Achtereenvolgens wordt een additief en multiplicatief model voor de tijdreeksen q(A5) en q(A10) geschat. Er wordt geadviseerd om niet teveel termen in de modelspecificatie mee te nemen. Aangezien een ARMA-model kan worden benaderd door een AR(∞)-model, worden alleen de termen in de modelspecificatie meegenomen die met betrekking tot significantie dominant zijn ten opzichte van de overige termen. De modelschatting gaat op iteratieve niet-lineaire wijze en niet met behulp van ’backcasting’ [10](p.10) omdat de orde van het MA-proces te groot is. In de modelselectie wordt geprobeerd de effectieve temperatuur op te nemen. Deze variabele is bij de meeste G-gasafnamepunten significant maar niet dominant. Overigens is de effectieve temperatuur wel Granger causaal met betrekking tot de gasvraag. Voor de G-gasafnamepunten waarbij de effectieve temperatuur niet significant is, wordt op een dummyvariabele D1teffgeregresseerd, die op elke dag gelijk is aan de effectieve temperatuur voor de uren 6 tot en met 19 en de waarde nul heeft voor de overige uren. Deze dummyvariabele blijkt voor bepaalde afnamepunten wel significant te zijn. q(A8) en q(A9) zijn op D2teff geregresserd welke op 12 uur gelijk is aan de effectieve temperatuur en op de overige uren de waarde nul heeft. Beide variabelen zijn niet significant bij de H-gasafnamepunten. Dit is te verklaren doordat deze punten veelal industri¨ele klanten of exportstations zijn, waarvan de vraag over het algemeen stationair en temperatuursonafhankelijk verloopt. In tabel 5.2 is de modelschatting van het (additieve) ARMA-model volgens (C.11) weergegeven. In de onderste rijen staat n voor het aantal observaties enPn
i=1e2
i voor de som van de kwadratische regressiefouten. Wat opvalt is ten eerste de hoge R2, ten tweede de dominantie van de AR(1)-, AR(168)- en de AR(169)-term, alsmede de MA(168)-term. Ten derde is het merkwaardig dat de AR(24)-term op beide afnamepunten niet significant blijkt te zijn. Dat de AR(168) `en AR(169)-term erg significant zijn, zou er op kunnen duiden dat een seizoensmodel een betere en stabielere beschrijving van de data geeft. Een SAR(d)×SMA(f )-model, waarbij de ’S’ voor Seasonal staat heeft de volgende algemene vorm:
(1 − p X i=1 (αiLi))(1 − φLd)qt= (1 − q X i=1 (βiLi))(1 − ηLf)t. (5.1)
Hierin is L de vertragingsoperator waarvoor geldt Ln(qt) = qt−n, teen witte ruis-proces, 1 ≤ αi≤ p en 1 ≤ βi≤ q zijn de parameters behorende bij het ARMA-proces en φ en η zijn de parameters behorende bij het seizoenseffect. (5.1) kan in tegenstelling tot (C.11) gezien worden als een
multi-Tabel 5.2: Additief model voor afnamepunten q(A5) en q(A10)
Afnamepunt: q(A10) q(A5)
Variabele Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde
Teff -582,17 161,86 -3,5967 -765,09 236,22 -3,2389 AR(1) 0,9696 0,0091 106,52 0,9779 0,0074 131,89 AR(2) -0,0307 0,0067 -4,6131 -0,0247 0,0049 -5,0129 AR(23) 0,0273 0,0038 7,1464 0,0165 0,0029 5,7465 AR(168) 0,9302 0,0096 94,362 0,9609 0,0074 129,74 AR(169) -0,8962 0,0108 -82,979 -0,9300 0,0086 -107,63 MA(1) 0,2659 0,0217 12,239 0,2143 0,0208 10,323 MA(2) 0,0430 0,0154 2,7868 0,0561 0,0134 4,1928 MA(24) 0,0835 0,0148 5,6536 0,0915 0,0132 6,9230 MA(168) -0,7133 0,0188 -38,002 -0,7696 0,0156 -49,213 MA(169) -0,1557 0,0214 -7,2640 -0,1423 0,0208 -6,8465 R2 0,9804 0,9858 Pn i=1e2 i 3, 53 × 1011 7, 78 × 1011 n 2519 2519
plicatief model. Als (5.1) wordt uitgeschreven, is te zien dat naast de p autocorrelatietermen het model ook p combinatietermen van het SAR- en AR-gedeelte bevat: φα1Ld+1, . . . , φαpLd+p. Een schatter voor φ is dus een combinatie van meerdere autocorrelatietermen. In tabel 5.3 zijn de re-sultaten weergegeven van het SAR(168)×SMA(168)-model dat voor de afnamepunten A5en A10is geschat. In de tabellen E.11-E.14 staan de modelschattingen voor de overige G-gasafnamepunten. Opvallend is dat de waarde van de SAR(168)-term nagenoeg gelijk is aan ´e´en, wat aangeeft dat de tijdreeks niet stationair is. Dit is in tegenspraak met de resultaten in tabel 5.1. Het is niet duidelijk welke conclusies hieruit moeten worden getrokken; het zal blijken dat de verwachting en variantie van de voorspellingen op de lange termijn voor deze tijdreeks convergeren wat er anderzijds op duidt dat het proces w`el stationair is.
Uit de analyse blijkt dat een SAR(24)×SAR(168)×SMA(168)-model ongeveer even nauwkeurig de data beschrijft en voorspelt, echter de parameterschattingen blijken minder stabiel. Uit de resultaten blijkt dat de seizoenstermen zeer significant zijn. Bovendien blijkt ook dat voor al-le afnamepunten de AR(1)-term erg significant is. De waarde R2 geeft een indicatie voor de nauwkeurigheid van de schattingen. De afnamepunten A8 en A9 gedragen zich uitzonderlijk. De parameterwaarden voor de seizoenstermen wijken af van de waarden van de overige modellen; voorts is de R2 beduidend lager en is het moeilijk de effectieve temperatuur in het model mee te nemen.
Het eerste voordeel ten opzichte van het additieve model is dat er minder termen in de modelspe-cificatie zijn meegenomen. Het tweede voordeel is dat de som van de kwadratische regressiefouten in het seizoensmodel kleiner is dan in het additieve model; de R2’en komen overigens nagenoeg met elkaar overeen. Het derde voordeel ten opzichte van het additieve model is dat de para-meters in het seizoensmodel stabieler zijn. Dit blijkt uit de tabellen 5.4 en E.17. De gasvraag op deze afnamepunten is in de periode 5/11/2002 tot 25/2/2003 geregresseerd op de termen uit tabel 5.2. Vervolgens is de Wald-toets uitgevoerd, waarbij getoetst is of de verkregen parame-terschattingen gelijk kunnen zijn aan die uit tabel 5.2. Het blijkt dat voor beide afnamepunten alleen de MA(1)-term en de effectieve temperatuur stabiel zijn op een significantieniveau van 5%. Op ditzelfde significantieniveau blijkt uit tabel 5.4 dat alleen de MA(24)-term voor q(A5) en de AR(2)-term van q(A10) instabiel zijn. Geconcludeerd wordt dat het seizoensmodel
stabie-Tabel 5.3: Multiplicatief model voor afnamepunten q(A5) en q(A10)
Afnamepunt q(A10) q(A5)
Variabele Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde
Teff -585,63 158,74 -3,6892 -738,20 231,75 -3,1853 AR(1) 1,2270 0,0196 62,506 1,2082 0,0197 61,326 AR(2) -0,2771 0,0197 -14,086 -0,2534 0,0197 -12,855 AR(24) 0,0225 0,0058 3,8841 0,0207 0,0056 3,6811 SAR(168) 1,0003 0,0031 323,87 1,0065 0,0026 385,38 MA(24) 0,1564 0,0206 7,6038 0,1835 0,0204 9,0056 SMA(168) -0,7873 0,0142 -55,596 -0,8230 0,0127 -64,772 R2 0,9804 0,9861 Pn i=1e2i 3, 50 × 1011 7, 61 × 1011 n 2519 2519
ler is dan het additieve model, en dat gezien de overeenkomstige modelstructuur, dit voor alle G-gasafnamepunten geldt. Overigens zijn alle afnamepunten ook getoetst op groepsstabiliteit.
Tabel 5.4: Resultaten Wald-toets op tijdsstabiliteit van multiplicatief model
Restrictie: ˆc10(t1) = ˆc10(t2) ˆc10(t1) = ¯c8,9¯ (t2) ˆc5(t1) = ˆc5(t2) ˆc5(t1) = ¯c8,9¯(t2) Teff 0,04 (0,843) 0,50 (0,478) 0,23 (0,632) 0,52 (0,472) AR(1) 3,39 (0,066) 3,84 (0,050) 0,32 (0,575) 4,77 (0,029) AR(2) 15,18 (< 0, 001) 2,08 (0,150) 0,40 (0,523) 5,94 (0,015) AR(24) 0,49 (0,483) 1,93 (0,164) 2,50 (0,114) 2,80 (0,044) SAR(168) 0,00 (0,962) 0,66 (0,416) 2,58 (0,109) 0,81 (0,368) MA(24) 0,14 (0,712) 0,03 (0,874) 9,38 (0,002) 12,16 (0,001) SMA(168) 0,10 (0,752) 1,66 (0,198) 2,38 (0,123) 0,486 (0,486)
Indien de modellen voor alle afnamepunten groepsstabiel blijken te zijn, zou er in plaats van vele modellen ´e´en algemeen model kunnen worden opgesteld. De groepsstabiliteit is als volgt getoetst. Per G-gasafnamepunt worden op alle parameters c afzonderlijk de restrictie opgelegd dat ze 1) gelijk zijn aan het ongewogen groepsgemiddelde met betrekking tot deze parameter (¯c), of 2) ge-lijk zijn aan het gewogen groepsgemiddelde met betrekking tot deze parameter (˜c) of 3) gelijk zijn aan het ongewogen groepsgemiddelde waarbij de A8en A9vanwege afwijkende parameterwaarden buiten beschouwing zijn gelaten (¯c8,9¯ ). Het gewogen gemiddelde ˜c is bepaald op basis van de gemiddelde gasvraag van een punt ten opzichte van de totale gasvraag van alle afnamepunten, dus ˜ci=P10 j=1 ¯ q(Aj) P10 k=1q(A¯ k)ci
j, waarbij i de parameter is behorende bij de i-de modelterm. Voor A5 en A10 zijn de resultaten in tabel 5.5 gegeven. De resultaten voor de overige afnamepunten zijn samengevat in tabel E.19. De seizoensparameters voor alle afnamepunten buiten A3 en A10 zijn groepsinstabiel ten opzichte van het ongewogen groepsgemiddelde waarbij A8en A9zijn meegeno-men. De seizoensparameters zijn ten opzichte van het gewogen gemiddelde groepsinstabiel. Over het algemeen is de AR(24)-term en de effectieve temperatuur stabiel voor ¯c en ˜c. De seizoenspa-rameters zijn voor alle afnamepunten erg groepsstabiel ten opzichte van ˆc = ¯c8,9¯ . Ook de overige termen (tabel 5.5 en 5.6) zijn groepsstabiel. Geconcludeerd wordt dat buiten de afnamepunten A8 en A9 de gasvraag beschreven kan worden door een algemeen SAR(168)×SMA(168)-model, waarin ook de effectieve temperatuur wordt meegenomen en waarbij de modelparameters gelijk
Tabel 5.5: Resultaten Wald-toets op groepsstabiliteit voor afnamepunt q(A5) Restrictie: ˆc = ¯c ˆc = ˜c ˆc = ¯c8,9¯ Teff 0,01 (0,723) 1,46 (0,226) 0,02 (0,876) AR(1) 0,16 (0,688) 4,85 (0,028) 0,702 (0,402) AR(2) 0,38 (0,535) 4,71 (0,031) 1,19 (0,275) AR(24) 0,27 (0,598) 0,236 (0,627) 0,03 (0,850) SAR(168) 106,74 (< 0, 001) 518,74 (< 0, 001) 0,00 (0,944) MA(24) 1,98 (0,160) 2,24 (0,135) 0,64 (0,422) SMA(168) 11,93 (0,001) 26,89 (< 0, 001) 0,83 (0,361)
Tabel 5.6: Resultaten Wald-toets op groepsstabiliteit voor afnamepunt q(A10)
Restrictie: ˆc = ¯c ˆc = ˜c ˆc = ¯c8,9¯ Teff 0,60 (0,407) 7,44 (0,006) 1,41 (0,235) AR(1) 0,32 (0,574) 1,56 (0,211) 0,01 (0,905) AR(2) 0,34 (0,559) 0,84 (0,359) 0,01 (0,912) AR(24) 0,04 (0,833) 0,03 (0,864) 0,01 (0,907) SAR(168) 45,34 (< 0, 001) 297,88 (< 0, 001) 3,78 (0,052) MA(24) 0,01 (0,939) 0,03 (0,869) 0,27 (0,602) SMA(168) 0,33 (0,561) 4,56 (0, 033 2,89 (0,089)
zijn aan ¯ci8,9¯ . Uit tabel 5.4 kan voorts worden geconcludeerd dat ¯ci8,9¯ stabiel is over de tijd voor de afnamepunten A5 en A10, de uitzonderlijke waarde voor de MA(24)-term daargelaten. Gelet op de overeenkomstige modelstructuur wordt geconcludeerd dat buiten de afnamepunten A8 en A9 de modellen zowel groeps- als tijdsstabiel zijn. Het is overigens niet heel verwonderlijk dat A9 en A8 voor instabiliteit zorgen: deze afnamepunten zijn respectievelijk een exportstation en een afnamepunt met veel industri¨ele afnemers.