Dichtheden i n ' leerproccessen'

Dichtheden i n ' leerproccessen'

L . S t r e e f l a n d

V a k g r o e p OW&OC, R . U . - U t r e c h t

O v e r z i c h t

V o o r h e t v e r w e r v e n v a n b e g r i p e n i n z i c h t i n d e B - v a k k e n z i j n u i t e e n l o p e n d e b e - n a d e r i n g e n b e p r o e f d . D e z e k u n n e n g e k e n s c h e t s t w o r d e n a l s h e t a a n b r e n g e n v a n b e - g r i p , g e v o l g d d o o r o e f e n i n g b i n n e n h e t v a k g e b i e d e n d a n p a s - a l s h e t e r n o g v a n k o m t - t o e p a s s e n , o f h e t b i j b r e n g e n v a n g e ï s o l e e r d b e g r i p g e p a a r d a a n o e f e n i n g b i n n e n h e t v a k z o n d e r m e e r .

B e i d e - v e r w a n t e b e n a d e r i n g e n - b e r u s t e n i n w e z e n o p ( i m p l i c i e t e ) t h e o r i e ë n o m t r e n t h e t l e r e n , o f o p z ' n m i n s t o p d e o v e r t u i g i n g , d a t v o o r a l d e n o d i g e z u i - v e r h e i d i n b e n a d e r i n g e e n g o e d e b e g r i p s v o r m i n g t e w e e g b r e n g t . B i j g e v o l g z a l e e n b e g r i p d a t m e n o p h e t o o g h e e f t , z o v e e l m o g e l i j k ' i n z ' n e e n t j e ' a a n d e l e e r l i n - g e n m o e t e n w o r d e n v o o r g e s t e l d - d u s z o n d e r r u i s e n z o n d e r ( i n ) z i c h t b e l e r c m e r e n d e s a m e n h a n g - w i l l e n z i j e e n h e l d e r e k i j k h i e r o p k r i j g e n .

I n t o e n e m e n d e m a t e b l i j k t e c h t e r u i t d e v r u c h t e n v a n o n t w i k k e l i n g s - e n o n d e r - z o e k s a r b e i d o p v e l e r l e i t e r r e i n , d a t v o o r g a a n d e b e n a d e r i n g e n , g e l e t o p h e t l e e r - e f f e c t e n m e t n a m e o p d e t o e p a s b a a r h e i d v a n h e t g e l e e r d e , n i e t l a n g e r h o u d b a a r z i j n . M e e r e n m e e r k r i j g t m e n o o g v o o r d e r o l e n h e t b e l a n g v a n c o n t e x t e n v o o r e n d e t o e p a s b a a r h e i d v a n h e t g e l e e r d e . De t w e e d r a c h t d i e ' z i c h z e l f v o o r t d u r e n d z a a i t a a n h e n d i e o n d e r w i j s o n t w i k k e l e n , p l a n n e n , o r g a n i s e r e n , o n d e r z o e k e n , e t c . i s h e t

s p a n n i n g s v e l d t u s s e n o n d e r w i j z e n e n l e r e n t e l k e n s u i t n e v e l e n o p d o e m e n d d a n w e l e r i n g e h u l d , a l s S c y l l a e n C h a r y b d i s , w a a r t u s s e n men b e h o e d z a a m m o e t e n o o k w i l l a v e r e n w a n n e e r m e n a l t h a n s b i j h e t o n d e r w i j z e n r e k e n i n g w i l h o u d e n m e t e n g e - b r u i k m a k e n v a n w a t z i c h i n h e t b r e i n v a n d e l e e r l i n g e n v o l t r e k t e n o m g e k e e r d . [ n d i t a r t i k e l t j e w i l l e n we e n k e l e g e d a c h t e n o n t v o u w e n v o o r e e n l e e r p r o c e s o v e r l a n g e r e t e r m i j n , w a a r b i j h e t b e g r i p dichtheid c e n t r a a l s t a a t .

H e t g e n o e m d e d i l e m m a s p e e l t d a a r b i j i n z o v e r r e m e e , d a t e e r s t - a a n d e h a n d v a n e n k e l e v o o r b e e l d e n g e ï l l u s t r e e r d - d e l e e r l i n g e n g e v o l g d w o r d e n o p h u n ' h o b -

S t r e e f ! a n d 7 3

b e l i g e ' l e e r w e g . U i t g a n g s p u n t d a a r b i j i s h e t z o v e e l m o g e l i j k r e c h t d o e n a a n h u n d e n k b e e l d e n e n s t a n d p u n t e n , d a a r b i j a a n s l u i t e n e n d i e o n t w i k k e l e n t o t w a t m e n

' v a k z u i v e r e b e g r i p p e n ' z o u k u n n e n n o e m e n .

H e t a l t e r n a t i e f - w a a r t o e m e n z e k e r b i j o u d e r e l e e r l i n g e n g e n e i g d i s ( e n w a a r - t o e men o o k g e m a k k e i i j k ( e r ) g e n e i g d z a l b l i j v e n ) - i s h e t d i c t a a t v a n d e v a k - s t r u c t u u r v o l g e n , m e d e b e p a a l d d o o r d a a r i n g e l d e n d e d e f i n i t i e s .

Oe k e r n v a n h e t b e t o o g w o r d t g e v o r m d d o o r h e t i d e e , l e e r p r o c e s s e n v o o r a f z o n - d e r l i j k e n o t i e s , d i e v e r b a n d h o u d e n m e t d i c h t h e i d , r e e d s i n e e n p r i l s t a d i u m t e verweven, z o d a t h e t l e e r p r o g r a m m a a l s h e t w a r e o p d e d i n g e n d i e n o g k o m e n - i n d i t g e v a l d i c h t h e i d - v o o r u i t g r i j p t .

E e n a n d e r k e n m e r k v a n e e n d e r g e l i j k e b e n a d e r i n g i s h e t r e c h t d o e n a a n h e t m a t e - r i a a l v a n w i s k u n d i g e e n f y s i s c h e a a r d e . d . , w a a r o p d i c h t h e i d g e g r o n d v e s t w o r d t . L e t w e l , h e t g a a t om e e n k e u z e t e n g u n s t e v a n d e p o s i t i e v a n d e l e e r l i n g v o o r a f ( a p r i o r i ) w a n n e e r h e t l e e r p r o c e s w o r d t i n g e z e t t e n k o s t e v a n h e t v a k s t a n d p u n t a c h t e r a f ( a p o s t e r i o r i ) , w a n n e e r m e n v a n h e t w e l g e o r d e n d e k e n n i s b e s t a n d v a n h e t v a k z o u u i t g a a n .

D i c h t h e i d a p r i o r i : e n k e l e v o o r b e e l d e n

De v o l g e n d e v o o r b e e l d e n b e v a t t e n o n d e r w i j s n a b i j e b e s c h r i j v i n g e n , d i e d e e l s g e - o b s e r v e e r d z i j n e n d e e l s g e d a c h t .

V o o r b e e l d 1 : E e n k w e s t i e v a n s m a a k

I n e e n h e r z i e n e v e r s i e v a n e e n o n d e r w i j s t h e m a o v e r v e r h o u d i n g e n , b a k t e e n b a k k e r b o t e r k o e k e n v a n t w e e g r o o t t e n , ' b e s p r e n k e l d ' m e t s t u k j e s g e m b e r ( S t r e e f l a n d , 1 9 8 3 a ) .

D e r d e k l a s s e r s v a n d e l a g e r e s c h o o l z o e k e n u i t - m e t h e t o o g o p h e t r e c e p t - h o e v e e l s t u k j e s g e m b e r b e i d e k o e k e n b e v a t t e n . E e r s t s c h a t t e n , d a n t e l l e n d o o r g r o e p j e s m a k e n . De ' r e k e n z i n n e n ' d i e h e t t e l l e n v e r - k o r t s a m e n v a t t e n , l e v e r e n d e r e s u l t a t e n , b . v . 12 x 5 = 6 0 e n 2 4 x 5 = 1 2 0 .

C

D e z e k u n n e n o p z i c h z e l f a l v e r r a s s e n d z i j n , o m d a t d e k i n d e r e n i n e e r s t e i n s t a n t i e ' e v e n v e e l ' g e s c h a t ( k u n n e n ) h e b b e n . Na h e t b e p a l e n v a n d e a b s o l u t e a a n t a l l e n s t u k j e s g e m b e r , g a a n d e k i n d e r e n s a m e n m e t h u n j u f e e n s k i j k e n n a a r d e s m a a k v a n d e k o e k e n ( o f h e t a a n t a l s t u k j e s g e m b e r p e r h a p ) .

V o o r b e e l d 2 : T e l e f o o n d i c h t h e i d ( I . O . W . O . , 1 9 7 6 )

I n e e n z e s d e k l a s o n t l o k t e d e u i t s p r a a k : ' B i j n a i e d e r e e n h e e f t t e g e n w o o r d i g t e l e f o o n ' , d e n o d i g e d i s c u s s i e . De o n d e r w i j z e r n e e m t i n z i . i n k l a s d e D r o e f o o d e s o m : 2 4 v a n d e 3 2 k i n d e r e n b l i j k e n t h u i s t e l e f o o n t e h e b b e n . L a t e r a r i j n t h i j d i t

' i n c i d e n t ' a a n a l s u i t g a n g s p u n t v o o r e n k e l e r e k e n - w i s k u n d ^ e - 1 e s s e n o v e r h e t t e l l e n v a n g r o t e h o e v e e l h e d e n , s c h a t t e n v a n g r o t e a a n t a l l e n , r e k e n e n m e t g e m i d d e l d e n , l i n e a i r e e n b i j n a l i n e a i r e g r a f i e k e n e n h e t v e r s c h e r p e n v a . n n o t i e s b i j z i j n l e e r - l i n g e n o m t r e n t h u n w i j z e v a n s t a t i s t i s c h d e n k e n .

B i j o n s i n d e k l a s h e e f t e e n g r o o t g e d e e l t e v a n d e k i n d e r e n t e l e f o o n , w e l 2 4 v a n d e 3 2 . K u n n e n w e m e t d i t g e g e v e n h e t a a n t a l i n w o n e r s v a n o n z e w o o n p l a a t s b e - p a l e n ?

De k l a s g o n s t a l s p o e d i g v a n d e i d e e ë n e n n a e n i g e d i s c u s s i e w o r d t b e s l o t e n t o t d e v o l g e n d e p r o c e d u r e . I n o n z e k l a s h e e f t 1 d e e l v a n d e k i n d e r e n g e e n t e l e - f o o n . A l s we n u d e t e l e f o o n g i d s n e m e n , h e t a a n t a l n u m m e r s i n o n z e p l a a t s t e l l e n e n d a a r h e t - j d e e l b i j o p t e l l e n , d a n h e b b e n w e h e t a a n t a l i n w o n e r s .

E n k e l e e l e m e n t e n i n d e z e p r o c e d u r e ( 1 ) v o r m d e n m e d e d e a a n l e i d i n g t o t d e d i s - c u s s i e , v a n w e g e h e t v e l e w e r k ( a l d i e n u m m e r s t e l l e n ) e n o m d a t ' d i e ^ ' n i e t b e - g r e p e n w e r d . B e i d e b e z w a r e n w e r d e n t i j d e n s d e d i s c u s s i e w e g g e n o m e n .

De k l e i n e k o e k m e t d e m i n s t e s t u k j e s b l i j k t t o c h h e t m e e s t n a a r g e m b e r t e s m a k e n , w a n t , z o k u n n e n d e 1 e e r l i n g e n a r g u m e n t e r e n :

' O p e e n h a p v a n d e g r o t e k o e k z i t t e n b i j v o o r b e e l d m a a r v i j f s t u k j e s g e m b e r e n o p e e n even grote hap v a n d e k l e i n e k o e k v e e l m e e r s t u k j e s ' . O f : ' D e g r o t e k o e k i s v i e r k e e r d i e k l e i n e . A l s d i e k l e i n e n e t z o w a s , m o e s t e n e r 3 0 s t u k j e s o p z i t t e n . ' D u s : ' d e g r o t e k o e k h e e f t d e m e e s t e s t u k j e s g e m b e r , m a a r ' n a a r v e r h o u d i n g ' h e e f t d e k l e i n e k o e k d e m e e s t e s t u k j e s g e m b e r ' , z o b e s l u i t e n j u f e n d e k i n d e r e n d e z e a c t i v i t e i t .

I n s t a p

S t r e e f l a n d Z5.

V o o r h e t t e l l e n w e r d a f g e s p r o k e n : I e d e r t w e e t a l l e e r l i n g e n t e l t e e n n i e u w e b l a d - z i j d e i n d e t e l e f o o n g i d s . We k i j k e n n a a r h e t g e m i d d e l d e a a n t a l v a n d e g e t e l d e b l a d z i j d e n e n v e r m e n i g v u l d i g e n d i t m e t h e t a a n t a l b l a d z i j d e n .

De b r e u k e n k w e s t i e k o n e e n v o u d i g v i s u e e l g e m a a k t w o r d e n :

' o n z e k l a s ' ' o n z e s t a d '

E r m o e t , z o a l s u i t h e t p l a a t j e b l i j k t , d u s m a a r - j d e e l v a n d e a a n s l u i t i n g e n b i j g e t e l d w o r d e n . O v e r d e g e k o z e n o p l o s s i n g e n b l e v e n t o c h n o g w e l e n k e l e t w i j f e l s b e s t a a n , d i e a l s t e r e c h t e r k e n d w e r d e n , z o a l s d e n u m m e r s v a n f a b r i e k e n , s c h o l e n e n k a n t o r e n d i e w e r d e n m e e g e t e l d , t e r w i j l

D e s o n d a n k s t o o g m e n w e l g e m o e d a a n d e s l a g e n n a h e t n o d i g e t e l l e n , m i d d e l e n , v e r m e n i g v u l d i g e n , d e l e n e n b i j t e l l e n , b l e e k b i j n a v r a a g b i j d e a f d e l i n g b e v o l - k i n g , d e u i t k o m s t ER V E R N A A S T '. T o c h h a d d e n b i j n a a l l e g r o e p j e s v r i j w e l h e t z e l f - d e a n t w o o r d , m e d e d o o r h e t g e b r u i k v a n z a k r e k e n m a c h i e n t j e s .

C o n f l i c t o n t m a s k e r d

De o n d e r w i j z e r v e r t e l t : ' I n d e v i e r d e k l a s - i k h e b d i t n a g e v r a a g d - z i j n e r 2 0 v a n d e 3 0 k i n d e r e n d i e t e l e f o o n h e b b e n . K u n n e n w e n u z e g g e n , d a t i n o n z e t w e e k l a s s e n samen

2 4 v a n d e 3 2 e n 2 0 v a n d e 3 0 +

4 4 v a n d e 6 2 k i n d e r e n t e l e f o o n h e b b e n ?

T j a , e r z i j n e r w e l e n k e l e n , d i e a a n h u n b r o e r t j e o f z u s j e i n d e v i e r d e k l a s m o e t e n d e n k e n , d u s d i e z i j n dubbel g e t e l d '.

V i n g e r s , H e n e e r I I ! M e n e e r V e l e n h e b b e n e c h t e r n o g e e n b l i k v a n n i e t b e g r i j - p e n . De l e e r k r a c h t n e g e e r t d e v i n g e r s n o g e v e n e n r i c h t z i c h t o t é é n v a n h e n : ' P e t e r , z o e k j i j jezelf'eens o p i n d e t e l e f o o n g i d s . '

O o k a n d e r e n g r i j p e n s p o n t a a n e e n g i d s , m a a r d a n D a t k a n n a t u u r l i j k h e l e - m a a l n i e t ! H e t b e g i n t t e d a g e n . 2 4 t e l e f o o n s p e r 3 2 k i n d e r e n ( o f 2 0 p e r 3 0 ) z i j n m i s l e i d e n d e a a n t a l l e n . M e t d e ' t e l e f o o r v a n J a n ' d o e n o o k z i j n o u d e r s , z i j n b r o e r t j e , z i j n z u s j e

D i c h t h e d e n i n ' l e e r p r o c c e s s e n '

V e r v o l g a c t i v i t e i t e n

A l s d a t i n z i c h t é é n m a a l b i j i e d e r i s d o o r g e b r o k e n , v o l g t e e n r e e k s v a n a c t i v i - t e i t e n , g e r i c h t o p :

- h e t b e p a l e n v a n d e e c h t e t e l e f o o n d i c h t h e i d v a n ' d e k l a s ' ;

- h e t t e l l e n v a n h e t a a n t a l a a n s l u i t i n g e n i n e e n a a n t a l p l a a t s e n v a n h u n d i s t r i c t ; - h e t v e r g e l i j k e n v a n d e z e a a n t a l l e n m e t d e i n w o n e r a a n t a l l e n e n h e t v a s t s t e l l e n

e n v e r w o o r d e n v a n e e n t r e n d , d e d i c h t h e i d b i j d e z e p l a a t s e n i s ; h i e r b i j w o r d t g e b r u i k g e m a a k t v a n e e n g r a f i e k .

• I00010OO0 10OOO IOOOO | «QOOO ,0000 ooooo »oouo Mooo fo.ooo looooo inwoner*

- h e t v e r g e l i j k e n v a n d e u i t k o m s t e n m e t o f f i c i ë l e g e g e v e n s v a n d e P T T ; - h e t b e p a l e n v a n d e i n w o n e r a a n t a l l e n v a n e n k e l e k l e i n e , m i d d e l g r o t e e n g r o t e

p l a a t s e n , w a a r b i j d e t e l e f o o n g i d s a l s s c h a t t e r w o r d t g e b r u i k t ;

- h e t r e l a t i v e r e n v a n d e g e v o l g d e p r o c e d u r e , i . v . m . m o g e l i j k e a f w i j k i n g e n , b i j v . o p g r o n d v a n d e d i c h t h e d e n i n N e d e r l a n d ( 2 5 % ) , A m s t e r d a m ( 3 3 % ) e n M a a s t r i c h t

( 1 8 , 8 % ) . ( 2 )

}}%

25%

14%

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

V o o r b e e l d 3 : D r u k ( 3 )

T w e e d e k l a s s e r s i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r w i j s h e b b e n z i c h a l g e r u i m e t i j d i n g e - l e e f d i n a l l e r l e i f y s i s c h e v e r s c h i j n s e l e n . S o m s z e l f m o e s t h e t o g e n s c h i j n l i j k o n - m o g e l i j k e v e r k l a a r d w o r d e n .

Z o w a s e r d e p r o e f m e t h e t o m k e r e n v a n e e n v o l w a t e r g l a s , m e t e e n p a p i e r t j e a f g e d e k t e n d e p r o e f m e t d e k l a p o p e e n o p d e t a f e l g e l e g e n l a t , a f g e d e k t m e t e e n v l a k u i t g e s p r e i d e k r a n t .

S t r e e f l a n d 77

V o o r a l d e w a t e r p r o e f h a d t o t d e v e r b e e l d i n g g e s p r o k e n e n o o k w e l w a t o v e r m o e d u i t - g e l o k t .

' Z o u h e t m e t d i t h o g e m a a t g l a s ( c a . J m , z o n d e r t u i t j e ) o o k n o g l u k k e n ? ' , h a d d e l e r a a r g e v r a a g d . T w i j f e l s e n v o o r s e n t e g e n s a l o m .

Na h e t o v e r t u i g e n d e b e w i j s w a s e e n n o g h o g e r v a t o p d e p r o p p e n g e k o m e n . H o e v e r k o n j e w e l g a a n ? Z o v e r a l s j e w i l d e ? E n . . . w a t z a t e r a c h t e r ?

S o m m i g e l e e r l i n g e n h a d d e n d e l e r a a r a l e e n s g e v r a a g d d e a f d e k p a p i e r t j e s t i j d e n s d e p r o e v e n k l e i n e r t e m a k e n .

T o c h w a s i e d e r e e n o n d e r d e i n d r u k t o e n d e w a t e r b a r o m e t e r p r o e f g e d a a n w e r d e n b l e e k d a t d e l u c h t d r u k e e n w a t e r k o l o m v a n w e l 1 0 m e t e r o v e r e i n d h i e l d . ( 0 e p r o e f h a d t r o u w e n s h e e l w a t v o e t e n i n d e a a r d e g e h a d ) . Op d i e m a n i e r w a s m e n i n d e g e - h e i m e n v a n d e l u c h t d r u k d o o r g e d r o n g e n , s t e e d s z o e k e n d e n t a s t e n d n a a r a c h t e r l i g - g e n d e v e r k l a r i n g e n v a n d e w a a r g e n o m e n v e r s c h i j n s e l e n .

De l e r a a r , d i e v o o r a l o o k e e n v o o r s t a n d e r v a n s a m e n h a n g i n h e t g e l e e r d e w a s e n d i t o o k v o o r z i j n l e e r l i n g e n n a s t r e e f d e , h a d m e t z i j n c o l l e g a ' s b i o l o g i e e n n e d e r - l a n d s - m e t h e t o o g o p v e r b r e d i n g v a n d i t o n d e r w e r p - o v e r l e g d o f h e t n i e t m o g e - l i j k w a s , d a t z i j i n h u n l e s s e n o o k e n i g e a a n d a c h t a a n d i t o n d e r w e r p z o u d e n b e - s t e d e n . B e i d e n h a d d e n i n g e s t e m d . B i j h e t o n d e r w e r p ' a a n p a s s i n g e n a a n h e t m i l i e u ' , h a d d e b i o l o g i e l e r a a r d e a a n d a c h t g e v e s t i g d o p l a n g g e t e e n d e e n b r e e d b e v l i e s d e w a a d v o g e l s , s k i ë r s , d e ' s p r e i d v o e t e n ' v a n s o m m i g e e v e n h o e v i g e n . d e a r m s p i e r b u n d e l s v a n l u i a a r d s e t c . e n s a m e n m e t d e l e e r l i n g e n n a a r v e r k l a r i n g e n g e z o c h t . De l e r a a r n e d e r l a n d s h a d e e n t e k s t a a n g e g r e p e n om u i t d r u k k i n g e n o p e e n r i j t j e t e z e t t e n , a l s : L a n g s d e k u s t w a s h e t e e n drukte v a n b e l a n g . I k h e b h e t e r g druk. V a n u i t d e T w e e d e K a m e r w o r d t druk o p d e r e g e r i n g u i t g e o e f e n d .

O o k d i t h a d h e e l w a t i n t e r e s s a n t e g e s p r e k s s t o f o p g e l e v e r d e n o o k h i e r w a s e e n v e r b i n d i n g g e l e g d m e t d e n a t u u r k u n d e . Z o w a s e r b i j ' I k h e b h e t e r g d r u k ' v a s t g e - s t e l d d a t v o o r i e m a n d d i e d a t z e g t , d e t a k e n e n v e r p l i c h t i n g e n k e n n e l i j k b e s l a g o p z o v e e l v a n z i j n t i j d l e g g e n ( z o d i c h t i n d e t i j d l i g g e n ) , d a t e r n a u w l i j k s o f g e e n r u i m t e v o o r o n t s p a n n i n g o v e r b l i j f t .

O v e r d e l a a t s t e u i t d r u k k i n g k w a m e n l e r a a r e n l e e r l i n g e n t o t d e c o n c l u s i e d a t d e z e b e v r e e m d i n g z o u w e k k e n w a n n e e r a c h t e r d e g e m e l d e p r e s s i e s l e c h t s e e n é é n m a n s - f r a c t i e i n d e T w e e d e K a m e r s c h u i l g i n g .

W a t d e n a t u u r k u n d e a a n g a a t b e g i n t z i c h b i j d e l e e r l i n g e n s t e e d s s c h e r p e r h e t b e s e f a f t e t e k e n e n , d a t d e u i t g e o e f e n d e k r a c h t e n e e n o p p e r v l a k d a t d i e k r a c h t m o e t w e e r s t a a n , a l l e s m e t e i k a a r t e m a k e n k u n n e n h e b b e n . De k r a c h t w o r d t a l s h e t w a r e e v e n r e d i g ' u i t g e s m e e r d ' o v e r h e t o p p e r v l a k w a a r o p z e w o r d t u i t g e o e f e n d , n e t z o a l s e e n b e v o l k i n g w o r d t ' u i t g e s m e e r d ' o v e r h e t b e s c h i k b a r e l e e f g e b i e d om d e

7 8

d i c h t h e i d t e b e p a l e n , o f h e t a a n t a l t e l e f o o n a a n s l u i t i n g e n o v e r , o f

H o e w e l d a t ' u i t s m e r e n ' i s m a a r é é n k a n t v a n d e z a a k . H o e z i t h e t m e t h e l e k l e i n e o p p e r v l a k k e n ? E r z a l n o g h e t é é n e n a n d e r m o e t e n g e b e u r e n om i n d e k i j k v a n d e l e e r l i n g e n o p h e t b e g r i p d r u k n o g d e n o d i g e v e r f i j n i n g a a n t e b r e n g e n .

' L a t e r - i n a l l e r l e i t o e p a s s i n g s s i t u a t i e s - w o r d e n o o k r e k e n v o o r b e e l d e n u i t g e - w e r k t , w a a r b i j v o o r h e t r e k e n w e r k d e v e r h o u d i n g s t a b e l w o r d t t o e g e p a s t .

V o o r b e e l d :

V a n d u i k e n d e p o t v i s s e n i s b e k e n d d a t z i j e e n d i e p t e i n d e o c e a a n v a n r u i m 1 1 0 0 m k u n n e n b e r e i k e n .

W e l k e d r u k m o e t z o ' n d i e r o p d e z e d i e p t e w e e r s t a a n ?

Na e e n g e z a m e n l i j k e i n s t a p w a a r b i j d e p r o e f m e t d e w a t e r b a r o m e t e r e n d e d a a r b i j v a s t g e s t e l d e l u c h t d r u k v a n 1 0 N / c m ^ a l s u i t g a n g s p u n t w o r d t g e n o m e n , p r o d u c e r e n d e l e e r l i n g e n o p l o s s i n g e n a l s :

x

to

io

o f

d i e p t e i n m 1 10 100 1000 1100

d r u k i n )O^s\l/m' 1 105 108 10'

, +

:

d i e p t e i n m | 1100 10

d r u k i n »0⁵/ m^! • 1 1 i x i o⁶

— x 11X10

105

E e n b e l a n g r i j k v r a a g d a a r b i j i s n o g o f d e l u c h t d r u k n u w e l o f n i e t m o e t w o r d e n m e e g e t e l d . D o o r d e r u i m 1 1 0 0 m d i e p t e b e s e f f e n d e l e e r l i n g e n d a t e e n l u c h t d r u k - v e r v a n g e n d e w a t e r k o l o m v a n 10 m m e e r o f m i n d e r n i e t z o v e e l u i t m a a k t . H e t f e i t d a t e e n p o t v i s 11 x Ï O ^ N p e r m^ w e e r s t a a t ( o f w e l 1 1 0 k g p e r c m ^ ) , w e k t d i e p e i n d r u k e n m a a k t n o g h e e l w a t t o n g e n l o s om e e n v e r k l a r i n g t e v i n d e n w a a r o m d e p o t v i s t e r p l e k k e n i e t i n e e n ' p l a t v i s ' w o r d t o m g e z e t .

V o o r b e e l d 4 : R e a c t i e

Na v e r s c h i l l e n d e s c h e i k u n d i g e r e a c t i e s b e s t u d e e r d t e h e b b e n - v o o r z o v e r d e p r a c t i c u m m o g e l i j k h e d e n o p s c h o o l d i t t o e l a t e n - m a k e n l e e r l i n g e n u i t 5 - H A V 0 v r a a g s t u k k e n a l s :

' D e s t o f f e n k o o l s t o f ( C ) e n z u u r s t o f ( 0 ) r e a g e r e n i n d e m a s s a v e r h o u d i n g 3 s t a a t t o t 8 . H o e v e e l b l i j f t e r v a n w e l k e s t o f o v e r w a n n e e r 8 g r a m C m e t 2 3 g r a m 0 i n

S t r e e f l a n d _ Z 2 .

c o n t a c t w o r d t g e b r a c h t ? ' De l e e r l i n g e n k o m e n m e t v e r s c h i l l e n d e t a b e l o p l o s s i n g e n d i e , g e l e t o p d e e f f i c i e n c y i n p r o c e d u r e , n i e t a l l e m a a l e v e n k o r t e n r e c h t o p h e t d o e l a f z i j n . De l e r a a r p r e f e r e e r t ' o m w e g e n ' i n d e v o r m v a n h e t m e t t u s s e n s t a p p e n b o u w e n n a a r e e n a n t w o o r d t o e b o v e n n i e t b e g r e p e n e x e r c i t i e s m e t r e g e l s e n a l g o r i t m e n .

E n k e l e o p l o s s i n g e n :

c

__x8__

C 3 2 4

0 8 6 4

A l w e r k e n d i n " d e e e r s t e t a b e l , w o r d t s t e e d s ' m e t e e n s c h u i n o o g ' n a a r d e t w e e d e g e k e k e n , t o t d a t e e n g e t a l l e n p a a r b e r e i k t i s , w a a r m e e h e t a n d e r e g e m a k k e l i j k v e r - g e l i j k b a a r g e m a a k t k a n w o r d e n , d a t i s b i j

c

0 6 9

h e t g e v a l .

V e r v o l g e n s w o r d t v a s t g e s t e l d d a t e e n o v e r s c h o t v a n 5 g r a m 0 b i j 2 4 g r a m C e e n 5 2

o v e r s c h o t v a n 7 = 1 - 3 g r a m 0 m o e t g e v e n b i j 8 g r a m C . A n d e r e l e e r l i n g e n d o e n b i j v . :

- 2 x 3 1x3 _{x 8}

c

0 2 3 7

4

o f

c

1

0 8

4 4 o f

- 2 x 8

c

c 8

,

0

\ co

2

4

ix8 ^{x 8}

m e t a l s c o n c l u s i e d a t e r d u s 1-j g r a m 0 r e s t .

8 0

D i c h t h e i d a c h t e r a f : e n k e l e d e f i n i t i e s

D i c h t h e i d ( v a n m a t e r i e ) w e r d s l o r d i g h e i d s h a l v e w e l e e n s g e d e f i n i e e r d m e t ' m a s s a g e d e e l d d o o r v o l u m e ' . D a a r m e e w o r d t d a n r u w w e g s l e c h t s h e t algoritmisch r e c e p t a a n g e g e v e n h o e j e t o t z o i e t s k o m t .

H e t i s e e n p r o c e d u r e l e d e f i n i t i e , d i e z i c h o v e r d e k w a l i t e i t v a n h e t g e d e f i - n i e e r d e v e r d e r n i e t u i t l a a t .

D e r g e l i j k e d e f i n i t i e s b r e n g e n a l g e m e n e v r a g e n t e w e e g a l s : ' M a g m e n g r o o t h e d e n w e l o p e l k a a r d e l e n ? ' , d i e o p h u n b e u r t w e e r h e l e d i s c u s s i e s k u n n e n u i t l o k k e n . ( F a r a d a y , 4 6 , 2 , 6 ) .

Op e e n l e z e r s v r a a g i n F a r a d a y : ' M o g e n we ' m a s s a ' d o o r ' v o l u m e ' d e l e n ? ' k w a n a l s a n t w o o r d : ' W a t d o e j e eigenlijk a l s j e ' m a s s a ' d o o r ' v o l u m e ' d e e l t ? J e d e e l t d e waarde v a n d e m a s s a d o o r d e waarde v a n h e t v o l u m e . J e d e e l t g e t a l l e n o p e l k a a r , e n d a a r a a n k e n j e e e n n i e u w e e e n h e i d t o e , e n j e v o r m t d a a r d o o r e e n n i e u w b e g r i p , d e d i c h t h e i d ( 4 ) . N i e t v o o r n i e t s s c h r i j f j e t i j d e n s j e b e r e k e n i n g e n g e e n e e n - h e d e n b i j d e g e t a l l e n . P a s a a n h e t e i n d v a n d e b e r e k e n i n g , b i j h e t r e s u l t a a t e r v a n , s c h r i j f j e d e ( n i e u w e ) e e n h e i d . ' ( F a r a d a y , 4 6 , 2 ) .

H o e w e l d e v o r m i n g v a n h e t n i e u w e c o n c e p t , d i c h t h e i d , i n d e z e r e d e n e r i n g n a - d r u k k e l i j k i n d e a a n d a c h t i s , i s v o o r a f a l b e k e n d w a a r o p m e t a l g o r i t m i s c h e m i d d e - l e n w o r d t a a n g e s t u u r d . W a t a p o s t e r i o r i , p e r d e f i n i t i e i s v a s t g e s t e l d , n a m e l i j k d i c h t h e i d i s m a s s a g e d e e l d d o o r v o l u m e , d a a r m e e w o r d t n u v o o r a f a l r e k e n i n g g e h o u d e n .

D i t i s e e n g a n g v a n z a k e n w a a r m e e d e l e e r l i n g e n a l s n i e t - v e r t r o u w d e n h e e l w a t ( m e e r ) m o e i t e z u l l e n h e b b e n . W a a r h e t n a m e l i j k o p a a n k o m t i s w a n n e e r e n v o o r a l waarom m a s s a e n v o l u m e m e t e l k a a r i n v e r b a n d g e b r a c h t w o r d e n , d . w . z . h e t beargu- menteerd innemen van een relativerend standpunt, het gaan beschouwen van massa in verhouding tot volume.

L a t e n we e r n u e v e n v a n u i t g a a n d a t z u l k e e n s t a n d p u n t i s i n g e n o m e n v o o r e e n b l o k h o u t m e t r e s p e c t i e v e l i j k m a s s a - e n v o l u m e w a a r d e n v a n 6 0 e n 8 0 . D o o r 6 0 e n 8 0 b e a r g u m e n t e e r d t e r e l a t e r e n , i s h e t d i c h t h e i d s s t a n d p u n t r e e d s i n g e n o m e n , d u s h e t n i e u w e b e g r i p , d i c h t h e i d , ' g e v o r m d ' .

m a s s a 6 0 3 0 15 3 i

v o l u m e 8 0 4 0 2 0 4 1

I e d e r e r e k e n k u n d i g e o m z e t t i n g , d i e d e g e g e v e n m a s s a - v o l u m e - v e r h o u d i n g r e s p e c - t e e r t , t a s t d e d i c h t h e i d n i e t a a n , d e z e b l i j f t o n g e w i j z i g d . I n e l k e b e r e k e n d e ' t u s s e n s t a p ' l i g t d e d i c h t h e i d i n g e b e d , t e l k e n s a n d e r s genormeerd.

S t r e e f l a n d

De u i t d r u k k i n g ' m a s s a p e r v o l u m e - e e n h e i d ' 1 s d u s n i e t s a n d e r s d a n e e n s t a n - d a a r d n o r m e r i n g , e e n r e p r e s e n t a n t u i t e e n k l a s s e v a n v e r h o u d l n g s c o n s t a n t e n o r m e - r i n g e n , d i e a l l e m a a l s t a a n v o o r deselfde dichtheid.

D a t d e f y s i s c h e w e r k e l i j k h e i d n i e t a l t i j d e v e n i n s c h i k k e l i j k h e t g e s c h e t s t e m o d e l v a n v e r h o u d i n g s c o n s t a n t i e g e h o o r z a a m t , d o e t a a n h e t b e t o o g z e l f v e r d e r n i e t s a f . W a n n e e r e m p i r i s c h e f e i t e n a a n h e t l i c h t z o u d e n b r e n g e n d a t h e t b l o k h o u t i n h o m o g e e n I s , k a n m e n e v e n t u e e l a a n d e v e r k r e g e n n i e t m e e r h e l e m a a l v e r h o u - d l n g s c o n s t a n t e g e t a l g e g e v e n s h e t l i n e a i r e m o d e l a f d w i n g e n , w a n n e e r d e z e n i e t a l t e z e e r a f w i j k e n e n w a n n e e r d e b e d o e l i n g e n d i e m e n h e e f t m e t h e t v e r b i n d e n v a n m a s s a e n v o l u m e , z u l k s t o e l a t e n .

N u 1 s h e t z ö , d a t h e t u i t ' F a r a d a y ' g e c i t e e r d e s t a n d p u n t f o r m e e l g e s p r o k e n n i e t a a n v e c h t b a a r b e h o e f t t e z i j n . D o c h , w a n n e e r m e n z i c h o p h e t s t a n d p u n t v a n d e l e e r l i n g e n e n h ö n l e e r p r o c e s s t e l t , k a n m e n z i c h a f v r a g e n o f h e t f o r m e e l c o r - r e c t e . o o k d i d a c t i s c h j u i s t I s . W a a r m e e o v e r i g e n s n i e t g e z e g d w i l z i j n d a t h e t f o r m e e l o n j u i s t e d i d a c t i s c h n o g 1 s g o e d t e p r a t e n . ( 5 ) .

T e r u g n a a r o n s v o o r b e e l d .

We n o e m e n h e t b e a r g u m e n t e e r d ( l e r e n ) I n n e m e n v a n h e t d i c h t h e i d s s t a n d p u n t d e kern v a n d e k w e s t i e . D i t 1 s o v e r i g e n s g e e n e e n v o u d i g e z a a k . D i c h t h e i d I s e e n t h e o r e t i s c h c o n s t r u c t , w a a r i n m a s s a m o e i l i j k e m p i r i s c h v e r i f i e e r b a a r 1 s , m e d e v a n w e g e h e t I n z i c h t d a t v e r e i s t I s o m d e i n v l o e d v a n d e z w a a r t e k r a c h t v e r s n e l l i n g t e r p l a a t s e d i e z i c h a a n h e t o o g o n t t r e k t , i n t e z i e n . ( E n m e d e v a n w e g e h e t f e i t d a t v e r s n e l l i n g z e l f a l s ' g e s t a p e l d e ' s a m e n g e s t e l d e g r o o t h e i d e v e n e e n s l a s t i g I s v o o r d e l e e r l i n g e n ) .

M e t h e t o o g o p h e t l e e r p r o c e s o v e r l a n g e r e t e r m i j n , z o u d e n d e l e e r l i n g e n m o e - t e n k u n n e n g a a n b e s c h i k k e n o v e r e e n m e n t a a l r e f e r e n t i e k a d e r , w a a r i n d e r g e l i j k e a b s t r a c t e v o o r b e e l d e n I n g e b e d k u n n e n w o r d e n . I n d e g e s c h e t s t e ( o n v o l l e d i g e ) u l t - H j n l n g v a n v o o r b e e l d e n b o u w e n d e l e e r l i n g e n z o ' n m e n t a a l k a d e r o p . H e t g a a t d u s om h e t b e s t u d e r e n v a n d i c h t h e d e n , d i e m i n d e r v e r h u l d z i j n , w a a r i n n i e t z u l k e a b s t r a c t e o f g e c o m p l i c e e r d e b e g r i p p e n o p g a a n ; d i c h t h e d e n , d i e o p g r o n d v a n s t r u c - t u u r o v e r e e n k o m s t v o o r d e l e e r l i n g e n m o d e l k u n n e n s t a a n v o o r h e t b o v e n b e d o e l d e ; d i e a l s k a p s t o k , a l s m e n t a a l h o u v a s t , k u n n e n d i e n e n b i j h e t d o o r d r i n g e n I n d e z e m a t e r i e . D a a r o m w e r d e n I n e e r s t e I n s t a n t i e verdelingsdichtheden b e s c h o u w d o o k m e t h e t o o g o p h e t v e r w e r v e n v a n c r i t e r i a v o o r h e t u i t l i j n e n v a n e e n l e e r p r o c e s o v e r l a n g e r e t e r m i j n ; d e r g e l i j k e c r i t e r i a z u l l e n v o o r a f r e k e n i n g m o e t e n h o u d e n m e t d e a p r i o r i p o s i t i e v a n d e l e e r l i n g . Z e k u n n e n d a a r o m m o e i l i j k ( u i t s l u i t e n d ) g e f o r m u l e e r d w o r d e n v a n u i t h e t a p o s t e r l o r l s t a n d p u n t v a n d e v a k s t r u c t u u r ( e n d e f i n i t i e s d a a r b i n n e n ) .

8 2

V e r d e l i n g s d i c h t h e d e n

M e t v e r d e l i n g s d i c h t h é d e n b e d o e l e n we d i c h t h e d e n a l s b e v o l k i n g s d i c h t h e i d , d e

v a n d e ( v e r t a a l d e ) d e f i n i t i e v a n F r e u d e n t h a l . . ( F r e u d e n t h a l , 1 9 8 3 ) .

S t e l e r i s e e n v e r z a m e l i n g X m e t a l z i j n d e e l v e r z a m e l i n g e n Y.. e n X b e z i t d e n o d i g e s t r u c t u u r ( i n t e r n , e x t e r n ) , h e t g e e n z i c h h i e r i n m a n i f e s t e e r t d a t d e Y j ' b e h a l v e h e t a a n t a l # n o g e e n z e k e r karakter k b e z i t t e n ( b i j ' k a r a k t e r ' k a n m e n d e n k e n a a n g r o o t h e d e n a l s o p p e r v l a k t e , v o l u m e , l e n g t e , g e w i c h t , t i j d s d u u r , . . . ) ;

k ( Y1© Y2) = k f Y j j Q k f Y j ) " ( F r e u d e n t h a l , 1 9 8 3 , 9 1 )

Om d e d e f i n i t i e t o t d u s v e r n o g w a t t e v e r h e l d e r e n , k i j k e n w e n a a r t e m p e r a t u u r a l s v o o r b e e l d v a n e e n g r o o t h e i d , d i e d o o r m i d d e l v a n e e n p a r a m e t e r b e s c h r e v e n w o r d t , d i e z i c h i n t e n s i e f g e d r a a g t . A l s h e t v a n d a a g 10 g r a d e n i s e n g i s t e r e n 5 g r a d e n w a s , k u n n e n w e n i e t z e g g e n d a t h e t o p b e i d e d a g e n samen 15 g r a d e n w a s .

V o o r h e t karakter k i n d e d e f i n i t i e t o t d u s v e r , l u k t h e t n u j u i s t w e l om d o o r s a m e n v o e g i n g h e t k a r a k t e r v a n d e s a m e n s t e l l i n g u i t d e a f z o n d e r l i j k e k a r a k t e r s v a n d e d e l e n t e v o r m e n , z o ' n p a r a m e t e r n o e m t m e n extensief.

T e r u g n u n a a r d e d e f i n i t i e , w a n t d e z e w a s n o g n i e t a f .

D e n k t m e n b i j h e t k a r a k t e r k b i j v o o r b e e l d a a n oppervlakte e n b i j k ( Y ^ ) a a n o p p e r - v l a k t e d o o r Y . b e z e t , d a n i s :

h e t a a n t a l v a n Y . p e r o p p e r v l a k t e - e e n h e i d . O m d a t d e z e o v e r w e g i n g e n o n a f h a n k e l i j k z i j n v a n d e k e u z e v a n Y . , n o e m t m e n X e e n k - h o m o g e n e v e r z a m e l i n g .

B i j ' k a r a k t e r ' h a d m e n - z o a l s g e z e g d - o o k k u n n e n d e n k e n a a n g r o o t h e d e n a l s volumeilengte, gewicht, tijdsduur e n b i j k ( Y ) d u s a a n d o o r Y i n g e n o m e n v o l u m e r e s p . l e n g t e , r e s p . g e z a m e n l i j k g e w i c h t v a n d e l e d e n v a n Y o f t i j d s d u u r v a n d e g e z a m e n l i j k e e l e m e n t e n v a n Y .

<5(X) = # X / k ( X ) k a n m e n d e verdelingsdichtheid v a n X t e n o p z i c h t e v a n k n o e m e n . T o t z o v e r d e z e d e f i n i t i e .

d i c h t h e i d v a n w i t t e b l o e d l i c h a a m p j e s i n h e t b l o e d ( c o n c e n t r a t i e ) e . d . We g a a n u i t

d i t k a r a k t e r l a a t z i c h e x t e n s i e f b e s c h r i j v e n , d . w . z . d o o r m i d d e l v a n e e n g r o o t h e i d d i e z i c h b i j h e t s a m e n s t e l l e n a d d i t i e f g e d r a a g t :

« ( Y , ) = # Y . / k ( Y . )

S t r e e f l a n d

M e n z o u k u n n e n s t e l l e n d a t b e v o l k i n g s d i c h t h e i d e r v o o r m o d e l g e s t a a n h e e f t a l s e x e m p l a a r v o o r a l l e m o g e l i j k e v e r d e l i n g s d i c h t h e d e n . M e n k a n z i c h a f v r a g e n : W a a r - t o e d i e n t n u d e z e s c h e r p s l i j p e r i j ?

W e l , w a t a a n v o o r g a a n d e d e f i n i t i e o p v a l t - e n d i t kwam i n d e e e r s t b e s c h r e v e n v o o r b e e l d e n t o t u i t d r u k k i n g - i s , d a t d e herkomet v a n h e t m a t e r i a a l , w a a r o p v e r - d e l i n g s d i c h t h e d e n g e g r o n d v e s t w o r d e n , d u i d e l i j k v e r a n t w o o r d w o r d t . De d e f i n i t i e n e i g t v e e l m e e r n a a r e e n a p r i o r i s t a n d p u n t d a n i n d e F a r a d a y d i s c u s s i e o v e r h e t d e l e n v a n g r o o t h e d e n h e t g e v a l w a s . H e t i s e e n d e f i n i t i e w a a r i n d i c h t h e i d w o r d t t e r u g g e v o e r d t o t d e v e r s c h i j n s e l e n d i e e r i n w o r d e n samengesteld. H e t i s e e n f e n o - m e n o l o g i s c h e d e f i n i t i e , d i e r e c h t d o e t a a n a l l e v e r s c h i j n s e l e n d i e i n h e t g e d i n g z i j n .

• Z o w o r d t b i j b e v o l k i n g s d i c h t h e i d e e n r e s u l t a a t v a n tellen ( a a n t a l i n w o n e r s ) i n v e r b a n d g e b r a c h t m e t e e n r e s u l t a a t v a n meten ( o p p e r v l a k t e ) . D i t g e b e u r t m e t e e n b e p a a l d e b e d o e l i n g , n a m e l i j k om s i t u a t i e s ( l a n d e n , g e b i e d e n , c o n t i n e n t e n ) vergelijkbaar t e m a k e n o p h e t p u n t v a n ( o v e r ) b e v o l k i n g . De h e l e p r o b l e e m s i t u a t i e l e v e r t d a n t e v e n s h e t m o t i e f t o t h e t beargumenteerd I n n e m e n v a n h e t r e l a t i e v e s t a n d p u n t : z o v e e l i n w o n e r s p e r . . . m a a k t d e v e r s c h i l l e n d e s i t u a t i e s i n d e r d a a d v e r g e l i j k b a a r .

B l i j k e n s d e g e g e v e n d e f i n i t i e s g e l d t a l g e m e e n v o o r v e r d e l i n g s d i c h t h e d e n d a t r e s u l t a t e n v a n tellen e n meten m e t e l k a a r i n v e r b a n d w o r d e n g e b r a c h t . I n d e n a t u u r - e n s c h e i k u n d e z i j n h e t d i k w i j l s j u i s t r e s u l t a t e n v a n meten è n me- ten d i e b e a r g u m e n t e e r d a a n e l k a a r g e r e l a t e e r u w o r d e n , z o a l s d i c h t h e i d , d r u k , ( e e n p a r i g e ) b e w e g i n g , d e w e t v a n P r o u s t , c o n c e n t r a t i e , e t c .

Ook 1 n h e t m a a t s c h a p p e l i j k v e r k e e r w o r d e n t e l k e n s n i e u w e s a m e n g e s t e l d e ' g r o o t - h e d e n ' g e v o r m d . Z o h e e f t m e n v o o r h e t b e p a l e n v a n d e m i l i e u h e f f i n g h e t b e g r i p I n w o n e r e q u i v a l e n t g e ï n t r o d u c e e r d .

I n d e e n e r g i e d i s c u s s i e t u s s e n d e B O V A G e n d e NS o v e r d e v r a a g o f p a r t i c u l i e r v e r v o e r d a n w e l o p e n b a a r v e r v o e r h e t e n e r g i e v r i e n d e l i j k s t i s e n d i e v i a a d v e r t e n - t i e s i n d e d a g b l a d p e r s w e r d u i t g e v o c h t e n , g e b r u i k t e m e n h e t b e g r i p energiever- bruik per reizigerskilometer. H e t I s d u s d e m o e i t e w a a r d om o v e r d e r g e l i j k e z a k e n e e n s w a t d i e p e r n a t e d e n k e n v a n w e g e d e r u i m e t o e p a s s i n g s m o g e l i j k h e d e n .

I n d i e n we b i j v e r d e l i n g s d i c h t h e d e n s p r e k e n v a n tellen e n meten, s l u i t e n w e v a n z e l f s p r e k e n d a l g o r i t m i s c h e p r o c e d u r e s n i e t u i t , d i e i n d e l e e r p r o c e s s e n v o o r h e t t e l l e n ( v a n g r o t e h o e v e e l h e d e n ) e n h e t m e t e n v a n ( e n k e l v o u d i g e e n s a m e n g e - s t e l d e ) g r o o t h e d e n o n t w i k k e l d k u n n e n w o r d e n e n t o e g e p a s t b i j d e b e w e r k i n g v a n u i t k o m s t e n v a n d e r g e l i j k e a c t i v i t e i t e n .

D i t g e z e g d h e b b e n d e r i j s t d e v r a a g , w e l k e c o n s e q u e n t i e s d e r g e l i j k e d i e p g r a v e n - d e o v e r w e g i n g e n k u n n e n h e b b e n v o o r h e t u i t l i j n e n v a n e e n l a n g e t e r m i j n l e e r p r o c e s v o o r d e r g e l i j k e l e e r i n h o u d e n . D a a r o v e r h a n d e l t d e v o l g e n d e p a r a g r a a f , w a a r o p e e n v o o r s c h o t g e n o m e n w o r d t d o o r e e r s t o p d e g e g e v e n v o o r b e e l d e n , o p g r o n d v a n h e t v o o r g a a n d e , t e r e f l e c t e r e n .

R e f l e c t i e o p d e v o o r b e e l d e n

I n h e t e e r s t e v o o r b e e l d ( ' e e n k w e s t i e v a n s m a a k ' ) w e r d g e t o o n d h o e d e l e e r l i j - n e n v o o r h e t t e l l e n v a n g r o t e h o e v e e l h e d e n e n o p p e r v l a k t e r e e d s i n e e n v r o e g s t a d i u m v e r w e v e n z o u d e n k u n n e n w o r d e n m e t h e t o o g o p v e r h o u d i n g . H e t i n n e m e n v a n h e t r e l a t i e v e s t a n d p u n t k r e e g d e n o d i g e a a n d a c h t e n w e r d v a n w e g e d e c o n f l i c t - w e r k i n g g e c o n f r o n t e e r d m e t d e a b s o l u t e a a n t a l l e n i n h e t p r o b l e e m . E e n a n d e r b e - l a n g r i j k a s p e c t w a s d e a a n v a n k e l i j k e k w a l i t a t i e v e b e n a d e r i n g , w a a r n a v i a h e t s c h a t t e n t o t m e e r n u m e r i e k e p r e c i s i e w e r d o v e r g e g a a n .

B i j h e t t w e e d e v o o r b e e l d - t e l e f o o n d i c h t h e i d - v e r g d e d e c o n s t r u c t i e v a n h e t ( j u i s t e ) r e l a t i e v e s t a n d p u n t d e n o d i g e t i j d , v a n w e g e d e s t a t i s t i s c h e e l e m e n t e n , d i e i n h e t g e d i n g w a r e n . T o e n h e t j u i s t e s t a n d p u n t e e n m a a l ' b o v e n t a f e l w a s ' , k o n d e n d e b e o o g d e w i s k u n d i g e a c t i v i t e i t e n o n t p l o o i d w o r d e n o m , g e b r u i k m a k e n d v a n g e m i d d e l d e , ( n i e t ) - l i n e a i r e g r a f i e k e n e . d . m e t d e n i e u w e s a m e n g e s t e l d e ' g r o o t - h e i d ' t e l e f o o n d i c h t h e i d , g r o t e a a n t a l l e n t e k u n n e n b e p a l e n .

I n d e t w e e l a a t s t e v o o r b e e l d e n i s h e t r e l a t i e v e ( s t a n d p u n t ) i n f e i t e v e r v a t i n d e f y s i s c h e e n c h e m i s c h e v e r s c h i j n s e l e n , z o a l s z e w e r d e n w a a r g e n o m e n . I n d e z e g e - v a l l e n g a a t h e t d u s v e e l m e e r om e e n r e c o n s t r u c t i e v a n h e t i m p l i c i e t r e l a t i e v e , d a n d a t d e l e e r l i n g e n z e l f d e b e t r o k k e n ' g r o o t h e d e n ' i n v e r h o u d i n g t o t e l k a a r s t e l l e n . B i j d e z e r e c o n s t r u c t i e s p e e l d e d e v e r b i n d i n g m e t v r o e g e r e e r v a r i n g e n w a t d i c h t h e d e n a a n g a a t , e e n b e l a n g r i j k e r o l . Z o a l s b i j v . i n w o n e r s w e r d e n ' u i t g e s m e e r d ' o v e r h u n l e e f g e b i e d , z o g e b e u r d e d i t o o k m e t u i t g e o e f e n d e k r a c h t o v e r h e t b i j - b e h o r e n d e d r u k g e b i e d , e t c . H e e f t b e d o e l d e r e c o n s t r u c t i e e e n m a a l v o l d o e n d e p l a a t s - g e v o n d e n - e n b i j h e t v o o r b e e l d v a n ( l u c h t ) d r u k w e r d d a a r a a n i n p u u r k w a l i t a t i e v e z i n d e n o d i g e a a n d a c h t b e s t e e d , d a n k a n t o t h e t v e r w e r k e n v a n t o e p a s s i n g s p r o b l e - m e n w o r d e n o v e r g e g a a n , w a a r b i j d e n o d i g e h u l p m i d d e l e n b e s c h i k b a a r d i e n e n t e z i j n

v o o r d e n u m e r i e k e v e r w e r k i n g . 1

L e e r l i j n e n v e r w e v e n

I n o n s u i t g a n g s p u n t - d e d e f i n i t i e v a n v e r d e l i n g s d i c h t h e d e n - kwam n a a r v o r e n , h o e b i j h e t b e a r g u m e n t e e r d i n n e m e n v a n e> : i r e l a t i v e r e n d s t a n d p u n t , r e s u l t a t e n v a n t e l l e n e n m e t e n m e t e l k a a r i n v e r b a n d n e b r a c h t w o r d e n . M e e r a l g e m e e n g e f o r m u l e e r d

S t r e e f l a n d 8 5

z o u m e n k u n n e n s t e l l e n d a t r e s u l t a t e n v a n e l e m e n t a i r e w i s k u n d i g e o f f y s i s c h e o p e - r a t i e s , z o a l s m e t e n , w e g e n , t e l l e n , s c h a t t e n , r e k e n e n e n s a m e n s t e l l i n g e n d a a r v a n , g e r e l a t i v e e r d w o r d e n .

V e r h o u d i n g ( e n d u s o o k d i c h t h e i d ) i s q u a l o g i s c h e s t a t u s c o m p l e x e r d a n l e n g t e , m a s s a , o p p e r v l a k t e , a a n t a l , o p t e l l e n , a f t r e k k e n , v e r m e n i g v u l d i g e n e n d e l e n , V e r - h o u d i n g v e r h e f t z i c h q u a l o g i s c h e s t a t u s b o v e n g e n o e m d e b e g r i p p e n . ( F r e u d e n t h a l , 1 9 8 3 ) .

V o o r g e n o e m d e m e e r e l e m e n t a i r e b e g r i p p e n e n b e w e r k i n g e n d o o r l o p e n d e l e e r l i n - g e n a f z o n d e r l i j k e l e e r p r o c e s s e n . Z o z i j n b a s i s s c h o o l l e e r l i n g e n a c t i e f - a l t h a n s d a t z o u d e n z e m o e t e n z i j n - o p g e b i e d e n a l s h e t t e l l e n v a n g r o t e h o e v e e l h e d e n , h e t r e k e n e n m e t g r o t e h o e v e e l h e d e n , h e t m e t e n v a n l e n g t e , o p p e r v l a k t e e n i n h o u d , h e t r e k e n e n m e t l e n g t e n , o p p e r v l a k t e n e n i n r o u d e n , e n z .

E e n b e l a n g r i j k e v r a a g v o o r h e t o n d e r w i j s ' i s n u : m o e t e n d e l e e r l i n g e n d e r g e - l i j k e a f z o n d e r l i j k e l e e r l i j n e n e e r s t h e l e m a a l d o o r l o p e n v o o r d a t z e m e t e l k a a r i n v e r b a n d g e b r a c h t w o r d e n m e t h e t o o g o p d i c h t h e d e n . O f , i s h e t w e n s e l i j k - e n z i j n e r m o g e l i j k h e d e n - d i t v e e l e e r d e r i n h e t l e e r p r o c e s e n b i j h e r h a l i n g t e d o e n ? De e r v a r i n g h e e f t u i t g e w e z e n - e n o o k u i t u i t k o m s t e n v a n o n d e r z o e k k a n m e n d e z e c o n c l u s i e a f l e i d e n - d a t e e n t e l a t e v e r w e v i n g v a n d e r g e l i j k a f z o n d e r l i j k e l e e r - l i j n e n n i e t h e t g e v r a a g d e l e e r r e s u l t a a t o p l e v e r t ( v g l . H a r t , 1 9 8 1 ) . De l e e r l i n g e n b l i j k e n v e e l a l i n t o e p a s s i n g s s i t u a t i e s d e g e l e e r d e a l g o r i t m e n , r e g e l s e n m o d e l - l e n t e n e g e r e n t e n g u n s t e v a n h u n e i g e n m e e r i n f o r m e l e o p l o s s i n g s m e t h o d e n v o o r p r o b l e m e n . D a t g e l d t d u s ook v o o r d e d a a r b i j t o e g e p a s t e T e k e n p r o c e d u r e s , z e g a l g o r i t m e n . O n s s t a n d p u n t i s - e n we h e b b e n d i t a a n . e n k e l e v o o r b e e l d e n t o e g e - l i c h t - d a t d e r g e l i j k e a f z o n d e r l i j k e l e e r l i j n e n i n e e n v r o e g s t a d i u m e n v e r v o l - g e n s b i j h e r h a l i n g v e r w e v e n z o u d e n m o e t e n w o r d e n , w a a r b i j d a n b o v e n d i e n a a n s l u i - t i n g g e z o c h t d i e n t t e w o r d e n b i j d e i n t u ï t i e v e , i n f o r m e l e o p l o s s i n g s m e t h o d e n e n a l g o r i t m e n v a n k i n d e r e n , i n p l a a t s v a n h e n d i r e c t t e f o r c e r e n t o t e i n d - a l g o r i t m e n e n s l e c h t p a s s e n d e m o d e l l e n o p t e l e g g e n . ( S t r e e f l a n d , 1 9 8 3 b ) .

B e s l u i t

H e t f o r m e e l d e f i n i ë r e n v a n d i c h t h e i d ( r e s p . v e r h o u d i n g ) s l u i t e e n l a n g e e n r i j k e l e e r w e g a f , a l t h a n s d a t i s w e n s e l i j k .

A c t u e l e l e e r p r o g r a m m a ' s b e p e r k e n z i c h w a t d i t b e t r e f t t o t e n k e l e ' i n c i d e n t e n ' 1 n h e t b a s i s o n d e r w i j s , g e v o l g d d o o r v e e l a l t e s t e r k g e f o r m a l i s e e r d e v e r v o l g e n i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r w i j s , z o w e l b i n n e n d e w i s k u n d e a l s b i j d e t o e p a s s i n g e n i n b i o l o g i e , n a t u u r - e n s c h e i k u n d e .

N a d e r e a n a l y s e l e e r t d a t v e r h o u d i n g e n i n h e t a l g e m e e n e n d i c h t h e i d i n h e t

8 6

b i j z o n d e r e e n b r u g s l a a n t u s s e n d e m e e r e n k e l v o u d i g e , e l e m e n t a i r e b e g r i p p e n e n o p e r a t i e s u i t h e t b a s i s o n d e r w i j s e n d e g e f o r m a l i s e e r d e v e r v o l g e n i n d e w i s k u n d e e n d e v o o r t g e z e t t e t o e p a s s i n g e n i n d e n a t u u r w e t e n s c h a p p e n i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r - w i j s . I n d e v e r s c h i j n s e l e n , z o a l s v o o r h a n d e n l i g t g e n o e m d e b r u g i n b l a u w d r u k i n - g e b e d . V o o r d e d i d a c t i s c h e c o n s t r u c t i e e r v a n w e r d e n e n k e l e s u g g e s t i e s g e d a a n om d e l e e r l i n g e n v a n a f h ü n k a n t d e b r u g t e l a t e n ' n e m e n ' , w a n t s l e c h t s d o o r e e n z o r g v u l d i g e o v e r t o c h t k r i j g t d e o v e r k a n t d e j u i s t e b e t e k e n i s .

E n d a a r g a a t h e t t o c h om ?

N o t e n

( 1 ) V a n z e l f s p r e k e n d k a n d e i n s t a p t o t d i t p r o b l e e m o o k h e e l a n d e r s v e r l o p e n . ( 2 ) De p e r c e n t a g e s d a t e r e n u i t 1 9 7 6 .

( 3 ) D i t g e d e e l t e i s m e d e g e ï n s p i r e e r d o p , d o c h z e k e r n i e t l e t t e r l i j k o n t l e e n d a a n P L O N ( 1 9 8 1 ) .

( 4 ) D e t o e k e n n i n g v a n d e n i e u w e e e n h e i d v e r l o o p t n i e t a l t i j d e v e n g l a d j e s a l s h i e r g e s u g g e r e e r d w o r d t . Z o b e t o o g t R a j . G . R a j a n i n e e n a r t i k e l o v e r c o n c e n - t r a t i e v a n o p l o s s i n g e n ( R a j a n , 1 9 8 3 ) , d a t m e t h e t o o g o p h e t v e r k r i j g e n v a n d e j u i s t e e e n h e i d b i j u i t k o m s t e n v a n p r o b l e m e n ï , g e n m l t e g e n l , g e n m l n a a r b e l i e v e n k u n n e n w o r d e n w e g g e s t r e e p t , h e t g e e n d e a c h t e r l i g g e n d e n o t i e s v a n v e r h o u d i n g e n v e r h o u d i n g s c o n s t a n t i e w e l h e e l e r g n e g e e r t e n o p d e l e e r - l i n g e n e e n i n d r u k v a n w i l l e k e u r m o e t m a k e n . ( Z i e o o k h e t v i e r d e v o o r b e e l d i n d i t a r t i k e l ) .

( 5 ) S t e i l i n g n a m e v a n F r e u d e n t h a l .

L i t e r a t u u r

F a r a d a y , 1 9 7 7 , 4 6 , 2 e n 6 .

F r e u d e n t h a l , H . Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, D o r d r e c h t , B o s t o n , L a n c a s t e r , R e i d e l , 1 9 8 3 . -

H a r t , K . M . ( e d . ) . Children'a Understanding of Mathematica: 11-16. L o n d o n , M u r r a y , 1 9 8 1 .

I0WO L e e r p l a n p u b l i k a t i e n r . 4 . 'Interlokaal'. U t r e c h t , 7 3 - 1 2 4 , 1 9 7 6 . VlQiï. 'Leven in Lucht'. Z e i s t , N I B , 1 9 0 1 .

R a j a n , R . G . Concentration of solutiona. U H A P , 4 , 4 5 5 - 4 6 9 , 1 9 8 3 .

S t r e e f l a n d , L . 'Smaken verschillen'. W i l l e m B a r t j e n s , 2 , 2 / 3 , 5 5 - 6 1 , 1 9 8 3 a . S t r e e f l a n d , L . Search for the roote of ratio. Some thoughts on the long term

learning process. (Towards a theory ?). U t r e c h t , 1 9 8 3 b .

( N . B . : D i t a r t i k e l w o r d t i n 1 9 8 4 i n t w e e d e l e n g e p u b l i c e e r d i n E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n H a t h e m a t i c s ) .