Beperkingen en valkuilen

Geen enkele didactische tool is perfect. Ook aan dit digitale leerpad zijn enkele beperkingen en valkuilen verbonden.

 ICT-materiaal: elke leerling moet een laptop, PC of tablet ter beschikking hebben om het leerpad te doorlopen.

o Op school kan je hiervoor gebruik maken van een PC-lokaal, maar als je de volledige lessenreeks wil doorlopen met het digitale leerpad zal het PC-lokaal meerdere lessen na elkaar beschikbaar moeten zijn. Dit is niet evident op de meeste scholen.

o Bij ‘Flipping the classroom’ doorlopen de leerlingen als huiswerk thuis een deel van het leerpad. Ze moeten dan thuis een PC ter beschikking hebben.

 Xerte heeft beperkingen, zeker voor wiskundige leerpaden. Enkele voorbeelden: o Je kan in gewone tekst gebruik maken van een LateX-module om wiskundige

formules en uitdrukkingen te typen. Deze module is echter niet beschikbaar bij invuloefeningen, labels voor categoriseren, quizvragen… Kortom, bij interactieve pagina’s laat deze module het vaak afweten, waardoor de mogelijkheden in vraagstelling beperkt worden.

o Er is een uitgebreid aanbod aan interactieve of voorgestructureerde pagina’s. Maar deze pagina’s zijn dan vaak beperkt tot exact die mogelijkheden. Je kan bijvoorbeeld geen applet integreren op een pagina met quizvragen. Bij een video kan je ook geen invuloefening voorzien. Dit zijn maar enkele voorbeelden van problemen waar je op stoot bij het ontwikkelen van een leerpad in Xerte.

 Ondersteuning aan de hand van een cursus of geschreven neerslag is aangeraden. Zo heeft de leerling ook een houvast bij het studeren achteraf (vb. voor examen).

 Het maken van een digitaal leerpad is heel arbeidsintensief en tijdsconsumerend. Dergelijke leerpaden moet je goed op voorhand ontwikkelen en testen.

BRONVERMELDING

Bulckaert, W. (2015, April 24). Flipping the classroom zet de les op zijn kop. Opgehaald van Klasse: https://www.klasse.be/507/flipping-the-classroom-zet-de-les-op-zijn-kop/

Deci, E., & Ryan, E. (2001). Self-Determination Theory and the Facilitatin of Intrinsic Motivation, Social Development and Well-Being. American Psychologist, 68-78.

Maes, G. (2020, mei 25). Het motiveren van leerlingen voor het vak wiskunde. Vakdidactiek Wiskunde II, Universiteit Gent.

Maes, G., & Van Damme, T. (sd). Binnenklasdifferentiatie d.m.v. elektronische leerpaden. Vakdidactiek Wiskunde, Universiteit Gent.

Valcke, M., & De Craene, B. (2020). Klasmanagement en reflectie. Academia Press.

Exponentiële functies

Deze cursus kan je ook doorlopen aan de hand van een digitaal leerpad:

https://toll-net.be/moodle/xertetoolkits/play.php?template_id=46113

MODULE 1: DE GROEIFACTOR

V

ERKENNING

Voorbeeld 1: papier vouwen

Neem een blad papier en vouw het zoveel mogelijk.

Hoeveel keer kan je het blad papier vouwen?___________________

Veronderstel dat een blad papier 0,001cm dik is. Bepaal nu de dikte na elke vouw. Gebruik

onderstaande tabel.

aantal

vouwen

dikte papier (in cm)

vouwen aantal

dikte papier (in cm)

0

0,001

11

1

0,002

12

2

13

3

14

4

15

5

…

6

20

7

…

8

25

9

…

10

30

Na hoeveel vouwen is het papier dikker dan jezelf?________

Na hoeveel vouwen is de dikte van het papier groter dan de gemiddelde afstand van de

aarde tot de maan? _______

Voorbeeld 2: sprinkhanenplaag

Lees eerst het volgende artikel: https://www.hln.be/wetenschap-planeet/dieren/de-

merkwaardige-metamorfose-van-treksprinkhanen-hoe-ze-qua-uiterlijk-en-gedrag-

veranderen-van-eenzaten-in-plaag-van-miljarden~aa9912321/

Los de volgende vragen op over het artikel en de voortplanting van een zwerm sprinkhanen:

1. In welke landen was er in februari 2020 een plaag van woestijnsprinkhanen?

2. Stel dat er in februari 2020 een zwerm van 30 miljoen sprinkhanen was.

a. Wanneer zal de volgende generatie sprinkhanen uitkomen?

b. Uit hoeveel sprinkhanen zal deze generatie bestaan?

3. In augustus 2020 zullen de sprinkhanen met nog veel meer zijn.

a. Met hoeveel zullen ze dan zijn?

b. Kan je dit getal schrijven als een macht van 10? (voorbeeld: 3000 = 3 x 103)

c. Hoeveel vierkante kilometer neemt deze zwerm in?

Voorbeeld 3: Bestrijding van de sprinkhanenplaag

De woestijnsprinkhanen eten alles op wat ze op hun weg tegenkomen. Zo staat in het artikel

het volgende: “Een zwerm die zich verspreidt over 1 vierkante kilometer eet het equivalent

aan voedsel op van 35.000 mensen. “

Daarom worden deze immense zwermen sprinkhanen bestreden met allerlei pesticiden om

hongersnood in Oost-Afrika te voorkomen. Hierbij worden vliegtuigjes ingezet. Vaak zijn er

te weinig vliegtuigjes om het hele gebied waarover een zwerm vliegt, te besproeien. In het

ideale geval waarbij het volledige gebied besproeid kan worden, halveert het aantal

sprinkhanen per dag.

Stel dat er voldoende vliegtuigjes met pesticiden beschikbaar zijn om een zwerm van 600

miljoen sprinkhanen dagelijks te besproeien. Dit betekent dat het aantal sprinkhanen

dagelijks halveert.

1. Vul de tabel op de volgende pagina in. Als je de tabel hebt ingevuld, beantwoord dan de

volgende vragen.

2. Na hoeveel dagen zijn er minder dan 30 miljoen sprinkhanen?

3. Na hoeveel dagen zijn er minder dan 1 miljoen sprinkhanen?

aantal dagen aantal sprinkhanen

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Conclusie

We kunnen uit de twee voorbeelden enkele conclusies trekken:

 De dikte van het papier neemt per vouw toe met een factor ____.

 Het aantal sprinkhanen groeit per 3 maand met een factor ____.

 Het aantal sprinkhanen halveert elke dag indien ze besproeid worden met

insecticiden. Ze 'groeien' dus met een factor ____.

Dit zijn allemaal voorbeelden van exponentiële groei.

L

INEAIR VERSUS EXPONENTIEEL

Introductie met rijen

In de tweede graad maakte je kennis met rijen.

Een rij is een aantal reële getallen in een bepaalde volgorde gegeven. Een rij (un) bestaat uit

een aantal elementen en wordt algemeen als volgt genoteerd:

(u

n

):u

1

,u

2

,u

3

,…u

n

,…

Er bestaan veel verschillende soorten rijen. Een rij is volledig bepaald als we voor elk

volgnummer een bijbehorende term kunnen berekenen. Dit kan op verschillende manieren

gebeuren.

Als je bij een rij een formule u

n

= f(n) kan vinden waarbij elke term u

n

bepaald kan worden

voor elke n, dan is de rij bepaald door een expliciet voorschrift.

Als je een rij kan voorstellen met een formule van de vorm u

n+1

= f(u

n

) spreken we van een

recursief voorschrift.

Enkele voorbeelden:

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Rij van de priemgetallen: geen voorschrift

2, 6, 18, 54, 162,…

Meetkundige rij met recursief voorschrift: u

1

= 2 en u

n+1

= 3⋅u

n

0, 1, 4, 9, 25, 36, 49,… Rij van de kwadraten van natuurlijke getallen met expliciet

voorschrift: u

n

=n

2

.

Rekenkundige en meetkundige rij

Bij een rekenkundige rij ontstaat elke volgende term door bij de voorgaande term een

constante op te tellen. Het getal waar steeds mee wordt opgeteld noemt men het verschil v.

Bij een meetkundige rij ontstaat elke volgende term door de voorgaande term met een

constante te vermenigvuldigen. Het getal waar steeds mee wordt vermenigvuldigd noemt

men de reden q.

Voorbeeld rekenkundige rij

Een jongen is grote fan van Pokemon. Zijn ouders besluiten hem voor zijn verjaardag een

heel jaar lang Pokemon kaarten cadeau te doen. Zo kan hij een verzameling beginnen. Hij

krijgt op zijn verjaardag drie kaarten cadeau. Nadien krijgt hij er elke week drie kaarten bij.

Dus hij start in week 1 met 3 kaarten, in week 2 heeft hij 6 kaarten, in week 3 al 9 kaarten,

enz.

Dus we krijgen de volgende rekenkundige rij:

u

1

= 3,u

2

= 6,u

3

=9,...

Voorbeeld meetkundige rij

Een fenomeen dat je vaak tegenkomt op sociale media is ‘Pay It Forward’. Je wordt getagd in

een facebookbericht en uitgedaagd om 5 foto’s te posten van je favoriete muziekalbums. Als

je dit doet, moet je zelf ook drie mensen taggen die hetzelfde doen. Ik begin en selecteer

drie mensen.

Deze drie mensen zijn het eerste element uit de rij: u

1

= 3

Als elk van deze drie mensen opnieuw drie mensen taggen, worden nu 3⋅3=9 mensen

uitgedaagd. Dus: u

2

= 9

Rekenkundige rij

Rekenkundige rij met verschil v=3 en u

1

= 3

Recursief voorschrift:

u

n

= u

n

+ 3

Explicitiet voorschrift:

u

n

= 3⋅ n

Grafische voorstelling

Meetkundige rij

Meetkundige rij met reden q=3 en u

1

= 3

Recursief voorschrift:

u

n

= 3 . u

n

Explicitiet voorschrift:

u

n

= 3

n

Grafische voorstelling

Door de punten van de grafiek van een rekenkundige rij kan je steeds een _______________

tekenen.

Een _______________ rij stijgt vanaf een bepaalde waarde veel sneller dan een

________________ rij.

Actueel voorbeeld van lineair versus exponentieel

De pandemie door het coronavirus was het gevolg van de hoge besmettingsgraad van het

virus. Laat ons een soortgelijk, fictief virus beschouwen.

Bij een erg besmettelijk virus verdrievoudigt het totaal aantal besmette personen (n(t)) elke

dag.

Een besmet persoon keert terug van skireis naar België. Hij is op dag 0 de enige besmette

persoon in België. De volgende dag zijn er al drie besmette personen. Bij het begin van de

epidemie zijn er 55.000 ziekenhuisbedden (z(t)) beschikbaar in België. Maar omdat de

Belgische regering heel doortastend te werk gaat en ziet dat de epidemie zich in andere

landen snel verspreidt, wordt er gestart met de bouw van veldhospitalen en

‘geïmproviseerde’ ziekenhuizen. Hierdoor komen er dagelijks 500 extra bedden ter

beschikking om de zieken op te vangen.

1. Vul onderstaande tabel in:

t

(in dagen)

Aantal besmette personen n(t)

ziekenhuisbedden z(t) Aantal beschikbare

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2. We gaan ervan uit dat een besmet persoon altijd wordt opgenomen in het ziekenhuis en

dan minstens 3 weken in een ziekenhuisbed verzorgd wordt.

Na hoeveel dagen zijn er geen ziekenhuisbedden meer beschikbaar ?

3. Geef geef het voorschrift van de functie z(t) die het aantal ziekenhuisbedden weergeeft

na t dagen.

4. Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van z(t) met t∈[0,15]. Hoe ziet deze

grafiek eruit?

5. Geef het voorschrift om het aantal besmette personen n(t) na t dagen te bepalen.

6. Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van n(t) met t∈[0,15]. Hoe ziet deze

grafiek eruit?

Algemeen:

Lineaire groei

Voorschrift:

f(x)=a⋅x+b

met:

b = beginwaarde (= 55.000 in het

voorbeeld van de ziekenhuisbedden)

a = constante groeisnelheid (= 500 in het

voorbeeld van de ziekenhuisbedden)

Grafiek en tabel

De grafiek is steeds een rechte. Hieronder

de grafiek en tabel voor een lineaire groei

met beginwaarde b en groeisnelheid a

Exponentiële groei

Voorschrift

f(x)=b⋅ax

met:

b = beginwaarde ( = 1 in het voorbeeld van

het aantal besmettingen)

a = groeifactor (= 3 in het voorbeeld van

het aantal besmettingen)

Grafiek en tabel

De grafiek is een exponentiële kromme.

Hieronder de grafiek voor een

exponentiële groei met beginwaarde b en

groeifactor a.

G

ROEIFACTOR

Bij exponentiële toename met groeifactor a geldt steeds:

groeifactor a>1

Bij exponentiële afname met groeifactor a geldt steeds:

groeifactor 0 < a < 1

Exponentiële afname wordt ook 'negatieve groei' genoemd.

Opgelet: Een groeifactor kan nooit negatief zijn!

Waarom niet? Bereken eens het volgende:

(-2)

1

_{, (-2)}

2

_{, (-2)}

3

_{, (-2)}

4

Wat valt je op bij het teken?

Het teken verandert steeds bij een negatieve groeifactor=

 positief bij even exponenten

 negatie bij oneven exponenten

Dit geldt enkel voor gehele exponenten!

Bij rationale exponeten zou je vinden dat je een even machtswortel moet nemen van een

negatief getal. Dit kan niet.

Machten met reële exponenten

We maken de afspraak dat voortaan machten gedefinieerd zijn voor reële exponenten. Dus:

We nemen verder aan dat de rekenregels van machten met rationale exponenten ook

gelden voor reële exponenten.

Voorbeelden: 5

π

Een belangrijk aandachtspunt dat reeds aan bod kwam bij machten met rationale

exponenten en ook duidelijk volgt uit bovenstaande definitie, is het volgende:

Reële exponenten zijn enkel gedefinieerd bij strikt positieve grondtallen!

Er bestaan dus geen negatieve groeifactoren!

Nu machten met reële exponenten gedefinieerd zijn, kunnen we verder werken met enkele

voorbeelden van groeifactoren.

Voorbeeld 1 – Toename

In onderstaande tabel is de groei van de wereldbevolking in de 19e eeuw in perioden van 20

jaar weergegeven.

Is de toename lineair?______________

Hoe ga je na of de toename exponentieel is?_________________________________

Is de toename exponentieel? ___________

Zo ja, wat is de groeifactor, en wat is de beginwaarde?

_____________________________________________________________

Wat is het voorschrift voor het aantal mensen N(t) in functie van de tijd t waarbij één

tijdseenheid = 20 jaar.

______________________________________________________________

Voorbeeld 2 – Afname

In een stad is sprake van een rattenplaag. Het stadsbestuur besluit om in te grijpen en begint

de ratten te bestrijden. In onderstaande tabel zie je het resultaat. Elke week zijn er minder

ratten.

Is de afname lineair?______________

Hoe ga je na of de afname exponentieel is?__________________________________

Is de afname exponentieel? ___________

Zo ja, wat is de groeifactor, en wat is de beginwaarde?

_____________________________________________________________

Wat is het voorschrift van dit exponentieel verband? Druk hiervoor het aantal ratten N(t) uit

in functie van de tijd t waarbij één tijdseenheid = 1week..

Opgelet: Een groeifactor is per tijdseenheid ongeveer hetzelfde. Als de groeifactor teveel

varieert per tijdseenheid, spreken we niet van exponentiële groei.

G

ROEIPERCENTAGE EN GROEIFACTOR

Voorbeeld 1: toename

Na de coronacrisis komt de economie weer op gang en de beurs leeft opnieuw op. Daarom

besluit Jeroen 10.000 euro te beleggen. Hij krijgt per jaar 5% samengestelde intrest.

Vul in:

Stel het beginkapitaal K

0

= 1000 euro. Na 1 jaar heeft Jeroen een kapitaal K

1

, na 2 jaar een

kapitaal K

2

,...:

K

1

= 10000 + ________ . 10000 euro= K

0

+__________ =__________

K2 = __________= _________. K0

K3 = __________= _________ . K0

Na t jaar heeft Jeroen een kapitaal K

t

= _______ . K

0

Dit is dus een exponentiële groei met groeifactor _________ per jaar.

Voorbeeld 2: afname

Met de opbrengst van zijn belegging koopt Jeroen een nieuwe koersfiets. Hij maakt een ritje

en krijgt een lekke band. De druk in zijn band neemt elke minuut af met 10%. Vul in:

Stel de begindruk op p

0

= 4 bar. Na 1 minuut heeft Jeroen nog een banddruk p

1

, na 2

minuten een druk p

2

,...:

p

1

= 4 - ________ . 4 = p

0

- __________ = ____________

p

2

= __________ = ________ . p

0

p

3

= = . p

0

Na t minuten is de banddruk nog p

t

: = __________ . p0

Voorbeeld 3: invloed tijdseenheid

Een bacteriecultuur groeit exponentieel met beginwaard N

0

= 100 en groeifactor 3 per uur.

Vul in:

Na 1 uur is de bacteriecultuur gegroeid tot N

1

, na 2 uur tot N

2

,...

Na 1 uur: N

1

= 3.100 = 300 = 3.N

0

Na 2 uur: N

2

= 3.300 = 9.100 = 9.N

0

= 3

2

.N

0

Na 3 uur: N

3

= 3.900 = 27.100 = 27.N

0

= 3

3

.N

0

Na t uur: N

t

= _______ . N

0

Je ziet dat per uur de groeifactor 3 is.

Wat is de groeifactor per tijdseenheid van 2 uur? ____________

Wat is de groeifactor per tijdseenheid van 3 uur?______________

Extra:

Kan je bedenken wat de groeifactor per half uur is? ____________

Kan je bedenken wat de groeifactor per kwartier is?____________

Groeifactor per tijdseenheid:

Laat ons even terugblikken op voorbeeld 3. We bekijken de laatste 2 vragen.

Het maakt niet uit of je per tijdseenheid van een kwartier of per tijdseenheid van een uur

kijkt. Het eindresultaat moet hetzelfde blijven. Dit wil zeggen:

Na 1 uur zijn er 300 bacteriën, na 2 uur zijn er 900 bacteriën...

= na 4 kwartier zijn er 300 bacteriën, na 8 kwartier zijn er 900 bacteriën...

Stel:

Groeifactor per uur: a

u

= 3

Groeifactor per kwartier: a

kw

= ??

Na 1 uur is het aantal bacteriën:

Wanneer we de periode n keer verkleinen, dan verkleint de groeifactor 𝒂 tot 𝒂

𝟏 𝒏

Wanneer we de periode n keer vergroten, dan vergroot de groeifactor 𝒂 tot 𝒂

𝒏

Conclusie

Procentuele toename

Een procentuele groei van 5% stemt overeen met een exponentiële groei met groeifactor

1,05.

Algemeen:

Een procentuele groei of toename van p % per tijdseenheid stemt overeen met een

groeifactor a:

Tabel en schematische voorstelling:

Procentuele afname

Een procentuele afname van 10% stemt overeen met een exponentiële groei met groeifactor

0,9.

Algemeen:

Een negatieve groei of afname van p% per tijdseenheid stemt overeen met een groeifactor

a:

Tabel en schematische voorstelling:

Invloed tijdseenheid

Bij verdubbeling van de tijdseenheid werd de groeifactor 3

2

_{, bij halvering van de}

tijdseenheid werd de groeifactor 3

1 2

.

Algemeen:

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid is de groeifactor per n

tijdseenheden:

Tabellen

O

EFENINGEN

Oefening 1

Vul de tabellen in:

Procentuele

toename per jaar

15%

125%

0,7%

Groeifactor per

jaar

1,03

2,5

3

Procentuele

afname per jaar

15%

4%

0,3%

Groeifactor per

jaar

0,75

0,97

0,999

Oefening 2

We zagen reeds dat in de 19e eeuw de bevolkingsgroei exponentieel toenam met een

groeifactor a = 1,1 per 20 jaar.

a. Hoeveel bedraagt de groeifactor dan per jaar?

b. Hoeveel bedraagt deze groeifactor dan per maand?

c. Hoeveel bedraagt deze groeifactor dan per eeuw?

Oefeningen op module 1

Oefening 1

Thijs koopt een veulen van 50 kg dat volgens hem 10% per veertien dagen groeit (14 dagen =

een halve maand). Groeit dit veulen even snel als dat van Jonathan, dat 20% per maand

groeit?

Oefening 2

Het aantal salmonellabacteriën op een stukje vlees neemt exponentieel toe.

Op t=3 zijn er 6000 bacteriën.

Op t=8 zijn er 13 000 bacteriën.

Hierbij is t de tijd in uren.

a. Geef de groeifactor per uur (rond af op 3 decimalen).

b. Geef het groeipercentage per uur.

c. Zoek de formule van het aantal bacterieën N na t uur.

d. Hoeveel bacteriën zijn er na 24 uur?

Oefening 3

Een microbioloog bestudeert een cultuur van de colibacterie. Deze bacterie komt voor in de

darmen en speelt een belangrijke rol bij het verteren van voedsel. Bij een constante

temperatuur blijken de populaties van colibacteriën exponentieel te groeien.

De beginpopulatie telt 250 bacteriën. Bij een temperatuur van 35°C constateert de bioloog

een verdubbeling van de populatie per uur. Na 4 uur verlaagt hij de temperatuur tot 30°C.

Zes uur na deze temperatuurverlaging telt hij 16 000 bacteriën.

Bereken het groeipercentage per uur van de colibacterie bij een temperatuur van 30°C.

Oefening 4

Een bedrag van 7500 euro is na 10 jaar het dubbele waard. Bereken de procentuele toename

per maand.

Extra oefeningen

Oefening 5

Bij een exponentiële afname (exponentieel verval) komt het begrip halveringstijd voor. Dit is

de tijd die nodig is om de helft van de aanwezige atomen te laten vervallen.

a. De radioactieve stof Strontium heeft een halveringstijd van 28 jaar. Bereken in 3

decimalen na de komma de groeifactor per jaar.

b.

Ga uit van N

0

=1000 (aantal deeltjes op het tijdstip t=0) en bereken hoeveel percent

van de oorspronkelijke hoeveelheid nog aanwezig is na 50 jaar.

Oefening 6

Bij een temperatuur van 37°C telt een biochemicus in een voedselstaal 44 bacteriën. Na 1

uur is het aantal verdrievoudigd. Bereken de verdubbelingstijd.

MODULE 2: DE EXPONENTIËLE FUNCTIE

D

EFINITIE

Bij de voorbeelden en oefeningen van exponentiële groei zagen we functies met een

voorschrift van de vorm f(x)=b⋅a

x

_met:

 b: beginwaarde (bij x=0)

 a: groeifactor

 a > 1: positieve groei (exponentiële toename)

 0 < a < 1: negatieve groei (exponentiële afname)

Aangezien de variabele x enkel in de exponent voorkomt, noemen we deze functies

exponentiële functies.

Als de beginwaarde b = 1 dan wordt f(x)=a

x

Definitie:

Is 𝑎 ∈ ℝ

0+

{1} dan noemen we de reële functie f met 𝑓(𝑥) = 𝑎

𝑥

een exponentiële functie

met grondtal of groeifactor a.

Opmerking: we definiëren geen exponentiële functies voor negatieve grondtallen omdat ax

dan niet altijd gedefinieerd is. Hiervoor verwijzen we naar machten met reële exponenten in

module 1.

V

ERKENNING VAN DE GRAFIEK

Bij het verkennen van enkele grafieken van expontiële functies, merkt je het volgende:

 Alle functies van de vorm f(x)=a

x

_{hebben dezelfde horizontale asymptoot, namelijk:}

_______________________________________________________

 Als a > 1 dan lim

𝑥→+∞

𝑎

𝑥

_{= ________________________}

 Als 0 < a < 1 dan lim

𝑥→+∞

𝑎

𝑥

_{=______________________}

 Als a > 1 dan lim

𝑥→−∞

𝑎

𝑥

_{=_________________________}

_____________________________________

E

IGENSCHAPPEN VAN EXPONENTIËLE FUNCTIES

a > 1 (positieve groei)

 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ________

 𝑏𝑙𝑑 𝑓 = _________

 Nulwaarden: __________

 Snijpunt met y-as: _______

 𝑓(𝑥) = 𝑎

𝑥

_{is strikt __________ in ℝ:}

𝑥

₁

< 𝑥

₂

⇒ 𝑓(𝑥

₁

) < 𝑓(𝑥

₂

)

 lim

𝑥→−∞

𝑎

𝑥

_{= 0}

⟹ de x-as is een _________________

 lim

𝑥→+∞

𝑎

𝑥

_{= +∞}

 Waardeverloop:

0 < a < 1 (negatieve groei)

 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = _______

 𝑏𝑙𝑑 𝑓 = _______

 Nulwaarden:____________

 Snijpunt met y-as: _______

 𝑓(𝑥) = 𝑎

𝑥

_{is strikt ___________ in ℝ:}

𝑥

₁

< 𝑥

₂

⇒ 𝑓(𝑥

₁

) > 𝑓(𝑥

₂

)

 lim

𝑥→+∞

𝑎

𝑥

_{= 0}

⟹ de x-as is een _________________

 lim

𝑥→−∞

𝑎

𝑥

_{= +∞}

 Waardeverloop:

A

SYMPTOTISCH GEDRAG

f(x) = b.a

x

_{met a > 1}

Horizontale asymptoot: x-as (y=0) voor 𝒙 → −∞

Toenemende x-waarde:

b>0:

f(x) = b.a

x

_{loopt weg van de x-as: lim}

𝑥→+∞

𝑏. 𝑎

𝑥

_{= +∞}

b<0:

f(x) = b.a

x

_{loopt weg van de x-as: lim}

𝑥→+∞

𝑏. 𝑎

𝑥

_{= −∞}

Afnemende x-waarde:

f(x) = b.a

x

_{nadert de x-as: lim}

𝑥→−∞

𝑏. 𝑎

f(x) = b.a

x

_{met 0 < a < 1}

Horizontale asymptoot: x-as (y=0) voor 𝒙 → +∞

Toenemende x-waarde:

f(x) = b.a

x

_{nadert de x-as: lim}

𝑥→+∞

𝑏. 𝑎

𝑥

_{= 0}

Afnemende x-waarde

b>0:

f(x) = b.a

x

_{loopt weg van de x-as: lim}

𝑥→−∞

𝑏. 𝑎

𝑥

_{= +∞}

b<0:

f(x) = b.a

x

_{loopt weg van de x-as: lim}

𝑥→−∞

𝑏. 𝑎

T

RANSFORMATIES VAN DE GRAFIEK

Maak gebruik van volgende Geogebra-applet: https://www.geogebra.org/m/gunxpnnw

Los met behulp de volgende vragen op:

1. De grafiek van y=2

ax

_{ontstaat uit de grafiek van y=2}

x

_{door een}

______________________

volgens de _____ met _______ eenheden.

2. De grafiek van y=b⋅2

x

_{ontstaat uit de grafiek van y=2}

x

_door

een______________________

volgens de ______ met _______ eenheden.

3. De grafiek van y=2

x

_{+c ontstaat uit de grafiek van y=2}

x

_{door een}

______________________

volgens de ______ met _______ eenheden.

4. De grafiek van y=2

x-d

_{ontstaat uit de grafiek van y=2}

x

_{door een}

_______________________

volgens de ______ met ________ eenheden

Er zijn nog twee types transformaties die niet aan bod komen in bovenstaande oefening. Vul

in:

5. De grafiek van y=2

-x

_{ontstaat uit de grafiek van y=2}

x

_{door een}

_______________________

volgens de ______

6. De grafiek van y=−2

x

_{ontstaat uit de grafiek van y=2}

x

_{door een}

_______________________

Samenvatting:

Opmerking 1: we gebruiken hier uitzonderlijk de parameter g voor de groeifactor om

verwarring te vermijden met de parameter a van de uitrekking.

Opmerking 2: De horizontale asymptoot zal enkel beïnvloed worden door 2 transformaties:

Verschuiving volgens de y-as: y=a

x

_→y=a

x

_{+ c}

O

EFENINGEN

Oefening 1

Verbind de juiste grafiek met de juiste uitspraak. Het zijn allemaal grafieken van een functie

In document Een didactisch onderbouwd digitaal leerpad over exponentiële functies (pagina 32-76)