5 Ruimtelijke figuren
5.3 Ruimtelijke figuren tekenen
a
1 Je zou denken dat figuur I de kubus is, want daarvan zijn de ribben even lang.
b Figuur II lijkt meer op een kubus omdat lijnen die naar achteren lopen voor onze ogen korter lijken te worden.
c Doen, maak slim gebruik van het rooster. Laat je antwoord controleren. a
2 Zie figuur.
b Zie figuur. c 𝐴𝐷, 𝐸𝐻 en 𝐹𝐺.
d Deze ribben lopen schuin naar achteren en worden daarom korter getekend. 3 Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
PAGINA 56 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
5 Doen. Dit gaat net als de voorgaande opgave, maar met andere afmetingen. a
6 Zie figuur.
b Zie figuur bij a. c Zie figuur bij a. 7 Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
a
8 De piramide lijkt op die van de vorige opgave.
b Zet steeds op elke ribbe van het grondvlak een stip op één cm van het hoekpunt af. Verbindt deze acht stippen met 𝑇 en met elkaar tot een achthoekig grondvlak.
c Niet alle zijden van het grondvlak zijn even lang. a
9 Doen.
b Doen, laat je figuur controleren. c 12
10 Teken eerst een vierkant grondvlak van 3 cm bij 3 cm. Zet daar de diagonalen in en bepaal het snijpunt ervan. Vanf dit snijpunt zet je op 15 cm erboven een stip voor de top van de piramide. Nog even de juiste verbindingslijnen en klaar...
11 Zie figuur.
a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
PAGINA 58 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
b Verzin zelf iets. 13 Zie figuur.
a
14 Ja, steeds waren lijnen die recht naar achteren lopen evenwijdig getekend. b Doen.
c Doen, maak een mooie verzameling en laat zien dat lijnen die evenwijdig horen te zijn in een punt bij elkaar komen. Later kom je deze manier van tekenen nog wel tegen.
15 Maak er een mooi geheel van. Hopelijk heb je voorletters die je zonder rondingen kunt tekenen, want dat maakt het wat moeilijker.
5.4 Uitslagen
1 Een mooie bouwplaat. Wat extra plakrandjes is geen luxe... a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
b Zie figuur. c Zie figuur. d Zie figuur.
3 Er zijn veel manieren om dit te doen, laat je antwoord controleren. Je hebt zeven plakrandjes nodig.
a
4 Begin met een vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 met zijden 4 cm. Maak met je passer cirkels van 8 cm om de hoekpunten van dit vierkant. Je vindt op vier plaatsen de top 𝑇. Maak de uitslag af.
b Maak inderdaad eerst plakrandjes en maak vervolgens de piramide. Er zijn vier plakranden nodig als je de uitslag zo hebt gemaakt als in het antwoord bij a is beschreven.
c Denk er om dat je precies verticaal moet meten als het grondvlak op je tafel zit. Je vindt ongeveer 7,5 cm.
a
5 Doen, het grondvlak is een vierkant en de top ligt recht boven het snijpunt van beide diagonalen van dat vierkant.
b Je weet nu niet hoe lang de vier ribben naar de top zijn.
c Die opstaande ribben zijn de zijden van driehoek 𝐴𝐶𝑇. Als je nu het grondvlak eerst tekent en dan 𝐴𝐶 opmeet, dan kun je die driehoek tekenen. 𝐴𝐶 ≈ 5,7 cm en 6 cm boven het midden van 𝐴𝐶 teken je 𝑇. Nu meet je 𝐴𝑇 = 𝐶𝑇 ≈ 6,6 cm. En nu kun je de uitslag tekenen.
6 Bij figuur I zijn de twee rechter rechthoeken omgewisseld.
Bij figuur IV ontstaat er bij het in elkaar vouwen een opening, terwijl er twee vierkantjes op elkaar gaan vallen.
7 De uitslagen I en III zijn goed. a
8 De rechthoek moet na het buigen precies om de cirkels passen. Daarvoor is hij echter veel te kort. b Je moet de rechthoek zo lang maken dat hij precies om de cirkels past. Misschien weet je nog wel dat
de omtrek van een cirkel ongeveer 6,28 keer de straal is? 9 Zie de figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
PAGINA 60 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
10 Als je niet meer weet hoe dit moet, kun je het beste voorbeeld 1 nog eens bekijken. 11 Zie de figuur.
12 De figuren II en III. a
13 Doen.
b Doen.
c Er moet nog een driehoek met zijden van 4 cm aan één van de rechthoeken. a
14 Het reservewiel. b Doen.
c Op internet kun je allerlei bouwplaten vinden. 15 Zie de figuur.
a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
b Doen.
c Doen. De kegel van de kwart cirkel is smal en hoog, de andere veel breder (grotere diameter) en lager. d De omtrek van de cirkel waar je mee begon was ongeveer 6 × 6,28 = 37,68 cm.
De omtrek van de grondcirkel van de smallere kegel is een kwart daarvan, dus ongeveer 9,42 cm. De straal daarvan moet dus ongeveer 1,5 cm zijn.
De omtrek van de grondcirkel van de smallere kegel is driekwart daarvan, dus ongeveer 28,26 cm. De straal daarvan moet dus ongeveer 4,5 cm zijn.
e De straal van de grondcirkel van de kegel is 5 cm, dus de omtrek daarvan is ongeveer 31,4 cm. De straal van het cirkelvormige stuk karton waaruit je hem moet knippen kun je opmeten in een drie-hoek die de helft is van een rechtdrie-hoek van 10 bij 5. Die straal wordt ongeveer 11,2 cm.
Je begint dus met een stuk stevig papier waaruit je een cirkel met straal 11,2 knipt. Op de rand van die cirkel pas je 31,4 cm af. Je knipt er dan een driehoekige punt naar het midden van de cirkel uit met 31,4 cm als buitenrand. Vouw de kegel in elkaar en klaar...
5.5 Inhoud
1 Er zijn 3 × 3 × 3 − 1 = 26 kubussen. a 2 6 × 4 × 3 = 72 eenheidskubussen. b 36 eenheidskubussen. c 18 eenheden. a3 Omdat de zijden geen gehele eenheden zijn. b 6,5 × 4,2 × 3,1 = 84,63 eenheidskubussen. c 42,315 eenheden. d 42,315 cm3. 4 Linker prisma: 12× 3 × 4 × 5 = 30 cm3. Rechter prisma: 12× 3 × 4 × 4 + 3 × 4 × 4 = 72 cm3. a 5 Doen.
b Maak de beschreven verdeling.
c Bekijk het voorbeeld nog eens, er zijn 5,1 lagen van 18,54 eenheidskubussen, dus de inhoud is 18,54 × 5,1.
d Elk prisma is opgebouwd uit gelijke lagen boven elkaar (of achter elkaar). 6 Linker figuur: hoogte = 4 cm en grondvlak = 9 cm2, dus inhoud = 36 cm3.
Middelste figuur: hoogte = 6 cm en grondvlak =12 × 3 × 4 = 6 cm2, dus inhoud = 36 cm3.
Rechter figuur: hoogte = 5 cm en grondvlak = 4 × 4 −12 × 2, 5 × 2, 5 = 1278 cm2, dus inhoud = 6638 cm3.
a
7 50 × 0,233 = 11,65 cm.
b Er zijn 11,65 lagen van elk 4,25 eenheden.
c Omdat zo’n figuur altijd is opgebouwd uit gelijke lagen van eenheidskubussen (of delen ervan) hoef je alleen maar het aantal eenheidskubussen van één laag (zoals het grondvlak) met het aantal lagen te vermenigvuldigen.
8 78,5 × 8 = 628 cm3. 9 20 × 20 × 3 = 1200 cm3.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
PAGINA 62 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
10 Je moet er natuurlijk wel van uit gaan dat de maatstreepjes de inhoud met steeds gelijke tussenstappen weergeven. Ze komen dan dichter bij elkaar naarmate de beker wijder wordt naar boven toe.
11 Inhoud linker figuur is 708 × 24 = 16992 cm3. Inhoud rechter figuur is 1152 × 24 = 27648 cm3. 12 Kubus: inhoud = 9 × 9 × 9 = 729 cm3.
Balk: inhoud = 10 × 8 × 8 = 640 cm3.
Prisma: inhoud = 12× 12 × 8 × 12 = 576 cm3. Cilinder: inhoud = 50, 24 × 12 = 602, 88 cm3. Dus de kubus heeft de grootste inhoud. 13 7, 0 × 3, 5 × 12, 5 = 306, 25 cm3.
14 Het gewicht is 6, 28 × 120 × 7, 9 = 5953, 44 gram. a
15 Doen.
b 𝐴𝑃𝑄𝐷 is het grondvlak. c De inhoud is 10 × 4 = 40 cm3.
16 De inhoud wordt 6 × 10 × 3 +12× 6 × 3 × 10 + 2, 5 × 2, 5 × 2, 5 +12 × 2, 5 × 0, 5 × 2, 5 ≈ 287 m3. 17 Verdeel de figuur in balken en halve balken.
Of... beschouw de figuur als een prisma. 18 Eigen antwoord.
5.6 Inhoudsmaten
a
1 1 m3.
b Het is de inhoud van een kubus met ribben van 1 m. c 1000.
d Elk kleine kubusje van 1 dm bij 1 dm bij 1 dm is 1 1000 deel van deze kubus.
2 1000. Als de getekende kubus 1 dm bij 1 dm bij 1 dm is, zijn de kleine kubusjes 1 cm bij 1 cm bij 1 cm.
a
3 Omdat het de inhoud is van een kubus met ribben van 1 m, dus je moet 1 m met 1 m en nog eens met 1 m vermenigvuldigen. b 1.000.000 cm3. c 0, 000001 (dus 1 miljoenste). a 4 𝐼 (balk) = 10 × 8 × 8 = 640 cm3en 𝐼 (prisma) = 12× 12 × 9 × 12 = 648 cm3. b 𝐼 (balk) = 640000 mm3en 𝐼 (prisma) = 648000 mm3. 5 7 × 7 × 19, 5 = 995, 5 cm3en dat is 0, 995 dm3. a 6 1021 cm3= 0, 001021 m3 b 5630 m2= 0, 00563 hm2 c 34, 1 cm33= 34100 mm3 d 1, 2 km3= 1.200.000.000 m3 a 7 21 × 10 × 5, 1 = 1071 cm3.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
b Eén waaltje met een dikte van 10 cm heeft een oppervlakte van 21 × 5, 1 = 107, 1 cm2. Daarvan gaan er 10000107,1 ≈ 93 ≈ 100 in een m2.
c Eén waaltje met een dikte van 21 cm heeft een oppervlakte van 10 × 5, 1 = 51 cm2. Daarvan gaan er 1000051 ≈ 196 ≈ 200 in een m2.
d Er gaan er 10000001071 ≈ 934 in een m3. In de praktijk waarschijnlijk 1000, want 5 × 21 in 1 m, 20 × 5, 1 in 1 m en 10 × 10 in 1 m.
a
8 Een huis van 6 m breed, 8 m diep en 6 m hoog voldoet hier ongeveer aan, dus ja (een niet al te groot rijtjeshuis).
b Een kliko is ongeveer 5 dm lang en breed en 9 dm hoog en dus is 50 dm3veel te weinig. c Een kuub is 1 m3en dat is 100 × 100 × 100 = 1000000 cm3. Dit klopt niet.
d Het is 50 m lang, 20 m breed en 2 m diep ongeveer. Dat is 2000 m3. a 9 321 cm3= 0, 321 dm3 b 15540 m3= 0, 00001554 km3 c 34, 1 dm3= 34.100.000 mm3 d 12, 5 km3= 12.500.000.000 m3 e 31 mm3= 0, 000000031 m3 f 12.345 cm3= 0, 000012345 dam3 10 Doen, geef elkaar opgaven op.
a
11 1 m3is 100 cm bij 100 cm bij 100 cm en dus 1.000.000 kubieke centimeter, dus 1 kubieke centimeter is 1 1000000 kubieke meter.
Met 1 cm3(zonder haakjes) zou je eigenlijk 1 centi kubieke meter, dus 1 100 kubieke meter moeten bedoelen.
b Zie het antwoord bij a. De omrekenmachine werkt als een automaat met de voorvoegsels en dat is consequenter dan wat de mens doet.
c Je ziet dat 1 cm3eigenlijk 1 (cm)3zou moeten zijn. a
12 0, 006 × 600 = 3, 6 m3.
b 1 m3= 1000 dm3. Dus er ligt 3600 kg water op het dak.
13 Het prisma heeft een inhoud van 84000 cm3en de kubusstapel heeft een inhoud van 37044 cm3. Het prisma heeft een oppervlakte van 105 cm2en de kubusstapel heeft een oppervlakte van ≈ 26 cm3. a 14 5 km3= 5.000.000.000 m3 b 12, 5 dam3= 0, 00000125 km3 c 1246 mm3= 0, 001246 dm3 d 3, 72 dm3= 3720 cm3 a 15 7, 2 × 7, 2 × 3 = 48, 84 m3. Dat is 48840 dm3. b 4 × 7, 2 × 3 = 86, 4 m2. Dat is 8640 dm2. a
16 5, 89 × 2, 34 × 2, 39 ≈ 32, 94 m3en dat klopt ongeveer met de opgegeven 33,2 m3.
b 5, 89 × 2, 34 × 2 + 5, 89 × 2, 39 × 2 + 2, 34 × 2, 39 × 2 ≈ 235, 93 m2, dus elke m2weegt ongeveer 9, 58 kg.
c De inhoud mag maximaal 21740 kg wegen, dat is ongeveer 655 kg per m3. En dat is 0, 655 kg per dm3. (Als je weet dat 1 dm3water 1 kg weegt, dan kun je bedenken dat dit niet heel zwaar is.)
a
17 1000 cm3= 1 dm3= 1 L. b 1 cL = 0, 1 cm3.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
PAGINA 64 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
d 80 × 4 × 150 = 48000 mL komt overeen met 48 liter. e 48 × 5 × 42 = 10080 L koffie, dus 10, 080 m3per jaar.
f 0, 05 L. g 250 cc. h 2000 cc.
a
18 1 inch3= 2, 52 × 2, 54 × 2, 54 ≈ 16, 39 cm3. b Ongeveer 4546 cm3en dat is ongeveer 4, 546 liter. c Ongeveer 1136, 5 cm3.
d Ongeveer 568, 3 cm3, dus ongeveer 0, 568 liter. e Ongeveer 159113, 5 cm3, dus ongeveer 159 liter.
f 1 Amerikaanse gallon = 231 × 2, 54 × 2, 54 × 2, 54 ≈ 3785 cm3. Dat is ongeveer 3785 mL. Je krijgt dus ongeveer 4546 − 3785 = 761 mL minder.
g Ongeveer 159 liter, net als de Engelse barrel.
5.7 Diagonaalvlakken
a
1 5, 5 × 4, 0 × 9, 5 = 209 cm3en dat is iets meer dan 200 mL.
b Zeker langer dan de langste afmeting van het pakje. Maar het moet er ook schuin inpassen... Hoe je zo’n lengte kunt bepalen leer je in dit onderdeel.
a
2 Doen.
b 𝐴𝐵𝐹𝐸 is het voorvlak, dus een grensvlak van de balk.
c 𝐴𝐵𝐺𝐻 is inderdaad een diagonaalvlak. Het heeft de vorm van een rechthoek. d Twee, 𝐴𝐺 en 𝐵𝐻.
e 𝐵𝐺 ligt in zijvlak 𝐵𝐶𝐺𝐹. a
3 Ja, 𝐴𝐷𝐿𝐾 is een rechthoek.
b 𝐷𝐵𝐹𝑇𝐻 is volgens de afspraak in de uitleg een diagonaalvlak. (Het blijft lastig om af te spreken wat een diagonaalvlak precies is.) 𝑇 is het midden van 𝐾𝐿.
c Dit vlak verbindt niet twee ribben van het prisma. a
4 Doen.
b Ze liggen beide in het grondvlak en dat is een grensvlak van de piramide.
c Alle lijnstukken die hoekpunten met elkaar verbinden zijn ribben van de piramide of diagonalen van 𝐴𝐵𝐶𝐷.
d Nee.
e Ja, de vlakken 𝐴𝐶𝑇 en 𝐵𝐷𝑇. Er zijn er dus twee. a
5 Drie, allemaal rechthoeken. b Zes, allemaal zeshoeken. c 18 stuks.
a
6 In elke balk kun je vanuit elk hoekpunt 1 lichaamsdiagonaal trekken, dus in totaal 8 × 1 = 8, maar dan tel je ze allemaal dubbel: 𝐴𝐺 = 𝐺𝐴 en zo.
Er zijn dus 4 lichaamsdiagonalen in elke balk.
b Vanuit elk hoekpunt kun je drie lichaamsdiagonalen trekken, dat zijn er in totaal 12 × 3 = 36, maar dan tel je ze allemaal dubbel: 𝐴𝐽 = 𝐽𝐴 en zo.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
c Elke ribbe van een balk kun je met één andere ribbe verbinden tot een diagonaalvlak. Dat maakt 12 diagonaalvlakken, maar dan tel je ze allemaal dubbel.
Dus in totaal 6 diagonaalvlakken.
d Elke verticale ribbe van het prisma kun je met drie andere ribben verbinden tot een diagonaalvlak. Dat maakt 6 × 3 = 18 diagonaalvlakken, maar dan tel je ze allemaal dubbel. Elke horizontale ribbe van het prisma kun je met één ribbe verbinden tot een diagonaalvlak. Dat maakt 12 diagonaalvlakken, maar dan tel je ze allemaal dubbel.
Dus in totaal 9 + 6 = 15 diagonaalvlakken. a
7 In 𝐴𝐶𝐺𝐸 en in 𝐴𝐵𝐺𝐻.
b In 𝐴𝐵𝐶𝐷 is 𝐴𝐶 ≈ 5, 8 cm. Teken nu rechthoek 𝐴𝐶𝐺𝐸 met 𝐴𝐶 = 5, 8 en 𝐶𝐸 = 2 cm. c In rechthoek 𝐴𝐶𝐺𝐸 is 𝐴𝐺 ≈ 6, 2 cm.
8 Een grensvlaksdiagonaal is ongeveer 1, 4 cm en een lichaamsdiagonaal ongeveer 1, 7 cm.
9 Teken weer eerst een diagonaalvlak op ware grootte en meet daarin de lichaamsdiagonaal. Je vindt ongeveer 11, 7 cm.
Het rietje moet dus minstens 12 cm lang zijn. a
10 Meet eerst 𝐴𝐾 in het voorvlak 𝐴𝐵𝐹𝐾𝐸. Je vindt 𝐴𝐾 ≈ 7, 3 cm. Nu teken je rechthoek 𝐴𝐾𝐿𝐷 met 𝐴𝐾 = 7, 3 cm en 𝐾𝐿 = 4 cm.
Nu meet je 𝐴𝐿 ≈ 8, 3 cm.
b 𝐾𝐹𝐺𝐿 is een rechthoek van ongeveer 3, 6 cm bij 4 cm. Daarin is 𝐾𝐺 ≈ 5, 4 cm. c Ongeveer 2 × 4 × 3, 6 = 28, 8 cm2.
a
11 𝐴𝐶 ≈ 5, 7 cm. b 𝐴𝑇 ≈ 6, 6 cm.
c Je tekent eerst vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 en daar zet je op elke zijde een driehoek met een zijde van 4 cm en twee zijden van 6, 6 cm. Gebruik je passer.
a
12 Doen, laat eventueel je antwoord controleren. b Er zijn twee echt verschillende diagonaalvlakken. c De lichaamsdiagonaal is ongeveer 7, 5 cm. d 24 delen.
e Je krijgt twee soorten piramides:
Acht piramides met een vierkant grondvlak van 2 bij 2 en een hoogte van 2,5. Zestien piramides met een rechthoekig grondvlak van 2,5 bij 2 en een hoogte van 2.
13 Even een diagonaalvlak op schaal tekenen en je vindt ongeveer 10, 6 m. a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
PAGINA 66 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
b De oppervlakte is 6 × 6 + 8 × 3 × 5, 2 ≈ 160, 7 cm2. a
15 Drie.
b Een rechthoek van 5 cm bij ongeveer 5, 2 cm. c Ongeveer 7, 2 cm.
d Er zijn 6 lichaamsdiagonalen, waarvan er 2 echt verschillend zijn voor wat betreft de lengte. 16 Tetraëder: geen diagonaalvlakken en geen lichaamsdiagonalen.
Kubus: Elke ribbe kun je verbinden met één andere ribbe om een diagonaalvlak te krijgen, er zijn 12 ribben dus122 = 6 diagonaalvlakken. Elk hoekpunt kun je met één ander hoekpunt verbinden door een lichaamsdiagonaal, er zijn 8 hoekpunten dus82 = 4 lichaamsdiagonalen.
Octaëder: Elke ribbe kun je verbinden met één andere ribbe om een diagonaalvlak te krijgen, er zijn 12 ribben dus122 = 6 diagonaalvlakken. Elk hoekpunt kun je met één ander hoekpunt verbinden door een lichaamsdiagonaal, er zijn 6 hoekpunten dus62 = 3 lichaamsdiagonalen.
Dodecaëder: Elke ribbe kun je verbinden met één andere ribbe om een diagonaalvlak te krijgen, er zijn 30 ribben dus 302 = 15 diagonaalvlakken. Elk hoekpunt kun je met 10 ander hoekpunten verbinden door een lichaamsdiagonaal, er zijn 20 hoekpunten dus2002 = 100 lichaamsdiagonalen.
Icosaëder: ... a
17 Doen, laat eventueel je antwoord controleren.
b De voorkant heeft een oppervlakte van ongeveer 12 m2. (Verdeel hem in een vierkant en twee halve rechthoeken, verricht de juiste metingen in de figuur bij a.)
Ongeveer 4 × 2, 06 × 8 + 2 × 12 = 89, 92 ≈ 90 m2. c Ongeveer 12 × 8 = 96 m3.
5.8 Totaalbeeld
1 Figuur I: kubus. Figuur II: prisma. Figuur III: bol. Figuur IV: prisma. Figuur V: balk. Figuur VI: cilinder. Figuur VII: piramide. Figuur VIII: piramide. a
2 Zie figuur.
b Hoekpunt 𝐶. c 𝐴𝐷, 𝐸𝐻 en 𝐹𝐺. 3 Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > RUIMTELIJKE FIGUREN
a
4 Zie figuur.
b In je figuur betekent dit het bijvoorbeeld met dezelfde kleur aangeven van de diagonalen 𝐵𝐷, 𝐻𝐹 en de ribben 𝐻𝐷 (twee keer) en 𝐵𝐹 (twee keer).
c Het wordt rechthoek 𝐵𝐷𝐻𝐹 met 𝐵𝐷 ≈ 6,4 en 𝐵𝐹 = 3 cm. (Meet de lengte van 𝐵𝐷 in de uitslag.) d Alle vier de lichaamsdiagonalen van de balk zijn even lang, dus je meet er maar één: 𝐻𝐵 ≈ 7,1 (meet
hem in de figuur bij c). a
5 Het grondvlak bestaat uit een rechthoek van 2 bij 4 cm en een halve rechthoek van 4 bij 4 cm. De oppervlakte van het grondvlak is dus 2 × 4 +12× 4 × 4 = 16 cm2.
De inhoud van het prisma is daarom 16 × 3 = 48 cm3. b 48 cm3= 48000 mm3.
c 48 cm3= 0,048 dm3= 0,048 L. a
6 Een kubus en vier vierzijdige piramides. b 12 hoekpunten, 28 ribben en 18 grensvlakken. c Doen.
a
b 2 × 3 × 2 + 2 ×12× 0,5 × 3 = 13,5 dm3. c 13,5 dm3= 13,5 L = 13500 mL. a 8 13,5 m3= 13500 dm3 b 135 cm3= 0,135 dm3 c 135 mL = 135 cm3 d 135 m3= 135000 m3L a 9 Doen. b 6 stuks. c 𝐴𝐶𝐺𝐸, 𝐵𝐷𝐻𝐹, 𝐸𝐵𝐶𝐻 en 𝐴𝐹𝐺𝐷.
d Neem bijvoorbeeld 𝐴𝐶𝐺𝐸. Dat wordt een rechthoek van ongeveer 4,5 bij 2 cm. In deze rechthoek is 𝐴𝐺 een lichaamsdiagonaal van de balk, lengte ongeveer 4,9 cm. a
10 Een cilinder.
b 96 bij ongeveer 138 mm.
c De buitenkant van een toiletrol is een opgerolde rechthoek van 96 bij ongeveer 6,28 × 62,5 = 392,5 mm. Het velletje toiletpapier past daar ongeveer 392,5 /127 ≈ 3 keer in.
11 Het gaat om het berekenen van de lichaamsdiagonaal van een balk. Daartoe teken je eerst een diago-naalvlak van die balk (het maakt niet uit welk diagodiago-naalvlak). Vervolgens meet je een diagonaal van dit diagonaalvlak. Je vindt ongeveer 2,9 m. (Naar beneden afgerond, want anders past het zeker niet!) Of dit allemaal echt gaat passen hangt natuurlijk ook nog van de dikte van de stok af, van de vorm van de uiteinden, van de instapopening van de lift. Maar daar letten we even niet op...
a
12 Omdat de ribben 𝐵𝐶, 𝐹𝐺 en 𝐸𝐻 (en dus ook 𝐴𝐷) evenwijdig zijn is 𝐷𝐻 = 𝐴𝐸 en 𝐶𝐺 = 𝐵𝐹.
b Als je dezelfde afgeknotte balk er omgekeerd bovenop zet, krijg je een balk van 4 bij 4 bij 14 cm. Die heeft een inhoud van 4 × 4 × 14 = 224 cm3. Dus de afgeknotte balk heeft een inhoud van 112 cm3. c Punt 𝐹 moet evenveel lager liggen ten opzichte van punt 𝐸 als punt 𝐺 ten opzichte van punt 𝐻, anders
is het scheve bovenvlak niet vlak. Dus 𝐴𝐸 = 𝐶𝐺 = 6 cm.
d Als je dezelfde afgeknotte balk er omgekeerd bovenop zet, krijg je een balk van 4 bij 4 bij 12 cm. Die heeft een inhoud van 4 × 4 × 12 = 192 cm3. Dus de afgeknotte balk heeft een inhoud van 96 cm3. e Neem een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 van 4 bij 4 bij 8 cm en zaag er alleen punt 𝐹 er af. Je zaagt er dan maar
een driehoekig puntje van af en dan kun je niet zo de inhoud bepalen. Later leer je nog wel hoe dat moet.
a
13 39 bij ongeveer 44,9 en 1,4 cm dik
b Het grootste onderdeel vormen de twee zijpanelen, die leg je op elkaar en daar bovenop het onderste en het bovenste paneel. Dan daarop de drie lange planken en vervolgens drie stapels van vier korte planken. Aan de zijkant blijft boven de twee zijpanelen ruimte voor de pluggen en de schroeven, en dergelijke.
Totale verpakking: 149 bij 39 bij 28,4 cm.
Reken je de dikte van het karton mee, dat wordt dit een pakket van ongeveer 150 bij 40 bij 30 cm. c Dan is het ongeveer 18 kg. (In werkelijkheid is het materiaal nog lichter, hout komt er maar weinig aan