Newton en de wetten van Kepler

De wetten van Kepler, zagen we eerder, waren zuiver empirische wetten. Er was geen theoretische basis om deze wetten te ondersteunen. Door het werk van Newton werd deze basis echter gevonden, en Newton kon dan ook deze wetten direct uit zijn formules afleiden. De eerste wet van Kepler kon New- ton met een aantal aannames, die we nu niet zullen behandelen, bewijzen. De tweede wet van Kepler is vrij gemakkelijk zonder formules inzichtelijk te ma- ken als we kijken naar fig. 3.7. De tweede wet van Kepler luidt: Een planeet beweegt langs zijn ellipsbaan met een snelheid die zo verandert dat de lijn die de planeet met de zon verbindt in gelijke tijden gelijke oppervlakken bestrijkt.

Figuur 3.7: De verandering van de snelheid (2e wet van Kepler) verklaard door Newton.

Stel er is een planeet in een (sterk overdreven) elliptische baan. Wanneer de planeet zich op punt A bevindt dan werkt de kracht in de richting van de zon. Deze kracht staat niet loodrecht op de beweging, zoals in een cirkelvormige baan. Er is dus een stukje van de kracht in de richting van de baan gericht, en die zorgt ervoor dat de planeet steeds sneller gaat. In punt B is er juist een stukje van de kracht die tegen de beweging in gaat, en de planeet remt dus af. Dit komt volledig overeen met de tweede wet van Kepler. Deze wet voorspelde namelijk dat een planeet in zijn perihelium het snelst bewoog en in zijn aphelium het traagst (blz. 41).

De derde wet van Kepler volgens Newton

Newton kon met zijn model de formule voor de derde wet van Kepler opstellen voor planeten. Hij nam aan dat de gravitatiekracht die volgt uit de universele gravitatiewet (vgl. 3.4) gelijk moet zijn aan de middelpuntzoekende kracht die nodig is voor een cirkelbeweging (vgl. 3.3) (Er wordt voor gemiddelde afstand de halve lange as a van de ellips gebruikt ipv de straal r omdat bij een ellips- beweging de afstand continu verandert).

Gmzon ·_mpl a2 = mpl·v2 a (3.5) Er geldt dus: v2= Gmzon a (3.6)

Als we nu vgl. 3.2 invullen voor v dan volgt: _2πa T 2 = Gmzon a ⇒ 4π2a2 T2 = G mzon a (3.7)

Dit omschrijven geeft:

a3(in m) T2_{(in s)} = G

mzon(in kg)

4π2 →De derde wet van Kepler (3.8)

Deze wet geldt ook voor manen rond planeten enz. als je voor de massa bijv. de massa van de planeet invult.

Dit is volledig vergelijkbaar met vgl. 2.3. Het enige verschil is dat nu de straal in meters wordt ingevuld en de omlooptijd in s. Voer je de straal in AU in en de omlooptijd in jaren dan volgt weer vgl. 2.3.

Voor dubbelsterren, waarbij de twee sterren om een gezamenlijk middel- punt draaien, geldt de volgende formule:

a3_{(AU )} T_(jaar)2 = mster1+ mster2 mzon (3.9) Voorbeeld

Stel je doet waarnemingen aan een dubbelster met een telescoop. Uit de waarnemingen blijkt dat de omlooptijd van het systeem 4 jaar is en dat de gemiddelde afstand tussen de twee sterren 8 AU is. Dan blijkt dat: 83 42 = 32 = mster1+ mster2 mzon (3.10) Dus de totale massa van de twee sterren is 32x de massa van de zon. We kunnen echter nog niks zeggen over de afzonderlijke massa’s, daar hebben we nog één gegeven voor nodig.

Opgave 3-2: verwerking: Derde wet Kepler

Een satelliet draait rond de maan met een omlooptijd van T=11,5 h op een gemiddelde afstand van het middelpunt van de maan van 5960 km. Wat is de massa van de maan? (Vergelijk het antwoord met je BiNaS).

Opgave 3-3: Manen van Jupiter

Zoek in je BiNaS de gegevens op van Jupiter en zijn 4 grote manen (Io, Europa, Ganymedes en Callisto). Toon aan dat de 3ewet van Kepler ook geldt voor het Jupiter-maan systeem.

Het massamiddelpunt

Twee objecten die om elkaar heen draaien, bewegen rondom het zogenaamde massamiddelpunt van de twee objecten. Dit massamiddelpunt kun je verge- lijken met het draaipunt bij momenten. Als je bijvoorbeeld kijkt naar de aarde en de maan dan heeft de aarde een 81x zo grote massa dan de maan. Dan zal het massamiddelpunt ook 81x zo dicht bij de aarde te vinden zijn dan bij de maan (zie fig. 3.8).

Figuur 3.8: Het massamiddelpunt van het aarde-maan systeem ligt 81x zo dicht bij de aarde dan bij de maan.

Bron: http://www.asc-csa.gc.ca/images/orbites_trans_barycentre.png De aarde en de maan draaien dus als het ware om dit punt heen (zie fig. 3.9). Het was deze waarneming die ons, totdat het ruimtevaarttijdperk aan- brak, in staat stelde de massa van de maan te bepalen.

Figuur 3.9: De bewe- ging van de aarde en de maan om hun gezamenlijk massa- middelpunt.

Figuur 3.10: De beweging van de sterren Mizar A en B om hun gezamenlijk massamiddelpunt. Welke ster is het zwaarst?

In het vorige voorbeeld zagen we dat de totale massa van de dubbelsterren 32x de massa van de zon was. Stel dat je ziet dat ster 1 3x zo ver van het massamiddelpunt verwijderd is dan ster 2. Dan heeft ster 2 3x de massa van ster 1, en weet je dus dat ster 1 8x de massa van de zon en ster 2 24x de massa van de zon heeft.

Opgave 3-4: verwerking: Sirius, een dubbelster

Sirius is de helderste ster die we aan de hemel kunnen zien. Al in 1844 zag Friedrich Bessel dat de ster geen rechte lijn langs de hemel beschreef, maar een beetje golvende lijn. Hieruit viel af te leiden dat Sirius een dubbelster moet zijn. In 1862 werd deze tweede ster ook daadwerkelijk waargenomen. In fig. 3.11 zie je de beweging van sirius aan de hemel. In fig. 3.12 zie je de ellipsbaan die de tweede ster Sirius-B beschrijft om Sirius-A. Met behulp van deze twee figuren gaan we nu zelf de massa’s van de twee sterren bepalen.

Figuur 3.11: De slingerbe- weging van Sirius laat dui- delijk zien dat dit een dub- belster is.

Figuur 3.12: De beweging van Sirius-B om Sirius-A. Elke streepje op de as stelt 1” voor.

a Wat is de omlooptijd van Sirius-B in jaren?

b Sirius blijkt een parallax te vertonen van 0,375”. Wat is de afstand tot Sirius in lichtjaren?

c Bepaal uit de figuur wat de gemiddelde afstand in boogseconden is tus- sen Sirius-A en B (Tip: de gemiddelde afstand is gelijk aan de halve lange as van de ellips.)

d Bereken wat de afstand is in AU tussen de twee sterren. (Tip: zie ook opg.2-6)

e Bereken mbv vgl. 3.9 de totale massa van de twee sterren (in zons- massa’s).

f Bepaal uit de linkerfiguur de verhouding van de afstanden van de twee sterren

g Bereken de afzonderlijke massa’s van de twee sterren (in zonsmassa’s).2