Een didactisch onderbouwd digitaal leerpad over exponentiële functies

EEN DIDACTISCH ONDERBOUWD

DIGITAAL LEERPAD OVER

EXPONENTIËLE FUNCTIES

Arnout Willockx

Promotor(en): Prof. dr. Liza Verhoeven, Gommaar Maes

Masterproef voorgelegd tot het behalen van de graad van de Educatieve Master in de Wetenschappen en Technologie

CORONA PREAMBULE

Het doel van deze Verkorte Educatieve Masterproef was het ontwerpen van een didactisch

onderbouwd digitaal leerpad. Dit kon vanop afstand verwezenlijkt worden. De

coronamaatregelen hadden dus geen invloed op deze masterproef.

Deze preambule werd in overleg tussen de student en de promotor opgesteld

en door beide goedgekeurd.

VOORWOORD

Deze masterproef is het slotakkoord van een hectisch jaar. Ik spreek over een hectisch jaar, want een eerste jaar als leerkracht combineren met een voltijdse opleiding (de Educatieve Master) is geen lachertje. Als daarenboven een virus de normale werking van het onderwijs verhindert, wordt het zelfs bijna een surrealistisch jaar. Toch maakte ik deze masterproef, getiteld ‘Een didactisch

onderbouwd digitaal leerpad over exponentiële functies’, met veel plezier. Het onderwerp van deze masterproef maakt immers deel uit van het lessenpakket dat ik dit jaar en volgend jaar zal geven. Het leerpad dat ik maakte voor deze masterproef kan ik rechtstreeks implementeren in mijn lessen. Ik wil bij deze graag mijn promotors bedanken voor het aanreiken van dit onderwerp. Mijn begeleider Gommaar Maes kwam met het idee van deze heel toepasbare masterproef. Dit gaf me veel motivatie, en in deze masterproef zal blijken dat motivatie heel belangrijk is in het onderwijs. Ik wil Gommaar Maes bovendien bedanken om me zo snel op te volgen in het beperkte tijdsbestek waarin ik deze masterproef maakte. Het was immers ook voor hem een uitzonderlijk en ongetwijfeld zwaar jaar.

Op een bepaald moment leek het volledige leerpad verdwenen. Meer dan een week werk zweefde plots ergens doelloos rond op het wereldwijde web. Gommaar snelde meteen ter hulp en probeerde vruchteloos om het probleem op te lossen. Maar wat we ook probeerden, het leerpad leek verloren en niet meer te recupereren. En toen kwam was daar plots Katrien Bernaert, als een deus ex machina zorgde zij voor de oplossing. Mijn eeuwige dank aan Katrien. Dankzij haar werd mijn werk

gerecupereerd en kon ik mijn leerpad tijdig afwerken.

Tot slot wil ik uiteraard mijn vriendin Elke bedanken. Zij heeft dit jaar heel veel geduld en opoffering gehad. Ik was constant aan het werk voor school en de educatieve master. Zij zorgde ondertussen dat alles in huis vlot verliep en dat ik niks te kort kwam. Ik denk dat zij ook heel blij is dat dit jaar bijna achter de rug is. Zonder haar had ik dit jaar nooit succesvol afgerond.

Elke las trouwens ook mijn teksten na, net zoals deze masterproef. Indien je dus nog een foutje ontdekt, kan je dit aan haar melden ;)

Ik wens u veel leesplezier toe. Arnout Willockx

INHOUD

Voorwoord ...1

1. Inleiding ...1

2. Opbouw van het leerpad ...3

2.1. Keuze onderwerp ...3

2.2. Eindtermen en leerplandoelstellingen ...4

2.2.1. Inhoudelijke doelstellingen ...4

2.2.2. Algemene eindtermen en attitudes ...6

2.3. Opbouw leerpad ...7

2.4. Digitale tools ...8

2.4.1. Xerte en Smartschool ...8

2.4.2. Geogebra ...9

2.4.3. Media en andere applicaties ...9

2.5. Het leerpad ... 10

3. Gebruik van het leerpad ... 11

3.1. Cursus ... 11

3.2. Rol van de leerkracht ... 12

3.2.1. Begeleid zelfstandig leren ... 12

3.2.2. Flipping the classroom ... 13

3.3. Differentiatie ... 13

4. Didactische onderbouwing ... 15

4.1. Cognitivistische strategieën ... 15

4.1.1. Non-Lunguïstische representaties (NLR) ... 15

4.1.2. Aanduiden van gelijkenissen en verschillen ... 16

4.1.3. Multipele representaties ... 18

4.1.4. structuur en samenhang ... 19

4.2. Motivatie ... 20

4.2.1. Zelfdeterminatietheorie (ZDT) ... 20

4.2.2. Intrinsieke of interne motivatie ... 21

4.3. Taxonomie van Bloom ... 22

4.4. Evaluaties ... 25

5. Conclusie ... 26

5.1. Troeven ... 26

5.2. Beperkingen en valkuilen ... 26

Bijlage A – Begeleidende cursus ... 29 Bijlage B – Opvolgingslijst per leerling ... 66 Bijlage C – vorderingsoverzicht ... 68

LIJST VAN FIGUREN

Figuur 1: NLR - procedure voor oplossen van een exponentiële vergelijking. ... 15 Figuur 2: NLR - schematische voorstellingen van groeifactoren. ... 16 Figuur 3: Lineair vs exponentieel, een voorbeeld van het aanduiden van gelijkenissen en verschillen en multipele representatie... 17 Figuur 4: Een interactieve oefening die inspeelt op het aanuiden van gelijkenissen en verschillen. ... 18 Figuur 5: Overzichtspagina's in het leerpad ... 19 Figuur 6: De taxonomie van Bloom [] ... 23

1. INLEIDING

Dit was een uitzonderlijk jaar, ook voor het onderwijs. De coronacrisis veranderde de wijze van onderwijzen. Het lesgeven aan een klasgroep in een klaslokaal verdween van de ene op de andere dag. Afstandsonderwijs werd de norm in het tweede semester van 2020. Leerkrachten moesten zich snel aanpassen aan deze nieuwe situatie en nadenken over aangepaste lesmethoden.

De gemakkelijkste optie is live lesgeven met de webcam via leerplatformen zoals Smartschool. Dit is echter niet aan alle leerkrachten gegeven. De interactie is niet vergelijkbaar met interactie in levende lijve. Je hebt als leerkracht nog minder grip op het leerproces van de leerlingen, omdat ze hun

webcam niet gebruiken, sneller afgeleid zijn… Bovendien beschikken niet alle leerlingen over een eigen laptop of PC. Ze kunnen bijgevolg niet zomaar op elk moment een livesessie bijwonen. Daarom werden livesessies op veel scholen enkel toegelaten voor vragensessies.

Leerkrachten werden tijdens de coronacrisis overspoeld met aanbiedingen van digitale tools. Het is voor de meeste leerkrachten niet evident om door de bomen het bos nog te zien, of deze tools snel onder de knie te krijgen. Het zou handig zijn dat leerkrachten voor afstandsonderwijs gebruik kunnen maken van reeds bestaand, uitgewerkt materiaal om hen te ondersteunen. Een digitaal leerpad kan een sterke didactische tool zijn om leerstof over te brengen via afstandsonderwijs. Deze masterproef heeft als doelstelling een bijdrage te leveren tot de onderwijspraktijk.

Een digitaal leerpad heeft echter nog veel andere troeven. Het is immers een tool die mogelijkheden biedt tot binnenklasdifferentiatie, zowel bij les op school als bij afstandsonderwijs. In

‘Binnenklasdifferentiatie d;m.v. elektronische leerpaden’ (Maes & Van Damme,

Binnenklasdifferentiatie d.m.v. elektronische leerpaden) wordt hier dieper op ingegaan. Aan de hand van een leerpad over statistiek verwijzen ze naar de mogelijkheden tot differentiatie met een digitaal leerpad. Afhankelijk van het leerpad kan er meer of minder op differentiatie worden ingespeeld. Bij een sterk gestuurde zelfstudie wordt een vastomlijnd leerpad aangeboden dat in een specifieke volgorde wordt aangeboden. De differentiatie zit dan vooral in het tempo van de verwerkingen van de leerstof. Indien een leerpad meer wil inzetten op het zelfregulerend leren van een leerling, zal het leerpad heel flexibel worden geprogrammeerd. Een leerling kan dan, naast het leertempo, ook zelf de volgorde van de leerstofonderdelen bepalen, maar ook beslissen over de nood aan extra oefenmateriaal, de timing van een evaluatie, een eigen leerstijl ontdekken…

Uit het bovenstaand blijkt dat het niet eenvoudig is om leerpaden op te stellen die sterk inzetten op zelfregulerend leren. Het is een heel arbeids- en tijdsintensieve opdracht om dergelijk leerpad op te stellen.

In deze masterproef werd ervoor gekozen om een leerpad op te stellen dat de middenweg bewandelt tussen zelfregulerend leren en sterk gestuurde zelfstudie. Dit leerpad werd eveneens ontwikkeld met andere toepassingen in het achterhoofd zoals:

 Tool om differentiërend te kunnen werken in het klaslokaal.

 Tool om afstandsonderwijs te ondersteunen in onverwachte omstandigheden zoals de coronacrisis.

 Leerlingen die langdurig afwezig geweest zijn en nood hebben aan een inhaaltraject.  Ondersteunen van werkvormen zoals ‘flipping the classroom’. Deze werkvorm zal na de

coronacrisis ongetwijfeld aan populariteit winnen Op deze toepassingen zal in dit werk dieper ingegaan worden.

2. OPBOUW VAN HET LEERPAD

2.1. KEUZE ONDERWERP

In overleg met de vakgroep Vakdidactiek Wiskunde werd een onderwerp gekozen uit de derde graad om te verwerken in een elektronisch leerpad. We kozen voor een onderwerp uit analyse:

exponentiële functies. Dit is een interessant onderwerp om meerdere redenen:  Relevantie en toepasbaarheid

Heel wat verschijnselen kunnen immers benaderd worden door een exponentiële groei of een exponentiële functie: bevolkingstoename, radioactief verval, magnitude bij een aardbeving, aangroei van een populatie, verspreiding van een virus… Het onderwerp leent zich dus heel goed tot het aantonen van de relevantie van deze wiskunde.

 Media

Door het grote aantal toepassingen van exponentiële functies kan er geschikte media

gevonden worden zoals Youtube-filmpjes, artikels, foto’s… De leerstof aantrekkelijker maken en ondersteunen met geschikte media is een belangrijke troef van digitale leerpaden.  Kritische zin

Enkele toepassingen van exponentiële functies komen regelmatig in het nieuws. Het aantal besmette personen bij het uitbreken van een epidemie is momenteel niet uit het nieuws weg te slaan. De overbevolking wordt hier vaak aan gekoppeld en is ook een gevolg van

exponentiële groei. Maar ook de sprinkhanenplaag die Oost-Afrika teistert, is een actueel voorbeeld van exponentiële groei. Radioactief verval kwam door de populariteit van de HBO-serie Chernobyl ook weer onder de aandacht bij de leerlingen. De ramp in Fukushima dateert nog maar van 2011. Deze was trouwens het gevolg van een aardbeving, nog een voorbeeld van een exponentiële functie.

Al deze voorbeelden gunnen de leerlingen een bredere blik op de wereld en bestaande problemen. Het draagt bij tot hun kritische blik op de wereld.

 ICT

ICT is heel nuttig bij onderwerpen uit het onderdeel reële functies. Veel concepten uit de functieleer kunnen grafisch worden uitgelegd of gevisualiseerd. Een programma zoals Geogebra is hiervoor geschikt en kan gemakkelijk geïntegreerd worden in een leerpad. Het werkt dus vooral ondersteunend. ICT is ook noodzakelijk om bepaalde exponentiële

vergelijkingen op te lossen. Deze kunnen zowel met Geogebra als de grafische rekenmachine (GRM) worden opgelost. Procedures op de GRM kunnen ook makkelijk gevisualiseerd

worden in een elektronische leerpad.

Bovendien zorgt het gebruik van ICT voor tijdsbesparing en efficiëntie bij bepaalde oefeningen.

Het onderdeel over exponentiële functies hangt nauw samen met logaritmische functies. Een logaritmische functie is de inverse functie van een exponentiële functie. Ook bij logaritmische

functies zijn er tal van voorbeelden te vinden in onze leefwereld. Over logaritmische functies zal later nog een leerpad ontwikkeld worden.

2.2. EINDTERMEN EN LEERPLANDOELSTELLINGEN

Ik baseer me op de eindtermen van de derde graad voor een studierichting met een component wiskunde. Dit leerpad zou eventueel kunnen aangepast worden voor studierichtingen zonder een component wiskunde door enkele delen of oefeningen weg te laten. Inhoudelijk zijn de verschillen beperkt. Voor dit onderdeel zit het verschil vooral in de complexiteit en de hoeveelheid van de oefeningen.

Ik heb me gebaseerd op de leerplannen van de verschillende koepels (VVKSO, GO!, OVSG) van de derde graad ASO met een component wiskunde (6 tot 8 uur wiskunde per week). Ik zal hieronder de verschillende doelstellingen formuleren die betrekkingen hebben op exponentiële functies en deze koppelen aan de eindtermen. Deze eindtermen zijn dezelfde voor alle onderwijskoepels. De

leerplandoelstellingen voor exponentiële functies in het leerplan van het GO werden ook nagekeken om zeker te zijn dat het leerpad ook hier aan alle doelstellingen voldoet.

2.2.1. INHOUDELIJKE DOELSTELLINGEN

Volgende leerplandoelstellingen en eindtermen worden bereikt met het digitale leerpad: VVKSO

Leerplandoelstellingen uit D/2004/0279/019

AN11 De betekenis van de uitdrukking b

a , met a > 0 en b rationaal, uitleggen.

AN12 Exponentiële groeiprocessen onderzoeken en daarbij gebruik maken van de begrippen

beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.

AN13 De grafiek van de functie x

f(x)b.a tekenen en domein, bereik, bijzondere waarden, stijgen/dalen en asymptotisch gedrag van de grafiek aflezen en beschrijven.

AN17 Eigenschappen van exponenten en logaritmen gebruiken in berekeningen.

AN18 Vergelijkingen en ongelijkheden vanuit exponentiële en logaritmische functies oplossen. AN19 Vraagstukken en problemen, die vertaald kunnen worden naar problemen i.v.m.

exponentiële en logaritmische functies, oplossen en exponentiële en logaritmische functies gebruiken als modellen.

GO

Leerplandoelstelling uiten 2006/060

4.2.2 een afbeelding, een bijectie, een injectie, een even/oneven functie, een periodieke functie, een monotoon stijgende/dalende functie en kunnen een grafiek van deze functies schetsen;

4.14.1 De leerlingen kennen het begrip macht met een reële exponent

4.14.2 De leerlingen kunnen aan de hand van het functievoorschrift een tabel, het domein, enkele

bijzondere waarden en het tekenverloop bepalen van exponentiële functies

4.15.8 De leerlingen kennen het onderscheid tussen een lineair en een exponentieel groeiproces en

kennen de begrippen beginwaarde, groeifactor, groeipercentage, halveringstijd en verdubbelingstijd

4.15.8 kunnen vraagstukken oplossen, eventueel met behulp van ICT, die aanleiding geven tot

exponentiële en logaritmische functies (waaronder extremumvraagstukken) en kunnen de oplossingen van deze vraagstukken grafisch interpreteren.

4.15.9 kunnen het verloop en de grafiek van exponentiële en logaritmische functies bepalen.

Er staat in dit leerplan niets vermeld over het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden. Het kan natuurlijk als onderdeel van leerplandoel 4.15.8 worden beschouwd. OVSG

Leerplandoelstellingen uit O/2/2006/425

50 Verbanden kunnen leggen tussen tabellen, grafieken en tekst.

51 Op een grafiek eventuele symmetrieën, het stijgen, dalen of constant zijn; het teken; de eventuele nulwaarde en de eventuele extrema kunnen aflezen, ook met ICT-middelen.

77 Bij exponentiële groei een formule kunnen opstellen als de beginwaarde en de groeifactor of groeipercentage gekend zijn.

78 De uitdrukking ab _{, met a > 0 en b rationaal, kunnen uitleggen.}

80 De exponentiële functie f(x) = gx _{kunnen onderzoeken.}

81 Exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden met en zonder behulp van ICT kunnen oplossen.

83 Uit de betrekking ab _{= c de derde veranderlijke berekenen als de twee andere gegeven zijn.}

89 Toepassingen in andere disciplines kunnen bespreken.

Eindtermen

Eindtermen verbonden aan deze doelstellingen:

ET14 Lezen op een grafiek af: eventuele symmetrieën, het stijgen, dalen of constant zijn, het teken, de eventuele nulwaarden, de eventuele extrema.

ET21 De uitdrukking ab_{, met a>0 en b rationaal, uitleggen.}

ET22 _{De grafiek tekenen van de functie} x

f(x)b.a (zo nodig met behulp van ICT) en domein, bereik, bijzondere waarden, stijgen/dalen en asymptotisch gedrag van de grafiek aflezen.

ET24 Uit de betrekking ab _{= c de derde veranderlijke berekenen als de twee andere gegeven zijn} (eventueel met behulp van ICT).

ET25 Lineaire en exponentiële groeiprocessen onderzoeken en bij exponentiële groei concrete problemen oplossen waarbij berekeningen dienen uitgevoerd te worden met betrekking tot beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.

ET31 Bij het oplossen van een probleem, waarbij gebruik gemaakt wordt van bestudeerde

functionele verbanden, een functievoorschrift, een vergelijking of een ongelijkheid opstellen.

ET32 Tabellen en grafieken bij bestudeerde functies als hulpmiddel gebruiken om functievoorschriften, vergelijkingen en ongelijkheden te interpreteren.

Opmerking:

Dit leerpad is ook geschikt voor niet-wiskundige richtingen met 4 uur of 3 uur wiskunde.

Richtingen met 4 uur wiskunde kunnen in principe het volledig leerpad doorlopen, maar kunnen om tijd uit te sparen minder oefeningen maken. Deze oefeningen bevinden zicht steeds op het einde van een module, dus dit is perfect mogelijk. Het onderdeel over exponentiële ongelijkheden kunnen ze ook overslaan.

Richtingen met 3 uur wiskunde kunnen zich beperken tot module 1 en module 2. Hiermee bereiken ze alle leerplandoelen voor dit onderdeel.

2.2.2. ALGEMENE EINDTERMEN EN ATTITUDES

In het leerpad wordt ook aandacht besteed aan meer algemene eindtermen en attitudes. Het is belangrijk om deze regelmatig aan bod te laten komen in lessen. Dit mag dus ook niet ontbreken in een digitaal leerpad.

ET3 Eenvoudig mathematiseerbare problemen ontleden (onderscheid maken tussen gegevens en gevraagde, de relevantie van de gegevens nagaan en verbanden leggen ertussen) en vertalen naar een passende wiskundige context.

ET6 Voorbeelden geven van reële problemen die met behulp van wiskunde kunnen worden opgelost.

ET7 Bij het oplossen van wiskundige problemen functioneel gebruik maken van ICT.

ET9 Kennis, inzicht en vaardigheden die ze verwerven in wiskunde bij het verkennen, vertolken en verklaren van problemen uit de realiteit gebruiken.

ET12 Ontwikkelen zelfregulatie met betrekking tot het verwerven en verwerken van wiskundige informatie en het oplossen van problemen.

Een attitude die uitgebreid aan bod komt is het ontwikkelen van ‘kritische zin’. Dit is echter breder getrokken dan de kritische zin die behandeld wordt in het leerplan. In het leerplan wordt hierbij vooral gedoeld op kritische zin ten opzichte van het oplossingsproces en het resultaat. De kritische zin kadert hier meer in de Europese sleutelcompetenties voor een leven lang leren. De

basiscompetentie in wetenschappen en technologie omvat immers ook een kritische en nieuwsgierige attitude, belangstelling voor ethische vraagstukken en zorg voor veiligheid en ecologische duurzaamheid — in het bijzonder met betrekking tot de wetenschappelijke en

technologische vooruitgang met betrekking tot de eigen persoon, het gezin, de gemeenschap en de wereld. De voorbeelden en toepassingen die behandeld worden in dit leerpad hebben hier

rechtstreeks betrekking op. Er komen uiteraard nog meerdere competenties aan bod in het leerpad, maar deze is vrij uitgesproken.

2.3. OPBOUW LEERPAD

Het leerpad is opgebouwd uit 4 modules. Deze 4 modules staan in logische volgorde geordend en geven dus een indicatie over de manier waarop je het leerpad kan doorlopen. Bij elke module wordt vermeld welke eindtermen of leerplandoelen aan bod komen, alsook het geschatte aantal lessen dat er aan besteed kan worden.

ONDERDEEL LEERPAD # LESSEN EINDTERMEN

Module 1: Exponentiële groei 3 lessen ET3, ET21, ET24, ET25,ET32 Module 2: De exponentiële functie en haar grafiek 2 lessen ET7, ET14, ET22

Module 3: Exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden 2 lessen ET7, ET24, ET32

Eindterm ET12 is niet opgenomen in deze tabel. Deze eindterm heeft immers betrekking op het ontwikkelen van zelfregulatie voor het verwerven en verwerken van leerstof. Deze eindterm is inherent verbonden aan dit leerpad, want de opbouw van dit leerpad zet sowieso aan tot zelfregulatie. Dit werd reeds in de inleiding aangehaald.

2.4. DIGITALE TOOLS

Voor het opstellen van dit digitale leerpad wordt gebruik gemaakt van allerlei digitale tools.

2.4.1. XERTE EN SMARTSCHOOL

Xerte is een Learning Management System (LMS) en is leerplatformonafhankelijk. Je kan het wel makkelijk in een leerplatform integreren, zoals bijvoorbeeld Smartschool. Xerte geeft ook de mogelijkheid om het leerpad als SCORM-pakket te importeren in een digitale leeromgeving. het voordeel hiervan is dat de doorlooptijd van een module wordt bijgehouden, alsook de antwoorden op bepaalde vragen worden bijgehouden en zelfs gequoteerd. Het type vragen dat hiervoor in aanmerking komt zijn alle vragen die door het leerpad zelf meteen verbeterd kunnen worden: quizvragen, meerkeuzevragen, invulvragen met controle… Open vragen komen hiervoor niet in aanmerking. Dit kan echter opgelost worden door een link te leggen naar een Google Form. Nog simpeler is dat de leerling het antwoord neerschrijft op papier of in de cursus. De antwoorden kunnen dan achteraf per module worden ingediend in een uploadzone in Smartschool.

Het leerpad als SCORM-pakket implementeren in een digitale leeromgeving heeft enkele belangrijke voordelen:

 Het kan je belangrijke informatie geven met het oog op differentiatie na afloop van het leerpad. Als je merkt dat bepaalde leerlingen veel meer tijd nodig hebben dan anderen, kan dit erop wijzen dat ze ook tijdens een klassikale les moeite hebben om te volgen. Maar je kan ook inspelen op leerlingen die moeite hebben met een bepaald onderdeel door hen

bijvoorbeeld enkele aangepaste oefeningen te geven.

 Als ontwikkelaar van het leerpad krijg je zicht op bepaalde problemen. Zo kan een bepaalde vraag door iedereen fout beantwoord worden omdat deze onduidelijk is. Je kan dan de nodige aanpassingen doen.

 Je kan ook inschatten welke leerlingen het leerpad op een serieuze manier hebben doorlopen en werkelijk een leerproces hebben doorlopen. Leerlingen die elke pagina na 5 seconden doorklikken en veel foute antwoorden geven, hebben duidelijk geen inspanning geleverd om zich in te zetten tot zelfstudie.

2.4.2. GEOGEBRA

Geogebra is wijdverspreide wiskundige software waarmee allerlei soorten applets gemaakt kunnen worden. De applets zijn echter heel makkelijk door de leerlingen te gebruiken en vereisen weinig voorkennis. In dit leerpad wordt verondersteld dat leerlingen niet met Geogebra kunnen werken. In veel scholen wordt de grafische rekenmachine gebruikt en is er minder aandacht voor Geogebra. Het doel is wel om er de volgende jaren meer op in te zetten. Het gebruik van deze applets zal de

leerlingen warm maken voor deze wiskundige applicatie. De mogelijkheid bestaat om het leerpad de jaren nadien uit te breiden met nog meer interactieve oefeningen, waarbij de leerlingen Geogebra gebruiken om een exponentiële vergelijking grafisch op te lossen. Momenteel zullen de leerlingen deze oefeningen oplossen met hun GRM. De oplossing wordt echter vaak getoond in Geogebra. Wie wel al kennis heeft van Geogebra staat het uiteraard vrij om dit nu al te gebruiken voor het oplossen van oefeningen. Dit zorgt ook voor differentiatie: een leerling kiest zelf op welke manier hij/zij de oefening oplost.

2.4.3. MEDIA EN ANDERE APPLICATIES

In het Xerte leerpad wordt gebruik gemaakt van allerlei soorten media en bestanden om het traject gevarieerd, boeiend en interactief te maken. Deze afwisseling maakt het leerpad niet enkel boeiend, maar zorgt er ook voor dat de leerling dit leerpad als plezierig ervaart. Dit speelt dan rechtstreeks in op de intrinsieke motivatie van leerlingen (Valcke & De Craene, Klasmanagement en reflectie, 2020). Een kort overzicht:

 Youtube-video om een stuk leerstof te kaderen of er vragen aan te verbinden  Zelfgemaakte video met Screencast-o-Matic

 Afbeeldingen: foto’s, grafieken, schematische voorstellingen  Geogebra-applets

 Allerlei interactieve oefeningen  Medialessen

 Excel-bestand om een tabel aan te vullen  pdf-bestand voor extra oefeningen  een krantenartikel

 websites  …

Het is de bedoeling om op termijn ook nog audiobestanden toe te voegen aan dit leerpad. Er zijn leerlingen die beter auditief leerstof verwerken, anderen leren dan weer visueel sneller. Sowieso is een combinatie van beiden het best. Volgens het handboek ‘Krachtige leeromgevingen’ (Valcke, De Wever, Schellens, & Vanderlinde, 2019) is dit een sterkere cognitieve strategie. De leerlingen verwerken de leerstof op verschillende wijzen (multipele representaties): auditief en visueel. Dit komt nog meer aan bod in het didactisch luik.

2.5. HET LEERPAD

Het leerpad is gemaakt in Xerte en online beschikbaar via volgende link: https://toll-net.be/moodle/xertetoolkits/play.php?template_id=46113

3. GEBRUIK VAN HET LEERPAD

3.1. CURSUS

Het leerpad is zo opgebouwd dat het grotendeels volledig digitaal kan doorlopen worden. Toch kies ik ervoor om een cursus te verbinden aan dit leerpad. Hiervoor zijn verschillende redenen aan te halen.

 Het is niet evident om alle oefeningen puur digitaal aan te bieden. Vergelijkingen zal een leerling nog altijd schriftelijk maken. Dit is nog steeds efficiënter en sneller dan het uittypen van wiskundige vergelijkingen en symbolen. Bovendien beschikt Xerte niet over de

mogelijkheid om leerlingen wiskundige vergelijkingen te laten typen in antwoordvakken.  Sommige oefeningen worden bij voorkeur op papier uitgewerkt. Dit is zeker het geval als

bepaalde vaardigheden ingeoefend worden, zoals

o het structureren van een oplossing: oplossen exponentiële vergelijkingen, opstellen van een functievoorschrift op basis van de grafiek…

o tekenvaardigheid bij grafieken

 Niet alle leerlingen kunnen zelf een degelijke schriftelijke neerslag maken van een digitaal leerpad om later te gebruiken bij het instuderen voor bijvoorbeeld een examen. Deze leerlingen zouden dan opnieuw het leerpad kunnen doorlopen, maar dit kan tijdrovend zijn. Sommige leerlingen zijn bovendien snel afgeleid als ze op een laptop of PC studeren en beginnen doelloos te surfen of te gamen.

Bij zelfgemaakte notities tijdens een leerpad zal de structuur ontbreken, maar er zou ook opnieuw veel kostbare tijd kruipen in het maken van deze notities.

 De digitale tool die gebruikt werd is Xerte. Een digitaal leerpad in Xerte heeft beperkingen in het aanbieden van wiskundige oefeningen. Zo is de wiskundige formule-optie vaak afwezig bij de interactieve pagina’s in Xerte. Daardoor zijn de mogelijkheden beperkt.

 Vooral bij de verkennende oefeningen wordt vaak gevraagd aan de leerlingen om een tabel in te vullen. Ze kunnen deze digitaal invullen, want er wordt een excel-bestand beschikbaar gesteld met de lege tabel. Het is echter handig om de lege tabel op papier te hebben in de cursus. Een leerling heeft dan nog steeds de keuze om deze digitaal in te vullen of op papier. Dit past ook in het kader van differentiatie.

Een begeleidende cursus heeft dus zeker nut en voordelen. Het is echter niet noodzakelijk om een cursus te gebruiken. Je kan er als leerkracht immers ook voor kiezen om het leerpad op een andere manier in je lessen te implementeren. Ik kom hier in hoofdstuk 4 op terug.

De cursusdeel wordt steeds bij aanvang van een module ter beschikking gesteld. Zo kan de leerling rechtstreeks invullen in de cursus. De cursus is dus geen letterlijk neerslag van het leerpad, maar volgt wel de opbouw van het leerpad. De cursus is evenwel onvolledig. Dit wil zeggen dat de leerling zelf de cursus aanvult terwijl hij/zij het leerpad doorloopt. Er staan wel al lege tabellen en getekende assenstelsels in elk hoofdstuk. De vraagstukken, definities, eigenschappen, enz staan allemaal in de cursus maar je moet zelf nog de lege vakken invullen, alsook alle antwoorden op de vragen die gesteld worden tijdens het leerpad.

De leerling stelt dus wel een eigen cursus samen, maar op basis van een opgegeven structuur. De begeleidende cursus is toegevoegd als Bijlage A.

3.2. ROL VAN DE LEERKRACHT

3.2.1. BEGELEID ZELFSTANDIG LEREN

Dit leerpad is opgesteld om te gebruiken voor begeleid zelfstandig leren. Dit wil zeggen dat het leerpad door de leerlingen wordt doorlopen in een klasomgeving onder begeleiding van de

leerkracht. De leerkracht kan de werking van het leerpad toelichten of extra uitleg geven waar nodig. De leerkracht kan ook hints geven als bepaalde leerlingen problemen ervaren met een oefening of onderdeel. De hoofdbedoeling is dus wel dat leerlingen de leerstof zelfstandig doorlopen, verwerven en verwerken.

Het leerpad is vrij duidelijk opgebouwd en voorzien van de nodige instructies. Leerlingen kunnen het leerpad in principe dus ook doorlopen met begeleiding vanop afstand. Hierbij biedt het importeren van het leerpad als SCORM-pakket in Smartschool de mogelijkheid om de progressie van leerlingen te monitoren vanop afstand. Leerlingen kunnen bij problemen ook vragen stellen via Smartschool. Op deze manier is het leerpad ook geschikt voor afstandsonderwijs.

De leerkracht kan de vordering van de leerling ook goed opvolgen met behulp van een opvolgingslijst per leerling. Deze opvolgingslijst is toegevoegd als Bijlage B.

Het leerpad kan ook als volledige zelfstudie worden aangeboden, mits ook de begeleidende cursus ter beschikking wordt gesteld. Dit kan helpen als extra leidraad om de leerstof te structureren. Ongeacht de keuze voor zelfstudie of begeleid zelfstandig leren is het sowieso interessant om de leerlingen een middel te geven om zijn/haar progressie te monitoren. Daarom krijgt elke leerling een vorderingsoverzicht. Dit vorderingsoverzicht is toegevoegd als Bijlage C.

3.2.2. FLIPPING THE CLASSRO OM

Een andere optie is om het leerpad te gebruiken voor ‘flipping the classroom’. Het idee achter deze werkvorm is het omwisselen van klassikale les en huiswerk (Bulckaert, 2015). De klassikale

kennisoverdracht maakt plaats voor online instructie bij de leerling thuis. Het zogenaamde huiswerk bestaat dan uit het bekijken van een instructiefilmpje van de leerkracht of, in dit geval, het doorlopen van een deel van het leerpad. De oefeningen die bij een bepaalde module horen, kunnen dan op school gemaakt worden. Deze oefeningen bevinden zich vaak op het eind van een module.

Het voordeel van deze methode is dat er meer ruimte is tijdens de les op school voor extra uitleg en voor verdieping van de leerstof. ‘Flipping the classroom’ geeft de leerkracht meer mogelijkheid tot observeren en het geven van feedback tijdens de les, omdat er minder tijd gaat naar het aanbrengen van de theorie. Leerlingen sturen ook hier hun eigen leerproces doordat ze de leerstof thuis

verwerken op hun eigen tempo. Dus ook bij ‘Flipping the classroom’ biedt het elektronische leerpad mogelijkheden tot differentiatie.

3.3. DIFFERENTIATIE

Differentiatie kwam reeds enkele keren ter sprake. De grootste kans tot differentiatie binnen een klasgroep zit ongetwijfeld in het feit dat elke leerling de leerstof op eigen tempo kan verwerken. De mogelijkheid tot differentiatie in dit leerpad is ook verbonden met de rol van de leerkracht.

Daarnaast zijn er ook enkele mogelijkheden tot differentiatie ingebouwd in het leerpad. Hierbij enkele kansen op differentiatie voor de leerkracht tijdens de les:

 De leerkracht heeft de kans om te observeren in de les terwijl de leerlingen het leerpad doorlopen. Hij kan inspelen op leerlingen die problemen ervaren en extra uitleg geven of aangepaste oefeningen voorzien.

 Het importeren van het leerpad in Smartschool als SCORM-pakket geeft een goed zicht op de vooruitgang van het leerproces van elke leerling en het leertempo. Dit biedt de leerkracht kansen om bepaalde leerlingen bij te sturen of te ondersteunen. Andere leerlingen kunnen dan weer enkele meer uitdagende oefeningen krijgen.

Er zijn ook enkele aanzetten tot differentiatie ingebouwd in het leerpad:

 Bij module 1 is er een apart leerpad ingebouwd over machten met rationale exponenten. Sommige klasgroepen of leerlingen zullen dit onderdeel gezien hebben bij aanvang van het

hoofdstuk over exponentiële functies, anderen nog niet. Een leerling kan in module 1 op een bepaald moment kiezen om dit differentiërende leerpad te doorlopen of niet, afhankelijk van zijn/haar voorkennis.

 Module 4 is niet verplicht volgens het leerplan. Het is een toepassing van de verworven leerstof op problemen uit de realiteit. Het kan dus in zekere zin als een uitbreiding beschouwd worden want het speelt grotendeels in op de algemene eindtermen en sleutelcompetenties. Deze module kan je eventueel overslaan bij tragere leerlingen of aanbieden als extra uitdaging voor sterkere leerlingen.

 Er worden allerlei soorten oefeningen aangeboden tijdens het leerpad. Op het einde van elke module worden nog oefeningen voorzien om de module goed in te oefenen. Hier worden de standaardoefeningen voor de volledige klasgroep aangeboden. Er worden ook extra

oefeningen aangeboden met iets meer uitdaging voor leerlingen die de leerstof snel onder de knie hebben. Voor leerlingen die eerder problemen ervaren met deze module wordt dan weer extra aangepast oefenmateriaal voorzien.

 Er wordt niet verwacht dat leerlingen met Geogebra kunnen werken. Het staat de leerkracht echter vrij om de leerlingen Geogebra te laten gebruiken om bepaalde oefeningen op te lossen ipv de GRM. Zo kunnen leerlingen die aanleg en interesse hebben in ICT-toepassingen hier ook een extra uitdaging vinden.

Uiteraard kunnen leerlingen er ook voor kiezen om het leerpad in een eigen volgorde te doorlopen. In principe zullen weinig leerlingen dit doen, aangezien de modules genummerd zijn. Ze zullen geneigd zijn de nummering te volgen. De nummering ondersteunt ook de logische opbouw van de leerstof. Het leerpad is omwille van de structuur sterk gestuurd, maar biedt toch heel wat

4. DIDACTISCHE ONDERBOUWING

Bij het opstellen van dit leerpad werd gebruik gemaakt van allerlei didactische strategieën. Hiervoor steunde ik op kennis uit de cursussen ‘Krachtige leeromgevingen’ (Valcke, De Wever, Schellens, & Vanderlinde, 2019) en Klasmanagement en reflectie (Valcke & De Craene, Klasmanagement en reflectie, 2020).

4.1. COGNITIVISTISCHE STRATEGIEËN

Bij cognitivistische strategieën staat de interne cognitieve verwerking centraal. Het doel van deze strategieën is om de leerstof zo aan te bieden dat ze die makkelijker kunnen onthouden. Dit heeft enerzijds te maken met de manier waarop de leerstof georganiseerd wordt, maar anderzijds ook met het activeren van de leerlingen om de leerstof makkelijker te verwerken.

4.1.1. NON-LUNGUÏSTISCHE REPRESENTATIES (NLR)

Bij NLR’s wordt een deel tekst of een theorie grafisch voorgesteld. Deze grafische voorstelling kan een concept map zijn, maar ook een schema of foto. De bedoeling is dat de hoeveelheid tekst beperkt wordt en vervangen wordt door beelden. Dit beperkt de ‘cognitive load’.

Figuur 1: NLR - procedure voor oplossen van een exponentiële vergelijking.

Exponentiële vergelijkingen kunnen met de GRM worden opgelost. Om deze methode uit te leggen zou dit een vrij lange en vermoedelijk onduidelijke tekst zijn. De leerlingen zouden de tekst dan stap voor stap moeten doorlopen met hun GRM. De leerlingen hebben echter een heel goede voorkennis van de GRM, want ze gebruiken dit reeds enkele jaren in de lessen wiskunde. Screenshots van een

GRM komen dus zeer vertrouwd over en niet elke kleine tussenstap hoeft beschreven te worden. De oplossingsprocedure kan dus schematisch worden aangeboden als een procedure met screenshots (Figuur 1). De leerlingen zien door het overzicht bovenaan ook makkelijker de onderliggende structuur van de oplossingsmethode. Door de voorkennis kan deze nieuwe oplossingstechniek ook beter opgenomen worden in het lange termijn geheugen (Valcke, De Wever, Schellens, &

Vanderlinde, 2019). De leerling kan zijn handeling ook koppelen aan het beeld dat hij ziet en het beeld op de GRM bij elke stap vergelijken met de screenshots in het leerpad. Dit is dus zeker een goede cognitivistische strategie.

In module 1 worden enkele voorbeelden uitgewerkt van exponentiële toename en afname en hoe dit gerelateerd kan worden aan procentuele toename of afname. Procentuele toename en afname is vertrouwde kennis voor de leerlingen. Omwille van deze voorkennis kan gebruik gemaakt worden van een NLR om de propositie van procentuele toename en afname te koppelen aan de nieuwe propositie ‘groeifactor’. De groeifactor is op deze manier geen geïsoleerde propositie. De grafische voorstelling van beide proposities gebeurt met behulp van een pijlenschema. Je kan van stap 1 naar stap 2 gaan op 2 manieren: met procenten of met groeifactoren (Figuur 2). Deze NLR legt ook de link naar de formule die erboven staat.

Figuur 2: NLR - schematische voorstellingen van groeifactoren.

Dit laatste voorbeeld zou ook passen bij de een andere cognitivistische strategie: aanduiden van gelijkenissen en verschillen.

4.1.2. AANDUIDEN VAN GELIJK ENISSEN EN VERSCHILLEN

In figuur 2 wordt een vergelijking gemaakt tussen de net aangeleerde concepten: procentuele toename en de groeifactor, procentuele afname en de groeifactor, en de invloed van de tijdseenheid

op de groeifactor. Maar er komen nog enkele mooiere voorbeelden van deze cognitivistische strategie voor in dit leerpad.

Een ander mooi voorbeeld van deze strategie is de vergelijking tussen exponentiële en lineaire groei. De nieuwe, declaratieve kennis van exponentiële groei wordt beter verwerkt en geordend door de analogie te maken met de gekende kennis van lineaire groei. De vergelijking is heel overzichtelijk en gestructureerd uitgewerkt in figuur 3.

Beide concepten werden eerst geïntroduceerd in een voorbeeld. Nadien wordt dit samengevat op één pagina: links wordt lineaire groei uitgewerkt, rechts wordt exponentiële groei uitgewerkt. Beide concepten zijn naast elkaar en op dezelfde manier opgebouwd, zodat de verschillen en gelijkenissen van beide types groei kunnen opgespoord worden door leerlingen. Dit helpt bij de organisatie van de geheugeninformatie.

Deze strategie kan ook zorgen voor een ‘aha-erlebnis’ bij de leerling. De leerling krijgt een inzicht en heeft het gevoel zelf tot dit inzicht te zijn gekomen. Dit wordt ook een doorkijk-moment genoemd en zorgt er voor dat de leerling gemotiveerd wordt.

Figuur 3: Lineair vs exponentieel, een voorbeeld van het aanduiden van gelijkenissen en verschillen en multipele representatie.

Deze pagina is eveneens een heel goed voorbeeld van ‘multipele representaties’. Op deze strategie kom ik in paragraaf 4.1.3 nog even terug.

Een ander voorbeeld is de vergelijking van de eigenschappen van een exponentiële functie met grondtal a > 1 of grondtal 0 < a < 1. Ook hier worden beide grondtallen naast elkaar en gelijklopend samengevat. Er wordt echter nog een extraatje aan toegevoegd door middel van een oefening (Figuur 4). De leerling moet in deze oefening de verschillende eigenschappen bij het juiste grondtal plaatsen: is dit een eigenschap van positieve groei, van negatieve groei, of is de eigenschap op allebei van toepassing. Zo worden de verschillen en gelijkenissen tussen beide concepten heel duidelijk en denkt de leerling hier ook zelf over na.

Deze cognitivistische strategie komt nog meermaals voor in dit digitaal leerpad (vb. transformaties van de grafiek, asymptotische gedrag van exponentiële functies, oplossen exponentiële

vergelijkingen en ongelijkheden…)

Figuur 4: Een interactieve oefening die inspeelt op het aanuiden van gelijkenissen en verschillen.

4.1.3. MULTIPELE REPRESENTA TIES

Deze strategie zorgt voor een rijkere ervaringsbasis door kennis aan te bieden in verschillende vormen. Er wordt gebruik gemaakt van gevarieerde representaties. Het voorbeeld in figuur 3 is ook een voorbeeld van de instructiestrategie ‘multipele representaties’. In de vergelijking die wordt gemaakt tussen lineaire en exponentiële groei wordt immers gebruik gemaakt van verschillende soorten representaties van hetzelfde voorbeeld:

 Een schema (tabel) met aanduiding van de groeisnelheid en groeifactor via pijlen.  Een grafiek waarbij opnieuw groeisnelheid en groeifactor worden aangeduid.

 Een tekstuele representatie onder vorm van definitie en voorschrift.

4.1.4. STRUCTUUR EN SAMENHANG

De leerling krijgt een cursus. Hij/zij vult deze cursus in terwijl het leerpad doorlopen wordt. De leerling neemt in zekere zin notities, want gaat een neerslag maken van wat zonet geleerd is. Dit gebeurt op een andere manier dan in de klas. Het leerpad zorgt immers voor een basisstructuur, maar ook de oningevulde cursus toont deze structuur. Zo leert de leerling hoe hij/zij notities structuur kan geven.

Het schema van het lesoverzicht wordt meermaals aangeleverd in het leerpad. Elke module start immers met een algemeen overzicht van de 4 modules: welke leerstof zal behandeld worden. Het toont een verticale samenhang. De verticale samenhang van de leerstof wordt af en toe aangehaald.

Figuur 5: Overzichtspagina's in het leerpad

Enkele voorbeelden:

 Verwijzen naar een analogie met rijen.

 Terugkoppelen naar machten met gehele exponenten en dit uitbreiden naar rationale en reële exponenten.

 Op het einde van het leerpad verwijzen naar het volgende hoofdstuk over logaritmische functies. Een logaritmische functie is de inverse functie van een exponentiële functie. De module start vervolgens met een inhoudsopgave. Er wordt dus een basisschema aangeleverd. Dit schema geeft de leerling een goed beeld van de structuur en de opbouw van het leerpad. De leerling kan zelf een onderwerp kiezen in de inhoudsopgave, en kan dus zelf zijn leerproces sturen.

4.2. MOTIVATIE

Er bestaan tal van methodes en technieken om de motivatie bij de leerlingen te verhogen. In dit leerpad wordt hier vaak op ingespeeld.

4.2.1. ZELFDETERMINATIETHEO RIE (ZDT)

De zelfdeterminatietheorie van Deci en Ryan (Deci & Ryan, 2001) is een vaak gehanteerde theorie voor het motiverend lesgeven. Deze theorie heet ook de ABC-theorie omdat deze vertrekt vanuit drie basisbehoeftes van leerlingen:

 Autonomie: leerling is zichzelf en mag vrijwillig handelen, denken en voelen. Hij/zij krijgt een ervaring van keuze en psychologische vrijheid.

 erBij horen (Belonging): de leerling ervaart een warme en authentieke band met anderen. Hij/zij draagt zorg voor anderen en wil geliefd worden.

 Competentie: de leerling krijgt het gevoel van bekwaamheid om een taak of activiteit uit te voeren. Hij/zij kan gewenste doelen bereiken en eigen vaardigheden ontplooien.

Een digitaal leerpad voor begeleid zelfstandig leren speelt automatisch in op de behoeftes van autonomie en competentie. De leerling krijgt immers de vrijheid en het vertrouwen om zelfstandig de leerstof te verwerven en het leerpad door te nemen.

De autonomie wordt ook versterkt door de leerling vrijheid van keuze te geven. Aangezien dit leerpad redelijk gestuurd en gestructureerd verloopt is de vrijheid van keuze beperkt. Toch is deze vrijheid merkelijk aanwezig. De leerling kan bijvoorbeeld kiezen om al dan niet het

differentiatieleerpad over machten met rationale exponenten te doorlopen. Hij/zij heeft ook de keuze om extra oefeningen te maken als uitdaging of als ondersteuning bij problemen.

In het elektronisch leerpad zitten ook allerlei oefeningen waarbij de leerling zelf de leerstof ontdekt. Na het beantwoorden van enkele verkennende vragen kan de leerling zelf tot de conclusie komen die dan als theorie wordt aangebracht. Dit versterkt het competentiegevoel van de leerlingen.

Er is een grote variatie in het soort vragen. Bij veel vragen kunnen hints worden ingebouwd:

meerkeuze, invuloefeningen, categoriseren… Na één of twee foute antwoorden op een vraag, krijgt de leerling een hint om tot het juiste antwoord te komen. Dit zorgt ervoor dat de leerlingen dat de meer succeservaringen hebben en niet gefrustreerd geraken omdat ze het juiste antwoord niet vinden (Maes, 2020). Zo ontwikkelen de leerlingen meer zelfvertrouwen. Deze ontwikkeling van zelfvertrouwen wordt zelfs in de eindtermen vermeld. Het speelt ook in op zowel de

competentiebehoeft als de behoeft van ‘belonging’. Je kan dit nog versterken door leerlingen het leerpad te laten doorlopen en dan een stuk van de leerstof voor de klas te laten brengen.

Een ander voordeel van een digitaal leerpad is dat de angst voor het maken van fouten zo goed als wegvalt. Een leerpad wordt immers individueel doorlopen. Een leerling hoeft zo geen schrik te hebben van reacties van medeleerlingen of leerkracht bij het geven van een fout antwoord. Dit kan rust geven voor bepaalde leerlingen en hun leerproces verbeteren: ze durven antwoorden en een ‘trial en error’-proces te doorlopen. Dit vergroot de autonomie en het gevoel van competentie.

4.2.2. INTRINSIEKE OF INTERNE MOTIVATIE

De belangrijkste motivatie is ongetwijfeld de interne of intrinsieke motivatie. Deze motivatie is immers volledig autonoom en intern gestuurd, waardoor leerlingen uit zichzelf een taak uitvoeren of leerstof verwerken (Valcke & De Craene, 2020). Deze motivatie ontstaat vaak uit interesse, plezier of verbondenheid met de eigen waarden.

Deze motivatie kan bij een leerling op verschillende manieren getriggerd worden.

Een digitaal leerpad zorgt voor veel variatie in de manier waarop de leerstof wordt aangeboden. Er wordt gebruik gemaakt van video’s, foto’s, afwisselende en interactieve oefeningen en applets… Door al deze elementen probeer ik de leerstof op een leuke en verrassende manier te presenteren, zodat de leerling plezier beleeft aan het leerpad. Als een leerling iets graag doet, zal hij/zij heel gemotiveerd zijn. Dit versterkt het leerproces.

Een aspect waar ik als leerkracht veel belang aan hecht is het aantonen van de relevantie van leerstof. Deze relevantie kan de interesse van de leerling opwekken. Het toont ook het ‘nut’ en de toepasbaarheid van de leerstof. Een leerling zal zich immers altijd de vraag stellen: ‘Wat ben ik hier nu mee’. Door de leerstof aan te bieden met relevante voorbeelden uit hun leefwereld en/of de actualiteit speel je automatisch in op deze vraag.

Hoe dichter het voorbeeld of de oefening zich bij de leefwereld van de leerling bevindt, hoe beter. In dit leerpad komen heel veel realistische voorbeelden en oefeningen aan bod. Enkele voorbeelden:

 De exponentiële groei van de wereldbevolking en de mogelijke problemen. Hier wordt zelfs de analogie met de aangroei van een bacteriecultuur gelegd om het probleem beter te visualiseren. Dit probleem komt meermaals in het leerpad aan bod in verschillende vormen. Er wordt ook een link gelegd met een geschiedkundig figuur (Robert Malthus) en een mogelijk voedseltekort.

 De verspreiding van het coronavirus en de impact op de gezondheidszorg (aantal beschikbare ziekenhuisbedden). De oefening wordt ook uitgebreid naar de invloed van de maatregelen op de verspreiding van het virus.

 De sprinkhanenplaag in Oost-Afrika die zich gelijktijdig met de coronacrisis afspeelt.  De kernrampen in Fukushima en Tsjernobyl.

 Het aantal ‘hits’, ‘likes’ of ‘shares’ op sociale media.  Een lekke band tijdens het fietsen.

 …

De laatste twee voorbeelden leunen uiteraard het dichtste aan bij de leefwereld van de leerlingen. De andere voorbeelden hebben naast het aantonen van de relevantie nog een ander doel: het ontwikkelen van een kritische blik op de wereld en de maatschappij. De leerlingen krijgen een bredere kijk op reële, actuele problemen. Dit draagt bij tot de competentie ‘het ontwikkelen van burgerzin’. Dit is een heel belangrijke competentie en kan niet genoeg belicht worden.

De verschillende voorbeelden leggen ook linken met andere vakken, zoals chemie (radioactiviteit), aardrijkskunde (wereldbevolking, voedseltekort), biologie (virus, sprinkhanenvoortplanting…). Dit speelt in op de horizontale samenhang van de leerstof.

De voorbeelden werken sowieso als goede ankerpunten voor de leerling om leerstof te kunnen onthouden.

In het leerpad zit tenslotte ook een voorbeeld van het aanwakkeren van de nieuwsgierigheid van de leerlingen. Het leerpad begint immers met een verkennend voorbeeld: het vouwen van een blad papier. Na een aantal keer vouwen wordt het papier te dik om nog verder te vouwen. Maar de verwondering treedt op wanneer de leerling verneemt dat na 45 keer vouwen het blad papier zo dik is als de afstand van de aarde tot de maan. Dit kan ervoor zorgen dat de leerling geprikkeld is en er meer over wil weten. Dit kan leiden tot leergierigheid.

4.3. TAXONOMIE VAN BLOOM

Tijdens het leerpad worden heel wat vragen gesteld aan de leerling. De vragen zijn van uiteenlopende moeilijkheidsgraad. Soms zijn dit open vragen, maar het kunnen ook klassieke oefeningen zijn om op papier op te lossen, of interactieve oefeningen. Deze vragen maken deel uit van het instructieproces en maken deel uit van een formatieve evaluatie. Als het leerpad via SCORM geïmporteerd is in Smartschool kan de leerkracht de antwoorden immers zien. Het doel van deze vragen is om de leerling tot bepaalde inzichten te brengen.

Hierbij hou ik rekening met de kwaliteit van de vraag. De vraag bepaalt immers het niveau van de cognitieve verwerking van de leerling bij het beantwoorden van de vraag. Deze niveaus van cognitieve verwerking worden weergegeven in de taxonomie van Bloom (Figuur 6).

Figuur 6: De taxonomie van Bloom (Valcke, De Wever, Schellens, & Vanderlinde, 2019).

Vragen van een hogere orde vereisen meer inzicht en een hoger verwerkingsniveau van de leerstof. Ik kies er dus voor om niet enkel gesloten vragen te stellen, zoals meerkeuzevragen of invulvragen. Dit zijn uiteraard de vragen die wel makkelijker te implementeren zijn in een digitaal leerpad. Af en toe worden er ook open vragen gesteld. Deze vragen worden dan niet ingevuld in het digitaal leerpad maar ze worden verwerkt op papier en ingediend via de uploadzone in Smartschool. Op deze manier wordt de leerling er wel toe gedwongen om effectief over de vraag na te denken en te antwoorden. Soms worden er in het leerpad ook open vragen gesteld, waarbij het antwoord op de volgende pagina wordt gegeven. De open vraag heeft enkel tot doel om de leerling eerst zelf te laten nadenken en niet zomaar de nieuwe informatie aan te reiken. Deze open vragen hebben vaker een hoger inhoudsniveau en een hoger gedragsniveau volgens de taxonomie van Bloom.

Enkele voorbeelden van vragen van een hoger niveau:

1. Kan je bij de transformatie van de grafiek van een exponentiële functie alle transformaties zomaar onderling wisselen van volgorde? Onderzoek zelf aan de hand van een voorbeeld.

Gedragsniveau: EVALUEREN

De leerling doet een uitspraak. Hij zal die uitspraak gaan evalueren aan de hand van voorbeelden en daaruit bepaalde conclusies afleiden.

Inhoudsniveau: PROCEDURELE KENNIS

De leerling gaat na wanneer het best is om een bepaalde procedure te gebruiken. Het toepassen van transformaties is een procedure, waarbij de volgorde van bewerkingen wel degelijk van belang is, afhankelijk van de transformatie.

Er kan wel een aangepaste versie gemaakt worden voor een vraag in gesloten vorm waarbij je het inzicht kan nagaan:

Je ziet hier twee transformaties waardoor de grafiek van f(x) = 2x _{wordt getransformeerd in de}

grafiek van f(x) = 3.2x _{-2. Kan je deze transformaties van volgorde wisselen en toch nog steeds}

dezelfde grafiek bekomen?

 uitrekking volgens de y-as met factor 3

 verticale verschuiving met 2 eenheden naar beneden

2. Kan het grondtal van een exponentiële functie negatief mag zijn? Waarom wel/niet? Gedragsniveau: EVALUEREN

De leerling gaat de exponentiële functie kritisch benaderen. Hij zal enkele gevallen bestuderen en controleren of dit geval al dan niet bestaat. Uiteindelijk moet hij zelf tot de conclusie komen dat je bij negatieve grondtallen met reële exponent ook even

machtswortels van negatieve getallen kan uitkomen, en deze bestaan niet in R. Inhoudsniveau: CONCEPTUELE KENNIS

De leerling heeft enkel nood aan zijn kennis van een exponentiële functies en het rekenen met machten en wortels. De definitie van machten en wortels van reële getallen volstaat om deze vraag te beantwoorden.

3. Los de volgende exponentiële vergelijking op: 4x _{+ 2}x _{-3 = 0 ?}

Gedragsniveau: TOEPASSEN

Hier wordt het toepassingsvermogen van de leerling nagegaan. De leerling dient eerst kennis op te halen over de manier waarop een exponentiële vergelijking kan opgelost worden. Als de leerling ziet dat deze vergelijking kan opgelost worden met substitutie kan hij/zij deze methode toepassen om uiteindelijk de oplossingen van de vergelijking te vinden. Inhoudsniveau: PROCEDURELE KENNIS

De leerling past een aangeleerde methode toe voor het oplossen van een exponentiële vergelijkingen. Dit is procedurele kennis.

4.4. EVALUATIES

In het leerpad zijn regelmatig formatieve evaluaties voorzien. De leerling lost tijdens elke module verschillende vragen op om de leerstof stap per stap te verwerken. Op het einde van elke module worden enkele oefeningen gemaakt om de volledige module in te oefenen. Deze opgeloste oefeningen dient de leerling in op Smartschool via de uploadzone. Dit kan gebruikt worden als formatieve evaluatie.

Je kan er als leerkracht ook voor kiezen om het leerpad via SCORM te importeren in Smartschool. Op deze manier kan je monitoren hoe een leerling presteert op de vragen tijdens het leerpad. Deze kleine formatieve evaluaties kan je dan gebruiken als aanzet tot differentiatie.

Er is geen finale formatieve evaluatie ingebouwd in het leerpad. Module 4 geldt als een goede formatieve evaluatie omdat je hier alle leerstof uit het leerpad gebruikt om de vraagstukken op de te lossen. Je kan als leerkracht natuurlijk altijd een normale formatieve evaluatie op papier (en

5. CONCLUSIE

5.1. TROEVEN

Het integreren van dit elektronisch leerpad heeft allerlei troeven. Kort samengevat zijn enkele van deze troeven:

 De grootste troef van dit elektronisch leerpad zit hem in de zelfstandigheid van de leerling. De leerling ontwikkelt zelfregulatie met betrekking tot het verwerven en verwerken van wiskundige informatie. De voornaamste factor die de leerling zelf bepaalt, is het leertempo.  Het biedt mogelijkheden tot differentiatie binnen de klasgroep. Er zijn enkele mogelijke

differentiaties geïmplementeerd in het leerpad, maar een leerpad geeft de leerkracht ook kansen om te observeren en te differentiëren tijdens deze lessen. De mogelijkheden werden besproken in paragraaf 3.3.

 Dit elektronisch leerpad heeft allerlei troeven die inspelen op de motivatie van de leerlingen. Het voldoet aan de behoeftes van autonomie, belonging en competentie volgens de

zelfdeterminatietheorie. De intrinsieke motivatie van leerlingen wordt ook sterk getriggerd door het gebruik van allerlei media, applets, gevarieerde interactieve oefeningen en linken met reële problemen en actualiteit.

 Allerlei didactische technieken en cognitivistische strategieën werden geïmplementeerd in dit leerpad.

 Dit leerpad voldoet aan alle eindtermen verbonden aan dit leerstofonderdeel. Er wordt ook veel aandacht besteed aan de ontwikkeling van enkele algemene eindtermen, attitudes en sleutelcompetenties.

 Je kan als leerkracht dit leerpad op verschillende manieren gebruiken: begeleid zelfstandig leren, differentiëren, flipping the classroom, enkel bepaalde onderdelen gebruiken…  Een digitaal leerpad is een ideale tool voor afstandsonderwijs, zeker indien deze via SCORM

geïmporteerd wordt in een digitale leeromgeving.

5.2. BEPERKINGEN EN VALKUILEN

Geen enkele didactische tool is perfect. Ook aan dit digitale leerpad zijn enkele beperkingen en valkuilen verbonden.

 ICT-materiaal: elke leerling moet een laptop, PC of tablet ter beschikking hebben om het leerpad te doorlopen.

o Op school kan je hiervoor gebruik maken van een PC-lokaal, maar als je de volledige lessenreeks wil doorlopen met het digitale leerpad zal het PC-lokaal meerdere lessen na elkaar beschikbaar moeten zijn. Dit is niet evident op de meeste scholen.

o Bij ‘Flipping the classroom’ doorlopen de leerlingen als huiswerk thuis een deel van het leerpad. Ze moeten dan thuis een PC ter beschikking hebben.

 Xerte heeft beperkingen, zeker voor wiskundige leerpaden. Enkele voorbeelden: o Je kan in gewone tekst gebruik maken van een LateX-module om wiskundige

formules en uitdrukkingen te typen. Deze module is echter niet beschikbaar bij invuloefeningen, labels voor categoriseren, quizvragen… Kortom, bij interactieve pagina’s laat deze module het vaak afweten, waardoor de mogelijkheden in vraagstelling beperkt worden.

o Er is een uitgebreid aanbod aan interactieve of voorgestructureerde pagina’s. Maar deze pagina’s zijn dan vaak beperkt tot exact die mogelijkheden. Je kan bijvoorbeeld geen applet integreren op een pagina met quizvragen. Bij een video kan je ook geen invuloefening voorzien. Dit zijn maar enkele voorbeelden van problemen waar je op stoot bij het ontwikkelen van een leerpad in Xerte.

 Ondersteuning aan de hand van een cursus of geschreven neerslag is aangeraden. Zo heeft de leerling ook een houvast bij het studeren achteraf (vb. voor examen).

 Het maken van een digitaal leerpad is heel arbeidsintensief en tijdsconsumerend. Dergelijke leerpaden moet je goed op voorhand ontwikkelen en testen.

BRONVERMELDING

Bulckaert, W. (2015, April 24). Flipping the classroom zet de les op zijn kop. Opgehaald van Klasse: https://www.klasse.be/507/flipping-the-classroom-zet-de-les-op-zijn-kop/

Deci, E., & Ryan, E. (2001). Self-Determination Theory and the Facilitatin of Intrinsic Motivation, Social Development and Well-Being. American Psychologist, 68-78.

Maes, G. (2020, mei 25). Het motiveren van leerlingen voor het vak wiskunde. Vakdidactiek Wiskunde II, Universiteit Gent.

Maes, G., & Van Damme, T. (sd). Binnenklasdifferentiatie d.m.v. elektronische leerpaden. Vakdidactiek Wiskunde, Universiteit Gent.

Valcke, M., & De Craene, B. (2020). Klasmanagement en reflectie. Academia Press.

Exponentiële functies

Deze cursus kan je ook doorlopen aan de hand van een digitaal leerpad:

https://toll-net.be/moodle/xertetoolkits/play.php?template_id=46113

MODULE 1: DE GROEIFACTOR

V

Voorbeeld 1: papier vouwen

Neem een blad papier en vouw het zoveel mogelijk.

Hoeveel keer kan je het blad papier vouwen?___________________

Veronderstel dat een blad papier 0,001cm dik is. Bepaal nu de dikte na elke vouw. Gebruik

onderstaande tabel.

aantal

vouwen

dikte papier

(in cm)

vouwen

aantal

dikte papier

(in cm)

0

0,001

11

1

0,002

12

2

13

3

14

4

15

5

…

6

20

7

…

8

25

9

…

10

30

Na hoeveel vouwen is het papier dikker dan jezelf?________

Na hoeveel vouwen is de dikte van het papier groter dan de gemiddelde afstand van de

aarde tot de maan? _______

Voorbeeld 2: sprinkhanenplaag

Lees eerst het volgende artikel:

https://www.hln.be/wetenschap-planeet/dieren/de-

merkwaardige-metamorfose-van-treksprinkhanen-hoe-ze-qua-uiterlijk-en-gedrag-veranderen-van-eenzaten-in-plaag-van-miljarden~aa9912321/

Los de volgende vragen op over het artikel en de voortplanting van een zwerm sprinkhanen:

1. In welke landen was er in februari 2020 een plaag van woestijnsprinkhanen?

2. Stel dat er in februari 2020 een zwerm van 30 miljoen sprinkhanen was.

a. Wanneer zal de volgende generatie sprinkhanen uitkomen?

b. Uit hoeveel sprinkhanen zal deze generatie bestaan?

3. In augustus 2020 zullen de sprinkhanen met nog veel meer zijn.

a. Met hoeveel zullen ze dan zijn?

b. Kan je dit getal schrijven als een macht van 10? (voorbeeld: 3000 = 3 x 103)

c. Hoeveel vierkante kilometer neemt deze zwerm in?

Voorbeeld 3: Bestrijding van de sprinkhanenplaag

De woestijnsprinkhanen eten alles op wat ze op hun weg tegenkomen. Zo staat in het artikel

het volgende: “Een zwerm die zich verspreidt over 1 vierkante kilometer eet het equivalent

aan voedsel op van 35.000 mensen. “

Daarom worden deze immense zwermen sprinkhanen bestreden met allerlei pesticiden om

hongersnood in Oost-Afrika te voorkomen. Hierbij worden vliegtuigjes ingezet. Vaak zijn er

te weinig vliegtuigjes om het hele gebied waarover een zwerm vliegt, te besproeien. In het

ideale geval waarbij het volledige gebied besproeid kan worden, halveert het aantal

sprinkhanen per dag.

Stel dat er voldoende vliegtuigjes met pesticiden beschikbaar zijn om een zwerm van 600

miljoen sprinkhanen dagelijks te besproeien. Dit betekent dat het aantal sprinkhanen

dagelijks halveert.

1. Vul de tabel op de volgende pagina in. Als je de tabel hebt ingevuld, beantwoord dan de

volgende vragen.

2. Na hoeveel dagen zijn er minder dan 30 miljoen sprinkhanen?

3. Na hoeveel dagen zijn er minder dan 1 miljoen sprinkhanen?

aantal dagen aantal sprinkhanen

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Conclusie

We kunnen uit de twee voorbeelden enkele conclusies trekken:

 De dikte van het papier neemt per vouw toe met een factor ____.

 Het aantal sprinkhanen groeit per 3 maand met een factor ____.

 Het aantal sprinkhanen halveert elke dag indien ze besproeid worden met

insecticiden. Ze 'groeien' dus met een factor ____.

Dit zijn allemaal voorbeelden van exponentiële groei.

L

Introductie met rijen

In de tweede graad maakte je kennis met rijen.

Een rij is een aantal reële getallen in een bepaalde volgorde gegeven. Een rij (un) bestaat uit

een aantal elementen en wordt algemeen als volgt genoteerd:

(u

):u

,u

,u

,…u

,…

Er bestaan veel verschillende soorten rijen. Een rij is volledig bepaald als we voor elk

volgnummer een bijbehorende term kunnen berekenen. Dit kan op verschillende manieren

gebeuren.

Als je bij een rij een formule

u

= f(n)

kan vinden waarbij elke term u

bepaald kan worden

voor elke n, dan is de rij bepaald door een expliciet voorschrift.

Als je een rij kan voorstellen met een formule van de vorm

u

= f(u

)

spreken we van een

recursief voorschrift.

Enkele voorbeelden:

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Rij van de priemgetallen: geen voorschrift

2, 6, 18, 54, 162,…

Meetkundige rij met recursief voorschrift: u

= 2 en u

= 3⋅u

0, 1, 4, 9, 25, 36, 49,… Rij van de kwadraten van natuurlijke getallen met expliciet

voorschrift: u

=n

.

Rekenkundige en meetkundige rij

Bij een rekenkundige rij ontstaat elke volgende term door bij de voorgaande term een

constante op te tellen. Het getal waar steeds mee wordt opgeteld noemt men het verschil v.

Bij een meetkundige rij ontstaat elke volgende term door de voorgaande term met een

constante te vermenigvuldigen. Het getal waar steeds mee wordt vermenigvuldigd noemt

men de reden q.

Voorbeeld rekenkundige rij

Een jongen is grote fan van Pokemon. Zijn ouders besluiten hem voor zijn verjaardag een

heel jaar lang Pokemon kaarten cadeau te doen. Zo kan hij een verzameling beginnen. Hij

krijgt op zijn verjaardag drie kaarten cadeau. Nadien krijgt hij er elke week drie kaarten bij.

Dus hij start in week 1 met 3 kaarten, in week 2 heeft hij 6 kaarten, in week 3 al 9 kaarten,

enz.

Dus we krijgen de volgende rekenkundige rij:

u

= 3,u

= 6,u

=9,...

Voorbeeld meetkundige rij

Een fenomeen dat je vaak tegenkomt op sociale media is ‘Pay It Forward’. Je wordt getagd in

een facebookbericht en uitgedaagd om 5 foto’s te posten van je favoriete muziekalbums. Als

je dit doet, moet je zelf ook drie mensen taggen die hetzelfde doen. Ik begin en selecteer

drie mensen.

Deze drie mensen zijn het eerste element uit de rij: u

= 3

Als elk van deze drie mensen opnieuw drie mensen taggen, worden nu 3⋅3=9 mensen

uitgedaagd. Dus: u

= 9

Rekenkundige rij

Rekenkundige rij met verschil v=3 en u

= 3

Recursief voorschrift:

u

= u

+ 3

Explicitiet voorschrift:

u

= 3⋅ n

Grafische voorstelling

Meetkundige rij

Meetkundige rij met reden q=3 en u

= 3

Recursief voorschrift:

u

= 3 . u

Explicitiet voorschrift:

u

= 3

Grafische voorstelling

Door de punten van de grafiek van een rekenkundige rij kan je steeds een _______________

tekenen.

Een _______________ rij stijgt vanaf een bepaalde waarde veel sneller dan een

________________ rij.

Actueel voorbeeld van lineair versus exponentieel

De pandemie door het coronavirus was het gevolg van de hoge besmettingsgraad van het

virus. Laat ons een soortgelijk, fictief virus beschouwen.

Bij een erg besmettelijk virus verdrievoudigt het totaal aantal besmette personen (n(t)) elke

dag.

Een besmet persoon keert terug van skireis naar België. Hij is op dag 0 de enige besmette

persoon in België. De volgende dag zijn er al drie besmette personen. Bij het begin van de

epidemie zijn er 55.000 ziekenhuisbedden (z(t)) beschikbaar in België. Maar omdat de

Belgische regering heel doortastend te werk gaat en ziet dat de epidemie zich in andere

landen snel verspreidt, wordt er gestart met de bouw van veldhospitalen en

‘geïmproviseerde’ ziekenhuizen. Hierdoor komen er dagelijks 500 extra bedden ter

beschikking om de zieken op te vangen.

1. Vul onderstaande tabel in:

t

(in dagen)

Aantal besmette

personen n(t)

ziekenhuisbedden z(t)

Aantal beschikbare

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2. We gaan ervan uit dat een besmet persoon altijd wordt opgenomen in het ziekenhuis en

dan minstens 3 weken in een ziekenhuisbed verzorgd wordt.

Na hoeveel dagen zijn er geen ziekenhuisbedden meer beschikbaar ?

3. Geef geef het voorschrift van de functie z(t) die het aantal ziekenhuisbedden weergeeft

na t dagen.

4. Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van z(t) met t∈[0,15]. Hoe ziet deze

grafiek eruit?

5. Geef het voorschrift om het aantal besmette personen n(t) na t dagen te bepalen.

6. Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van n(t) met t∈[0,15]. Hoe ziet deze

grafiek eruit?

Algemeen:

Lineaire groei

Voorschrift:

f(x)=a

⋅

x+b

met:

b = beginwaarde (= 55.000 in het

voorbeeld van de ziekenhuisbedden)

a = constante groeisnelheid (= 500 in het

voorbeeld van de ziekenhuisbedden)

Grafiek en tabel

De grafiek is steeds een rechte. Hieronder

de grafiek en tabel voor een lineaire groei

met beginwaarde b en groeisnelheid a

Exponentiële groei

Voorschrift

f(x)=b

⋅

ax

met:

b = beginwaarde ( = 1 in het voorbeeld van

het aantal besmettingen)

a = groeifactor (= 3 in het voorbeeld van

het aantal besmettingen)

Grafiek en tabel

De grafiek is een exponentiële kromme.

Hieronder de grafiek voor een

exponentiële groei met beginwaarde b en

groeifactor a.