Voorspelling brandstofverbruik van een compressorstation

Voorspelling brandstofverbruik van een

compressorstation

Wynfrith Meijwes

Afstudeerscriptie, 9 maart 2006

Econometrie, Operationele Research en Actuariaat

Rijksuniversiteit Groningen

Faculteit der Economische Wetenschappen

Begeleider: dr. C. Praagman

”It’s a long road to Caanan”

Voorwoord

Dit rapport is een resultaat van een onderzoek dat is uitgevoerd bij Gasunie Engineering and Technology te Groningen in het kader van mijn afstuderen. In de periode van oktober 2005 tot en met februari 2006 heeft Gasunie mij een stageplaats aangeboden. Tijdens mijn stage heb ik op een interessante manier kennis gemaakt met de praktische toepassing van de studie econometrie. Tij-dens het onderzoek is niet alleen mijn afstudeerrichting (de pure) econometrie aan bod gekomen, maar ook de operationele kant van de studie. Het onderzoek was uitdagend, innovatief en nooit saai. Derhalve ben ik blij dat ik op deze manier mijn studie afsluit. Deze scriptie schrijven was het leukste onderdeel van mijn studie. Het spant daarmee de kroon over vijfenhalf jaar studeren. Dankbetuiging

Mijn dank gaat in de eerste plaats uit naar mijn ouders die mij de basis en doorzettingsvermogen hebben gegeven waarmee ik dit heb bereikt. In de tweede plaats wil ik graag dr. Robert van der Geest en Bert Kiewiet MSc MTD van Gasunie bedanken voor hun briljante idee¨en en hulpvaardige instelling. Ook wil ik dr. Kees Praagman bedanken; niet alleen voor zijn kritische houding in de rol van afstudeerbegleider, maar ook voor zijn moeite die hij voor mij heeft gedaan als studiebegeleider in de afgelopen jaren. Voorts bedank ik dr. J.W. Nieuwenhuis voor de kritische kanttekeningen die hij bij mijn scriptie heeft geplaatst. In de derde plaats wil ik Simon Luijsterburg en mijn vader bedanken voor hun bereidheid mijn scriptie door te lezen en te becommentari¨eren. Tenslotte wil al die anderen die ik liefheb bedanken, in het bijzonder mijn huisgenoten Tom en Folkert, die me, ondanks dat ze me de laatste tijd met pokeren veel geld hebben ontnomen en er nog steeds van overtuigd zijn dat ze ooit sneller L’Alp d’Huez en Le col de la Croix de Fer kunnen opfietsen dan ik, in mijn waarde hebben gelaten. I’m just weary to my bones.

Samenvatting

Gasunie transporteert gas. Dit gas ondervindt door wrijving in de pijpleidingen drukval. Om te zorgen dat het gas op afnamepunten voldoende druk heeft, bevinden zich in het gasnet een aantal compressorstations dat het gas zonodig op de juiste druk brengt. Het comprimeren kost veel brandstof.

In deze scriptie wordt een modelketen opgesteld waarmee nauwkeurig op basis van de gasvraag op afnamepunten, het brandstofverbruik van een compressorstation kan worden voorspeld. Deze keten bestaat uit drie modellen: Ten eerste bezit Gasunie een voorspelmodel voor de gasvraag op afnamepunten. Dit model wordt uitvoerig geanalyseerd en vergeleken met een in deze scriptie nieuw ontwikkeld model. Ten tweede wordt er een drukvalmodel opgesteld dat gegeven de gasstroom door een pijpleiding het drukverlies over deze leiding bepaalt. Tenslotte voorspelt het brandstofmodel op basis van het drukverlies het brandstofverbruik van compressorstations. Deze laatste twee ’black-box-modellen’ worden vergeleken met de huidige fysische benadering van drukverlies en brandstofverbruik.

Inhoudsopgave

1 Inleiding 10 1.1 Gastransport en compressie . . . 10 1.2 Probleemstelling . . . 11 1.3 Overzicht . . . 12 2 Het drukvalmodel 13 3 Het brandstofmodel 18 4 Analyse van het GFF-model 21 4.1 Inleiding . . . 21

4.2 De invloed van een boomstructuur in het gasnet op de MSE . . . 22

4.3 West-route . . . 23

4.3.1 Verband effectieve temperatuur en gasafzet . . . 24

4.3.2 Verschil in gasafzet op weekdagen . . . 25

4.4 Resultaten GFF-voorspelling . . . 26

4.4.1 De toetsingsgrootheid . . . 26

4.4.2 Periode in het jaar . . . 27

4.4.3 Dag in de week . . . 28

4.4.4 Uur op de dag . . . 29

4.4.5 Temperatuur . . . 29

4.4.6 Robuustheid Model . . . 30

4.5 Conclusies . . . 31

5 Een tijdreeksmodel voor alle afnamepunten 32 5.1 Inleiding . . . 32

5.2 Analyse . . . 32

5.3 Modelspecificatie en stabiliteit . . . 33

5.4 Voorspellen . . . 36

5.5 De optimale voorspelling voor de gasvraag . . . 38

5.6 Relatie tussen de gasvraag en brandstofverbruik van een compressorstation . . . . 40

6 Conclusie en aanbevelingen 41 6.1 Conclusie . . . 41

6.2 Aanbevelingen voor verder onderzoek . . . 41

A Het GFF-model 44 A.1 Exponenti¨ele smoothing . . . 44

A.2 Het weersafhankelijke model . . . 44

A.3 Het weersonafhankelijk groeimodel . . . 45

A.4 De weekendfactoren . . . 46

A.5 De gereduceerde effectieve temperatuur . . . 46

A.6 Modelcombinatie . . . 47

A.7 De parameters . . . 47

B Verschil gasvraag op werkdagen en in weekend 49 B.1 De Mann-Whitney-toets . . . 49

C Univariate tijdreeksanalyse 52 C.1 Het AR-model . . . 52 C.2 Het MA-model . . . 53 C.3 Het ARIMA-model . . . 54 C.4 Unit-root-toetsen . . . 54 C.5 Toetsing op autocorrelatie . . . 55 C.6 Modelselectie . . . 56 C.7 Voorspellen . . . 56

C.8 Vergelijking van voorspellingen . . . 58

C.9 De Wald-toets . . . 59

D Drukval en Compressie 60 D.1 De drukval en compressibiliteitsfactor . . . 60

D.2 Centrifugale compressoren en de compressieratio . . . 61

E Tabellen 63

1

Inleiding

Op 1 juli 2005 is de N.V. Nederlandse Gasunie gesplitst in twee bedrijven. Het ene bedrijf heeft zich toegespitst op het gastransport en gaat verder onder de naam ”Gasunie”; het andere bedrijf houdt zich nu bezig met de in- en verkoop van aardgas: ”Gasunie Trade & Supply”. Gasunie transporteerde in 2004 97,3 miljard kubieke meter (m3_{) gas door haar pijpleidingen en heeft een}

groot transportnetwerk met een lengte van 11.600 kilometer. Het gas wordt door pijpleidingen naar een afnamepunt gepompt en vanaf daar nemen lokale netwerkbeheerders het transport over. Verspreid over Nederland bevinden zich verschillende compressorstations die afhankelijk van de vraag naar het gas naar zijn bestemming pompen. Naast gastransporteur is de Gasunie ook ´e´en van Nederlands grootste afnemers van gas.

1.1

Gastransport en compressie

Figuur 1.1: Grafische weergave afnamepunten

De bovenstaande figuur is een schematische weergave van de gastransportketen. De eindgebruikers vragen op elk eindpunt (Di, 1 ≤ i ≤ 7) een bepaalde hoeveelheid gas per tijdseenheid die aan

contractuele eisen moeten voldoen. Deze contractuele eisen hebben voornamelijk betrekking op de druk en de verbrandingswaarde van het gas. Om aan deze voorwaarden te kunnen voldoen bepalen afnamepunten (Mj, 1 ≤ j ≤ 4) onder welke druk de juiste hoeveelheid gas richting elk eindpunt

wordt geleid. Elk afnamepunt heeft nu een bepaalde vraag naar gas, qj, die aan gegeven

voorwaar-den zoals de druk (pj) en de verbrandingswaarde (Wj) moet voldoen. Gegeven deze informatie

de berekende minimale uitgangsdruk, moet er gecomprimeerd worden. Indien er gecomprimeerd wordt, verbruikt het compressorstation brandstof, zoals in de figuur is ge¨ıllustreerd.

1.2

Probleemstelling

Het onderzoek spitst zich voornamelijk toe op de relatie tussen de gasvraag op afnamepunten in het gasnet en het brandstofverbruik van compressorstations. De probleemstelling is:

Hoe kan het brandstofverbruik van een compressorstation worden voorspeld op ba-sis van de gasvraag op afnamepunten?

In figuur 1.2 is schematisch weergegeven hoe het onderzoeksprobleem kan worden opgelost. Hier-aan gelieerde vragen zijn:

1. Hoe nauwkeurig zijn de voorspellingen van elk model in het schema; wanneer treedt de meeste onzekerheid op?

2. Hoe verhouden uitkomsten van de ’black-box-modellen’ zich tot die van de aangereikte mo-dellen uit de fysica?

3. Kan een Box-Jenkis-model [1] met het GFF-model worden gecombineerd tot een optimaal model voor de voorspelling van de gasvraag op afnamepunten?

4. Hoe stabiel, robuust en valide zijn de modellen?

Figuur 1.2: Schematische weergave oplossing probleemstelling De onderzoeksvragen worden thans met behulp van figuur 1.2 gemotiveerd.

Gasunie heeft voorheen een model ontwikkeld, het Gas Flow Forecasting (GFF)-model, dat op basis van weersvoorspellingen en historische data een goede voorspelling geeft voor de gasvraag op een afnamepunt.

Ook kan op basis van historische data kan een drukvalmodel worden geschat. Deze modelleert het verband tussen de gasvraag en de drukval over de pijpleidingen. Gegeven de gasvraagvoorspelling op afnamepunten en de voorwaarden waaraan het gas op de afnamepunten moet voldoen, kan dan met behulp van dit model worden berekend wat de minimale uitgangsdruk van een compressor-station moet zijn en in hoeverre het moet comprimeren.

Allereerst moet de betrouwbaarheid van elk model worden onderzocht. Het zou zo kunnen zijn dat alleen als de weersvoorspelling onjuist blijkt te zijn, het GFF-model een onjuiste gasvraag voor-spelt, maar als de voorspelling juist is, het model de juiste waarden voorspelt. Dit kan worden onderzocht door het model te testen met de juiste weersgegevens en de realisatie van de gasvraag. Als blijkt dat inderdaad de weersvoorspelling de onzekere factor in het model is, kan dit bij het verloop van de berekeningen in het achterhoofd worden gehouden. De onzekerheid over het weer zal dus doorwerken in de andere modellen. Niet alleen willen we onderzoeken in hoeverre goe-de weersvoorspellingen leigoe-den tot een juiste gasvraag, maar ook in welke mate achteraf foutieve weersvoorspellingen van invloed zijn op de voorspelling van de gasvraag. Dit geldt uiteraard niet alleen voor de weersvoorspelling, maar ook voor de andere variabelen in het GFF-model.

Voor het drukvalmodel zou kunnen gelden dat voor een kleine of juist hoge gasstroom veel onze-kerheid optreedt. Het brandstofmodel zal misschien minder goed voorspellen als een compressor net opstart dan als hij op vollast draait.

De fysica heeft zowel voor het bepalen van de drukval over pijpleidingen als voor het bepalen van het brandstofverbruik correlaties aangetoond. Deze zijn echter gebaseerd op natuurwetten die gelden onder ideale omstandigheden. In de eerste plaats zullen deze modellen met de werkelijkheid van het gasnet worden geverifi¨eerd. In de tweede plaats zullen zij zonnodig moeten worden aange-past zodat ze gelden onder de omstandigheden waarin het gasnet zich bevindt. In de derde plaats moeten de modellen stabiel, robuust en valide zijn. Tenslotte zal er worden onderzocht of de gas-vraag op afnamepunten niet beter kan worden beschreven door een Box-Jenkins-model [1] dan door het GFF-model. Voorts wordt onderzocht of deze voorspelling samen met de GFF-voorspelling kan worden gecombineerd tot een optimale voorspelling.

1.3

Overzicht

2

Het drukvalmodel

De voedingsbron van het gas is voornamelijk geconcentreerd in het Groningen-veld dat door de Nederlandse Aardolie Maatschappij wordt ge¨exploiteerd. Vanuit Groningen transporteert Gasunie dit Groningen-gas (G-gas) via de Noord-West-route naar de Randstad en via de Oost-Zuid-route naar Zuid-Nederland. Afnemers zijn voornamelijk huishoudens en tuinbouw. Vanuit de Noordzee en vanuit Noorwegen wordt op volle capaciteit H-gas (dit is gas met een calorische waarde groter dan die van G-gas) aangeleverd. Dit H-gas wordt op verschillende wijzen door Gasunie behandeld. Ten eerste wordt H-gas getransporteerd naar binnenlandse afnamepunten in de industriesector, ten tweede wordt H-gas ge¨exporteerd naar Duitsland, Belgi¨e en Itali¨e en tenslotte wordt H-gas bij mengstations met stikstof gemengd tot gas op Groningen kwaliteit (pseudo G-gas). Pseudo G-gas wordt achter het mengstation ge¨ınjecteerd in de G-gasleidingen. Het beleid van Gasunie is er op gericht om de grote gasbron bij Slochteren zoveel mogelijk te ontzien. Dit impliceert enerzijds dat ten behoeve van de vraag uit de omliggende kleinere bronnen in het Groningenveld op volle capaciteit gas wordt afgenomen en anderzijds dat alle H-gas dat niet door industrie wordt afgenomen of wordt ge¨exporteerd, tot pseudo G-gas wordt gemengd. Figuur 2.1 is een sterk ver-eenvoudigde weergave van het gasnet. C_iJ (1 ≤ i ≤ 7, J = {G, H} (de gassoort)) staat hierin voor compressorstation i, Mj (1 ≤ j ≤ 2) duidt mengstation j aan; Ak (1 ≤ k ≤ 10) staat voor G-gas

afnamepunt k en Bl(1 ≤ l ≤ 5) staat voor H-gas afnamepunt l. Tenslotte staan Vm (1 ≤ m ≤ 3)

en Pn (1 ≤ n ≤ 2) voor respectievelijk voeding m en punt n. De effen lijn duidt een G-gastraject

aan; de stippellijn is een H-gastraject. Alle punten langs een leiding waar gas wordt afgenomen in het werkelijke netwerk, zijn als vereenvoudiging in de figuur geconcentreerd in ´e´en afname-punt. Analoog hieraan zijn alle gasleidingen tussen twee punten in de figuur vervangen door ´e´en pseudo-leiding. De gasstroom die mengstation j, compressorstation i, punt n of een voedingspunt m verlaat wordt respectievelijk genoteerd als q(Mj), q(Ci), q(Pn) en q(Vm). Met q(Ak) en q(Bl)

wordt respectievelijk de gasvraag van G-gasafnamepunt k en H-gasafnamepunt l aangeduid. Op elk afnamepunt moet het gas aan enkele contractuele verplichtingen voldoen. Ten eerste is er een bepaalde capaciteitsbegrenzing afgesproken waarbinnen Gasunie altijd moet kunnen leveren. Ten tweede moet de druk van het geleverde gas op een afnamepunt boven een minimumdruk p en beneden een maximumdruk p zijn. Omdat afnamepunten het gas vanuit het hoofdnet overbrengen in het regionale net welke een minimale ingangsdruk van 42 bar eist, wordt er gemakshalve vanuit gegaan dat p = 45 bar; daarentegen zijn de transportleidingen van het HTL ontworpen voor een druk tot maximaal 67 bar. Dientengevolge wordt p = 67 bar gekozen. Tenslotte worden er nog eisen aan de samenstelling van het gas gesteld, zoals de calorische waarde en het CO2-percentage

van het gas. Er wordt verondersteld dat op alle afnamepunten aan deze voorwaarden wordt vol-daan. Tengevolge van de afstand die een hoeveelheid gas overbrugt, ondervindt de gasstroom een drukval. Dit drukverlies neemt onder andere toe naarmate de leiding langer is of het debiet (hoeveelheid per tijdseenheid) groter.

Volgens de fysica is onder ideale omstandigheden het absolute verschil in de kwadratische drukken aan het begin en einde van een leiding kwadratisch in de gemiddelde gasstroom door die leiding (zie D.1):

p2₁− p2

2= K · z(p) · ¯q

2_{. (2.1)}

Hierin zijn p1 en p2 de drukken (in bar) op respectievelijk punt 1 en punt 2, ¯q is de gemiddelde

gasstroom (in 103· m3_{) tussen deze twee punten en K is een veelterm van allerlei fysische}

groothe-den, zoals de lengte van de leiding en de dichtheid van het gas. z(p) is de compressibiliteitsfactor (D.3-D.6) die voor drukken binnen het werkgebied van Gasunie lineair benaderd kan worden door

z = 1 − 2p

1000. (2.2)

bijvoorbeeld ¯q of d. Dit is al uitvoerig beschreven door Van der Hoeven [5]. Een andere methode is om de variabele en constante eigenschappen van het gas en de pijpleiding zoveel mogelijk onder de noemer K te brengen. K wordt in (2.1) dan niet gezien als een combinatieterm van exogene groot-heden, maar juist als een grootheid die de specifieke eigenschappen van het gas en de pijpleiding samenvat. Met andere woorden, elke leiding in het gasnet heeft bij benadering een typische K, die niet is gebaseerd op fysische grootheden, maar op de relatie tussen de drukval en de gasstroom. Een afnamepunt in figuur 2.1 veronderstelt dat alle afnamepunten die omvat zijn door dat punt het gas op dezelfde plaats afnemen. De werkelijkheid is complexer. Om gegeven de gasvraag de uitgangsdruk van een compressorstation te berekenen wordt verwezen naar de schematische weergave in figuur 1.1. Veronderstel dat hierin de gasvraag van alle eindpunten gegeven zijn. Stel voorts dat de minimale druk op een eindpunt 30 bar moet zijn. Gegeven de K-waarde van elke leiding kan berekend worden welke uitgangsdruk elk eindpunt aan het leverende afnamepunt oplegt. afnamepunt 2 bijvoorbeeld, belevert drie eindpunten; elk eindpunt vergt een een uitgangs-druk van afnamepunt 2. De hoogste van deze uitgangsuitgangs-drukken is de minimale uitgangsuitgangs-druk voor afnamepunt 2. Alleen dan voldoet het aan alle voorwaarden. Zo kan er voor alle afnamepunten een minimale uitgangsdruk worden bepaald. Vervolgens kan op analoge wijze de minimale druk achter het compressorstation worden bepaald, waarbij het debiet gelijk is aan de som van de debieten van de eindpunten die het betreffende afnamepunt belevert. De minimale druk bij de uitgang van het compressorstation is gelijk aan het maximum van de minimale drukken die de afnamepunten aan dit punt opleggen. Indien noodzakelijk brengt de compressor het gas op een hoger drukniveau. Dit lijkt een nauwkeurige methode om de uitgangsdruk van een compressorstation te bepalen. De methode vergt echter veel rekenwerk en zou vanwege de complexiteit van het net veel aan pre-cisie kunnen inboeten. Voor elk leidingstuk zal immers een geschikte K-waarde moeten worden bepaald. Voor het bepalen van de drukval over elk leidingstuk moet zekerheid bestaan over het debiet dat erdoorheen stroomt. Aangezien het gasnet geen boomstructuur heeft kan het gas via verschillende paden van het compressorstation naar een afnamepunt-station stromen. Bovendien kunnen afsluiters ervoor zorgen dat de stroomrichting per uur verandert. Daarom wordt voorge-steld om alle afnamepunten tussen twee compressorstations te bundelen tot een cluster zoals in figuur 2.1. Vervolgens wordt er een pseudo-leiding tussen het het afnamepunt en het compressor-station ingevoerd, die model staat voor de verzameling leidingen van het compressorcompressor-station naar alle afzonderlijke afnamepunten.

Voor p in (2.2) wordt de gemiddelde druk van p1en p2genomen. (2.1) is dan als volgt te schrijven:

p2₁− p2 2

1 − 0, 001(p1+ p2)

= K · ¯q2 (2.3)

Nu er een vereenvoudigde vergelijking is gevonden om de drukval over een pijpleiding te bepalen, wordt deze simplificatie thans met de werkelijkheid geverifi¨eerd . Daartoe worden de parameters Ki (1 ≤ i ≤ 2) en α op basis van waarnemingen in de volgende regressievergelijking geschat:

f (pi) = K1+ K2· ¯qαi + i i∼ D(0, σ2) 1 ≤ i ≤ N. (2.4)

Hierin is f (pi) = p2

1i−p22i

1−0,001(p1i+p2i), N het aantal waarnemingen en i is een verstoringsterm uit

een onbekende verdeling, waarover wordt verondersteld dat alle i onafhankelijk en identiek aan

elkaar zijn verdeeld. Voorts wordt verondersteld dat σ2

 onbekend is en derhalve moet worden

geschat. Omdat de vergelijking additief is, simplificeert een logaritmische transformatie het model niet. Daarom worden in (2.4) eerst de parameters K1 en K2 geschat met behulp van de kleinste

kwadratenmethode waarbij voor α de startwaarde 2 wordt gekozen. Deze startwaarde is gekozen omdat enerzijds uit fysisch oogpunt te verwachten is dat α = 2 en anderzijds uit analyse is gebleken dat over het algemeen f (p) en ¯q2 _{een redelijk goed verband hebben. Vervolgens wordt}

f (p) vermindert met ˆK1en wordt de logaritmische transformatie alsnog toegepast teneinde K2 en

α te schatten:

De verkregen schatter ˆα wordt vervolgens in (2.4) gebruikt om te onderzoeken of de verkregen schatters voor K1en K2 stabiel zijn. Deze iteratieve methode wordt herhaald tot dat de

schattin-gen convergeren. Het blijkt dat na twee herhalinschattin-gen de schattinschattin-gen met betrekking tot deze data convergeren; bovendien nemen naarmate het aantal iteraties toeneemt, de standaardfouten van de geschatte parameters af en de R2 toe. In de onderstaande figuur is log (f (p) − ˆK1) tegen log (¯q)

Figuur 2.2: K-grafiek CG 3 − A3

voor het traject CG

3 − A3uitgezet. Omdat het debiet in elk leidingstuk in werkelijkheid tengevolge

van de gespreide ligging van de afnamepunten niet gelijk is, is er voor gekozen de stroom in deze pseudo-leiding gelijk te stellen aan het gemiddelde van de stroom door CG

3 en de totale vraag van

afname A3. Er is gebleken dat deze debietkeuze in een beter verband tussen debiet en drukval

resulteert dan als q(C3) of q(A3) als debiet wordt genomen. De figuur laat zien dat de K-waarde

bij een lage en hoge drukval over het algemeen constant is. We zien dat de band om de puntenwolk iets smaller is bij een hoog debiet dan bij een heel laag debiet. Onder ideale omstandigheden zal

ˆ

K1 gelijk moeten zijn aan nul; immers, als er geen gas door de leiding stroomt is er ook geen

sprake van drukval. In tabel E.1 zijn de K- en α-waarden voor alle relevante pseudo-leidingen geschat. Ook de geschatte snijpunten met de qα-as zijn weergegeven. Dat deze snijpunten niet gelijk zijn aan nul kan enerzijds worden verklaard door het feit dat de pijpleidingen met de ja-ren slechter worden en een steeds grotere drukval veroorzaken dan (2.4) berekent en anderzijds resulteren uitschieters in waarden voor ˆK1ongelijk aan nul. Overigens zijn de geschatte waarden

voor ˆK1 zo klein dat aangenomen mag worden dat de regressielijn door de oorsprong gaat. Tabel

E.1 toont dat de verbanden tussen de drukvallen en de debieten van de pseudo-leidingen zeer goed zijn. Met name de resultaten voor de pseudo-leidingen tussen twee compressorstations zijn goed. De standaardfouten behorende bij de parameterschattingen zijn voor ˆK2en ˆα erg klein. Dit

geeft een indicatie dat de schattingen stabiel zijn en dus weinig vari¨eren. De schatting voor de constante K1daarentegen is minder stabiel. Dit is te zien aan de bijbehorende standaardfout. De

verstoringsterm blijkt overigens niet normaal te zijn verdeeld, maar heeft wel de eigenschappen van een witte-ruis-proces (zie § C.1).

uitgevoerd. De resultaten staan in de laatste kolom van tabel E.1. Deze waarden zijn veel groter dan de kritieke waarde van de χ2₁-verdeling (op een significantieniveau van (1 − α) = 95% is de kritieke waarde 3,84) en derhalve wordt de nulhypothese ˆα = 2 ten gunste van ˆα 6= 2 verworpen. De beschouwde data kan voor alle afnamepunten niet door eenzelfde algemeen fysisch model zoals (D.1) of (2.3) worden verklaard; de verschillen in vergelijking tot de ideale omstandigheden waarop (D.1) is gebaseerd zijn in werkelijkheid te groot; bovendien zijn de modellen niet stabiel over de afnamepunten en zal er voor elke pseudo-leiding een apart model worden geschat. Een algemeen model zal te veel onzekerheid met zich meebrengen.

3

Het brandstofmodel

Teneinde het gas met een voldoende druk bij de afnemers te kunnen afleveren dient het gas op bepaalde punten in druk te worden verhoogd, hiervoor worden op bepaalde punten compressoren gebruikt. Een compressor moet worden ingeschakeld indien de voorspelde gasvraag een hogere uitgangsdruk van het compressorstation impliceert dan de ingangsdruk. Gasunie maakt gebruik van centrifugale compressoren. De te verrichten arbeid van een compressor hangt enerzijds af van het te overbruggen drukverschil en anderzijds van de schakelingswijze van de compressiemachines (zie §D.2). Het drukverschil wordt uitgedrukt in de ratio van de uitgangsdruk (pu in bar) en de

ingangsdruk (pi in bar) van de compressor:

CR = pu pi

. (3.1)

Hierin staat CR voor compressieratio. De compressieratio van een compressor is afgebakend door bepaalde grenzen. Deze grenzen worden enerzijds bepaald door de stroomdruk (q/pi) en anderzijds

door de maximale compressieratio (CRmax). Boven de maximale compressieratio is een compressor

niet in staat arbeid te verrichten. De grenzen die het werkgebied van een compressor afbakenen, zijn een combinatie van de compressieratio en de stroomdruk. Het is niet zo dat de maximale ar-beid wordt geleverd als de maximale stroomdruk met de maximale compressieratio in druk wordt verhoogd; deze combinatie van stroomdruk en compressieratio ligt buiten het werkgebied van de compressor [3].

Een compressorstation kan uit diverse compressoren bestaan die in serie of parallel zijn gescha-keld. Over het algemeen zijn de compressoren op een compressorstation identiek aan elkaar. Dit houdt in dat gegeven een compressieratio de compressoren hetzelfde vermogen leveren. Indien de compressoren parallel zijn geschakeld is de compressieratio voor beide compressoren gelijk aan de compressieratio over het hele compressorstation (zie figuur D.2). Indien de compressoren serie zijn geschakeld is de compressieratio over deze machines gelijk aan de compressie ratio over het hele compressorstation. Het lastige van seriegeschakelde compressoren is dat de druk tussen twee compressoren niet wordt gemeten en derhalve onbekend is. Het brandstofverbruik is namelijk ook afhankelijk van deze tussendruk en niet alleen van de in- en uitgangsdruk van het compressorsta-tion. Het is dientengevolge moeilijk om het verband tussen het gezamelijke brandstofverbruik van de compressoren en de compressieratio over het compressorstation in kaart te brengen. Daarom zijn alleen die compressorstations onderzocht waarin de compressoren parallel geschakeld staan. Bij het vaststellen van de compressieratio dient rekening te worden gehouden met drukverliezen bij de in- en uitlaat van het compressorstation. Over het algemeen kan worden gesteld dat de druk van het instromende gas bij tengevolge van extra wrijving over de in- en uitlaat met 0,9 bar wordt verlaagd en het uitstromende gas 0,5 bar verliest. De compressieratio kan derhalve als volgt worden berekend:

CR = pu+ 0, 5 pi− 0, 9

. (3.2)

Op basis van de fysica wordt verwacht dat tussen de compressieratio en het brandstofverbruik de volgende relatie bestaat [13]:

Qb

q = c · z(p) · (CR

k−1

k − 1), _(3.3)

waarin c de combinatie van constantes uit (D.9) en (D.10) is, Qb het brandstofverbruik en q de

gasstroom (beide in 103_{· m}3_{/h) zijn en k de constante van Poisson is, die in het werkgebied van}

Gasunie de typische waarde 1,38 aanneemt. Analoog aan de schattingsprocedure in hoofdstuk 2, wordt het volgende regressiemodel met behulp van de kleinste kwadratenmethode geschat:

Qbi

qi· z(pi)

waarin N het aantal waarnemingen is. In (3.4) wordt verondersteld dat ionafhankelijk en identiek

verdeeld zijn uit een onbekende verdeling met verwachting 0 en onbekende variantie σ_2. Aangezien γ geschat moet worden en een logaritmische transformatie van (3.4) niets oplevert, wordt voor γ eerst een startwaarde gekozen: γ = (k − 1)/k = 0, 2754. Vervolgens worden de parameters c1 en

c2 geschat. Daarna wordt de logaritmische transformatie op (3.4) toegepast en de parameters in

de volgende vergelijking geschat. log ( Qb

q · z(p)− ˆc1) = log(c2) + γ log(CR). (3.5) Deze procedure wordt herhaald totdat de parameterschattingen convergeren. In tabel 3.1 zijn de resultaten verkregen na tien iteraties, waarbij de standaardfouten van de geschatte parameters per iteratie afnemen, van bovenstaande regressies voor enkele compressorstations uit figuur 2.1 weergegeven. Voorts is in figuur 3.1 het verband (3.5) voor C₃G weergegeven. De figuur toont aan

Figuur 3.1: Verband Qb en CR van GG3

dat vanaf de waarde 0,09 op de horizontale as (corresponderend met een compressieratio van 1,23) de relatie redelijk goed is. De regressielijn die de puntenwolk vanaf die waarde representeert, gaat niet door de oorsprong, wat op basis van (D.2) wel te verwachten is. Dit heeft er mee te maken dat het opstarten van een compressor veel brandstof kost. De puntenwolk tussen de oorspong en de 0,09 tonen een minder goed verband. Deze punten corresponderen met een kleine compressieratio en een kleine verhouding tussen het brandstofverbruik en het debiet.1 _{Een kleine}

compressiera-tio betekent veelal dat de machine `of net is opgestart of afblaast. In beide gevallen resulteert dit in relatief hoge brandstofkosten. In tabel E.2 staan de resultaten van de regressie voor de overige compressorstations uit figuur 2.1. De schattingen zijn voor het multiplicatieve gedeelte van het regressiemodel redelijk goed in tegenstelling tot de schatting voor c1. C4 is een station

dat verschilt ten opzichte van de andere stations. De compressoren op dit station zijn verre van identiek, en derhalve is de analyse voor alle parallel geschakelde machines (deze worden aangeduid

1_{De oplettende lezer heeft gezien dat in figuur 3.1 de maximale compressieratio wordt overschreden. Dit is te}

verklaren door het feit dat CG

3 een uitzondering is op het veronderstelde drukverliezen bij de in-en uitlaat van het

met mi(1 ≤ i ≤ 3)) apart uitgevoerd. Dit geeft betere resultaten in vergelijking met de analyse

voor het gesommeerde brandstofverbruik van de compressoren wordt uitgevoerd. C₇G staat in de beschouwde periode slechts acht uren aan, waardoor de verkregen schattingen onbetrouwbaar zijn. Het aantal observaties zijn in de rechterkolom van tabel 3.1 weergegeven. Overigens ligt de waarde van ˆγ ver af van de fysisch aangenomen waarde 0,2754.

Tabel 3.1: Schattingsresultaten c-waarde voor CG 1 − C3G C ˆc1 scˆ1 log ˆc2 slog ˆc2 γˆ sˆγ R 2 n C1 -0,0309 (0, 0039) 0, 4262 (2, 3131 × 10−6) 0,0035 (2, 9650 × 10−5) 0,761 169 C2 -0,0362 (0, 0471) 0, 4262 (2, 3136 × 10−6) 0,0040 (1, 5987 × 10−5) 0,934 499 C3 -0,0356 (0,0021) 0, 4220 (2, 0371 × 10−6) 0,0041 (2, 0125 × 10−5) 0,904 1040

De parameterschattingen zijn voor drie verschillende compressorstations getoetst op groepsstabi-liteit en stabigroepsstabi-liteit over de tijd. Voor het toetsen op groepsstabigroepsstabi-liteit worden aan de parameters de volgende restricties opgelegd: ˆci2= ˆc2= 0, 4230 en ˆγi= ˆγ = 0, 0037, waarin i betrekking heeft op

het compressorstation. In de berekening van de gemiddelde waarden is C₇G niet meegenomen. De Wald-toets (C.9) verwerpt nadrukkelijk de nulhypothese dat beide restricties of de laatste restrictie voor de onderzochte stations gelden. De eerste restrictie is meer aannemelijk, maar wordt echter in alle gevallen verworpen. Voor het toetsen op stabiliteit over de tijd worden de waarden per compressorstation van ˆc2en ˆγ in de tweede periode gelijkgesteld aan die van de eerste periode. Het

4

Analyse van het GFF-model

4.1

Inleiding

Het door Gasunie ontwikkelde Gas Flow Forecasting-model (GFF-model) berekent de verwachte gasvraag op afnamepunten op basis van bepaalde externe factoren. Deze externe factoren zijn in de eerste plaats de weersomstandigheden, zoals de effectieve temperatuur. Deze is onder andere afhankelijk van de temperatuur, de bewolkingsgraad en de windsnelheid. Ook is er aan het mo-del een weekendfactor toegevoegd die het verschil in week- en weekendconsumptie momo-delleert. Dit model is begin jaren 90 getest op basis van data van de G-gasvraag op vijf afnamepunten en het ge-middelde afwijkingspercentage van de voorspellingen ten opzichte van de realisatie blijkt ongeveer 5% te zijn. Onderzoek hiernaar heeft aangetoond dat vooral de gasafzet bestemd voor export en industrie veel minder weersafhankelijk is dan de afzet ten behoeve van huishoudens en bovendien dat de gasvraag van deze marktsegmenten erg stationair verloopt. Voor de weersonafhankelijke gasafzet is een apart model opgesteld, het trendmodel, dat ge¨ıntegreerd met het weersafhankelijke model tot betere voorspellingen van de gasafzet leidt. Dit trendmodel onderzoekt of de gasafzet in de afgelopen vijf uur significant verschilt met dezelfde vijf uur van de vorige dag, de zogenaamde trend. De voorspelling van de (weersonafhankelijke) gasafzet is dan afhankelijk van deze trend en een gemiddelde afzet van de afgelopen uren. Het blijkt dat tussen de residuen van enerzijds de weersafhankelijke voorspelling en anderzijds de voorspelling van het trendmodel een negatieve correlatie is. Dit betekent onder andere dat effecten van onjuiste weersvoorspellingen gedeeltelijk worden uitgevlakt door de uitkomsten van het trendmodel. De twee submodellen worden met behulp van een geschikt gekozen gewichtenvector gecombineerd, gebaseerd op de in het verleden gemaakte voorspelfouten. De elementen in de gewichtenvector worden dus bepaald afhankelijk van de nauwkeurigheid van beide afzonderlijke voorspelmethodes.

Een kritiekpunt op het weersafhankelijke model is, dat het zich niet direct aanpast aan grote afwijkingen in de realisatie ten gevolge van bijvoorbeeld een niet voorspelde extreem lage tempe-ratuur. Met behulp van een exponenti¨ele smoothing-model, dat een gewogen gemiddelde berekent van bijvoorbeeld de gemiddelde temperatuur van de afgelopen uren en de huidige temperatuur, kunnen we het effect van onjuiste weersvoorspellingen tijdig het hoofd bieden. Over het algemeen voorspelt het GFF-model redelijk goed als het gaat om niet te lage temperaturen. Als de tempe-ratuur boven de zogenaamde stookgrens (dit is de gemiddelde tempetempe-ratuursgrens waar beneden huishoudens en kantoren hun centrale verwarming inschakelen) ligt, zo wordt geconcludeerd, is het grootste deel van de gasvraag bestemd voor industrie en export. Echter, als de temperatuur te laag is, voorspelt het model een te hoge gasvraag. Dit is te wijten aan het feit dat verwarmings-installaties van huishoudens dan al op de hoogste capaciteit draaien.

een afnamepunt uit figuur 1.1, gelijk is aan de som van de gasvraag van de eindpunten die het belevert. Indien dit gasnet geen boomstructuur heeft, is er een eindpunt dat door meerdere afna-mepunten kan worden beleverd en is het derhalve onjuist te veronderstellen dat de gasvraag op elk afnamepunt gelijk is aan de som van de gasvraag van de eindpunten die het belevert. Het GFF-model maakt een voorspelling voor elk afnamepunt en houdt daarbij geen rekening houdt met het optreden van zo’n boomstructuur. Dit resulteert in een onnodig grote voorspelfout. Hieronder wordt getracht te bewijzen dat de GFF-voorspelling nauwkeuriger is indien het gasnet achter een compressorstation zoals in figuur 1.1 een boomstructuur heeft, dan indien dit niet geldt.

4.2

De invloed van een boomstructuur in het gasnet op de MSE

In deze paragraaf wordt bewezen dat de voorspelfout van de GFF-voorspelling kleiner is indien een deel van het gasnet een boomstructuur heeft dan indien dit niet het geval is. We veronderstellen hierbij dat het gas vanaf een compressorstation via afnamepunten naar de eindpunten stroomt, en niet in een omgekeerde richting. Om het eenvoudig te houden, wordt tevens verondersteld dat de GFF-voorspelling voor de gasvraag van morgen zich voornamelijk baseert op de gasvraag van vandaag. Voorts worden met qj en ˆqj respectievelijk de gasvraag en de voorspelling voor de

gasvraag voor afnamepunt Mj aangeduid. Voor de basisdefinities van grafen wordt verwezen naar

een tekstboek over grafentheorie, zoals [4].

Het idee is dat indien het gasnet een boomstructuur zou hebben, de gasvraag van een afnamepunt gelijk is aan de som van de gasvraag van de achterliggende eindpunten. Indien het gasnet geen boomstructuur heeft, kan een bepaald eindpunt door verschillende afnamepunten worden beleverd, en is de gasvraag van een afnamepunt niet per definitie gelijk aan de som van de gasvraag van de achterliggende eindpunten.

Definitie 1 Zij G(V, E) een graaf met V ≡ de verzameling punten en E ≡ de verzameling wegen van G. Zij n = |V |. Een Boom is een samenhangende graaf met n − 1 wegen.

Definitie 2 De Mean Squared Error (MSE) van de voorspellingen ˆqi voor qi met 1 ≤ i ≤ N

is gegeven door: M SEqˆ= _N1 P N

i=1(qi− ˆqi)2

Veronderstel dat er p afnamepunten zijn en dat er m eindpunten zijn. Laat nu {M }s_{= {M}

1, M2, . . . , Mp}sde verzameling afnamepunten achter een compressor Cszijn

en laat {D}s _{= {D}

1, D2, . . . , Dm}s de verzameling eindpunten achter {M }s zijn. Laat {Ai} de

verzameling eindpunten verbonden met Mi zijn (1 ≤ i ≤ p). Definieer {Vj} = Mj∪ {Aj} en

definieer Gj(Vj, Ej) de graaf met als beginpunt Mj en bestaande uit alle eindpunten verbonden

met Mj door de verzameling wegen Ej. Definieer xi door het aantal afnamepunten dat eindpunt

Di belevert, 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ xi ≤ p. De verzameling afnamepunten die eindpunt Di belevert

wordt aangeduid met {Bi}. De hoeveelheid gas dat afnamepunt Mr aan eindpunt Di op tijdstip

t levert, wordt aangeduid met qi,r(t), 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ r ≤ p. Met αi,r(t) wordt de fractie van de

totale gasvraag van eindpunt Di die afkomstig is van Mr op tijdstip t aangeduid.

In figuur 4.1 zijn G3en G4corresponderend met figuur 1.1 weergegeven. Definieer Gs≡ CsS p j=1Gj

bestaande uit alle afname- en eindpunten achter Cs.

Figuur 1.1 kan worden beschouwd als Gs, waarbij het compressorstation als beginpunt moet worden gezien. Laat ˆqj(t + 1) de GFF-voorpelling voor de gasafzet van Mj voor tijdstip t + 1 zijn.

Stelling 1 Voor alle j geldt dat MSEqˆj(t+1) kleiner is wanneer G

s _{een boom is dan wanneer G}s

geen boom is.

Bewijs Gegeven is de graaf Gs_(Vs_{, E}s_{) zoals boven gedefinieerd. Zij n}

j het aantal punten in

de subgraaf Gjdan geldt dat n = |Vs| ≤ 1+P p

j=1nj. Veronderstel dat er een Diis dat door xi> 1

afnamepunten kan worden beleverd:{Bi}, dan geldt |Es| ≥ (n − 1) + (xi− 1) = n + xi− 2 > n − 1.

Uit definitie 1 volgt dat Gs_{geen boom is. Veronderstel dat α}

i,r(t) < αi,r(t + 1). Dit betekent dat

er voor Mrop tijdstip t+1 een hoeveelheid (αi,r(t+1)−αi,r(t))ˆqr(t+1) te weinig wordt voorspeld.

Figuur 4.1: Grafische weergave van twee bomen

(1 ≤ j 6= r ≤ p). De voorspelfout voor afnamepunt Mj is gelijk aan: (αi,j(t) − αi,j(t + 1))ˆqj(t + 1).

De MSE van de voorspelling voor de gasvraag van alle afnamepunten in Gs _{gezamelijk is gelijk}

aan M SEqˆs xi>1(t+1)= p X j=1 [qj(t + 1) − (1 + nj−1 X i=1 (|αi,j(t + 1) − αi,j(t)|))ˆqj(t + 1)]2. (4.1)

Indien xi = 1 voor alle Di, dus als geldt dat elk eindpunt door slechts ´e´en afnamepunt wordt

beleverd, volgt uit definitie 1 dat |Es| =P p

j=1nj= n − 1 en dus dat Gseen boom is. Omdat er

maar vanuit elk eindpunt ´e´en verbinding is met een afnamepunt geldt dat voor elke Dier slechts

´

e´en Mr is waarvoor geldt: αi,r(t) = 1 voor alle t; voor alle andere Mj (1 ≤ j 6= r ≤ p) geldt dan

αi,j(t) = 0. De MSE van de voorspelling is nu gelijk aan:

M SEqˆs xi=1(t+1)= p X j=1 [qj(t + 1) − ˆqj(t + 1)]2< M SEqˆs xi>1(t+1) • (4.2)

Om de leveringszekerheid van het gas te garanderen, bestaat het gastransportnetwerk uit vele cycles en er is dus sprake van vele interacties tussen afnamepunten. Echter, indien de gezamelijke gasafzet van een cluster van afnamepunten in een zoveel mogelijk ge¨ısoleerd wordt gebied bekeken kunnen deze interacties tijdig het hoofd worden geboden. Het GFF-model voorspelt dan de ge-zamelijke gasafzet van dit cluster en de voorspelling wordt niet be¨ınvloedt door interacties tussen verschillende afnamepunten in het cluster.

4.3

West-route

In deze paragraaf wordt het GFF-model geanalyseerd. Eerst wordt onderzocht of de stookgrens (dit is de temperatuursgrens waarboven over het algemeen niet meer in huishoudens en kantoren wordt gestookt) goed is gekozen. Dit is de temperatuursgrens waarboven over het algemeen niet meer wordt gestookt. Vervolgens wordt gekeken of de invoering van de weekendfactor (§ A.4) niet overbodig is.

Het subnetwerk onder compressor CG

3 is een ge¨ısoleerd cluster van afnamepunten. Dit gebied

staat ook wel bekend als de Westroute. In tabel 5.1 zijn alle afnamepunten in dit gebied weergege-ven, alsmede de marktsegmenten die ze bedienen en gemiddelde dagelijkse gasafzet in de periode 20/10/2000 tot 20/10/2005. In de kolom ’OFF’ is weergegeven in welke mate het betreffende afnamepunt geen gasstroom doorlaat.

Wat opvalt is dat er zeven stations zijn die een groot deel van het jaar geen stationsstroom heb-ben: hun OFF-percentage is hoger dan 30%. Dit duidt op verschillende ring- en boomstructuren in dit deel van het gasnet. Verder is te zien dat A11 en A15 de grootste gasafzet hebben op de

Tabel 4.1: Afnamepunten in het Westland gespecificeerd naar marktsegment

Afnamepunt q (in %)¯ OFF % Huish. % Tuinb. % Ind. %

A1 5,833 1,5 70,7 29,0 0,3 A2 4,087 43,2 83,3 15,8 0,9 A3 7,743 0,1 99,0 0,0 1 A4 11,667 0,2 74,2 25,6 0,2 A5 2,255 51,8 94,7 0,0 5,3 A6 0,496 70,3 0,0 0,0 100,0 A7 4,183 44,2 76,1 19,8 3,8 A8 4,056 0,8 99,1 0,0 0,9 A9 0,755 0,3 100,0 0,0 0,0 A10 2,505 35,5 96,4 0,0 3,6 A11 14,545 0,1 7,4 92,6 0,0 A12 3,365 0,3 51,9 45,2 2,9 A13 8,411 0,93 91,3 0,0 8,7 A14 4,933 42,0 38,4 61,0 0,6 A15 22,589 1,5 80,0 17,6 2,4 A16 2,583 35,7 99,0 0,0 1

met q(A3) in figuur 2.1.

4.3.1 Verband effectieve temperatuur en gasafzet

In figuur F.1 zijn grafieken van de totale dagelijkse gasafzet van alle afnamepunten langs de West-route en de effectieve temperatuur weergegeven. Er zijn vijf duidelijke periodes in deze grafieken te herkennen: de gasafzet piekt in de periodes waarin de effectieve temperatuur laag is. In de periodes waarin de effectieve temperatuur juist hoog is, zien we een zichtbaar stationair gedrag van de dagelijkse gasafzet. Het verband tussen de effectieve temperatuur en de gasafzet is weergegeven in figuur 4.2.

Beneden de effectieve temperatuur van 15 graden lijkt er een lineair verband tussen de effectieve temperatuur en de dagelijkse gasafzet te bestaan. Boven deze temperatuur vlakt het verband zeer snel af en lijkt de gasafzet temperatuursonafhankelijk te zijn. In de tabel 4.2 zijn de resultaten weergeven van lineaire regressie van de effectieve temperatuur op de gasafzet, volgens de volgende regressievergelijking:

qj= β0+ β1Xj+ j j∼ (0, σ2), j = 1, . . . , 1827

waarin

X = 

Teff als Teff− T∗< 0

0 als Teff− T∗≥ 0

(4.3) de effectieve temperatuur groter dan de stookgrens is. In tabel 4.2 is te zien dat de R2 toeneemt en de Mean Average Percentage Error (MAPE) (definitie 3) afneemt als er een stookgrens wordt ingevoerd.

De t-waarden behorende bij de geschatte co¨effici¨enten zijn opmerkelijk groot. Dit duidt op een sterk lineair verband, mede ook omdat de R2 _{van de schatting erg hoog is. Toch valt de waarde}

Tabel 4.2: Lineaire regressie Teff op de gasafzet T∗ βˆ0(×106) sβˆ0(×10 6 ) βˆ1(×106) sβˆ1(×10 6 ) R2 M AP E(%) ∞ 38,62 (0,19) -1,40 (0,01) 0,86 0,12 15 42,68 (0,16) -2,01 (0,02) 0,91 0,09 12 42,78 (0,19) -2,05 (0,03) 0,86 0,09

Figuur 4.2: Verband tussen dagelijkse gasafzet en de effectieve temperatuur

4.3.2 Verschil in gasafzet op weekdagen

Het GFF-model veronderstelt dat de gasvraag op werkdagen zich anders gedraagt dan de gasvraag in het weekend. Om deze reden is de weekendfactor ingevoerd. Voordat het GFF-model wordt getoetst, wordt er eerst onderzocht of deze veronderstelling wel juist is. Indirect gaat onder deze veronderstelling schuil, dat de gasvraag op werkdagen onderling niet verschilt. Is dit wel het geval, dan is het correct om ook een zogenaamde ’dagfactor’ in te voeren. Omdat de dagelijks gasvraag niet normaal is verdeeld, kan er geen beroep op de t-toets [19](p.388) worden gedaan. Er zal op twee verschillende manieren worden onderzocht of de gasvraag op weekdagen van elkaar verschilt: De Bonferroni methode en de Mann-Whitney-toets. Beide methodes veronderstellen dat de da-gelijkse gasafzet onderling onafhankelijk zijn. Voor de uitleg van deze methodes wordt verwezen naar Appendix B.

De Mann-Whitney toets wordt hieronder toegepast op de dagelijkse gasvraag. In groep A verza-melen we de gasvraag op werkdagen en in groep B die op weekenddagen. In ons geval is n = 1305 en m = 522. We sorteren de data in beide groepen en wijzen elke observatie een rangnummer toe. De sommen van deze rangnummers zijn gelijk aan: TA= 1, 229 × 106 en TB= 4, 405 × 105.

Toepassing van (B.1)-(B.3) geeft E(TB) = 4, 771 × 105en Var(TA) = 1, 038 × 108. Dus

U =4, 405 × 10

5_{− 4, 771 × 10}5

p

Voor een tweezijdige toets wordt de nulhypothese al op een significantieniveau van α = 0.01 verworpen.

De Mann-Whitney-toets kan ook worden gebruikt om de volgende hypothese te toetsen: H0: µd= µj tegen H1: µd6= µj d 6= j.

waarin d, j staat voor de weekdag d, j ∈ {1, . . . , 7}. In dit geval is n = m = 261 en de verwachting en de variantie onder de nulhypothese van de som van de rangnummers voor alle groepen is respectievelijk gelijk aan 6, 825 × 104 _{en 2, 969 × 10}6_{. In de onderstaande tabel staan de waarden}

van de toetsingsgrootheid uit (B.3). Indien de waarde is cursief is gedrukt betekent dat voor een tweezijdige toets de nulhypothese op een significantieniveau van α = 0.05 wordt verworpen. Tabel B.2 laat zien dat de dagafzet op zondagen significant afwijkt van alle werkdagen. De zaterdag wijkt weliswaar minder significant af van de werkdagen, maar de vergelijkingen met woensdag en vrijdag geven toch nog grote waarden voor de toetsingsgrootheid. De werkdagen onderling verschillen weinig en ook de nulhypothese dat de gasvraag op zaterdag niet afwijkt van die op zondag wordt geaccepteerd.

We concluderen na het uitvoeren van Mann-Whitney-toets dat de weekendafzet significant verschilt van de afzet op werkdagen. In § B.3 staan de resultaten van de Bonferroni-methode.

4.4

Resultaten GFF-voorspelling

In deze paragraaf wordt het GFF-model getoetst. Er zal niet alleen gekeken worden hoe goed dit model voorspelt, maar ook zal worden onderzocht wanneer het minder goed voorspelt. Hierin wordt een specificatie gemaakt naar de volgende aspecten:

• Periode in het jaar • Dag in de week • Uur op de dag • Temperatuur • Robuustheid

4.4.1 De toetsingsgrootheid

Het relatieve absolute verschil tussen voorspelling en de realisatie wordt ook wel de MAPE ge-noemd. Het MAPE is een criterium waarop de nauwkeurigheid van de voorspelling beoordeeld wordt. Voor N voorspellingen is de MAPE als volgt gedefinieerd.

Definitie 3 De Mean Average Percentage Error (MAPE) van de voorspellingen ˆqi voor qi

met 1 ≤ i ≤ N is gegeven door: MAPE=_N1 PN

i=1 |qi−ˆqi|

qi .

Omdat de absolute relatieve voorspelfouten niet normaal zijn verdeeld, kan er geen beroep op de t-toets [19](p.388) worden gedaan. Aangezien de Bonferroni-methode veelal in erg brede betrouw-baarheidsintervallen resulteert, wordt de Mann-Whitney-toets, die geen bijzondere verdeling van de stochasten verondersteld, als geschikte toetsingsgrootheid gezien.

voorspelling respectievelijk gelijk is aan de waarde van het vorige uur, hetzelfde uur op de vorige dag en het voortschrijdende uurgemiddelde volgens (A.3). In formulevorm:

ˆ qn(d,i) = qd,i−1 (4.5) ˆ qn24(d,i) = qd−1,i (4.6) ˆ qsm(d,i) = q¯d−1,i. (4.7)

4.4.2 Periode in het jaar

Het GFF-model is getoetst op basis van de data in de volgende periodes: • Periode 1: 23/10/2004 - 20/10/2005;

• Periode 2: 01/01/2005 - 31/03/2005; • Periode 3: 09/04/2005 - 11/06/2005; • Periode 4: 09/07/2005 - 29/09/2005.

Periode 2, 3 en 4 zijn deelperiodes van periode 1 wat een heel jaar beslaat. Periodes 2 en 4 zijn respectievelijk de winter- en zomerperiode. Periode 3 is een overgangsperiode van koud naar warm weer. Verwacht wordt dat de voorspellingen in de zomer nauwkeurig zijn, omdat de gasvraag in deze periode stationair verloopt. Juist in de winter en tijdens de overgangsperiode wordt verwacht dat tengevolge van veel temperatuursschommelingen de voorspellingen minder nauwkeurig zullen zijn.

In de onderstaande tabel zijn de resultaten van de GFF-voorspelling voor de uurlijkse gasvraag van de som van alle afnamepunten gelegen aan de West-route weergegeven. Opvallend is dat in

Tabel 4.3: Resultaten GFF-voorspelling totaal West-route

Voorspeller Periode 1 Periode 2 Periode 3 Periode 4 ˆ qGF F R2 0,998 0,998 0,997 0,999 MAPE (%) 3,35 3,37 4,08 2,88 ˆ qn R2 _{0,993 0,993 0,991 0,992} MAPE (%) 6,81 6,91 6,51 6,84 ˆ qn24 R2 0,979 0,985 0,967 0,985 MAPE (%) 11,43 10,61 13,91 9,59 ˆ qsm R2 0,988 0,984 0,983 0,989 MAPE (%) 9,06 8,71 10,25 8,28

alle periodes de MAPE veel lager ligt dan die van de andere voorspellers. In [21] is het GFF-model ook getoetst. Het blijkt dat de absoluut relatieve voorspelfout daarin aanzienlijk hoger ligt. Een verklaring hiervoor zou kunnen zijn dat er niet voor een cluster van afnamepunten is voorspeld, maar voor afzonderlijke afnamepunten die door een ringstructuur dezelfde eindpunten beleveren. Uitzonderlijk is dat de R2 _{van alle voorspellers uitzonderlijk hoog liggen. Oorzaak}

de nulhypotheses dat de relatieve voospelfouten in de periodes 2,3 en 4 identiek zijn verdeeld. De grootste relatieve voorspelfout van het GFF-model is op woensdag 17 november 2004 om 10 uur en bedraagt 38,29 %. In dit uur werd teveel voorspeld. De twee daaropvolgende uren op die dag vertonen ook grote voorspelfouten (21 en 12 % te weinig). Dit is de oorzaak van een landelijke arbeidersstaking die op die dag werd gehouden. Hoogstwaarschijnlijk ligt de ochtendpiek op deze bijzondere dag wat later. Dit zou verklaren waarom eerst teveel en daarna te weinig wordt voorspeld. De reden van andere grote voorspelfouten zoals die op 12 oktober 2005 en 16 maart 2005 (respectievelijk 30,63% en 28,21%) is moeilijk te ontdekken. De enige overeenkomst die de drie grootste voorspelfouten hebben is dat het in alle gevallen een woensdag betrof. Er is weinig verband te vinden tussen twintig grootste voorspelfouten en de (effectieve) temperatuur, het uur op de dag en de weekdag. Wel zien we dat de twintig grootste voorspelfouten voorkomen in de periode tussen oktober 2004 en april 2005 (periode 2 en 3). Het uur waarop het model erg slecht voorspelt wordt ook omgeven met uren waarin het GFF-model het slecht doet. De grote voorspelfout is wel vaak negatief van aard en worden vaak direct opgevolgd door positieve voorspelfouten die de extreme fout min of meer compenseert.

In figuur F.7 is een histogram van de relatieve absolute voorspelfouten in periode 1 weergegeven. Van de 8711 voorspellingen is de bijbehorende relatieve voorspelfout in 95,4% van de gevallen kleiner dan 10%, in 78,3% kleiner dan 5% en 69,9% kleiner dan 4% en in 58,2% van de gevallen kleiner dan 3%.

4.4.3 Dag in de week

Figuur 4.3: MAPE op de weekdagen in verschillende periodes

op zaterdag niet significant af van de absolute voorspelfout op zondag. We kunnen hieruit conclu-deren dat in elke periode van het jaar de absolute voorspelfout in het weekend het grootst is. Er wordt echter evenveel overschat als onderschat: het gemiddelde van de relatieve (niet absolute) voorspelfouten op de weekdagen is voor elke dag nagenoeg gelijk aan nul. In figuur 4.3 is goed te zien dat MAPE op weekdagen in periode 4 voor alle dagen (behalve ’s vrijdags) het kleinst is en in periode 2 (de overgansperiode) het grootst is. Mede uit deze grafiek kunnen we concluderen dat in de overgangsperiode minder nauwkeurig wordt voorspeld dan in de andere periodes. 4.4.4 Uur op de dag

In figuur 4.4 zijn de grafieken van de MAPE gespecificeerd naar het daguur in de vier periodes weergegeven. In de figuur is te zien dat de MAPE in elke periode rond de ochtendpiek het grootst is. Dit wil dus zeggen dat de GFF-voorspelling op elke dag het meest onnauwkeurig is tussen acht en tien uur ’s ochtends. Vooral in de overgangsperiode (periode 3) heeft de MAPE tijdens de ochtendpiek een veel hogere waarde dan op andere uren op de dag. Voorts is te zien dat in elke periode er gedurende de nacht beter wordt voorspeld dan overdag. De avondpiek zorgt over het hele jaar gezien niet tot grote verschillen in de voorspelfout. Uit de tabellen E.5 tot en met E.9 kan worden opgemaakt dat de uurgroepen 1-6 en 7-12 het meest van elkaar verschillen. Uit tabel E.8 en E.9 blijkt dat alle uurgroepen significant afwijken van de groepen 9-14 en 10-15 maar niet van elkaar. Hieruit kan bovendien worden geconcludeerd dat de meeste onzekerheid over de gasvraag tussen 9.00 en 15.00 uur ontstaat.

Figuur 4.4: MAPE gespecificeerd naar daguur

4.4.5 Temperatuur

behorende bij de voorspelfouten tussen deze groepen significant van elkaar afwijken. In de on-derstaande tabel zijn de resultaten van deze toets voor periode 2 in aan de rechterkant van de diagonaal weergegeven, alsmede de groepgemiddelden. Aan de linkerkant van de diagonaal zijn de resultaten van de toets voor dezelfde tijdsperiode in 2002/2003 weergegeven. Hieruit kan worden geconcludeerd dat de temperatuur geen invloed heeft op de MAPE. In koude periodes wordt ge-middeld net zo goed voorspelt als in andere periodes. Hoe het GFF-model voorspelt in extreem koude situaties is moeilijk te onderzoeken, omdat zulke situaties in het verleden niet vaak zijn voorgekomen en derhalve weinig gegevens van bekend zijn.

Er blijkt ook geen verband te zijn tussen temperatuurswisselingen (Xd,i− Xd−1,i) en de grootte

van de voorspelfout.

Tabel 4.4: Resultaten Mann-Whitney-toets m.b.t. de effectieve temperatuur

II1→

Groep T1 T2 T3 T4 T5 M AP E(%) Max (%)

T1 - 1,632 0,307 0,478 1,400 2,61 26,26 T2 0,063 - 1,256 1,047 0,141 3,70 23,56 T3 2,524 2,252 - 0,126 0,939 3,98 38,29 II2 T4 2,039 1,955 0,323 - 0,507 3,35 23,69 ↓ T5 1,085 1,126 1,109 1,094 - 2,98 28,21 M AP E(%) 2,60 2,69 2,35 2,39 2,59 - -Max (%) 13,07 17,86 20,32 12,88 16,36 - -4.4.6 Robuustheid Model

In deze paragraaf wordt onderzocht hoe groot de invloed van onjuiste weersvoorspellingen op de voorspelfout van het GFF-model is.

Om de robuustheid van het model te onderzoeken is gekeken wat de invloed van een onjuiste gereduceerde effectieve temperatuur op de voorspelling is. Bij de geobserveerde gereduceerde effectieve temperatuur is een verstoring uit een normale verdeling opgeteld. De resultaten zijn in de onderstaande tabel weergegeven.

De voorspelfout wordt groter naarmate de verstoring toeneemt. Ook de maximale voorspelfout neemt zeer snel toe. Er wordt geconcludeerd dat onjuiste informatie over de effectieve temperatuur een zeer grote invloed op de gemiddelde en maximale voorspelfout heeft. De invloed van een verstoring op de overige weersvariabelen is van een kleinere orde dan een verstoring op de effectieve temperatuur. Met betrekking tot deze variabelen is het GFF-model robuust. Dit is te verklaren doordat de exponenti¨ele smoothing de verstoring min of meer uitmiddelt en dat het effect op de effectieve temperatuur, die vervolgens wederom wordt gladgestreken en zoveel mogelijk van toeval wordt ontzien, erg klein is.

Tabel 4.5: Robuustheid GFF-model met betrekking tot weersvariabelen (MAPE en Max. in %)

Teff T W B

Verstoring MAPE Max. MAPE Max. MAPE Max. MAPE Max.

N(0,1) 4,08 60,19 3,36 (37,41) 3,36 (37,66) 3,36 (39,29)

N(0,2) 4,40 93,81 3,39 (38,37) 3,37 (37,60) 3,37 (40,31)

N(0,4) 4,63 138,36 3,29 (37,55) 3,38 (38,38) 3,37 (43,63)

4.5

Conclusies

In deze paragraaf worden de conclusies uit hoofdstuk 4 opgesomd.

5

Een tijdreeksmodel voor alle afnamepunten

5.1

Inleiding

In dit hoofdstuk wordt getracht voor elk afnamepunt voor de uurlijkse gasvraag naar zowel G-gas als H-gas een nieuw stabiel en valide model te maken. De verkregen modellen worden analoog aan de analyse van het GFF-model onderzocht op het voorspelgedrag op verschillende weekdagen en uren en op de robuustheid van het model met betrekking tot de effectieve temperatuur.

Met behulp van de theorie der univariate tijdreeksanalyse (Appendix C) is geprobeerd een zo goed mogelijk model voor de vraag naar G- en H-gas te vinden. Daartoe wordt er enerzijds ge-streefd naar een kleine relatieve en maximale voorspelfout en anderszijds naar de stabiliteit van de parameters in het model. In deze hoofdtekst wordt de aandacht gelegd op de analyse van twee afnamepunten in het vereenvoudigde gasnet in figuur 2.1; een samenvatting van de analyse van de overige afnamepunten is weergegeven in de tabellen vanaf E.10.

5.2

Analyse

Periode

De periode waarop de modellen zijn gebaseerd is 5 november 2004 tot en met 25 februari 2005, een periode die exact 16 weken beslaat. Deze periode is gekozen omdat hierin over het algemeen in het G-gasnetwerk het meest wordt gecomprimeerd. Bovendien worden dan twee overgangssitu-aties met betrekking tot de temperatuur meegenomen: Vanaf november tot medio januari daalt de temperatuur, waarna zij zich eind februari langzaam onttrekt aan de winterse temperaturen, enige uitschieters daargelaten.

Stationariteit

Indien de tijdreeks stationair (definitie 4 in §C.1) is, convergeert de variantie van de lange ter-mijnvoorspellingen voor deze tijdreeks. Dit is daarom een zeer belangrijke eigenschap van een stationaire tijdreeks. Op basis van Augmented Dickey Fuller-toets en de Philips-Perron-toets is onderzocht of de modelschatting unit-roots bevatten. Deze toetsen zijn voor verschillende data-specificaties (trend `en constante, trend noch constante, constante) uitgevoerd waarbij maximaal 170 vertragingen zijn meegenomen. Dit aantal vertragingen is gekozen omdat verwacht wordt dat in de verklaring van een huidige observatie, de 168ste _{vertraging (dit is precies het aantal uren in}

´

e´en week) een erg belangrijke rol speelt. Dit is onder andere te zien in de eerste grafiek in figuur F.3. Naast deze 168 vertagingen worden willekeurig nog twee extra vertragingen meegenomen. De resultaten zijn in tabel 5.1 samengevat. Hierin staat tussen haken de p-waarde behorende bij de toetsingsgrootheid. Over het algemeen zijn deze toetsen gevoelig voor uitschieters. In tabel E.10 zijn de waarden van deze toetsen voor de overige afnamepunten weergegeven. De data

wor-Tabel 5.1: Stationariteitstoetsen voor afnamepunten q(A5) en q(A10)

Criterium ADF (Schwartz) PP (Barlett)

Specificatie q(A5) q(A10) q(A5) q(A10)

Trend en Constante -5,83 (< 0, 001) -5,93 (< 0, 001) -6,94 (< 0, 001) -7,33 (< 0, 001) Constante -5,43 (< 0, 001) -5,89 (< 0, 001) -7,50 (< 0, 001) -7,34 (< 0, 001)

Geen -0,59 (0,463) -0,08 (0,656) -1,58 (0,108) -0,52 (0,493)

beschouwing gelaten. De gasvraag is op alle afnamepunten stationair. Autocorrelatie

In figuur F.3 zijn de grafieken van de autocorrelatie- en de parti¨ele autocorrelatiefunctie van af-namepunt q(A5) weergegeven. In de linker figuur zien we een 24-uurs patroon. Ook de parti¨ele

autocorrelatieco¨effici¨ent heeft een relatief groote waarde bij de 24ste vertraging. De pieken van de 24-uursperiode is in uur 96 het kleinst en zwengelt vervolgens weer aan tot uur 168. De Box-Pierce Q-statistiek (C.19) heeft voor alle vertragingen een significante waarde, waarbij p, het aantal ver-tragingen, gelijk aan 170 is. Gelet op de correlogram van de data en de bovenstaande grafieken, ligt het voor de hand bij de modelselectie een seizoensterm mee te nemen.

Modelselectie

Met behulp van de methode van Hassan en Rissanen wordt de orde (p) van het AR-model be-paald. Voor de tijdreeksen q(A5) en q(A10) is deze orde gelijk aan 190 met bijbehorende Akaike

Informatie Citeria respectievelijk gelijk aan 22,49 en 21,66. De orde die het Akaike Informatie Criterium (C.24) bepaalt kan te hoog zijn, omdat het onderliggende ARMA-model kan worden benaderd met een AR(∞)-model. Het ARMA(169,169)-proces minimaliseert bij beide tijdreeksen het Schwartz-criterium (C.25).

5.3

Modelspecificatie en stabiliteit

Achtereenvolgens wordt een additief en multiplicatief model voor de tijdreeksen q(A5) en q(A10)

geschat. Er wordt geadviseerd om niet teveel termen in de modelspecificatie mee te nemen. Aangezien een ARMA-model kan worden benaderd door een AR(∞)-model, worden alleen de termen in de modelspecificatie meegenomen die met betrekking tot significantie dominant zijn ten opzichte van de overige termen. De modelschatting gaat op iteratieve niet-lineaire wijze en niet met behulp van ’backcasting’ [10](p.10) omdat de orde van het MA-proces te groot is. In de modelselectie wordt geprobeerd de effectieve temperatuur op te nemen. Deze variabele is bij de meeste G-gasafnamepunten significant maar niet dominant. Overigens is de effectieve temperatuur wel Granger causaal met betrekking tot de gasvraag. Voor de G-gasafnamepunten waarbij de effectieve temperatuur niet significant is, wordt op een dummyvariabele D1teffgeregresseerd, die op

elke dag gelijk is aan de effectieve temperatuur voor de uren 6 tot en met 19 en de waarde nul heeft voor de overige uren. Deze dummyvariabele blijkt voor bepaalde afnamepunten wel significant te zijn. q(A8) en q(A9) zijn op D2teff geregresserd welke op 12 uur gelijk is aan de effectieve

temperatuur en op de overige uren de waarde nul heeft. Beide variabelen zijn niet significant bij de H-gasafnamepunten. Dit is te verklaren doordat deze punten veelal industri¨ele klanten of exportstations zijn, waarvan de vraag over het algemeen stationair en temperatuursonafhankelijk verloopt. In tabel 5.2 is de modelschatting van het (additieve) ARMA-model volgens (C.11) weergegeven. In de onderste rijen staat n voor het aantal observaties enPn

i=1e2i voor de som van

de kwadratische regressiefouten. Wat opvalt is ten eerste de hoge R2, ten tweede de dominantie van de AR(1)-, AR(168)- en de AR(169)-term, alsmede de MA(168)-term. Ten derde is het merkwaardig dat de AR(24)-term op beide afnamepunten niet significant blijkt te zijn. Dat de AR(168) `en AR(169)-term erg significant zijn, zou er op kunnen duiden dat een seizoensmodel een betere en stabielere beschrijving van de data geeft. Een SAR(d)×SMA(f )-model, waarbij de ’S’ voor Seasonal staat heeft de volgende algemene vorm:

(1 − p X i=1 (αiLi))(1 − φLd)qt= (1 − q X i=1 (βiLi))(1 − ηLf)t. (5.1)

Hierin is L de vertragingsoperator waarvoor geldt Ln_(q

t) = qt−n, teen witte ruis-proces, 1 ≤ αi≤

p en 1 ≤ βi≤ q zijn de parameters behorende bij het ARMA-proces en φ en η zijn de parameters

multi-Tabel 5.2: Additief model voor afnamepunten q(A5) en q(A10)

Afnamepunt: q(A10) q(A5)

Variabele Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde

Teff -582,17 161,86 -3,5967 -765,09 236,22 -3,2389 AR(1) 0,9696 0,0091 106,52 0,9779 0,0074 131,89 AR(2) -0,0307 0,0067 -4,6131 -0,0247 0,0049 -5,0129 AR(23) 0,0273 0,0038 7,1464 0,0165 0,0029 5,7465 AR(168) 0,9302 0,0096 94,362 0,9609 0,0074 129,74 AR(169) -0,8962 0,0108 -82,979 -0,9300 0,0086 -107,63 MA(1) 0,2659 0,0217 12,239 0,2143 0,0208 10,323 MA(2) 0,0430 0,0154 2,7868 0,0561 0,0134 4,1928 MA(24) 0,0835 0,0148 5,6536 0,0915 0,0132 6,9230 MA(168) -0,7133 0,0188 -38,002 -0,7696 0,0156 -49,213 MA(169) -0,1557 0,0214 -7,2640 -0,1423 0,0208 -6,8465 R2 0,9804 0,9858 Pn i=1e 2 i 3, 53 × 1011 7, 78 × 1011 n 2519 2519

plicatief model. Als (5.1) wordt uitgeschreven, is te zien dat naast de p autocorrelatietermen het model ook p combinatietermen van het SAR- en AR-gedeelte bevat: φα1Ld+1, . . . , φαpLd+p. Een

schatter voor φ is dus een combinatie van meerdere autocorrelatietermen. In tabel 5.3 zijn de re-sultaten weergegeven van het SAR(168)×SMA(168)-model dat voor de afnamepunten A5en A10is

geschat. In de tabellen E.11-E.14 staan de modelschattingen voor de overige G-gasafnamepunten. Opvallend is dat de waarde van de SAR(168)-term nagenoeg gelijk is aan ´e´en, wat aangeeft dat de tijdreeks niet stationair is. Dit is in tegenspraak met de resultaten in tabel 5.1. Het is niet duidelijk welke conclusies hieruit moeten worden getrokken; het zal blijken dat de verwachting en variantie van de voorspellingen op de lange termijn voor deze tijdreeks convergeren wat er anderzijds op duidt dat het proces w`el stationair is.

Uit de analyse blijkt dat een SAR(24)×SAR(168)×SMA(168)-model ongeveer even nauwkeurig de data beschrijft en voorspelt, echter de parameterschattingen blijken minder stabiel. Uit de resultaten blijkt dat de seizoenstermen zeer significant zijn. Bovendien blijkt ook dat voor al-le afnamepunten de AR(1)-term erg significant is. De waarde R2 geeft een indicatie voor de nauwkeurigheid van de schattingen. De afnamepunten A8 en A9 gedragen zich uitzonderlijk. De

parameterwaarden voor de seizoenstermen wijken af van de waarden van de overige modellen; voorts is de R2 _{beduidend lager en is het moeilijk de effectieve temperatuur in het model mee te}

nemen.

Het eerste voordeel ten opzichte van het additieve model is dat er minder termen in de modelspe-cificatie zijn meegenomen. Het tweede voordeel is dat de som van de kwadratische regressiefouten in het seizoensmodel kleiner is dan in het additieve model; de R2_{’en komen overigens nagenoeg}

met elkaar overeen. Het derde voordeel ten opzichte van het additieve model is dat de para-meters in het seizoensmodel stabieler zijn. Dit blijkt uit de tabellen 5.4 en E.17. De gasvraag op deze afnamepunten is in de periode 5/11/2002 tot 25/2/2003 geregresseerd op de termen uit tabel 5.2. Vervolgens is de Wald-toets uitgevoerd, waarbij getoetst is of de verkregen parame-terschattingen gelijk kunnen zijn aan die uit tabel 5.2. Het blijkt dat voor beide afnamepunten alleen de MA(1)-term en de effectieve temperatuur stabiel zijn op een significantieniveau van 5%. Op ditzelfde significantieniveau blijkt uit tabel 5.4 dat alleen de MA(24)-term voor q(A5)

stabie-Tabel 5.3: Multiplicatief model voor afnamepunten q(A5) en q(A10)

Afnamepunt q(A10) q(A5)

Variabele Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde Co¨effici¨ent Std. fout t-waarde

Teff -585,63 158,74 -3,6892 -738,20 231,75 -3,1853 AR(1) 1,2270 0,0196 62,506 1,2082 0,0197 61,326 AR(2) -0,2771 0,0197 -14,086 -0,2534 0,0197 -12,855 AR(24) 0,0225 0,0058 3,8841 0,0207 0,0056 3,6811 SAR(168) 1,0003 0,0031 323,87 1,0065 0,0026 385,38 MA(24) 0,1564 0,0206 7,6038 0,1835 0,0204 9,0056 SMA(168) -0,7873 0,0142 -55,596 -0,8230 0,0127 -64,772 R2 _{0,9804 0,9861} Pn i=1e 2 i 3, 50 × 1011 7, 61 × 1011 n 2519 2519

ler is dan het additieve model, en dat gezien de overeenkomstige modelstructuur, dit voor alle G-gasafnamepunten geldt. Overigens zijn alle afnamepunten ook getoetst op groepsstabiliteit.

Tabel 5.4: Resultaten Wald-toets op tijdsstabiliteit van multiplicatief model

Restrictie: ˆc10(t1) = ˆc10(t2) ˆc10(t1) = ¯c8,9¯ (t2) ˆc5(t1) = ˆc5(t2) ˆc5(t1) = ¯c8,9¯(t2) Teff 0,04 (0,843) 0,50 (0,478) 0,23 (0,632) 0,52 (0,472) AR(1) 3,39 (0,066) 3,84 (0,050) 0,32 (0,575) 4,77 (0,029) AR(2) 15,18 (< 0, 001) 2,08 (0,150) 0,40 (0,523) 5,94 (0,015) AR(24) 0,49 (0,483) 1,93 (0,164) 2,50 (0,114) 2,80 (0,044) SAR(168) 0,00 (0,962) 0,66 (0,416) 2,58 (0,109) 0,81 (0,368) MA(24) 0,14 (0,712) 0,03 (0,874) 9,38 (0,002) 12,16 (0,001) SMA(168) 0,10 (0,752) 1,66 (0,198) 2,38 (0,123) 0,486 (0,486)

Indien de modellen voor alle afnamepunten groepsstabiel blijken te zijn, zou er in plaats van vele modellen ´e´en algemeen model kunnen worden opgesteld. De groepsstabiliteit is als volgt getoetst. Per G-gasafnamepunt worden op alle parameters c afzonderlijk de restrictie opgelegd dat ze 1) gelijk zijn aan het ongewogen groepsgemiddelde met betrekking tot deze parameter (¯c), of 2) ge-lijk zijn aan het gewogen groepsgemiddelde met betrekking tot deze parameter (˜c) of 3) gelijk zijn aan het ongewogen groepsgemiddelde waarbij de A8en A9vanwege afwijkende parameterwaarden

buiten beschouwing zijn gelaten (¯c8,9¯ ). Het gewogen gemiddelde ˜c is bepaald op basis van de

gemiddelde gasvraag van een punt ten opzichte van de totale gasvraag van alle afnamepunten, dus ˜ci₌P10 j=1 ¯ q(Aj) P10 k=1q(A¯ k)c i

j, waarbij i de parameter is behorende bij de i-de modelterm. Voor A5

en A10 zijn de resultaten in tabel 5.5 gegeven. De resultaten voor de overige afnamepunten zijn

samengevat in tabel E.19. De seizoensparameters voor alle afnamepunten buiten A3 en A10 zijn

groepsinstabiel ten opzichte van het ongewogen groepsgemiddelde waarbij A8en A9zijn

meegeno-men. De seizoensparameters zijn ten opzichte van het gewogen gemiddelde groepsinstabiel. Over het algemeen is de AR(24)-term en de effectieve temperatuur stabiel voor ¯c en ˜c. De seizoenspa-rameters zijn voor alle afnamepunten erg groepsstabiel ten opzichte van ˆc = ¯c_8,9¯ . Ook de overige

termen (tabel 5.5 en 5.6) zijn groepsstabiel. Geconcludeerd wordt dat buiten de afnamepunten A8 en A9 de gasvraag beschreven kan worden door een algemeen SAR(168)×SMA(168)-model,

Tabel 5.5: Resultaten Wald-toets op groepsstabiliteit voor afnamepunt q(A5) Restrictie: ˆc = ¯c ˆc = ˜c ˆc = ¯c8,9¯ Teff 0,01 (0,723) 1,46 (0,226) 0,02 (0,876) AR(1) 0,16 (0,688) 4,85 (0,028) 0,702 (0,402) AR(2) 0,38 (0,535) 4,71 (0,031) 1,19 (0,275) AR(24) 0,27 (0,598) 0,236 (0,627) 0,03 (0,850) SAR(168) 106,74 (< 0, 001) 518,74 (< 0, 001) 0,00 (0,944) MA(24) 1,98 (0,160) 2,24 (0,135) 0,64 (0,422) SMA(168) 11,93 (0,001) 26,89 (< 0, 001) 0,83 (0,361)

Tabel 5.6: Resultaten Wald-toets op groepsstabiliteit voor afnamepunt q(A10)

Restrictie: ˆc = ¯c ˆc = ˜c ˆc = ¯c8,9¯ Teff 0,60 (0,407) 7,44 (0,006) 1,41 (0,235) AR(1) 0,32 (0,574) 1,56 (0,211) 0,01 (0,905) AR(2) 0,34 (0,559) 0,84 (0,359) 0,01 (0,912) AR(24) 0,04 (0,833) 0,03 (0,864) 0,01 (0,907) SAR(168) 45,34 (< 0, 001) 297,88 (< 0, 001) 3,78 (0,052) MA(24) 0,01 (0,939) 0,03 (0,869) 0,27 (0,602) SMA(168) 0,33 (0,561) 4,56 (0, 033 2,89 (0,089)

zijn aan ¯ci8,9¯ . Uit tabel 5.4 kan voorts worden geconcludeerd dat ¯c i ¯

8,9 stabiel is over de tijd voor

de afnamepunten A5 en A10, de uitzonderlijke waarde voor de MA(24)-term daargelaten. Gelet

op de overeenkomstige modelstructuur wordt geconcludeerd dat buiten de afnamepunten A8 en

A9 de modellen zowel groeps- als tijdsstabiel zijn. Het is overigens niet heel verwonderlijk dat A9

en A8 voor instabiliteit zorgen: deze afnamepunten zijn respectievelijk een exportstation en een

afnamepunt met veel industri¨ele afnemers.

5.4

Voorspellen

In deze paragraaf wordt ingegaan op het voorspelgedrag van het SAR(168)×SMA(168)-model, dat vanaf nu kortaf SAR-model wordt genoemd. Tevens zal analoog aan GFF-model worden onder-zocht wanneer het SAR-model goed en slecht voorspelt, gespecificeerd naar uur en weekdag en wordt de robuustheid van het model met betrekking tot effectieve temperatuur geanalyseerd. Ver-volgens wordt het SAR-model vergeleken met het GFF-model. De lezer moet in het achterhoofd houden dat het GFF-model exact 24 uur vooruit voorspelt; het SAR-model voorspelt vanaf ´e´en uur vooruit.

Het voorspellen van een multiplicatief seizoensmodel gaat analoog aan het voorspellen van een ARMA-proces (C.30)-(C.34). Onder de stationariteitsvoorwaarde convergeert de variantie van de voorspelling naar de variantie van de tijdreeks. Er is al aangetoond dat de gasvraag op alle afnamepunten stationair is.

Voorspelgedrag SAR- in vergelijking met GFF-model

Tabel 5.7: Voorspelgedrag modellen voor afnamepunt q(A5) Periode t + 1 t + 2 t + 3 t + 4 t + N Additief MAPE (%) 2,01 3,72 5,13 6,05 15,48 max. fout (%) 39,25 42,42 53,51 60,03 75,08 RMSE (×104) 1,694 2,684 3,443 4,029 9,910 Multiplicatief MAPE (%) 1,94 3,60 4,93 5,99 16,73 max. fout (%) 38,54 40,22 53,28 60,22 72,09 RMSE (×104) 1,675 2,660 3,457 4,099 10,262 Theil’s U 1,011 1,010 0,991 0,983 0,966

Er kan worden geconcludeerd dat over het algemeen de SAR-voorspelling voor ´e´en periode vooruit

Tabel 5.8: Voorspelgedrag modellen voor afnamepunt q(A10)

Periode t + 1 t + 2 t + 3 t + 4 t + N Additief MAPE (%) 1,94 3,95 4,76 5,40 9,71 max. fout (%) 23,04 38,37 39,05 40,28 44,80 RMSE (×104_{) 1,409 2,613 3,026 3,305 5,888} Multiplicatief MAPE (%) 1,60 2,76 3,65 4,34 10,39 max. fout (%) 22,43 25,51 23,78 25,11 43,29 RMSE (×104) 1,331 1,866 2,423 2,856 6,207 Theil’s U 1,059 1,400 1,249 1,157 0,949

nauwkeuriger is dan de GFF-voorspelling. Voor de overige voorspellingen blijkt het GFF-model met betrekking tot de MAPE en RMSE nauwkeuriger te zijn. Een indicatie hiervoor is de Theil’s U -statistiek die bij een waarde kleiner dan ´e´en het GFF-model verkiest boven het SAR-model. De maximale voorspelfout neemt met de voorspelperiode toe. Over het algemeen geldt voor de G-gasafnamepunten dat de maximale fout voor de eerste drie periodes bij het SAR-model kleiner is dan bij het GFF-model; A1, A8en A9vormen hierop een uitzondering. Bij de H-gasafnamepunten

is de maximale fout over het algemeen alleen voor de voorspelperiode t + 1 kleiner dan die van het GFF-model. Bovendien valt op dat B2, B4 en B5 een uitzonderlijk kleine voorspelfout hebben.

Dit is te verklaren doordat deze afnamepunten veelal industri¨ele afnemers omvatten en derhalve een erg stationaire gasvraag tot gevolg hebben.

Overigens kan Theil’s U co¨effici¨ent worden gesplitst in het onzuivere deel, de variantieproportie en de covariantieproportie (zie §C.8). De waarden van deze proporties voor A5 zijn respectievelijk

gelijk aan 0,0172, 0,0027 en 0,9967 en duiden dus op een goed model (Pindyck en Rubinfeld, 1991). Voorspelling SAR- in vergelijking met ARMA-model

In de tabellen 5.7 en 5.8 is het additieve ARMA-model vergeleken met het SAR-model. Op de korte termijn is het SAR-model iets nauwkeuriger dan het ARMA-model; daarentegen geldt op de lange termijn (t + N ) dat het additieve model iets nauwkeuriger is dan het SAR-model. Wat betreft de voorspelfouten ontlopen beide modellen elkaar nauwelijks.