We hebben in paragraaf 4.1 de eenheden bekeken van de ringen: Z[√5], Z[√3] en Z[√31]. We hebben in deze drie gevallen de voortbrenger van de eenhedengroep gevonden met behulp van kettingbreuken.
We hebben in hoofdstuk 7 een methode gevonden om eenheden te vinden met behulp van Dirichlets eenhedenstelling. Dit zullen we nu ook doen voor de bovenstaande ringen. Het mathematica script dat hiervoor gebruikt is, is op hetzelfde gebaseerd als de code voor het vinden van eenheden in Z[√3
m]. Voor het vinden van eenheden in de ring Z[√m] hebben we eerst de discriminant van de ring Z[√m] nodig:
Stelling 17 De discriminant van de ring Z[√m] wordt gegeven door: 4m. Bewijs
Neem A = (aij) = σj(αi).
disc(Z[√m])= det(A · AT) = det(A) · det(AT) = det(A) · det(A) = det(A)2.
det(A) = σ1(1) σ1(√m) σ2(1) σ2(√m) = 1 √m 1 −√m = −2√m disc(Z[√m])=(−2√m)2 = 4m
De methode van hoofdstuk 7 wordt in het geval van de ring Z[√m] als volgt:
A = q
|disc(Z[√m])| = 2√m Vervolgens kiezen we c1, c2 zodanig dat:
c1· c2= A De verzameling S1 defini¨eren we als volgt:
S1= {(x1, x2) ∈ R2 : |x1| ≤ c1, |x2| ≤ c2} ⊂ R2. (9.1) We zien dat S1 begrensd, gesloten, convex en symmetrische is. Hij voldoet ook weer aan de stelling van Minkowski. Hij bevat dus een roosterpunt a ∈ Z[√m] met de eigenschap: |σ1(a)| ≤ c1, |σ2(a)| ≤ c2. Dit is alle theorie die we nodig hebben om eenheden te kunnen vinden in de ring Z[√m].
Voor deze ringen kunnen we ook resultaten uit hoofdstuk 4 gebruiken. Daar zagen we, dat
{α ∈ Z[√m] : |N (α)| < 1 + 2√m}
een oneindige verzameling is. Net als in hoofdstuk 7 zie je dat deze elementen slechts eindig veel hoofdidealen in Z[√m] voortbrengen. Dat levert opnieuw een bewijs voor het bestaan van niet-triviale eenheden in Z[√m].
We beginnen met de ring Z[√5]. A wordt gegeven door: A = 2√5.
Neem: c1 = 2, c2 =√5. We vinden dan de volgende elementen: (−1, 0), (0, 0), (1, 0), de eerste en derde daarvan zijn triviale eenheden, dus deze c1, c2 voldoen niet.
Neem: c1 = 1, c2 = 2√5. We vinden de volgende elementen: (−2, 1), (0, 0), (2, −1). We berekenen de norm van het laatste element: N (2 −√5) = 22− 5(−1)2= −1. We zien dat we dus een eenheid hebben gevonden, namelijk: 2 −√5 ∈ Z[√5]∗.
Met de kettingbreuken vonden we de eenheid: 2 +√5 = − 1
2−√5
. We zien dat deze methode niet zo effectief is als de methode met de kettingbreuken. Met de kettingbreuken kun je een eenheid berekenen, met deze methode blijft het toch zoeken; je moet soms een paar keer een c1, c2 opnieuw kiezen, voordat je een eenheid vind.
In de ring Z[√3] was de methode nog wat langzamer door foutieve keuze van c1, c2: • c1 = 1, c2 = 2√3 : (0, 0)
• c1 = 2, c2 =√3 : (−1, 0), (0, 0), (1, 0) • c1 = 4, c2 = 12√3 : (0, 0)
• c1 = 12, c2= 4√3 : (−2, 1), (0, 0), (2, −1)
Vervolgens bereken we de norm van het laatste element: N (2 −√3) = 22− 3(−1)2 = 1. We zien dat we hier de eenheid: 2 −√3 hebben gevonden. Dit is de inverse van de eenheid die we met kettingbreuken vonden: 2 +√3 = 2−1√
3. Als laatste voorbeeld nemen we Z[√31]. Hier geldt:
N (11 − 2√31) = −3 en N (28 + 5√31) = 9. In dit geval blijkt
(11 − 2√31)2
28 + 5√31 = 1520 − 273 √
31
een voortbrenger van de eenhedengroep te zijn. Het is een eenheid met norm 1. Dus de structuur van de eenhedengroep Z[√31] is als volgt:
Z[ √
31]∗= {±(1520 − 273 √
Hoofdstuk 10
Conclusie
In deze scriptie hebben we eerst de theorie voor Z[√m] bekeken, om daar eenheden in te kunnen vinden. We kunnen daarvoor de norm goed gebruiken. Namelijk voor een eenheid α = x + y√m ∈ Z[√m]∗ geldt: N (α) = x2 − my2 = ±1. Om een oplossing (x, y) voor deze vergelijking te vinden kunnen we gebruik maken van de vergelijking van Pell: x2− my2 = 1. Om deze vergelijking op te lossen hebben we gebruik gemaakt van kettingbreuken. Met behulp van kettingbreuken kunnen we een benadering van√m geven en zo de oplossing (x, y) voor de vergelijking van Pell vinden. Met deze oplossing kunnen we de structuur van de eenhedengroep Z[√m]∗ bepalen, namelijk:
Z[ √
m]∗ = {±βq: q ∈ Z} Voor het vinden van eenheden in Z[√3
m] kunnen we ook gebruik maken van de norm. Deze norm wordt gegeven door: N (α) = a3+ b3m + c3m2− 3abcm. Ook hier geldt voor een eenheid β ∈ Z[√3
m]∗ dat N (β) = ±1. Helaas konden we hier geen gebruik maken van kettingbreuken om deze vergelijking op te lossen. We hebben hier gebruik gemaakt van een re¨ele inbedding van de ring Z[√3
m] en twee complexe inbeddingen van de ring Z[√3
m]. Om de inbeddingen beter te begrijpen hebben we ze ook bekeken in het geval van de ring Z[
√ m].
Voor het vinden van eenheden in Z[√3
m] hebben we gebruik gemaakt van de afbeelding: f : Z[√3
m]∗→ H ⊂ R2
β 7→ (log |σ1(β)|, log |σ2(β)|)
Het beeld van f wordt weergegeven door: H = {(x1, x2) ∈ R2 : x1+ 2x2 = 0}. Met behulp van het bewijs Dirichlets eenhedenstelling in het geval van ´e´en re¨ele inbedding en ´e´en complexe inbedding waren we in staat eenheden in Z[√3
m] te vinden en ook de structuur van de groep te bepalen. Deze bleek van dezelfde structuur te zijn als de eenhedengroep Z[√m]∗, namelijk: Z[3 √ m]∗ = {±(a + b√3 m + c√3 m2)q: q ∈ Z}
Hoofdstuk 11
Dankwoord
Allereerst wil ik graag Prof. dr. J. Top bedanken voor het bedenken van het onderwerp voor deze scriptie en voor het helpen met alle problemen waar ik tegen aan ben gelopen tijdens het maken van deze scriptie. Zonder hem was deze scriptie nooit zo tot stand gekomen.
Graag wil ik ook mijn vrienden en familie bedanken voor alle support die ze mij deze periode hebben gegeven. Vooral Rianne Veenstra voor het dag in dag uit samen werken aan onze scripties. Ook Paul Vermeulen en Herre Kamsma verdienen het om genoemd te worden. Zij waren er altijd wanneer ik het even niet meer zag zitten of hulp nodig had. Natuurlijk mijn ouders en mijn zusje niet te vergeten voor het controleren van mijn scriptie.
Als laatste wil ik graag Prof. dr. H. Waalkens bedanken voor het zijn van mijn tweede begeleider.
Bibliografie
[1] http://mathworld.wolfram.com/DirichletsBoxPrinciple.html. [2] Dictaat Algebra¨ısche structuren.
[3] Dictaat groepentheorie.
[4] H. Davenport. The Higher Arithmetic an introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press, eighth edition, 2008.
[5] Daniel A. Marcus. Number Fields. Springer-Verlag, 1977.
[6] Ionica Smeets. On continued fraction algorithms. PhD thesis, Universiteit Leiden, 2010. www.math.leidenuniv.nl/scripties/SmeetsThesis.pdf.
[7] Craig Smory´nski. Logical Number Theory 1 An introduction. Springer-Verlag, 1991. [8] William Stein. A brief introduction to classical and adelic algebraic number theory.
Course Notes for Math, Volume 21(May), 2004. [9] P. Stevenhagen. Number rings.
[10] H.P.F. Swinnerton-Dyer. A Brief Guide to Algebraic Number Theory. Cambridge University Press, 2001.
[11] A. Fr¨ohlich & M. J. Taylor. Algebraic number theory. Cambridge University Press, 1991.
[12] Hideo Wada. A table of fundamental units of purely cubic fields. Proceedings of the Japan Academy, Volume 46(10), 1970.