Sociaaleconomische Status en Collectieve Pensioenportefeuilles

(1)

Sociaaleconomische Status en Collectieve Pensioenportefeuilles

Simone Schepers

(2)

Masterscriptie Actuarial Studies Begeleider: Prof. Dr. P.A. Bekker Tweede Begeleider: Dr. C. Praagman

(3)

Sociaaleconomische Status en

Collectieve Pensioenportefeuilles

Simone Schepers

29 augustus 2012

Rijksuniversiteit Groningen

Faculteit Economie & Bedrijfskunde Master Actuarial Studies

Begeleiders

(4)

Voorwoord

Deze scriptie is een langdurig proces geweest en daarom wil ik ook iedereen bedanken die me in de loop van de jaren gesteund heeft om deze scriptie toch af te maken. Doordat er echter een aantal jaren zijn verstreken tussen de start van deze scriptie en het afronden hiervan zijn een aantal teksten niet meer zo actueel als ze in eerste instantie wel waren. Desondanks blijft pensioen een discussiepunt en zijn ook de verstreken jaren roerige jaren op pensioengebied geweest.

(5)

Samenvatting

De achtergrond van dit onderzoek is gelegen in de prijsbepaling van collectieve pensioen-portefeuilles. Het doel van dit onderzoek is om te toetsen of de prijs van een collectieve pensioenportefeuille, zoals deze op het moment in de pensioenen verzekeringswereld wordt bepaald, materieel afwijkt van de prijs die gebaseerd zou worden op gedifferentieerde overlevingstafels naar sociaaleconomische status.

Om dit te doen hebben we de beschikking over het artikel van Smits et al. (2001). Smits et al. (2001) maken gebruik van empirische data om de effecten van sociaaleconomische verschillen op de sterftekansen te bepalen. Om deze effecten te bepalen is de onderzochte bevolking ingedeeld in drie groepen naar sociaaleconomische status. Deze groepen zijn ingedeeld op basis van gemiddeld inkomen per postcodegebied, wat een benadering is voor het opleidingsniveau in deze postcodegebieden. De verschillen in sociaaleconomische status worden door middel van odds ratio’s gepresenteerd. Deze odds ratio’s geven de verhouding aan van de sterftekansen van de lage en middengroep ten opzichte van de hoge groep. Verder bevat het artikel de procentuele verdeling van de gehele bevolking over de drie groepen.

Om het doel van dit onderzoek te verwezenlijken zijn de gegevens uit het artikel van Smits et al. (2001) gebruikt om drie overlevingstafels te construeren die bij elke sociaaleconomische groep horen. Het uitgangspunt hierbij is dat de combinatie van deze drie tafels consistent is met de tafel voor de gehele bevolking. Deze drie tafels zijn vervolgens toegepast op enkele modelportefeuilles om te toetsen of er materiele prijsverschillen optreden.

De conclusie van het onderzoek is dat de aanpassingen een significante invloed hebben op de prijsbepaling van deze collectieve pensioenportefeuilles. Een bestand met grotendeels lager opgeleide personen zou op basis van SES-tafels een ruim 3% lagere voorziening kunnen hanteren dan op basis van de standaard AG-tafels. Voor het bestand met grotendeels hoger opgeleide personen is het effect wellicht iets minder, maar een dergelijk bestand zou op basis van SES-tafels een ruim 2% hogere voorziening moeten hanteren.

(6)

Inhoudsopgave

1. Inleiding 1

1.1 Probleemstelling . . . 2

1.2 Indeling . . . 3

2. Determinanten van sterftekansen 4 2.1 Voornaamste invloeden . . . 4

2.2 Sociaaleconomische verschillen . . . 5

2.2.1 Het onderzoek van Smits et al. (2001) . . . 6

2.2.2 Recenter onderzoek . . . 8

3. Overlevingstafels 9 3.1 Onderdelen van een overlevingstafel . . . 9

3.2 CBS Overlevingstafels . . . 10

3.3 AG tafels . . . 10

3.4 Generatietafels Pensioenen . . . 11

3.5 Generatietafels . . . 12

3.6 Pensioenfondsen en verzekeraars . . . 13

4. Differentiatie van overlevingstafels naar sociaaleconomische status 14 4.1 Theorie . . . 14

4.2 Odds ratio’s . . . 16

4.3 Prijsbepaling . . . 17

5. Resultaten aanpassing tafels 19 5.1 Keuze parameters . . . 19

5.2 Koopsommen per euro pensioen . . . 20

5.3 Onzekerheid in hoogte odds-ratio’s . . . 22

6. Resultaten verschillende portefeuilles 25 6.1 Verschillende portefeuilles . . . 25

6.2 Resultaten . . . 26

6.3 Toepassingen . . . 28

(7)

Inhoudsopgave

Literatuur 31

A. Het Van Broekhoven afrondingsalgoritme 32

B. Cubic splines 34

C. Grafieken splines 36

D. AG-Tafel 1995-2000 38

E. Overlevingstafels originele odds ratio’s 39 F. Resultaten koopsommen 42 G. Overlevingstafels 3000 scenario’s 45 H. Koopsommen 3000 scenario’s 49

I. Maatmensen 51

(8)

1. Inleiding

Het is een tijd van veel veranderingen voor de collectieve pensioenmarkt. Per 1 januari 2007 is de nieuwe Pensioenwet in werking getreden en deze is voor sommige werkgevers en pensioenfondsen de aanleiding geweest tot de beslissing om het pensioenfonds op te heffen. Ook is er vanuit werkgeverszijde meer aandacht gekomen om de risico’s die een pensioen-fonds met zich meebrengt af te dekken. Vandaar dat er geregeld pensioenaanspraken en -rechten gedeeltelijk of zelfs geheel worden verkocht. Ook verzekeraars proberen een steeds groter gedeelte van de markt op het gebied van collectieve pensioenen te veroveren. Er is dus sprake van vrij stevige concurrentie. Hierdoor is de prijs voor deze pensioenaanspraken en -rechten erg belangrijk geworden.

Om deze prijs zo goed mogelijk te bepalen zijn er de afgelopen tien jaar een aantal dingen veranderd in de manier waarop de Voorziening Pensioenverplichtingen (VPV) wordt bere-kend. E´en aspect hiervan zijn de overlevingstafels die worden gebruikt om de kans dat een bepaalde persoon binnenkort overlijdt te bepalen. Elk jaar observeert het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) de sterftecijfers van de gehele Nederlandse bevolking en vervolgens publiceert het CBS met behulp van deze informatie overlevingstafels. Deze beschrijven het sterfte- en overlevingspatroon van de bevolking. Omdat deze overlevingstafels nog wel eens wat onregelmatig gedrag laten zien past het Actuarieel Genootschap (AG) deze tafels elke vijf jaar aan en publiceert deze als de AG tafels van dat tijdvak.

Deze tafels zijn gebaseerd op de gehele Nederlandse bevolking, maar pensioenfondsen merken dat het sterftepatroon dat geobserveerd wordt in hun fonds afwijkt van de standaard tafels die aangeleverd worden door het AG. Voor elk pensioenfonds is deze afwijking verschillend. Hierdoor werkt elk pensioenfonds met zogenaamde leeftijdsterugstellingen op de leeftijd van de man en de vrouw. Deze leeftijdsterugstellingen zijn weliswaar gebaseerd op ervaring met het fonds, maar zijn minder gefundeerd en nu de prijs steeds belangrijker is, wordt het ook belangrijker om de manieren om deze prijs te berekenen te verfijnen en deze ook zo goed mogelijk te berekenen. In het verleden werden er vaak allerlei verborgen veiligheidsmarges aangebracht, zodat er in ieder geval genoeg voorziening was, maar nu wil men ook weer niet te veel betalen. Daarom moet de VPV preciezer berekend en de manier waarop deze berekend wordt statistisch beter onderbouwd worden.

(9)

1. Inleiding

de sterftetrend. Er wordt nu ook naar de toekomst gekeken in plaats van alleen naar het verleden. Deze overlevingstabellen houden echter alleen maar rekening met het feit dat de persoon een man of een vrouw is, terwijl uit verschillende onderzoeken blijkt dat er meer feiten zijn die invloed kunnen hebben op sterftecijfers. Iets waar veel onderzoek naar gedaan is en wat ook een substanti¨ele invloed heeft op de sterftecijfers volgens Smits et al. (2001) is de sociaaleconomische status van iemand. Een hoger opgeleid iemand heeft volgens dit onderzoek een hogere levensverwachting dan iemand met een lagere opleiding. Dit gegeven is echter nog nooit bewust gebruikt om de overlevingstafels aan te passen of meegenomen in de berekening van de verplichtingen van een pensioenfonds. Kunnen deze verschillen in sterfte wellicht de verschillen tussen de pensioenfondsen verklaren? Het verschil lijkt vrij duidelijk als je een bedrijfstakpensioenfonds voor havenarbeiders vergelijkt met een beroepspensioenfonds voor huisartsen. Het is echter de vraag of dit effect ook aanwezig blijft bij andere, wellicht minder uniforme, collectieve pensioenportefeuilles.

Dit onderzoek beoogt daarom enerzijds om deze sociaaleconomische verschillen in sterftecij-fers te gebruiken om de overlevingstabellen aan te passen en anderzijds om te onderzoeken hoe deze verschillen gebruikt kunnen worden om een voorziening pensioenverplichtingen te berekenen voor een collectieve pensioenportefeuille.

1.1 Probleemstelling

De hoofdvraag van dit onderzoek wordt als volgt gedefinieerd:

Op welke manier kunnen we sociaaleconomische verschillen (SEV) in sterftecijfers het beste verwerken in overlevingstafels en heeft het gebruik van deze aangepaste overlevingstafels een

significante invloed op de VPV van een collectieve pensioenportefeuille?

Natuurlijk zijn er ook andere factoren die invloed hebben op de sterftecijfers en deze zullen kort genoemd worden, maar de sociaaleconomische verschillen hebben hiervan waarschijnlijk de meeste relevantie als we kijken naar een collectieve pensioenportefeuille. In november 2001 is in de Maandstatistiek van de bevolking van het CBS een artikel gepubliceerd met daarin de resultaten van een onderzoek over SEV door Jeroen Smits, Ingeborg Keij en Gert Westert (Smits et al., 2001). De resultaten uit dit onderzoek zullen worden gebruikt om de overlevingstafels aan te passen.

De nadruk in het eerste gedeelte van het onderzoek zal liggen op het onderzoeken wat de beste methode is om deze resultaten te gebruiken om de overlevingstafels aan te passen. Hiervoor zal eerst vanuit theoretisch oogpunt gekeken worden wat de mogelijkheden zijn en vervolgens zal de praktische toepasbaarheid van deze mogelijkheden onderzocht worden. Hierna worden de overlevingstafels aangepast.

(10)

1. Inleiding

“extremen” worden bekeken: een portefeuille met over het algemeen lager opgeleiden versus een portefeuille met over het algemeen hoger opgeleiden.

Samenvattend zullen de volgende onderwerpen aan bod komen: • Welke effecten zijn er op sterfte?

• Op welke manier kunnen we de sociaaleconomische verschillen het beste verwerken in de overlevingstafels?

• Wat zijn de verschillen tussen resultaten op basis van een collectieve pensioenporte-feuille welke grotendeels lager opgeleide personen bevat en een welke grotendeels hoger opgeleide personen bevat?

1.2 Indeling

In hoofdstuk 2 en 3 wordt een aantal achtergronden besproken die invloed hebben op het onderzoek. In hoofdstuk 2 zullen dit eerst de verschillende invloeden op sterftecijfers zijn. Vooral het onderzoek naar de sociaaleconomische verschillen zal hier behandeld worden. In hoofdstuk 3 zal er vervolgens een overzicht zijn van de verschillende overlevingstafels die gebruikt worden en hoe pensioenfondsen en verzekeraars hier mee om gaan.

In hoofdstuk 4 zullen eerst de verschillende mogelijkheden die er zijn, om de overlevings-tafels aan te passen worden onderzocht. Hiervoor zal eerst de theoretische basis worden gelegd en vervolgens zal de vertaling naar de praktijk worden gemaakt.

In hoofdstuk 5 zullen de resultaten worden besproken die voortkomen uit de keuzes die in hoofdstuk 4 worden gemaakt. Om een goed beeld te krijgen wat de invloed van bepaalde keuzes is zullen de resultaten worden berekend van een aantal verschillende scenario´s. Om een goed beeld te krijgen wat nu precies de invloed is van deze aanpassing worden in hoofdstuk 6 enkele VPV’s van collectieve pensioenportefeuilles berekend en worden de verschillen hiertussen besproken.

De conclusies en aanbevelingen die voortvloeien uit dit onderzoek worden gedaan in hoofdstuk 7.

(11)

2. Determinanten van sterftekansen

In dit hoofdstuk wordt een aantal determinanten van verschillen in levensverwachting en sterftekansen behandeld. In de eerste paragraaf zullen we een aantal van deze invloeden noemen en in de tweede paragraaf zal er wat dieper worden ingegaan op de invloed van sociaaleconomische verschillen op sterfte.

2.1 Voornaamste invloeden

Gemiddeld leven we steeds langer en daar is een aantal oorzaken voor te geven. Vooral de verbeterde hygi¨ene en medische doorbraken hebben een grote invloed gehad op de levensduur in de afgelopen 100 jaar. Deze oorzaken gelden voor de gehele Nederlandse bevolking, maar er zijn ook invloeden die meer persoonsgebonden zijn en niet voor iedereen hetzelfde zijn. In deze scriptie zullen we vooral ingaan op de invloed van sociaal-economische verschillen, maar er zijn ook nog andere kenmerken die van invloed zijn op de levensduur. Deze onderling samenhangende kenmerken zullen hier kort worden beschreven.

Het kenmerk wat het meest onderscheidend is, is het geslacht. Volgens het Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu (RIVM)1_{hebben mannen nog steeds een hogere sterftekans}

op bijna alle leeftijden. Bij de publicatie van de AG-Prognosetafel 2005-2050 resulteerde dit in een levensverwachting bij geboorte van 76,25 jaar voor een man en 80,96 jaar voor een vrouw (Donselaar et al., 2007, Hoofdstuk 7). Dit neemt niet weg dat er momenteel jaarlijks meer vrouwen dan mannen overlijden, aangezien er meer oudere vrouwen zijn dan oudere mannen. De grootste verschillen zijn te zien in de leeftijdsgroepen van 15-29 jaar en 60-84 jaar. De jongere groep kenmerkt zich vooral door de hogere sterfte van jonge mannen aan verkeersongevallen. In de oudere leeftijdsgroep hebben longkanker, hartziekten en beroertes een grote invloed op de sterftecijfers. Toch maken de mannen op het moment een inhaalslag. De levensverwachting van mannen stijgt sneller dan die van de vrouwen. De algemene opvatting is echter dat vrouwen altijd een hogere levensverwachting zullen hebben dan de mannen. De eerste afzonderlijke tafels voor mannen en vrouwen dateren al uit de 18e eeuw (Th´er´e & Rohrbasser, 2006).

Een ander ‘wellicht verrassend’ kenmerk is het gegeven of iemand gehuwd is of niet. Onderzoek wijst uit dat vooral gehuwde mannen langer leven dan ongehuwde mannen

1_URL _RIVM: _{http://www.nationaalkompas.nl/gezondheid-en-ziekte/sterfte}

(12)

2. Determinanten van sterftekansen

(Jong, 2002), maar ook vrouwen hebben een hogere leeftijdsverwachting als ze gehuwd zijn. Cijfers uit 2000 wijzen er op dat vijftigjarige mannen gemiddeld ongeveer vier jaar langer zullen leven dan ongehuwde mannen van dezelfde leeftijd en ongeveer drie jaar langer dan gescheiden mannen. Bij vijftigjarige gehuwde vrouwen is het verschil met hun ongehuwde, gescheiden of verweduwde leeftijdsgenoten ongeveer twee jaar. Deze hogere levensverwachting kan waarschijnlijk verklaard worden door de ‘beschermende werking’ van het huwelijk (Jong, 2002). Ongehuwden leven blijkbaar minder gezond dan de gehuwde personen. De invloed van gehuwd zijn lijkt significant te zijn, echter zijn er een aantal praktische bezwaren om hier onderscheid in te maken. Het al dan niet gehuwd zijn is aan verandering onderhevig en vooral bij portefeuilles waar veel jonge mensen in voor komen, kan dit van belang zijn. Het is een onderwerp waar nader onderzoek naar gedaan kan worden, maar zoals gezegd niet de focus van dit onderzoek.

Dat roken een aanzienlijke invloed heeft op de gezondheid van iemand dat is wel bekend. Een roker zal dan ook een kortere resterende levensduur hebben dan een niet-roker. Het verwachte verschil in levensverwachting met een niet-roker wordt door het RIVM geschat op maar liefst 20,9 jaar (Donselaar et al., 2007, Hoofdstuk 3). Het Actuarieel Genootschap heeft bij de publicatie van de Prognosetafel 2005-2050 ook tafels opgesteld die onderscheid maken tussen rokers en niet-rokers (Donselaar et al., 2007, Bijlage III). Ook hier zijn echter praktische bezwaren te noemen. In Nederland wordt namelijk iedere roker, ook degene die maar enkele sigaretten per dag rookt, als volledig roker beschouwd. Ook is onduidelijk wie er in het bestand van een collectief pensioenportefeuille roker of niet-roker zijn en zullen hiervoor aannames gemaakt moeten worden. Verder is vooral op individueel niveau het verschil aanzienlijk terwijl als je naar een collectief contract krijgt de verschillen waarschijnlijk minder aanwezig zullen zijn. Aangezien we vooral benieuwd zijn naar de invloed bij een collectieve pensioenportefeuille is dit een invloed die minder interessant is voor ons onderzoek.

De focus van dit onderzoek zal liggen op de invloed van sociaaleconomische verschillen op de sterftecijfers. Deze sociaaleconomische verschillen worden in belangrijke mate bepaald door opleiding, inkomen, beroep en huisvesting. Iemand met een lagere sociaaleconomische status heeft over het algemeen een slechtere gezondheid terwijl iemand met een hogere sociaaleconomische status een betere gezondheid heeft dan gemiddeld (Kunst, 2007). Deze effecten verschillen per leeftijd en geslacht. In de volgende paragraaf wordt uitgebreider op de invloed van sociaal-economische verschillen op sterftecijfers ingegaan. Het zal dan blijken dat de invloed van sociaaleconomische verschillen op sterftecijfers significant is en daarom is men ook erg benieuwd wat nu de effecten op collectieve pensioenportefeuilles zijn als we in de overlevingstabellen onderscheid gaan maken naar de sociaaleconomische status van personen.

2.2 Sociaaleconomische verschillen

(13)

kans op vroegtijdig overlijden al beschreven. Niet alleen in Nederland is dit het geval, maar ook in andere landen observeert men verschillen tussen sociaaleconomische groepen. Lager opgeleide mannen en vrouwen leven gemiddeld respectievelijk 7,3 jaar en 6,4 jaar korter dan hoog opgeleiden2_{. Sinds de jaren 80 is het onderzoek hiernaar sterk toegenomen}

(Smits et al., 2005) en sindsdien blijken in elk Europees land, waar onderzoek gedaan wordt naar sociaaleconomische verschillen in sterftecijfers, de verschillen in meer of mindere mate aanwezig te zijn. Deze verschillen blijken niet af te nemen in de tijd en in sommige landen blijken ze zelfs toe te nemen.

In eerste instantie ging het vooral om beschrijvend onderzoek, maar ook het aantal verklarende onderzoeken is sterk toegenomen. Ook in Nederland is er een aantal onder-zoekers dat hier veel aandacht aan besteedt, zoals dhr. Anton Kunst van het Instituut Maatschappelijke Gezondheidszorg van het Universitair Medisch Centrum in Rotterdam. Het laatste artikel (Kunst, 2007) beschrijft vorderingen in het beschrijvend onderzoek naar de sociaaleconomische verschillen in sterfte en gezondheid. De insteek hiervan is voornamelijk het zoeken naar manieren om de sociaaleconomische verschillen te verkleinen. Dit is echter niet de insteek die we nodig hebben voor dit onderzoek. Daarom zullen we een aantal jaren terug in de tijd moeten gaan.

2.2.1 Het onderzoek van Smits et al. (2001)

In november 2001 is er een artikel gepubliceerd (Smits et al., 2001) dat voor het eerst de sociaaleconomische verschillen in sterfte voor kleine geografische eenheden beschrijft. In het buitenland werd hier wel al gebruik van gemaakt en ook in Nederland had men de sterftecijfers op vier-positie-postcodeniveau en op buurtniveau al gerelateerd aan sociaaleconomische kenmerken van die gebieden. Met het vier-positie-postcodeniveau wordt een groepsindeling op basis van de vier cijfers van de postcode bedoeld. Verderop wordt ook het zes-positie-postcodeniveau gebruikt en dit weerspiegelt een groepsindeling op de complete postcode, inclusief de twee letters. De geografische eenheden uit eerder onderzoek zijn echter nog steeds vrij groot. In een vier-positie-postcodegebied wonen gemiddeld zo’n vier duizend personen en in een buurt zijn dit nog steeds gemiddeld anderhalf duizend personen. Het is vrij logisch dat in een dergelijk gebied niet iedereen dezelfde sociaaleconomische status heeft en dat hierdoor bij veel personen een te hoge of te lage sociaaleconomische status wordt toegekend. Bij kleinere geografische eenheden zal de samenstelling minder heterogeen zijn en dan wordt de kans dat dit probleem zal optreden kleiner. Vandaar dat de auteurs gebruik maken van de zes-positie-postcodegebieden welke over het algemeen slechts door gemiddeld 38 personen bewoond wordt, verdeeld over ongeveer 15 huishoudens. Dit zal het effect van de individuele sociaaleconomische status beter benaderen. Aangezien de postcode van deelnemers van een collectieve pensioenportefeuille vaak wel bekend is kunnen deze gegevens prima gebruikt worden bij het berekenen van de voorziening voor de pensioenverplichtingen.

2_URL _RIVM: _{http://www.nationaalkompas.nl/gezondheid-en-ziekte/sterfte}

(14)

Er zal nu iets dieper ingegaan worden op het artikel van Smits et al. (2001). Voor het onderzoek is een bestand gebruikt van de huishoudensstatistiek, welke opgebouwd is uit informatie uit de Gemeentelijke Basisadministratie persoonsgegevens (GBA) en de Enquête Beroepsbevolking (EBB) van het CBS. Hierbij is de huishoudensstatistiek van 1999 gebruikt. Aan de gegevens van de huishoudensstatistiek zijn vervolgens de gegevens van de doodsoorzakenstatistiek gekoppeld. Details hierover zijn te lezen in Smits et al. (2001). Om een indicatie te krijgen van de sociaaleconomische status van een gebied wordt gebruikt gemaakt van het gemiddelde inkomen van de inwoners van het gebied. Deze inkomens zijn vervolgens ingedeeld in 3 categorieën: ‘laag’ (inkomen beneden modaal), ‘midden’ (inkomen modaal) en ‘hoog’ (inkomen boven modaal). Dan blijkt dat respectievelijk 18, 49 en 33 procent van de personen in deze categorieën vallen.

In het onderzoek wordt de categorie ‘hoog’ en de categorie ‘laag’ met elkaar vergeleken. Er blijkt dat bij mannen met een lagere sociaaleconomische status een sterftecijfer wordt geobserveerd dat 1,39 hoger ligt dan bij mannen met een hogere sociaaleconomische status. Ook het 95 procentbetrouwbaarheidsinterval van deze waarde ligt ruim boven de waarde 1 (1, 36−1, 42) en hiermee kan geconcludeerd worden dat er een statistisch significante samenhang bestaat tussen sociaaleconomische status en sterfte. Voor vrouwen is dit verschil wat kleiner met 1,21, maar ook hier ligt het 95%-betrouwbaarheidsinterval ruim boven de 1 (1, 18−1, 23). Dit betekent dat vrouwen die in een gebied wonen met een lage status een 20 procent hogere kans op sterfte hebben dan vrouwen die in een gebied met een hoge status wonen.

Tevens blijkt dat de effecten van sociaaleconomische status op sterfte niet voor elke leeftijdsgroep even groot zijn. Er zijn behoorlijk grote verschillen te zien tussen mannen en vrouwen. Deze resultaten zijn vermeld in tabel 2.1 Het grootst is de ongelijkheid bij mannen in de leeftijdsgroep 25-64 jaar. Ook bij mannen in de leeftijdsgroep 0-15 jaar is er relatief veel ongelijkheid. Bij vrouwen is het verschil vergelijkbaar met mannen. Ook hier is de grootste ongelijkheid in de middengroep en in de jongste groep. Boven de 65 neemt bij alle groepen de ongelijkheid duidelijk af. Bij 80-plussers zijn de sterfteverschillen het laagst. Een verklaring hiervoor zou kunnen zijn dat bij de mensen die een lage sociaaleconomische status hebben de minder gezonde mensen al gestorven zijn en dat de mensen met een bovengemiddelde gezondheid nu oververtegenwoordigd zijn.

Tab. 2.1:Sterfteverschillen door sociaaleconomische status (laag t.o.v. hoog) in Nederland in 1999, voor onderscheidende leeftijdsgroepen.

Leeftijdsgroepen Mannen Vrouwen

(15)

Uit de resultaten blijkt dat er in Nederland aanzienlijke verschillen in sterftecijfers voorko-men tussen personen die wonen in een gebied met een lagere sociaaleconomische status en personen die wonen in gebieden met een hogere sociaaleconomische status. Hoewel dit niet voor elke leeftijd gelijk is. Het is de vraag hoe we deze resultaten kunnen gebruiken om overlevingstafels aan te passen, zodat deze verschillen meegenomen kunnen worden in de berekening van de voorziening pensioenverplichtingen. Over deze vraag zal het gaan in Hoofdstuk 4. Om te helpen bij het beantwoorden van deze vraag zullen eerst in het volgende hoofdstuk enige soorten overlevingstafels behandeld worden.

2.2.2 Recenter onderzoek

In juni 2005 is er een vervolgartikel gepubliceerd (Smits et al., 2005) in de Health Eco-nomics. Hierin worden niet alleen de invloeden van sociaaleconomische verschillen per geografische eenheid afzonderlijk onderzocht, maar ook de gecombineerde invloed van twee geografische eenheden. De achterliggende gedachte hiervan is dat als iemand met een lage sociaaleconomische status op postcode gebied ook in een buurt woont met een lage sociaaleconomische status deze meer ‘negatieve’ invloeden op zijn sterftekans ondervindt dan iemand met een lage sociaaleconomische status op postcode gebied die in een buurt woont met een hoge sociaaleconomische status. Het blijkt dan ook in het artikel dat bij een aantal doodsoorzaken op postcodeniveau nauwelijks verschillen zijn te zien tussen de verschillende sociaaleconomische statussen terwijl op buurtniveau er wel degelijk verschillen zijn te zien. Een analyse op basis van postcode en buurt of op basis van postcode en wijk verklaart daarom beter dan alleen op postcode.

In dit artikel worden de sociaaleconomische verschillen niet meer in 3 verschillende groepen ingedeeld, maar in 5 verschillende groepen. Dit gebeurt op basis van inkomen, waarbij de bevolking in 5 quintielen wordt ingedeeld. De eerste groep bestaan dan uit de 20% van de bevolking met het laagste inkomen. De laatste groep de 20% met het hoogste inkomen. Ook in dit artikel worden vervolgens alle groepen met de groep met het hoogste inkomen vergeleken. Deze resultaten vertellen dat voor alle groepen het verschil met de hoogste groep significant verschillend is aangezien het 95%-betrouwbaarheidsinterval volledig boven de 1 ligt. Deze verschillen worden uiteraard minder als de inkomensverschillen minder worden, maar het verschil blijft aanwezig.

(16)

3. Overlevingstafels

In dit hoofdstuk zullen we een aantal verschillende overlevingstafels behandelen. Overle-vingstafels beschrijven het sterfte- en overlevingspatroon van de bevolking en het opstellen hiervan is een van de oudste technieken in de demografie. Op basis van sterftequoti¨enten geven de overlevingstafels per leeftijd informatie over grootheden zoals het aantal levenden, het aantal overledenen en de levensverwachting. In paragraaf 3.1 zal er eerst een uitleg gegeven worden over de onderdelen van een overlevingstafel. In paragraaf 3.2 zal er een korte beschrijving volgen over de overlevingstafels die het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert. In paragraaf 3.3 zullen de overlevingstafels van het Actuarieel Genootschap worden behandeld, in paragraaf 3.4 en in paragraaf 3.5 zullen de generatieta-fels van het AG en het Verbond van Verzekeraars behandeld worden.

3.1 Onderdelen van een overlevingstafel

Een overlevingstafel bestaat over het algemeen uit meerdere kolommen met in de verschil-lende kolommen de sterftequoti¨enten, de levenden en de levensverwachting, uitgezet naar leeftijd. Het sterftequoti¨ent of de sterftekans (nqx) is de kans dat iemand van de leeftijd

x overlijdt voordat deze de leeftijd x+n bereikt. In de meeste overlevingstafels, en ook in de overlevingstafels die in dit onderzoek worden behandeld, staan 1-jarige sterftekansen (n=1). Het aantal levenden (lx) is het aantal mensen dat op leeftijd x nog in leven is gegeven

de startpopulatie op leeftijd 0. Vaak start een overlevingstafel met een hypothetische populatie van honderdduizend 0-jarigen. Op iedere leeftijd is er een kans op overlijden (sterftekans of sterftequoti¨ent). Hierdoor neemt de populatie van overlevenden met het stijgen van de leeftijd af tot er op een vooraf bepaalde, hoge leeftijd (ω) niemand meer in leven is. lx+1wordt bepaald met qxen lxen wel op de volgende manier: lx+1 =lx× (1−qx).

Een meer algemene formule, waarbij l0 =100.000, wordt gegeven door:

lx =l0× x−1

∏

t=0

(1−qt) voor x=1, . . . , ω. (3.1)

De levensverwachting (ex) is het aantal jaren dat iemand, die de leeftijd x al bereikt heeft,

nog verwacht te leven. Deze levensverwachting valt voor iedere leeftijd te berekenen met behulp van de sterftekansen:

(17)

3. Overlevingstafels

Nu de verschillende onderdelen van een overlevingstafel behandeld zijn, zullen in de volgende paragrafen verschillende soorten overlevingstafels behandeld worden.

3.2 CBS Overlevingstafels

Al sinds 1861 publiceert het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) overlevingstafels en vanaf 1850 is er al informatie over sterftecijfers beschikbaar. Deze werden toen door tienjaarlijkse volkstellingen verkregen. Vanaf 1994 beschikt het CBS over de complete populatie- en sterftegegevens van Nederland. Deze zijn afkomstig uit de Gemeentelijke Basisadministratie persoonsgegevens (GBA). Met behulp van deze gegevens berekent het CBS sterftequoti¨enten, welke de basis vormen van de overlevingstafels die het CBS ieder jaar publiceert. Er zijn verschillende typen van overlevingstafels en van deze publiceert het CBS er twee: Een periodetafel naar gemiddelde leeftijd op 1 januari en een periodetafel op basis van sterftegegevens naar de leeftijd op de laatste verjaardag of de exacte leeftijd (Meulen & Janssen, 2007). Periodetafels hebben als basis de waargenomen leeftijdsspecifieke sterftegegevens van een bepaald jaar of over meerder jaren tezamen. Hierbij wordt aangenomen dat deze leeftijdsspecifieke sterftegegevens ook zullen gelden voor de leeftijden die personen in hun latere leven zullen bereiken. Het is een voorspelling, met als aanname dat de sterftekans in de toekomst niet verandert. Voor dit onderzoek is de periodetafel naar gemiddelde leeftijd het meest interessant, aangezien deze als basis wordt gebruikt voor de tafels van het Actuarieel Genootschap (AG) en het Verbond van Verzekeraars.

De periodetafel naar gemiddelde leeftijd op 1 januari maakt gebruik van sterftequotiënten naar gemiddelde leeftijd op 1 januari. Het sterftequotiënt naar gemiddelde leeftijd op 1 januari van bijvoorbeeld 2,5 jaar maakt gebruik van het aantal overledenen gedurende dat jaar die op 31 december 3 jaar zouden zijn geweest als de overledenen nog in leven zouden zijn geweest. De leeftijd op 31 december is eenvoudig te berekenen door het verschil te nemen tussen het jaar van overlijden en het jaar van de geboorte. Een periodetafel naar gemiddelde leeftijd op 1 januari kan men herkennen aan de halve leeftijden in de leeftijdskolom. De berekening van de sterftequotiënten van deze tafel is betrekkelijk eenvoudig, namelijk het quotiënt van het aantal sterfgevallen in een bepaald levensjaar en de bevolking aan het begin van het levensjaar. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de sterftegegevens naar de leeftijd op 31 december en bevolkingsaantallen op 1 januari.

In de volgende paragraaf zal er beschreven worden hoe deze overlevingstafel als basis dient voor de overlevingstafels van het AG.

3.3 AG tafels

Al geruime tijd publiceert het Actuarieel Genootschap (AG) periodiek overlevingstafels. Het AG is de Nederlandse beroepsvereniging voor Actuarissen, waarvan vrijwel alle actuarissen lid zijn1. Deze overlevingstafels worden in actuari¨ele kring gehanteerd als

(18)

basis voor de berekening van voorzieningen voor verzekeringsverplichtingen en prijzen van verzekeringsproducten. Zoals in de vorige paragraaf gezegd is de basis voor deze overlevingstafels afkomstig van het CBS. Deze gegevens worden vervolgens door het AG bewerkt om deze geschikt te maken voor actuariële toepassingen. Sinds 1965 worden de tafels gepubliceerd die gebaseerd zijn op gegevens over een periode van 5 jaar. In 2007 is de laatste periodetafel, de AG-tafel 2000-2005, uitgegeven. Deze tafel is gemaakt op basis van waarnemingen uit de periode 2000 tot en met 2005 en dit is een periode tafel. De sterftequotiënten zijn de feitelijk waargenomen sterftequotiënten over de periode 2000 tot en met 2005. Een groot voordeel van een periodetafel is dat deze tafel eendimensionaal is, waardoor deze goed toepasbaar is in de software die gebruikt wordt door verzekeraars en pensioenfondsen.

De overlevingstafels gepubliceerd door het CBS hebben een onregelmatig verloop. Vooral bij de hoge leeftijden zijn de sterftequoti¨enten weinig zeggend over de kans dat een specifiek persoon van een hoge leeftijd overlijdt. Voor de hoge leeftijden zijn er namelijk vrij weinig waarnemingen beschikbaar. Het AG rond daarom de sterftekansen in deze overlevingstafels af op zodanige manier dat een regelmatig verloop wordt gerealiseerd. Hiervoor heeft het AG een aantal doelstellingen gedefinieerd (Donselaar et al., 2007). Om te voldoen aan deze doelstellingen is een algoritme ontwikkeld door Van Broekhoven (Donselaar et al., 2007, Hoofdstuk 4). Dit algoritme wordt dan ook wel het Van Broekhoven afrondingsalgoritme genoemd. Zie Bijlage A voor dit afrondingsalgoritme en de doelstellingen waaraan dit afrondingsalgoritme moet voldoen.

Met behulp van de afgeronde sterftequotiënten zijn de overlevingstafels Gehele Bevolking Mannen (GBM) en Gehele Bevolking Vrouwen (GBV) vastgesteld voor de periode 2000-2005. Een probleem met periodetafels is echter dat er geen rekening wordt gehouden met het gegeven dat sterftequotiënten in de tijd niet stabiel zijn. De algemene trend is dat deze sterftequotiënten voor bijna alle leeftijden afnemen. Dit resulteert er in dat voorzieningen berekend met deze tafel op de langere termijn, als er geen verdere correcties worden toegepast, ontoereikend zullen zijn. Aangezien mensen steeds langer leven, moet er meer pensioen uitgekeerd worden dan op basis van de sterftegrondslagen in eerste instantie aangenomen was. Om toch adequate voorzieningen te kunnen vaststellen, moet de ontwikkeling van de sterftequotiënten per geboortejaar in acht genomen worden. Hiervoor worden generatietafels ontwikkeld en deze zullen besproken worden in paragraaf 3.5. Het AG heeft bij de publicatie van de Prognosetafel 2005-2050 in 2007 (Donselaar et al., 2007) voor het eerst een generatietafel gepubliceerd. De meest recente generatietafel gepubliceerd door het AG is de Prognosetafel 2010-2060 (Zijp et al., 2010).

3.4 Generatietafels Pensioenen

(19)

jaren gebaseerd op generatietafels. Tot 2008 werden deze echter altijd ’platgeslagen’ tot een eendimensionale tafel. Dit omdat de systemen die verzekeraars gebruiken voornamelijk zijn ingericht op eendimensionale tafels. Hoe deze generatietafels geconstrueerd worden, wordt behandeld in paragraaf 3.5

De tafels van het Verbond van Verzekeraars zijn speciaal gemaakt voor verzekeraars. Als basis worden nog steeds de CBS overlevingstafels gebruikt, maar deze sterftekansen worden gecorrigeerd voor zogenaamde ervaringssterfte. Uit de waargenomen sterftecijfers in de portefeuilles van collectieve pensioenverzekeraars blijkt namelijk dat de sterftekansen van pensioenverzekerden doorgaans lager liggen dan die van gemiddelde Nederlanders van dezelfde leeftijd en hetzelfde geslacht (PLT-werkgroep, 2008). Daarnaast blijkt dat verzekerden met een hoog verzekerd bedrag doorgaans een lagere sterftekans hebben dan overeenkomstige verzekerden met een lager verzekerd bedrag. Dit laatste lijkt vrij veel op de sociaaleconomische verschillen die de basis vormen van dit onderzoek. Deze twee kenmerken worden samen genomen in de ervaringssterftefactoren. Deze factoren zijn niet constant over de leeftijden en het geslacht. Wel wordt verondersteld dat de factoren voor ervaringssterfte in de toekomst constant blijven.

3.5 Generatietafels

Een generatietafel is een verzameling overlevingstafels die rekening houden met de ver-wachte toekomstige sterftetrend. Voor de periode tot 2060 is er voor ieder jaar een aparte overlevingstafel. In plaats van het sterftequotiënt van één x-jarige is er dan sprake van een reeks sterftequotiënten van x-jarigen. Hierdoor is het mogelijk dat voor een 50-jarige nu, een andere sterftekans gegeven wordt dan voor een 50-jarige over 20 jaar. Door een goede prognose te maken van het verloop van de sterftekansen over de komende jaren kan hiermee een betere berekening gemaakt worden van de voorziening. Het Actuarieel Genootschap (AG) heeft bij de publicatie van de Prognosetafel 2005-2050 in 2007 voor het eerst een generatietafel gepubliceerd, maar het Verbond van Verzekeraars maakt deze al enige jaren.

De sterftekansen van de Nederlandse bevolking in de AG-tafels laten een constant dalende trend zien. Deze sterftekansen nemen echter niet constant in de tijd af. Om deze trend in de toekomst te voorspellen zijn er verschillende modellen beschikbaar. Over het algemeen zijn deze modellen gebaseerd op het analyseren van waarnemingen en het extrapoleren van de trends die uit de analyse naar voren komen. Er is een aantal basismodellen te onderscheiden. Het CBS gebruikt voor haar prognoseberekeningen een model dat is gebaseerd op extrapolatie naar doodsoorzaken. Het Verbond van Verzekeraars gebruikt het model welke is ontwikkeld door de Commissie Referentietarief Collectief (CRC). Dit model is reeds lang in Nederland bekend, transparant en relatief eenvoudig. Dit zijn redenen waarom ook het AG bij de bepaling van de Prognosetafel 2005-2050 gekozen heeft om het CRC-model te gebruiken (Donselaar et al., 2007, Hoofdstuk 5).

(20)

prognose is gepubliceerd in 2011 en heeft betrekking op de jaren 2010-2060 (Duin & Garssen, 2011). In deze prognose worden de waarnemingen tot en met 2009 meegenomen. Om de prognose te doen wordt de bevolking opgesplitst in een aantal leeftijdsgroepen. Voor elke leeftijdsgroep worden doodsoorzaken benoemd en deze doodsoorzaken worden in de tijd ge¨extrapoleerd. Uit de resultaten wordt een levensverwachting afgeleid. Een voordeel van deze aanpak is dat er veel wetenschappelijk onderzoek naar doodsoorzaken wordt gedaan en gedaan is. Een nadeel is echter dat het model vrij moeilijk te gebruiken is, omdat data niet altijd in voldoende mate aanwezig zijn of betrouwbaar genoeg zijn. Tevens zijn doodsoorzaken zelf ook onderhevig aan verandering. Dit maakt het lastiger te modelleren.

3.6 Pensioenfondsen en verzekeraars

(21)

4. Differentiatie van overlevingstafels

naar sociaaleconomische status

In hoofdstuk 2 en 3 zijn de uitgangspunten besproken die als basis dienen voor het daadwerkelijke onderzoek dat in dit hoofdstuk en het volgende hoofdstuk beschreven zal worden. In de eerste paragraaf zal eerst de theoretische basis besproken worden. Deze zal in de daaropvolgende paragrafen verder uitgediept worden door bepaalde onderwerpen uit de eerste paragraaf uitgebreider te behandelen.

4.1 Theorie

Om de prijs te bepalen van een collectieve pensioenportefeuille die de verschillen in Sociaaleconomische Status (SES) goed representeert, moet voor elke SES groep een aparte overlevingstafel worden geconstrueerd die de kenmerken van die groep bevat. Aangezien deze groepen samen de totale bevolking van Nederland omvat zullen deze overlevingstafels ook een relatie moeten hebben met de overlevingstafel voor de gehele Nederlandse bevol-king (bijvoorbeeld de AG tafel). Deze relatie zal op totaalniveau moeten gelden, maar ook per leeftijd.

Terugvallend op de theorie van overlevingstafels weten we dat voor de AG tafel geldt: lx =l0 x−1

∏

t=0 (1−qt) voor x=1, . . . , ω, (4.1) waarbij:

lx = aantal levenden van leeftijd x in de AG tafel

l0 = startpopulatie tafel.

Het aantal levenden van leeftijd x in alle SES groepen samen moet gelijk zijn aan het aantal levenden van leeftijd x in de AG tafel. Dit betekent dat voor het aantal levenden van leeftijd x in SES groep i (li_x) geldt:

lx= l1x+l2x+l3x. (4.2)

Tevens gaan we er van uit dat er odds ratio’s bekend zijn die de verhouding van de sterftekansen weergeven tussen SES groep i en SES groep 3 (Ri_x). Per definitie geldt dat R3

x=1. Dit leidt tot een 3-tal vergelijkingen:

(22)

4. Differentiatie van overlevingstafels naar sociaaleconomische status

Om de relatie tussen de AG tafel en de overlevingstafels gedifferentieerd naar sociaal-economische status te beschrijven wordt de ratio gebruikt van het aantal personen van leeftijd x (met x = 0, . . . , ω tenzij anders vermeld) van de totale bevolking dat in een bepaalde SES groep zit:

f_xi = l i x

lx

. (4.4)

Deze ratio’s geven de verdeling aan van de totale bevolking over de verschillende SES groepen en kunnen per leeftijd verschillen. De relatie tussen de overlevingstafels kan daarop als volgt worden weergegeven:

qx = fx1×q1x+ fx2×q2x+ fx3×q3x, (4.5)

waarbij:

qx = sterftekans voor leeftijd x volgens AG tafel

qi_x = sterftekans voor leeftijd x van persoon in SES groep i

f_xi = ratio aantal levenden met leeftijd x uit AG tafel in SES groep i t.o.v. totaal aantal levenden met leeftijd x in AG tafel.

Met behulp van de vergelijkingen 4.5 en 4.3 kunnen de sterftekansen voor iedere SES groep uitgerekend worden: qi_x = R i x×qx f1 x×R1x+ fx2×R2x+ fx3×R3x , (4.6)

mits de ratio’s f_xi bekend zijn. Deze ratio’s zijn echter weer afhankelijk van het aantal levenden van leeftijd x in elke SES groep en het aantal levenden van leeftijd x bij de AG tafel. De bepaling van het aantal levenden in elke SES groep voor alle leeftijden is echter niet zo eenvoudig. Het aantal levenden op leeftijd x is als eerste afhankelijk van de sterftekans op leeftijd x−1. Het is echter door de constructie van de SES groepen mogelijk dat er uitwisseling plaatsvindt tussen de SES groepen. Daarom bestaat er een conditionele kans sjix

dat iemand van leeftijd x welke zich in SES groep j bevindt, op leeftijd x+1 in SES groep i zal zitten, mits deze persoon overleeft. Dit levert de volgende matrix met overgangskansen op: S=   s11 x s12x s13x s21_x s22_x s23_x s31 x s32x s33x  , (4.7)

waarbij de sommatie over i van deze overgangskansen:_∑3_i₌₁sjix gelijk moet zijn aan 1.

Indien deze overgangskansen bekend zijn kan het aantal levenden per SES groep voor elke leeftijd worden uitgerekend. Daarbij worden de ratio’s f₀i als bekend verondersteld. Het aantal levenden per SES groep op leeftijd 0 wordt als volgt berekend:

(23)

Het aantal levenden per SES groep voor elke leeftijd kan dan als volgt worden berekend: l_xi = 3

∑

j=1 (1−qj_x₋₁) ×l_xj₋₁×sji_x₋₁ voor x=1, . . . , ω en i=1, 2, 3. (4.9)

De ratio’s f_xi kunnen vervolgens met deze l_xi worden berekend met vergelijking 4.4, zodat de sterftekansen voor iedere leeftijd x (x = 0, . . . , ω) kunnen worden berekend en de verschillende tafels voor elke SES groep kunnen worden bepaald met vergelijking 4.6. In deze paragraaf is er een model beschreven waarmee overlevingstafels kunnen worden berekend. In dit model is een aantal variabelen bekend verondersteld. Dit zijn de sterftekansen van de AG-tafel (qx) voor elke leeftijd, de odds ratio’s (Rix) voor elke leeftijd

en elke SES-groep en de startpopulatie van de AG-tafel (l0). Verder is er een aantal

parameters die gekozen moeten worden om de overlevingstafels uit te rekenen. Dit zijn de overgangskansen sjix voor alle leeftijden x en j = 1, 2, 3 en i = 1, 2, 3 en de ratio’s f0i

voor twee SES-groepen. In het volgende hoofdstuk zal voor deze onbekenden een waarde gekozen worden.

4.2 Odds ratio’s

In deze paragraaf zullen de in paragraaf 4.1 bekend veronderstelde odds ratio’s verder uitgewerkt worden. In het artikel van Smits et al. (2001) worden odds ratio’s gegeven voor alle leeftijden tezamen en per leeftijdsgroep. Aangezien de sterftekansen per leeftijd berekend worden zullen de ratio’s per leeftijdsgroep gebruikt worden in de berekening. In het artikel zijn odds ratio’s gegeven voor zes leeftijdsgroepen (zie tabel 2.1 voor de odds ratio’s voor SES groep 1). De odds ratio’s voor SES groep 2 met bijbehorende 95%-betrouwbaarheidsintervallen staan in tabel 4.1.

Tab. 4.1:Sterfteverschillen door sociaaleconomische status (midden t.o.v. hoog) in Nederland in 1999, voor onderscheidende leeftijdsgroepen.

Leeftijdsgroepen Mannen Vrouwen

0-14 jaar 1,14 (0,89–1,46) 2,09 (1,53–2,85) 15-24 jaar 1,12 (0,92–1,37) 1,01 (0,74–1,38) 25-39 jaar 1,22 (1,08–1,37) 1,49 (1,28–1,73) 40-64 jaar 1,33 (1,28–1,38) 1,20 (1,15–1,26) 65-79 jaar 1,16 (1,13–1,20) 1,12 (1,08–1,16) 80 jaar en ouder 1,10 (1,06–1,14) 1,02 (0,99–1,05)

(24)

behulp van Cubic Splines. Met deze methode wordt er een gladde curve, die twee keer continu differentieerbaar is, door de punten getrokken. Deze laatste methode zal gebruikt worden. De uitwerking van deze methode wordt beschreven in Bijlage B. De resultaten in vergelijking met de ratio’s per leeftijdsgroep voor mannen in SES-groep 1 zijn te zien in figuur 4.1. De resultaten voor de mannen in SES-groep 2 en voor vrouwen zijn te vinden in Bijlage C.

Fig. 4.1:Odds-ratio’s voor mannen in SES-groep 1

4.3 Prijsbepaling

Om de invloed van de sociaaleconomische verschillen op de prijs van een pensioenpor-tefeuille te kunnen bepalen zal voor een aantal verschillende porpensioenpor-tefeuilles de voorziening worden berekend. Dit zal worden gedaan op twee verschillende manieren: (1) met behulp van de overlevingstafels per SES-groep en (2) met de AG-tafel 1995-2000.

Een voorziening wordt bepaald door voor elke deelnemer de pensioenaanspraken te vermenigvuldigen met een factor. Deze factor is gebaseerd op een uitkering van 1 euro per jaar, vanaf de pensioendatum, levenslang, rekening houdend met de kans op overleven en contant gemaakt naar nu. Hierbij zal de contantmaking voor beide methoden (AG-tafel en SES-groepen) gelijk aan elkaar zijn. De kans op overleven wordt echter bepaald door de respectievelijke tafels. De factor voor het ouderdomspensioen (OP) voor een x-jarige met pensioenleeftijd 65 wordt, uitgedrukt in sterftekansen, als volgt berekend:

(25)

Hierbij is qxde sterftekans op leeftijd x, vt = ₍₁₋1_r₎t en r het rentepercentage waarmee contant

gemaakt wordt. Bij deze factor is verondersteld dat de uitkering gemiddeld halverwege het jaar zal plaatsvinden en is gelijk aan de prenumerando factor zoals beschreven in Gerber (1997) met uitzondering van de term1₂.

Zoals valt te zien is hier sprake van een product van sterftekansen waarbij de leeftijd steeds oploopt. Als de factor bepaald wordt met behulp van de AG-tafel zijn dit simpelweg de sterftekansen uit de AG-tafel. Echter als deze factor bepaald moet worden met behulp van de aangepaste overlevingstafels dan moet tevens rekening gehouden worden met de overgangskansen. Het gebruik van overgangskansen in de constructie van de overlevingstafels zorgt er namelijk voor dat in de sterftekansen alleen informatie over het verleden is verwerkt en niets over de toekomst. Om dit wel mee te nemen zal de berekening van de factoren aangepast moeten worden. Voor iemand van leeftijd x die op dit moment in SES-groep 1 zit zal dit resulteren in:

OP_x1 = v65−x 65−x

∏

m=0 (1−qx+m) × ∞

∑

k=0 vk+12 k

∏

m=0 (1−q₆₅₊1 2+m) = v65−x 65−x

∏

m=0  1−1 0 0 Sm   q1 x+m q2_x+m q3_x+m     ×

∑

∞ k=0 vk+12 k

∏

m=0     1−1 0 0 S65+m     q1 65+1 2+m q2 65+1 2+m q3 65+1₂+m         . (4.11)

Hierbij is S de matrix van overgangskansen met als aanname dat deze overgangskansen gelijk zijn voor alle leeftijden x en Smde matrix S tot de macht m.

Voor de berekening van de factor voor het nabestaandenpensioen (NP) moet behalve de sterftekans van de verzekerde tevens rekening gehouden worden met de sterftekansen van de nabestaande. Door de huidige constructie van de SES groepen zal deze nabestaande, mits deze op hetzelfde adres woont als de verzekerde, dezelfde sociaaleconomische status hebben als de verzekerde, maar ook voor deze nabestaande geldt dat de overgangskansen voor de toekomst zullen moeten worden toegepast. Deze factor valt uit te schrijven in sterftekansen, maar uit vergelijking 4.11 blijkt al dat dit voor het NP geen eenvoudige uitdrukking wordt waar prettig mee te werken valt. In het volgende hoofdstuk zal daarom een praktische keuze gemaakt worden.

(26)

5. Resultaten aanpassing tafels

In het vorige hoofdstuk is het raamwerk opgezet van de differentiatie van de overlevingsta-fels naar sociaaleconomische status. Met dit raamwerk kunnen de overlevingstaoverlevingsta-fels bepaald worden. Er moeten echter nog wel een tweetal keuzes worden gemaakt. In dit hoofdstuk zullen eerst deze keuzes beschreven worden en vervolgens de resultaten gepresenteerd worden.

5.1 Keuze parameters

In paragraaf 4.1 is het model beschreven waarmee de overlevingstafels kunnen worden geconstrueerd. In deze paragraaf zullen keuzes worden gemaakt betreffende de parameters f₀i voor twee SES groepen en de overgangskansen (sjix) in de overgangsmatrix S. Daarbij zal

eerst de matrix met overgangskansen besproken worden.

Zoals beschreven in paragraaf 4.3 wordt door het gebruik van een matrix met overgangskan-sen anders dan de identiteit het model om de prijs te bepalen behoorlijk complex. Daarbij valt op te merken dat er nauwelijks tot geen data beschikbaar is om een goede inschatting te maken van de waarde van deze overgangskansen. Om dit te onderzoeken zou een scriptie op zich zijn. Daarom is besloten om voor de matrix met overgangskansen de identiteit te nemen (I3). Dit levert een goed rekenbaar model op waar nog steeds goede resultaten mee

behaald kunnen worden. Dit betekent voor het model dat de aanname gemaakt wordt dat een persoon in SES groep i niet naar SES groep j kan gaan. Dit is als er gekeken wordt naar opleiding vanaf leeftijd 25 een plausibele aanname aangezien over het algemeen aangenomen wordt dat vanaf die leeftijd de opleiding niet zo heel veel meer zal veranderen. In dit model is de differentiatie in de SES groepen echter gemaakt op basis van inkomen en dit kan uiteraard nog wel veranderen. Voor een analyse op hoofdzaken is het echter niet essentieel om hier direct rekening mee te houden.

(27)

5. Resultaten aanpassing tafels

Voor gegeven f₀1en f₀2kunnen de sterftekansen worden berekend met behulp van het model beschreven in het vorige hoofdstuk. Hieruit volgen voor iedere leeftijd en elke SES groep ratio’s fi

x, waarbij x = 1, . . . , ω. Met deze ratio’s en het aantal personen van elke leeftijd in

de data van het CBS (kx) en de totale bevolking in 1999 (K) kan een gemiddelde fi worden

berekend. De ratio’s op leeftijd 0 kunnen nu zo gekozen worden dat de gemiddelde ratio’s over alle leeftijden per SES groep gelijk zijn aan de geobserveerde ratio’s in het artikel van Smits et al. (2001). Hierbij geldt:

fi = ∑

ω

x=0 fxikx

K (5.1)

en f1 ₌_{0.18, f}2₌_{0.49 en f}3₌_0.33.

Met behulp van de Solver Add-inn in Excel kunnen deze ratio’s op leeftijd 0 met een nauwkeurigheid van 5 decimalen achter de komma worden bepaald en daarmee ook de sterftekansen per SES groep. Voor mannen en vrouwen worden dezelfde gemiddelde odds ratio’s verondersteld.

Voor de mannen met de gladgestreken odds ratio’s zoals vermeld in tabel 2.1 en 4.1 betekent dit dat f₀1=0.184 en f₀2=0.491. Voor de vrouwen zijn deze respectievelijk 0.183 en 0.491. Nu een keuze is gemaakt voor wat betreft deze parameters kunnen de sterftekansen voor elke SES groep berekend worden. Dit wordt gedaan door te beginnen op leeftijd 0 met de ratio’s op leeftijd 0. Vervolgens kan met formule 4.9 het aantal levenden berekend worden op leeftijd 1. Met formule 4.4 kunnen dan de ratio’s berekend worden en met formule 4.6 de sterftekansen. Dit wordt vervolgend herhaald voor alle leeftijden x (x = 0, . . . , ω). De uitkomsten hiervan zijn te vinden in Bijlage E.

5.2 Koopsommen per euro pensioen

Tot nu toe zijn de sterftekansen het voornaamste onderwerp geweest in deze scriptie, maar eigenlijk kunnen we aan de hand van deze sterftekansen nog weinig zeggen over de impact van deze methodiek op de prijs van pensioen. In deze paragraaf wordt gekeken naar de verschillen tussen koopsommen voor het aankopen van 1 euro pensioen voor iemand behorende tot de verschillende SES groepen en de koopsom berekend met de AG tafel 1995-2000. Er wordt hierbij gekeken naar zowel het Ouderdomspensioen (OP) als het Nabestaandenpensioen (NP). Het OP wordt verondersteld in te gaan op 65 en als rekenrente r is genomen 4%. In figuur 5.1 zijn voor mannen de relatieve verschillen opgenomen ten opzichte van de koopsom berekend met de AG tafel. De onderliggende cijfers en de grafiek voor vrouwen zijn opgenomen in Bijlage F.

(28)

Fig. 5.1:Procentuele verschillen koopsommen OP voor mannen ten opzichte van AG tafel

koopsommen voor SES-groep 2 niet gelijk zijn aan het gemiddelde, maar daar net iets onder liggen. Voor vrouwen geldt hetzelfde, maar zijn de verschillen minder groot. Dit valt te verklaren door het feit dat de odds ratio’s bij vrouwen ook lager waren dan die bij de mannen.

De verschillen bij het OP zijn behoorlijk groot te noemen, maar een gemiddelde pensi-oenregeling bevat naast het OP ook vaak een NP wat uitkeert indien de deelnemer komt te overlijden. Aangezien hierbij de kans op uitkering groter wordt naarmate de kans op overlijden groter wordt, is te verwachten dat de effecten van aanpassing naar sociaal economische verschillen hier omgekeerd zullen zijn dan bij het OP. In figuur 5.2 zijn voor mannen de resultaten opgenomen van 1 euro NP welke verzekerd is tot de 65-jarige leeftijd van de deelnemer. Er wordt verondersteld dat de partner in dezelfde SES-groep valt als de deelnemer.

Fig. 5.2:Procentuele verschillen koopsommen NP voor mannen ten opzichte van AG tafel

(29)

effect op de OP-koopsommen. Voor mannen in SES-groep 1 geldt dat vooral op jongere leeftijd de koopsom bijna zeventien procent hoger ligt dan de koopsom volgens de AG-tafel. Op hogere leeftijd wordt dit effect minder aangezien dan ook de kans groter wordt dat de partner niet meer in leven is. Daarnaast worden de sociaal economische verschillen kleiner op hogere leeftijd.

Fig. 5.3:Procentuele verschillen koopsommen OP+NP voor mannen ten opzichte van AG tafel

Naast de afzonderlijke koopsommen voor het OP en NP is het ook interessant om naar de combinatie van beide te kijken. In de meeste gevallen wordt in combinatie met 1 euro OP namelijk 0,70 euro NP opgebouwd. In figuur 5.3 zijn de verschillen te zien voor combinatiekoopsommen voor 1 euro OP plus 0,70 euro NP. Hieruit blijkt dat de verschillen tussen koopsommen berekend met de aangepaste SES-tafels en de AG-tafel door een combinatie te nemen van OP plus NP een stuk kleiner worden. Op jongere leeftijd zijn de verschillen, vooral voor mannen, haast verwaarloosbaar, maar vanaf 50-jarige leeftijd zijn de koopsommen berekend met behulp van SES groep 1 toch gemiddeld 3% lager dan de koopsommen berekend met behulp van de AG-tafel. Dit verschil loopt bij mannen voor de hogere leeftijden nog wat op. Voor de koopsommen berekend met behulp van SES groep 3 geldt dat deze gemiddeld 2% hoger liggen dan de koopsommen bereken met behulp van de AG-tafel. Alhoewel de verschillen wel kleiner zijn geworden, zijn deze nog steeds wel significant aanwezig. Op de huidige pensioendatum van 65 zijn de verschillen eigenlijk het grootst en deze zijn met name bepalend voor de hoeveelheid geld die op dat moment gereserveerd moet zijn voor de uitkeringen die dan zullen starten.

5.3 Onzekerheid in hoogte odds-ratio’s

(30)

trekkingen gedaan per odds ratio waarbij het gemiddelde van deze trekkingen gelijk is aan de gemiddelde odds ratio uit het artikel. Met deze trekkingen kunnen voor 3000 scenario’s de sterftekansen worden berekend. In Bijlage G worden de gemiddelde sterftekansen en hun standaard deviaties gegeven die behoren bij deze 3000 scenario’s. In figuur 5.4 wordt voor mannen voor iedere SES-groep de procentuele afwijking weergegeven van de gemiddelde sterftekansen op basis van 3000 scenario’s ten opzichte van de sterftekansen op basis van standaard odds ratio’s.

Fig. 5.4:Procentuele verschillen gemiddelde sterftekansen t.o.v. basisscenario

Er valt te zien dat de gemiddelde sterftekansen op basis van 3000 scenario’s voor alle SES-groepen vrijwel overeenkomen met de eerder berekende sterftekansen op basis van de originele odds ratio’s. Op hogere leeftijden is dit verschil lager dan op lagere leeftijden. Omdat het verband tussen de sterftekansen en de koopsommen niet lineair is zijn ook de koopsommen berekend op basis van deze 3000 trekkingen. De uitkomsten van deze berekeningen zijn te vinden in Bijlage H. Voor de combinatiekoopsommen OP+NP voor mannen zijn in figuur 5.5 de 95%-betrouwbaarheidsintervallen te zien voor de leeftijden 35, 65 en 80 geconstrueerd met behulp van de 3000 scenario’s. Hierbij zijn de procentuele afwijkingen ten opzichte van de koopsom op basis van de AG-tafel opgenomen, met de koopsom op basis van de AG-tafel op 0%. De figuur met de uitkomsten voor vrouwen is opgenomen in Bijlage H.

(31)

Fig. 5.5:Betrouwbaarheidsintervallen combinatiekoopsommen OP plus NP mannen

(32)

6. Resultaten verschillende portefeuilles

In het vorige hoofdstuk zijn overlevingstafels geconstrueerd welke de sociaaleconomische verschillen in sterfte representeren en zijn resultaten op individueel niveau gepresenteerd. Hiermee is het eerste gedeelte van de probleemstelling uit de inleiding beantwoord. In dit hoofdstuk zal een antwoord worden gezocht op het tweede gedeelte van de probleem-stelling: Heeft het gebruik van deze aangepaste overlevingstafels een significante invloed op de VPV van een collectieve pensioenportefeuille? Hiervoor wordt eerst een aantal verschillende pensioenportefeuilles bepaald welke doorgerekend worden en vervolgens wordt naar de uitkomsten gekeken van deze berekeningen.

6.1 Verschillende portefeuilles

Om de invloed van de sociaaleconomische verschillen op een pensioenportefeuille te kun-nen bepalen zal in dit hoofdstuk met behulp van de resultaten uit het vorige hoofdstuk voor een aantal verschillende portefeuilles de voorziening worden berekend. Deze voorziening zal worden berekend met behulp van de aangepaste overlevingstafels en met de AG-tafel 1995-2000 om te zien wat de verschillen zijn. Om een goed beeld te krijgen op welk soort portefeuilles de aanpassing van de overlevingstafels de grootste invloed heeft zal de voorziening voor een aantal verschillende portefeuilles worden bepaald.

(33)

6. Resultaten verschillende portefeuilles

Met deze maatmensen kunnen verschillende pensioenportefeuilles worden geconstrueerd. Om een zo goed mogelijk beeld te krijgen van de effecten van de nieuwe tafels worden zeven verschillende portefeuilles doorgerekend. Deze zijn op te delen in vier verschillende groepen: SES groep 1, SES groep 3, Gemengd en Gepensioneerd. Voor de mensen in het bestand met alleen SES groep 1 geldt dat deze voornamelijk lage inkomens hebben en daarom is verondersteld dat een bijbehorend bestand gemiddeld jonger is dan een bestand met alleen mensen uit SES groep 3. Om toch een goede vergelijking te maken zijn er twee verschillende leeftijdsopbouwen gemaakt en zijn deze voor zowel SES groep 1 als SES groep 3 doorgerekend. Voor het gemengde bestand is gebruik gemaakt van gegevens over de bevolkingsopbouw in 1999 van het CBS. Dit is zo gekozen omdat in het artikel van Smits et al. (2001) data is gebruikt uit 1999. Het gepensioneerden bestand wordt doorgerekend voor zowel SES groep 1 als SES groep 3. In tabel 6.1 is een overzicht opgenomen van de opbouw van de verschillende bestanden.

Tab. 6.1:Verschillende bestanden voor berekenen prijs

Naam SES Groep 1 SES Groep 3 Gemengd Gepensioneerden

jong oud jong oud SES 1 SES 3

Nummer 1a 1b 2a 2b 3 4a 4b SES verdeling 1 100% 100% 18% 100% 2 49% 3 100% 100% 33% 100% leeftijdverdeling 21-34 30% 18% 30% 18% 28% 35-49 35% 30% 35% 30% 31% 50-64 20% 27% 20% 27% 23% 65-74 10% 15% 10% 15% 10% 70% 70% 75-ω 5% 10% 5% 10% 8% 30% 30%

Met deze bestanden kan voor verschillende groepen deelnemers van een pensioenfonds de impact doorgerekend worden van de aanpassing aan de sterftekansen op basis van de SES groepen. In de volgende paragraaf zullen de resultaten van deze berekeningen gepresenteerd worden.

6.2 Resultaten

(34)

in bijlage J.

Tab. 6.2:Resultaten verschillende portefeuilles t.o.v. AG tafel

SES Groep 1 SES Groep 3 Gemengd Gepensioneerden

jong oud jong oud SES 1 SES 3

Nummer 1a 1b 2a 2b 3 4a 4b OP+70%NP Man -3.6% -3.7% 2.5% 2.5% 0.9% -3.7% 2.6% Vrouw -3.5% -3.5% 2.2% 2.2% 0.8% -3.2% 2.1% Totaal -3.6% -3.6% 2.3% 2.4% 0.9% -3.5% 2.3% OP Man -7.6% -7.3% 5.7% 5.4% 2.1% -6.1% 4.5% Vrouw -4.3% -4.0% 2.5% 2.4% 1.0% -3.2% 2.0% Totaal -6.0% -5.7% 4.1% 3.9% 1.5% -4.6% 3.3%

Ook bij deze resultaten is, net als bij het bepalen van de koopsommen in paragraaf 5.2, het effect van het NP goed te zien. De combinatie OP plus 70% NP laat veel kleinere afwijkingen zien ten opzicht van de AG tafel dan alleen het OP. Ook de verschillen tussen mannen en vrouwen bij alleen OP worden zo goed als teniet gedaan door ook rekening te houden met het NP.

Uit de resultaten voor de combinatie OP plus 70% NP valt vervolgens het volgende op te merken:

• Alle berekende bestanden hebben een significante afwijking ten opzichte van de AG tafel;

• Bij SES groep 1 zijn de verschillen tussen een jong en een oud bestand verwaarloosbaar; • Bij SES groep 3 zijn de verschillen tussen jong, oud en gepensioneerd nog minder

aanwezig oftewel verwaarloosbaar;

• Het gemengde bestand resulteert in een hogere voorziening dan op basis van de AG tafel;

• De afwijking ten opzichte van de AG tafel is, alhoewel tegengesteld in teken, bij SES groep 1 hoger dan bij SES groep 3;

• Een hogere leeftijd resulteert bij mannen in een hogere afwijking ten opzichte van de AG tafel terwijl dit bij vrouwen in een lagere afwijking resulteert.

(35)

voor mensen in SES groep 3 een stuk hoger dan de voorziening voor mensen in SES groep 1. Zie daarvoor ook de tabellen in Bijlage J waarin ook de voorzieningen zijn opgenomen. Analoog aan paragraaf 5.3 zijn ook voor de berekeningen met de verschillende portefeuilles meerdere scenario’s doorgerekend. Vanwege beperkingen in de rekenkracht van onder andere Excel zijn niet voor 3000 maar voor 500 trekkingen van odds-ratio’s de verschil-lende portefeuilles doorgerekend. In figuur 6.1 zijn de 95%-betrouwbaarheidsintervallen weergegeven geconstrueerd op basis van de 500 doorgerekende scenario’s. Deze betrouw-baarheidsintervallen zijn voor de berekening met OP in combinatie met 70% NP. Hierbij is analoog aan de figuur voor de koopsommen de berekende voorziening op basis van de AG-tafel gelijk aan een afwijking van 0%.

Fig. 6.1:Betrouwbaarheidsintervallen voor de verschillende portefeuilles o.b.v. OP+70%NP

Hieruit valt af te leiden dat voor alle portefeuilles de berekende voorziening op basis van de AG-tafel buiten het 95%-betrouwbaarheidsinterval van de voorziening op basis van SES-groepen valt. De onzekerheid in de odds-ratio’s heeft er dus niet toe geleid dat de uitkomsten van deze berekeningen niet significant afwijken van de resultaten op basis van de AG-tafel. De betrouwbaarheidsintervallen behorende bij de berekeningen voor alleen OP zijn te vinden in Bijlage J. Ook hiervoor geldt dat de uitkomsten significant afwijken van de voorziening op basis van de AG-tafel.

6.3 Toepassingen

(36)

verleden en historische waarnemingen binnen het fonds en in feite het doortrekken van het verleden naar de toekomst. Als een fonds, door bijvoorbeeld een overname van een ander bedrijf, van samenstelling verandert, valt dit nog niet direct terug te zien in de historische waarnemingen, terwijl in de vorige paragraaf juist aangetoond is dat de samenstelling van een bestand een behoorlijke invloed kan hebben op de hoogte van de voorziening.

Overlevingstafels gebaseerd op SES zijn ook gebaseerd op empirische data uit het verleden en ook voor de hele Nederlandse bevolking. Echter omdat hier onderscheid wordt gemaakt naar inkomen en SES-groep kan elk fonds hier gebruik van maken door de populatie op te delen in SES-groepen op basis van inkomen. Indien de samenstelling van de populatie binnen een fonds drastisch verandert kunnen deze SES-tafels worden toegepast aangezien het inkomen bepaalt in welke SES-groep de deelnemers zitten en hiermee ook automatisch het gebruik van de tafels wordt aangepast aan de populatie.

(37)

7. Conclusies en aanbevelingen

In de inleiding in paragraaf 1.1 zijn de volgende onderzoeksvragen gedefinieerd: • Welke effecten zijn er op sterfte?

• Op welke manier kunnen we de sociaaleconomische verschillen het beste verwerken in de overlevingstafels?

• Wat zijn de verschillen tussen resultaten op basis van een collectieve pensioenporte-feuille welke grotendeels lager opgeleide personen bevat en een welke grotendeels hoger opgeleide personen bevat?

In de eerste hoofdstukken van deze scriptie zijn de effecten op sterfte besproken en is duide-lijk geworden dat de effecten van sociaaleconomische verschillen op sterfte een significante invloed hebben op de levensverwachting van de Nederlandse bevolking. Daarom is in hoofdstuk 4 een methodiek ontwikkeld waarmee overlevingstafels geconstrueerd worden die onderscheid maken in de verschillende SES-groepen. De resultaten van deze aangepaste tafels zijn vervolgens in hoofdstuk 5 besproken en in hoofdstuk 6 toegepast op collectieve pensioenportefeuilles. Er is gebleken dat de aanpassingen een significante invloed hebben op de prijsbepaling van deze collectieve pensioenportefeuilles. Een bestand met grotendeels lager opgeleide personen zou op basis van SES-tafels een ruim 3% lagere voorziening kunnen hanteren dan op basis van de standaard AG-tafels. Voor het bestand met grotendeels hoger opgeleide personen is het effect wellicht iets minder, maar een dergelijk bestand zou op basis van SES-tafels een ruim 2% hogere voorziening moeten hanteren.

(38)

Literatuur

Bruggink, J.-W. (2009). Ontwikkelingen in (gezonde) levensverwachting naar opleidingsni-veau. Bevolkingstrends, CBS, 4, 71-75.

CBS. (1999). Bevolking; geslacht, leeftijd en burgerlijke staat. http://statline.cbs.nl/ StatWeb/publication/?DM=SLNL&PA=7461BEV&D1=0&D2=1-2&D3=0-100&D4= 49&HDR=T,G3&STB=G1,G2&VW=T.

Donselaar, J., Attema, J., Broekhoven, H. van, Roodenburg-Berkhout, L., Zijp, P. van, & Willemse, W. (2007). AG Over sterven en overleven. Woerden: Actuarieel Genootschap. Duin, C. van & Garssen, J. (2011). Bevolkingsprognose 2010-2060: sterkere vergrijzing,

langere levensduur. Bevolkingstrends, CBS, 1, 16-23. Gerber, H. U. (1997). Life insurance mathematics. Springer.

Jong, A. de. (2002, juni). Gehuwden leven het langst. Maandstatistiek van de bevolking, CBS, 4-10.

Kunst, A. (2007). Sociaal-economische verschillen in sterfte en gezondheid in nederland. Bevolkingstrends, CBS, 1, 34-44.

Meulen, A. van der & Janssen, F. (2007). Achtergronden en berekeningswijzen van cbs-overlevingstafels. Bevolkingstrends, CBS, 3, 66-77.

PLT-werkgroep. (2008). Generatietafels pensioenen 2008. Verbond van Verzekeraars.

Smits, J., Keij, I., & Westert, G. (2001, november). Effecten van sociaal-economische status van kleine, middelgrote en grote geografische eenheden op de sterfte. Maandstatistiek van de bevolking, CBS, 4-10.

Smits, J., Keij-Deerenberg, I., & Westert, G. (2005, juni). Effects of socio-economic status on mortality: seperating the nearby from the farther away. Health Economics, 14, 595-608. Th´er´e, C. & Rohrbasser, J.-M. (2006). Facing death in the early days of life: Inequality

between the sexes in enlightenment demographic thought. History of the Family, 11, 199-210.

(39)

A. Het Van Broekhoven

afrondingsalgoritme

Doelstellingen voor de afronding van de sterftekansen gepubliceerd door het CBS:

• De afgeronde sterftequoti¨enten tonen een gladder verloop dan de ruwe sterfte-quoti¨enten. Het begrip gladheid kan overigens op diverse wijzen worden ingevuld. Het AG gebruikt als gladheidsmaat de som van de kwadraten van de derde verschil-len.

• De kwadratische afwijking tussen de ruwe sterftequoti¨enten en de afgeronde sterfte-quoti¨enten is minimaal bij de gekozen mate van gladheid.

• Het aantal tekenwisselingen in het verschil tussen de ruwe en de afgeronde sterfte-quoti¨enten moet groot zijn.

De gekozen afrondingsmethode heeft volgens het AG een tweetal belangrijke gevolgen: • De met de afgeronde sterftequoti¨enten berekende gemiddelde levensduur wijkt niet of

nauwelijks af van de met de ruwe sterftequoti¨enten berekende levensduur.

• Over het gehele leeftijdsbereik wordt een goede fit bereikt tussen de ruwe en de afgeronde sterftequoti¨enten. De vorm van de afgeronde tafel en de ruwe tafel wijkt niet af.

Om te voldoen aan deze doelstellingen is een algoritme ontwikkeld door Van Broekhoven (Donselaar et al., 2007, Hoofdstuk 4). Dit algoritme wordt dan ook wel het Van Broekhoven afrondingsalgoritme genoemd.

Om qx te bepalen voor een gegeven leeftijd x, worden 11 waargenomen sterftequoti¨enten

gebruikt. Die van de leeftijd x− 5 t/m x+ 5. Waarbij qr_x de ruwe waargenomen sterftequoti¨enten representeren. Bij 11 waarnemingen blijkt namelijk dat de maximale gladheid bereikt kan worden als men voor de gladheidsmaat uitgaat van de som van de kwadraten van de derde verschillen. Hierop wordt een kleinste kwadratenmethode toegepast. De berekeningen worden echter niet gedaan op de sterftequoti¨enten zelf, maar op een transformatie hiervan, fr(x), namelijk:

fr(x) =ln[−ln{1−qr_x}]. (A.1)

(40)

A. Het Van Broekhoven afrondingsalgoritme

f(x) =ln[−ln{1−qx}] =a+bx+cx2. (A.2)

De parameters a, b en c worden voor iedere x afzonderlijk opgelost door de mean squared error te minimaliseren: min +5

∑

k=−5 h f(x) − fr(x+k)i2. (A.3)

Dit kan ook gedaan worden met behulp van matrixrekening: f(x) = 1 x x2

(X0X)−1X0y, met: X=      1 x−5 (x−5)2 1 x−4 (x−4)2 .. . ... ... 1 x+5 (x+5)2      en y=      fr(x−5) fr(x−4) .. . fr(x+5)      .

De qx wordt vervolgens bepaald door de transformatie:

qx =1−e−e

f(x)

. (A.4)