Deze sectie doet verslag van een zoektocht naar een wachtrijmodel dat resultaten oplevert die overeenkomen met de resultaten van de simulaties voor de situatie waarbij er geen Pre Alerts worden gebruikt.
6.1 Het M/M/s model voor de Inbound stroom
Zoals eerder aangegeven komen de resultaten van de simulatiemodellen voor de situatie zonder Pre Alerts overeen met de bij het LC gemeten doorlooptijden. Een verdere bevestiging van deze resultaten zou gemaakt kunnen worden met behulp van de wachtrijtheorie, mocht deze een model kunnen bieden dat de situatie binnen het LC goed weergeeft. Om dit uit te vinden is in eerste instantie naar het model voor de Inbound stroom gekeken. Dit is zoals bekend een model waarbij batches volgens een Poisson proces aankomen. De losse onderdelen in deze batches worden vervolgens doordeweeks door twee aanwezige
medewerkers opgepakt en in het weekend door één medewerker. De verwerkingstijden van deze onderdelen volgen een Lognormale verdeling. Dit levert een eerste probleem op, aangezien een wachtrijmodel voor deze situatie niet ongevoelig is voor de verdeling van de verwerkingstijden. Dit is zo vanwege de aanwezige wachtruimte. Het vervolg van deze sectie maakt echter de aanname dat de verwerkingstijden wel Negatief Exponentieel verdeeld zijn. Dit is gedaan om te onderzoeken of een wachtrijmodel met deze aanname eventueel ook realistische resultaten oplevert.
De simpele opzet van de beschreven situatie leent zich voor een analyse met behulp van een M/M/s model. In dit model komen producten volgens een Poisson proces bij s
Servers aan. Deze Servers behandelen de producten met een Negatief Exponentieel verdeelde bewerkingstijd. Een eerste probleem met dit model zit in het feit dat het aankomstproces op basis van batches niet meegenomen kan worden. Men zou in het model wel het
aankomstproces van de batches kunnen opnemen, in plaats van dat van de onderdelen. Dan zou de verwerkingstijd van de producten in dit model niet de verwerkingstijd van de losse onderdelen zijn, maar de verwerkingstijd van de totale batches (oftewel het product van de gemiddelde batchgrootte en de losse verwerkingstijd per onderdeel). Met dit model zou echter niet de wachttijd van losse onderdelen bepaald kunnen worden, maar juist alleen de wachttijd van complete batches. Dit resultaat zou moeilijk te vergelijken zijn met de resultaten van de
simulaties. Dit is de reden dat voor deze sectie de aanname is gemaakt dat er geen batches bij de Servers aankomen, maar losse onderdelen. Een andere complicatie treedt op bij het aantal aanwezige Servers. In de simulatiemodellen verschilt dit, maar het wachtrijmodel heeft een constante invoer nodig. Eerst is er dan ook gekeken naar een situatie waar altijd twee Servers aanwezig zijn.
6.2 Gegevens en resultaten
Een ander aspect van de simulaties dat in een exact model meegenomen moet worden, is het feit dat er momenten in de simulaties zijn wanneer er geen onderdelen aankomen en/of verwerkt worden. Wachtrijmodellen gaan uit van continu mogelijke aankomsten en
vertrekken van onderdelen. Om dit mee te nemen, dienen de gebruikte gegevens aangepast te worden. In de simulaties voor de Inbound stroom komen er per dag gemiddeld 12,7 batches aan met een gemiddelde grootte van 4,14 onderdelen. Dit komt neer op gemiddeld 52,58 onderdelen per dag en deze waarde zal gebruikt worden voor de benodigde
aankomstintensiteit λ. Voor het wachtrijmodel zal ervan uitgegaan worden dat deze
aankomsten verspreid worden over 24 uur. In het simulatiemodel hebben de Servers verder 12,5 uur om producten te verwerken. Zij doen dit met een gemiddelde verwerkingstijd van 0,41 uur. Dit houdt in dat één Server op een dag gemiddeld 30,61 producten kan verwerken en deze waarde zal dan ook gebruikt worden als de verwerkingsintensiteit μ. Op basis van deze gegevens wordt de doorlooptijd voor een M/M/2 model gegeven door:
(2, ) 1
2
P
Waarbij P(2,ρ) de kans is dat een aankomende klant in dit systeem moet wachten. Hierbij geldt dat ρ = λ/μ. Met s als algemene waarde voor het aantal Servers geldt:
1 1 0 1 1 ( , ) ! 1 / ! ! 1 / s s n s n P s s s n s s
Als men de bovenstaande waarden voor λ en μ in deze formules invoert, dan komt men op een gemiddelde doorlooptijd van 0,1245 dagen. Dit komt neer op drie uur. Voor een model waar
er altijd twee medewerkers aanwezig zijn is het logisch dat de doorlooptijd naar beneden gaat in vergelijking met de resultaten van de simulatie, maar de nu gebleken reductie is niet realistisch. De vraag is nu wat hier de oorzaak van is. Om dit te bepalen zijn er een aantal simulaties uitgevoerd. De resultaten hiervan zijn hieronder te vinden.
6.3 Simulaties
Eerst is het model voor de Inbound stroom zodanig aangepast dat er ook in het weekend twee Servers aanwezig zijn. Deze Servers opereren nog wel volgens de gebruikelijke werktijden en productiviteit. Met dit model zijn simulaties uitgevoerd voor aankomstprocessen met en zonder batches. Het proces waar losse onderdelen aankomen in plaats van batches heeft een gemiddelde tussenaankomsttijd van ongeveer 1643 seconden (dit is het aantal seconden in een dag gedeeld door het aantal aankomsten per dag van 52,58). De wachttijden van de
onderdelen komen voor deze situaties respectievelijk uit op ongeveer 21,2 en 4,9 uur. Dit zorgt voor het vermoeden dat de invoer van batches inderdaad zorgt voor een veel hogere doorlooptijd voor de onderdelen. Het verschil tussen de wachttijd van vijf uur en de doorlooptijd van drie uur die naar voren is gekomen uit het M/M/2 model, kan verklaard worden door het feit dat een deel van de onderdelen tijdens de simulatie zeven uur ligt te wachten. Dit gebeurt wanneer deze onderdelen zich buiten werktijd in de wachtrij bevinden. Verder lijkt 21,2 uur een realistische wachttijd voor het model waar altijd twee Servers aanwezig zijn, aangezien er een wachttijd van ongeveer 45 uur behaald wordt wanneer er in het weekend maar één Server aanwezig is. De onderdelen die in het weekend in de rij liggen zullen waarschijnlijk een grote verhoging van de wachttijd veroorzaken, aangezien ze dezelfde bewerkingstijd nodig hebben terwijl er maar één Server aanwezig is.
Om het vermoeden dat het aankomstproces op basis van batches een veel hogere wachttijd veroorzaakt te testen, zijn er nog simpelere modellen opgesteld voor de twee verschillende situaties. In één model komen onderdelen via het gebruikelijke aankomstproces met 12,7 batches per dag aan. Deze batches bevatten weer gemiddeld 4,14 onderdelen. De onderdelen komen in een wachtrij en worden hieruit op het eerst mogelijke moment opgepakt door één van de twee altijd aanwezige Servers. De Servers werken met Negatief Exponentieel verdeelde verwerkingstijden met een gemiddelde van 2823 seconden (zodat er 30,61
onderdelen per dag verwerkt kunnen worden). In het tweede model komen er volgens een Poisson proces gemiddeld 52,58 losse onderdelen per dag aan. Deze worden op dezelfde manier behandeld als in het eerste model. Voor beide modellen zijn simulaties van 50 runs
van elk 100.000 onderdelen uitgevoerd om de gemiddelde wachttijd van de onderdelen per systeem te bepalen. De resultaten van deze simulaties zijn te vinden in tabel 6.1 en 6.2
Deze resultaten tonen niet alleen aan dat het gebruiken van batches tijdens het aankomstproces ook voor dit simpele model leidt tot veel hogere wachttijden, maar ook dat het simpele model wachttijden levert die een redelijke benadering zijn van de doorlooptijd uit het exacte wachtrijmodel. Aangezien in de werkelijke situatie bij het LC onderdelen wel in batches aankomen, lijkt het niet mogelijk om een wachtrijmodel op te stellen dat de
wachttijden van de losse onderdelen goed kan weergeven. Dit is nog een bevestiging van het feit dat simulatie noodzakelijk was om de situatie bij het LC te analyseren.
Gemiddelde Standaardafwijking Ondergrens BI Bovengrens BI
13,01 2,37 12,35 13,66
Tabel 6.1: wachttijden simpel model, batches in aankomstproces
Gemiddelde Standaardafwijking Ondergrens BI Bovengrens BI
2,21 0,11 2,18 2,24