Bij een formule, die het verband tussen de variabelen u� en u� beschrijft, noem je u� een functie van u�, wanneer deze formule de vorm u� = ... heeft.
In de bijbehorende grafiek komt u� dan altijd op de verticale as.
> In de formule u� = u�2+ 4 is u� een functie van u�.
> In de formule 𝑃 = 0,052u�3is 𝑃 een functie van u�.
> De formule u� + 2u� = 6 kun je op twee manieren schrijven:
> u� = 6 − 2u�, met u� als functie van u�.
> u� = 3 − 0,5u�, met u� als functie van u�.
Voorbeeld 1
De formule u� + 2u� = 12 beschrijft een verband tussen u� en u�.
Herschrijf de formule zo, dat u� is uitgedrukt in u� en teken dan met de grafische rekenmachine de bijpassende grafiek.
Dit gaat zo: u� + 2u� = 12
beide zijden −u�
2u� = 12 − u�
beide zijden /2
u� = 6 − 0,5u�
Je hebt de variabele u� geschreven als functie van u�. Nu kun je de formule in de grafische rekenmachine invoeren.
Opgave 2
Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 21.
Gegeven zijn de twee formules 2u� + u� = 6 en u�2+ 2u� = 12. a Herschrijf beide formules tot u� een functie is van u�. b Voer beide formules in je grafische rekenmachine in.
c Bepaal met de grafische rekenmachine de snijpunten van beide grafieken. d Doe dit ook door de bijpassende vergelijking algebraïsch op te lossen.
Opgave 3
Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 21. Druk in deze formules u� uit in u�. a 2u� − 4u� = 10
b u� ⋅ (u� + 2) = 6 c u� = 4u�2 d u�2+ u�2= 25
Voorbeeld 2
Als je 360 meter afrastering beschikbaar hebt voor een rechthoekig veld met een oppervlakte van 0,5 hectare dan geldt:
u� ⋅ u� = 5000 en 2u� + 2u� = 360 en voor de breedte (in m) de variabele u� kiest. Zoek nu waarden voor u� en u� die aan beide formules voldoen.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES
Voer je ze in de grafische rekenmachine in als Y1=5000/X en Y2=180-X. Om een goede grafiek te krijgen kies je verstandige grenzen van de waar-den van X (de breedte) en Y (de lengte).
Je ziet dat de grafieken twee snijpunten hebben. Om die snijpunten gaat het. Je berekent ze met je grafische rekenmachine.
Opgave 4
Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 21.
Bepaal met je grafische rekenmachine het snijpunt van de grafieken u�+u� = 9 en u� = u�3in één decimaal nauwkeurig. Schrijf een duidelijke uitwerking op.
Voorbeeld 3
Stel je voor dat iemand een rechthoekig stuk land van 200 m2wil omheinen. De kosten voor de omhei-ning moeten zo laag mogelijk worden. Hij moet de lengte en de breedte dus zo kiezen dat de omtrek zo klein mogelijk wordt.
Hoeveel meter omheining is in dit geval nodig? Er gelden voor zo’n rechthoek twee formules: 𝐴 = u� ⋅ u� en 𝑃 = 2u� + 2u�
als u� de lengte (in m), u� de breedte (in m), 𝐴 de oppervlakte en 𝑃 de omtrek is. Omdat 𝐴 = 200, geldt: u� ⋅ u� = 200 en dus u� = 200u�
Die uitdrukking kun je invullen in de formule voor de omtrek: 𝑃 =400u� + 2u�
Deze formule geeft een verband tussen 𝑃 en u� waarmee je een grafiek kunt maken. Je voert dan de formule in de grafische rekenmachine in en je kiest verstandige waarden voor de instelling van het grafiekenvenster.
Aan de grafiek kun dan je zien, dat er een waarde van u� is, waarbij de omtrek zo klein mogelijk is. Die waarde is ongeveer 14,1 m en de bijbehorende breedte is hetzelfde.
Kennelijk is een ongeveer vierkant landje het gunstigst. Dat zal je niet verwonderen...
Opgave 5
Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 22.
Boer Voortman zet voor zijn paard een weilandje af. Hij heeft daarvoor nog 200 meter gaas. Het weiland wordt zuiver rechthoekig. Omdat het weiland tegen een brede rivier aan komt te liggen hoeft hij alleen de twee breedtes en de lengte van gaas te voorzien.
a Druk de lengte u� van het weiland uit in de breedte u�. b Druk de oppervlakte 𝐴 van het weiland uit in u�.
c Breng met je grafische rekenmachine de grafiek bij de formule die je in b hebt gevonden in beeld. Bedenk van te voren de beste vensterinstellingen.
Opgave 6
Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: 𝑉 = 𝜋 ⋅ u�2⋅ ℎ
Hierin is 𝑉 de inhoud (het volume), u� de straal in centimeters en ℎ de hoogte in centimeters.
a Neem een blikje waarvoor ℎ = 10 cm. Nu is 𝑉 een functie van u�. Breng de grafiek van deze functie zo in beeld dat je bij 𝑉 = 1000 nog kunt aflezen hoe groot u� is. Bepaal de waarde van u� in twee decimalen nauwkeurig. b Voor een blikje waarvan de diameter en de hoogte gelijk zijn, geldt: ℎ = 2u�.
Schrijf een formule op voor 𝑉 als functie van u�. Bepaal nu de waarde van u� van zo’n blikje als de inhoud 0,5 L is.
c Voor een blikje waarvan de inhoud 1 L is, kun je een formule opstellen voor ℎ afhankelijk van u�. Breng de bijbehorende grafiek in beeld en bepaal de waarde van ℎ waarvoor u� = 5 cm.
Verwerken
Opgave 7
Breng van de volgende formules de grafieken in beeld. Denk om het gebruik van haakjes en de instel-lingen van het venster!
a u� = 250u� − 4,9u�2 b u� = 0,04 +200u� c 4 ⋅ u� ⋅ ℎ + 2 ⋅ u�2= 100 d 𝑁 = 30+0,5u�60 2
Opgave 8
Voor de inhoud van een rechte kegel geldt: 𝑉 = 13𝐺ℎ, waarin 𝐺 de opper-vlakte van het grondvlak en ℎ de hoogte is. Dit grondvlak is een cirkel met straal u�.
a Welke formule beschrijft het verband tussen 𝑉, u� en ℎ?
Voor een kegel met een inhoud van 1 liter kun je uit de formules een ver-band afleiden tussen u� en ℎ.
b Geef dat verband in een formule weer zo, dat u� een functie is van ℎ. c Bepaal nu de waarde van ℎ waarvoor geldt: u� = 10 cm. Benader het
ant-woord in twee decimalen nauwkeurig.
d Bepaal de waarde van u� waarvoor geldt: ℎ = 10 cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeu-rig.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES
Opgave 9
Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur €200 waarbij nog een bedrag van 4 cent per kopie komt. 𝐾 stelt de totale kosten voor en u� is het aantal kopieën dat er maandelijks (gemiddeld) wordt gemaakt.
a Schrijf de formule op voor 𝐾 als functie van u�.
b Iemand die een kopie maakt betaalt 10 cent per kopie. Schrijf de formule op voor de inkomsten 𝐼 als functie van u�.
c Hoeveel kopieën moeten er per maand worden gemaakt als 10 cent per kopie kostendekkend is?
Opgave 10
Stel je voor dat een bedrijf affiches wil maken. Om op te vallen moet de oppervlakte van zo’n affiche 1 m2worden. Het affiche wordt zo bedrukt, dat er aan de beide zijkanten en de bovenkant een witte strook van 10 cm overblijft. Aan de onderkant is die strook 15 cm. De bedrijfsleiding vraagt zich af welke afmetingen het affiche nu nog kan hebben. Ze komen daarbij op de formule: (u� + 25) (u� + 20) = 10000.
a Laat zien hoe ze aan deze formule komen en wat u� en u� betekenen. b Breng de grafiek bij deze formule in beeld.
c Controleer of alle in beeld gebrachte afmetingen ook mogelijk zijn. d Bij nader inzien wil de bedrijfsleiding dat het bedrukte deel een
vier-kant wordt. Welke maat voor de affiches adviseer je nu?
Testen
Opgave 11
In een biologisch laboratorium is onderzoek gedaan naar de tijd die bij een bepaalde temperatuur nodig is om 50% van het zaad van een plant te laten ontkiemen. Proefondervindelijk werd dit verband tussen de tijde in dagen en de temperatuur in °C (graden Celsius) gevonden:
u�u�u�u� =𝑇−289
Hierin is 𝑇 de temperatuur in °C.
a Voor welke temperaturen heeft de formule betekenis?
b Maak een grafiek bij deze formule. Schrijf de instellingen van het beeldscherm op. c Bij welke temperatuur duurt het 5 dagen totdat 50% van het zaad is ontkiemd?
Opgave 12
Van een vierkant stuk papier van 20 cm bij 20 cm wordt een bakje gemaakt door uit de hoeken een vierkantje weg te knippen. De randen die ontstaan worden naar boven gevouwen. Stel zo’n geknipt vierkantje heeft een zijde van u� cm.
a Stel een formule op voor de breedte u� van het bakje als functie van u�. b Welke waarden kunnen u� en u� aannemen?
c Maak een formule voor de inhoud 𝐼 als functie van u�.
d Maak een grafiek van de formule voor 𝐼. Let op de waarden die u� kan aannemen en zorg voor een zodanige grafiek dat alle mogelijke waarden van 𝐼 in beeld komen.
1.4 Vergelijkingen
Inleiding
Een architect wil een goede trap ontwerpen. Hij ge-bruikt daarvoor de formule:
2 · optrede + aantrede = paslengte
Hij gaat uit van een paslengte van 70 cm. Voor de op-trede wil hij 16 cm nemen. Vult hij deze gegevens in de formule in, dan krijgt hij de vergelijking: 32 + aantrede = 70.
Hij kan dus als aantrede nemen: aantrede = 70 − 32 = 38 cm.
Op deze manier heeft hij de vergelijking opgelost. Het getal 38 maakt de vergelijking kloppend: 32+38 = 70.
Je leert in dit onderwerp
> systematisch vergelijkingen met één variabele oplossen met al bekende oplossingsmethoden;
> vergelijkngen oplossen met de grafische rekenmachine.
Voorkennis
> werken met variabelen (met ’letters’);
> eenvoudige algebraïsche technieken zoals terugrekenen, de balansmethode bij vergelijkingen en werken met haakjes.
Verkennen
Opgave 1
Je hebt al in voorgaande jaren vergelijkingen opgelost.
a Zet even je kennis op een rijtje: welke soorten vergelijkingen ken je en welke oplossingsmethoden ken je?
Een zuiver rechthoekig doosje met een vierkante bodem en een hoogte van 12 cm heeft een buitenop-pervlakte (inclusief bodem en deksel) van 512 cm2.
b Welke afmetingen heeft dat doosje?
Theorie en voorbeelden
Formules zoals u� = 2u� + 3, of u� + 4u� − u� = 15, of 6u� + 10 = 2u� − 8noem je vergelijkingen. Je kunt dan waarden (of combinaties van waarden) zoeken die de vergelijking kloppend maken, dat heet het oplossen van een vergelijking.
Vergelijkingen kun je systematisch oplossen door herschrijven. Vooral bij vergelijkingen met één va-riabele doe je dat vaak. Je gebruikt dan algebraïsche methoden, zoals:
> de balansmethode, waarbij je aan beide zijden van het isgelijkteken
> hetzelfde optelt of aftrekt;
> met hetzelfde vermenigvuldigt of door hetzelfde deelt (maar niet 0).
> de terugrekenmethode, waarbij je bewerkingen ongedaan maakt door het tegenovergestelde te doen:
> optellen maak je ongedaan door aftrekken (en omgekeerd);
> vermenigvuldigen maak je ongedaan door delen (en omgekeerd);
> machten maak je ongedaan door worteltrekken (en omgekeerd).
> ontbinden in factoren, waarbij je gebruik maakt van het feit dat een vergelijking van de vorm u� ⋅ u� = 0 gelijkwaardig is met u� = 0 ∨ u� = 0.
Het teken ∨ betekent dat je deze uitdrukking moet lezen als u� = 0 en/of u� = 0 (dus u� = 0 of u� = 0 of beide).
Als algebraïsche methoden niet werken, kun je nog denken aan inklemmen: je zoekt dan door pro-beren op een steeds kleiner zoekgebied. Je grafische rekenmachine heeft daar diverse routines voor ingebouwd.
Voorbeeld 1
Los de vergelijking 12(u� + 8) = −7 + u� op met de balansmethode. Je kunt bijvoorbeeld zo te werk gaan:
1 2(u� + 8) = −7 + u� haakjes uitwerken 1 2u� + 4 = −7 + u� beide zijden −4 1 2u� = −11 + u�
beide zijden −u�
−12u� = −11
beide zijden × − 2
u� = 22
Je kunt dit antwoord nog controleren door aan beide zijden van de gegeven vergelijking voor u� het getal 22 te substitueren.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES
Opgave 2
Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 27.
Los de volgende vergelijkingen op met de balansmethode. a 3u� − 400 = 700
b 3u� − 400 = 700 − 2u�
c 2300 − 0,15 ⋅ u� = 1600 + 0,42 ⋅ u� d u�−34 =15(10 − 2u�)
Voorbeeld 2
In de vergelijking 2(u� − 4)2= 32 komt de onbekende u� maar op één plek voor. Je kunt hem oplossen met terugrekenen.
Eerst even uitzoeken hoe je heen rekent vanuit x:
u� 32
Vervolgens ga je terugrekenen:
u� 32
Je vindt: u� = ±√322 + 4 en dus u� = 0 en/of u� = 8. En weer controleren door invullen!
Opgave 3
Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 28.
Los de volgende vergelijkingen op door terugrekenen. a 3u� − 400 = 700
b (3 ⋅ u� − 20)2= 1600 c 3 ⋅ u�3= 81
Voorbeeld 3
Deze twee vergelijkingen kun je oplossen met ontbinden in factoren:
> u�2− 5u� + 6 = 0
> u�3= 4u�
De eerste vergelijking gaat zo: u�2− 5u� + 6 = 0
(u� − 2) (u� − 3) = 0 u� − 2 = 0 ∨ u� − 3 = 0 u� = 2 ∨ u� = 3
En de tweede vergelijking gaat zo: u�3= 4u�
u�3− 4u� = 0 u� (u�2− 4) = 0 u� = 0 ∨ u�2− 4 = 0 u� = 0 ∨ u�2= 4
Opgave 4
Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 28.
Los de volgende vergelijkingen op door ontbinden in factoren. a 0,5u�2= 4u�
b u�2+ 5u� − 6 = 0 c 8u� − u�2= 0 d u� (u� − 2) = 3u� − 6
e u�2= u� + 12 f u�3= 4u�
Voorbeeld 4
De vergelijking u� + u�2= 10 kun je oplossen met inklemmen.
Eerst maak je de grafieken van u�1 = u� + u�2 en u�2 = 10 op de grafische rekenmachine. Breng ze zo in beeld dat alle snijpunten zichtbaar zijn! De grafieken snijden elkaar tweemaal. De vergelijking heeft twee oplossingen. Voor de positieve oplossing moet je zoeken tussen 2 en 3. Stel de tabel in op stappen (voor u�) van 0,1.
Je ziet dat je verder moet zoeken tussen 2,7 en 2,8. Het zoekgebied wordt kleiner, je klemt de oplossing in.
Stel vervolgens een stapgrootte van 0,01 in en zoek tussen 2,70 en 2,80. Nu zie je dat de oplossing tussen 2,70 en 2,71 ligt, het dichtst bij 2,70. Zo vind je op twee decimalen nauwkeurig: u� ≈ 2,70.
Als een nauwkeuriger oplossing wordt verlangd, moet je nog door zoeken tussen 2,700 en 2,710.
Op dezelfde manier bepaal je de andere oplossing.
Op twee decimalen nauwkeurig is de volledige oplossing: u� ≈ 2,70 en/of u� ≈ −3,70.
Opgave 5
Niet alle vergelijkingen kun je met de balansmethode, door terugrekenen of ontbinden in factoren sys-tematisch oplossen. De oplossing vinden door inklemmen werkt daarentegen wel altijd. Je moet dan van tevoren een idee hebben van het zoekgebied, dus van het gebied waarin de oplossing is te vinden. In Voorbeeld 4 op pagina 29kun je nalezen hoe je de inklemmethode gebruikt samen met je grafische rekenmachine.
Los de volgende vergelijkingen op met de inklemmethode. Geef je oplossingen in drie decimalen nauw-keurig.
a u�3= 4 − u�. b 600u� = 18 + 0,04u�
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES
Opgave 6
Los de volgende vergelijkingen op met de grafische rekenmachine. Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
a u�3+ 2u� = 16 b u� + √u� = 10 c u� +10u� = 10 d u�+4300 = 20
Voorbeeld 5
Los de vergelijking 1u�+u�+32 = 1 zowel algebraïsch als met de grafische rekenmachine op. De oplossing met de grafische rekenmachine is betrekkelijk eenvoudig:
> Voer in: Y1=1/X+2/(X+3) en Y2=3.
> Bekijk de grafieken.
> Je vindt de twee x-waarden waar Y1 en Y2 gelijk zijn in de tabel, maar exacte waarden vind je niet. De algebraïsche oplossing gaat bijvoorbeeld zo:
1
u�+u�+32 =u�(u�+3)u�+3 +u�(u�+3)2u� =u�(u�+3)3u�+3 = 1
en dus: 3u� + 3 = u�(u� + 3). (Let op dat zowel u� ≠ 0 als u� + 3 ≠ 0 moet zijn!) Dit geeft: u�2= 3 en dus u� = √3 ∨ u� = −√3.
Je ziet meteen hoe nuttig algebraïsche methoden zijn: je vindt meteen de exacte oplossingen, terwijl je je anders moet behelpen met benaderingen, die vaak nog lastig te vinden zijn ook...
Opgave 7
Bekijk Voorbeeld 5 op pagina 30.
Los de volgende vergelijkingen zowel algebraïsch als met de grafische rekenmachine op. a u�+31 +1u� =12
b u�202+5 = 2 c 10u� + 1 = 5u�
Verwerken
Opgave 8
Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. a 4u� + 50 = 200 b 4u�2+ 50 = 200 c √u� + 4 = 20 d (2u� − 5)3= 125 e √u�2+ 4 − 20 = 0 f 12u� = 400
Opgave 9
Los de volgende vergelijkingen op door inklemmen met behulp van je grafische rekenmachine. Zoek alle oplossingen.
a √u� = 6 − u� b u�4= 2 + u�
Opgave 10
Het Empire State Building is een hoge wolkenkrabber in New York. Stel je voor dat iemand van het 381 m hoge gebouw een steentje laat vallen! Onder invloed van de zwaartekracht valt een steen eenparig versneld (de luchtweerstand laat je buiten beschouwing). Natuurkundigen hebben daar-voor een rekenmodel bedacht. Daarin hangen de afgelegde weg u� (in meter) en de snelheid u� (in m/s) af van de tijd u� (in seconde) volgens de formules u� = 4,9u�2en u� = 9,8u�.
a Geef een formule voor de hoogte ℎ van het steentje boven de grond als functie van u�.
b Bereken het tijdstip waarop het steentje op de grond komt.
c Bereken de snelheid waarmee het steentje op de grond komt. Geef je ant-woord zowel in m/s als in km/h.
Opgave 11
Bereken bij deze formules de waarde van de éne variabele als de andere 0 is. a 2u� − 3u� = 650 b 𝑊 = −0,25u� (0,5u� − 100) c u�2+ (u� + 2)2= 100 d u� =600+0,2u�1200 2− 1 e (u�2− 4) (u�2− 9) = −36 f u�4+ 1 = 1+u�42 Opgave 12
Een boer wordt door de gemeente gevraagd om een stuk land te voorzien van een boswal van 4 m breedte. Het stuk land is zuiver vierkant. Het grenst aan één kant al aan het bos, zodat er maar aan driekanten een strook af hoeft voor de boswal. “Ik houd zo maar de helft van mijn land over”, verzucht de boer.
Als dat waar is, hoe groot is dan de oppervlakte van het land? Los dit probleem op met behulp van een vergelijking.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES
Opgave 13
Sommige kaarsen zijn bijna zuiver cilindervormig. Stel je voor dat je zo’n kaars wilt maken met een lengte van 20 cm. Je neemt een lont met een diameter van 3 mm en dompelt die een aantal keer in een bad met vloeibaar kaarsvet. Elke onderdompeling wordt de diameter van de kaars 1 mm groter. De hoeveelheid kaarsvet 𝑉 in de kaars hangt af van het aantal onderdompelingen u�.
a Geef een formule voor 𝑉 als functie van u�.
b Breng de grafiek van deze functie met je grafische rekenmachine in beeld.
c Na hoeveel onderdompelingen is de hoeveelheid kaarsvet in de kaars ongeveer 106 cm3? Lees je ant-woord eerst uit de grafiek af en bereken het daarna door de bijbehorende vergelijking algebraïsch op te lossen.
Testen
Opgave 14
Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. a 1,25u� + 5,50 = 1,85u�
b 0,15(u� − 2)2= 1,35 c 12 − √4 + u�2= 0 d 3u�2− 6u� = 360
Opgave 15
Los de volgende vergelijkingen op door inklemmen met behulp van je grafische rekenmachine. (Even-tuele benaderingen in één decimaal nauwkeurig.)
a 0,12u� +600u� = 30
b 4
√3+u�2=1u�
Opgave 16
Los deze vergelijking algebraïsch op: u�+12 +1u� = 0.
Opgave 17
Voor de totale oppervlakte 𝐴 van een cilindervormig groenteblik met straal u� en hoogte ℎ geldt: 𝐴 = 2𝜋u�2+ 2𝜋u�ℎ.
a Leg uit hoe je deze formule zelf kunt afleiden.
b Bereken in cm3nauwkeurig de oppervlakte van een groenteblik met een diameter van 20 cm en een hoogte van 30 cm.
c Een groenteblik met een oppervlakte van 1000 cm2heeft een hoogte van 20 cm. Bereken de diameter in mm nauwkeurig.
d Van een groenteblik met een oppervlakte van 1000 cm2 zijn de hoogte en de diameter even groot. Bereken de diameter in mm nauwkeurig.
Samenvatten
Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Werken met formules. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
Begrippenlijst
> formule — variabele — grootheid — eenheid
> herschrijven — uitdrukken in — haakjes uitwerken — ontbinden in factoren > functie
> vergelijking — vergelijking oplossen — balansmethode — terugrekenen — inklemmen
Activiteitenlijst
> soorten formules herkennen grafieken maken bij verbanden tussen 2 variabelen > formules herschrijven de éne variabele uitdrukken in de andere formules combineren > formules invoeren in de grafische rekenmachine en grafieken erbij maken
> vergelijkingen oplossen met alle bekende methoden
Achtergronden
Het gebruik van formules is een betrekkelijk recente "uitvin-ding".
De Franse amateurwiskundigeFrançois Viète (1540 - 1603)
was de eerste die een systematische symbolische notatie voor algebraïsche problemen bedacht. Hij gebruikte letters voor onbekenden: klinkers voor variabelen en medeklinkers voor constanten (die hij als eerste coëfficiënten noemde). Zijn bij-drage aan de theorie van het oplossen van vergelijkingen is mede daardoor heel groot, want voor die tijd moesten alle oplossingsmethoden in woorden worden omschreven... Al eerder had de theoloog Nicole d’Oresme (1323 - 1382)
voor zijn natuurkundige onderzoekingen de grafiek uitgevon-den. Maar pas nadat René Descartes (1596 - 1650) de be-schrijving van rechte en kromme lijnen met behulp van for-mules bedacht, werd het gebruik van grafieken zoals wij die tegenwoordig kennen langzamerhand gemeengoed. Descar-tes gebruikte voor variabelen letters achterin het alfabet (vaak
x, y en z) en voor constanten letters voor in het alfabet. Dat
doen wiskundigen tegenwoordig nog steeds...
Daarom weet je dat de formule y = ax + b een (lineair) verband beschrijft tussen x en y, waarin a en b constanten zijn.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES
Testen
Opgave 1
Los deze vergelijkingen algebraïsch op. Geef eventueel benaderingen van je antwoorden in twee deci-malen nauwkeurig. a 1220 + 0,35u� = 2056 + 0,12u� b −0,15(u� + 25)2+ 15 = 0 c 4 ⋅ u�3= 16 d 20+0,25u�350 2 = 7 e u�2− u� = 90 f 1u�+ u� = 5,2 Opgave 2
Los de volgende vergelijking op met behulp van de grafische rekenmachine. Geef een benadering in drie decimalen nauwkeurig.
u�2+ √2u� = 20
Opgave 3
Een fabrikant wil zijn hagelslag verpakken in doosjes met een vierkante bodem. Voor een doosje ge-bruikt hij 800 cm3karton. Ga ervan uit dat een doosje precies de vorm van een balk heeft.
a De hoogte van zo’n doosje wordt aangegeven met ℎ en de zijde van het grondvlak met u�. Laat zien dat het verband tussen ℎ en u� beschreven wordt door de formule: 4u�ℎ + 2u�2= 800.
b De verpakkingsmachine laat een maximale hoogte van 12 centimeter toe. Bepaal de waarde van u� bij ℎ = 12 cm. Geef de benadering in mm nauwkeurig.
c Is een nauwkeuriger benadering van u� zinvol in deze situatie? Geef aan waarom.
Opgave 4
Vanaf een toren wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte ℎ van de vuurpijl hangt af van de tijd u� dat deze onderweg is. Er geldt: ℎ = 100 + 40u� − 5u�2.
Hierin is ℎ in meter en u� in seconden gemeten.
a Breng de grafiek van ℎ in beeld op je grafische rekenmachine.