Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie (Deel III): De graaf van dynamische modellen met één vertraging

Tilburg University

Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie (Deel III)

Derks, W.

Publication date:

1976

Document Version

Publisher's PDF, also known as Version of record

Link to publication in Tilburg University Research Portal

Citation for published version (APA):

Derks, W. (1976). Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie (Deel III): De

graaf van dynamische modellen met één vertraging . (blz. 1-74). (Ter Discussie FEW). Faculteit der

Economische Wetenschappen.

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

CBM

R

7627

1976

34

IN~N~IIUIIIININ~IIIINU~~llulll~

ATHOLIEKE HOGESCHOOL TILBURG

REEKS "TER DISCUSSIE"

~.xw~~

~-~.,a.~.~-~-~~-

..~o~~~-~~w

KATHOLIEKE HOGESCHOOL TILBURG REEKS "TER DISCUSSIE"

Voorlopig verslag van gedeelte van onderzoek, dat onder leiding staat van

Prof. Dr. J.J.J. Dalmulder en dat gesubsidieerd is door de Nederlandse Organisatie voor Zuiver-Wetenschappe'ijk Onderzoek, Z.W.O.

No. 76.034

oktober

1976

Structuuranalyse van Econometrische Modellen met behulp van Grafentheorie.

Deel III

De graaf van dynamische modellen met één vertraging.

Drs. W. Derks.

Inhoud. In]-eiding.

III.1. Model notaties. III.2. Het statisch model.

III.3. De graaf en de bijbehorende matrices van het statisch model. III.4. Het dynamisch model met één vertraging, zonder evogene

variabelen.

III.S. De graaf en de bijbehorende matrices van het dynamisch model met één vertraging, zonder exogene variabelen.

III.6. Het dynamisch model met één vertraging, met exogene varia-belen.

III.7. De graaf en de bijbehorende matrices van het dynamisch model met één vertraging, met exogene variabelen.

1

-Inleiding.

In Déel I en Deel II van deze studie~ is de behandelde grafentheorie gerelateerd aan een model, waarbij werd afgezien van de dynamische eigenschappen van dat del. In Deel III wordt de werking van een statisch model en van dynamische mo-dellen met één vertraging geanalyseerd met de grafentheorie uit Deel I.

Verwijzingen van de vorm (I..) en (II.,) hebben betrekking op Deel I[2] en Deel II [ 3] .

III . 1 . P.4odel r.otaties .

In (I.2.1~) is hzt volgende model gedefinieerd: y-Ayf Bx

waarbij y: kolomvector van m onvertraagde endogene variabelen x: kolomvector van n voorafbepaalde variabelen

A: mxm matrix van co~fficiënten (ajj - 0 voor elke j)

B: mxn matrix van coëfficiënten.

(III.1.1.)

Om de dynamiek van dit model te leren kennen, voeren wij de volgende verzameliri-gen in:

V(y) : de verzameling van onvertraagde endogene variabelen yj (j - 1,2,...,m)

V(x) : de verzameling van voorafbepaalde variabelen x. (i - 1,2,...,n)

i

V(y-k): de r verzamelingen van vertraagde endogene variabelen yj (j - 1,2,...,m; k - 1,2,...,r)

-k

V(z) : de verzameling van onvertraagde exogene variabelen zq (q - 1,2,...,p)

V(z-k): de s verzamelingen van vertraagde exogene Jariabelen zq (9. - 1,2,...,p; 1 - 1,2,...,s)

-1

(III.1.2) De verzameling V(Y) bevat n elementen, welke uit de laatste drie soorten ver-zame.lingen genomen zijn.

invloed op de onvertraagde endogene variabelen. De huidige waarde van de endo-gene variabelen heeft dan geen invloed op de toekomstige waarde van deze varia-belen. Indien de doorsnede van de verzamelingen V(y-k) met de verzameling V(x) leeg is, kan model (III.1.1) herschreven worden tot:

y- Ay t E~z f E1z-1 t E2z-2 t. ., t E z_{s -s} (III.1.3) waarbij y: kolomvector van m onvertraagde endogene variabelen

z: kolomvector v:.l p onvertraagde exogene variabelen z-l: kolomvector van p vertraagde exogene varis.belen

(1 - 1,2,...,s)

A: mxln matrix van coëfficiënten (a.. - 0 voor elke j)

JJ

El : mxp matrix van coëfficiënten (.l - 0,1,2,...,s)

De kolommen van B in (III.1.1) zijn verspreid over de El matrices.

De kolommen van de El matrices, welke niet gelijk zijn aan een kolom uit B,

bestaan uit nuller..

Voorbeeld:

In model (I.1.1) t~m ( I.1.3) is ( III.1.1) gelijk aan:

Ch 0 0 0.69 Ch .26 0 0 Y-~

Ii - 0 0 1.27 Ii f 0 -7.23 0 ~un

Y 0.71 0.1~ 0 Y 0 0 0.15 Eg

(III.1.1~)

Wanneer we afzien van de invloed van Y-1 op Ch gaat model (III.1.4) over in:

ch

o

0

0.69

ch

o

0

Ii - 0 0 1.27 Ii f -7.23 0 ~un (III.1.5)

4

Model (III.1.5) komt nu overeen met (III.1.3) waarbij:

El - 0 voor 1- 1,2,...,s (III.1.6)

De werking van een statisch model zal in III.2 en III.3 nader geanalyseerd wor-den.

Indien de doorsnede van de verzameling V(x) met de verzamelingen V(y-k) niet leeg is, is het model een dynamisch model. Vertraagde endogene variabelen heb-ben dan invloed op onvertraagde endogene variabelen.

De huidige waarde van de endogene variabelen heeft dan invloed op de toekomstige waarde van deze variabelen.

Hierbij kunnen twee gevallen onderscheiden worden.

a) Indien de doorsnede van de verzameling V(x) met de verzamelingen V(y-k) niet leeg is maar de doorsnede van de verzameling V(x) met de verzamelingen V(z) en V(z-1) wel leeg is, kan model (III.1.1) herschreven worden tot:

y-AyfC1 y-1 tC2y-2f ...

fCry-r

waarbij y: kolomvector van m onvertraagde endogene variabelen y-k: kolomvector van m vertraagde endogene var~abelen

(k - 1,2,...,r)

A: mxm matrix van coëfficiënten (ajj - 0 voor elke j)

Ck : mxm matrix van coëfficiënten (~c - 1,2,3,...,r).

(III.1.7)

5

Voorbeeld:

Wanneer we in model (III.1.4) afzien van de invloed van ~un op Ii en van Eg op Y dan gaat dat model over in:

.Ch

0

0

0.69

Ch

0.26

Ii

-

0

0

1.27

Ii

f

0

Y

o 71 0 14

o

Y

o

Analoog aan (III.1.7) kan (-II.1.8) herschreven worden tot:

~Y-1~ (III.1.8)

Ch 0 0 0.69 Ch 0 0 0.26 Ch-1

Ii - 0 0 1.27 Ii f 0 0 0 Ii-1 (III.1.9)

Y 0.71 0.14 0 Y 0 0 0 Y-1

De werking van een dynamisch model zoals in (III.1.7) zal in III.4, III.S, IV en V geanalyseerd worden.

b) Indien de daorsnede van de verzameling V(x) met de verzamelingen V(y-k) niet leeg is en ook de doorsnede van de verzameling V(x) met de verzamelingen V(z) en V(z-1) niet leeg is, kan model (III.1.1) herschreven worden tot:

y- Ay t C1 y-1 f. .. f Cr y-r t EO z t E1 z-1 f .. t E z (III.1.10)

s -s waarbij voor de betekenis van de symbolen verwezen wordt naar ( III.1.3) en

(III.1.7). Voorbeeld:

In model (III.1.4) geldt dat de doorsnede van V(x) en V(y-k) en van V(x) er. V(z) niet leeg is.

De doorsnede van V(x) en V(z-1) is wel leeg. Het is een dynamisch model met r- 1 en s- 0. Voor dit model gaat (III.1.10) over in:

6

en is gelijk aan:

ch

o

0

0.69

c

Ii

-

0

0

1.2

Ii

Y

0.71

0.14

0

Y

t 0 0 0.26 Ch-1 - 0 0 ~un 0 0 0 Ii-1 f-7.23 0 Eg 0 0 0 Y-1 0 0.1 (III.1.12) De werking van een dynamisch model zoals in (III.1.10) zal in III.6, III.7, IV en V geanalyseerd worden.

(III.1.1) en (ïII.1.10) zijn twee schrijfwijzen van de structurele vorm~) van het model. De gereduceerde vorm~~) is respectievelijk:

y - [ I-A] -1 Bx (III. 1 .13)

y - [ I-A] -1C1y-1} .. . f [ I-A] -1Cry-r}[ I-A] -1EOz}[ I-A] -1E1z-1t . .. t[ I-A] -1Esz-s (III.1.14) Voorbeeld:

De gereduceerde vorm van (III.1.4) en (III.1.12) is respectievelijk:

Ch 2.47 0.29 2.08 Ó.26 0 0 Y-1 0.64 -2.10 0.31 _Y-1

Ii - 2.71 1.51~ 3.8 0 -7.23 0 ~un - 0.71 -11.10 0.57 ~un

Y 2.14 0.~2 3.01 0 0 0.15 Eg 0.56 -3.05 0.45 Eg

(III.1.15)

8

III.2. Het statisch model.

We beschouwen het statisch model (III.1.3):

y- Ay t EO z t E1 z-1 t E2 z-2 f... t Es _z-s De gereduceerde vorm is analoog aan (III.1.14) gelijk aan:

(III.2.1)

y - [ I-A] -1EOz } [ I-A] -1E1_{z-1 } [} I-A] -1E2z-2t . . . f [ I-p,] -1Esz-s

(III.2.2) De waarde van de endogene variabelen in periode 0, y0, wordt als gegeven be-schouwd. Voor de waarde van de endogene variabelen i.n periode 1 geldt volgens (III.2.1):

yf1 - Ayt1 f EOz}1 f E1z0 t E2z-1 t... f Esz-s.~1 (III.2.3) Omdat het model statisch is, worden de endogene variabelen in periode 1 niet beinvloed door de endogene variabelen uit periode 0 maar wel door de exogene variabelen uit (sf1)perioden.

De directe invloed van z}1 (1 - 1,0,-1,...,-sf1) op y}1 wordt volgens (III.2.3) gegeven door:

(1 - 1,0,-1,...,-sf1) (III.2.4)

Uit (III.2.2) volgt dat:

9

[I-A]-1E-1t1 ( 1 - 1,0,-1,...,-st1) (III.2.6}

De matrix, die de totale invloed weergeeft van z}1 op y}K wordt aangeduid met:

T

(ztl'yfK) (1 - ... -2,-1,0,1,2,...)

(K - 1,2,3,...) (III.2.7)

(Hierbij stelt het symbool T de griekse hoofdletter tau voor, ter onderschei-ding van de hoofdletter T, die gebruikt wordt voor de totale-invloedmatrix uit

de grafentheorie~)) Uit (III.2.5) ~-olgt dat:

T(z ~y ) - [I-A]-1E-1}1 voor 1 - 1,0,-1,...,-st3,-sf2,-st1 fl .~ 1

T(zfl,yfl) - 0 voor 1~ 1 en 1 ~-st1 (III.2.8)

Uit (III.2.5) volgt dat:

y}2 - [ I-A] -1EOzf2 _{} [ I-A] -1E1zf1 } [} I-A] -1E2z0 t . .. t [ I-A] - 1Esz-sf2

Uit (III.2.9) volgt dat:

10

-(III.2.8) en (TII.2.10) kunnen als volgt gegeneraliseerd worden: 1

T( ztl ,y.~K ) - [ I-A] - E-1tK voor K - 1,2,3,...

1 - K,-1fK,-2fK,...

...,0,-1,...

. .. .. ... ,-St2fK,-Sf1fK,-SfK.

T(z}l~y}K) - 0

voor K - 1,2,3,...

1~ K en 1 ~-sfK (III.2.11) Uit (III.2.11) b'-ijkt, dat y}K beïnvloed wordt door

Z}K'ztK-1'" ''zfK-s~

De exogene variabelen uit (st1) perioden oefenen dus invloed uit op de endogene variabelen van een bepaalde periode K. Omgekeerd kan men stellen dat de exogene variabelen uit een bepaalde periode invloed uitoefenen op de endogene variabele uit dezelfde periode en de s daarop volgende perioden.

De invloed van de exogene variabelen stopt dus na s perioden. Voorbeeld:

In het model (II1.1.5) is s- 0. Daarom gaat (III.2.3) over in: yf1 - Ayf1 } EOzf1

Voor dit model wordt (III.2.5): y}1 - [ I-A] -1EOzt1

(III.2.12)

(III.2.13)

en gaat (III.2.11) over in:

11

-Voor K~ 1 en 1- K geldt in (III.2.14) dat~).

T(Z}l~y}K)

-2.10 0.31

[I-A]-lE0 -

-11.10

0.57

(III.2.15)

-3.05

0.~5

12

-III.3. De graaf e:i bijbehorende matrices van het statisch model.

De directe-invloedmatrix~`) van de graaf van het model (IIT.2.3) kan aldus ori-derverdeeld worden: YO zQ D- z-1 Y0

0

0

0 f1'Yt1 ) ~

0

0 ... o

0

0 ...

0

D --D---t-~----~---~-;-:--~-~ (zfl'Y~1) I 0 D(z ~y ) ~ 0 0 0... 0 0 f1 ~ 0 D z ~y ) ~ 0 0 0... 0 ( -1 t1 ~

I~ .

.

.

.

~ .

.

.

.

i

I . . . . z-sf 1 waarbij: 0 D( z ~y ) ~ 0 0 0... 0 m ~ D(y}1~y}1) - A (III.3.2) D(z_tl~Y_{f 1} ) - (E-lt1)~ (1 - 1,0,-1,...,-st1) (III.3.3) Hierbij is afgezien van de invloed, die ondergaan wordt door y}K voor K~ 1.

13

-Voorbeeld:

Tlodel (III.2.12) is volgens (III.1.5) gelijk aan:

Ch}1

0

0

0.69

0

0

1.27

Ii}1

0.71 0.14

o

Y}1

-7.23

0

0

0.15

~un}1 (III.3.~) Egf 1

Model (III.3.~) kan in een graaf worden weergegeven.

Ten behoeve van een beter inzicht worden ook de variabelen uit periode 0 afge-beeld.

- 14

iiierbij is afgezien van de invloed, die ondergaan wordt door y}K voor K, 1. De endogene variabelen uit periode 0 hebben geen enkele inkomende pijl en zijn dus geen aankomstpunten~), omdat die variabelen als gegeven worden beschouwd. Die variabelen hebben geen enkele uitgaande pijl en zijn dus geen vertrekpun-ten~), omdat het model statisch is.

Exogene variabelen uit periode 0 zijn geen vertrekpunten omdat de matrix E1 in dit voorbeeld geheel uit nullen bestaat (s - 0).

De directe-invloedmatrix (III.3.1) is voor (III.3.5) gelijk aan:

ChC Ii0 YC ~ Ch}1 Ii}1 Y}1 Í~unD EgC i ~un}1 _Egt1

~

I

I

I

I

I

I

i

I

0

(

0

~

0

~

0

I

I

i

Yp ~ I

---

---r---r---r---Ch~1

~

o

0

o.71i

~

,

D- Ii}1 I 0 j 0 0 0.14~ 0 ~ 0

Y}1

~ 0.69

1.27

o

_I

_I

---

---t---r---r---Dun~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 Eg~ ~ ~ ~

---

---t---t---r---~uPI} 1 ~ 0 -7 . 23 0 ~ I 0 ~ ~ 0 ~ 0 Egf1 ~ o 0 0.15~ ~ I

I

I

I

(III.3.6)

In het boven,.staande is geen rekening gehouden met de invloed,die ondergaan wordt door y}K voor K ~ 1. Een graaf die de beinvloeding geeft van y}K voor K- 1 is een -raaf inet horizon één.

15

-Voorbeeld:

Figuur (III.3.5) is een graaf inet horizon één. (III.3.1) en (III.3.6) zijn di-recte-invloediaatrices van grafen met horizon één.

Een graaf die de beinvloeding geeft van y}K voor K- 1,2,3,...,h is een graaf

met horizon h. (III.3.7)

Voorbeeld:

De graaf inet horizon twee ~~~,n model (III.3.~) is gelijk aan:

16

De directe-invloedmatrix van (III.3.8) is gelijk aan:

Ch Ii Y iCh Ii Y iCh Ii Y i~un Eg i~un Eg i~un Eg

0 0 Oi f1 t1 f1 i f2 f2 f2 i 0 Oi f1 f1i f2 f2 Ii0 I 0 i 0 ~ 0 i 0 i 0 ~ 0 YO--~- i i i i i ---t---~---t---i---a---f1

0

0

0.71

0 i 0 0 O.l~i 0 i 0 i 0 i 0

0.69 1.27

0

---- ---f---~---~---~---a---Ch}2 i i 0 0 0.71i i i i i i i i D- Ii}2 0 ~ 0 i 0 0 0.14~ 0 ~ 0 i 0 Y}2 i ~0.69 1.27 0 i i i I ---- ---i---i---~---~---.~---~ 1 1 1 1 I ~un~ i _{i i i i ~,} Eg0 0 i 0 i 0 i 0 ~ 0 i 0 ---~---~---~---~---~---~---~ Dun} 1I i 0 -7 . 23 0

0

i

i

0

0

i

0

0

Eg}1 ~ 0 0 0.15~ --- ---~---~---~---a---~---Dun}~ ~ i 0 -7.23 0 0 i 0 ~ ~ 0 ~ 0 i 0 Egf2 I i i C 0 0. 15 i i i (III.3.9)

D-YO Yt1 Yt2 Z---s z-st1 z-st2 z0 ztl zt2 YO Yt1 Yt2 z -s

7

Y~l yt1 Yt~ ~7-s z-st1 z-;.t~, ... z0 zt1 Lt,' i - i 0 0 ~~ i 0 0 0 -.. 0 0 0 i i 0 D 0 ~ 0 0 0 ... 0 0 0 (Yt1~Yt1) i 0 0 D(Y ~Y ) ~ 0 0 0 ... 0 0 0 t2--f2----~-~----~---~---~--- ---0-- 0 ~ ... 0 0 0 0 D(z-st1~Yt1) 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 D(z-st2~Yt1) D(z-st2~Yt2)~ 0 0 0 ... 0 0 0 0 D(z0~Yt1) D(z0~Yt2) ~ 0i 0 0 ... 0 0 0 i 0 D(zF1~Yt1) D(z}1~Yt2) ~ 0 0 0 ... 0 0 0 i 0 0 D i 0 0 0 .. . 0 0 0 (zt2'Yt2) ~

Yp Yt1 Yt2 iz-s z-st1 z-st2 .. . z0 zt1 zt2

Voorbeeld:

Voor s- 2 kan de graaf inet horizon drie van model (III.2.3) aldus schematisch

worden weergegeven:

(III.3.11)

19

-(III.3.10) kan uitgebreid worden voor h~ 2. Daarbij geldt dan zoals in (III.3.10) dat:

en dat D(Y ~Y ) - A ' (K - 1,2,3,...,h) (III.3.12) -F K -F K D(z ~Y ) - ES (K - 1,2,3,...,h) -~fK fK ( - E' (K - 1,2,3,...,h) z-Sf1tK'yfK) S-1 D(z ~y ) - E~ (K - 1,2,3,...,h) -1tK tK D(zOfK'ytK) - Eó (K - 1,2,3,...,h) De totale-invloedmatrix~) is per definitie gelijk aan:

T - E Dk

k-1

(III.3.13)

(III.3.14) Indien de absolute waarde van elke eigenwaarde van D kleiner is dan één,

geldt~~).

Dk~ Ovoor k-~~ (III.3.15)

x)

Zie (I.5.151.

.

20

-De eigenwaarden van D kunnen berekend worden uit de volgende karakteristieke ~-~rgelijking:

ID-~II - 0 (III.3.16)

Volgens (III.3.10) en (III.3.12) kan (III.3.16) bij h- 2 herschreven worden tot:

I-aI~

ID(Y}1~Y~,1)-~I~ ~D(y}1~Y~1)-aIl - 0 (III.3.17) Hieruit volgt dat de eerste m eigenwaarden van D gelijk zijn aan nul. Elke volgende m eigenwaarden van D zijn gelijk aan de eigenwaarden van D ~.

(yt1'yt1' Indien dus de absolute waarde van elke eigenwaarde van:

D(Y_f1 ~Y_tl ) - A~ (III.3.18)

kleiner is dan één, geldt (III.3.15) en kan (III.3.14) op de drie navolgende wij-zen gesommeerd worden:

T - D{ItDfD2t . . . } - D [ I-D] -1 ( III.3. 19)

T - ~IfDtD2f . . . }D - [ I-DJ -1 D T - {IfDtD2t . . . }-I - [ I-D] -1-I

Indien (III.3.15) geldt volgt uit (III.3.19) en (III.3.21) dat: [ I-D] -1-I - D [ I-D] -1

(III.3.20) (III.3.21)

(III.3.22) De inverse [I-D]-1 kan berekend worden met de methode van verdelingx). Per defi-nitie geldt dat:

21

-[ I-D] . -[ I-D] -1 - I

_(III.3.23)

Volgens (III.3.10), (III.3.12) en (III.3.13) kan (III.3.23) voor h- 2 als volgt worden uitgeschreven:

22 -a j s i. . b k t i. . c 1 ---u i. . . --- t---d m v i. . . e n w ~. . . f o x

g

P

Y

h q z i. . . i i i r z'i. . . e

I

I

o

o~. .

_{i ~} 0 I 0 i. . . 0 0 I i. . . ---r---0 0 0 i. . . 0 0 0 i. . . 0 0 0 i. . .

De letters van het alfabet in de submatrix 1

[ ID]

-stellen de te berekenen submatrices voor.

De eerste rij Jan [ I-D] maal de eerste kolom van [ I-D] -~ geeft: Ia- I-~a- I

De tweede rij van [I-D] maal de eerste kolom van [I-D]-~ geeft:

[I-D(Y ~y )]b-0~b-0

f1 f1 Zo doorgaande vindt men:

(III.3.24)

(III.3.25)

(TII.3.26)

(III.3.27)

-23-1

lle eerste ri j van [ I-D] maal de tweede kolom van [ I-D] - geeft : Ij - 0 -~ j - 0

De tweede ri j vari [ I-D] maal de tweede kolom van [ I-D] -1 geeft : [ I-D(Y ~Y )] k - I -. k - [ I-D(Y

,Y )] -1

f1 fl fl fl

De derde ri j van [ I-D] maal de tweede kolom van [ I-D] -1 geeft :

[I-D(Y ~y )]1 - 0 -~ 1 - 0

t1 f1

De vierde rij van [ I-D] maal de tweede kolom van [ I-D] -1 geeft: Im- 0-~m- 0

De vi j f de ri j van [ I-D] maal de tweede kolom van [ I-D] -1 geeft :

- (z-s}1~Y}1)D ktIn-O Uit (III.3.33) en (III.3.30) volgt:

n - D(z-s}1 ~Y}1 )[ I-D(y}1 ~Y}1 )]

(III.3.29)

(III.3.30)

(III.3.31)

(III.3.32)

(III.3.33)

(III.3.34)

De zesde ri j van [ I-D] maal de tweede kolom van [ I-D] -1 geeft :

D k-D 1 t Io- 0

-( z-st2'Yt 1) ( z-sf 1'yf 1)

Uit (III.3.35), (III.3.30) en (III.3.31) volgt:

o-D, 1 ~z-sf2'Yf1 )[ ID(y}1 ~y}1 )]

-(III.3.35)

(III.3.36)

1

rI o

-,

~Yt1~Yt1)] 0 0

a

0

l 1-D

0 0 0...~ o o~

0 0 0... 0 0 0 (Y_tl ~Y_t1 )J ~ 0_i 0 0... 0 0 0 0 0 0---~-Í---~---~--- ---. ---. ---. 0 0 0 [ I-D] -1-0 D(Z-st1~Yt1)[I-D(Yt1'Yt1 0 I 0... 0 0 0 0 _{D( Z} ~Y )[ I-D(Y ~Y )] -1 D( z ~Y )[ I-D(Y ~Y )] -1 Í 0 0 I... 0 0 0 -st2 t1 t1 t1 -st1 t1 t1 t1 i 1 0

D( z~ ~Yt1 )[ ID(Yt1 ~Yt1 )] -1 0 D(Zt1 ~Yt1 )[ ID(Yt1 ~Yt1 )]

25

De elementen van T kunnen berekend worden uit (III.3.37) met gebruikmaking van

(III.3.21). Dit betekent~dat van de submatrices op de hoofddiagonaal van (III. 3.37) de eenheidsmatrix wordt afgetrokken. Vervolgens wordt (III.3.22)

toege-past op de submatrices op de hoofddiagonaal:

[ I-D(y ~y )~ -1 - I - D(Y ~Y )~ I-D(y ~Y )] -1

f1 fl f1 f1 fl fl

(III.3.3a) Indien (III.3.i5) geldt, i:; de totale-invloedmatrix (III.3.14) voor h- 2 ge-lijk aan:

y0 yt1 yf2 iz-s z-stl z-sf2- .. z0 ztl zf2

27

-yp yf 1 yf2 i z-s ... z}2 i i yp 0 0 0 i p ... 0 i

y}1 0 ([ I-A] -lA)' 0 ~ 0 ... 0

yt2 z -s z-sf 1 z -st 0 0 ([ I-A] - 1A)' ~ 0 ... 0 ---t---0 0 0 i 0 ... 0 0 ([ I-A] -1E )' 0 s 0 . . 0

0 ([ I-A] -1Es-1 ) ([ I-A] -1Es)' ~ 0 . . . 0

zp zt1 zf2

. . . ~ . .

i

0 ([ I-A] -1E1 )' ([ I-A] -1E2)' i 0 . . . 0 i

0 ([ I-A] -1Ep)' ([ I-A] -1E1 )' ~ 0 . . . 0 i

0 0 ([ I-A] -1Ep)' ~ 0 ... 0

L J

(III.;.39)

De totale-invloedmatrix (III.3.14) kan op overeenkomstige wijze berekend worden voor h~ 2. Daar~ij geldt dan dat:

T - D [ I D ] -1 - ([ I-A] -1A)'

en dat:

(ytK'YfK) - (yfl'Yf1 ) - (yf1'Yf1 )

(K - 1,2,3,...,h) (III.3.~0)

T( z ~Y ) - D( z ~y )[ I-D(Y

~Y )] -1 - ([ I-A] -1Es) ~

-StK fK -Sf1 fl t1 f1

-28-T - l) L I-D ] -1 - (L I-A] -lE ),

(z-sf1tK~YtK) (z- s,~2~Y}1) ( Yf1'yt1) s-1

(K - 1,2,3,...,h)

T - D L I-D ] -1 - (L I-A] -1E ) ,

(z-1tK'YfK) (z0~Yt1) (Y~1~Y~1) 1

(K - 1,2,3,...,h)

T - D L I-D ] -1 - (L I-A] -1E ),

(zO}K~YfK) ( zf1 ~Y}1 ) (Y~1 ~Y}1 ) 0

(K - 1,2,3,...,h) (III.3.41)

In het statische model (III.2.3) zijn volgens (III.3.~1) de submatrices, die de totale invloed van exogene op endogene variabelen geven, gelijk aan de getrans-poneerden van de matrices in de gereduceerde vorm (III.2.5). Dit komt overeen met (I.5.30)~ omd~,t ook daar een statisch model geanalyseerd werd.

Uit (III.3.~1) en (III.2.11) volgt dat:

-29-III.4. Het dynamisch model met één vertraging, zonder exogene variabelen.

We beschouwen eeil dynamisch model zonder exogene variabelen zoals in (III.1.7), maar waarbij r- 1. De structurele vorm van zo'n model kan als volgt geschre-ven worden:

y - Ay f

C1y-1 (III.~.1}

De matrix C1 geeft de dire~te invloed van y-1 op y.

De totale invloed van y-1 op y wordt gegeven in de matrix van de gereduceerde vorm:

y - [ I-A] -1C1 _y-1 (III.4.2)

De waarde van de endogen variabelen in periode 0 wordt als gegeven beschouwd. We gaan nu onderzoeken, wat de totale invloed is van de waarde van de endogene variabelen in periode 0 op de endogene variabelen in.de perioden 1,2,3,... . Uit (III.3.1) volgt dat:

yt1 - A yt1 } C1 y0

Uit (III.~~.3) en (III.~.2) volgt dat: y} 1- L I-A] -1 C_{1 y0}

(III.~.3)

(III.~a.~) Uit (III.4.4) volgt dat de totale invloed van yC op y}1 gegeven wordt door:

T(y ~y } - [ I-A] -1C1

0 t1

Uit (III.~.4) volgt dat: y}2 - [ I-A] -1C1 _Yt1

(III.4.5)

-30-Substitutie van (III.4.4) in (III.4.6) geeft:

y}2 - {[ I-A] -1C1 }2y0 (III.4.7)

Uit (III.4.7) volgt dat, de totale invloed van y0 op y}2 gegeven wordt door:

T (Y ~Y. ) - {[ I-A]

-1C1 }2 0 t2

(III.4.8)

Via verdergaande substitutïe kunnen (III.4.5) en (III.4.8) gegeneraliseerd

wor-den tot:

T(Y ~Y_{o fK}) - {[ I-AJ-1C1}K ( K - 1,2,...)

De invloed van y0 neemt in de toekomst af indien: {[ I-A]-1C1}K -~ 0 voor K ~ ~

(III.4.10) geldt indien de absolute waarde van elke eigenwaarde van: [ I-A] -1C1 k].einer is dan één~~ (III.4.9) (III.4.10) (III.4.11) Voorbeeld:

Wanneer we in model (III.1.4) afzien van de invloed van de exogene variabelen - zoals is gedaan in (III.1.9) - dan is (III.4.4) voor dat model gelijk aanz~).

Cr,} 1

0

0 0. 64

Ii}1 - 0 0 0.71

Y}1 0 0 0.56

(III.4.12)

31

-Ch0 en Ii0 oefenen geen invloed uit op de endogene variabelen in de toekomst. Alleen de waarde van YO bepaalt de waarde van Ch}K, Ii}K en Y}K voor K- 1,2,... .

De eigenwaarden ai van (III.4.12) zijn in dit módel gelijk aan de oplossing van de volgende karakteristieke vergelijking:

-a

o

0.64 i,

0

-a

o.71

0

0

(0.56-a)

-o -~ a2(o.56-a)-o-~

a1 -a2-o

a3 - 0.56

(III.4.13)

De absolute waarde van elke eigenwaarde is kleiner dan één. Voor dit model geldt dus (III.4.10).

Wanneer men de matrix in (III.4.12) op drie plaatsen achter de komma afrondt~is zij gelijk aan:

0 0 0.643 [ I-A] -1 C 1 - 0 0 0. 706

0

0

0.556

(III.4.14)

De zesde macht van (III.4.14) is de kleinste macht waarvoor geldt, dat de uit-komst - op één plaats achter de komma afgerond - gelijk is aan de nul-matrix. De zesde macht is nl. gelijk aan:

{[ I-A] -1C1 }6 - 0 0 0.038

0

0

0.034

0 0 0.030

(III.4.15)

Deze matrix geeft de waarde van Ch}6, Ii}6 en Y}6~indien YO - 1. De waarde van C;hO en Ii0 is - zoals reeds eerder opgemerkt - in dit model niet van invloed op de waarde van de endogene variabelen in de toekomst.

De tiende macht ;.s, op twee plaatsen achter de komma afgerond, gelijk aan de nul matrix. De veertiende macht is op drie plaatsen achter de komma afgerond gelijk aan de nul matrix.

N M

Het verloop van Ch}K, Ii}K en Y}K bij Y~ - 1.

K -

0

1

2

3

5

6

7

8

q

,p

-33-III.S. De graaf inet bijbehorende matrices van het dynamisch model met één ver-traging, zonder exogene variabelen.

De directe-invloedmatrix van de graaf inet horizon één van het model (III.4.3)

kan aldus onderverdeeld worden: y0 yt1

D - yC O D(y0`Y}1) Y~1 C D(y}1~y}1~

m m m m

(III.5.1)

Hierbij is afgezien van de invloed, die ondergaan wordt door y}K voor K~ 1. Voorbeeld:

(III.4.3) is voor model (III.1.9) gelijk aan:

ro

0

0.69

0 0 1.27 0.71 0.1~ 0

y0

yf 1

y0 0 C~ m y}1 0 A' m ~YC~ (III.5.2)

Model (III.5.2) kan in een graaf inet horizon één worden weergegeven, waarbij dus wordt afgezien van de invloed, die ondergaan wordt door y_fK voor K~ 1.

m m

-3~-De endagene variabelen uit periode 0 hebben geen enkele inkomende pijl en zi,jn dus geen aankomstpunten, omdat deze variabelen als gegeven worden beschouwd. Zij hebben wel uitgaande pijlen omdat het model dynamisch is.

De directe-invloedmatrix (III.5.1) is voor (III.5.3) gelijk aan:

-35-De graaf inet horizon drie van model (III.5.2) is gelijk aan:

T ~

0.69

o.i4

~

tz

0.69

o.i~

-36-De directe-invZoedmatrix van (III.5.5) is gelijk aan:

D-Chp Iip Yf 1 Ch}2 Ch Ii Y iCh Ii Y ~Ch Ii Y iCh Ii Y 0 0 0 i t1 f1 f1 i f2 t2 f2 ~ f3 f3 f3 ~ . . . -, 0 0 0 ~0 0 0 ~0 0 0 i0 0 0 i i i i i i 0 0 0 i0 0 0 ~0 0 0 ~0 0 0 i i i 0 0 0 i0.26 0 0 i0 0 0 i0 0 0 ---1---.;---~---0 0 0 ~o 0 0.71 io 0 o io 0 0 1 I I

0

0

0

~o

0

0.14 ~o

0

0

~o

p

o

i t i 0 0 0 i0.69 1.27 0 i0.26 0 0 ~0 0 0 ---~---~---~---0 0 0 ~0 0 0 ~0 0 0.71 i0 0 0 i i i U 0 0 i0 0 0 i0 0 0.14 i0 0 0 i i i

0

0

0~0

0

0

~0.69 1.27 0

~0.26 0

0

---1---~---~---0

0

0

~o

0

0

~o

0

0

~0

0

0.71

t

i

~

0 0 0 i0 0 0 ~0 0 0 i0 0 0.14 i i i 0 0 0!0 0 0 !0 0 0 ~0.69 1.27 0 (III.5.6)

Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt~dat de directe-invloedmatrix van de graaf met liorizon drie van het dynamisch model (III.4.3) gelijk is aan:

y0 ffl yf 1 y0 D-yf 2

yt3

f2 0 L(yp~y}1) 0

yt3

0 o Dly}1~y}1) D(y}1~y}2) 0 0 0 D D, ) 0 p (y~2~y}2) ~y~2~yt3 o D(y}2 ~y}3~ y0 yt1 - yt2

yf3

yo yt1 yf2 yt3

-37-De graaf inet horizon drie van model (III.~t.3) kan schematisch aldus worden weer-gegeven:

A' ~C'1

A'

(III.5.8)

-38-De totale-invloedmatrix~) is per definitie gelijk aan: T - E Dk

k-1

(III.5.11) Indien de absolute waarde van elke eigenwaarde van D kleiner is dan één, geldt:

Dk-r 0 voor k-~~ (III.5.12)

Daar (III.5.7) evenals (III.3.10) een driehoekige matrix is kan naar analogie

van (III.3.16) en (III.3.17) worden aangetoond~dat de eerste m eigenwaarden

van D gelijk zijn aan nul en dat elke volgende m eigen~aaarden van D gelijk

zijn aan de eigenwaarden van D(y ~y ).

f1 t1

Indien dus de absolute waarde van elke eigenwaarde van:

~

D(y}1~y}1) - A (III.5.13)

kleiner is dan één,geldt (III.5.12) en kan (III.5.11) gesommeerd worden zoals in (III.3.19) t~m (III.3.21).

De inverse [I-D]-1 kan berekend worden met de methode van verdeling~). Alleen de eerste m rijen van T zijn van belang omdat die de invloed weergeven van y0 op de endogene variabelen in de toekomst.

Per definitie geldt dat:

[ I-D] -1 [ I-D] - I (III.5.14)

~) Zie (I.5.15).

-39-Volgens (III.5.7), (III.5.9) en (III.5.10) kan (III.5.11~) voor h- 3 als volgt worden uitgeschreven: [ I-D] I -D(YO,Y}1) 0 0 0 [I-D(y}1~y}1)] -D(YO,Y}1) 0 0 0 [I-D(y}1~y}1)] -D(YO,Y}1) 0 0 0 [ I-D(y ~y )] f1 fl I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I (III.5.15) De letters va:~ het alfabet in de eerste matrix stellen de te berekenen submatri-ces voor.

De eerste ri j,ran [ I-D] -1 maal de eerste kolom van [ I-D] geeft :

a I- I-~ a - I (III.5.16)

De tweede rij van [I-D]-1 maal de eerste kolom van [I-D] geeft: b I- 0-~ b- 0

Zo doorgaande vindt men dat:

c- 0 en d- 0

1

De eerste ri j van [ I-D] - maat de tweede kolom van [ I-D] geeft :

a [ -P(y ~y )] } e [ I-D(y ~y )] - 0

0 f1 t1 f1

(III.5.1?)

(III.5.18)

Uit (III.5.19~ en (III.5.16) volgt dat: 1 e

-D(YO~Y}1 )[ ID(Y}1 ~Y}1 )] -1

De tweede ri j van [ I-D] - maal de tweede kolom van [ I-D] geeft :

b [ -D(Y ~Y )] f f [ I-D(Y ~Y )] - I

0 f1 f1 t1

Uit (III.5.21) en (III.5.17) volgt dat: f - [ I-D(Y ,Y )] t1 t1 (III.5.20) (III.5.21) (III.5.22) 1

De derde ri j van [ I-D] - maal de tweede kolom van [ I-D] geeft : c L -D(Yp,Y}1 )]. } g [ I-D(Y}1 ~Y}1 )] - 0

Uit (III.5.23) en (III.5.18) volgt dat: g - 0

Op gelijke wijze vindt men dat:

(III.5.23)

(III.5.24)

h - U (III.5.25)

1

De eerste ri j van [ I-D] - maal de derde kolom van [ I-D] geeft :

e[-D(Y Y )] t i[ I-D(Y

~Y )] - 0

0~ fl fl tl

Uit (III.5.26) en (III.5.20) volgt dat: i - {L(Y _{,Y )[ I-D(Y ~Y} )] -1 }2

0 f1 f1 t1

(III.5.26)

De tweede ri j van ( I-D] -1 maal de derde kolom van [ I-D] geeft : f [

-D(YO~Y~,1 )] } J [ I-D(Y}1 ~Y}1 )] - 0 Uit (III.5.28) en (III.5.22) volgt dat:

j - [

I-D(Y~1 ~Y}1 )] -1 D(YO~Yt1 )( I-D(Y}1 ~Y} 1 )] -1

(III.5.28)

(III.5.29) De derde rij van [I-D]-1 maal de derde kolom van [I-D] geeft, in verband met

I D(Y ~Y )[ I-D(Y ~Y )] -1 {D(Y ~Y )[ I-D(y ~y )] -1 }2 0 tl t1 t1 0 t1 t1 t1 ~ [ I-D(y 'y )] -1 tl tl 0 0 0 0

[

I-D(Ytl ~Yt1 )] -1D(YD~Yt1 )[

I-D(yt1 ~yt1 )] -1

[ I-D(y 'y )] -1 tl t1 0

1 3

{D(YD~Yt1 ) [

I-D(yt1 ~ytl )] - }

[ I-D(y ~y )) -1 {D~y ~y )[ I-D(y

-~3-De elementen van T kunnen berekend worden uit (III.5.31) met gebruikmaking van (III.3.21). Dit betekent dat van de submatrices op de hoofddiagonaal van

(III.5.31) de eenheidsmatrix wordt afgetrokken. Vervolgens wordt (III.3.22) toegepast op de submatrices op de hoofddiagonaal zoals in (III.3.38).

Indien (III.5.12) geldt, is de totale-invloedmatrix (III.5.11) voor h- 3 ge-lijk aan:

y0 yf1 yf2 yf3

T -y0 yt1 yt2

yf 3

0

T(YD~Y,~1) T(Y~~Y}2) T(Y~~y}3} 0 T(y}1~y}1) T(yt1~y}2) T(y}1~y}3)

0 0 T(y}2~y}2) T(y}2~y}3)

-~5-De totale-invloedmatrix (III.5.11) kan op overeenkomsti.ge wijze berekend worden voor h ~ 3. Daarbij geldt dan dat:

T(Y ~Y_{0 fK}) - {D(Y ~Y_{0 f1} )~ I-D(Y_t1 ~Y_f1 )] -1 }K - ( {I I-A] -1C }K),₁

(K - 1,2,3,...,h) (III.5.33) T(Y ~y ) - D(Y ~Y )~ I-D(Y ~Y )] -1 - _{(~ I-A]} -1A), fK fK t1 f1 f1 f1 (K - 1,2,3,...,h) (III.5.3k)

T(Y ~Y ) - ~ I-D(Y ~Y )] -1{D(Y ~Y )~ I-D(Y ~Y )]

1 }Ki

-tl fK f1 f1 0 tl t1 f1

- ( {I I-A] -1c1}K-i~ I-A] -1 ) ~

voor K ~ i

(K - 2,3,~,...,h)

(i - 1,2,3,...,h-1) (III.5.35)

De eerste m rijen van T geven de totale invloed van y0 op y}K (K ~ 1) (zie (III.5.33). De overige rijen van T zijn berekend, omdat die in III.7. gebruikt worden in een berekening. Het verschil tussen (III.5.33) en (III.5.39) wordt veroorzaakt doordat y0 gegeven is. De endogene variabelen uit periode nul bein-vloeden elkaar niet in de graaf (D(y ~ y)- 0). Dit is wel het geval met de

0 0

endogene variabelen uit de daarop volgende perioden. Uit (III.5.33) en (III.~.9) volgt dat:

T(YO~Y}.K) - (T~yO~y}K))' - ({~I-A]-101}K)~

(K - 1,2,3,...)

(III.5.36)

-46-III.6. Het dynamisch model met één vertraging, met exogene variabelen.

We beschouwen een dynamisch model zoals in (III.1.10), waarbij r- 1 en s- 1. De structurele vorm van zo'n model kan als volgt geschreven worden:

y-AytC1

y-1 } EO z}E1 z-1

De gereduceerde vorm van (III.6.1) is gelijk aan:

(III.6.1)

y-[ I-A] -1C1 Y-1 }~ I-A] -1E0 z f~ I-A) -1E1 z-1 (iII.6.2) De waarde van de endogene variabelen in periode 0, y0, wordt als gegeven be-schouwd. We gaan nu onderzoeken, wat de totale invloed is van y0 en van de

exo-gene variabelen op de endoexo-gene variabelen in de toekomst.

Uit (III.6.1) volgt dat:

yf1 - A yf1 t C1 y0 } EO zf1 } E1 z0 (III

.6.3}

De directe invioed van y0, z}1 en z0 op y}1 is respectievelijk gegeven in: C1, EO en E1

Uit (III.6.3) volgt volgens ( III.6.2) dat:

y}1 -[ I-A] -1C1Y0 f( I-A] -1EOz}1 t[ I-A] -1E1z0

De totale invloed van y0 op yt1 is volgens (III.6.3) gelijk asn:

T(Y ~Y ) - ~ I-A] -1C1 0 f1

(III.6.4)

(III.6.5)

4 7

De totale invloed van z}1 op y}1 is volgens (III.6.5) gelijk aan: T( z_tl ~Y_fl ) - [ I-A] -1EO

De totale invloed van z0 op y}1 is volgens (III.6.5) gelijk aan:

T (_{z0' ~1}Y ) r [ I-A] -lE1

Uit (III.6.2) volgt, rekening houdend met (III.6.5), dat: y}2 -[ I-A] -101 _{Ytl t[} I-A] -lE0 _{zf2 }[} I-A] -1E1

zf1 --{[ I-A] -101 } 2y0 ~. L I-A] -1 EO _{zf2 }}

f {[ I-A] -1E1 ~ [ I-A] -1C1 [ I-A] -lE0}z}1 } f {[ I-A] -1c1 [ I-A] -lEl }ZO

Volgens (III.6.9) geldt: T(Y ~Y ) - {[ I-A] -1C1 }2 0 f2 T( z 'y ) - [ I-A] -1E0 f2 f2

T(z 'y. _{) - {[ I-A] -1E1 ~ [ I-A] -1C1 [ I-A] -1E0}} t1 r2 ~( z ~Y ) - {[ I-A] -1c1 [ I-A] -1E1 } 0 f2 (III.6.7) (III.6.8) (III.6.9)

-i~g-yt3 -{[ I-A] -1~1 }2 Yt1 t[ I-A]

-1E0 Zt3 t

t{[ I-A] -1E1 t[ I-A]-101 [ I-A] -lE0}Zt~ t t {[ I-A] -1C1 [ I-A] lE1 }Zt1

-- {[ I--A] -1~1 }3 t [ I-A] -1E0 Zt3 t t {[ I-A] -1E1 t [ I-A] -101 [ I-A] -lE0}Zt2 }

t {[ I-A] -1c1 [ I-A] -1E1 t _{([ I-A]} -1C1 )2 [ I-A] -lE0}Zt1 t t {([ I-A] -1C _{)2 [ I-A]} -lE1 }ZO

1

Uit (III.6.114), (III.6.10) en (III.6.6) volgt dat: T(YO~Yt3) - {[ I-A] -1c1 }3 - T(YO~Y}2) [ I-A] -101

T( Z

~Y

_{) - [ I-A] -1 E0}

t3

t3

T(z ~Y ) - {[I-A]-1E1

t 1C1 [I-A]-t2 f3

[ I-A] -1E1 t T(Y

~Y )[ I-A] -1E0

0 t1

T(z_t1 ~Y_t3) - {[ I-A] -1~1 [ I-A] -1E1 t ([ IA] 1C1 )2 [ IA] 1E0}

-(III.6.14)

(III.6.15) (III.6.16)

(III.6.17)

-49-T (zO~Y~,3) - {(L I-A] -1C1 )2 L I-A] -1E1 } - T(YO~Y}2)L I-A]

-1~1

(III.b. 19) Het voorafgaande kan gegeneraliseerd worden tot:

T(YO~Y~K) - {L I-A] -1C1 }K - T(YO~Y~K-1 )L I-A] -1~1

(K - 1,2,3,...) (III.6.20)

T(z ~Y ) - LI-A]-1E0 ( K - 1,2,3,...) (III.6.21)

tK fK

T(z ,Y ) - {(L I-A] -1C1 )K-1-1L I-A] -1E1 ~ (L I-A]

-1C1 )K-1L I-A]

1E0} -tl tK

T (Y ~Y )L I-A]

-1E1 } T(Y 'y )L I-A] -1E0

0 tK-1-1 O tK-1

(K - 2,3,.. ) (0 ~ 1 ~ K)

T (zO~Y~K) - {(L I-A] -1C1 )K-1L I-A] -1E1 } - _{T(yO~Y~K-1 )L} I-A] -1E1

(K - 1,2,3,...) (III.6.20) komt overeen met (III.4.9).

(III.6.22)

(III.6.23)

tJit (III.6.20) volgt dat de invloed van y0 in de toekomst afneemt indien:

{L I-~1-1c1 }K

voor K ; ~ (III.6.24)

Dit komt overeen met (III.4.10).

Uit (III.6.23) volgt, dat ook de invloed van z0 in de toekomst afneemt, i.ndien

(III.6.24) geldt.

50

-Voorbeeld:

In model (III.1.12) is de waarde van Ch0 en Ii0 niet van in-rloed op de waarde van de endogene variabelen in de toekomst. De invloed van YO voor YO - 1 is

afgebeeld in (III.4.16).

i

0.6 ~

o . 5 ~i

0 . ~t ~

0.3 -I

0.2 ~

0 . 1 ~J

-p , 5 ~

-o . 6 -1

-o . 7 -~

-G . 8 -~

- 52

(III.6.5), (III.6.9) en (III.6.11~) kunnen nu, met behulp van (III.6.20) tot;

en met (III.6.23) gegeneraliseerd worden voor K~ 1 en 1- K-i:

y}K - {[ I-A]

-1C1 }Ky0 f [ I-A] -1E0 _{ZtK }}

K-1

f ~ {([ I-A] -1C )i-1[ I-A] -1E ~ ([ I-A] -1C )1[ I-A] -1E }z ) }

1-1 1 1 1 0 f(K-1

f { ([ I-A] -1c1 ~~c-1[ I-A] -lE1 }ZO

Indien (III.6.2~) geldt gaat (III.6.26) voor K-~ over in: y}~ - [ I-A] -lE0 Z}~ f

(III.6.26}

~-1

f E {(C I-A] -1c1 )i-1[ I-A] -1E1 ~ ([ I-A] -101 )i[ I-A] -1E0}z}(

)

i-1 ~-i

Dit is de finale vorm van het model~).

(III.6.27)

53

-III.`T. De graaf inet bijbehorende matrices van het dynamisch model met één

vertraging, met exogene variabelen.

Le directe-invloedmatrix van de graaf inet horizon één van het model (III.6.3) kan aldus onderverdeeld worden:

Yp Yf1 z0 z~1 y0

IO

D(Y~~Y~1)

0

J D - yf 1 z~ zt1 o D(y}1~y}1) 0 0 D( z ~Y ) 0 0 D 0 t1 0 (zf1'Yt1) 0 0 0 m m p p m m YO Y~ z~ y0 Yt 1 z0 zf 1 m m p p -.. m m (III.7.1} Hierbij is afgezien van de invloed, die ondergaan wordt door y}K voor K~ 1. Voorbeeld:

(III.6.3) is voor model (III.1.12) gelijk aan:

1 Ch}1 Ii}1 Yf 1 r~ J H Ch} 1 f 0 0 0.26 0 0 0 0 0 0 Ch0 Ii0 YO f

ro

0

-7.23 0 4un}1 0 0.15 Eg (III.7.2)

0

0

0.69

0

0

1.27

0.'~1 0. 14 0

_f1

-5~-De graaf inet horizon twee van model (III.7.2) wordt hieronder afgebeeld. Ten behoeve van een beter inzicht worden ook de exogene variabelen uit periode nul afgebeeld.

55

-l~e~ ~~irt~c:te-ir~vlot~drn~a~i;rix van (I~I.7.3) .is gclijk aaci:

Ch0 I10 YO--Cht1 Ilt1 Yt 1 Cht2 D- Iit2 Yt2 ~un0 ~g0 ~unt1 Egt1 ~~t2 Egt2

Ch Ii Y rCh Ii Y rCh Ii Y r0un Eg ~~un Eg r0un Eg

-56- D-YO Yt1 Yt2 ZD-ztl zt2

YO Yt1 Yt2 iz0 zt1 zt2

I -0 D(Y ~Y ) 0 i 0 0 0 0 t1 ~ 0 D(Y}1~Yt1) D(Yt1~Y}2)IO 0 0 0 0 D i 0 0 0 ( Yt2'Yt2 ) ~ ---0 D(z ~Y ) 0 i 0 0 0 I 0 t~ i I 0 D(zt~~Yt~) D(z ~~Yt2)i0 0 0 0 0 D( z ~Y )Í 0 0 0 t2 t2 ,

YO

Yt1 zt1 zt2 YO Yt1 Yt2~z0 zt1 zt2 ; 0 C~ 0 ;0 0 0 ~ 0 A' C~ ,0 0 0 II 0 0 A' _~'0 0 0 _~~ ~

~--Éi--~--r~--~---~--~

0 E~ E~ ,0 0 0 , E~ ~ 0 0 0 ~ , ~ (III.7.5)

De graaf inet horizon twee van model (III.6.3) kan schematisch aldus worden

weergegeven:

-57-(IfI.7.5) kan uitgebreid worden voor h ~ 2. Daarbij geldt dan zoals in (IIT.7.5) dat.

~

D(y}K~y}K) - A

~ D(y}K-1~y}K) - C1

~

D ( z ~y ) - EO fK tK ~ D(z}K-1~y}K) - E1 (K - 1,2,3,...,h) (III.7.7) (K - 1,2,3,...,h) (III.7.8) (K - 1,2,3,...,h) (III.7.9) (K - 1,2,3,...,h) (III.7.10)

De totale-invloedmatrix~) is per definitie gelijk aan: T - E Dk

k-1

(III.7.11) Indien de absolute waarde van elke eigenwaarde van D kleiner is dan één, geldt:

Dk~Ovoork~~ (III.7.12)

De eigenwaarde van D kunnen berekend worden uit de volgende karakteristieke vergelijking:

ID-aIl - 0

(III.7.13)

In (III.7.5) zullen we de invloed van endogene op endogene variabelen aanduiden met:

58

-D(Y~y) -0 D

0

D

0 0 (YG~Y}1) „ (y}1~Y}1) D(yt1~y}2) D(Y}2~Y}2)

en de invloed vr~n exogene op endogene variabelen met: 0

D(zG~Y~1) 0

D(z~y) -

0

D(z}1~Y}1)

D(z}1~y}2)

0 G D

(zt2'Yt2)

( III .7 . 11~ )

(III.7.15)

Met behulp van (III.7.11~) en (III.7.15) kan (III.7.13) herschreven worden tot: ~ D(Y~Y)-aIJ 0

D(z~Y) -aI

(III.7.16) kan herschreven worden tot: ID(Y~Y)-aI~ ~-aIl - 0

(III.7.16)

(III.7.17)

Uit (III.7.17) blijkt dat de eerste verzameling van 3 m eigenwaarden van D gelijk

is aan de eigenwaarden van D(Y~Y). De tweede verzameling van 3 m eigenwaarden van D is gelijk aan nul. (III.7.12) geldt dus indien de absolute waarde van elke

eigenwaarde va:7 D(Y~Y) kleiner is dan één.

De eigenwaarden van D(Y~Y) kunnen berekend worden uit: - 0

-59-(III.7.18) kan volgens (III.7.1~) voor h- 2 herschreven worden tot: -aI D(YO~Yt1) 0 0 _{[D(y}l,y}1)-aI]} D(y}1~y}2) 0 0 [ D(y ~y )-aI] t2 t2 - 0

(III.7.19) kan volgens (II~.7.7) herschreven worden tot: I-aIl _{~D(y}1,y}1)-aI~}

~D(Y~1~Y~1)-aIl - 0

(III.7.19)

(III.7.20) Hieruit volgt dat de eerste m eigenwaarden van D(y~y) gelijk zijn aan nul. Elke volgende m eigenwaarden zijn gelijk aan de eigenwaarden van D(y ~y ).

t1 f1 Indien dus de absolute waarde van elke eigenwaarde van:

~

D(y}l~y}1) - A

kleiner is dan één, is de absolute waarde van elke eigenwaarde van:

D(Y~Y)

(III.7.2ï)

(III.7.22) ook kleiner dan êén. Bovendien geldt dan dat de absolute waarde van elke eigen-waarde van:

D (III.7.2a)

kleiner dan één is. (III.7.12) geldt dan en (III.7.11) kan dan gesommeerd worden zoals in (III.3.18) tot en met (III.3.20) is aangegeven.

1

-60-[ I-D] [ I-D] - ~ - I (III."Ï.2~~)

Volgens (III.7.11~) en (III.7.15) kan (III.7.24) als volgt worden uitgeschreven:

[ I-D(Y~Y)] 0 -a c I 0

-D(Z~Y) I b d 0 I

Uit (III.7.25) volgt dat: a - [ I-D(Y~Y)] b - D z~Y)[ I-D(Y~Y) (III.7.25) c -.0 d - I (III.7.26)

Uit (III.7.26) volgt dat:

1 [ I-D(Y~Y)] -1 O

[ I-D] - - ₁

D( z ~Y)[ I-D(Y~Y)] - I (III.7.27)

1

De inverse [I-D(y~Y)]- is berekend in (III.5.15) tot en met (III.5.28) en is voor h- 2 gelijk aan:

-1 -1 2

[ I-D(Y~Y)~ 1

-I D(Y

,Y )[ I-D(Y ~Y )] {D(Y ,Y )[ I-D(Y ~Y )] }

0 f1 fl f1 0 f1 f1 f1

0 [ I-D(Y

~Y )] -1

[ I-D(Y _{~Y )] D(Y ~Y )[ I-D(y} ~Y )j -1

fl tl -E1 tl 0 tl tl f i

0 0 [ I-D(Y ~Y )] -1

f1 f1

61

-Volgens (III.7.15), (III.7.9), (III.7.10) en (III.7.28) geldt voor h- ~' de.t:

0

D(z0~Y~1) 0 1

D(~~Y)~I-D(Y~Y)]- - 0 D(Z~1~Y~1) D(zO~Y}1)

0 0 D(Z}1~Y~,1)J I D(Y ~Y )I I-D(Y ~Y )] -1 {D(Y 'Y _{)[ I-D(Y} ~Y )] -1}2 0 t1 t1 fl 0 t1 t1 t1 0 ~ I-D(Y ~Y )] -1 I I-D(Y ~Y )] -1D(y ~Y )~ I-D(Y ~Y )] -1 t1 fl t1 f1 0 f1 f1 fl 0 0

0 D(ZI~~Y}1 )I I-D(Y}1 ~Y}1 )]

[ I-D(Y ~Y )] -1 f1 f1

D(ZO~Y~1 )( I-D(Y}1 _~Yt1

J

-1 -1

(YO~Y~1). (y}1~p}1)] 0 D(Z}1 ~Y}1 )~ I-D(Y}1

~Ytl )] -1 D(Zf1'Yf1 )[ I-DtY~1 ~Y}1 )] -1D(YO~Yt1 )~

I-D(Y}' ~Y}1)] t 1

f D(ZO~Y}1 )I ID(Y}1 ~Y}1 )]

-0 -0

D(Z}1~Y}1)[I-D(Y}1~Y}1)]-1

(III.7.29)

[ I-D(Y~Y)~

-1-I-1 0

D(YO~Yt1 )[ ID(Yt1 ~Yt1 )] -0 [ I-D(Y ~Y )) -1-I t1 t1

0

0

1 0

D(YO~Yt1 )[ ID(Yt1 ~Yt1 )] -1 0 D(Y}1~Yt1)[I-D(Yt1~Yt1)]-0 0 1 2 {D(YO~Yt1)[I-D(Yt1~Yt1))- } [ I-D(Y ~Y )] -~D(Y ~Y )[ I-D(Y ~Y )~ -1 t1 t1 0 t1 t1 t1 [ I-D(Y ~Y )] -1-I t1 t1 1 2 {D(YO~Yt1 }[ I-D(Ytl ~Yt1 )~ - }

[ I-D(Y

~Y )] -1 D(Y ~Y )[ I-D(y ~Y )] -1

t1 t1 0 t1 t1 t1

-1 D(Yt1 ~Yt1 )[ I-D(Yt1 ~Yt1 )~

J

-63-Indien (III.7.12) geldt is de totale-invloedmatrix (III.7.11) volgens (III.3.21), (III.7.30) en (III;7.29) voor h- 2 gelijk aan:

0 D [ I-D ]-1 {D [ I-D ]-1 }2 i 0 0 0

0 [Y~'Yt1) ~Yt1~Yt1) iY~~Yt1) ~Yt1~Yt1) ~

Yt1

Yt2

0 D~Yt1~Yt1)[I-D~Yt1~Yt1)]-1 [I-D~Yt

0

0

1 1

,Yt~ )] - D(yO,Yt~ )[ I-D~Yt1 ~Yt1 )] - 0 0 0 i D [I-D ]-1 ~ 0 0 0 ~Yt1'Yt1) ~Yt1'Yt1) i ~---~---z 0 zt1 zt2 0 D~z~~Yt1)[I-D~Yt1 _{'Yt 1} -1 )] 0 _D~ zt1'Yt1 )[ I-D~Yt1'yt1 )]

0

0

-1 D [I-D ]D [I-D ]-1 i 0 0 0

~z~~Yt1) ~Yt1~Yt1) ~Y~~Yt1) _~Yt1'Yt1) i ii i D~z ~Y )[ I-D~Y ~Y )] -1DIY ~Y )[ I-D~Y ~Y )) ~ 0 0 0 t1 tl t1 tl 0 t1 t1 t1 ! 1 Diz~~Yt1 )[ ID~yt1 ~Yt1 )]

-1

D~zt1~Yt1)[I-D~Yt1~Yt1)]--1

-65-YO

Yf 1

YO Yf 1 Yf2

r0 ([ I-A] -1C1 ) ~ ( {[ I-A] -1p1 }2) ~ 0 ([ I-A] -1A)' ([ I-A] -1c1[ I-A] -1 ) ~ yt2-z0 zt 1 zf2 I 0 0 ([ I-A] - A) i0 0 0 I r---1--1---T---~

0 ([ I-AJ -1E1 )' (L I-A] -1p1[ I-A] -1E1 ), ÍO 0 0 0 ([ I-A] -1E0)' ([ I-A] -1E1}[ I-A] -lc1[ I-A] -1E0)' i0 0 0

0 0 ([ I-A] -1E0)' i0 0 0

(III.7.31) De totale-invloedmatrix (III.7.11) kan op overeenkomstige wijze berekend worden voor h~ 2. Daarbij geldt dan dat:

T(YO~Y,~K) - {D(YO~Y}1 )[ I-D(Yt1 ~Y}1 )J -1 }K - ( {[ I-A]

-1p1 }K) ~

(K - 1,2,3,...,h) (III.7.32)

T (Y ~Y ) - D(Y ~Y )[ I-D(Y ~Y )J -1 - ([ I-A]

-1A),

tK tK f1 f1 fl f1

(K - 1,2,3,...,h)

T(Y ~Y ) - [ I-D(Y ~Y )] -1 {D(Y ~Y )[ I-D(Y ~Y )] 1 }K1

-66-T - D [ I-D ] -1 {D [ I-D }K1

-(zO,ytK) (z~~Yt1) (Yt1~Yt1) (Y~~Yt~) (yt1,Yt1) 1

-D(z~~Yt1)[I-D(Yt1~Yt1)]- T(Y~~YtK-1)

-- ({[I-A]-1~1}K-1[I-A]-1E1), ,

(K - 1,2,3,...,h) (III.7.35)

T - D [ I-D ] -1 - ([ I-A] -lE ),

(ZtK'ytK) (Zt1'Yt1) (Yt1~Yt1) 0

(K - 1,2,3,...,h) (III.7.36) T - D ~y )[ I-D(Y ~Y )] -1 {D(Y ~Y )[ I-D(Y ~Y )] -1 }K-1 t ~Ztl'ytK) (Zt1 t1 t1 t1 0 t1 t1 t1 t D( Z ~y ) [ I-D(y ~Y ) ] -1 {D(Y ~Y ) [ I-D(Y ~Y )] 1 }K11 -0 t1 t1 t1 0 t1 t1 t1 1 - D(Zt1~yt1)[I-D(Yt1~Yt1)]-T(Y~~YtK-1) t 1 t D(z~~Yt1)[I-D(Yt1~Yt1)]- T(Y~~YtK-1-1)

-- ( {[ I--A] --1C1 }K--1--1[ I--A] -1E1t{[ I-Aj -1C1 }rc-1[ I-A] -1EO) ~

(K - 2,3,...,h)

(0 ~ 1 ~ K) (III.7.37)

Uit (III.7.32) en (III.6.22) volgt dat:

T(YD~YtK) - (T(yO~YtK))~ - ({[I-A]-1c1}K)~ (III.7.38) (III.7.38) komt overeen met (III.5.33).

-67-(III.7.~3) en (III.7.3~}) zijn ten behoeve van de volledigheid vermeld, maar

worden in het vervolg buiten beschouwing gelaten.

Uit (III.7.35) en (III.6.25) volgt dat:

~

T(zO~Y}K) - (T(zO~Y}K)

(III.7.39)

In figuur (III.7.10) zien we dat z0 direct invloed uitoefent op y}1 volgens: (E1)~ - D(zO~Y}1)

De totale invloed van z0 op y}1 is volgens (III.7.3~) gelijk aan:

D( zO~Y}1 )~ I-D(y}1 ~y}1 )) -1 - (I I-A]

-1E1 ) ~

(III.7.~0)

(III.7.~1) De invloed var. z0 op ytK voor K~ 1 loopt in figuur (III.7.10) via Ytl'

De totale inv].oed van z0 op y}K voor K ~ 1 is volgens de

vermenigvuldigingsre-gel~) gelijk aan de totale invloed van z0 op y}1 maal de totale invloed van y}1

op y}K. De totale invloed van y}1 op y}K is in deze berekening gelijk aan de to-tale invloed van y0 op y}K-1~~). Op deze wijze kan (III.7.35) geinterpreteerd worden.

Uit (III.7.36) en (III.6.23) en uit (III.7.37) en (III.6.24) volgt dat:

~

T(z}l~y}K) - (T(z}l~y}K) (III.7.42)

In figuur (III.7.10) zien we dat z}1 voor 1~ 0 direct invloed uitoefent op de endogene variabelen uit dezelfde en de daarop volgende periode volgens respec-tievelijk:

x)

Zie (I.5.3).

~~) In (III.7.3~) is de totale invloed van y}1 op y}K niet gelijk aan de totale

68

-~

(E~

- D(z}l~y}1)

en ~ (E~ - D(zp~Y}~)

(III.7.~3)

(III.7.4~t) De totale invloed van z}1 voor 1~ 0 op de endogene variabelen uit dezelfde periode is gegeven in (III.7.36). De totale invloed van z}1 voor 1~ 0 op de endogene variabelen in de daaropvolgende periode is volgens (III.7.37) gelijk aan:

~Y ) - D( z ~Y )~ I-D(Y ~Y )] -~D(y ,y )~ I-D(Y ~Y )] -1 }

1 flfl f1 f1 f1 f1 0 t1 f1 f1

1 t D(z~~Y}~)II-D(y}l~y}1)]- -- (I I--A] -1E1} ~ I-A] -1~1~ I-A] -1EO) ~

1 ~ 0

(III.7.45)

In (III.7.~t5) zien we dat de totale invloed van z}1

op Ytlf1 gelijk is aan de som van de totale invloed die rechtstreeks gaat van ztl naar

Ytlt1'

([ I-A] -1E~ )' (III.7.~6)

en van de totale invloed die gaat van z}1 naar y}1}~ via Ytl'

(~ I-A] -1v1~ I-A] -lEO) ~ _(III.7.~7)

De invloed van z}1 op y}K voor K~ lf1 loopt van z}1 rechtstreeks naar _Ytlf1 en dan verder via de endogene variabelen en van z}1 naar y}1}~ via y}1 en dan

verder via de endogene variabelen.

Op deze wijze kan (III.7.37) geinterpreteerd worden. Omdat de invloed van z}1 op de endogene variabelen in de toekomst loopt via de endogene variabelen neemt de invloed van z}1 in de toekomst af indien de invloed van de endogene variabe-len afneemt. Uit (III.7.35) en (III.7.37) bli.ikt, dat de in~rloed van ~ op de

-69-III.8. Overzicht van de modellen met één vertraging.

Het voorafgaande kan schematisch worden samengevat.

De modellen met één vertraging kunnen aldus worden onderverdeeld:

A. Statisch model; a zonder exogene variabelen. b met exogene variabelen.

B. Dynamisch model; a zonder exogene variabelen. b met exogene variabelen. Deze modellen kunnen aldus worden geschreven~). A.a _{Yt1 - A Ytl}

A.b _{Yt1 - A Yt1 t EO zf1 } E1 z0} B.a _{Yt1 - A Yt1 } C1 YO}

B.b

Yfl - A Yf1 } ~1 YO } EO zf1 } E1 z0

De graaf inet horizon twee van deze modellen kan aldus schematisch worden

weer-gegeven~~):

A.a

B.a

71

-De totale-invloedmatrices van de grafen in (III.8.5) zijn gelijk aan~).

YO Yf 1 y0 Yf 1 Yf2 A.b: T - ---z0 zf 1 zf2 YO B.a: T - Ytl Yt2 Yt2 0 0 0 0 ([ I-A] -1A)' 0 0 0 ([ I-A] -1A), YO Y}1 _Yt2

0

0

z0 zt1 zt2 0 ([ I-A] -1A)' 0 ~ 0 0 0 I i I i 0 0 ([ I-A] -1A)' i 0 0 0 I' ---r--- ---~--- I -0- ([ I-A] -iE 1), 0 ~ 0 0 0 -~'

0 (L I-A] -1E0)' ([ I-A] -1E1 )' ~ 0 0 0 i 0 0 ([ I-A] -1E0)' ~ 0 0 0 YO Yf 1 0 ([ I-A] -1c1 ) ~ 0 ([ I-A] -1A)' 0 0 (III.8.6)

(III.8.7)

(III.8.8)

-72-y0

yt1 B.b: T - yf2 z0 zf 1 zf2 y0 yf 1 yf2 Zn 'Lt 1 Zt;~ 0 ([ I-A] -1C1 )' ({[ I-A] -1C1 }2)' i 0 0 0 i

0 ([ I-A] -1A)' ([ I-A] -1C1[ I-A] -1 )~ ? 0 0 0 i

i

0 0 ([ I-A] -1A)' ~ 0 0 0

---~---0 ([ I-A] -1E1 )' ([ I-A] -1C1[ I-A] 1E1 )' i 0 0 0

i

0 ([ I-AJ -1E~)' ([ I-A] -1E1 f{ I-A] -1C1[ I-A] -1E0)' i 0 0 0

0 0 ([ I-A] -1E0)'

0

0

0

(III.8.9) Bij het statisch model, A, gaat er in de graaf geen pijl van y}K naar YtKt1' Daarom geldt voor het statisch model dat:

A. a en b: T(y ,y )- 0 voor elke K 0~ tK

(III.8.10) In een stati.sch model eindigd de invloed van de exogene variabelen in de perio-de waarin perio-de endogene variabelen direct beinvloed worperio-den. De totale invloed is dus alleen dan ongelijk aan nul indien er een directe invloed is dus:

A.b: T(z ~y )- 0 indien D(z ~y )- 0

tl tK fl tK

(III.8.11)

Bij het dynamisch model, B, gaat er in de graaf een pijl van y}K naar Y}Kf1' Daarom blijft de invloed van een endogene of exogene variabele steeds

doorwer-ken in de toekomst via de endogene variabele en geldt:

B. a en b: T(y ~y )~ 0 (K ~ 0)

0 fK

(III.8.12)

B.b: T(z ~y ) ~ 0 (K ~ 1) (III.8.13)

-73-Literatuur.

1. Chow, G.C.: Analysis and Control of Dynamic Economic Systems. 1975.

2. Derks, W.: Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van gra-fentheorie. Deel I. Inleiding in de gragra-fentheorie.

in: Reeks "Ter Discussie" '76.031, 1976.

3. Derks, W.: Structuurana~yse van econometrische modellen met behulp van gra-fentheorie. Deel II. Formule van Mason.

in: Reeks "Ter Discussié" 76.032, 1976. 4. Hadley, G.: Linear Algebra. 1965.

5. Mirsky, L.: An Introduction to Linear Algebra. 1955.

6. Thei1, H. and Boot, J.C.G.: The final form of econo:netric equation systems. in: Review of the international statistical institute;vol. 30;no. 2.

In de RPeks ter Discussie zijn verschenen: ! . H. l[. '. .~~eíaa.r ~'. cT. Í~. C. K1Clif Clf'21 3.J.J. Yr~ens 4.L.R.J. H~estermann `~ , W. va.r, Hulst J.Th. ,~-~.:~. l,íeshout 6.M.H.C.Pa.ardekooper 7.J.P.C. Kleijr,en '3..~ , Krl~~r~~ 9.L.R..T. W~stermann 10.B.C.J. van Velthoven 11.J.P.C. Kleijnen 12.F.J. tiaridamme 13.A. v~~s~ Schaik 14.J.vanLieshout J.Ritzen J.Roemen 15.J.P.C.Kleijnen 16.J.P.C. Kleijnen 17.J.P.C. Kleijnen 16. F. J . `landamme 19.J.P.C. Kleijnen 20.H.H. Tigelaar 27.J.P.C. K.leijnen 22.W.Derks 23.B. Diederen Th. Reijs ~.1~ i c ,..Ir~ ?4.J.P.C. Kleijnen z~.B. vaci Velthoven Spectraalanalyse en stochastische lineaire differentievergelijkingen. De rol van simulatie in de algeme-ne econometrie.

A stratification procedure for typical auditing problems. On bounds for Eigenvalues

Investment~financial planning with endogenous lifetimes:

a heuristic approach to mixed integer programming. Distribution of errors among input and output variables.

De~ign and a.nalysis of simulation Practical statistical techniques. Accountantscontrole met behulp

van steekproeven.

A note on the regula falsi

Analoge simulatie van ekonomische modellen.

Het ekonomisch nut van nauwkeurige informatie: simulatie van onder-nemingsbeslissingen en informatie. Theory change, incompatibility

and non-deductibility.

De arbeidswaardeleer onderbouwd? Input-ouputanalyse en gelaagde planning.

Robustness of multiple ranking procedures: a Monte Carlo ex-periment illustrating design

and analysis techniques. ' Computers and operations research: a survey.

Statistical problems in the 5imulation of computer systems. Towards a more natura,l deontic logic.

pesign and analysis of simulation: practical, statistical techniques.

Identifiability in models with lagged variables.

Quantile estimation in regenerative simulation: a case study.

Inleiding tot econometrische mo-dellen van landen van de E.E.G. Econometrisch model van België. Principles of Economics for com-puters.

26.F. Cole _{Forecasting by exponential september '76}

smoothing, the Box and Jenkins

procedure

and spectral

analy-sis. A simulation stuc~y.

27.R.. Heuts _{Some reformulations and extensions} juli '76 ~ in the univariate Box-Jenkins

time series analysis. ''~

28.W. Derks _{Vier econometrische modellen.}

29.J. Frijns

Estimation methods for multi-

_{oktober '76}

variate dynamic models.

30.P. Meulendijks Keynesi8anse theorieën van oktober '76 handelsliberalisatie.

31.W. Derks _{Structuuranalyse van e.conometrische eeptember '76}

modellen met behulp van

Grafentheo-rie. Deel I: inleiding in de

Grafentheorie.

32.W. Derks _{Structuuranalyse van econometrische oktober '76}

modellen met behulp van

Grafentheo-rie. Deel II: Formule van Mason.

33. A. van Schaik

Een direct verband tussen economische

veroudering en