.
1.9 Teken van een veelterm
1.9.1 Nulpunten van een veelterm(functie)
Elke veelterm V (x) met re¨ele co¨effici¨enten bepaalt een re¨ele functie V : IR → IR : x 7→ y = V (x).
Voorbeeld
De veelterm V (x) = x2− 4 bepaalt de tweedegraadsfunctie V : IR → IR : x 7→ y = x2− 4. De grafiek van deze functie is volgende parabool:
ELEMENTAIRE ALGEBRA
−3 −2 −1 1 2 3 x
−4
−3
−2
−1 1 2
y
0
Om het tekenschema van een veeltermfunctie op te stellen, zal het handig blijken te zijn om verschil-lende soorten nulpunten te onderscheiden:
Definitie
We noemen a een p-voudig nulpunt van V (x) (of van V ) als en slechts als er een veelterm Q(x) bestaat zo dat V (x) = (x − a)pQ(x) en Q(a) 6= 0.
In dat geval is p de multipliciteit van het nulpunt a. Het is duidelijk dat p ≤ gr. V (x). Als p = 1 spreken we ook van een enkelvoudig nulpunt.
Voorbeelden
• Bij de functie V (x) = x2− 4 zijn de nulpunten x = −2 en x = 2 enkelvoudig. Want x2− 4 = (x − 2)(x + 2), en dus is
x2− 4 = (x − 2)1Q(x) met Q(x) = x + 2,
en Q(2) = 4 6= 0. Hieruit volgt dat x = 2 multipliciteit 1 heeft. Op dezelfde manier kan je nagaan dat de multipliciteit van het nulpunt x = −2 ook gelijk is aan 1.
• De functie V (x) = 7(x − 3)4(x + 1)5(x2 + 1) heeft twee re¨ele nulpunten, namelijk x = 3 en x = −1. Doordat het voorschrift reeds ontbonden is in factoren, zien we onmiddellijk dat x = 3 een viervoudig, en x = −1 een vijfvoudig nulpunt is.
Als gr. V (x) = n dan bezit V (x) hoogstens n verschillende nulpunten. De som van de multipliciteiten van alle nulpunten is kleiner dan of gelijk aan de graad n.
Voorbeeld
De graad van de veelterm V (x) = 7(x−3)4(x+1)5(x2+1) is gelijk aan 11, en dus heeft de geassocieerde functie hoogstens 11 nulpunten. De som van de multipliciteiten van alle nulpunten zal dan ook kleiner zijn dan of gelijk zijn aan 11. Inderdaad, in het vorige voorbeeld hebben we gevonden dat deze functie 2 nulpunten heeft, met multipliciteiten 4 en 5. De som van deze multipliciteiten is 9 en dus kleiner dan 11.
ELEMENTAIRE ALGEBRA
1.9.2 Opstellen van een tekenschema
In een tekenschema van een veeltermfunctie V willen we overzichtelijk weergeven voor welke x-waarden de functiewaarden V (x) positief zijn, en voor welke waarden van x deze negatief zijn. Bij het opstellen van zo’n schema maken we gebruik van volgende zaken:
1. Zij a een p-voudig nulpunt van V (x)
Als p oneven is, dan wisselt V (x) van teken in a.
Tekenschema:
x a
V (x) + 0 − of x a
V (x) − 0 + Als p even is, dan behoudt V (x) hetzelfde teken rond a.
Tekenschema:
x a
V (x) + 0 + of x a
V (x) − 0 −
2. Als x groter is dan het grootste nulpunt of als er geen nulpunten zijn, dan heeft V (x) het teken van de co¨effici¨ent van de term met de hoogste graad.
3. Als x kleiner is dan het kleinste nulpunt of als er geen nulpunten zijn, dan hangt het teken van V (x) af van de graad n van de veelterm:
– Als n even is, heeft V (x) het teken van de co¨effici¨ent van de term met de hoogste graad – Als n oneven is, heeft V (x) het tegengestelde teken van de co¨effici¨ent van de term met de
hoogste graad Voorbeeld
We stellen het tekenschema op van de veeltermfunctie
V (x) = 5x3− 25x2− 40x + 240 = 5(x − 4)2(x + 3).
Deze functie heeft twee nulpunten: x = 4 (met multipliciteit 2) en x = −3 (met multipliciteit 1). In x = −3 verandert de functie dus van teken, terwijl ze in x = 4 niet van teken verandert.
Omdat de co¨effici¨ent van de term met de hoogste graad positief is (deze is namelijk gelijk aan 5), zullen de functiewaarden positief zijn voor alle x groter dan het grootste nulpunt 4. Het tekenschema van V ziet er dus als volgt uit:
x V (x)
−3 4
0
− 0 + +
ELEMENTAIRE ALGEBRA
In het tekenschema zie je onder het nulpunt x = −3 ´e´en en onder het nulpunt x = 4 twee verticale streepjes staan. Deze dienen om de multipliciteit van deze nulpunten weer te geven.
We kunnen uit het tekenschema bijvoorbeeld afleiden dat V (−5) < 0, V (0) > 0 en V (10) > 10, zonder dat we deze functiewaarden moeten berekenen.
Ter controle kijken we nog eens naar het teken van V (x) voor x kleiner dan het kleinste nulpunt
−3. Volgens het tekenschema is dit teken negatief. Dat komt overeen met puntje 3. hierboven.
Daar wordt immers gezegd dat het teken van V (x) gelijk is aan het tegengestelde teken van de co¨effici¨ent van de hoogstegraadsterm, omdat de graad van de veelterm oneven is (de graad is 3).
Aangezien de hoogstegraadsco¨effici¨ent gelijk is aan 5, zal V (x) dus inderdaad een negatief teken hebben voor alle x < −3.
Dat alles kan je ook controleren door naar de grafiek van de functie V te kijken:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
x
−50 50 100 150 200 250
y
0
4. Voor een product of een quoti¨ent van veeltermen passen we dezelfde regels toe, rekening houdend met:
(a) de multipliciteiten van gemeenschappelijke nulpunten worden opgeteld,
(b) de nulpunten van de factoren van de eventuele noemer behoren niet tot het domein van de overeenkomstige functie.
Voorbeeld
We stellen het tekenschema op van de rationale functie V (x) = x − 1
6 − 3x.
De teller heeft nulpunt x = 1, de noemer heeft nulpunt x = 2, beide nulpunten zijn enkelvoudig.
Dit wil zeggen dat de functies in teller en noemer van teken zullen veranderen. De tekenschema’s van de teller en noemer van V zien er dan uit als volgt:
x x − 1
1
− 0 +
x 6 − 3x
2 + 0 −
ELEMENTAIRE ALGEBRA
Hieruit kunnen we het tekenschema van V afleiden. Let op, omdat de noemer 0 wordt als x = 2, bestaat V (2) niet! We duiden dit aan met een verticale streep in het tekenschema:
x x − 1 6 − 3x
1 2
0 |
− + −
Het teken in elk deelinterval is dus het product van de tekens van x − 1 en 6 − 3x in dit interval die je in de tekenschema’s bovenaan kan aflezen.
Opmerking: Uit puntjes 2. en 3. volgt het volgende:
Stelling
Zij V een veeltermfunctie van oneven graad. Dan heeft V minstens ´e´en re¨eel nulpunt.
Dit is niet zo moeilijk in te zien. Veronderstel immers dat V een veeltermfunctie is met een oneven graad n, maar dat V (x) toch geen nulpunten heeft. Dan zegt puntje 2. dat V (x) overal het teken heeft van de hoogstegraadsco¨effici¨ent. Maar volgens puntje 3. zou V (x) dan overal het tegengestelde teken van de hoogstegraadsco¨effici¨ent moeten hebben, wat het vorige tegenspreekt. Daarom heeft V minstens ´e´en nulpunt.
1.10 Ongelijkheden (met veeltermen of rationale vormen)