1 1,1 1 0,1 n n n u n u s n r                  c. Voer in: 1 200 1,1 1 200 x y     en y2 1000 intersect: x 17,8

Vanaf n18 zijn de termen van de somrij groter dan 1000.

38 u(0)s(0) 5 (1) (1) (0) 20 5 15 (2) (2) (1) 65 20 45 (3) (3) (2) 200 65 135 (4) (4) (3) 605 200 405 u s s u s s u s s u s s                    

b. Rij u(n) is een meetkundige rij: _{u n}( ) 5 3_{ } n

c. 1 1 1 1 1 2 2 5 3 5 5 3 5 ( ) 2 3 2 3 1 2 n n n s n              39 a. 7 12 17 22 27 32 37

b. het verschil tussen twee opeenvolgende termen is steeds 5. Het vormt een

constante rij.

c. w(n): 5 15 45 135 405 1215 3645 ( 1) ( )

w n w n : 10 30 90 270 810 2430. De verschilrij is ook een meetkundige rij

40

a. u(n): 11 12,3 13,6 14,9 … v(n): 1,3 1,3 1,3 … v n( ) 1,3

b. u(n): 12 18 27 40,5 … v(n): 6 9 13,5 … _{v n}( ) 6 1,5_{ } n

c. u(n) is een meetkundige rij met reden 0,7 en de verschilrij dus ook ( ) ( (1) (0)) 0,7n v n  u u  d. u(n): 0 1 4 9 16 25 … v(n): 1 3 5 7 9 … v n( ) 1 2  n 41 a. v n( )u n(  1) u n( ) 2 n3 b. 1 1 2 2 ( ) ( 1) (3 (2 3)) ( 1)(2 6) s n   n   n  n n c. s n(  1) v(0)v(1) ... v n(  1) _{ }( (1)u_u(0)_u_{u n}(0)) ( (2)_{( )}_u_{u n( ) 9}_u(1)) ... ( ( )  u n u n( 1)) 2 1 1 2 2 ( ) ( 1) 9 (2( 1) 6) 9 (2 4) 9 2 9 u n s n   n n    n n  n  n 42

a. A1: 0,5 m2 _{A2: 0,25 m}2 _{A3: 0,125 m}2

b. A n( ) 0,5 A n( 1) met A(0) 1 c. _{A n}( ) 1 (0,5)_{ } n d. _{A(8) 1 (0,5) } 8 _{0,004 m}2 _{39 cm}2 43 a. 18 1 54  3 186  31 26  31: meetkundige rij. recursieformule: 1 3 ( ) ( 1) u n  u n met u(0) 54 rangnummerformule: 1 3 ( ) 54 ( )n u n   1 9 2 3 729 (9) 54 ( ) u    b. 4 1 3  7 4 3  10 7 3  : rekenkundige rij. recursieformule: u n( )u n(  1) 3 met u(0) 1 rangnummerformule: u n( ) 1 3  n u(9) 1 3 9 28    c. 36 40  4 32 36  4 28 32  4: rekenkundige rij recursieformule: u n( )u n(  1) 4 met u(0) 40 rangnummerformule: u n( ) 40 4  n u(9) 40 4 9 4    d. 0,330,3 1,1 0,363 0,33 1,1 0,3993 0,363 1,1: meetkundige rij recursieformule: u n( ) 1,1 ( u n1) met u(0) 0,3 rangnummerformule: _{u n}( ) 0,3 (1,1)_{ } n _{u(9) 0,3 (1,1) } 9 _0,7074 e. 7,5 9  1,5 6 7,5  1,5 4,5 6  1,5: rekenkundige rij. recursieformule: u n( )u n(  1) 1,5 met u(0) 9 rangnummerformule: u n( ) 9 1,5  n u(9) 9 1,5 9    4,5 f. meetkundige rij. recursieformule: u n( )  1 (u n1) met u(0) 1 rangnummerformule: _{u n}( ) 1 ( 1)_{  } n _{u(9) 1 ( 1)  } 9 _{ 1} 44

a. Elke besmette computer besmet weer 50 andere computers: u n(  1) 50 ( )u n met

(0) 50

u  : 50, 2500, 125000, …

( ) 50 50n

b. _{50 50} 4 _{312.500.000; gemeenschappelijke adressen worden buiten beschouwing} gelaten. c. u(2) 12 2 3 3 (3) 12 (4) 12 (5) 12 96 8 2 u r u r u r r r          ( ) 2 ( 1) met (0) 3 ( ) 3 2n u n u n u u n       45 a. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … b. u n( )u n(  1) u n( 2) 46

a. De tweede persoon geeft de eerste een hand; de derde persoon geeft de eerste

twee een hand en de vierde persoon geeft de drie aanwezigen een hand. In totaal dan 1 2 3 6   handdrukken.

b. Nummer 5 geeft 4 handdrukken.

c. 6 4 10 

d.

d. De 26e _{persoon geeft 25 handdrukken, elk een aan de reeds 25 aanwezigen. Dus in}

totaal: 300 25 325  handdrukken. e. rekenkundig: u(2)u(1) 2 , u(3)u(2) 3 Nee! meetkundig: (2)(1) 3 u u  , (3) (2) 2 u u  Nee! f. 1 2 (48) 1 2 3 ... 49 49 (1 49) 1225 a           47

a. 150 000₂₀ € 7500, aflossen per jaar.

b. 150 000 0,042 € 6300,   over het eerste jaar c. 142500 0,042 € 5985,   over het tweede jaar

d. R(20) 150 000 0,042 142 500 0,042 135 000 0,042 ... 7 500 0,042          1 2 (150 000 142 500 135 000 ... 7 500) 0,042 20 (150 000 7 500) 0,042 € 66 150,              

e. 150 000 1,042 10 000 € 146300,    schuld aan het begin van het tweede jaar

146 300 1,042 10 000 € 142 444,60   schuld aan het begin van het derde jaar f. S n( )S n(  1) 1,042 10 000 met S(0) 150 000

g. voer in: u n( ) 1,042 ( u n1) en u(0) 150 000

Kijk in de tabel: na 20 jaar is de schuld € 37 506,38 h. S(0) 150 000 2 2 3 2 (1) (0) 1,042 (2) ( (0) 1,042 ) 1,042 (0) 1,042 1,042 1,042 (3) ( (0) 1,042 1,042 1,042) 1,042 (0) 1,042 1,042 1,042 ... S S b S S b b S b S S b b S b b b                             aantal mensen 2 3 4 5 6 7 aantal handdrukken 1 3 6 10 15 21

20 19 (20) (0) 1,042 1,042 ... 1,042 (0) 1,042 ( 1,042 ... 1,042 ) S S b b b S b b b                 

Het deel tussen haakjes is een som van een meetkundige rij:

20 20 19 0 20 150 000 1,042 30,4 1,042 1,042 30,4 1,042 1 150 000 1,042 30,4 0 € 11234, k k b b b b b b              



i. R n( )S n(  1) 0,042 1 11234 1 0,042 1 1 1 (150 000 1,042 (1,042 1)) 0,042 6300 1,042 11234 1,042 11234 11234 4934 1,042 n n n n n                     20 20 20 1 1 1 1 1 ( ) (11234 4934 1,042 ) 20 11234 4934k 1,042k k k k R k             







20 1,042 1 224 680 4934 € 74 668, 0,042      

Test jezelf

T-1 a. A: 208, 210 B: 1012,5 1518,75 C: 12,5 6,25 b. A: u n( )u n(  1) 2 met u(0) 200 B: u n( )u n(  1) 1,5 met u(0) 200 C: 1 2 ( ) ( 1) u n u n  met u(0) 200 T-2 a. 120 mg.

b. Er blijft elke keer 70% over (x 0,70), dus 30% verdwijnt.

c. De hoeveelheid medicijn neemt steeds toe, maar wordt nooit meer dan 400 mg.

d. 5 periodes van 12 uur na de eerste inname van 60 mg is er bijna 343 mg in het

lichaam en 6 periodes van 12 uur na de eerste inname 360 mg. Dus na 3 dagen.

e. De hoeveelheid wordt nooit meer dan 400 mg.

T-3 a. 54 1 162 3, 1854  31, 186  31: meetkundig ( ) 162 ( )31 n u n   b. 10,5 12  1,5, 9 10,5  1,5, 7,5 9  1,5: rekenkundig u n( ) 12 1,5  n

c. geen van beide

d. 1280

10241,25, 16001280 1,25, 20001600 1,25: meetkundig u n( ) 1024 1,25  n e. 6,8 10 3,2 , 3,6 6,8 3,2 , 0,4 3,6 3,2 : rekenkundig

( ) 10 3,2 u n    n

T-4

a. de bedragen nemen niet per maand met een vaste waarde toe.

b. b k( )b k(  1) 1 met b(0) 10

( ) 10

b k  k is het bedrag dat Stijn iedere maand in het kde _{kwartaal krijgt}

Stijn krijgt per kwartaal: b k( ) 3(10 k) 30 3  k

c. Op 31 december 2020 heeft Stijn

23 1 2 0 (23) (30 3 ) 24 (30 99) €1548, k s k  



      

aan zakgeld gekregen. De helft (dat is € 774,-) heeft hij gespaard. T-5 a. recursieformule: u n( ) 2 ( u n1) met u(1) 1,25 rangnummerformule: _{u n}( ) 0,625 2_{ } n b. 0,625 2_ n _1.000.000 Voer in: 1 0,625 2 x y   en y2 1.000.000 intersect: x 20,61

De 21e _{term is voor ’t eerst groter dan 1000000.}

c. (15) 0,625 216 1,25 40958,75 2 1 s      T-6 a. A n(  1) 1,10A n( ) 75

b. na 1 jaar: 420 na 2 jaar: 387 na 3 jaar: 351

c. Voer de recurrente betrekking in de GR in en kijk in de tabel; in 2017 komt het

aantal onder de 200 vissen en wordt er een visverbod ingesteld. T-7

a. 320, 320, 320

b. Het getal wordt verminderd met 25% van 320 en dat is 80 en vervolgens wordt er

weer 80 bijgeteld. T-8 a. u n( ) 0,1 ( u n1) met u(0) 2 : 9 8 0 2 0,1 2 ( ) 2,222 0,1 1 k u k      



b. v n( )v n(  1) 50 met v(0) 480 20 1 2 0 ( ) 21 (480 520) 420 k v k        



c. 20 20 10 1 2 11 0 0 ( ) ( ) ( ) 420 11 (480 20) 420 2530 2950 k k k v k v k v k                 







T-9 a. 2002: 760 1,12 110 741   2003: 741 1,12 110 720   b. u n( )round(1,12 (u n 1) 110,0) En bij n17 is u n( ) negatief.

c. Bij een vangst van 80 zeerobben groeit de populatie.

d. Het aantal van 12% die geboren worden moeten dan ook gevangen worden

0,12 760 91,2 

Bij een vangst van 91 zeerobben blijft de populatie constant.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Extra oefening – Basis

B-1 a. u(n): 3, 2, 0, -4 K(n): 20, -9, 5.5, -1.75 p(n): 2, 2, 2, 2 b. 1 2 ( 1) ( ) u n   u n met u(0) 64 B-2.

a. 30: er worden ieder jaar 30 walvissen gedood.

230: de beginpopulatie is 230 1,1: de groei is 10% per jaar.

b. u n( ) 1,1 ( u n 1) 30 met u(0) 230

De populatie sterft uit.

c. u n( ) 1,1 ( u n 1) 20 met u(0) 230

Het aantal walvissen neemt toe.

d. De 10% aangroei moet dan ook weer

gevangen worden: 0,10 30 23  walvissen.

B-3 a. meetkundig: 1 3 ( 1) ( ) u n  u n en 1 9 3 (9) 72 ( ) 0,0037 u    b. meetkundig: u n(  1) 0,1 ( )u n en _{u(9) 0,3 0,1 } 9 _{0,0000000003} c. rekenkundig: u n(  1) u n( ) 3 en u(9) 111 9 3 138    d. meetkundig: u n(  1) 0,98 ( )u n en _{u(9) 1 0,98 } 9 _0,83375

e. geen van beide

f. meetkundig: u n(    1) 2 ( )u n en _{u(9) 1 ( 2)  } 9 _{ 512} B-4 a. 1 2 (20) 21 (6 (6 20 1,5)) 441 s        b. u n(  1) u n( ) 2 1 2 (20) 21 (15 (15 20 2) 105 s          c. u n(  1) u n( ) 10 1 2 (20) 21 (10 (10 20 10) 2310 s        B-5 a. 16 15 16 0,5 1 (15) 2048 4095 0,5 1 s      b. u n(   1) 4 ( )u n (15) 1 416 1 1 431655 765 4 1 s      c. u n(   1) 2 ( )u n 1 16 7 8 8 2 1 (15) 8191 2 1 s     

Extra oefening – Gemengd

G-1 a.

b. u n(  1) u n( ) 2 met u(1) 3

c. De 25e _{figuur heeft 25 25 1 51   stippen.}

d. 25 1 2 1 (25) (1 2 ) 25 (3 51) 675 k s k  



      G-2 a. 2002: 8500 1,15 1400 8375   2003: 8375 1,15 1400 8231   b. u n(  1) 1,15 ( ) 1400u n  en u(0) 8500

c. De populatie zal uitsterven.

d. Bij een jacht van 1100 wilde zwijnen per jaar zal de populatie groeien.

e. Er moeten dan 15% van 8500 (de aanwas) geschoten worden: 1275

G-3 a. u n(  1) u n( ) 3 1 2 (24) 25 (2 (2 24 3)) 950 s        b. 1 2 ( 1) ( ) u n u n  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 (24) 25 (4 (4 24 )) 37 s         c. u n(   1) 2 ( )u n (24) 4 225 1 134 217 724 2 1 s      d. 1 2 ( 1) ( ) u n  u n 12 25 1 2 ( ) 1 (24) 1000 1999,99994 1 s      G-4 a. b. u(0) 1 c. u(n): 1, 5, 12, 22, 35, 51 d. v(n): 4, 7, 10, 13 ( ) 1 3 v n   n e. u(0) 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 (1) (0) (1) (2) (1) (2) (0) (1) (2) (3) (2) (3) (0) (1) (2) (3) ... ( ) (0) (1) (2) ... ( ) 1 (4 1 3 ) 1 (5 3 ) 1 2 1 u u v u u v u v v u u v u v v v u n u v v v n n n n n n n                            

Uitdagende opdrachten

U-1

a. het minimum aantal stemmen is een rekenkundige rij met u n( ) 149 n

2000 1 2 1 ( ) 2000 (150 2149) 2 299 000 k u k      



b. u(100)u(99) 2001 100   1 2 (98) 2001 99 2001 100 (98) 2 2001 99 100 (97) 3 2001 98 99 100 ... (1) 99 2001 2 3 ... 98 99 100 (1) 198099 99 (2 100) (1) 193050 u u u u u u                                     (1) (100) 193 050 u u  U-2

a. Er zijn 3 zetten nodig om twee schijven van paaltje 1 naar paaltje 2 te verplaatsen.

Dan één zet om de derde schijf naar paaltje 3 verplaatsen en vervolgens weer 3 zetten om de twee schijven van paaltje 2 naar paaltje 3 te verplaatsen. In totaal dus

3 1 3 7   zetten.

b. Er zijn Z(n) zetten nodig om n schijven van paaltje 1 naar paaltje 2 te verplaatsen.

Dan één zet om de n+1e _{schijf naar paaltje 3 verplaatsen en vervolgens weer Z(n)}

zetten om de n schijven van paaltje 2 naar paaltje 3 te verplaatsen. In totaal dus

( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 Z n  Z n  Z n  zetten. c. d. _{Z n( )Z n(  1) 2}n1 1 2 1 ( ) ( 1) 2 ( 2) 2 2 n n n Z n Z n Z n             1 2 2 1 ... 2 1 (1) 2 2 ... 2 2 2 1 2 1 n n n n Z             

e. _{Z(64) 2} 63_{ 1 9,22 10} 18 _{seconden. Wat overeen komt met 2,92 10} 11 _jaar U-3 foutje in de tweede recursieformule: bt+1=0,6at+0,2bt-500

Voer in: uMin0 u n( ) 0,8 ( u n 1) 1,4 (v n 1) 1000 u nMin( ) 2000

en v n( ) 0,6 ( u n 1) 0,2 (v n 1) 500 v nMin( ) 525

Kijk in de tabel: op tijdstip t 6 zijn de beginwaarden weer en herhaalt zich de

periode. Met andere woorden: a996 a0 2000 en b996 b0 525

1000 1135

a  en b1000 195

aantal schijven n 1 2 3 4 5

aantal zetten Z(n) 1 3 7 15 31