2 Exponentiële verbanden
2.3 Exponentiële functies
a
1 De uitkomst, de u�-waarde verdubbelt dan. b De uitkomst, de u�-waarde halveert dan.
c 20= 1, want 21= 2 en als u� met 1 afneemt moet je halveren, dus 20= 21−1=12 ⋅ 21= 1. d 2−1= 20−1=12⋅ 20= 12.
e Nee, naar links moet je elke gehele stap halveren en dus blijf je boven 0. a
2 Het wordt het spiegelbeeld van de grafiek bij de vorige opgave met alle uitkomsten negatief. Je spiegelt de grafiek van de vorige opgave dus in de u�-as.
b Zie tabel:
u� 0 1 2 3 4
u� 1 −2 4 −8 16
c Bij deze functie kun je geen grafiek tekenen, want je kunt de punten niet op een zinvolle manier ver-binden. Er lijken afwisselend positieve en negatieve uitkomsten te zijn, maar dat is alleen bij gehele getallen. Hoe het daar tussenin zit is onduidelijk. Je rekenmachine zal (−2)0,5ook niet kunnen bere-kenen.
a
3 Als u� met 1 verdubbelt de uitkomst en als u� met 1 afneemt halveert de uitkomst. b Zie de tabel.
u� −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
u� 0,375 0,75 1,5 3 6 12 24 48 64
c De rekenmachine geeft bij u� = 0,5 de uitkomst u� ≈ 8,485.
En dus vind je verder achtereenvolgens ongeveer 16,970, 33,940, 4,243 en 1,121. d Eigen antwoorden.
e De lijn u� = 0. a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN
b De lijn u� = 3. c Eigen antwoorden. d Als u� = −6.
a
5 Als u� met 1 halveert de uitkomst en als u� met 1 afneemt verdubbelt de uitkomst. b Zie de tabel.
u� −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
u� 64 48 24 12 6 3 1,5 0,75 0,375
c De rekenmachine geeft bij u� = 0,5 de uitkomst u� ≈ 4,243.
En dus vind je verder achtereenvolgens ongeveer 8,486, 16,972, 1,121 en 0,561. d Eigen antwoorden.
e De lijn u� = 0. f De lijn u� = −5. a
6 Zie tabel. Hij is in twee decimalen nauwkeurig.
u� −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
u� 1,98 2,96 4,44 6,67 10 15 22,5 33,75 50,63
b Doen. c Zie figuur.
d 10 ⋅ 1,5u�− 20 = 20 volgt 10 ⋅ 1,5u�= 40 en dus 1,5u�= 4. Door inklemmen vind je u� = 3,419....
De oplossing lees je uit de figuur af: u� ≤ 3,419.... Op twee decimalen nauwkeurig betekent dit u� ≤ 3,41 of (wat hetzelfde is op twee decimalen nauwkeurig) u� < 3,42.
7 Je begint met een tabel bij u� = 20 ⋅ 0,8u�te maken vanuit de beginhoeveelheid.
u� −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN
PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
Van alle uitkomsten trek je nog 5 af en je kunt de grafiek tekenen. 20 ⋅ 0,8u�+ 5 = 10 geeft 0,8u�= 0,25, zodat u� = 6.212....
De oplossing van de ongelijkheid wordt u� ≥ 6.22.
8 Omdat de asymptoot u� = 10 is, geldt in de gegeven formule u� = 10. De formule komt er nu zo uit te zien: u� = u� ⋅ u�u�+ 10.
𝐴(0, 40) invullen geeft: u� ⋅ u�0+ 10 = 40 en dus u� = 30.
𝐵(4, 25) invullen geeft: 30 ⋅ u�4+ 10 = 25 en dus u�4= 0,5 zodat u� = 4
√0,5 ≈ 0,84. De gevraagde formule wordt u� = 30 ⋅ 0,84u�+ 10.
9 Omdat de asymptoot u� = −3 is, geldt in de gegeven formule u� = −3. De formule komt er nu zo uit te zien: u� = u� ⋅ u�u�− 3.
𝑂(0, 0) invullen geeft: u� ⋅ u�0− 3 = 0 en dus u� = 3.
𝐴(4, 6) invullen geeft: 3 ⋅ u�4− 3 = 6 en dus u�4= 3 zodat u� = 4
√3 ≈ 1,32. De gevraagde formule wordt u� = 3 ⋅ 1,32u�− 3.
a
10 Zie tabel.
u� −3 −2 −1 0 1 2 3
u� 142,22 106,67 80 60 45 33,75 25,31
b Je moet alle uitkomsten in de tabel nog met 12 verhogen. De punten uit deze nieuwe tabel zet je in een assenstelsel.
c De lijn u� = 12.
d 60 ⋅ 0,75u�+ 12 = 15 geeft u� ≈ 10,41. De oplossing van de ongelijkheid lees je uit de grafiek af: u� > 10,4 (of u� ≥ 10,5).
a
11 De lijn 𝑃 = 1. Deze asymptoot betekent dat de druk in de band nooit precies gelijk wordt aan de druk van de buitenlucht, hij blijft er altijd net iets boven.
b Omdat niet bekend is hoeveel druk er in de band zit voor het oppompen. c 32 dagen na het oppompen, eigenlijk in de loop van dag 31 na het oppompen. 12 Je vindt ongeveer u� = 5 ⋅ 0,775u�+ 5.
13 Je vindt ongeveer u�1= 6 ⋅ 0,64u�en u�2= 1 ⋅ 1,71u�+ 2. a
14 De omgevingstemperatuur is 20°C en het temperatuursverschil is dus 𝑇 − 20. Volgens de tekst neemt dat temperatuursverschil met een vast percentage af. Er is daarom sprake van een vaste groeifactor en dus van exponentiële groei van dit temperatuursverschil.
b u� is de groeifactor per minuut van het temperatuursverschil, dus u�15= 13. Daaruit volgt u� = 15√13 ≈ 0,93
c 𝑇 = 60 ⋅ 0,93u�+ 20
d Maak een tabel. Je vindt dat dit op u� = 33 voor het eerst het geval is. 15 De formule is ongeveer 𝑇 = 20 − 14 ⋅ 0,93u�.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN
2.4 Totaalbeeld
a
1 1,05
b De groeifactor per dag is 1,0524= 3,23, dus het groeipercentage per dag is 223.
c 4
√1,05 ≈ 1,0123, dus 1,23% per kwartier.
d Maak een inklemtabel om 1,05u�= 2 op te lossen. Je vindt u� ≈ 14,2 uur. a
2 0,84
b 12
√0,84 ≈ 0,986, dus 1,7% per maand.
c Maak een inklemtabel om 0,84u�= 0,5 op te lossen. Je vindt u� ≈ 3,98 jaar, dus ongeveer 4 jaar. a
3 𝑍 = 310 + 20u�
b Ongeveer 6,5% per jaar, want alle delingen van twee opeenvolgende aantallen komen ongeveer uit op 1,065.
c 𝑍 = 310 ⋅ 1,065u�
d Lineaire groei: 310 + 20u� = 500 geeft u� = 9,5, dus in 2017.
Exponentiële groei: 310 ⋅ 1,065u�= 500 geeft met een tabel u� ≈ 7,6, dus in 2015. 4 u� = 4
√0,5 ≈ 0,84 en (na één van beide punten in de formule invullen nu u� bekend is) u� ≈ 28. 5 Maak zelf uitgebreide uitwerkingen!
u�1≈ 5 ⋅ 0,63u�en u�1≈ 5 ⋅ 0,63u�− 2. a
6 1000 ⋅ 1,0255≈ 1131.41.
b De groeifactor per jaar is 1,025. Als de bank jaarlijks rente bijschrijft wordt telkens het bedrag afgerond op centen. Daardoor kunnen kleine verschillen ontstaan in het saldo na 5 jaar.
c 12
√1,025 ≈ 1,00206, dus ongeveer 0,2% per maand. a
7 9 uur.
b 3
√0,5 ≈ 0,794, dus een afname van 20,6% per uur.
c Maak een inklemtabel om 1000 ⋅ 0,794u�= 50 op te lossen. Je vindt ongeveer u� ≈ 13 uur. a
8 𝑁 ≈ 179200 + 2500u�
b Ga na: 179200 ⋅ 1,01366≈ 194300. c 𝑁 = 179200 ⋅ 1,0136u�
d Lineaire groei: 179200 + 2500u� = 200000 geeft u� = 8,32, dus in 2015.
Exponentiële groei: 179200 ⋅ 1,0136u�= 200000 geeft met een tabel u� ≈ 8,1, dus ook in 2015.
9 Bepaal eerst de groeifactor per jaar van het aantal inwoners van Afrika. Ongelijkheid: 8721,027u� > 38641,015u�.
Grafisch oplossen geeft: u� ≥ 127. Dus dit zal in 2127 gebeuren. a
10 20°C.
b 6°C.
c Doen, maak eerst een tabel.
d Maak een tabel. Je vindt dat dit aan het begin van de 12e minuut voor het eerst het geval is. 11 u� = 10 en u� ≈ 0,794.
a
12 De groeifactor per jaar is 1,03. De groeifactor per maand is 12
√1,03 = 1,002466....
b Denk om het tussentijds afronden op centen nauwkeurig. Je hebt na een jaar een spaartegoed van €1024,26 en dat zou €1030,00 moeten zijn. Het verschil lijkt gering, maar bedenk dat het vaak om grotere bedragen gaat.
c Je hebt na een jaar een spaartegoed van €1030,42 en dat zou €1030,00 moeten zijn. Dus jij wordt blij! d Je hebt na een jaar een spaartegoed van €1029,18 en dat zou €1030,00 moeten zijn.
13 Maak een tabel. Je krijgt een spaartegoed van €1333,17. (Denk weer om tussentijds afronden op centen nauwkeurig.)
3
Statistiek
3.1 Steekproeven
a
1 De theatereigenaar of een onderzoeksbureau in opdracht van theatereigenaren. b Nee, niet voor allemaal, er zullen bezoekers zijn die geen drankje willen drinken.
c Ja, er zijn grote theaters met voorstellingen die duur zijn, maar er zijn ook kleine, meer alternatieve theaters, hier zullen over het algemeen andere mensen komen.
2 Je kunt bij verschillende theaters in het land bij verschillende voorstellingen aan de bezoekers vragen hoe ze de avond beleefd hebben en ook vragen naar de wachttijden in de pauze en bij de garderobe. Maar welke theaters neem je dan? En welk soort voorstellingen, of maakt dat niet uit? En stel je je vragen voor de voorstelling of na afloop? En wat vraag je precies? En hoeveel mensen bevraag je? a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK
PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013
b Alle theaterbezoekers uit zijn regio. Maar misschien ook nog wel mensen uit zijn regio die nu geen theaterbezoeker zijn, maar dat misschien wel kunnen worden als je het theaterbezoek aangenaam voor ze maakt.
c Die vraag is niet eenvoudig te beantwoorden. Je zou kunnen beginnen met het bevragen van mensen die zijn theater bezoeken, bijvoorbeeld een maand lang elke voorstelling 20 willekeurige bezoekers. Maar misschien weet je nog wel wat beters te verzinnen.
4 Bijvoorbeeld zou je willen weten:
> in welke leeftijdscategorie de bezoeker zit;
> het geslacht;
> of het een regelmatige bezoeker is;
> of het wachten op een drankje als vervelend wordt gezien;
> of het een goed idee is om het drankje bij de prijs van het kaartje in te stoppen zodat het van tevoren kan worden klaargezet.
Maar je kunt vast nog wel meer verzinnen. a
5 De 1600 leerlingen.
b Minimaal ongeveer 100, hier is geen vaste formule voor, je moet een redelijke hoeveelheid hebben. c Dit is niet representatief voor de hele school. Als je bijvoorbeeld een 6 vwo klas vraagt krijg je heel
andere antwoorden dan een 2 havo klas.
d Je kunt bijvoorbeeld uit elke jaarlaag (bijvoorbeeld 2 havo, 4 vwo, ...) 10 leerlingen vragen. Die zou je willekeurig moeten kiezen, door tijdens de pauze door de school te lopen en willekeurig leerlingen aan te spreken. Hier zijn veel goed antwoorden mogelijk, je kunt bijvoorbeeld ook van elke jaarlaag éé mentor vragen om de vragenlijst aan 10 willekeurige leerlingen in zijn/haar klas te geven.
a
6 Alle konijnen op Texel.
b Je kunt bijvoorbeeld op verschillende plekken op Texel konijnen proberen te vangen en deze onderzoe-ken. Wanneer blijkt dat er bijna geen enkel konijn ziek is dan zal het wel meevallen. (Biologen hebben hier een bijzondere systematiek voor, maar daar hoor je later wellicht meer over.)
a
7 De populatie zijn mannen boven de 30 jaar uit Nederland.
b Nee, de steekproef is niet representatief. Lezers van De Volkskrant is een hele specifieke doelgroep, zeker niet een gemiddelde doorsnede van de Nederlandse bevolking.
c Eigen antwoord.
Sommige vragen zijn wel erg slecht. Op de vraag ‘Vindt u zichzelf gezond?’ krijg je natuurlijk geen objectieve antwoorden en iedereen heeft een ander beeld van wat ‘gezond’ is. Net als de vraag ‘Rookt u?’. Dan moet je toch wel vragen naar de hoeveelheid. En zo heb je zelf vast ook wel commentaar. Goede vragen stellen is niet zo gemakkelijk...
a
8 Eigen antwoord. b Doen, eigen antwoord.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK