Eerste fase

In de eerste fase van het model komt een operatieplanning tot stand. Deze planning bevat informatie over welke pati¨ent op welke OK geopereerd zal worden. De volgorde waarin zittin-gen plaatsvinden is gelijk aan de volgorde van de pati¨enten op de wachtlijst. Voor iedere dag komt een nieuwe planning tot stand. De procedure die in deze paragraaf beschreven wordt om tot een operatieplanning te komen wordt iedere dag opnieuw doorlopen.

De eerste fase van het model is de statische fase, de operatieplanning komt voor het begin van de OK-dag tot stand en kan daarna niet meer veranderen. Het tijdsaspect speelt in paragraaf

6.3.2een grote rol. Gedurende de dag komen acute pati¨enten aan en moeten beslissing worden genomen over het afzeggen en verplaatsen van zittingen. De tweede fase van het model kan gezien worden als de dynamische fase, hier wordt in paragraaf 6.3.2dieper op ingegaan. De volgende indices worden gehanteerd:

i : operatie, i = 1, . . . , N

j : operatie kamer, j = 1, . . . , M g : groep pati¨enten, g = 1, . . . , G

De wachtlijst bestaat uit N electieve pati¨enten. N is hierbij zodanig gekozen dat bij het opstellen van de planning de wachtlijst groot genoeg is. Dit betekent dat in het model geen leegstand voorkomt doordat er geen electieve pati¨enten zijn die geopereerd moeten worden. Verder zijn er M OK’s waarin geopereerd kan worden. In het model krijgt iedere pati¨ent een eigenschap ‘specialisme’ mee die vastlegt op welke OK hij geopereerd kan worden. De wachtli-jst is samengesteld uit G groepen, de groepen verschillen van specialisme en in verdeling van zittingsduren. Voor de exacte kenmerken van de verschillende groepen wordt verwezen naar hoofdstuk5. N , M en G zijn deterministisch en de precieze waarden voor deze drie constan-ten worden in paragraaf6.4gegeven.

In de eerste fase van het model moet een tweetal beslissingen worden genomen. Ten eerste wordt bepaald hoeveel slacktijd en hoeveel tijd voor acute pati¨enten wordt gereserveerd. Ver-volgens worden pati¨enten aan de verschillende OK’s toegekend. De volgende beslissingsvari-abelen worden ge¨ıntroduceerd.

xij : indicator om aan te geven of zitting i op OK j wordt uitgevoerd , xij =



1 als zitting i op OK j wordt uitgevoerd; 0 anders.

x_ij is gelijk aan 0 als zitting i niet van hetzelfde specialisme is als het specialisme dat op OK j opereert. Later in deze paragraaf wordt het algoritme uitgelegd die wordt doorlopen om een waarde aan x_ij toe te kennen, dit zal verduidelijkt worden met een voorbeeld aan het einde van deze paragraaf. De volgende parameters worden gebruikt in het algoritme om tot een operatieplanning te komen. Deze parameters zijn deterministisch en de specificatie van deze parameters is terug te vinden in paragraaf6.4.

S : sessieduur in minuten

U : maximale acceptabele uitloop in minuten M : aantal OK’s

p^l : kans op late start

ν^g : verwachting van logaritme zittingsduur van zittingen in groep g ψ^g : standaarddeviatie van logaritme zittingsduur van zittingen in groep g f_g^e : fractie pati¨enten die in groep g valt

De volgende stochasten worden gedefinieerd:

ν_i : verwachting van logaritme zittingsduur van zitting i ψi : standaarddeviatie van logaritme zittingsduur van zitting i Allereerst wordt bepaald in welke groep een pati¨ent valt:

P (νi = ν^g, ψi = ψ^g) = f_g^e

De kans dat pati¨ent i in groep g valt, dat wil zeggen dat de verwachte zittingsduur en de standaarddeviatie van de zittingsduur gelijk zijn aan ν^g en ψ^g, is gelijk aan de fractie van pati¨enten die in groep g vallen. Deze fracties volgen uit de data-analyse.

Nu is bekend in welke groep, g, pati¨ent i valt. De zittingsduren van electieve pati¨ent i in groep g inclusief wisseltijd zijn lognormaal verdeeld en onderling onafhankelijk, deze worden gedefinieerd door:

ωi : stochastische duur van zitting i in groep g inclusief wisseltijd, ωi∼ log normal(ν^g, ψ^g)

De verwachting en variantie van ω_i worden als volgt bepaald, zie appendixA. E(ω_i) = exp(ν_i+^ψ

2 i

2 ^{) = µi (6.1)}

V ar(ωi) = exp((ψ_i²) − 1)exp(2νi+ ψ_i²) = σ²_i (6.2) In appendixA wordt beschreven hoe uitdrukkingen voor de verwachting en de variantie van de som van lognormaal verdeelde variabelen worden verkregen. De volgende grootheden defi-ni¨eren de verwachting en variantie van de som van de logaritmische zittingsduren als zitting i al dan niet is ingepland. Deze grootheden worden later in deze paragraaf gebruikt in het algoritme voor het genereren van de operatieplanning.

Opgemerkt moet worden dat de eerste zitting op de wachtlijst wordt ingepland, x_1j = 1. Zit-ting i heet al dan niet ingepland als voor alle j een beslissing is genomen over de waarde van xij. De waarden voor x_lj waarbij l = 1, . . . , i − 1 zijn bekend en kunnen niet meer veranderen. Dit impliceert dat bij het toekennen van pati¨enten aan een OK de volgorde van de wachtlijst

HOOFDSTUK 6. MODEL 40

als uitgangspunt wordt genomen. Als x_ij eenmaal een waarde heeft gekregen kan deze niet meer veranderen.

Hoe het algoritme om waarden toe te kennen aan x_ij werkt wordt later in deze paragraaf uit-gelegd. Bij het genereren van een operatieplanning worden de volgende grootheden gebruikt. Deze grootheden zijn alleen gedefinieerd als aan xij een waarde is toegekend.

¯ ψ_ij² = V ar( i−1 X l=1 x_ljln(ω_l)
= ln  Pi−1 l=1x_ljexp(2ν_l+ ψ²_l) exp(ψ_l²) − 1
Pi−1 l=1x_ljexp(ν_l+ ψ_l/2)
2 + 1  ˆ ψ_ij² = V ar( i−1 X l=1 (x_ljln(ω_l)) + ln(ωi)
= ln  Pi−1

l=1x_ljexp(2ν_l+ ψ²_l) exp(ψ_l²− 1)
+ exp(2ν_i+ ψ²_i) exp(ψ_i²) − 1
Pi−1 l=1x_ljexp(ν_l+ ψ2 l/2) + exp(ν_i+ ψ2 i/2)
2 + 1  ¯ νij = E( i−1 X l=1 x_ljln(ω_l)
= ln^ i−1 X l=1 xljexp(νl+ ψ²_l/2) − ^ψ¯ 2 ij 2 ˆ ν_ij = E( i−1 X l=1 (x_ljln(ω_l)) + ln(ω_i)
= ln^ i−1 X l=1 x_ljexp(ν_l+ ψ²_l/2) + exp(νi+ ψ_i²/2) −^ψˆ 2 ij 2

Invullen in de vergelijkingen (6.1) en (6.2) geeft de verwachtingen en de varianties van de som van de zittingsduren als zitting i al dan niet is ingepland:

¯ σ_ij² = V ar( i−1 X l=1 x_ljω_l) = (exp( ¯ψ_ij²) − 1)exp(2¯ν_ij + ¯ψ²_ij
ˆ σ_ij² = V ar( i−1 X l=1 (x_ljω_l) + ωi) = (exp( ˆψ_ij²) − 1)exp(2ˆνij + ˆψ²_ij
¯ µij = E( i−1 X l=1 xljωl) = exp(¯νij+ ¯ ψ_ij² 2
ˆ µ_ij = E( i−1 X l=1 (x_ljω_l) + ω_i
= exp(ˆν_ij + ˆ ψ²_ij 2 ⁾ De interpretaties van ¯σ2 ij en ˆσ2

ij zijn als volgt: ¯σ2

ij is de variantie van de som van de zittings-duren van de zittingen die gepland staan op OK j alvorens beslist wordt of zitting i op OK

j gepland wordt, ˆσ_ij² is de variantie van de som van de zittingsduren van de zittingen die gepland staan op OK j als zitting i aan de operatieplanning op OK j wordt toegevoegd.

Genereren operatieplanning

De eerste stap om een operatieplanning te genereren is het bepalen van de beschikbare oper-atietijd. Om te bepalen hoeveel operatietijd er per OK beschikbaar is moeten waarden voor de volgende grootheden bepaald worden:

BO_ij : beschikbare operatietijd op OK j nadat zitting i al dan niet is ingepland s_ij : slacktijd op OK j nadat zitting i al dan niet is ingepland

T_j^a : totale gereserveerde tijd voor acute zittingen op OK j Hierbij zijn s_ij en Ta

j deterministisch, de beschikbare operatietijd hangt van s_ij en Ta j af. Voor i = 1, . . . , N en j = 1, . . . , M geldt:

BO_ij = S − s_ij− T_j^a

De reden dat deze grootheden van i en j afhangen is de volgende. Als zitting 1 is ingepland zal er alleen slacktijd worden aangehouden voor eventuele uitloop van zitting 1. Wanneer ook zitting 2 ingepland wordt vermindert de beschikbare operatietijd niet alleen met de gemid-delde zittingsduur van zitting 2 maar ook zal extra slacktijd moeten worden aangehouden om eventuele uitloop van zitting 2 op te vangen.

De procedure die doorlopen wordt om pati¨enten toe te kennen aan OK’s is gebaseerd op de ‘base solution determination using first fit ’[Hans(2006)]. De volgorde die in deze methode gehanteerd wordt is de volgorde waarin pati¨enten op de wachtlijst staan. De eerste pati¨ent op de wachtlijst wordt in de eerste OK geplaatst en vervolgens wordt gekeken of de volgende zitting op de wachtlijst ook in die OK past. Een zitting ‘past’ in een OK als door toevoeging van de zitting de overgebleven beschikbare operatiecapaciteit niet overschreden wordt:

(ˆµ_ij − ¯µ_ij) + (s_ij − s_i−1,j) ≤ BO_i−1,j

De eerste term van deze vergelijking geeft aan hoeveel groter de verwachte operatietijd wordt als zitting i wordt ingepland. De tweede term bepaalt hoeveel extra slacktijd wordt aange-houden als zitting i wordt ingepland. Als de som van deze twee termen kleiner is dan de beschikbare operatietijd betekent dit dat zitting i ingepland kan worden. Als dit niet het geval is kan zitting i niet op OK j gepland worden en zal deze pati¨ent op de wachtlijst blijven staan.

Als voor OK j een planning tot stand is gekomen verdwijnen pati¨enten die ingepland zijn van de wachtlijst en wordt de procedure opnieuw doorlopen. Hoe de procedure in dit onderzoek precies in zijn werk gaat wordt hieronder beschreven. Aan het einde van deze paragraaf wordt een numeriek voorbeeld van dit algoritme gegeven.

Allereerst wordt uitgelegd hoe de slacktijd en de gereserveerde tijd voor acute pati¨enten wordt bepaald. Deze twee grootheden worden in het algoritme veelvuldig gebruikt.

Slacktijd

HOOFDSTUK 6. MODEL 42

β : parameter die vastlegt hoeveel slacktijd wordt aangehouden

De slacktijd die wordt aangehouden is afhankelijk van β en van de standaarddeviatie van de som van de zittingsduren die op OK j gepland staan. β is deterministisch, de waarde die voor β gekozen wordt is te lezen in paragraaf 6.4. De slacktijd die op OK j aangehouden wordt nadat een beslissing is genomen omtrent het inplannen van zitting i, dat wil zeggen dat x_ij een waarde heeft gekregen, is gelijk aan:

s_ij = β × q ¯ σ2 i+1,j (6.3) ¯

σ²_i+1,j benadert de variantie van de som van de zittingsduren van de zittingen die op OK j gepland staan nadat een beslissing is genomen omtrent het inplannen van zitting i.

Door de slacktijd op deze manier te bepalen wordt voor elke zitting die op OK j gepland staat tijd gereserveerd om uitloop op te vangen. Uit vergelijking 6.3 volgt dat een grote standaarddeviatie voor de som van de zittingsduren relatief veel slacktijd tot gevolg heeft. Hierdoor wordt de beschikbare operatietijd kleiner. Het aanhouden van relatief veel slacktijd heeft twee gevolgen:

1. de kans op uitloop wordt verkleind, dit is een positief gevolg 2. de benutting van de OK daalt, dit is een negatief gevolg

De keuze van β zal goed moeten worden afgewogen. Een verandering in de waarde van β heeft immers zowel een positief als een negatief gevolg. De waarde van β wordt door het ziekenhuismanagement bepaald en hangt af van de doelstellingen die het zichzelf heeft gesteld. Gereserveerde tijd voor acute pati¨enten

Om te bepalen hoeveel tijd op iedere OK voor acute pati¨enten gereserveerd wordt, defini¨eren we de volgende parameters. De bovenindex a staat in dit model voor acuut.

T : totale tijd die gereserveerd wordt voor acute operaties αj : gereserveerde proportie tijd voor acute operaties op OK j Voor α_j en T_j^a gelden de volgende vergelijkingen:

M

X

j=1

αj = 1 met αj ≥ 0 (6.4)

α_jT = T_j^a, j = 1, . . . , m (6.5) Een keuze voor α_j legt vast hoe de tijd die wordt gereserveerd voor een acute pati¨entenstroom wordt verdeeld over de verschillende OK’s. Hieronder volgen twee voorbeelden voor de keuze van αj en T met hun bijbehorende interpretatie. In eerste instantie wordt onafhankelijk van de keuze of al dan niet een acute OK wordt aangehouden exact ´e´en OK-dag voor acute pati¨enten gereserveerd, later in dit onderzoek zal hierin gevarieerd worden.

• OK 1 wordt aangehouden als acute OK. Dit vertaalt zich in het model als volgt: T = 480 minuten, α1 = 1 en T₁^a= 1 ∗ 480 = 480 minuten. Uit vergelijking6.4volgt dat αj = 0, voor j = 2, . . . , M . Invullen in vergelijking 6.5 geeft dat 0 × 480 = 0 minuten gereserveerd worden op de overige OK’s voor eventuele acute operaties.

• de gereserveerde tijd voor acute pati¨enten wordt evenredig over 4 OK’s verdeeld: α1 = α2 = α3 = α4 = ¹₄, T = 480 minuten en dus wordt voor OK 1 tot en met 4 een hoeveelheid van ¹₄ × 480 = 120 minuten voor acute pati¨enten gereserveerd. Op de overige OK’s wordt hier geen tijd voor gereserveerd.

Nu voor iedere OK de slacktijd en de gereserveerde tijd voor acuut bekend is kunnen de zittin-gen op basis van hun verwachte zittingsduur ingepland worden. Nadat een zitting is ingepland vermindert de totale beschikbare operatiecapaciteit op OK j. De resterende beschikbare op-eratietijd op OK j voordat een beslissing is genomen omtrent het inplannen van zitting i is gelijk aan: Rij = S − ¯µij − ˆsij− T_j^a (6.6) ˆ s_ij = β × q ˆ σ2 ij (6.7)

Hierbij is Rijde resterende operatietijd op OK j voordat een beslissing is genomen omtrent het inplannen van zitting i. In vergelijking6.6is de tweede term de totale verwachte zittingsduur van de zittingen die reeds op OK j gepland zijn voordat beslist wordt of zitting i op OK j wordt gepland. Het defini¨eren van ˆs_ij is noodzakelijk omdat de slacktijd die aangehouden wordt afhankelijk is van de beslissing of zitting i op OK j gepland wordt, ˆsij is de slacktijd die aangehouden wordt gegeven dat operatie i op OK j gepland wordt.

De eerste zitting op de wachtlijst wordt automatisch ingepland op de eerst beschikbare OK. Voor de overige zittingen geldt:

x_ij = 

1 als (ˆµij− ¯µij) ≤ Rij; 0 als (ˆµ_ij− ¯µ_ij) ≥ R_ij.

In woorden betekent dit dat zitting i wordt ingepland als de resterende zittingsduur groter is dan de stijging van de totale verwachte waarde van zittingsduren die al zijn ingepland. De volgorde waarin ingeplande operaties plaatsvinden wordt vastgelegd door de permu-tatie Π^j. Daarbij wordt dezelfde volgorde gehanteerd waarmee pati¨enten op de wachtlijst voorkomen. Als Π^j eenmaal bepaald is ligt deze vast en kan die gedurende dag niet meer veranderen. Π^jris de r^de operatie op OK j, waarbij r = 1, . . . , rj. Op OK j staan rj zittingen gepland: rj = N X i=1 xij

De geplande begintijd van zitting r op OK j is gelijk aan: GBT_Πj

1

= 0 GBT_Πj

r = µ¯rj, r = 2, . . . , rj

Hoe de base solution determination using first fit precies tot een operatieplanning leidt zal aan de hand van een voorbeeld verduidelijkt worden.

HOOFDSTUK 6. MODEL 44

Voorbeeld van werking algoritme voor genereren operatieplanning

In dit voorbeeld wordt een operatieplanning voor Chirurgie op OK 1 gemaakt. Voor de ver-schillende parameters worden de volgende waarden gebruikt:

S = 480 minuten T = 480 minuten j = 1 N = 8 α1 = 0.1 β = 0.5

De tijd die op OK 1 voor acute pati¨enten gereserveerd wordt is gelijk aan: T₁^a= 0.1 × 480 = 48

De wachtlijst voor Chirurgie bevat 8 pati¨enten en ziet er als volgt uit:

zitting νi ψ²_i E(ωi) σ(ωi) 1 4.5 0.6 122 110 2 4 0.5 70 56 3 4.5 0.6 122 110 4 4 0.5 70 56 5 5 0.6 200 182 6 5 0.6 200 182 7 4.5 0.6 122 110 8 4 0.5 70 56

E(ω_i) en σ(ω_i) zijn met behulp van vergelijking (6.1) en (6.2) bepaald. De procedure die tot een planning leidt zal stapsgewijs doorlopen worden.

1. De eerste zitting wordt ingepland: x11= 1.

2. (a) Bepaal de resterende operatietijd nadat zitting 1 is ingepland: ˆ ψ₂₁² = ln^{exp(9.6)(exp(0.6)−1)+exp(8.5)(exp(0.5)−1)} exp(4.8)+exp(4.25)
² + 1 = 0.349 ˆ ν21= lnexp(4.8) + exp(4.25) −0.349 2 = 5.08 ¯ µ₂₁= 122 ˆ σ²₂₁= (exp(0.349) − 1)exp(10.51) = 15327 ˆ µ21= exp(5.255) = 192 R21= 480 − 0.1 × 480 − 122 − 0.5 ×^√15327 = 248 (b) Check of ˆµ₂₁− ¯µ₂₁≤ R₂₁: 192 − 122 < 248 (c) zitting 2 past op OK 1: x21= 1

3. (a) Bepaal de resterende operatietijd nadat zitting 2 al dan niet is ingepland: ˆ

ˆ ν₃₁= 5.62 ¯ µ31= 192 ˆ σ²₃₁= 27465 ˆ µ₃₁= 313 R₃₁= 480 − 0.1 × 480 − 192 − 0.5 ×^√27465 = 157 (b) Check of ˆµ₃₁− ¯µ₃₁≤ R₃₁: 313 − 192 < 157 (c) zitting 3 past op OK 1: x31= 1

4. (a) Bepaal de resterende operatietijd nadat zitting 3 al dan niet is ingepland: ˆ ψ₄₁² = 0.19 ˆ ν₄₁= 5.85 ¯ µ41= 313 ˆ σ²₃₁= 30653 ˆ µ₄₁= 383 R41= 480 − 0.1 × 480 − 313 − 0.5 ×^√30653 = 31 (b) Check of ˆµ₃₁− ¯µ₃₁≤ R₃₁: 383 − 313 > 31

(c) zitting 4 past niet op OK 1: x41= 0

5. Aangezien zitting 4 de zitting met de kleinste verwachting en variantie heeft in vergeli-jking met de overige zittingen wordt geconcludeerd dat xi1 = 0, i = 5, . . . , 8. Voor OK 1 is nu een planning tot stand gekomen, deze is te zien in figuur 6.3.

Figuur 6.3: Operatieplanning op OK 1

6. Bepaal nieuwe wachtlijst:

zitting ν_i ψ2 i E(ω_i) σ(ω_i) 4 4 0.5 70 56 5 5 0.6 200 182 6 5 0.6 200 182 7 4.5 0.6 122 110 8 4 0.5 70 56

HOOFDSTUK 6. MODEL 46

In document Simulatiestudie naar de omgang met acute pati¨enten op het operatiecentrum van het Medisch Centrum Leeuwarden (pagina 39-47)