Het is geen homogeen stelsel omdat de rechterleden niet allemaal gelijk zijn aan 0. De uitgebreide matrix van het stelsel wordt gegeven door
is niet lineair omdat sommige van de onbekenden voorkomen met een macht groter dan 1 en omdat er producten van de onbekenden in voorkomen.
Voorbeeld 3
stelt volgend lineair stelsel voor met 4 vergelijkingen in de 3 onbekenden x, y en z:
5.10 Oplossen van lineaire stelsels m.b.v. matrices
In deze paragraaf behandelen we een methode voor het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen die de eliminatiemethode van Gauss wordt genoemd. In verschillende stappen worden de vergelijkin-gen van het stelsel vervanvergelijkin-gen door nieuwe vergelijkinvergelijkin-gen, totdat we een eenvoudiger stelsel bekomen waarvan we de oplossing gemakkelijk kunnen vinden. Uiteraard moeten we er wel voor zorgen dat het nieuwe stelsel nog dezelfde oplossingenverzameling heeft als het originele.
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
Om onze berekeningen compact op te schrijven, zullen we gebruik maken van de uitgebreide matrix van het stelsel in plaats van de vergelijkingen voluit te noteren.
Op de vergelijkingen van een stelsel kunnen we volgende bewerkingen uitvoeren zonder dat de oplos-singenverzameling van het stelsel verandert:
1. Twee vergelijkingen in een stelsel omwisselen.
2. Beide leden van een vergelijking in een stelsel vermenigvuldigen met een van nul verschillend re¨eel getal.
3. Bij een vergelijking van een stelsel een veelvoud van een andere vergelijking van dat stelsel optellen.
Of vertaald naar de uitgebreide matrix:
1. Twee rijen in de matrix omwisselen. (Notatie: Ri ↔ Rj.)
2. De elementen van een rij vermenigvuldigen met een van nul verschillend re¨eel getal. (Notatie:
Ri → a · Ri.)
3. Bij een rij een veelvoud van een andere rij optellen. (Notatie: Ri → Ri+ a · Rj.) Deze drie operaties noemen we de elementaire rij-operaties.
Stelling
Als we een willekeurig aantal elementaire rij-operaties toepassen op een lineair stelsel AX = B, dan bekomen we een nieuw stelsel A0X = B0 dat dezelfde oplossingenverzameling heeft als het stelsel waarvan we vertrokken zijn.
Stelsels met dezelfde oplossingenverzameling noemen we equivalent. Twee matrices A en B noemen we equivalent als we de ene kunnen bekomen uit de andere door toepassing van elementaire rij-operaties. In dat geval noteren we
A ∼ B.
Gebruik makend van deze begrippen kunnen we vorige stelling herformuleren als:
Stelling
Wanneer A|B ∼ A0|B0, dan zijn de stelsels AX = B en A0X = B0 equivalent.
Voorbeeld
In de volgende tabel wordt in detail een voorbeeld uitgewerkt.
In de linkerkolom geven de bewerkingen die uitgevoerd worden op de vergelijkingen van het stelsel telkens aanleiding tot een equivalent stelsel. In de rechterkolom geven de bewerkingen die uitgevoerd worden op de rijen van de uitgebreide matrix aanleiding tot een rij-equivalente matrix.
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
Werken met vergelijkingen Werken met matrices
1. Schrijf het stelsel in standaardvorm: Noteer de uitgebreide matrix van het stelsel:
2. Verwissel de eerste twee vergelijkingen Verwissel de eerste twee rijen
3. Tel bij de tweede vergelijking −2 maal en bij Tel bij de tweede rij −2 maal en bij de de derde −3 maal de eerste vergelijking op derde −3 maal de eerste rij op
4. Vermenigvuldig de tweede vergelijking met −13 Vermenigvuldig de tweede rij met −13
5. Tel bij de derde vergelijking 6 keer de tweede op Tel bij de derde rij 6 keer de tweede rij op
6. Vermenigvuldig de derde vergelijking met 13 Vermenigvuldig de derde rij met 13
In stap 6 bekomen we een rij-equivalente matrix die de uitgebreide matrix is van een lineair stelsel in driehoeksvorm. Uitgaande van dat stelsel kunnen we de oplossing van het gegeven stelsel vin-den door achterwaartse substitutie of terugsubstitutie. Dit betekent dat we de waarde voor z die we vinden in de laatste vergelijking, kunnen invullen in de tweede vergelijking om y te bepalen, en ten-slotte kunnen we beide gevonden waarden voor y en z invullen in de eerste vergelijking om x te vinden.
x + 4y + 7z = 10 y + 2z = 3
z = 1
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
z = 1
y + 2 · 1 = 3 y = 1
x + 4 · 1 + 7 · 1 = 10 x = −1
De oplossing van het stelsel is dus (x, y, z) = (−1, 1, 1). We noteren de oplossingenverzameling door V = {(−1, 1, 1)}.
Willen we in het algemeen een stelsel herleiden tot de driehoeksvorm, dan moeten we ervoor zorgen dat bepaalde matrixelementen m.b.v. elementaire rijtransformaties nul gemaakt worden.
In de praktijk kunnen we als volgt te werk gaan:
Hernemen we de overgang van stap 2 naar stap 3 uit het voorbeeld. In de eerste kolom willen we het tweede en het derde element nul maken met geschikte rij-operaties, terwijl het eerste element (nl. 1) ongewijzigd blijft.
Het kolomelement dat ongewijzigd blijft, noemt men de spil en wordt omcirkeld. We zullen dit element gebruiken om de elementen eronder nul te maken. Om bijvoorbeeld van het element 2 in de eerste kolom een 0 te maken, kunnen we van de tweede rij 2 keer de eerste rij aftrekken (in symbolen:
R2 → R2− 2 · R1). We krijgen dan Vervolgens gebruiken we de spil om het element 3 in de eerste kolom 0 te maken. De elementaire rij-operatie die we daarvoor kunnen gebruiken is R3 → R3− 3 · R1. Zo vinden we
Merk op dat we steeds de gebruikte rij-operatie vermelden boven het equivalentie-symbool ∼ zodat we achteraf onze berekeningen gemakkelijker kunnen controleren.
In stap 4 maken we het element op de tweede rij in de tweede kolom gelijk aan 1 door de rij te delen door −3:
Deze nieuwe 1 wordt opnieuw een spil die we kunnen gebruiken om het element eronder 0 te maken.
Dat gebeurt in stap 5:
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
Tenslotte delen we in stap 6 de derde rij door 3:
Het stelsel dat hiermee overeenkomt is
een stelsel in driehoeksvorm waaruit we ´e´en van de variabelen onmiddellijk kunnen aflezen. Zoals hierboven uitgelegd kunnen we dan door achterwaartse substitutie ook de overige variabelen vinden.
De matrix
die overeenkomt met een stelsel in driehoeksvorm heeft een speciale vorm. We zeggen dat hij in echelonvorm staat. Hiermee bedoelen we het volgende:
Definitie
Een matrix staat in echelonvorm als
• alle rijen met enkel nullen helemaal onderaan de matrix staan,
• het leidende element (= het meest linkse niet-nul element) van elke rij strikt rechts van het leidende element van de rij erboven staat.
Voorbeeld
Bekijk onderstaande matrices, waar we het leidende element van elke rij omcirkeld hebben:
A =
De matrix A staat in echelonvorm, maar B niet. De reden is dat het leidende element 1 op de derde rij niet strikt rechts van (maar onder) het leidende element 8 van de tweede rij staat.
Wanneer de co¨effici¨entenmatrix A van een stelsel AX = B in echelonvorm staat, is het bijbehorende stelsel een stelsel in driehoeksvorm dat je kan oplossen met achterwaartse substitutie.
Met behulp van de methode van Gauss kan elke co¨effici¨entenmatrix tot een matrix in echelonvorm worden gebracht. Deze methode, die we hierboven reeds toegepast hebben, gaat in het algemeen als volgt:
1. Bekijk het leidende element dat het meest links staat. Verwissel eventueel enkele rijen zodat dit op de eerste rij komt te staan. Noem dit element a11.
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
2. Deel de eerste rij door het getal a11. Dit mag want a11 6= 0 omdat het een leidend element is.
Door deze rij-operatie krijgen we linksboven het getal 1. Na deze stap ziet de matrix er in het algemeen als volgt uit:
0 . . . 0 1l ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 a21 ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 a31 ∗ ∗ . . . ∗ ... . .. ... ... ... ... . .. ...
0 . . . 0 am1 ∗ ∗ . . . ∗
.
De sterretjes staan voor elementen waarvan we de waarde niet kennen, en waarvan de waarde momenteel ook niet belangrijk is. Ze kunnen nul of niet nul zijn.
3. Gebruik de leidende 1 linksboven als spil om de elementen eronder 0 te maken. Pas hiervoor volgende rijoperaties toe:
R2 → R2− a21R1 R3 → R3− a31R1
...
waarbij a21, a31, . . . de elementen zijn onder de spil. Na deze stap ziet de matrix er als volgt uit:
0 . . . 0 1 ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 ∗ ∗ . . . ∗ ... . .. ... ... ... ... ... ...
0 . . . 0 0 ∗ ∗ . . . ∗
4. Bekijk nu de omkaderde deelmatrix en ga terug naar stap 1. We blijven de stappen 1 tot en met 4 herhalen op een steeds kleinere deelmatrix tot de co¨effici¨entenmatrix helemaal in echelonvorm staat. Merk op dat we zo een speciale vorm van echelonmatrix zullen bekomen, namelijk ´e´en waarbij alle leidende elementen gelijk zijn aan 1.
Het stappenplan om een lineair stelsel op te lossen wordt dan:
1. Schrijf het stelsel in zijn standaardvorm.
2. Schrijf de uitgebreide matrix van het stelsel op.
3. Pas de methode van Gauss toe totdat de co¨effici¨entenmatrix in echelonvorm staat. (Merk op dat niet de hele uitgebreide matrix in echelonvorm moet staan, maar enkel de co¨effici¨ enten-matrix!)
4. Schrijf het geassocieerde stelsel op.
5. Los dit stelsel in driehoeksvorm op via achterwaartse substitutie.
6. Noteer de oplossingenverzameling.
7. Controleer je gevonden oplossing(en) door ze in te vullen in de vergelijkingen van het stelsel.
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
Voorbeeld 1
We lossen volgend stelsel op:
Dit stelsel is lineair maar staat nog niet in standaardvorm. Want er staan nog onbekenden in de rechterleden en constanten links van het gelijkheidsteken. Daarom herschrijven we de vergelijkingen:
Dit stelsel staat nu wel in standaardvorm. De uitgebreide matrix wordt gegeven door
We brengen de co¨effici¨entenmatrix in echelonvorm met de methode van Gauss. In de eerste stap moeten we op zoek gaan naar het meest linkse leidende element. In de matrix hierboven hebben we het leidende element van elke rij omcirkeld. We zien dat er twee leidende elementen zijn in de eerste kolom. Tussen deze elementen mogen we kiezen. Veronderstel dat we verder werken met de 6. Dan moeten we volgens de methode van Gauss de eerste twee rijen wisselen.
Vervolgens vermenigvuldigen we de eerste rij met 1/6 zodat het leidende element daar gelijk wordt aan 1:
Stap 3 zegt dat we de leidende 1 van de eerste rij als spil kunnen gebruiken om de getallen eronder 0 te maken. Het eerste element van de tweede rij is al gelijk aan nul, dus we moeten enkel nog de rij-operatie R3→ R3− 1 · R1 uitvoeren. Het vervelende is wel dat we nu moeten rekenen met breuken om te zien wat de nieuwe elementen op de derde rij zullen worden, wat de kans op rekenfouten vergroot.
Daarom kunnen we beter anders beginnen. De breuken zijn er gekomen doordat we van het leidende element 6 van de tweede rij een 1 wilden maken. Om dit te bereiken, moesten we de hele eerste rij delen door 6. Dat kunnen we vermijden door te werken met het leidende element 1 van de derde rij.
Wanneer we dit element gebruiken, zullen er geen breuken ontstaan:
Vervolgens moeten we dezelfde stappen zetten op de omkaderde deelmatrix hierboven. Eerst zoeken we het meest linkse leidende element. De leidende elementen 2 en −2 staan beiden in dezelfde kolom, dus we mogen kiezen welk element we gebruiken. We kiezen voor het element 2 op de tweede rij, zodat we geen rijen moeten wisselen:
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
Nu staat de co¨effici¨entenmatrix in echelonvorm, dus we moeten geen verdere rij-operaties meer uit-voeren. Het stelsel uit de opgave is nu equivalent met volgend stelsel in driehoeksvorm:
Omdat de laatste vergelijking 0 = −8 geen oplossingen heeft, heeft ook het stelsel geen oplossingen.
We noemen het een vals of strijdig stelsel en de oplossingenverzameling is leeg: V = Ø.
Voorbeeld 2
We lossen volgend stelsel op:
We noteren de uitgebreide matrix van dit stelsel en passen de methode van Gauss toe om hem via elementaire rij-operaties te herleiden tot een equivalente matrix in echelonvorm:
Het stelsel in driehoeksvorm dat hiermee overeenkomt, wordt gegeven door
en kunnen we oplossen via achterwaartse substitutie. Omdat z = 3, vinden we uit de tweede vergelij-king dat y = 1+(1/3)z = 1+(1/3)·3 = 2 en dus volgt uit de eerste vergelijvergelij-king dat x = 3−y = 3−2 = 1.
Daarom heeft het stelsel een unieke oplossing:
V = {(1, 2, 3)}.
Ter controle kunnen we onze gevonden oplossing invullen in het stelsel om te kijken of de drie verge-lijkingen dan inderdaad voldaan zijn. We krijgen
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
Een equivalente manier om onze oplossing te controleren is door na te gaan of ze voldoet aan de matrixvergelijking AX = B. Na wat rekenwerk vinden we dat
Merk op dat we hier eigenlijk dezelfde berekeningen doen als ervoor (nl. de gevonden getallen invullen in de vergelijkingen van het stelsel), maar dat de notatie met matrices een beetje compacter is.
Voorbeeld 3
We bekijken het stelsel
Dit stelsel staat reeds in zijn standaardvorm. We gebruiken de methode van Gauss om het op te lossen:
Aangezien de laatste rij een nulrij is, is dit de uitgebreide matrix van volgend lineair stelsel met twee vergelijkingen:
x + 2y − z = 1 y − z = −2/5
We voeren opnieuw een achterwaartse substitutie uit. We gebruiken de laatste vergelijking om y te schrijven in functie van z:
y = −2
5+ z. (∗)
Omdat er meer onbekenden zijn dan vergelijkingen, kunnen we y niet uniek bepalen. Wel zien we dat wanneer we een waarde voor z kiezen, we ook een waarde voor y vinden met behulp van (∗). Omdat het niet uitmaakt welke waarde we nemen voor z, stellen we z gelijk aan een willekeurig re¨eel getal r:
z = r. Dan vinden we als oplossing voor y:
y = −2 5 + r.
Vullen we dit in de eerste vergelijking in, dan vinden we ook x:
x + 2y − z = x + 2
Voor elke waarde die we kiezen voor de parameter r ∈ IR, vinden we een andere oplossing van het stelsel. Deze oplossingen zijn allemaal van de vorm (x, y, z) = (9/5 − r, −2/5 + r, r). Bijvoorbeeld
x = 2, y = −3/5, z = −1/5, (r = −1/5)
en x = 9/5, y = −2/5, z = 0, (r = 0)
en x = −1/5, y = 8/5, z = 2, (r = 2)
en . . .
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
zijn allemaal oplossingen. Het stelsel heeft dus oneindig veel oplossingen:
V = 9
We lossen onderstaand stelsel op:
Dit is een stelsel met drie vergelijkingen in de vijf onbekenden a, b, c, d en e. We gebruiken opnieuw de methode van Gauss om de oplossingenverzameling te bepalen:
Deze matrix in echelonvorm is de uitgebreide matrix van het lineaire stelsel
dat we oplossen via achterwaartse substitutie. Omdat we slechts 3 vergelijkingen hebben voor 5 on-bekenden, zullen we de waarde van twee variabelen mogen kiezen. Kiezen we een willekeurige waarde voor c en e (de variabelen die overeenkomen met een kolom van de matrix waarin geen leidende 1 staat), dan kunnen we de andere variabelen vinden uit de vergelijkingen.
Kies e = r, dan volgt uit (3) dat d = −3r. Kies ook c = s, dan is b = 2s wegens (2). Vullen we dit alles in in vergelijking (1), dan krijgen we
a = 1 − 2s + 2s + 3r − 3r = 1.
De oplossingenverzameling van dit stelsel is dus
V =(1, 2s, s, −3r, r)
r, s ∈ IR .
Ook dit stelsel heeft oneindig veel oplossingen. Volgende vijftallen zijn voorbeelden van oplossingen:
(1, 0, 0, −3, 1) s = 0, r = 1 (1, 2, 1, 0, 0) s = 1, r = 0 (1, 6, 3, 3, −1) s = 3, r = −1
...
MATRICES - DETERMINANTEN - STELSELS
Sommige vraagstukken geven aanleiding tot een lineair stelsel:
Voorbeeld 5
Gegeven: De grootste hoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee andere hoeken. Boven-dien is tweemaal de kleinste hoek 10◦ minder dan de grootste hoek.
Gevraagd : Bepaal de grootte van elk van de hoeken van deze driehoek.
Oplossing: Noem de hoeken van de driehoek a, b en c, en zij a de grootste en c de kleinste hoek.
Omdat de som van de hoeken van een driehoek gelijk moet zijn aan 180◦, wordt de opgave beschreven door volgend stelsel: We lossen dit lineaire stelsel op met de methode van Gauss:
Vervolgens zetten we deze uitgebreide matrix opnieuw om naar een stelsel:
dus de hoeken van een driehoek voorstellen. De grootste hoek bedraagt 90◦ en is gelijk aan de som van de twee kleine hoeken van 40◦ en 50◦, en tweemaal de kleinste hoek is gelijk aan 2 · 40◦ = 80◦, wat inderdaad 10◦ minder is dan de grootste hoek. We hebben de oplossing van het vraagstuk dus gevonden.