10% = 50% = 25% = 37% = 12,5% =
24
Bij procentensommen is het handig om te werken met “de factor.” Dit staat uitgelegd in de Powerpoint die hoort bij dit hoofdstuk.
Oefensommen 2.1.2.
1. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs stijgt met 15%. Bereken de nieuwe prijs.
2. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs daalt met 6%. Bereken de nieuwe prijs.
3. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs wordt verhoogd tot € 3,20. Hoeveel % bedraagt de prijsstijging?
4. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs wordt verlaagd tot € 2,85. Hoeveel % bedraagt de prijsverlaging?
5. De prijs van heliumgas is verhoogd met 10%. Na de verhoging kost het € 3,00 per liter. Bereken de prijs voor de verhoging.
25
2.2. Duplo’s
Een duplo doen betekent: de meting herhalen ter controle. De onderlinge afwijking mag dan (bijvoorbeeld) maximaal 0,5% zijn. Als het meer is wordt een derde maal gemeten.
Formule:
De verticale strepen geven aan dat van meetwaarde - duplo de absolute waarde moet worden genomen. Dit betekent: De uitkomst moet positief worden (of nul).
Oefensommen 2.2.1
1. Iemand meet een hoeveelheid NaCl twee maal. Meetwaarde 3,090 g
Duplo 3,088 g
Bereken de procentuele afwijking.
26
1. IJzer kost € 2,34 per kg.
De prijs stijgt eerst met 5% en daarna met 6%. Bereken de eindprijs.
2. Iemand heeft € 49 euro op de bankrekening. De rente bedraagt 3,74% per jaar
Bereken het bedrag na 10 jaar.
3. Kees wordt bij z’n baas geroepen. De baas zegt: “ je gaat 15% minder verdienen.” Meteen daarna zegt z’n baas. “Ik heb er spijt van, je krijgt er 15% bij. “
Verdient Kees nu weer hetzelfde als voor de gesprekken met z’n baas?
4. Geconcentreerd zwavelzuur kost €18,00 per liter De prijs daalt tot € 16,90
Bereken de prijsdaling in %
5. Geconcentreerd zwavelzuur kost €18,00 per liter De prijs daalt met 8 %
27
6. De prijs van geconcentreerd zwavelzuur is met 3,5% gedaald. Na de prijsdaling kost 1 liter €17,30
Bereken wat de prijs was voor de prijsdaling.
7. Iemand wil weten hoeveel % water in halvarine zit. Hij weegt een leeg bakje: m b =52,21 g
Hij doet halvarine in het bakje en weegt opnieuw:m b+h= 73,88 g
Hij verhit het bakje met inhoud totdat al het water is verdampt. Hij weegt opnieuw: m b+h-w 65,25 g.
Bereken hieruit het massapercentage water in halvarine. (Tip: Bedenk eerst de formule)
8. De uitkomst van een concentratiebepaling is 12,6 mmol/l Er wordt een duplobepaling gedaan: 13,0 mmol/l
28
Exponentiele groei.
Bij veel processen is er sprake van groei. Denk aan bacteriën die zich vermenigvuldigen en denk aan spaargeld dat door rente steeds meer wordt.
De groei wordt exponentieel genoemd als de tijd (t) in de exponent (van de macht) staat. Als groei exponentieel is, zal er telkens in een bepaalde tijd
verdubbeling zijn.
De grafiek vertoont een lijn die steeds steiler gaat lopen.
Stel een bacterie heeft 1s nodig om te delen. We beginnen met 1 bacterie.
Na 8s zijn er dan 256 bacteriën.
De formule wordt:
29
Oefensommen 2.3.1.
1. We beginnen met 1,0 .103 bacteriën. Een bacterie heeft 12 s nodig om te delen.
Hoeveel bacteriën zijn en na 8,0 minuten?
2. Een aantal gistcellen groeit volgens:
Aantal gistcellen = 4,6.103 *2 t/5 (tijd in minuten)
a. Hoeveel gistcellen zijn er op tijdstip t =0 s ? b. In hoeveel tijd verdubbelt het aantal gistcellen? c. Hoeveel bacteriën zijn er na een half uur?
30
Ook bij uitbetalen van rente hebben we te maken met groei.
Als de rente een vast percentage per jaar is, komt er per jaar steeds meer bij!
Het bedrag groeit jaarlijks en dus wordt van een steeds groter bedrag het percentage genomen.
Als je € 100 euro tegen 4,5% “wegzet” heb je na 50 jaar: € 903.
Je vindt dit bedrag door de factor te berekenen waarmee het bedrag elk jaar wordt vermenigvuldigd. Bij 4,5% is die factor 1,045.
€ 100 wordt na 1 jaar € 104,5 euro want er komt € 4,50 bij. De factor is dan 1,045 want € 100*1,045 = € 104,50.
Elk jaar wordt het bedrag opnieuw met dit bedrag vermenigvuldigd. Bedrag = beginbedrag * factor tijd
31
Oefensom 2.3.2.
1. Iemand heeft € 1250 op een bankrekening. De rente is 3,25% per jaar.
Bereken het totale bedrag na 30 jaar. Afronden op hele euro’s.
32
Als een waarde afneemt, kan de afname exponentieel zijn.
Net als bij exponentiële groei betekent dit dat de tijd t in de exponent van de macht staat. Maar de exponent is negatief !
Laten we als voorbeeld nemen: de afname van de hoogte ht van de schuimkraag op een glas pils.
Formule: 0
2
T1/2 t th
h
−
=
h0 is de beginhoogte, net na het tappen.
T1/2 heet de halveringstijd; de tijd die nodig is om de hoogte tot de helft te laten afnemen.
Stel de beginhoogte is 4,0 cm is en de halveringstijd T1/2 is 8 minuten, dan betekent dit dat elke 8 minuten de hoogte wordt gehalveerd.
Tijd (min) Hoogte schuimkraag (cm) 0 4,0 8 2,0 16 1,0 24 0,5 32 0,25
33
Oefenopgave 2.4.1
1. Teken hieronder de grafiek van het voorbeeld hierboven; tijd horizontaal → , hoogte vertikaal ↑. Schrijf rechts de formule.
Aan de grafiek zie je dat de afname in het begin snel gaat en daarna steeds langzamer. Theoretisch wordt de hoogte nooit nul.
Omdat 2
1hetzelfde is als
2
−1 kan de formule hierboven ook geschreven worden als: 1/2 2 1 0 T t t h h = Formule: ht=34
1. Bereken (zie voorbeeld hierboven) de schuimkraaghoogte na 11 minuten.
2. Een fietsband is lek. De (over)druk in de fietsband zakt volgens de volgende formule:
30
2
200
t tp =
−p in kPa (kilopascal) en t in minuten.
Bereken de druk in de band na 10 minuten en na 100 minuten.
3. In de grafiek hieronder zie je de afname van het aantal (N)
radioactieve atomen.
a. Bepaal uit de grafiek het beginaantal (N0) en de halveringstijd.
b. Schrijf de formule voor het aantal atomen op. c. Hoeveel radioactieve atomen zijn en na 36 uur?
aantal radioactieve atomen
0 200 400 600 800 1000 1200 0 2 4 6 8 10 12 tijd in uur N N
35
2.5 Extra oefeningen: procenten, exponentiële groei & rente en exponentiële afname
1.
Iemand weegt een schaaltje 43,41g
Hij doet halvarine in het schaaltje en weegt opnieuw 50,58 g
Hij zet het schaaltje met halvarine in een warme oven en laat al het water verdampen. Daarna weegt hij opnieuw: 47,04 g.
Bereken uit deze formules hoeveel % water in de halvarine zat. Let op het juiste aantal cijfers.
2.
Iemand meet de concentratie van een NaOH-oplossing 0,0503 g per liter. Hij voert een duplo uit en vindt 0,0511 g per liter.
Bereken de procentuele afwijking.
% 100 * meetwaarde duplo meetwaarde percentage afwijkings onderling − = 3.
De groeiformule van een bacteriekolonie is:
5 , 0
2
300
tN =
(tijd in uur.)a. Hoeveel bacteriën zijn er op tijdstip 0 s?
b. In hoeveel tij d verdubbelt het aantal bacteriën in de kolonie? c. Bereken het aantal bacteriën op tijdstippen 0,25 0,5 0,75 en 1 uur. d. Teken de grafiek: Aantal vertikaal en tijd horizontaal.
36
Het aantal mol 114Indium daalt volgens deze grafiek.
a. Bepaal het aantal mol op tijdstip nul. b. Bepaal de halfwaardetijd
c. Schrijf de formule op van nt.
d. Bepaal hoeveel mol 114Indium er is na 10 minuten.
5.
Een pak printpapier kost (inclusief 21% BTW) €5,80. Bereken de kosten excl. BTW.
6
De waarde van een aandeel is met 30% gedaald.
Met hoeveel procent moet het aandeel stijgen om weer de oorspronkelijke waarde te hebben? 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 n ( m o l) tijd (min)
Indium
37
2.6 Oefentoets Hoofdstuk 2
1.
Halvarine bestaat uit water en vet.
Bereken uit de gegevens hieronder het percentage vet in halvarine. Rond je antwoord op de juiste wijze af.
Leeg schaaltje: 31,06 g
Schaaltje met zand: 54,89 g
Schaaltje met zand en halvarine: 72,04 g Na verdampen: 63,65 g
38
Hiernaast zie je hoe de dikte van een schuimlaag op bier afneemt.
Bepaal de begindikte en de halveringstijd. Bereken de dikte van de schuimlaag na 32 minuten.
3.
a. De prijs van koper stijgt in een week van € 15,00 tot € 17,20. Hoeveel % bedraagt de prijsstijging? b. De prijs van zoutzuur was € 3,40 en is met 15% gedaald. Welke factor gebruik je?
Bereken de nieuwe prijs.
c. . De prijs van zoutzuur is na een prijsdaling van 23 % € 2,80. Welke factor gebruik je? Bereken de oude prijs.
0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 tijd (minuten)
39 4.
Iemand heeft €1500,00 op de bank en krijgt 2,1% rente per jaar. Bereken hoeveel geld hij heeft na 12 jaar.
5.
Iemand meet de concentratie van een HCl-oplossing: 0,0249 g/liter. Uit de duplo komt 0,0251 g/liter.
Bereken de onderlinge procentuele afwijking (rond je antwoord op de juiste wijze af).