Uniforme convergentie van reeksen Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S .

Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0.

De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium

: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Uniforme convergentie van reeksen

Stelling 25.6

Een reeksP g_k van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat      n X k=m gk(x )     

<  voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.

Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ M_k voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bewijs: zij  > 0. De reeksP M_k convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn

k=mM_k| < . Dan is      n X k=m gk(x )      ≤ n X k=m |g_k(x )| ≤ n X k=m Mk < .

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k.

Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt |2^−kx^k|

≤ 2^−k · 2^k = 1.

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2.

Op (−2, 2) geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · 2^k = 1. en voor a < 2 convergeertP k ^a2
k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt |2^−kx^k|

≤ 2^−k · 2^k = 1. en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · 2^k

= 1. en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · 2^k = 1.

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt |2^−kx^k|

≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k|

≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · a^k

= ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

.

Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k

om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2.

Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

Voorbeeld

Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)

Zij (M_k) een rij positieve getallen en (g_k) een rij functies op S ⊆ R zodat

|g_k(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP M_k < ∞, dan convergeert P g_k uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞

k=02^−kx^k. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt |2^−kx^k| ≤ 2^−k · a^k = ^a₂
k

en voor a < 2 convergeertP

k ^a2

k

. Dus kunnen we de M-test toepassen met M_k = ^a₂
^k om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:

Lemma

In document Analyse: van R naar R (pagina 21-45)