2 Exponentiële verbanden
4.3 Handig combineren
a
1 Doen.
b Het verschil van beide uitdrukkingen links van het isgelijkteken is 3.5u� en het verschil van beide getal-len rechts van het isgelijkteken is 157,50.
c 157,50 /3,50 = 45 euro. a
2 Omdat bij beide vergelijkingen de uitdrukkingen links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde zijn. Je kunt dus de balansmethode toepassen.
b Door u� = 28 in te vullen in één van beide gegeven vergelijkingen. Hier is gekozen om in te vullen in u� + u� = 20, maar je kunt ook de andere vergelijking daarvoor gebruiken.
c Als je de uitdrukkingen links van het isgelijkteken van elkaar aftrekt en je doet hetzelfde rechts van het isgelijkteken, dan krijg je 2u� = −16 en dus u� = −8.
Invullen in één van beide gegeven vergelijkingen geeft u� = 28. a
3 {2u� + 3u� = 51 −2u� + u� = 21
b Je moet ze optellen, want dan vallen de termen met u� weg: 2u� + −2u� = 0. c Optellen geeft 4u� = 72 en dus u� = 18.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > STELSELS VERGELIJKINGEN
PAGINA 52 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
Invullen in één van beide gegeven vergelijkingen geeft u� = −1,5. a
4 {4u� + 3u� = 51 −2u� + u� = 21 b {4u� + 3u� = 51
−4u� + 2u� = 42
c Optellen geeft 5u� = 93 en dus u� = 18,6.
Invullen in (bijvoorbeeld) de onderste vergelijking geeft −2u� + 18,6 = 21 en dus u� = −1,2. d Nu vermenigvuldig je de onderste vergelijking aan beide zijden met 3.
Het stelsel wordt dan:
{4u� + 3u� = 51 −6u� + 3u� = 63 Aftrekken geeft 10u� = −12 en dus u� = −1,2.
Invullen in (bijvoorbeeld) de onderste vergelijking geeft u� = 18,6. a
5 Je moet dan eerst de bovenste vergelijking (links en rechts van het isgelijkteken) met 5 vermenigvuldi-gen en de onderste vergelijking met 3. Je krijgt:
{10u� − 15u� = 40 9u� + 15u� = 93
Als je beide vergelijkingen bij elkaar optelt, vallen de termen met u� weg.
Je houdt over: 19u� = 133 en dus u� = 7. Dit invullen in één van de gegeven vergelijkingen, bijvoorbeeld in de bovenste. Dat levert op: 2 ⋅ 7 − 3u� = 8. Hieruit volgt u� = 2.
b 2u� − 3u� = 8 wordt u� = 1,5u� + 4.
De tweede vergelijking wordt 3(1,5u� + 4) + 5u� = 31 en zonder haakjes 9,5u� + 12 = 31 zodat u� = 2. De berekening van u� is nu makkelijker: u� = 1.5 ⋅ 2 + 4 = 7.
c Eigen antwoord. a
6 Bijvoorbeeld eerst de bovenste vergelijking met 4 vermenigvuldigen en de onderste vergelijking met 3. Je krijgt:
{−12u� + 16u� = 296 12u� + 27u� = −81
Als je beide vergelijkingen bij elkaar optelt, vallen de termen met u� weg.
Je houdt over: 43u� = 215 en dus u� = 5. Dit invullen in één van de gegeven vergelijkingen, bijvoorbeeld in de bovenste. Dat levert op: 4 ⋅ 5 − 3u� = 74. Hieruit volgt u� = −18.
b 4u� − u� = 1 wordt u� = 4u� − 1.
De tweede vergelijking wordt 2u� + 5(4u� − 1) = 1 en zonder haakjes 22u� − 5 = 1 zodat u� = 112 en u� = 4 ⋅112 − 1 = −113.
c u�2= u� − 1 wordt u� = u�2+ 1.
En dus 2u� + u�2+ 1 = 16, zodat u�2+ 2u� − 15 = (u� + 5)(u� − 3) = 0. Je vindt u� = −5 ∨ u� = 3. Bij u� = −5 hoort u� = 26 en bij u� = 3 hoort u� = 10.
a
7 Je kunt op die manier geen variabele elimineren, probeer maar... b u� + u� = 5 wordt (bijvoorbeeld) u� = 5 − u�.
De andere vergelijking wordt u�2+(5 − u�)2= 17 en zonder haakjes 2u�2−10u�+8 = 0 zodat u� = 1∨u� = 4.
Bij u� = 1 hoort u� = 4 en bij u� = 4 hoort u� = 1. a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > STELSELS VERGELIJKINGEN
{u� = 3u� + 6 u� = 3u� + 5,5
Beide formules horen bij rechte lijnen. Die twee lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt en lopen dus evenwijdig. Ze hebben geen snijpunt, dus het stelsel heeft geen oplossing.
b Het stelsel wordt {u� = 3u� + 6
u� = 3u� + 6
Beide formules horen bij dezelfde rechte lijn. Er zijn helemaal geen twee verschillende rechte lijnen, dus er valt geen snijpunt te berekenen. Elk punt van de lijn voldoet aan beide formules, daarom zijn er oneindig veel oplossingen.
a
9 Als je de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigt, dan kun je het stelsel schrijven als {3u� + 2u� = 6
3u� + 2u� = 10
Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt, krijg je 0 = −4 en dat is onwaar. Het is een strijdig stelsel. Beide formules horen bij rechte lijnen. Die twee lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt en lopen dus evenwijdig. Ze hebben geen snijpunt, dus het stelsel heeft geen oplossing.
b Als je de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigt, dan kun je het stelsel schrijven als {3u� + 2u� = 6
3u� − 2u� = 10
Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt, krijg je 4u� = −4 en levert op u� = −1. Hierbij kun je een waarde voor u� berekenen. Dit stelsel heeft precies één combinatie van 2 en u� als oplossing.
c Als je de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigt, dan kun je het stelsel schrijven als {3u� + 2u� = 6
3u� − 2u� = 6
Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt, krijg je 0 = 0 en dat is altijd waar. Hier heb je twee dezelfde vergelijkingen. Er zijn oneindig veel oplossingen.
a
10 Schrijf de onderste vergelijking als u� = 2u� + 7. Substitutie: 3u� + 2(2u� + 7) = 14 geeft u� = 0. Bij u� = 0 hoort u� = 7.
b Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 2. Het stelsel wordt {2u� + 2u� = −2
2u� − 2u� = 3
Beide vergelijkingen optellen geeft 4u� = 1 en dus u� = 0,25. En daarbij hoort u� = −1,25. c Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 3 en de tweede met 5. Het stelsel wordt
{9u� + 15u� = 978 20u� − 15u� = 95
Beide vergelijkingen optellen geeft 7u� = 1073 en dus u� = 37. En daarbij hoort u� = 43.
d Je kunt de tweede vergelijking herleiden tot u� − 2u� = 6. Beide formules beschrijven samenvallende lijnen. Er zijn oneindig veel oplossingen, namelijk alle punten die voldoen aan u� − 2u� = 6.
e Schrijf de onderste vergelijking als u� = 100u� + 0,99. Substitutie: 0,1(100u� + 0,99) + u� = 99 geeft u� = 8,1. Bij u� = 8,1 hoort u� = 81,99.
f Schrijf de bovenste vergelijking als u� = 28 − u�2.
Substitutie: 2u�−3(28−u�2) = 1 geeft (haakjes uitwerken, op 0 herleiden, abc-formule) u� = 5∨u� = −173. Bij u� = 5 hoort u� = 3 en bij u� = −173 hoort u� = −379.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > STELSELS VERGELIJKINGEN
PAGINA 54 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
beweringen tot twee vergelijkingen die samen een stelsel vormen:
{ 4u� = ℎ
2(u� + 6) = ℎ + 6
Haakjes uitwerken bij de tweede vergelijking geeft ℎ = 2u� + 6.
Substitutie in de eerste vergelijking levert 4u� = 2u� + 6, dus u� = 3. Invullen u� = 3 levert u� = 12. Dus in januari 2006 was Harry 3 jaar oud en Pieter 12 jaar oud.
12 Als u� de prijs van een Cornetto en u� de prijs van een Magnum voorstelt, dan vind je: {6u� + 5u� = 22,95
7u� + 10u� = 36,15
De bovenste vergelijking met 2 vermenigvuldigen geeft {12u� + 10u� = 45,90
7u� + 10u� = 36,15
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft 5u� = 9,75 en dus u� = 1,95. Daarbij hoort u� = 2,25. 13 Tel de twee onderste vergelijkingen op en je krijgt 5u� = 755 en dus u� = 151. Daarbij hoort u� = −351.
Beide waarden vul je in de bovenste vergelijking in en je vindt u� = 1400. 14 Je haalt uit de tekst het stelsel
{10 = 𝑈bron− 𝑅i⋅ 1,5 8 = 𝑈bron− 𝑅i⋅ 3
Trek beide vergelijkingen van elkaar af en je krijgt 2 = 1.5𝑅i en dus 𝑅i = 43 ohm. Daarbij hoort 𝑈bron= 10 + 1,5 ⋅43 = 12 ampère.
a
15 Neem aan dat u� het aantal designtafels en u� het aantal klassieke tafels is, dan vind je met behulp van de tabel:
{ 2u� + 3u� = 40 2,5u� + 2u� = 40
b De bovenste vergelijking vermenigvuldig je (bijvoorbeeld) met 2 en de onderste dan met 3. Dit geeft { 4u� + 6u� = 80
7,5u� + 6u� = 120
Trtek beide vergelijkingen van elkaar af: 3,5u� = 40 en u� ≈ 11,4. Door dit in te vullen vind je u� ≈ 5,7. c Als je 11 desigtafels en 6 klassieke tafels maakt kom je op de schuurafdeling precies uit met de uren
en houd je op de lakafdeling een half uur over.
Als je 12 desigtafels en 5 klassieke tafels maakt houd je op de schuurafdeling een uur over en kom je op de lakafdeling precies uit met de uren.
De eerste oplossing levert het minste tijdsverlies op. a
16 Neem aan dat u� het aantal designstoelen en u� het aantal klassieke stoelen is, dan vind je met behulp van de tabel: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0,5u� + 1,25u� = 40 0,75u� + u� = 40 1,5u� + 0,75u� = 40
b Je moet nu aan alle drie de voorwaarden voldoen. Teken daartoe de grafieken in één assenstelsel. Je ziet dan dat je om aan alle drie de voorwaarden te kunnen voldoen in de buurt van het snijpunt van de grafieken bij de eerste en de laatste formule moet gaan zitten.
Neem je de eerste en de laatste vergelijking dan krijg je u� ≈ 13,3 en u� ≈ 26,7 als oplossing.
Met u� = 13 en u� = 26 voldoe je aan alle drie de voorwaarden. Alleen houd je op de diverse afdelingen nogal wat tijd over. Op de lakafdeling houd je het meeste tijd over.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > STELSELS VERGELIJKINGEN
4.4 Totaalbeeld
a
1 u� = 2u� + 1 en u� = −1,5u� + 2,5.
b 2u� + 1 = −1,5u� + 2,5 geeft 3,5u� = 1,5 en dus u� = 37. Je vindt 𝑆(37,137 ). a
2 Schrijf de bovenste vergelijking als u� = −2u� + 4.
Substitutie: u� − (−2u� + 4) = 5 geeft u� = 3. En hierbij hoort u� = −2. b Schrijf de bovenste vergelijking als u� = 4u� − 3.
Substitutie: 6u� − 10(4u� − 3) + 15 = 0 geeft u� =4534. En hierbij hoort u� = 3917. c Schrijf de tweede vergelijking als u� = u�2+ 3.
Substitutie: 2(u�2+ 3) − 4u� = 22 en dus u�2− 2u� − 8 = (u� − 4)(u� + 2) = 0. Dit geeft u� = 4 ∨ u� = −2. Bij u� = 4 hoort u� = 19 en bij u� = −2 hoort u� = 7
3 Noem de lengte u� en de breedte u�, dan is u� ⋅ u� = 188 ∧ 2u� + 2u� = 102.
Herleid de tweede vergelijking tot u� = 51−u� en substitueer dit in de eerste vergelijking: (51−u�)u� = 188. Je vindt nu een lengte van 32 m en een breedte van 19 m.
4 Noem het aantal appels u� en het aantal peren u�, dan is u� + u� = 60 ∧ 0,45u� + 0,60u� = 30.
Herleid de eerste vergelijking tot u� = 60 − u� en substitueer dit in de tweede vergelijking: 0,45u� + 0,60(60 − u�) = 30.
Je vindt nu u� = 40. a
5 Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 200 en de onderste met 100. Je krijgt: {50u� + 270u� = 400
50u� − 75u� = 100
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken: 345u� = 300 geeft u� =2023. En hierbij hoort u� =7623. b Schrijf de onderste vergelijking als u� = 7u� − 1.
Substitutie: 4u� + 2(7u� − 1) = 5 geeft u� =187 . En hierbij hoort u� =3118.
c Schrijf de tweede vergelijking als u� = 0,5u� + 3 en vermenigvuldig de eerste links en rechts van het isgelijkteken met 30
Substitutie: 3(0,5u� + 3) + 10u� = 75 en dit geeft u� =13223. Hierbij hoort u� =13523.
6 Noem het aantal L-mapjes 𝐿 en het aantal ordners 𝑅, dan is 20𝐿 + 5𝑅 = 19,25 ∧ 30𝐿 + 10𝑅 = 37. Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 2tot u� = 60 − u� en trek beide vergelijkingen van elkaar af: 10𝐿 = 1,50.
Je vindt nu 𝐿 = 0,15. a
7 De grafiek van het straalvliegtuig is een rechte lijn door (10, 5900) en (14, 2700). De grafiek van het propellorvliegtuig is een rechte lijn door (10,75; 0) en (14,75; 1200). b Straalvliegtuig: u� = 13900 − 800u�.
Propellorvliegtuig: u� = −3225 + 300u�.
c 13900 − 800u� = 300u� − 3225 geeft u� = 17125 /1100 ≈ 15.568 . Ze passeren elkaar om 15:34 uur.
a
8 Schrijf de eerste vergelijking als u� = 1 − 2u�.
Substitutie geeft 2(1 − 2u�) + 3u� − 1 = 0 en dus u� = 1. Hierbij hoort u� = 3.
b Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 7 en de onderste met 2 en zet alle termen op de juiste wijze onder elkaar. Je krijgt dan
{28u� − 49u� = −35 28u� + 16u� = 30
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > STELSELS VERGELIJKINGEN
PAGINA 56 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft 65u� = 65 en dus dus u� = 1. Hierbij hoort u� = 0,5. c Schrijf de eerste vergelijking als u� = 2,5u�.
Substitutie geeft 12,5u� = 4u� + 1 en dus u� =172. Hierbij hoort u� = 175.
d Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 12 en de onderste met 18. Je krijgt dan {6u� − 4u� = 120
6u� + 9u� = 198
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft 13u� = 78 en dus dus u� = 6. Hierbij hoort u� = 24. e Schrijf de tweede vergelijking als u� = 5 − u�.
Substitutie geeft (5 − u�)2+ u�2= 13 en dus u� = 6 ∨ u� = −1. Bij u� = 6 hoort u� = −1 en bij u� = −1 hoort u� = 6.
f Schrijf de tweede vergelijking als u� = 2u�.
Substitutie geeft 2u�2= 36 en dus u� = ±√18 = ±3√2.
Bij u� = 3√2 hoort u� = 6√2 en bij u� = −3√2 hoort u� = −6√2.
9 Als je de gegevens in de formule voor de snelheid stopt dan vind je 10 = u�0+ 2u� ∧ 24 = u�0+ 5u�. Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft u� =143 en u�0=23.
De beginsnelheid is 23 m/s. a
10 Herleid de tweede vergelijking tot u� = 5 − 0,5u�. Substitutie: 𝐻 = 12 − 3(5 − 0,5u�) = 1,5u� − 3. b Herleid de tweede vergelijking tot u� = 20 − 0,1u�.
Substitutie: 𝐻 = u�(20 − 0,1u�).
11 Noem het aantal kleinere vrachtwagens u� en het aantal grote vrachtwagens u�. Dan vind je 20u� + 50u� = 1000 ∧ u� + 2u� = 44.
Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft u� = 20 en u� = 12. Er worden 20 grote vrachtwagens aangeschaft.
12 De opbrengst per maand is 𝑇𝑂 = u� ⋅ u� en na substitutie van de gegeven formule dus 𝑇𝑂 = u� ⋅ (38000 − 250u�).
De winst is daarom 𝑇𝑊 = (u� − 80) ⋅ (38000 − 250u�).
De winst is 0 als u� = 80 ∨ u� = 152 en de winst is dus maximaal als u� = 116. a
13 Vermenigvuldig de bovenste met 2 en tel ze bij elkaar op. Je krijgt 6u� + u� = 3. b Vermenigvuldig de bovenste met 3 en tel ze bij elkaar op. Je krijgt 4u� − 2u� = −2. c Je hebt nu:
{ 6u� + u� = 3 4u� − 2u� = −2
De oplossing van dit stelsel is u� = 0,25 en u� = 1,5. d Je vindt u� = 1,25.
a
14 Onderste en bovenste vergelijking van elkaar aftrekken: 2u� + 3u� = 1.
Middelste vergelijking met 3 vermenigvuldigen en van bovenste aftrekken en vereenvoudigen: u�+u� = 1. Dit stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden verder oplossen geeft u� = −1 en u� = 2. En deze waarden invullen in één van de drie gegeven vergelijkingen geeft u� = 2.
b Bovenste vergelijking heeft alleen u� en u� als onbekenden. Onderste twee vergelijkingen optellen: 3u� − 2u� = −7.
Je hebt nu een stelsel van twee vergelijkingen met u� en u� als onbekenden. Dit oplossen geeft u� = −1 en u� = 2. En deze waarden invullen in één van de drie gegeven vergelijkingen geeft u� = 3.
c Je hebt u� uitgedrukt in u� en u� uitgedrukt in u�. Deze uitdrukkingen substitueer je in de derde vergelij-king: 3u� + 3 = −1,5 zodat u� = −1,5. En dan is u� = −1 en u� = 1.
d Bovenste twee vergelijkingen van elkaar aftrekken: u� − u� = −2. Onderste twee vergelijkingen optellen: u� + 2u� = 16.
Deze twee vergelijkingen van elkaar aftrekken: 3u� = 18 geeft u� = 6. Daarbij hoort u� = 4. En dan vind je u� = 0. a 15 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
0 = 4u� + 2u� + u� 3 = u� 8 = 4u� − 2u� + u�
b Je hebt al meteen u� = 3. Dit invullen in de andere twee vergelijkingen geeft: {4u� + 2u� + 3 = 0
4u� − 2u� + 3 = 8
Beide vergelijkingen optellen geeft u� = 0,25 en daaruit vind je u� = −2. c De formule wordt u� = 0,25u�2− 2u� + 3.
Met behulp van kwadraat afsplitsen of met behulp van u�top = −2u�u� vind je de top 𝑇(4, −1) van deze dalparabool.
d Ga weer uit van u� = u�u�2+ u�u� + u� en stel een stelsel van drie vergelijkingen met met onbekenden u�, u� en u� op. Los dit stelsel op en je vindt u� = 0,25u�2− 0,5u� + 0,75. De top van deze dalparabool is 𝑇(1; 0,5). 16 Noem het aantal kcal per gram eiwit u�, per gram vet u� en per gram koolhydraten k gram. Stel nu drie vergelijkingen met deze drie onbekenden op. (Je kunt er wel vier opstellen, die vierde is niet nodig voor de berekening, maar wel een mooie controle.)
Los vervolgens het stelsel op.
Je zou moeten vinden: in 1 gram vet zitten 9 kcal, in 1 gram koolhydraten zitten 4 kcal en in 1 gram eiwit zitten 4 kcal.
PAGINA 58 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013