a
1 Eigen antwoord.
b Steeds sterkere stijging of steeds minder sterke stijging, etc. Zie ?Uitleg?.
c Eigen antwoord, het gaat om de tijdstippen midden tussen laag water en hoog water in. d Die is dan even 0.
a
2 𝑇 neemt toe.
b 𝑇 neemt steeds sterker toe
c Toenemende daling: steeds sterker wordende daling, 𝑇 daalt steeds sneller. Afnemende daling: steeds minder sterke daling, 𝑇 daalt steeds minder snel. a
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > FORMULES EN GRAFIEKEN > VERANDERINGEN
PAGINA 58 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
b 〈 − 0,5; 0,75〉 c 〈2, → 〉 d min.u� (2) = 0,5 a 4 〈 ←, 3〉 b afnemende stijging c toenemende daling
d Een maximum van 9 voor u� = 3. 5 Zie grafiek. Een minimum bij u� = 5.
6 Je ziet bijna altijd maar een deel van de graiek en je weet dus nooit zeker of je alle toppen van de grafiek wel ziet.
7 〈 ←, −1〉: afnemende stijging 〈 − 1,0〉: toenemende daling 〈0,1〉: afnemende daling 〈1, → 〉: toenemende stijging max.u� (−1) ≈ 4 en min.u� (1) ≈ −4
In (0,0) is de daling het snelst, de helling het steilst. 8 〈 ←, −3〉: afnemende daling
〈 − 3,0〉: toenemende stijging 〈0,3〉: afnemende stijging 〈3, → 〉: toenemende daling
max.u� (3) = 27 en min.u� (−3) = −27
In (0,0) is de stijging het snelst, de helling het steilst. a
9 max.u� (0) = 8, min.u� (−2) = 0 en min.u� (2) = 0 b 〈0,1〉
a
10 Na 60 seconden, daar zit een knik in de grafiek en daarna is de daalsnelheid constant. b Die neemt steeds toe.
c De grafiek is een rechte lijn. u� = 1000 /100 = 10 m/s.
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > DISCRETE WISKUNDE > VERANDERINGEN
a
12 Zijn zeventiende levensjaar; 27 cm.
b Vanaf zijn dertiende tot zijn eenentwintigste levensjaar. c Vanaf zijn 18e tot zijn 21e levensjaar.
d Vanaf zijn 21e levensjaar tot ...?
e Vanaf zijn 13e tot zijn 15e levensjaar en vanaf zijn 21e levensjaar tot ...? a
13 〈 − 2,0〉 en 〈2, → 〉 b 〈 − 1,0〉
c max.u� (−2) = 8, max.u� (2) = 8 en min.u� (0) = 0.
6.2 Differentiequotiënt
a
1 Sneller, hij deed over de eerste 8 km 10 minuten, dat is 0, 8 km/minuut. Over de volgende 4 km deed hij 8 minuten, dat is maar 0, 5 km/minuut.
b Er zijn geen vaste tijdsintervallen. c Zie bij de antwoorden bij a.
d Over die 6 km deed hij 16 minuten, dat is maar 6 16 = 0, 375 km/minuut. a 2 Δu� = 6 − 0 = 6 b Δu� = 1,2 ⋅ 62− 1,2 ⋅ 02= 43,2 c 43,2 /6 = 7,2 m/s d Δu�Δu� =1,2⋅1010−62−1,2⋅62 = 19,2 m/s. e Op [6,10]. a 3 Δu� = 5 − 1 = 4
b Δu� = u� (5) − u� (1) = 12 − 4 = 8 c Δu�Δu� = 84= 2
d Δu�Δu� = u�(4)−u�(−2)4−(−2) = 7−196 = −2 a
4 0,15 m.
b 150 m per 1000 m.
c Nee, eigenlijk verwacht je dat de steilste helling wordt aangegeven. d Ongeveer 220−210500−400 = 0,1.
e De laatste 100 m is de gemiddelde helling ongeveer10065. Aan het eind is de helling dus nog meer dan 65%.
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > FORMULES EN GRAFIEKEN > VERANDERINGEN
PAGINA 60 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
a
5 De gemiddelde helling op [u�, u�] bedraagt Δu�Δu� =u�−u�u�−u� = 0.
b De gemiddelde helling op [u�, u�] bedraagt Δu�Δu� =u�u�−u�2−u�2=(u�−u�)(u�+u�)u�−u� = u� + u� mits u� ≠ u�. a 6 Δu�Δu� = 21= 2 b −23 c 𝐷 en 𝐹 en 𝐴 en 𝐸. d Dat is negatief. 7 42= 2 a 8 2−62−0= −2. b 0
c Punten liggen even hoog, zelfde u�-waarde. d B.v. op [−1,0] met Δu�Δu� = 6−21 = 4.
a
9 u� = 0 geeft 𝑇 = 90°C.
b Δ𝑇Δu� =𝑇(5)−𝑇(0)5−0 ≈49,95−905 ≈ −8,8 °C/min. c Ongeveer 3,3°C/min.
d De differentiequotiënten worden kleiner, de koffie koelt langzamer af omdat het temperatuursverschil met de omgeving kleiner wordt.
10 Δu�Δu� = 3(u�+1)12−3(u�)= 6u� + 3. a
11 0,8
b Het is de gemiddelde snelheid gedurende die periode. c 29−2360−44=38.
d 23−1244−18=1126.
e Ze geven de helling weer van het lijnstuk door de punten op de grafiek bij het begin en het eind van het tijdsinterval.
Ze geven de gemiddelde toename van de afstand per minuut weer op het tijdsinterval. 12 Δu�Δu� = 0,5⋅22−04−0,5⋅04 = 4.
13 Δu�Δu� = 0,5(2u�)2u�−u�2−0,5u�2 = 1,5u� als u� ≠ 0.
6.3 Totaalbeeld
a
1 Toenemende daling. b Δu�Δu� = u�(1)−u�(0)1−0 = −11. c Dalend.
a
2 5600 mensen
b In 2004.
c De toenames zijn achtereenvolgens: 5600, 6500, 4100, 1200, −1600.
De aantallen inwoners zijn daarom: 72600 (begin 2000), 78200 (begin 2001), 84700 (begin 2002), 88800 (begin 2003), 90000 (begin 2004) en 88400 (begin 2005).
d 88400 inwoners a
3 100 m hoogte
b GR: Y1=60X−5X^2 en Y2=Y1(X)−Y1(X−1) geeft de toenametabel.
c Hoogste punt bij u� = 6. Bij u� = 6 is nog sprake van toename t.o.v. de hoogte bij u� = 5, bij u� = 7 is sprake van een afname t.o.v. de hoogte bij u� = 6. De maximale hoogte van de vuurpijl is 180 m.
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > FORMULES EN GRAFIEKEN > VERANDERINGEN
d 180 /6 = 30 m/s. a
4 Op [4,12] is Δ𝑇𝐴
Δu� =21−412−4 =178 = 2,125°C per uur.
b Nee, de grafiek is tussen 4 en 10 uur stijgend, maar bijvoorbeeld van 11 tot 12 uur dalend. c Op [14, 22] is Δ𝑇𝐴
Δu� = 22−145−22 = −178 = −2,125 °C per uur, Δ𝑇𝐿
Δu� = 22−145−13 = −88 = −1 °C per uur en
Δ𝑇𝑊
Δu� =10−1022−14= 0 °C per uur.
d 𝑇𝐴om ongeveer 8:00 uur, 𝑇𝐿om ongeveer 8:00 uur en 𝑇𝑊om ongeveer 14:00 uur. a
5 2323× 100 euro
b GR: Y1=-(1/3)X^3+6X^2 en Y2=Y1(X)−Y1(X−1) De boer zal 7 bietenwieders in dienst nemen.
c De 6e en de 7e bietenwieder hebben de hoogste meeropbrengst en brengen dus het meeste binnen tegen dezelfde loonkosten.
a
6 september/oktober en maart/april; de grafiek is daar het steilst
b Ja in dezelfde maanden. Dit heeft te maken met de plaats van Nederland op Aarde en het feit dat de Aardas niet loodrecht staat op het vlak waarin de baan van de Aarde om de Zon ligt.
c Je neemt het verschil van het tijdstip van zonsopkomst en zonsondergang. d Vanaf eind juni t/m eind september.
e Doen.
f In dezelfde maanden als zonsopkomst en zonsondergang. g In juni/juli en in december/januari. Toenames vrijwel 0. h In augustus/september. Grote afnames (negatieve toenames).
a
7 Zie figuur.
b In het vijfde jaar is de toename van het aantal kg vis het grootst (20000 kg).
Als de viskweker 5 jaar wacht is er 60000 kg vis en hij kan dan jaarlijks 20000 kg vis vangen, precies de toename in dat vijfde jaar. Zo houdt hij steeds tussen de 40000 en de 60000 kg vis.
a
8 Lees uit de grafiek af dat de hagedis actief is tussen ongeveer 7:30 uur en 8:00 uur ’s morgens en tussen 18:00 uur en 18:30 uur ’s avonds. Dus in totaal ongeveer 1 uur.
b Ongeveer 405 = 8°C/uur. c Zie figuur.
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 62
a
9 In 1975: 𝑇 ≈ 1540 mld liter per dag en 𝐵 ≈ 215 miljoen.
Per inwoner gemiddeld ongeveer 7163 liter per dag, dus per jaar 365⋅7163 ≈ 2600000 liter per inwoner. b In 1950: 625700⋅ 100 ≈ 89,3%.
In 1980: 15251680⋅ 100 ≈ 90,8% (het getal 1525 vind je door bij de hoeveelheid in 1950 alle toenames op te tellen)
Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat u kunt vinden op de website www.math4all.nl.
De volgorde van de onderwerpen in dit boek is bepaald door de auteurs van Math4All. Indien u in uw klas een andere volgorde wilt hanteren, maar een boek nog steeds op prijsstelt nodigen we u uit om gebruik te maken van de Math4All maatwerkdienst waarmee u zelf boeken kunt genereren.